Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta ei sido lioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa kätettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on kätett smbolista laskinta, sen on kätävä ilmi suorituksesta. Analsointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos leensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, htälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.. b) c) 0 () 0 0 0. a b ( a b)( a b) a b. a b a b.. -akselilla 0. Tällöin b) c) 8. 8, joten 6 8. Leikkauspiste on,8. 0,. Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
. Hpotenuusan pituus on,0 8,0 8,0, senttimetriä. Toiselle terävälle kulmalle on voimassa tan, joten. Toinen terävä kulma on noin 0 8. b) Yhtälöstä saadaan ristiin kertomalla, joten 7 7. Näin ollen.. Olkoon särmän pituus aluksi a, jolloin kuution tilavuus on ja sen pinta-ala on 8 V ( 8a A 6( a. Puolittuneen särmän pituus on a. Uusi tilavuus on V Vu a. Tilavuuksien suhde on V joten V 0,V ja tilavuus on pienentnt 87, %. u b) Uusi pinta-ala on A 6 a. Pinta-alojen suhde on joten pinta-ala on pienentnt 7 %. u u Au A a 0,, 8a 8 6a 0,, a. Taulukoidaan eri osien tilavuudet, kun kuohuviiniä lisätään litraa. mansikkamehua (l) kuohuviiniä (l) hteensä (l) sekoitus,,8,0 lisäs 0 sekoitus,,8+,0+ Mansikkamehua pitäisi olla toisessa sekoituksessa 0, (,0 ) litraa. Ratkaistaan htälö 0, (,0 ),,0 6,0,0. Kuohuviiniä on lisättävä,0 litraa. 6. Jos häkissä on k kaniinia ja f fasaania, niin Kaniineja on ja fasaaneja. k f k k f f. 7. Tukin halkaisija on r = 0 cm, joten sen säde on r = 0 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus on r. Kaarevat osat ovat mprän kaaria, joiden keskuskulma on 60. Niiden hteispituus on koko mprän kehän pituus. Koko vaijerin pituus on 6rr 0 0 8 senttimetriä. Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
k 8. Rahaa on tilillä vaiheen k jälkeen k n n k ( ) k 00 0. k on geometrinen summa 00, jonka arvo on 00 euroa. Tämä Tämä littää talousarvion silloin, kun k ehto,08 0, joka toteutuu arvoilla Ylits tapahtuu. vaiheen jälkeen. 0, 0. Näin saadaan lg,080 k 8,. lg. Mahdollisia setelijonoja on kuusi erilaista. Niistä suotuisia ovat vain jonot (,,0,0) ja (,0,,0). Kstt todennäköiss on 6. 0. Funktiolla f( ) on pienin arvo vain silloin, kun a 0. Pienin arvo saavutetaan derivaatan f ( ) nollakohdassa. Koska f ( ) a 0 kohdassa a, niin pienin arvo on f 8. Pienin arvo on nolla, a a kun a. b) Ehto voi toteutua vain silloin, kun b 0 ja funktion g ( ) nollakohdat ovat ja. Koska g() b, niin saadaan ehto b. Tällä arvolla mös g ( ) 0, joten b on kstt kerroin.. Iterointi: 6 7,666666667,66780,76,08687,0800,080088,080088. 8 7 Vastaus on n 7. Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
T. Koska T lg p, niin p 0. Koska,8 p 0 0,0006 ja alko, p 0 0,0000 p, tapaturma niin tapaturmaisen kuoleman todennäköiss on suurempi., b) Koska p 0, niin loukkaantuneiden lukumäärä on loukk 6,, 0 0 00. alko ( ). Tangentin kulmakerroin on, ja sen ääriarvokohdassa on ( ) 6 0. Kulkukaavion mukaan kseessä on maksimikohta. Koska 7, niin kstt piste on b) Tangentin kulmakerroin on 0 0 7 ja tangentin htälö eli 0 7., 7.. Ennusteen mukaan a( 0) b. Annetuista tiedoista saadaan htälöpari (0) b6077 a 6, josta (08) a b 68, b 607 7. b) Asukasluvun kasvu on (00) (0) 6a b b 6a 808 0000. c) Piirrett kuvaaja.. tan n80, n Z. Välillä 0 60 on kaksi ratkaisua ja. b) Kuvion perusteella tan ja tan, joten. Näin ollen. tan( ) Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
Alustava pisteits. b) 0 () 0 0 0 TAI: 0 ja sijoitus ratkaisukaavaan: 0, 0 josta Jaettu puolittain :llä ja saatu vain juuri Suora sijoitus: Sievennett: a b ab TAI: a b ( a b)( a b) Jaettu osoittaja tekijöihin: a b a b Supistettu, sijoitettu ja saatu: a b c) Vastaukseksi hväkstään mös 6 Nimittäjien poisto: ( ), josta Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
. -akselilla 0. Tällöin, 0, 8, josta, joten leikkauspiste on b) 8 josta,8...,8 Likiarvossa tarkkuusvirhe c) 6 8 Koska 8, saadaan. TAI logaritmeilla: lg lg lg6, lg6 lg josta lg. b) Olkoot hpotenuusa c sekä terävät kulmat ja. c,0 8,0 8,0,..., ( = mm) 8 tan,00... Toinen terävä kulma on siten 0 8 Kertomalla ristiin: ( ) ( ), josta 7 7 7 ja edelleen, jolloin TAI ratkaisemalla suoraan suhde : Supistus: ( 7 7 Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
. Olkoon kuution särmä aluksi a, jolloin tilavuus V ( 8a ja pinta-ala A 6( a. Puolittunut särmä on a. Vu a Uusi tilavuus Vu a. Vertailu: 0, V 8a 8 0,87, joten tilavuus on pienentnt 87, %. b) Au 6a + Uusi pinta-ala Au 6a. Vertailu: 0, A a 0,7, joten pinta-ala on pienentnt 7 %. Laskettu kokonaan numeerisesti, esim: Särmän pituus aluksi ja lopuksi ma. 6. mansikkamehua (l) kuohuviiniä (l) hteensä (l) sekoitus,,8,0 sekoitus 0 seos,,8,0 tai lähtötiedot muuten esitettinä Ehto: 0, (,0 ),, josta,0 6,0. Kuohuviiniä on siis lisättävä,0 l. k f Häkissä on k kaniinia ja f fasaania. Ehdot: k f k. f Vastaus: Kaniineja on ja fasaaneja. 7. Tukin halkaisija r = 0 cm, joten sen säde r = 0 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus = r. Kaarevat osat ovat mprän kaaria, joiden keskuskulma 60. [Niiden hteispituus = koko mprän kehän pituus.] Vaijerin kokonaispituus on siten 6r r 0 0 8,88... 8 (cm) Likiarvossa tarkkuusvirhe Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
8. Kaikki rahasummat ovat euroja. k Rahaa on tilillä vaiheen k jälkeen... 00. Sulkulauseke on geometrinen summa an, jossa a, q, n k. k ( ) Koko summa on siten 00 0 k joka littää Suomen talousarvion, kun 0, 0 Tällöin, k. k,08 0, lg(,08 0 ) josta k 8,.... Ylits tapahtuu siis. vaiheen lg jälkeen.. Mahdollisia setelijonoja on 6 erilaista: (,,0,0), (,0,,0,), (,0,0,), (0,0,,), (0,,0,) ja (0,,,0). Näistä vain ensimmäistä ovat suotuisia. Kstt todennäköiss on siten. 6 0. Funktiolla f ( ) on olemassa pienin arvo vain silloin, kun a 0, jolloin sen kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Pienin arvo saavutetaan derivaatan f ( ) nollakodassa. Tällöin f ( ) a 0, joka toteutuu, kun. Pienin f f. Pienin arvo on 0, kun a. 8 a a b) Ehto voi toteutua vain silloin, kun b 0, jolloin funktion g ( ) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lisäksi funktion g ( ) nollakohtien on oltava ja. Sijoittamalla :n arvot saadaan b6 b 0, josta b. a Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
. Sijoitetaan kaavaan ja a. Saadaan,666666666 Jatkamalla samalla periaatteella saadaan,66780... 6 7,76...,08687...,0800...,080088... 8,080088... 7 Vastaus on siten n 7.. Kaavasta T b) Koska. lg p ratkaistuna todennäköiss p 0 T.,8 p alko 0 0,0008..., ptapaturma 0 0,0008... palko, p loukk 0,, 6 niin loukkaantuneiden lukumäärä 0, 0 07,6... 00 Vastauksessa väärä tarkkuus Kärän tangentin kulmakerroin on suurin derivaatan maksimipisteessä eli kohdassa, jossa 0. 6 0. Merkkikaavio osoittaa, että kseessä on maksimikohta. Tällöin. Kstt piste on siten 7 b) Tangentin kulmakerroin on 0 ja htälö 0 eli 7 0 7 7,., tai 0 7 0. Matematiikan koe, lht oppimäärä..0
. Malli: a( 0) b (0) b6077 Ehdot:, (08) a b 68 a 6, josta. b 607 7 b) Asukasluvun kasvu on (00) (0) 6a b b 6a 808 0000 (asukast c) Kuvaajajana on suoran 6,( 0) 6077 6, 0707, osa välillä 0 00 Suoraa jatkettu määritsvälin ulkopuolelle. tan n80, nz. Välille 0 60 osuvat kulmat ja. + b) Kuviosta: tan, tan. Kaavalla: tan( ) 6, 6 joten. Matematiikan koe, lht oppimäärä..0