Kertaustehtävät. c) Loppunopeus on v = as =, /s 55 /s. 8 7 v v0 3,6 s 3,6 s. c) Kiihtyvyys on a = =,0. t 5 s s Kolessa sekunnissa kuljettu atka on 7 s3 = v0t + at = 3,0 s + (,0 /s ) (3,0 s) 55,5. 3,6 s Kahdessa sekunnissa kuljettu atka saadaan vastaavalla tavalla, 7 s = v0t + at =,0s + (,0 ) (,0 s) = 38. 3,6 s s Kolannen sekunnin aikana kuljettu atka: s = s 3 s = 55,5 38 = 7,5 8. 3. c) Liikeyhtälöstä Σ F = a saadaan skalaariyhtälö F F = a, kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi. vast F Fvast 350 N 90 N Kiihtyvyys on a = = 5,0 /s. kg 4. a) Olkoon n henkilöiden lukuäärä. Liikeyhtälöstä Σ F = a saadaan skalaariyhtälö F ( G + n g) = ( M + n) a valitsealla suunta ylöspäin positiiviseksi. Ratkaistaan skalaariyhtälöstä henkilöiden lukuäärä n: F G n g = Ma + na F G Ma F Mg Ma n = = g + a ( g + a) 9,0 kn 50 kg 9,8 /s 50 kg,0 /s = + 75 kg (9,8 /s,0 /s ) 3,4 eli 3 henkilöä. 5. c) Kitkakerroin on µ = F F, 0 N 0,0. N = g =,0 kg 9,8/s 0
6. c) Koska jäälautta on tasapainossa, on voiassa yhtälö Σ F = 0 eli N + G kok = 0. Kun suunta ylös valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö ρvvg g + jää g = 0. Koska tilavuus on V = Ah ja assa = ρv, saadaan yhtälö ρv Ahg = g + ρjää Ahg. Ratkaistaan yhtälöstä jäälautan pinta-ala: A( ρ hg ρ hg) = g A v jää 70 kg = = 3 3 ρvh ρjääh 000 kg/ 0,5 930 kg/ 0,5 4. 7. c) Rinteen suuntainen koponentti on F = Fcos4 = 70 N cos4 60 N. x 8. b) Mekaanisen energian säilyislain ukaan on v = gh, josta nousukorkeus on 4 /s 3,6 v h = = 6,6. g 9,8 /s 9. a) Työperiaatteen ukaan on v = µgs, josta kitkakerroin on v (8,5 /s) µ = = 0,67. gs 9,8 /s 5,5 0. b) Ipulssiperiaatte F t = p saadaan uotoon F t = v v0. Kun pallon alkuperäinen liikesuunta valitaan negatiiviseksi, voian suuruus on v v0 0,5 kg 3 /s 0,5 kg ( 8 /s) F = = 380 N. t 0,00 s. a) Ryhän ajoaika on,0 in + 5,0 in = 6,0 in. Pekan ajoaika on 5,0 in. Koska 5,0 k 6,0 kupikin ajaa saan atkan (s = vt), saadaan yhtälö vpekka h = 0 h,, 60 h 60 josta Pekan nopeus on v Pekka = 4 k/h. b) Pyöräilijän polkiessa pyörän ja aan välinen kitka vie pyörää ja pyöräilijää eteenpäin tietyllä teholla. Vauhdin kasvaessa yös ilanvastus kasvaa ja uuttaa kasvavalla teholla ekaanista työtä esierkiksi läöksi. Lopulta ilanvastus ja uut liikevastukset ovat yhtä suuria kuin liikettä ylläpitävä kitka. Pyöräilijän ponnistellessa läkähtyäisillään tehot ovat aksiissaan. Alaäessä yös painovoia tekee työtä ja uuttaa potentiaalienergiaa liike-energiaksi, utta lopulta loivassa alaäessäkin saavutetaan rajanopeus, jos äki on tarpeeksi pitkä. 0
. a) Marjatan nopeus Tuijaan nähden on v = 3,0 /s,8 /s = 0,0 /s. b) Tuijan koordinaatistossa Marjatan nopeus on 0,0 /s ja Marjatan kulkea atka 50. s 50 Näin ollen t = = 50 s v 0,0 /s =. c) Marjatta juoksee (Maan koordinaatistossa) nopeudella 3,0 /s 50 sekunnin ajan eli atkan s = vt = 3,0 /s 50 s = 750. 3. a) Koneen alkunopeus on v 0 = 0 /s ja loppunopeus v = 0 k/h 6, /s. Sijoittaalla aika t = v/a atkan yhtälöön s = at koneen kulkea atka on v v (6,/s),5/s s = at = a = = a a 750. b) Koneen kiihtyvyys yötätuulessa on a t =,6 /s. Koneen nopeuden tulee olla ilan suhteen v i = 6, /s. Koska yötätuuli on v t = /s, nopeus aan suhteen on v = v i + v t = 6, /s + /s = 7, /s. v (7,/s) Edellisen a-kohdan ukaan nousukiidon pituus on s = = a,6/s t,0 k. 4. a) Kuljettu atka saadaan fysikaalisena pinta-alana: aikaväli 0,0 s...4,0 s: s =,0 /s 4,0 s = 4,0 ja aikaväli 4,0 s...6,0 s: s =,0 /s,0 s =,0. Kokonaisatka on s = s + s = 4,0 +,0 = 6,0. b) Etäisyys lähtöpaikasta on 4,0,0 =,0. s 6, 0 c) Keskinopeus on vk = = 0,86 /s. t 7, 0 s 5. a) Raitiovaunu saavuttaa nopeuden 8,0 /s 8,0 sekunnissa. Tässä ajassa raitiovaunu kulkee atkan 0,0 8,0 0 s = v k t = v v + + t = s s t = 8,0 /s 8,0 s = 3. Jarrutettaessa kuljetaan saoin 3. Huippunopeudella 8,0 /s kuljetaan atka 00 (3 + 3 ) = 36. 03
s 36 Tähän kuluu aikaa t = = = 7 s. v 8, 0 /s Lyhin aika on siis t in = 8,0 s + 7 s + 8,0 s = 33 s. [ v] /s b) Yksikkö on [ a] = = = = /s t s s s [ ] 6. a) Auton loppunopeus 8,0 sekunnin kuluttua on v = at = 3,0 /s 8,0 s = 4 /s. v0 + v b) Keskinopeus on v k = = (0 /s + 4 /s) = /s. c) Auton kahdeksassa sekunnissa kulkea atka on s = v k t = /s 8,0 s = 96. (Toinen tapa: s = at = 3,0 /s (8,0 s) = 96.) 7. a) Junan suurin nopeus kuvatulla aikavälillä on luettavissa kuvaajan yliästä pisteestä. Suurin nopeus on likiain 0,5 /s. b) Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kohtaan t = 4 s piirretyn tangentin fysikaalisena kulakertoiena: v v v /s 0 /s a(4s) = = = 0,5 /s. t t t 8s 7,0s /s 0 nopeus 5 0 5 aika 0 0 5 0 5 0 5 30 s c) Keskinopeuden laskeiseksi tarvitaan kuljettu atka, joka on (t, v)-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala. Kuvaajan ja t-akselin välinen alue aikavälillä 0,0 s 5,0 s on,5/s s kolio. Matkan uutos on s = = 75. Junan keskinopeus aikavälillä 0,0 s 5,0 s on v k s 75 = = = 5,0/s. t 5s 04
8. a) Ilapallon assa koostuu pallon assasta ja sen sisällä olevan ilan assasta. Ilapalloon kohdistuu paino G. Ilasta palloon kohdistuu noste N ylöspäin. Noste on yhtä suuri kuin pallon syrjäyttään ilan paino. Kun pallo liikkuu ylöspäin, palloon vaikuttaa liikkeen suuntaan nähden vastakkaissuuntainen ilanvastus F. i Ilapallon liikeyhtälö on F = a. Palloon vaikuttaa kole voiaa, joten kokonaisvoia on F = G+ N + F. i b) Maa vetää puoleensa ilapalloa voialla G. Tään voian vastavoia on voia, jolla ilapallo vetää aata ylöspäin. Noste N aiheutuu ilasta ja kohdistuu ilapalloon. Nostevoian vastavoia aiheutuu pallosta ja kohdistuu ilaan. Ilanvastus F i aiheutuu ilasta ja kohdistuu palloon. Ilanvastusvoian vastavoia aiheutuu pallosta ja kohdistuu ilaan. 9. Oletetaan ilanvastus pieneksi kuassakin kohdassa. a) Kuvassa on esitetty jyrkässä äessä olevan kelkan nopeus- ja kiihtyvyysvektorit: Kelkkaan vaikuttava kokonaisvoia on painon, rinteen tukivoian ja kitkavoian sua eli Σ F = G+ N + F µ. Kun suunta rinteen suunnassa alas on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö Σ F = g sin α F µ. b) Pallon nopeus on käyrän (paraabelin) tangentin suuntainen. Palloon kohdistuu paino, joka aiheuttaa pallolle kiihtyvyyden. Kiihtyvyyden suunta on alaspäin. Kokonaisvoia on Σ F = G. G 05
0. Voian x-suuntainen koponentti on F x = N cos45 5 N cos60 9,0 N cos0 + 6,0 N cos50 3,65 N. Voian y-suuntainen koponentti on F y = N sin45 + 5 N sin60 9,0 N sin0 6,0 N sin50 3,80 N. Voia resultantti on suunta: R= F + F = ( 3, 65 N) + (3,80 N) 4 N ja voian x y Fy 3,80 N tan β = =, josta kula β 75. F 3,65 N x Resultanttivoian suunta on origosta vasealle yläviistoon. Suuntakula negatiivisen x-akselin suhteen on 75, positiivisen x-akselin suhteen 05.. Vektorit T, T ja G toteuttavat ehdon Σ F = 0. Narujen jännitysvoiat saadaan yhtälöistä T sin 55 =, G josta jännitysvoian T suuruus on T = gsin55 = 7,3 kg 9,8 /s sin55 59 N, ja T sin 35 =, G josta jännitysvoian T suuruus on T = gsin35 = 7,3 kg 9,8 /s sin35 4 N. Jännitysvoiat ovat narujen suuntaiset. 06
. a) F vast + F b) Raketin liikeyhtälö on Σ F = a eli F + Fvast + G = a. Kun raketin liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F vast G = a. Raketin kiihtyvyydeksi saadaan a F Fvast G 6450 N 470 N 450 kg 9,8/s 450 kg = = =. c) Raketin nousuatka on s = at = (3,4789 /s ) (3,0 s) 6. 3, 4789 /s 3,5/s 3. Punnuksen liikeyhtälö on Σ F = a eli T + G = a. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T g = a. a) Koska punnus liikkuu vakionopeudella, kiihtyvyys on nolla. Yhtälöstä T g = 0 jousivaa an lukeaksi saadaan T = g =,6kg 9,8/s 6 N. + T a = 0 G b) Kun hissi lähtee alaspäin, skalaariyhtälö on T g = a. Jousivaa an lukea on T g a g a = = ( ) =,6 kg (9,8 /s,7 /s ) 3 N. + T a G c) Kun hissi lähtee ylöspäin, skalaariyhtälö on T g = a ja lukea T g a g a = + = ( + ) =,6 kg (9,8 /s +,7 /s ) 8 N. 07
4. Kiihtyvyys a =Δv/Δt on vakio kaikilla alla olevilla aikaväleillä. Hissin kiihtyvyydet saadaan kuvaajasta fysikaalisena kulakertoiena:, 5 /s 0,0 s 4,0 s: a = = 0,375 /s 4,0s 4,0 s 0,0 s: a = 0 /s (liike on tasaista), 5 /s 0,0 s,0 s s: a3 = = 0,75/s.,0s Hissin liikeyhtälö on Σ F = a eli T + G = a. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T g = a kannatinvaijeria jännittävä voia on T = a + g. Kiihtyvyyksiä vastaavat jännitysvoiat ovat T = a + g = +, 480kg (0,375 /s 9,8/s ) 4,9 kn T = g = 480 kg 9,8 /s 4,7 kn ja T 3 = a 3 + g = (a 3 + g) = 480 kg ( 0,75 /s + 9,8 /s ) 4,3 kn. T + 5. Veturin kiihtyvyys on vaunua voialla v a = = t 0 3,6 s,0 s = 0,348 /s 0,3 /s. Veturi vetää F = a + 0,0050 G = a + 0,0050 g = 700 kg 0,348 /s + 0,0050 700 kg 9,8 /s,0 kn. 6. Aluksi liike on tasaisesti kiihtyvää, kunnes vauhdin kasvaessa ilanvastus pienentää kiihtyvyyden nollaan noin 3 sekunnissa. Tään jälkeen vauhti on vakio, kunnes noin 9 sekunnin kohdalla varjo alkaa avautua. Varjon avauduttua kokonaan vauhti pienenee arvoon 4 /s. 30 s:n jälkeen vauhti pysyy vakiona, kunnes hetkellä 0 s hyppääjä tulee aahan. Nopeuden ollessa vakio hyppääjän liikeyhtälö on Σ F = 0 eli Fi + G = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, G + F i = 0, joten ilanvastus F i on yhtä suuri kuin hyppääjään kohdistuva paino G (varusteineen). Näin ollen ilanvastus on F i = G = g = 95 kg 9,8 /s 930 N. Kuvassa on laskuvarjohyppääjä ennen varjon avautuista ja hyppääjään kohdistuvat voiat, kun nopeus on vakio. Hyppääjän kiihtyvyys hetkellä 0 s saadaan piirtäällä kuvaajalle tangentti ja laskealla sen fysikaalinen kulakerroin: kiihtyvyys on noin,4 /s. Hyppykorkeus saadaan fysikaalisen pinta-alan avulla. Yksi ruutu vastaa korkeutta,0 s 5,0 /s = 0. Koska ruutuja on noin 80, korkeudeksi saadaan 800. 08
7. a) Laatikon liikeyhtälö on Σ F = a eli F = µ a. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F µ = a. Laatikon kiihtyvyys on Fµ µ g a = = = µ g = 0,39 9,8 = 3,859 3,8, s s s joka on saalla suurin kiihtyvyys, jolla auto voi lähteä liikkeelle. Vetokoukkuun vaikuttava voia on F = a = 35 kg 3,859 /s 900 N. b) Auton pyörien ja tienpinnan välinen kitka antaa kiihtyvyyden koko systeeille. Liikeyhtälöstä F = a saadaan skalaariyhtälö F μ = μ a g = kok a. Kitkakerroin on μ = a (50 kg + 70 kg + 65 kg) 3,859 /s kok g = a 50 kg 9,8/s 0,47. 8. a) Liikettä ylläpitävä pienin voia on yhtä suuri kuin kitka eli F = µn = µg = 0,30 5,0 kg 9,8 /s = 4,74 N 5 N. Kappale liikkuu, jos siihen kohdistuva voia on vähintään 5 N. b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ F = a eli F + Fµ = a. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Kappale on kiihtyvässä liikkeessä. Skalaariyhtälöstä F F µ = a kappaleen kiihtyvyys on F Fµ a = = 5,0 kg 4 N 4,75 N,9 /s. 9. a) Kappaleen liikeyhtälö on Σ F = a eli F + F = a. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F µ = a eli F µg = a. Kitkakerroin on F a 4,0 N,0 kg,0 /s µ = = g,0 kg 9,8 /s µ = 0,039 0,0. b) Kun liike on tasaista, vetävän voian F ja liikevastusten, tässä tapauksessa kitkan F µ, sua on nolla eli Σ F = 0. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan F F μ = 0. Vetävä voia on F = F μ = μg = 0,039,0 kg 9,8 /s,0 N. Vetävä voia tekee työtä saalla teholla kuin liikevastukset uuntavat ekaanista työtä uihin energiauotoihin esierkiksi läöksi ja ääneksi. Myös pintojen kuluinen vaatii energiaa. 09
30. Koska reki liikkuu vakionopeudella, on F x = 0 eli Fx + F µ = 0. Valitsealla suunta oikealle positiiviseksi saadaan Fx F µ = 0 eli Fcosα µ N = 0. Kitkakertoieksi saadaan cos = F α µ. N Kitkakertoien laskeiseksi tarvitaan vielä suureyhtälö tukivoialle N. Pystysuorassa suunnassa voiien sua on nolla eli G+ N + F y = 0. Kun suuntasopius otetaan huoioon, saadaan skalaariyhtälö G+ N + F y = 0, josta tukivoialle saadaan yhtälö N = G F = g Fsinα. y Kun tukivoian yhtälö N = g Fsinα sijoitetaan kitkakertoien yhtälöön cos = F α µ, kitkakertoieksi saadaan N Fcosα Fcosα 85 N cos3 µ = = = 0,0. N g F sinα 78 kg 9,8 /s 85 N sin 3 3. Auton liikeyhtälö on Σ F= a eli F + F + T = a. µ v Kun auton liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F F, µ v T = a jossa on auton assa. Perävaunun liikeyhtälö on Σ F= a eli T+ Fv = a. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Skalaariyhtälö on T Fv = a. Lasketaan skalaariyhtälöt puolittain yhteen. Fµ Fv T a = T Fv = a Yhtälöstä F F v F = µ v a + a asuntovaunuun kohdistuva liikevastusvoia F v on F = F F ( + ) a v µ v = + = 3,8 kn 0,3 kn (0 kg 860 kg), /s 3 N,3 kn. Auton vetokoukkuun kohdistuva voia on T= a+ F v = + 860 kg, /s 3 N,3 kn. 0
3. a) Hiihtäjän liikeyhtälö rinteen suunnassa on Σ F = a eli Gx + Fµ = a. Valitaan suunta rinnettä alaspäin positiiviseksi. Saadaan skalaariyhtälö G F = a. Ratkaistaan yhtälöstä hiihtäjän kiihtyvyys: Gx Fµ Gx µ N Gx µ Gy a = = = g sinα µ g cos α ( g sinα µ g cos α) = = = gsinα µ gcosα = = s 9,8/s sin5 0, 9,8/s cos5 3, 07898 3,. x s µ b) Yhtälöstä s s 5 = = 4,0 s. a 3,07898 /s = at saadaan ajaksi t c) Massalla ei ole erkitystä tätä allia käytettäessä, koska sen tunnus supistuu laskuista pois. 33. a) Koska luilautailija on paikallaan, tasapainoehto on Σ F = 0 eli Gx + F µ = 0. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö Gx F µ = 0 eli Gsinα µ N = 0. 0 Gsinα Gsinα Gsinα Lähtökitkakerroin on µ 0 = = = = tanα = tan 7, 0 0,. N G Gcosα y b) Liukukitkakerroin on pienepi kuin lepokitkakerroin. Tästä johtuen liukukitka F µ (liuku) on pienepi kuin lepokitka ja a-kohdassa laskettu painon pinnan suuntainen koponentti G x. Liikeyhtälö saa uodon Σ F = Gx Fµ (liuku) = a, jossa kiihtyvyys a ei ole kuitenkaan vakio, koska ilanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa. Lopulta voiien sua on nolla. Tällöin lautailijan nopeus on vakio, jos rinteen kaltevuus ei uutu tai jos lautailija ei uuta ilanvastusta esierkiksi eneällä kyykkyyn.
34. a) Kitka on Fµ = µ N = µ ( Fy + Gy) = µ ( Fsinα + Gcos α) = 0,5 (45N sin + 4,5kg 9,8/s cos ) = 8,668 N 8,7 N. b) Liikeyhtälö tason suunnassa on Σ F = a eli F + F + G = a. x µ x Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö Fcosα F μ Gsinα = a. Kiihtyvyys on F cosα Fµ g sinα a = 45 N cos 8,668 N 4,5 kg 9,8 /s sin = 3, 7 /s 4,5kg 35. Koska hiihtäjä liukuu vakionopeudella, häneen vaikuttavien voiien sua on nolla: Σ F = 0 eli Fi + Fµ + G x = 0. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin Fi Fµ + G x = 0 ja ilanvastus on Fi = Gx Fµ = g sin α µ N. Hiihtäjän liikeyhtälö y-suunnassa on F y = 0 eli N + G y = 0. Valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Tällöin on N = Gy = g cosα. Sijoitetaan tukivoia ilanvastuksen yhtälöön, jolloin saadaan Fi = g sinα µ N = g sinα µ g cos α = g(sinα µ cos α) = 7kg 9,8/s (sin8,0 0, cos8,0 ) 4,4 N. Kuvaajasta saadaan tätä ilanvastusta vastaava nopeus, joka on 4 /s.
36. Koska köyden jännitysvoia on kaikkialla saa, voidaan erkitä T = T = T. Kappaleen liikeyhtälö on F= a eli T+ G. + F = a x µ Kun valitaan suunta tason suuntaisesti yläviistoon positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T G F = a eli T g sin 30 µ N = a ja edelleen x µ T gsin 30 µ gcos30 = a. Kappaleen liikeyhtälö on F= a eli T + F + G = a. µ x Kun valitaan suunta tason suuntaisesti yläviistoon positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T+ Fµ Gx = a eli T+ µ N g sin 60 = a ja edelleen T+ µ gcos 60 gsin 60 = a. Kirjoitetaan yhtälöt allekkain: T gsin 30 µ gcos30 = a T+ µ g cos 60 g sin 60 = a. Kun alepi yhtälö kerrotaan luvulla ja lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, saadaan g sin 30 µ g cos 30 µ g cos 60 + g sin 60 = a( + ). Yhtälöstä saadaan systeein kiihtyvyydeksi a gsin 30 µ gcos30 µ gcos 60 + gsin 60 + =,7 /s. 3
37. Vedessä aluiinipalaan kohdistuva noste on N =,0 N 0,63 N = 0,39 N. 0,39 N 9,8 /s 5 3 Aluiinipalan tilavuus on V = = 3,9755 0. Noste bensiinissä on 3 ρ 000 kg/ 0, 7 N 9,8 /s 3,0 N 0,75 N = 0,7 N. Bensiinin tiheys on ρ = = 690 kg/. 5 3 V 3,9755 0 38. Olkoon x purettavan lastin assa. Laivaan kohdistuvan nosteen on oltava saa Suoenlahdella kuin Atlantilla. Saadaan yhtälö ρ A Vg = ρ S Vg. Koska tiheys on ρ = /V, tilavuudelle saadaan yhtälö V = /ρ. Ratkaistaan yhtälöstä ρ x = A ρ purettavan S ρ ρ lastin assa: ρa ρax= ρs. Massaksi saadaan ρ ρ x = = 3 3 3 ( A S) 000 0 kg (06 kg/ 004 kg/ ) 3 ρa 06 kg/ 60 000 kg. 39. Liikeyhtälö on Σ F = a eli G + N = a. Kun suunta alaspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö g N = a. Koska assa on = ρv ja noste N = ρvg, saadaan yhtälö ρavg ρvvg = ρava, josta kiihtyvyydeksi saadaan ρavg ρvvg ρag ρvg (,70 g/c,00 g/c ) 9,8 /s a = = = 3 ρav ρa,70 g/c 6, /s. 3 3 Veden virtausvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, joten kiihtyvyys pienenee. Jos vesi on tarpeeksi syvä, saavutetaan lopulta tilanne, jossa noste ja virtausvastus ovat yhdessä yhtä suuria kuin kappaleen paino. Tällöin kiihtyvyys on nolla ja kappaleen nopeus vakio. 40. a) Uponnut laiva syrjäyttää väheän vettä kuin kelluva laiva, joten veden pinta laskee. b) Syveällä vedessä hydrostaattinen paine on suurepi. Tästä syystä pallon tilavuus pienenee. Syvällä noste on siis pienepi, koska se riippuu pallon tilavuudesta. Ilapallo uppoaa, koska noste pienenee utta ilapalloon kohdistuva paino pysyy saana. 4
4. Pallon liikeyhtälö Σ F = Ma eli N + G = Ma, jossa M on kokonaisassa ja N noste. Kun suunta ylös valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö N G = Ma eli N Mg = Ma. Kun pallo laskeutuu, on N = Mg Maalas. Jotta pallo nousisi ylöspäin, assaa on kevennettävä äärällä. Saadaan yhtälö ( M ) aylös = N ( M ) g eli Ma a = M ( g a ) Mg + g. ylös ylös alas Massaksi saadaan Ma + Ma + ylös alas 0 kg (0,03 /s 0, /s ) = = g+ aylös 9,8 /s + 0,03 /s 30 kg. 4. Koska jokaisen esineeseen kohdistuva paino G = g ilassa tiedetään, voidaan G laskea jokaisen esineen assa yhtälöstä =. g esine 3 4 5 6 /g, 6,5 39,8 54,0 70,3 80,5 Koska esineet punnittiin sekä ilassa että vedessä, saadaan noste erotuksesta N = G G. ila vesi Noste on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttään väliaineäärän paino. Syrjäytyneen veden paino on Gvesi = N = vesig = ρvesivvesig = ρvesivesine g. Esineen tilavuus on Vesine = N. ρ g vesi Lasketaan nosteen ja tilavuuden arvot ja kirjoitetaan ne taulukkoon. esine 3 4 5 6 noste (N) 0,0 0,03 0,05 0,07 0,0 0,0 3 tilavuus ( c ),0 3, 5, 7, 0, 0, 5
Piirretään taulukkotietojen perusteella kuvaaja (, V)-koordinaatistoon. Kuvaajaksi saadun suoran fysikaalinen kulakerroin on 3 3 V V V 8,9c 0c 0,7c 3 k = = = /g. 70g 0g Tiheyden yhtälöstä ρ = saadaan tilavuudelle yhtälö V. V = ρ = ρ Verrataan tätä yhtälöä origon kautta kulkevan suoran yhtälöön, joka on uotoa y = kx. Huoataan, että kulakerroin on k =. ρ 3 Tiheydeksi saadaan silloin ρ = 7,9g/c. 3 k = 0,7c /g 6
43. Voian tekeä työ (s, F)-koordinaatistossa on sen alueen fysikaalinen pinta-ala, jota rajoittavat kuvaaja F = N (6,0 N/) s, s-akseli sekä pystysuorat suorat kohdissa s = 0,0 ja s = 3,0. Voian tekeä työ on W = 8 N 3,0 + 3,0 N 3,0 = 36 J. 44. a) Laukkuun kohdistuvat voiat ovat paino, aan pinnan tukivoia, käden vetävä kosketusvoia ja kitka. Ilanvastusta ei oteta tehtävässä huoioon. b)voian liikkeen suuntainen koponentti on F x, joten työtä tekevän voian suuruus on F x = Fcos α = 6 N cos 35 =,30 N N. c) Voian tekeä työ lasketaan voian liikkeen suuntaisen koponentin F x avulla, joten voian tekeä työ laukun siirtäiseksi on W = F x s =,30 N 650 4 kj. d) Kitka on yhtä suuri kuin vetävän voian liikkeen suuntainen koponentti, utta vastakkaissuuntainen, joten kitkan tekeä työ on W µ = F µ s =,30 N 650 4 kj. e) Laukku liikkuu tasaisella nopeudella, joten laukun liikeyhtälö on F = Fx + F µ = 0. Sovitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö F x F µ = 0, eli F x = F µ. Liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa laukun liikeyhtälö on F = Fy + N + G = 0. Valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä F y +N G = 0 pinnan tukivoia on N = G F y = g Fsin α. Kitkan suuruus on F µ = µn, toisaalta F µ = F x = Fcos α, joten kitkakerroin on Fµ F cosα 6 N cos 35 µ = = = 0,3. N g F sinα 8,0 kg 9,8 6 N sin 35 s 7
s 0 k 45. Junan nopeus on v = = = 70k /h. Tehon yhtälöstä P = Fv junan kulkua t 3, 0 h P 750 kw vastustava keskiääräinen voia on F = = 39 kn. v 70 3,6 s ηe ηgh ηρvgh 46. Vesivoialaitoksen teho on P t t t 6 P 0 W saadaan h = =. 3 3 ηρvg 0,80 000 kg/ 40 9,8/s t, 0 s p = = =, josta pudotuskorkeudeksi 3 47. Tuulivoialaitoksen teho on P= η ρπ rv, josta tuulivoialaitoksen siiven 3 J 86 0 P pituudeksi saadaan r = = s. 3 3 η ρπv kg 0,3, 9 π 6,5 3 s 48. a) Nopeuden pystykoponentti on v y = 3 /s sin 5 0,3 /s. b) Jos kiipeäisessä tehty työ on gh ja kitkatyö,5gh, kokonaistyö on gh +,5gh =,5gh.,5gh,5 80kg 9,8/s 0,6 Juoksuteho on P = = 500 W. t, 0 s c) Koska hyötysuhde on P P juoksu kok Hukkateho on 500 W 600W = 900 W. 600W = 0, 40, kokonaisteho on P kok = = 500W. 0, 40 d) Hauhduttaiseen tarvitaan enrgiaa E = Pt = 900 W 60 s = 54 kj. Haihtuva hikiäärä saadaan veden oinaishöyrystyisläön avulla. Hien assa on E 54kJ = = 4g. r 60 kj/kg 8
49. Junaan kohdistuvan kokonaisvoian tekeä työ on työperiaatteen ukaan yhtä suuri kuin junan liike-energian uutos, eli W = Ek = v v = ( v v ) = 80 5 490 000 kg 37, MJ. 3, 6 s 3, 6 s Keskiääräisen kokonaisvoian tekeä työ on W = F k s, joten junaan kohdistuva liikkeen suuntainen kokonaisvoia on keskiäärin F k 6 W 37, 0 J = = 4 kn. s 7600 Huoaa, että työperiaatteen ukaan kokonaisvoian tekeä työ on yhtä suuri kuin liikeenergian uutos, alaäen kaltevuudesta ei tarvita tietoa. Junaan kohdistuva kokonaisvoia liikkeen suunnassa koostuu lepokitkasta, joka kohdistuu vetäviin pyöriin, liikevastuksista ja painosta (painon radan suuntaisesta koponentista). 50. a) Kaikilla vaunuilla on yhtä suuri nopeus kohdassa A, koska jokaisen ekaaninen energia säilyy. b) Suurin kiihtyvyys on vaunulla. Tää johtuu siitä, että kohdassa A vaunun painon tason suuntainen koponentti on suurepi kuin uilla vaunuilla. c) Kun vaunut lähtevät liikkuaan alas, vaunun 3 kiihtyvyys on alussa suurin, joten alussa vaunulla 3 on suurin nopeus. Koska kaikilla vaunuilla on lopussa yhtä suuri nopeus, vaunun 3 keskinopeus on suurin. Pisteen A ohittaa ensiäisenä vaunu 3, sillä vaunun 3 keskinopeus on suurin. 5. Oletetaan ilanvastus vähäiseksi, joten ekaaninen energia säilyy. Mekaanisen energian säilyislaki on E p,a + E k,a = E p,l + E k,l eli gha + va = ghl + vl. Valitaan potentiaalienergian nollatasoksi lähtötaso hiekkakuopassa. Saadaan yhtälö 0 + va = ghl + vl, joten vl = va ghl. Pallon vauhti sen osuessa reikään on ( ) v = va gha = 5,4 9,8,4,3/s. s s Huoaa, että pallon lentoradasta ei tarvita itään tietoja. 9
5. Mekaaninen energia säilyy, jos vaunuun kohdistuva ilanvastus on likiain nolla. Mekaanisen energian säilyislaki on E p,a + E k,a = E p,l + E k,l eli gha + va = ghl + vl. Valitaan vaunun asea aleassa eli jälkiäisessä ittauspisteessä potentiaalienergian nollatasoksi, joten E p,l = 0 J. Ensiäisen ittauspaikan asea pystysuunnassa nollatason suhteen on h a = l sinα, kun α = 8,0 ja l =,0. Mekaanisen energia säilyislain ukaan on gl sinα + va = 0 + vl, joten v = gl sinα + v. Tää ukaan nopeuden pitäisi olla potentiaalienergian nollatasolla l l a v = gl sinα + v = 9,8 /s,0 sin8,0 + (0,34 /s),8 /s. a Huoaa, että vaunun assalla ei ole erkitystä. 53. Mekaanisen energian säilyislain ukaan on ka = v + kx. Koska kappaleen liike-energia on puolet kappaleen potentiaalienergiasta, saadaan yhtälö ka = kx + kx, josta ratkaistaan poikkeaa x: A= x + x A= 3x x = A. 3 A Kappaleen poikkeaaksi saadaan x =. 3 Koska kappaleen liike-energia on puolet kappaleen potentiaalienergiasta, on yös voiassa yhtälö ka = v + v, josta ratkaistaan kappaleen nopeus v: ka = v + v ka = 3v ka v =. 3 Kappaleen nopeudeksi saadaan ka v =. 3 0
54. a) Osa auton liike-energiasta uuntuu jousen energiaksi ja osa kitkatyöhön jousen puristuisatkalla x. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan eristäättöässä systeeissä on v kx Fµ x = 0. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö kx + F x v = 0 µ ± x = k Fµ ( Fµ ) 4 k( v ) ( ) 50 N ± ( 50 N) 4 5 000 N/ 80kg (,0 /s) = 5 000 N/ x= 0,0584 0,058 tai x= 0,0957 0,09. Negatiivinen arvo ei kelpaa, sillä se tarkoittaisi, että kitka lisäisi systeein ekaanista energiaa töräyksen aikana. Jousen kokoonpuristua on 5,8 c. b) Hidastuvuus on suurin, kun jousi on töräyksessä puristunut ääriasentoonsa. Tällöin suurin jousen voia on F ax = kx = 5 000 N/ 0,0584 873,6 N. Newtonin II lain ukaan on F kok = a ax. Suuriaksi kiihtyvyydeksi saadaan Suurin hidastuvuus on 4 /s. a F 873,6 N 50 N 80 kg 4 /s kok ax = =. c) Kitkan tekeä työ uuntaa haroniseen jouseen varastoituneen energian uihin energiauotoihin: yhtälöstä kx = F μ s auton liikkua atka töräyksen jälkeen on s = kx = F µ N 5 000 (0,0584) 50 N 0,076. Vähennetään auton liikkuasta atkasta jousen puristua: 0,76 c 5,84 c 4,4 c. Auton puskuri jää 4,4 c etäisyydelle seinästä. 55. a) Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan E p,a + E k,a + W = E p,l + E k,l, jossa W = Fs on liikevastusten tekeä työ. Valitaan auton painopisteen asea pystysuunnassa potentiaalienergian nollatasoksi. Auto pysähtyy lopuksi, joten ekaniikan energiaperiaate on 0 + E k,a + Fs = 0 + 0, kun s jarrutusatka. Liikevastukset ovat F 79 v 00 kg Ek,a 3,6 s = = = = s Voian suunta on liikesuuntaa vastaan. 3,00 kn 3,0 kn. s 96
b) Mekaniikan energiaperiaate E p,a + E k,a + W = E p,l + E k,l kirjoitetaan a-kohdan perusteella nopeaalle autolle: 0 + E k,a Fs = E k,l eli va Fs = vl. Yhtälö sievenee uotoon v = v Fs. Auton nopeus töräyshetkellä on l a v l 04 00 kg 300 N 96 va Fs 3, 6 s k = = = 8, 79 68. 00 kg s h 56. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan on v W gh + = eli v Fs gh. + = Keskiääräinen liikevastusvoia on 75 gh v 50 kg 9,8 50 kg ( ) s 3,6 s F = = 780 N. s 60 Liikevastusvoia on noin 780 N. 57. Mekaniikan energiaperiaatteen ukaan eristäättöässä systeeissä on a l Ep + W = Ep. Kun koira vetää kelkkaa ja lasta, kelkkaan kohdistuva voia tekee työtä, joka on yhtä suuri kuin kelkan ja lapsen potentiaaienergian uutos ja kitkan kelkkaan tekeä työ. Tätä työtä sanotaan koiran tekeäkis työksi. Työ on Wkoira = Ep + Wvast = gh + Fµ s = gh + µ Ns h = gh + µ g cos α = gh ( + µ cos α ) sinα sinα cos9 = 8kg 9,8/s 8, 0 ( + 0, 0 ), kj. sin9 s + F G x h G G y b) Reitistä riippuatta potentiaalienergian uutos on saa. Kitkan voittaiseksi tehty työ kasvaa loivepia reittejä valittaessa, koska atka kasvaa.
58. Ipulssiperiaatteesta F t = v saadaan nopeuden uutokseksi F t 0 N 0,50 s v = = =,0 / s. Nopeus on 5,0 kg v= v0 + ( v) = (3, 0 /s ) + (, 0 /s ) 3, 6 /s. Nopeuden suunta saadaan yhtälöstä v, 0 / s tan α = =, josta α 34. vo 3, 0 / s Nopeus on 3,6 /s ja nopeuden suunta poikkeaa 34 alkuperäisestä liikesuunnasta. 59. Liikeäärä säilyy töräyksessä. Liikeäärän säilyislaki kiottoassa töräyksessä on v + v = ( + ) u. Kun hitaaan auton suunta valitaan v + v = ( + ) u. Autojen nopeudeksi positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö ( ) töräyksen jälkeen saadaan 54 08 8 000 kg + 500 kg v + ( v) 3,6 s 3,6 s u = = + 8 000 kg + 500 kg = 3, 4 k/h. s Nopeus on noin k/h nopeaan auton liikkeen suuntaan. 60. a) Matkustajan liikeäärän uutos on p = v. Voian F ipulssi atkustajaan v on yhtä suuri kuin atkustajan liikeäärän uutos eli F t = v, joten F =, t voia on suoraan verrannollinen nopeuden uutokseen ja kääntäen verrannollinen voian vaikutusaikaan. Voian F vaikutusaika t atkustajaan on likiain yhtä suuri oleissa autoissa. Matkustajan nopeuden uutos v kevyessä autossa on suurepi kuin raskaassa autossa, joten kevyeässä autossa atkustajaan kohdistuu suurepi voia (esi. turvavyön voia), joka aiheuttaa pahepia ruhjeita. Lisäksi raskaat autot ovat rakenteeltaan vahvepia kuin kevyet autot, ja siksi atkustajat ovat parein suojattuja. b) Jos turvavyötä ei ole, atkustaja jatkavuuden lain ukaan jatkaa liikettään ja törää edessään oleviin esteisiin. Tällaisessa töräyksessä pysäyttävä voia kohdistuu usein pienelle alueelle, jolloin syntyy vaoja. Lisäksi töräyksen vaikutusaika on pieni, joten pysäyttävä voia on suuri. Turvavyötä käytettäessä vyö jakaa voian F vaikutuksen F laajealle alueelle A, jolloin kehoon voian vaikutuskohdassa kohdistuva paine p = A pienenee. Lisäksi turvavyöt joustavat, ikä pidentää voian vaikutusaikaa ja siten voia pienenee. Nää oleat tekijät vähentävät vaoja. Matkustajan törätessä turvatyynyyn voia jakautuu laajalle alueelle, jolloin kehoon kohdistuva paine tyynyn kohdalla jää pieneksi. Myös turvatyynyt joustavat. Moleat seikat vähentävät vaautuisriskiä. 3
6. Oletetaan, että auto liikkuu pitkin x-akselia ja auto pitkin y-akselia, kupikin positiiviseen suuntaan, ja että autot töräävät origossa. Autot tarttuvat töräyksessä yhteen, joten töräys on kioton. Kokonaisliikeäärä säilyy eli v + v = ( + ) u. Liikeäärä säilyy yös x- ja y-suunnissa koponenteittain: v = ( + ) u x ja v = ( + ) u y. Ratkaistaan nopeuden u koponentit: u u v 700 kg 33 k/h x = = + 700 kg + 500 kg v 500kg 54k/h y = = + 700 kg + 500 kg 3,36 k/h 3,4 /s. Autojen yhteinen nopeus töräyksen jälkeen on ja u = u + u = (3,36 k/h) + (3,4 k/h) 35 k/h. x y Suuntakula α positiivisen x-akselin suhteen saadaan trigonoetrian avulla: uy 3,4 k/h tan α = =, josta α 67. u 3,36 k/h x 4