TEHTÄVIEN RATKAISUT. s = 6,0 m + 6,0 m = 12 m.

Transkriptio

1 TEHTÄVIEN RATKAISUT -. a) Kappaleen nopeus on suurin aikavälillä 0 0 s. b) Kappale liikkuu hitaimmin aikavälillä s. c) Kappale on liikkumatta aikavälillä 0 0 s, aikavälillä 0 30 s ja aikavälillä s. d) Kappaleen nopeus on negatiivinen aikavälillä s. -. a) Kappaleen siirtymä on Δx = x -- x = 4,0 m --,0 m =,0 m. Δx,0 m b) Nopeus on v = = =,0 m/s, suunta eteenpäin. Δt,0 s c) Kappaleen siirtymä on Δx = x -- x = --,0 m -- 4,0 m = -- 6,0 m. Δx / 6,0 m d) Nopeus on v = = = / 6,0 m/s:. nopeus on 6,0 m/s, suunta Δt,0 s taaksepäin. e) Kappaleen siirtymä aikavälillä 0,0 3,0 s on Δx = x -- x = (--,0 m) -- (,0 m) = -- 4,0 m. -3. a) Aluksi auto liikkuu eteenpäin 3,0 s ajan vakionopeudella. Tämän jälkeen auto lähtee taaksepäin pienemmällä nopeudella. Hetkellä 0,0 s auto on lähtöpaikassaan. Matka jatkuu vielä tästä taaksepäin, ja lopuksi auton paikka on 6,0 m lähtöpaikasta taaksepäin. b) Kappaleen aikavälillä 0,0 0,0 s kulkema matka on s = 6,0 m + 6,0 m = m. Tasainen liike

2 c) Nopeudet ovat Δx 6,0 m / 0,0 m 6,0 m v = = = =,0 m/s, suunta eteenpäin. Δt 3,0 s / 0,0 s 3,0 s ja Δx 0,0 m / 6,0 m / 6,0 m v = = = / 0,86 m/s : nopeus on 0,86 m/s, Δt 0,0 s / 3,0 s 7,0 s suunta taaksepäin. d) Nopeuden kuvaaja: Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

3 -4. a) Paikan kuvaaja: Suoran fysikaalinen kulmakerroin on kysytty ilmakuplan nopeus eli v = 6,6 cm/s. b) Nopeuden kuvaaja: Tasainen liike

4 -5. Koska valo heijastuu peilistä takaisin, peilin etäisyys on kerrottava kahdella, jotta saadaan valon kulkema matka. t (ns) s (m) 70 0,00 79, ,00 9 6, , ,00 3 3,00 Viedään mittausdata mittausohjelmaan. Suoran fysikaalinen kulmakerroin on kysytty valon nopeus eli c = 0,833 m/ns,8 0 8 m/s. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

5 -6. Valitaan liikkeen positiiviseksi suunnaksi liikkeen alkusuunta, paikan nollakohdaksi lähtöpiste (origo) ja ajan nollakohdaksi liikkeelle lähtemisen hetki. Paikka 30 minuutin kuluttua on s = vt = 3,5 m/s 800 s = 6300 m = 6,3 km. Koska paluumatkalla nopeus on myös 3,5 m/s, paluumatkaan kuluu aikaa 30 min. Kokonaisaika on siis 70 min. Liike t,x-koordinaatistossa: Liike t,v-koordinaatistossa: Tasainen liike

6 -7. Jääpalan paikka on x = x 0 + vt =,3 m +,9 m/s 4,5 s m. -8. Oikea vaihtoehto on b. Paikan yhtälöstä x = x 0 + vt nopeus on x/ x 8,3m / 0,35m 0 v = =,3 m/s. t 6,s -9. Pesäpallon nopeus on 50 km/h 4,6667 m/s. Reaktioajassa 0,0 s pallo kulkee matkan s = vt = 4,6667 m/s 0,0 s 8,3 m. Siepparin tulee olla vähintään noin 8,3 m etäisyydellä lyöjästä ehtiäkseen reagoida palloon. Δx 6,5 m -0. Ääneltä kuluva aika on Δtääni = = 0,04859 s. v 340 m/s Keilapallon matkaan kuluva aika on t kp = t -- t ääni =,4 s -- 0,04859 s =,3547 s. Keilapallon nopeus on v kp kp ääni Δx 6,5 m = = 7,0 m/s. Δt,3547 s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

7 -. a) Valitaan liikkeen positiiviseksi suunnaksi Sinin liikkeen suunta, paikan nollakohdaksi Sinin lähtöpiste ja ajan nollakohdaksi liikkeelle lähtemisen hetki. Tällöin Sinin rata on suora, joka alkaa origosta ja jonka fysikaalinen kulmakerroin on 5,0 km/h,4 m/s. Jonin rata on suora, joka lähtee pisteestä (t, x) = (0, 000 m) ja jonka kulmakerroin on 5 km/h 4, m/s. Suoran kulmakerroin on negatiivinen, koska Jonin siirtymä x on negatiivinen. b) Kuvasta todetaan, että Sini ja Joni kohtaavat pisteessä (t,x) (80 s, 50 m). Kohtaamispaikka on siis 50 m etäisyydellä Sinin lähtöpisteestä ja aikaa lähdöstä on kulunut 80 s. Tasainen liike

8 -. Koska kappaleen paikan kuvaaja on suora, kappaleen liike on tasaista. Kappaleen nopeus oli, cm/s. -3. Kappaleen nopeus aikavälillä 0,0 4,0 s on 8,0 m/s ja aikavälillä 4,0 7,0 s on 5,0 m/s. Kappaleen paikka -- hetkellä 0,0 s on x 0 = 5,0 m -- hetkellä 4,0 s on x = x 0 + vt = 5,0 m + 8,0 m/s 4,0 s = 37 m ja -- hetkellä 7,0 s on x = x 0 + vt = 37 m + 5,0 m/s 3,0 s = 5 m. Kappaleen rata: Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

9 -4 a) Tasaisessa liikkeessä olevan kappaleen nopeus on Δx x 5,5m,5m 4,0m / x / v = = = = =,0m/s. Δt t / t,0s / 0,0s,0s Kappaleen paikan yhtälö on x = x 0 + vt. Koska kappaleen paikka hetkellä 0 t = 0 s on x 0 =,5 m ja kappaleen nopeus v 0 =,0 m/s, kappaleen paikan m riippuvuus ajasta on x =,5m +,0 t. s b) Kappaleen nopeus t,v -koordinaatistossa: Kappaleen aikavälillä 0,5 s kulkema matka saadaan fysikaalisena pinta-alana: s = v t =,0 m/s,5 s = 5,0 m. Tasainen liike

10 TEHTÄVIEN RATKAISUT -. a) Mopoauto on lähtenyt liikkeelle levosta. Aikavälillä 0,0 6,0 s mopoauton nopeus kasvaa tasaisesti. Aikavälillä 6,0 0,0 s mopoauto etenee vakionopeudella. Aikavälillä 0,0 4,0 s mopoauton nopeus pienenee tasaisesti, ja lopuksi mopoauto pysähtyy. b) Aikavälillä 0,0 6,0 s mopoauton kiihtyvyys on a v v / v,0m/s / 0,0m/s = = = = t t/ t 6,0s / 0,0s,0 m/s. Aikavälillä 6,0 0,0 s liike on tasaista, joten kiihtyvyys a = 0 m/s. Aikavälillä 0,0 4,0 s kiihtyvyys on v v/ v 0,0m/s /,0m/s a = = = = / 3,0 m/s : kiihtyvyys on 3,0 m/s, t t/ t 4,0s / 0,0s kiihtyvyyden suunta on nopeuden suunnalle vastakkainen. c) Mopoauton 4,0 sekunnin aikana kulkema matka saadaan t,vkoordinaatistosta fysikaalisena pinta-alana. Kuvaajan ja t-akselin rajaama kuvio on puolisuunnikas. Kuljettu matka on 4,0s + 4,0s m s =,0 0 m. s Muuttuva suoraviivainen liike

11 -. a) Nopeus alkuhetkellä on 75 km/h m/s ja 3,0 sekunnin kuluttua 0 km/h 8 m/s. Nopeuden kuvaaja: b) Koska liike on tasaisesti kiihtyvää, keskinopeus voidaan laskea alku- ja loppunopeuden keskiarvona: v 75 km/h 0 km/h 0 + v + vk = = = 88 km/h. c) Kappaleen kulkema matka on 88 m x = vk t = 3,0s 73 m. 3,6 s -3. Tasaisesti kiihtyvään liikkeeseen liittyvät kuvaajat ovat a ja c. -4. a) Moottorikelkan loppunopeus on v = at = 4,0 m/s 0,0 s = 40 m/s. b) Kelkan keskinopeus on v v + v 0 m/s + 40 m/s 0 k = = = 0 m/s. c) Kelkka kulkee matkan s = at = 4,0m/s (0,0s) = 00 m. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

12 -5. Paikan kuvaaja: Nopeuden kuvaaja: Kappaleen liike on mittaustarkkuuden rajoissa tasaisesti kiihtyvää. Kiihtyvyys saadaan aika-nopeus-koordinaatistosta fysikaalisena kulmakertoimena; kiihtyvyys on 0,4 m/s. Muuttuva suoraviivainen liike

13 -6. a) Moottoripyörän kiihtyvyys on m m m v v s s s m m a = = = = 3, ,3. t 3,0s 3,0s s s b) Ohituksen aikana pyörä kulkee matkan m m s = v0t + at = 5 3,0s + 3,33333 (3,0s) 60 m. s s -7. a) Kiihtyvyys jarrutuksen aikana on 45 / m/s v 0 km/h / 45 km/h 3,6 a = = = =/ 3,5 m/s / 3, m/s. t 4,0 s 4,0 s Kiihtyvyys on 3, m/s, kiihtyvyyden suunta on nopeuden suunnalle vastakkainen. b) Jarrutuksen aikana kuljettu matka on 45 s = v0t + at = m/s 4,0s + / ( 3,5 m/s ) (4,0s) = 5 m. 3,6 c) Reaktioaikana skootterin kulkema matka on 45 s = vt = m/s 0,50 s = 6,5 m. 3,6 Skootterin kulkema matka on 5 m + 6,5 m 3 m. -8. a) Tilanteessa A jarrupoljinta painetaan ensin kevyesti, mutta painaminen kasvaa jarrutuksen edetessä. Tilanteessa B jarrupoljinta painetaan koko ajan samalla voimakkuudella. Tilanteessa C jarrupoljinta painetaan ensi hyvin voimakkaasti, mutta jarrutuksen edetessä poljinta löysätään hieman. b) Kuljettu matka saadaan t,v-koordinaatistosta fysikaalisena pinta-alana. Koska käyrän C ja koordinaattiakselien rajaama pinta-ala on pienin, on Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

14 tämän mallin mukaan myös jarrutusmatka pienin jarrutettaessa mallin C mukaan. c) Jarrutusmatka saadaan fysikaalisena pinta-alana: s= vt + vt + vt 3 3 5,0 m/s 0,90s 5,0 m/s,0s = 5,0 m/s 0,90 s+ + = 4,5 m 4 m. -9. a) Sijoitetaan yhtälö v = v 0 + at yhtälöön x = v k t: v0+ v v0+ ( v0+ at) v0+ at x= vt k = t= t= t = v0+ at t = v0t + at. Koska x = x -- x 0, saadaan x = x0+ v0t + at. v b) Yhtälöstä v = at saadaan t =, joka sijoitetaan: a v x = at = a = v. a a Yhtälöstä saadaan ax = v, josta nopeudeksi saadaan v = ax. c) Loppunopeus on v = = ax 8,5 m/s 5 m 6 m/s. -0. a) Koska hissin kiihtyvyys on vakio, ja hissi lähtee levosta (v 0 = 0 m/s), v0 + v v hissin keskinopeus ensimmäisen 5,0 m matkalla on v, jossa k = = v on tällä matkalla saavutettu loppunopeus ja myös hissin nopeus tasaisen liikkeen aikana. Muuttuva suoraviivainen liike

15 Ensimmäisen 5,0 m matkalla hissin keskinopeus on s 5,0 m vk = = =,0 m/s. t,5 s Hissin loppunopeus ensimmäisen osuuden jälkeen eli hissin nopeus tasaisen liikkeen aikana on v = v k =,0 m/s = 4,0 m/s. b) Hissi kulkee 9 kerrosväliä eli matkan 9,8 m = 53, m. Jarrutusmatka on 53, m -- 5,0 m -- 44,0 m = 4, m ja tähän kuluva aika s 4,m t = = =, s. v 4,0 m/s + 0,0 m/s k Koska hissi kulkee 44,0 m vakionopeudella, tähän kuluu aikaa s 44,0m t = = = s. v 4,0m/s Koko matkaan kuluva aika on,5 s +, s + s 6 s. -. Yhtälöstä v = at kiihdytykseen ja myös jarrutukseen kuluva aika on 55 m/s v t = = 3,6 39,44 s a, m/s eli kaikkiaan 39,44 = 78,88 s =,3047 min. Tässä ajassa kuljettu matka (kiihdytys ja jarrutus) on s = at + at = at =, m/s (39,44 s),6855 km. Huippunopeudella voidaan ajaa matka 45 km --,6855 km 43,35 km. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

16 Tähän kuluu aikaa s 43,35 km t = = 0,946 h = 55,4768 min. v 55 km/h Lyhin aika on 55,4768 min +,3047 min 57 min. -. a) Koska kuula on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, kuulan keskinopeus v0 + v saadaan yhtälöstä v. Koska kuula lähtee levosta, on v 0 = 0 m/s ja k = v keskinopeuden yhtälö saadaan muotoon v. Kuulan k = loppunopeudeksi saadaan v = v k =,9 m/s = 3,8 m/s. b) Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen nopeuden yhtälö on v = v 0 + at. Koska alkunopeus on v 0 = 0 m/s, loppunopeus on v = at, josta v saadaan kiihtyvyys a =. Jotta kiihtyvyys voidaan laskea, on tiedettävä t liikkeen kesto eli aika t. x,70 m Yhtälöstä x = v k t saadaan aika t = = 0,894737s. v,9 m/s Kiihtyvyys on v 3,8m/s a = = t 0, s -3. Oikein on b. Laskijan kulkema matka on s = v0t + at eli 0 0. at + v t / s = Ratkaistaan yhtälö toisen asteen ratkaisukaavaa käyttäen ja huomioidaan alkuarvot a = 5,4 m/s, v 0 = m/s ja s = 5 m: k 4,m/s. / v0± v0 / 4 a / ( s) / m/s ± ( m/s) / 4 (5,4 m/s ) / ( 5 m) t = = a (5,4 m/s ) Muuttuva suoraviivainen liike

17 Yhtälön ratkaisut ovat t,0094 s tai t / 9,5909 s. Ajan negatiivinen arvo ei käy, joten kysytty aika on,0 s. -4. a) Nopeuden kuvaaja on suora, joten kiihtyvyys on vakio. Kiihtyvyys saadaan kuvaajan fysikaalisena kulmakertoimena: v 0,0 m/s / 3,65 m/s a = = / 0,6 m/s. t 9,0 s / 3,0 s Raitiovaunun kiihtyvyyden kuvaaja: b) Matka saadaan t,v -kuvaajasta fysikaalisena pinta-alana: s = 9,0 s 5,5 m/s 5 m. (Vaihtoehtoisesti matkan voi laskea yhtälöstä m m s = v0t + at = 5,5 9,0 s + 0, (9,0 s) 5 m.) s s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

18 TEHTÄVIEN RATKAISUT 3-. a) Pyöräilijän paikka hetkellä 0,0 h on 5,0 km ja hetkellä,00 h on,5 km. b) Pyöräilijän keskinopeus välillä 0,0,00 h on x,5 km / 5,0 km 7,5 km vk = = = 9,4 km/h. t,00 h / 0,0 h 0,80 h c) Nopeus hetkellä 0,50 h saadaan tangentin fysikaalisena kulmakertoimena: x 8,75 km v(0,50h) = = 9, km/h. t 0,96 h 3 Liikkeen tutkiminen

19 3-. a) Kappaleen nopeus on suurin hetkellä,0 s, koska tällöin kuvaaja on jyrkin. b) x 5,9 m Suurin nopeus on v(,0s) = = 3,0 m/s. t,0 s c) Kappaleen pienin nopeus on 0 m/s. d) Kappaleen liikkeen suunta muuttuu hetkellä 3,5 s a) Nopeuden kuvaaja. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

20 b) Mittausohjelman mukaan matka on 8 m. Matkan voi myös laskea t,v-koordinaatistosta graafisen integroinnin avulla. Kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala on 45 ruutua. Kukin ruutu vastaa matkaa 0,0 m/s,0 s = 0,40 m. Kokonaismatka aikavälillä 0 6 s on 45 0,40 m = 8 m. c) Keskinopeus saadaan kohdan b avulla jakamalla kokonaismatka siihen s 8m kuluneella ajalla: vk = =, m/s. t 6s 3-4. Pallon nopeuden kuvaaja: Pallon kiihtyvyys on 9,3 m/s ± 0, m/s. 3 Liikkeen tutkiminen

21 3-5. a) Nopeuden kuvaaja korkeuden funktiona: b) Kun raketin lentokorkeus on 76 m, sen nopeus on 9 m/s. c) Kun raketti on korkeudella 5 m, sen nopeus on 0,5 m/s. Kun raketti on korkeudella 48 m, sen nopeus on 5,0 m/s. Raketin keskikiihtyvyys aikavälillä 4,0 6,0 s on v 5,0m/s / 0,5 m/s ak = =,3 m/s. t 6,0s / 4, 0 s 3-6. a) Kuvaajasta saadaan kappaleiden siirtymät: x A = 3,0 m -- 0,0 m = 3,0 m ja x B =,0 m -- 0,7 m =,3 m. Koska kappaleet liikkuvat suoraviivaisesti, kappaleiden kulkemat matkat ovat samat kuin siirtymät. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

22 b) Kummallakin kappaleella on sama keskinopeus, koska kummankin aikavälillä,0 0,0 s kulkema matka on sama: x 3,8 m / 0,8 m vka = v kb = = 0,38 m/s. t 0,0 s /,0 s c) Kappaleilla on sama nopeus silloin, kun nopeutta kuvaavat käyrien fysikaaliset kulmakertoimet ovat yhtä suuret eli hetkellä t = 7, s a) Metrojunan suurin nopeus on 36 m/s. b) Junan kiihdytysaika on 45 s. c) Junan jarrutusaika on 30 s. d) Junan liike on tasaista 30 s. e) Junan keskikiihtyvyys pysäkiltä lähdettäessä on v v v 36,0 m s 0,0 m s 36,0 m s ak = = = = 0,80 m s. t t t 45,0 s 0,0 s 45,0 s ja jarrutettaessa ennen seuraavaa pysäkkiä a k Dv v v 0,0 m/s 30 m/s 30 m/s = = = = =-, m/s : Dt t -t 05,0 s-75,0 s 30,0 s jarrutettaessa kiihtyvyys on,0 m/s, kiihtyvyyden suunta on nopeuden suunnalle vastakkainen. f) Metroasemien välinen etäisyys saadaan fysikaalisena pinta-alana: tv tv 3 s= + tv + 45,0s 36,0m s (05,0s 75,0s) 30,0m s = + (75,0s 45,0s) 36,0m s +,4 km. 3 Liikkeen tutkiminen

23 3-8. a) Auton nopeuden v = v(t) kuvaaja: b) Mittausohjelman mukaan kiihtyvyyden suurin arvo saavutetaan hetkellä t = 5,3 s. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

24 Suurin kiihtyvyys on 39,8 m/s a = 39,8 km/h 3,6 s = s max(5,3s) m/s. Huomaa, että ajanhetki riippuu hieman siitä, minkälainen käyrä on sovitettu pistejoukkoon. c) Matka saadaan määritettyä t,v-koordinaatiston kuvaajasta fysikaalisena pinta-alana. Mittausohjelman mukaan matka on 456, s = 456, s km/h = s m/s 30 m. 3, Esitetään mittaustulokset t,v-koordinaatistossa. Mittauspisteet näyttäisivät pistettä (,68 s,,57 m/s) lukuun ottamatta asettuvan suoralle; ko. havainto on epäonnistunut eikä mittauspistettä huomioida. 3 Liikkeen tutkiminen

25 Mittausohjelman mukaan pallon putoamiskiihtyvyys on 9,7 m/s Paketti saa pudotuksessa vaakasuuntaisen alkunopeuden koneelta, joten tilanne vastaa vaakasuoraa heittoliikettä. Paketti putoaa alaspäin 550 m matkan. Yhtälöstä y y 550 m t = = = 0,589 s s. g 9,8 m/s = gt paketin putoamiseen kuluva aika on Tänä aikana paketti liikkuu vaakasuunnassa matkan 98 s = vt = m/s 0,589 s = 58,406 m. 3,6 Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, paketti tulee pudottaa, kun kone on 580 m:n etäisyydellä kohteesta vaakasuunnassa mitattuna. Tällöin lentäjä näkee kohteen alaviistossa. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

26 s 58,406 m Suuntakulma saadaan yhtälöstä tan α = =, y 550 m josta kulma α 47. Pudotustilanteessa paketti jää ilmanvastuksen vaikutuksesta melko kauaksi kylästä, jos lentäjä ei osaa ottaa huomioon ilmanvastuksen vaikutusta. Paketin vaakasuora alkunopeus on suuri, jolloin ilmanvastus on suuri. 3-. a) Protonin rata hahmoteltuna. b) Protoni on pystysuunnassa tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä. Protonilla ei ole alkunopeutta pystysuunnassa. Valitaan suunta alas positiiviseksi. Yhtälöstä y = at aika on y 0,030 m , / s 7, 0 / s. t = = = a, 0 m/s c) Protonin nopeus vaakasuunnassa on vakio eli v 0x = v x = 6,5 Mm/s. Protonin ajassa t = 7, /8 s vaakasuunnassa kulkema matka on x = v x t = 6,5 0 6 m/s 7, /8 s 0,46 m. d) Kun protoni osuu negatiiviseen levyyn, sen nopeuden vaakasuora komponentti on v x = 6,5 Mm/s. Nopeuden pystysuora komponentti on v y =at =, 0 3 m/s 7, /8 s = 8, m/s. 3 Liikkeen tutkiminen

27 Protonin nopeuden suuruus sen osuessa negatiiviseen levyyn on v = v + v = (6,5 0 m/s) + ( 8, m/s) 6,6 Mm/s. 6 5 x y TESTAA, OSAATKO S. 35. a c. a c 3. c 4. b 5. a b 6. c 7. b 8. a b 9. b c Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

28 TEHTÄVIEN RATKAISUT 4-. a) Sauvamagneetin ja Maan välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus. Maan ja magneetin välillä on magneettinen vuorovaikutus. Kosketusvuorovaikutus on langan ja magneetin välillä. Magneetin ja ilman välillä on kosketusvuorovaikutus. b) Gravitaatiovuorovaikutus: kärryt ja Maa. Kosketusvuorovaikutus: lattia ja kärryt. Kosketusvuorovaikutus: työntäjä ja kärry. Kosketusvuorovaikutus: lattia ja kärryt. Kosketusvuorovaikutus: kärryt ja ilma. c) Gravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo. Sähköinen vuorovaikutus: pallot keskenään. Kosketusvuorovaikutus: lanka ja pallo. Kosketusvuorovaikutus: pallo ja ilma. 4-. a) Aurinko ja Kuu ovat etävuorovaikutuksessa Maan kanssa. Muutkin taivaankappaleet ovat etävuorovaikutuksessa Maan kanssa, mutta niiden gravitaatiovuorovaikutus on merkittävästi heikompi. b) Kun autoa työnnetään, se on kosketusvuorovaikutuksessa työntäjien ja tienpinnan kanssa ja myös ilman kanssa Jousivaakojen lukemat ovat yhtä suuret a) Lukema on 50 N. b) Lukema on 50 N. 4 Vuorovaikutus ja voima

29 c) Koska siima kestää 00 N vetovoiman, siima kestää vedon 50 N voimalla a) Kappale liikkuu oikealle. Voimat ovat F F F3 F4 F5 = F vetävä voima, = F ilmanvastus, vast = N = G pinnan tukivoima, Maan vetovoima eli kappaleeseen kohdistuva paino ja = F µ kitka. b) Pallo putoaa. Voimat ovat F F = F ilmanvastus ja i = G Maan vetovoima eli kappaleeseen kohdistuva paino. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

30 c) Kappale on hidastuvassa liikkeessä vasemmalle. Voimat ovat F F F3 = F µ kitka, = G Maan vetovoima eli kappaleeseen kohdistuva paino ja = N pinnan tukivoima a) Jannika on kosketusvuorovaikutuksessa köyden, seinän ja ilman kanssa sekä etävuorovaikutuksessa Maan kanssa. Kun Jannika laskeutuu köyden varassa pitkin seinää, häneen kohdistuu paino, köyden jännitysvoima, seinän tukivoima, seinän kitka, (ilman hyvin pieni noste) ja mahdollisesta tuulesta johtuva ilmanvastus. b) Ennen hyppyriä lumilautailijaan kohdistuvat paino G, rinteen tukivoima N, ilmanvastus F i ja kitka F µ laudan ja lumen välillä. 4 Vuorovaikutus ja voima

31 Kun lautailija on ilmassa, häneen kohdistuvat paino (ja häviävän pieni noste). G ja ilman vastus F i Hypyn jälkeen, kun lautailija on taas maassa, häneen kohdistuvat paino G, pinnan (rinteen) tukivoima N, ilmanvastus F i ja kitka F µ a) Kirjaan vaikuttavat voimat ovat paino G ja pinnan tukivoima N. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

32 b) Pulkkaan vaikuttavat voimat ovat paino G, jään pinnan tukivoima N, liikettä vastustavat kitka ja vetävä voima F. F µ c) Vakionopeudella ylöspäin nousevaan rakettiin vaikuttavat voimat ovat paino G ja ilmanvastus F i, joiden summa on yhtä suuri kuin ylös suuntautuva voima F, joka syntyy purkautuvien palamiskaasujen rakettiin aiheuttamasta voimasta. d) Seinää työntävään henkilöön vaikuttavat voimat ovat paino G, lattian ja seinän tukivoimat N, kitka seinäpinnassa sekä jalkojen ja ja N F µ lattian välinen kitka. F µ 4 Vuorovaikutus ja voima

33 e) Tikapuihin vaikuttavat voimat ovat paino G, lattian ja seinän tukivoimat Nja N, kitka F µ seinäpinnassa sekä tikkaiden alapään ja lattian välinen kitka F µ a) Kiekko on kosketusvuorovaikutuksessa jään pinnan ja ilman kanssa sekä etävuorovaikutuksessa Maan kanssa. b) Voimat ovat kiekkoon kohdistuva paino G, alustan tukivoima N, kitka F µ ja ilmanvastus F i, jonka merkitys on hyvin vähäinen. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

34 c) Voimakuvio: d) Painon G vastavoima on voima, jolla kiekko vetää Maata. Tukivoiman N vastavoima on voima, jolla kiekko painaa jäätä. Kitkan F µ vastavoima on voima, jolla kiekko vaikuttaa jään pintaan. Ilmanvastuksen F i vastavoima on voima, jolla kiekko vaikuttaa ilmaan Havaitsemissasi ilmiöissä kyse ei ole voimista vaan siitä, että massasi vastustaa liikkeesi muuttumista, kun bussin liike muuttuu. Kaikki havaitsemasi ilmiöt johtuvat massan hitaudesta a) Voimat F3 ja F 4 eivät ole voima ja vastavoima, koska ne vaikuttavat samaan kappaleeseen (lamppuun). b) Voiman F vastavoima on F 3. c) Voiman F 6 vastavoima on voima, jolla lamppu vetää Maata. d) Voima F 5 on tukivoima, jolla naru estää lampun putoamisen. Voima F 6 on voima, jolla Maa vetää lamppua. 4-. a) Auton nopeus kasvaa. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikkoon kohdistuva paino G, lavan tukivoima N, kitka F µ liikkeen suuntaan ja liikesuunnalle vastakkainen ilmanvastus F i. 4 Vuorovaikutus ja voima

35 b) Auto liikkuu vakionopeudella. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikkoon kohdistuva paino G, lavan tukivoima N sekä kitka F µ ja ilmanvastus, jotka ovat yhtä suuria keskenään. F i c) Auton nopeus pienenee. Vaikuttavat voimat ovat laatikkoon kohdistuva paino G, lavan tukivoima N, kitka F µ ja ilmanvastus F i. Kitka F µ ja ilmanvastus F i ovat liikkeen suunnalle vastakkaiset. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

36 4-. Voimakuvio: 4 Vuorovaikutus ja voima

37 TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 9 N + 7 N -- 6 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 7 N -- 7 N = 0 N. b) Kappaleiden kiihtyvyydet: A. Newtonin II lain mukaan kiihtyvyys on vasemmalle. B. Kiihtyvyys on 0 m/s. 0 N 8,0 m/s a = ΣF = = m,5 kg 5-. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. ΣF 55 N / 6,5 N Kiihtyvyyden suuruus on 8,7 m/s a = =, suunta alas. m 5,6 kg b) Palloon vaikuttava kokonaisvoima on 0 N. Pallon kiihtyvyys on 0 m/s a) Voimakuvio: b) Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi suunnaksi, kokonaisvoima on ΣF = 755 N N = 35 N. 5 Newtonin I ja II laki

38 c) Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli F + F = ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F -- F µ = ma. F/ Fµ 755 N / 60 N Kiihtyvyys on a = = 3,9 m/s. m 35 kg 5-4. Koska hissi liikkuu alas ja vaa an lukema on suurempi kuin henkilön massa, hissin kiihtyvyys on ylös. µ Newtonin II lakia soveltaen yhtälö Σ F = ma saadaan muotoon N + G = ma. Valitaan suunta ylös positiiviseksi. Voiman ja vastavoiman lain mukaan vaa an tukivoima N vaikuttaa abiturienttiin yhtä suurella voimalla kuin abiturientti hissi lattiaan. Skalaariyhtälöstä N -- mg = ma hissin kiihtyvyyden suuruus on a 73,4 kg 9,8m/s / 6,0 kg 9,8m/s 6,0 kg N / mg = =,8 m/s. m Kiihtyvyyden suunta on ylös. Kokonaisvoiman ja kiihtyvyyden suunta on liikkeelle vastakkainen, koska hissi on hidastuvassa liikkeessä alas (eli hissi on pysähtymässä). Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

39 5-5. a) Elsaan kohdistuvat paino G ja korin pohjan tukivoima N. b) Korin pohjaan kohdistuvaa voimaa emme pysty laskemaan. Voiman ja vastavoiman lain mukaan tukivoima N vaikuttaa Elsaan yhtä suurella voimalla kuin Elsa vaikuttaa korin pohjaan. Tukivoima N voidaan laskea. Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli N + G = ma. Valitaan suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä N -- mg = -- ma saadaan tukivoiman suuruudeksi N = mg -- ma = m(g -- a ) = 55 kg (9,8 m /s --,5 m / s ) 460 N. Elsa painaa korin pohjaa 460 N:n suuruisella voimalla Elementin kiihtyvyys a = v on vakio kaikilla alla olevilla aikaväleillä. t Kiihtyvyyksien suuruudet saadaan kuvaajasta fysikaalisena kulmakertoimena: v,5 m/s / 0,0 m/s 0,0 4,0 s: a = = = 0,375 m/s. t 4,0s 4,0 0,0 s: a = 0 m/s (liike on tasaista) 0,0,0 s: v 0,0 m/s /,5 m/s a3 = = = / 0,75 m/s. t,0s 5 Newtonin I ja II laki

40 Newtonin II lain seurauksena yhtälö Σ F = ma saadaan muotoon T + G = ma a) Sovitaan suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T -- mg = ma kannatinvaijeria jännittävä voima on T = mg + mg. Kiihtyvyyksiä vastaavat jännitysvoimat ovat T = ma + mg = m(a + g) = 480 kg (0,375 m/s + 9,8 m/s ) 4,9 kn, T = mg = 480 kg 9,8 m/s 4,7 kn ja T 3 = ma 3 + mg = m(a 3 + g) = 480 kg ( 0,75 m/s + 9,8 m/s ) 4,3 kn. Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli T + G = ma, jossa T on vaijerin jännitysvoima. Valitaan hissin liikesuunta eli suunta ylös positiiviseksi. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

41 Skalaariyhtälöstä T -- G = ma saadaan vaijerin jännitysvoimaksi T = ma + G = ma + mg = m(a + g) = 850 kg (,4 m/s + 9,8 m/s ) 0 kn. b) Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli T + G = ma. Nyt liike on hidastuvaa eli kiihtyvyyden suunta on liikkeen suunnalle vastainen eli alas. Valitaan suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T -- G = -- ma saadaan vaijerin jännitysvoimaksi T = -- ma + mg = m(-- a + g) = 850 kg (--,4 m/s + 9,8 m/s ) 6,3 kn. (Huomaa: Tiukalla olevan langan päihin vaikuttavat yhtä suuret, ulospäin suuntautuvat voimat. Newtonin III lain mukaan naru vaikuttaa sitä kiristäviin kappaleisiin vastaavilla vastavoimilla (ne on piirretty kuviin). Narussa on kaikkialla sama jännitys (jos narun omaa painoa ei huomioida). Se ei ole voima vaan skalaarisuure, jonka suuruus on sama kuin narun päihin vaikuttava, narua kiristävä voima. Jännitysvoimia ovat narun päihin vaikuttavat voimat.) 5 Newtonin I ja II laki

42 5-8. Oikein on kohta c) 70 N. Perävaunun voimakuvio: Newtonin II lain mukaan on Tienpinnan suhteen on F = ma eli T + F + N + G = ma. F = ma eli T + F = ma. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin skalaariyhtälöstä T -- F vast = m p a saadaan voiman suuruudeksi T = F vast + m p a = 90 N kg 0,50 m/s 70 N. vast vast 5-9. Sovitaan liikkeen suunta oikealle positiiviseksi. Newtonin II lain mukaan kelkan ja reen kiihtyvyys on 50 N a = F = F = 3,4036 m/s, suunta liikkeen m m+ m 8,5 kg + 65 kg suunta. Pulkan voimakuvio: Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

43 5-0. a) Koska pulkan kiihtyvyys on sama kuin reen, Newtonin II lain mukaan on F = ma eli T + N + G = ma. Alustan suhteen on F= ma eli T = ma. Narussa vaikuttavan jännitysvoiman suuruus on T= ma = 8,5 kg 3,4036 m/s 9 N. Kirjoitetaan liikeyhtälöt erikseen kummallekin kappaleelle. Koska venymättömän langan jännitysvoima on langan molemmissa päissä yhtä suuri, on T = T = T. Kappaleilla on sama kiihtyvyyden suuruus, koska ne liikkuvat yhdessä: a = a = a. Kappale m : Newtonin II lain mukaan on Σ F= ma eli T+ G= ma. Kun valitaan suunta ylös positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T -- G = m a eli T -- m g = m a. Kappale m : Newtonin II lain mukaan on Σ F= ma eli T+ G = ma. Kun valitaan suunta ylös positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T -- G = /m a eli T -- m g = /m a. Saadaan yhtälöpari: T -- m g = m a T -- m g = -- m a. 5 Newtonin I ja II laki

44 Kerrotaan alempi yhtälö luvulla -- ja lasketaan yhtälöt yhteen (eli vähennetään puolittain ylemmästä yhtälöstä alempi). Näin saadaan yhtälö g(m -- m ) = (m + m )a, josta kiihtyvyys on a m m / m + m = g =,0 kg 9,8 m/s =,65 m/s, m/s. 6,0 kg Koska kiihtyvyyden arvo on positiivinen, kappaleen kiihtyvyys on ylös ja kappaleen vastaavasti alas kuten tilanteesta on muutenkin pääteltävissä. Langan jännitysvoiman suuruus on T = m a + m g = m (a + g) = 7,0 kg (,65 m/s + 9,8 m/s ) 77 N. b) Kappale m törmää lattiaan nopeudella v = as =,65 m/s,0 m,6 m/s. 5-. Piirretään voimakuvio. Newtonin II lain mukaan on kappaleelle F+ T+ G+ N= ma ja kappaleelle T+ N+ G = ma. Koska liike tapahtuu vaakasuunnassa ja pystysuunnassa voimat kumoavat toisensa, pystysuuntaa ei tarvitse tarkastella. Koska langan jännitys on jokaisessa kohdassa yhtä suuri, niin T = T = T. Koska kappaleet liikkuvat venymättömän langan takia Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

45 yhdessä, kummankin kiihtyvyyden suuruus on yhtä suuri eli a = a = a. Kappaleita voidaan tarkastella erillisinä systeemeinä. Kun suunta oikealle on positiivinen, saadaan skalaariyhtälöt kappaleelle : F -- T = m a kappaleelle : T = m a. Sijoitetaan yhtälö T = m a yhtälöön F -- T = m a, jolloin saadaan F -- m a = m a eli F = (m + m )a. a) Koska kappaleiden välissä on venymätön lanka, voima F antaa kiihtyvyyden a koko systeemille, jolloin kiihtyvyyden suuruus on 8,5N a = F 5,786 m/s 5 m/s m + m = 0,3 kg + 0,33 kg =. Kiihtyvyyden suunta on oikealle. b) Langan jännitysvoiman suuruus on T = m a = 0,33 kg 5,786 m/s 5,0 N. 5 Newtonin I ja II laki

46 TEHTÄVIEN RATKAISUT 6-. Voimien resultantin suuruus on F = (36 N) + (7 N) 39,8 N. Kappaleen kiihtyvyyden suuruus saadaan yhtälöstä F = ma: 39,8 N,6 m/s a = F =. m 5 kg Kiihtyvyyden suunta on sama kuin resultantin suunta: josta kulma α 5 vaakasuunnasta vinosti vasemmalle ylös. 7 N tanα =, 36N 6-. Voimien akselien suuntaiset komponentit ovat F x =,0 N ja F y =,0 N, F x =,0 N ja F y =,0 N, F 3x =,0 N ja F 3y = 3,0 N. Voimien summa x-suunnassa on Fx = Fx + Fx + F3x =,0N + (,0N) + (,0N) =,0N ja y-suunnassa F. y = Fy + Fy + F3y =,0N+,0N + ( 3,0N) =,0N Voimien resultantin suuruus on F = F + F = (,0 N) + (,0 N),3607 N, x y ja suunta saadaan yhtälöstä,0 N tan α Fy = = F,0N, josta kulma α 7 osoittaa vinosti vasemmalle ylös.,3607 N Kappaleen kiihtyvyyden suuruus on 4,5 m/s a = F =, ja m 0,50 kg kiihtyvyyden suunta on sama kuin resultantin suunta. x 6 Voimien yhteisvaikutus

47 6-3. Piirretään kuva tilanteesta: Graafinen ratkaisu: Päätä mittakaava, esimerkiksi cm vastaa 50 newtonia: tällöin 350 N:n voimavektorin pituus on 7,0 cm ja 50 N:n voimavektorin pituus 5,0 cm. Piirrä voimavektorit oikeisiin pituuksiinsa ja niiden väliseksi kulmaksi 5 astetta. Täydennä kuvio suunnikkaaksi. Mittaa suunnikkaan lävistäjän pituus ja muuta se vastaamaan newtoneja. Laskemalla: F = 350 N ja F = 50 N. Sovelletaan kosinilausetta a = b + c -- b cos α, josta a = b + c bcosc. Nyt kulma on α = = 65. Resultantin suuruus on F = (50 N) + (350 N) 50 N 350 N cos N. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

48 6-4. Oikea vaihtoehto b) 550 N. Tasapainotilanteessa voimien summa on Newtonin II lain mukaan nolla eli F = 0. F Voimakuvion mukaan on tan5 =, josta kysytty vaakasuoran voiman G suuruus on F = Gtan5 = 0 kg 9,8 m/s tan5 550 N Nailonsiiman ja lampun johdon liitoskohtaan A vaikuttaa kolme voimaa: nailonsiiman jännitysvoima, lamppuun kohdistuva paino sekä sähköjohdon jännitysvoima. Liitoskohtaan vaikuttava kokonaisvoima on Newtonin II lain mukaan nolla, koska voimien vektorisummana muodostuu nollavektori eli Σ F = T+ T+ G= 0. 6 Voimien yhteisvaikutus

49 mg Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan yhtälö tan55 = G =, josta T T saadaan nailonsiiman jännitysvoiman suuruudeksi mg 7,5 kg 9,8 m/s T = = 5 N. tan55 tan55 Se on suurempi kuin nailonsiiman suurin vetolujuus 40 N. Siima ei siis kestää Symmetrian perusteella T = T = T = kn. Koska Newtonin II lain mukaan tasapainotilanteessa on F = 0, sinilausetta soveltaen saadaan yhtälö G = T sin30 sin75 eli mg kn = sin30 sin75, josta saadaan massan suuruudeksi kn sin30 kn sin30 m = = 630 kg. g sin75 9,8m/s sin Vasemmanpuoleinen taulu: Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

50 Koska taulu pysyy seinällä, Newtonin II lain mukaan on voimassa ehto F = 0 eli T + T + G= 0. Sovitaan suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T -- G = 0 saadaan langan jännitysvoiman suuruudeksi G mg 6,3 kg 9,8 m/s T = = = 3 N. Oikeanpuoleinen taulu: Koska taulu pysyy seinällä, Newtonin II lain mukaan on voimassa ehto eli T ja symmetriasta johtuen Ty = T y = Ty. Sovitaan y + Ty + G= 0 suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T y -- G = 0 eli saadaan T cosα mg = 0 langan jännitysvoiman suuruudeksi F = mg 6,3 kg 9,8 m/s T = = 44 N. cosc cos45 Jännitysvoimat ovat suuremmat oikeanpuoleisessa taulussa. Voiman F suuruus: tan7,50 = G, josta F 6 Voimien yhteisvaikutus

51 mg 7,50 kg 9,8 m/s F = = 559 N. tan7,50 tan7,50 Voiman F suuruus: tan7,50 = G, josta F mg 7,50 kg 9,8 m/s F = = 564 N. sin7,50 sin7,50 Tehtävän voi ratkaista myös sinilauseen avulla: F Yhtälöstä = G sin8,50 sin7,50 jännitysvoiman suuruudeksi saadaan vaakasuorassa olevan vaijerin ,50 kg 9,8m/s sin8,50 mg sin8,50 F = = 559 N. sin7,50 sin7,50 F Yhtälöstä = G saadaan vaijerin vinon osan sin90 sin7,50 jännitysvoiman suuruudeksi F sin90 = G 564 N. sin7,50 Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

52 6-0. Koska ehto tan60 N N G F = 0 =,josta voiman on voimassa, vektorikuviosta saadaan yhtälö N suuruus on mg tan60 4,7 kg 9,8 m/s tan60 80 N = =, ja cos60 = G, josta voiman N suuruus on N G mg 4,7kg 9,8m/s N = = = 90 N. cos60 cos60 cos60 7 m a) Rinteen kaltevuuskulma saadaan yhtälöstä sinα = h =, josta s 39 m kulma on α 5,844. Painon rinteen suuntaisen komponentin suuruus on G x = Gsinα = mgsinα = 4 kg 9,8m/s sin 5, N. b) Koska kitka on hyvin pieni, sitä ei oteta huomioon. Newtonin II lain mukaan tason suunnassa on F = ma eli Gx = ma, jossa a on kelkan tason suuntainen kiihtyvyys. Valitaan liikkeen suunta tasoa pitkin alas positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä G x = ma saadaan kelkan kiihtyvyydeksi Gx Gsin mg sinα a= = α = = g α = m m m Yhtälöistä v = at ja s = at kelkan nopeudeksi rinteen alaosassa saadaan sin 9,8 m/s sin5,844 4,765 m/s. 6 Voimien yhteisvaikutus

53 v = = as 4,765 m/s 39 m 8 m/s. 6-. a) Newtonin II lain mukaan tasapainoehto pystysuunnassa on Σ F = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälö on N -- G = 0 eli G = N. Kappaleeseen kohdistuva paino ja tukivoima ovat yhtä suuret. b) Newtonin II lain mukaan tasapainoehto pystysuunnassa on Σ F = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälö on N -- F y -- G = 0 eli G = N -- F y. Kappaleeseen kohdistuva paino on pienempi kuin tukivoima. c) Newtonin II lain mukaan tasapainoehto pystysuunnassa on Σ F = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälö on N + F y G = 0, eli G = N + F y. Kappaleeseen kohdistuva paino on suurempi kuin tukivoima. On myös mahdollista, että kappale irtoaa pinnasta (jos F y > G), jolloin tukivoimaa ei ole: silloin kappale on kiihtyvässä liikkeessä yläviistoon oikealle. 6-. a) Jaetaan vetävä voima komponentteihinsa. Voiman F komponenttien suuruudet ovat Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

54 F x = F cos α = 35 N cos 5 3 N F y = F sin α = 35 N sin 5 5 N. ja b) Koska laatikko on paikallaan, sekä vaaka- että pystysuorassa suunnassa vaikuttavien voimien summa on nolla. Newtonin II lain mukaan laatikon tasapainoehto pystysuunnassa on F = 0 eli N + F 0. Sovitaan y + G= suunta ylös positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä N + F y -- G = 0 saadaan tukivoiman suuruudeksi N = G -- F y = mg -- Fsin α = 4,0 kg 9,8 m/s N sin 5 4 N a) Piirretään voimakuvio. Koska laatikon liike on tasaista, Newtonin II lain mukaan on F = 0 eli F + F + F + N + G= 0 µ i. Koska voima F on vino, jaetaan voima F vaaka- ja pystykomponenttiin. Sovitaan tason suunta oikealle ja suunta ylös positiiviseksi. Kirjoitetaan liikeyhtälö tason suunnassa ja tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Newtonin II lain mukaan tason suunnassa on F = 0 eli Fx + Fi + F µ = 0 ja skalaarimuodossa F x -- F i -- F µ = 0 eli Fcos α -- F i -- F µ = 0: 6 Voimien yhteisvaikutus

55 Kitkan suuruus on F µ = Fcos α -- F i = 350 N cos39 5 N 50 N. b) Newtonin II lain mukaan tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa on F = 0 eli F + N + G= 0 y y ja skalaarimuodossa -- F y + N -- G = 0. Tukivoiman suuruus on N = G + F y = mg + F sin α = 47 kg 9,8 m/s N sin N G on avainnippuun kohdistuva paino ja T langan jännitysvoima. Koska avainnippu oli likimain levossa junan suhteen, sen ja junan kiihtyvyydet olivat likimain samoja. Newtonin II lain mukaan on F = ma ja liikkeen suunnassa on Tx = ma. Sovitaan liikkeen suunta positiiviseksi, jolloin saadaan T x = ma eli T sin α = ma. Avainnipun Tsin kiihtyvyys on a = α. Kiihtyvyyden laskemiseksi on vielä selvitettävä m langan jännitysvoima T. Liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa avainnipun liikeyhtälö on Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 06

56 Ty + G= 0. Valitaan suunta ylös positiiviseksi, jolloin skalaariyhtälö T y G = 0 saadaan muotoon Tcos α G = 0. mg Langan jännitysvoima on T = G =. Sijoitetaan tämä cosc cosc avainnipun kiihtyvyyden yhtälöön, jolloin kiihtyvyys on mg sinc a= Tsinc = cosc = g sinc = g tanc m m cosc = 9,8 m tan5,6 m. s s Tapa. Kirjoitetaan x- ja y-suuntaiset skalaariyhtälöt muotoon T sin α = ma ja Tcos α = mg ja jaetaan yhtälöt puolittain: T sinc = ma eli tan c = a. Tcosc mg g Avainnipun kiihtyvyys on a= g tanα = 9,8 m tan5,6 m. s s 6 Voimien yhteisvaikutus

57 TEHTÄVIEN RATKAISUT 7-. a) Kappale lähtee liikkeelle hetkellä t =, s. b) Kuviosta saadaan liukukitkan suuruus F µ =,5 N. Liukukitka on F µ = µn = µmg, josta saadaan liukukitkakertoimeksi Fµ,5N µ = = 0,4. mg,8 kg 9,8 m/s c) Kuviosta saatava lähtökitkan suuruus on F µ0,max = 4,5 N. Lähtökitkakerroin on Fµ 0,max 4,5N µ 0 = = 0,5. mg,8 kg 9,8 m/s 7-. a) Tarvittavan voiman suuruus on F µ = µn = µmg = 0, kg 9,8 m/s 940 N. b) 7-3. a) Lähtö- ja liukukitkan suuruuksien ero on F µ0,max -- F µ = µ 0 mg -- µmg = mg(µ 0 -- µ) = 4 kg 9,8 m/s (0,30 0,0) 4 N. 7 Kitka

58 b) Newtonin II lain mukaan kappaleen liikeyhtälö on F = ma eli F + F + N + G = ma µ. Alustan suunnassa liikeyhtälö on F = ma eli F + F = ma µ. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F -- F µ = ma, josta kiihtyvyyden suuruus on F/ Fµ µ 0,30mg 0,0mg 0,0mg 0mg / µ mg / a = = = = m m m m = g = 0,0 0,0 9,8 m/s 0,98 m/s a) Kitka on lepokitkaa, koska rengas ei sudi eli renkaan pinta ja asfaltin pinta eivät liu u toistensa suhteen. Lepokitkan suunta on sama kuin auton etenemissuunta. b) Junan pysäyttää pyörien ja kiskojen välinen lepokitka (olettaen että pyörät eivät liu u). c) Lämmittäminen pehmentää kumia, jolloin se pureutuu tiukemmin asfalttipinnan hienorakenteeseen. Renkaiden pito paranee, koska renkaiden vieriessä lepokitka renkaan ja tienpinnan välillä suurenee. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

59 Tämän ansiosta mm. kaarteet voidaan ajaa suuremmalla vauhdilla. d) Jos auton etupyörät vierivät (kitka lepokitkaa) ja takapyörät lukkiutuvat (kitka liukukitkaa), auton peräpää pyrkii kääntymään sivulle (vrt. käsijarrukäännöksen teko), koska liukukitka on pienempi kuin lepokitka. Liukuva perä kääntyy edelle, koska sivuttaisliikkeeseen joutuneen perän nopeus (vektorisuure) on suurempi kuin auton etuosan. Autojen etujarrujen on oltava tehokkaammat kuin takajarrujen, koska tällöin esim. lukkojarrutuksessa auto etenee liikkeen suunnassa eikä pääse kääntymään poikittain. Jos auton takajarrut olisivat tehokkaammat kuin etujarrut, autoa jarrutettaessa takarenkaat lukkiutuisivat (kitka liukukitkaa) ja eturenkaat vielä pyörisivät (kitka lepokitkaa): auton takapäähän vaikuttaisi silloin pienempi hidastava voima kuin etupäähän ja tämän seurauksena auto kääntyisi helposti poikittain etenemissuuntaansa nähden a) Lähtökitkan suuruus on F m µ 0,max = µ 0N = µ 0mg = 0,6, kg 9,8 3,06 N. s Liukukitkan suuruus on F m µ = µ N = µ mg = 0,, kg 9,8,47 N. s Koska jousivaa an lukema F =, N on pienempi kuin lähtökitka eli F < F µ0,max, kappale on levossa. Tällöin kappaleen liikeyhtälö on Σ F = 0. Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F / F µ = 0. Kitkan suuruus on F = F µ =, N (lepokitkaa). b) Kun kappaletta vedetään jousivaa alla vakionopeudella, vetävä voima on yhtä suuri kuin kitka eli F = F µ =,5 N (liukukitkaa) Kiekon kiihtyvyyden suuruus on v/ v 0,0 m/s /,6 m/s 0 a = = = / 0,0 m/s ja voiman suuruus t 8,0s F = ma = 0,70 kg (/0,0 m/s ) = /0,034 N. 7 Kitka

60 Liikettä hidastava kitka on liikkeen suunnalle vastakkainen ja sen suuruus on 0,034 N = 34 mn Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F + F + N + G = ma. µ Tason suunnassa on F + Fµ = ma. Kun reen liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F / F µ = ma. Kitka on F µ = µmg. Yhtälöstä F / µmg = ma saadaan kitkakertoimeksi F ma 750 N / 40 kg 0,0 m/s µ = / = 0,7. mg 40 kg 9,8 m/s 7-8. Kuvaaja N,F µ -koordinaatistossa. Liukukitkakerroin on 0,38. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

61 7-9. Jaetaan laskijan paino G rinteen suuntaiseen komponenttiin G x ja rinnettä vastaan kohtisuoraan komponenttiin G y. Tasoa vastaan G y kohtisuorassa suunnassa voimien summa on nolla, joten komponenttia kuvaava vektori on yhtä pitkä kuin rinteen pinnan tukivoimaa N kuvaava vektori. Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F + N + G = ma µ. Tason suunnassa on Σ F = ma eli Gx + Fµ = ma. Valitaan liikkeen suunta rinnettä alas positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä G x -- F µ = ma laskijan kiihtyvyydeksi saadaan Gx / Fo Gsinc / on mg sinc / omg cos c m( g sinc / og cos c) a = = = = m m m m = g (sinc/ µ cos c) = 9,8 m/s µ (sin5 / 0,5µ cos5 ),8 m/s, suunta tason suunnassa alas Kappaleen kiihtyvyyden suuruudeksi saadaan t,v-koordinaatistosta 4,5m/s a = v = = 4,5m/s. t,0s Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F + F + N + G = ma µ. 7 Kitka

62 Lattian suunnassa on F + Fµ = ma. Kun liikkeen suunta on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F / F µ = ma eli F / µmg = ma. Kitkakerroin on F ma 35,0 N / 4,0 kg 4,5 m/s µ = / = 0,43. mg 4,0 kg 9,8 m/s 7-. a) Koska laatikko liikkuu,0 sekunnissa alas,0 m ja oikealle 4,0 m, joten matka tasoa pitkin on s = (,0 m) + (4,0 m) 4,474 m. Yhtälöstä s = at laatikon kiihtyvyys tason suunnassa on s 4,474 m a = = =,3607 m/s, m/s. t (,0s),5m b) Tason kaltevuuskulma saadaan yhtälöstä tanc =, josta kulma 5,0m on c = 6,565. Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F + N + G = ma. µ Tason suunnassa on F = ma eli G x + Fµ = ma. Kun tason suunta alas on positiivinen, skalaariyhtälöstä G x / F µ = ma saadaan liukukitkan suuruudeksi F = G / ma = mg sin / ma µ x α = / 5 kg 9,8 m/s sin6,565 5 kg,3607 m/s 54 N. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

63 7-. Koska laatikko liikkuu vakionopeudella, Newtonin II lain mukaan on F = 0 eli F + F + N + G= 0 µ. Tason suunnassa on Σ F = 0 eli F + Gx + Fµ = 0. Kun sovitaan suunta pitkin kaltevaa tasoa ylös positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F -- G x -- F µ = 0, josta F = G x + F µ = Gsinα + µn. Tästä yhtälöstä ei vielä voi ratkaista voiman F suuruutta, koska pinnan tukivoiman N suuruutta ei tiedetä. Tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa: Σ F = 0 eli G + N = 0. Kun sovitaan suunta tasosta kohtisuorasti ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö N -- G y = 0, josta N = G y = Gcosα. Kun tukivoiman yhtälö sijoitetaan yhtälöön F = Gsinα + µn, vetävän voiman suuruudeksi saadaan F = Gsinα + µn = Gsinα + µgcosα = G(sinα + µcosα) = mg(sinα + µcosα) = 75 kg 9,8 m/s (sin4 + 0,45 cos4 ) 730 N. y 7 Kitka

64 7-3. Koska kirjan massa on 50 g, kirjaan kohdistuva paino on G = mg = 0,5 kg 9,8m/s 5,0 N. Lepokitka ylöspäin on F µo = µ0n = 0,60 N = 7, N > G, eli kirja pysyy paikoillaan a) Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat paino, lavan tukivoima ja kitka. Laatikkoa kiihdyttävänä voimana on lavan pinnan ja laatikon pohjan välinen lepokitka. b) Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F + N + G = ma. µ 0 Vaakasuunnassa on F = µ 0 ma. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi. Yhtälöstä µ0mg = ma saadaan kitkakertoimeksi a,8 m/s µ 0 = = 0,8, joka on pienempi kuin 0,37. g 9,8 m/s Näin ollen laatikko ei liu u Newtonin II lain mukaan on F = ma eli F 0,max + N + G = ma µ. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

65 Tienpinnan suunnassa on F = ma positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö F µ0,max = ma eli 0,58µ 0 N = ma eli 0,58µ 0 mg = ma. Maksimikiihtyvyydeksi saadaan a = 0,58 µ 0 g = 0,58 0,8 9,8 m/s,0 m/s. µ 0,max. Kun liikkeen suunta valitaan Maksimikiihtyvyyttä on vaikea saavuttaa, koska lepokitka muuttuu helposti liukukitkaksi, joka on pienempi kuin lepokitkan maksimiarvo. Kiihtyvyys pienenee auton nopeuden kasvaessa, koska tällöin ilmanvastus kasvaa Valitaan systeemin liikkeen positiiviseksi suunnaksi se, jossa alustalla oleva kappale liukuu oikealle ja riippuva kappale alas. Oletetaan, että lanka on venymätön. Koska langassa vallitsee sama jännitys, on T = T = T. Kappaleilla on sama kiihtyvyyden suuruus, koska ne liikkuvat yhdessä: a = a = a. Liikeyhtälöstä Σ F = ma eli T ja saadaan + Fµ = ma T+ G= ma skalaariyhtälöt 7 Kitka

66 T Fµ = ma T + G = ma eli T µ mg = ma T + mg. = ma Eliminoidaan yhtälöparista T laskemalla yhtälöt puolittain yhteen, jolloin kiihtyvyyden suuruudeksi saadaan a mg/ µ mg 3,0 kg 9,8 m/s / 0,0,0 kg 9,8 m/s = = m + m 5,0 kg 5, m/s. Kiihtyvyys on positiivinen eli tasolla olevan kappaleen kiihtyvyys on oikealle ja riippuvan kappaleen alas. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

67 TEHTÄVIEN RATKAISUT 8-. Jousivaa an lukema suolavedessä on pienempi kuin puhtaassa vedessä, koska suolaveden tiheys on suurempi kuin puhtaan veden ja siksi noste suolavedessä on suurempi kuin puhtaassa vedessä. 8-. a) Lasipalaan kohdistuvan nosteen suuruus on N =,40 N -- 0,84 N = 0,56 N. b) Nosteen yhtälöstä N = ρvg saadaan lasipalan tilavuudeksi 0,56 N 3 3 V = N = = 57,0846 cm 57 cm. 3 ρ g 000 kg/m 9,8 m/ s c) 8-3. a) Hydrostaattisesta paineesta aiheutuvan voiman suuruus laatikon yläpinnalla on F = p A = ρgh A = 000 kg/m 3 9,8 m/s 0,89 m (0,55m 0,55m) = 64,0 kn,6 kn ja alapinnalla F = p A = ρgh A = 000 kg/m 3 9,8 m/s,44 m (0,55m 0,55m) = 473,3 kn 4,3 kn. 8 Noste ja väliaineen vastus

68 b) Laitteeseen kohdistuvan nosteen suuruus on N = F -- F = 473,3 kn -- 64,0 kn,6 kn. Huomaa, nosteen voi laskea myös näin: N = ρvg = 000 kg/m 3 (0,55 m) 3 9,8 m/s,6 kn a) Kiveen kohdistuva paino on G = mg =, kg 9,8 m/s =,77 N N. b) Kiven massa ilmassa on sama kuin massa vedessä eli, kg. c) Lasketaan ensin kiven tilavuus. Tiheyden yhtälöstä ρ = m/v saadaan kiven tilavuudeksi m, kg / 4 3 V = = = 4,8 0 m 3. ρ 500 kg/m Kiveen kohdistuvan nosteen suuruus on N = ρ Vg = = 3 / kg/m 4,8 0 m 9,8 m/s 4,7088 N 4,7 N. d) Kivi pysyy paikoillaan, kun sitä tuetaan ylöspäin suuntautuvalla voimalla, jonka suuruus on F = G -- N =,77 N -- 4,7088 N 7, N a) Suolaisen meriveden tiheys on suurempi kuin järviveden tiheys. Näin ollen merivedessä uiminen on helpompaa, koska noste merivedessä on suurempi kuin järvivedessä. b) Vedessä kiven kannatteleminen on helpompaa veden nosteen vuoksi. Myös ilmassa kiveen kohdistuu noste, mutta se on ilmassa (kaasuissa) huomattavasti pienempi kuin nesteissä. c) Vesivoimistelua käytetään hoitokeinona. Veden keventävästä vaikutuksesta (nosteesta) johtuen esim. voimisteleminen vedessä on helpompaa kuin ilmassa ja se rasittaa niveliä vähemmän. Toisaalta veden vastus estää liikkeitä. Näin vesijumpassa lihakset joutuvat Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

69 työskentelemään voimakkaammin kuin esimerkiksi ilmassa altaan reunalla ja hyvin heikotkin lihakset voivat kuntoutua Kun lasikuvusta imetään ilmaa pois, ilmanpaine kuvun sisällä pienenee ja ilman tiheys alenee. Tällöin ilman lasipalloon kohdistama noste pienenee ja lasipallo painuu alaspäin Kelluva kappale syrjäyttää oman tilavuutensa verran vettä. Kummankin lelun syrjäyttämän veden paino on yhtä suuri kuin astiaan mahtuvan lisäveden paino, jos lelua ei olisi astiassa. Kaikissa tilanteissa punnitustulos on sama Pallon tilavuus on V = 4 πr = 4 π (0,05 m) 65,4498 cm. Kun pallo 3 3 uppoaa, sen syrjäyttämän veden tilavuus Arkhimedeen lain mukaan on 65,4498 cm 3. Tämän vesimäärän massa on m = ρv =,000 g/cm 3 65,4498 cm 3 = 65,4498 g. Vaa an lukema on 995 g + 65,4498 g 00 g Tasapainoehto on Σ F = 0 eli G. Kun suunta alas on jää + N = 0 positiivinen, saadaan skalaariyhtälö G jää -- N = 0 eli jääkuutioon kohdistuva paino on yhtä suuri kuin veden aiheuttama noste. 8 Noste ja väliaineen vastus

70 Olkoon x jääkuution vedenpinnan alapuolella olevan sivun pituus, A pohjan pinta-ala sekä h kuution sivun pituus. Vedenpinnan alapuolella olevan jääpalan tilavuus on V = Ax. Yhtälö G jää = N saadaan muotoon m jää g = ρ vesi Vg eli ρ jää V = ρ vesi Ax eli ρ jää Ah = ρ vesi Ax ρ jää h = ρ vesi x. Jääkuution vedenpinnan alapuolella olevan sivun x pituus on x ρ 3 jää 90 kg/m = h= 3 4,0 m = 3,578 m ρvesi 030 kg/m Jäästä on pinnan alapuolella 3,578 m ja pinnan yläpuolella 4,0 m -- 3,578 m = 0,478 m. Pinnan yläpuolella on tilavuudesta 0,478 m 6 m = 6,83488 m 3. Se on noin % koko tilavuudesta a) Painon yhtälöstä G = mg kappaleen massa ilmassa on m = G. Nosteen g yhtälöstä N = ρvg kappaleen tilavuus on V = N. Veden tiheys on ρ g,0 g/cm 3. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

71 Lasketaan kunkin kappaleen massa ja kuhunkin kappaleeseen kohdistuva noste sekä kappaleen tilavuus. Kappale G ilma (N) G vesi (N) 0, 0, 0,6 0,3 3 0,39 0,34 4 0,53 0,46 5 0,69 0,59 6 0,79 0,69 Kappaleen tilavuus massan funktiona: Kappale m (g) N (N) V = N ρ g (cm 3 ), 0,0,0 6,5 0,03 3, 3 39,8 0,05 5, 4 54,0 0,07 7, 5 70,3 0,0 0, 6 80,5 0,0 0, b) Kappaleen 5 mittaustuloksessa on satunnainen virhe, hylätään se. Mittausohjelman mukaan suoran fysikaalinen kulmakerroin on 0,69 cm 3 /g. Kappaleen tiheys on fysikaalisen kulmakertoimen käänteisluku eli ρ = 7,9 g/cm 3. 8 Noste ja väliaineen vastus

72 8-. Koska pienoismalli keveni 640 g = 0,64 kg, syrjäytetyn veden massa on myös 0,64 kg. Pienoismalliin kohdistuva noste on yhtä suuri kuin syrjäytettyyn vesimäärään kohdistuva paino, eli noste on N = 0,64 kg 9,8 m/s = 6,784 N. a) Nosteen yhtälöstä N = ρvg pienoismallin tilavuudeksi saadaan N 6,784 N / V = = = 6,4 0 m = 640 cm 3. ρ g 000 kg/m 9,8m/s (Tilavuuden voi laskea myös syrjäytetyn veden massan avulla: m 0,64 kg / V = = = 6,4 0 m = 640 cm 3.) ρ 000 kg/m b) Koska mittakaava on :0, tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio: dinosauruksen tilavuus on 0 3 6,4 0 /4 m 3 = 5, m 3 5, m c) Dinosauruksen massa olisi m= ρv = 000 kg/m 5, m 500 kg. 8-. Rajatapauksessa palloon kohdistuva noste on yhtä suuri kuin palloon kohdistuva kokonaispaino. Tasapainoehto on F = 0 eli Gkok + N = 0. Valitaan suunta alas positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä G kok -- N = 0 saadaan yhtälö m ki g + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg. Kuuman ilman massa voidaan kirjoittaa muotoon m ki = ρ ki V; sijoitetaan tämä edelliseen yhtälöön. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

73 Yhtälöstä ρ ki Vg + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg kuorman massa on m kuorma = ρ ilma V -- ρ ki V -- m pallo = (ρ ilma -- ρ ki )V -- m pallo = (,3 kg/m ,85 kg/m 3 ) 60 m kg = 49 kg a) Epäily rautalaivojen kellumisesta johtui siitä, että raudan tiheys oli suurempi kuin veden. Rautalaivan pysyminen pinnalla johtuu veden nosteesta. Kelluva laiva on ontto, eli valtaosa laivan tilavuudesta on ilmaa. Laivaan kohdistuva veden noste on yhtä suuri kuin laivan syrjäyttämään vesimäärään kohdistuva paino. b) Pelastusliivit valmistetaan vedenpitävästä, kevyestä ja kelluvasta materiaalista. Pelastusliivien varassa ihminen kelluu, vaikka uimiseen tai veden pinnalla pysymiseen tarvittavat voimat vedessä loppuisivat. Varsinaisten pelastusliivien (ei uimaliivien) etupuolella on suuret kellukkeet, jotka kääntävät veden varaan joutuneen tajuttoman henkilön selälleen, jolloin pää pysyy veden yläpuolella Alussa palloa on helppo työntää veteen, koska vedestä palloon kohdistuva noste on pieni. Mitä syvemmälle yrität painaa palloa, sitä suurempi noste on. Nosteen suuruus riippuu vedenpinnan alapuolella olevan pallon osan tilavuudesta. 8 Noste ja väliaineen vastus

74 8-5. Nopeuden kuvaaja. b) Pallon nopeus hetkellä 0,0 s on,0 m/s ja hetkellä 0,60 s 5,4 m/s. c) Nopeuden kuvaaja kaartuu, koska pallon nopeuden kasvaessa palloon kohdistuva ilmanvastus kasvaa. d) Hetkellä 0,35 s pallon kiihtyvyys on 9,036 m/s. Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli G + Fi = ma. Kun valitaan suunta alas positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö G / F i = ma, josta ilmanvastuksen suuruus hetkellä 0,35 s on F i = G / ma = mg -- ma = m(g -- a) = 0,03 kg (9,8 m/s / 9,036 m/s ) 9,5 mn. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

75 8-6. Vedessä olevaan sormen osaan kohdistuu noste. Newtonin III lain mukaan sormi kohdistaa veteen nosteen suuruisen alaspäin suuntautuvan voiman. Vaa an lukema pienenee, kun sormi otetaan pois vedestä Laituriin kohdistuvan nosteen on oltava yhtä suuri kuin styroksin, puuosien ja kuorman yhteenlaskettu paino. Tasapainoehto on Σ F = 0 eli G + N =. kok 0 Kun valitaan suunta ylös positiiviseksi, saadaan yhtälö N G kok = 0, josta G kok = N eli G henkilöt + G puuosat + G styroksi = ρ vesi Vg. Olkoon n on tarvittavien styroksikellukkeiden lukumäärä. Tarvittavaan styroksimäärään kohdistuva paino on G styroksi = n m styroksi g = n ρ styroksi Vg. Laituriin kohdistuva kokonaispaino on G kok = G henkilöt + G puuosat + G styroksi = 4 75 kg 9,8 m/s + 95 kg 9,8 m/s + n 5 kg/m 3 0,075 m 3 9,8m/s = 3874,95 N + n 8,39 N. Veden noste on N = ρ vesi Vg = 000 kg/m 3 n 0,075 m 3 9,8 m/s = n 735,75 N. Kun em. lausekkeet sijoitetaan yhtälöön G kok = N, saadaan yhtälö G henkilöt + G puuosat + G styroksi = N eli 3874,95 N + n 8,39 N = n 735,75 N. 8 Noste ja väliaineen vastus

76 Ratkaistaan yhtälöstä n: 3874,95 N = n 735,75 N / n 8,39 N 3874,95 N = n 77,36 N, josta 3874,95N n = 5,4. 77,36 N Styroksikellukkeita tarvitaan 6 kpl a) Kun Jukka seisoo linja-auton käytävällä ja auto lähtee i) liikkeelle, Jukka pyrkii horjahtamaan taaksepäin ja kun auto ii) jarruttaa, Jukka horjahtaa eteenpäin. b) Kun autoa kiihdytetään, ilman hitaus saa ilman pakkautumaan auton peräosaan. Ilman tiheys siis kasvaa auton takapäätä kohti mentäessä. Tästä aiheutuu ilmassa olevaan heliumpalloon noste vaakasuorassa suunnassa kohti auton etupäätä. Nosteen suunta on aineen tiheämmästä osasta kohti harvempaa osaa. Kun autoa jarrutetaan, ilman hitaus saa ilman pakkautumaan auton etuosaan. Ilman tiheys kasvaa auton etupäätä kohti mentäessä. Tästä aiheutuu ilmassa olevaan heliumpalloon noste vaakasuorassa suunnassa kohti auton takapäätä. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

77 TEHTÄVIEN RATKAISUT 9-. a) Ei b) Kyllä c) Kyllä. 9-. Jos soudat oikean käden puoleisella airolla voimakkaammin kuin vasemman käden puoleisella airolla, vesi kohdistaa oikean käden puoleiseen airoon suuremman voiman kuin vasemman käden puoleiseen airoon. Tällöin suuremman voiman aiheuttama vääntömomentti on suurempi ja vene kääntyy vasemman käden suuntaan eli kulkusuunnassa oikealle. 9 Voiman momentti

78 9-3. Sovitaan kiertosuunta vastapäivään positiiviseksi. Sulkijapumpun varsi kohdistaa oveen voiman, jonka momentti M A = F sulkija r s sulkee oven, ellei sulkeutumista estetä. Oven avoimena pitämiseen tarvitaan yhtä suuri voiman momentti vastakkaiseen kiertosuuntaan. Kun este asetetaan oven eteen, esteestä kohdistuu oveen voima F, jonka momentti oven saranoiden A suhteen on M A = Fr. Voima F on yhtä suuri kuin lattian esteeseen kohdistama kitka. Kuva : Ovi on kuvattu ylhäältä päin. Este on lähellä saranaa. Kun este on lähellä saranaa, voiman F momentti on M,A = F r. Ovi lähtee sulkeutumaan, koska tässä tapauksessa voiman F vääntövarsi r on pieni ja siksi oven sulkijan voiman momentti on suurempi kuin esteen voiman vastakkaissuuntainen momentti. Kuva : Este on kaukana saranasta. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

79 Kun este on kaukana saranasta, voiman F momentti on M,A = F r. Tässä tapauksessa r on suuri, joten voiman F momentti on riittävän suuri kumoamaan sulkijan aiheuttaman vääntövaikutuksen. Huomaa, että saranoihin kohdistuvia voimia ei tarkastella, koska niillä ei ole vääntövaikutusta Tarvittava voima on pienin, kun voima on kohtisuorassa voiman vartta vastaan. Voiman momentti on M = Fr, joten pienimmän voiman suuruus on M 30 Nm F = = 540 N. r 0,4 m 9-5. Merkitään mittauspisteiden arvot taulukkoon: /r (/m),3, 3,0 3,5 4,3 F (N) Viedään taulukossa olevat arvot mittausohjelmaan. 9 Voiman momentti

80 Koska voiman momentti on M = Fr, eli F = M, voiman momentti r saadaan suoran fysikaalisena kulmakertoimena. Mittausohjelman perusteella oven auki pitämiseen tarvittavan voiman momentti on M Nm Merkitään mittaustulokset taulukkoon. Koska voiman momentti on kääntäen verrannollinen voiman suuruuteen, lasketaan taulukkoon /r :n arvot. r (m) 0,03 0,05 0,0 0,5 0,0 /r (/m) 33,33 0,00 0,00 6,67 5,00 F (N) 0,5,5 6,0 4,0 3,0 Viedään arvot /r,f mittausohjelmaan. Voiman momentti on mittausohjelman perusteella 0,6 Nm 0,6 Nm Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

81 9-7. a) Kun momentin kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, voiman F momentti akselin A suhteen on M A = -- F r = -- 4,0 N 0,0 m = -- 0,44 Nm. Momentti on 0,44 Nm myötäpäivään. b) Kun kulma α = 90, voimien momenttien summa on M A = F r F r = -- 4,0 N 0,0 m 6,0 N 0,0 m,8 Nm. Jos kulma α = 50, voiman F vartta vastaan kohtisuora komponentti on F y = F sin 50 = 6,0 N sin 50 4,5967 N. Momenttien summa akselin A suhteen on ΣM A = -- F r -- F y r = -- 0,44 Nm -- 4,5967 N 0,0 m --,5 Nm. Momentti on,5 Nm myötäpäivään. (Samaan lopputulokseen päädytään myös siten, että lasketaan voimalle sitä vastaan kohtisuora vääntövarsi.) r,kohtisuora = r sin 50 = 0,0 m sin 50 0,68530 m. Momenttien summa on silloin ΣM A = -- F r -- F r,kohtisuora = -- 0,44 Nm -- 6,0 N 0,68530 m --,5 Nm Koska voiman momentti on kääntäen verrannollinen voiman vaikutussuoran etäisyyteen kiertoakselista, lisätään taulukkoon arvot /r. r (m) 0,5 0,30 0,45 0,60 0,75 6,67 3,33,,67,33 r m F (N) 36,5 7,8,0 8,8 7,3 9 Voiman momentti

82 Viedään arvot /r,f mittausohjelmaan. Mittausohjelman perusteella voiman momentti on 5,5 Nm. Momentin kiertosuunta on vastapäivään. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

83 9-9. Taulukoidaan mittaustulokset ja lasketaan voiman vaikutussuoran etäisyys r kiertoakselista. Lasketaan myös r:n käänteisarvot /r. Kiertoakseli on viivaimen kohdassa 0,078 m. Voiman vaikutussuoran etäisyys kiertoakselista saadaan vähentämällä anturin ripustuskohdan lukemasta x kiertoakselin kohdan lukema x A. x A (m) x (m) r (m) = (x x A ) (m) /r (/m) F (N) 0,078 0,0 0, 8,97,90 0,078 0,40 0,3 3,0559 4,95 0,078 0,60 0,5,957 3,07 0,078 0,80 0,7,38504,3 0,078,00 0,9,08460,79 Viedään arvot /r,f mittausohjelmaan. 9 Voiman momentti

84 Voiman momentti on /r,f-koordinaatistossa esitetyn suoran F = M kulmakerroin. r Mittausohjelman mukaan voiman momentti on,6 Nm vastapäivään Valitaan kiertosuunta vastapäivään positiiviseksi. Tukki irtoaa tueltaan, jos nostavan voiman momentti positiiviseen kiertosuuntaan on suurempi kuin painon momentti negatiiviseen kiertosuuntaan. Tällöin tukki joutuu pyörimisliikkeeseen akselin A ympäri. Painon momentti negatiiviseen kiertosuuntaan on M 46 kg 9,8 m G= GrG= mgrg=,5 m = 676,89 Nm. s Kahvasta nostettaessa voiman momentin pitää olla positiiviseen kiertosuuntaan suurempi kuin 676,89 Nm. Rajatapauksessa, jolloin tukki on irtoamassa alustastaan, voiman momentti on M 676,89 Nm A M A = Fr = 676,89 Nm, eli F = r = r. Näin ollen eri kahvoista nostettaessa tarvittavan voiman suuruus on suurempi kuin Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

85 676,89 Nm 676,89 Nm F = 900 N, r = 0,75 m 676,89 Nm 676,89 Nm F = 450 N, r =,50 m 676,89 Nm 676,89 Nm F = N r =,5 m ja 3 676,89 Nm 676,89 Nm F = 4 30 N. r = 3,0 m 4 Huomaa: Osoittajan tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa. Siksi vastaustenkin tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa. 9-. Polkupyörän polkimeen kohdistuu pyöräilijän painon suuruinen voima eli F = G. a) Voiman momentti on M m A = Fr = Gr = mgr = mglsin α = 57 kg 9,8 0,7 m sin75 9 Nm. s Momentti on 9 Nm vastapäivään. b) Voiman momentti on 9 Voiman momentti

86 M m A = Fr = Gr = mgr = mglcos c = 57 kg 9,8 0,7 m cos75 5 Nm. s Momentti on 5 Nm vastapäivään. 9-. Uimahyppääjän paino on yhtä suuri kuin uimahyppääjän jalkapohjien lautaan kohdistama voima F. Voiman F ja laudan painon G momenttien suunnat ovat negatiivisia akselin A suhteen. MA = G r Fr = mlautag r mhyppääjäg r,0 m = 5 kg 9,8 m 78 kg 9,8 m,0 m 700 Nm. s s Momentti on 800 Nm myötäpäivään. Huomaa: Laudan vapaa pää voi olla myös vasemmalla, jolloin kiertosuunta on vastapäivään. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

87 TEHTÄVIEN RATKAISUT 0-. a) Laatikot kaatuvat järjestyksessä, 5, 3, 4, 6 ja. b) Laatikot kaatuvat aina samassa järjestyksessä, koska kukin laatikko lähtee kaatumaan sillä hetkellä, kun painopiste siirtyy kallistettaessa tukipinnan ulkopuolelle. Mitä pidempi tukipinta on kaltevan tason suunnassa, sitä jyrkempi kulma tarvitaan, että laatikko kaatuisi. 0-. b) Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla. Yhtälöstä M = G saadaan. varsirvarsi Gharjarharja = 0 Gharjarharja = Gvarsirvarsi Harjaosan ja varsiosan momentit sormen kosketuskohdan suhteen ovat yhtä suuret. Harjaosan painopiste on lähempänä tukipistettä, joten rvarsi harjaosan voiman varsi on pienempi kuin varsiosan. Koska Gharja = G r harjaosa on painavampi. harja varsi, 0-3. a) Painonnostokilpailussa painoja on helpompi nostaa, jos painot ovat yhtä suuret ja tangon eri päissä. Painopiste on tangon geometrisessä keskipisteessä. Painonnostaja pyrkii asettamaan kätensä yhtä kauas tangon painopisteestä (geometrisestä keskipisteestä). b) Painonnostossa käytetään leveää otetta, jolloin tanko on mahdollisimman helppo pitää tasapainossa. Raskaat levyt tangon päissä aiheuttavat suuren momentin tankoon. Jos kädet olisivat lähekkäin, pienikin ero käsien ja tangon keskipisteen välisissä etäisyyksissä aiheuttaisi suuren eron vasempaan ja oikeaan käteen kohdistuvissa voimissa. Samoin pienikin tangon kiertoliike tangon keskipisteen ympäri noston aikana olisi vaikea pysäyttää, nostaja menettäisi helposti tasapainonsa sivusuunnassa. 0 Jäykän kappaleen tasapaino

88 0-4. Joidenkin kukkien, esimerkiksi tulppaanien, varsi kasvaa nopeasti maljakossa. Samalla maljakon pohjalla oleva vesi vähenee sen noustessa varteen. Kukat voivat taipua kasvaessaan kauas reunan yli, ja kukkaasetelman painopiste muuttuu. Maljakon, veden ja kukkien yhteinen painopiste voi siirtyä maljakon kapean pohjan tukipinnan ulkopuolelle, varsinkin jos kukat taipuvat samaan suuntaan. Näin maljakko voi kaatua itsestään a) Tasapainotilassa kärryyn kohdistuvien voimien momenttien summa on nolla eli ΣM A = 0. Yhden käden kärryn aisaan kohdistama voima on F. Kun suunta vastapäivään on positiivinen, saadaan yhtälö -- Fr + Gr = 0 Fr = Gr, joten F Gr 430 N 0,47 m 84 N. r, m = = Kumpaankin käteen kohdistuva voima on yhtä suuri eli 84 N, mutta vastakkaissuuntainen (alas). Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

89 b) Tasapainotilassa avaajaan kohdistuvien voimien momenttien summa on nolla eli ΣM A = 0. Kun suunta vastapäivään on sovittu positiiviseksi, saadaan yhtälö -- F r + F r = 0 eli F r = F r, joten Fr F 7,0 cm F = = = 7,0 F. r,0 cm Korkin reunan avaajaan kohdistama voima F on yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen kuin avaajan korkkiin kohdistama voima F. Korkin reunaan kohdistuva voima on 7,0-kertainen vääntävään voimaan verrattuna. 0 Jäykän kappaleen tasapaino

90 0-6. Newtonin III lain mukaan varsi kohdistaa pähkinään yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman kuin pähkinä kohdistaa varteen. Särkymisen rajatapauksessa ylempään varteen kohdistuvien voimien momenttien summa on nolla eli ΣM A = 0. Suunta vastapäivään on positiivinen, joten -- F r + F r = 0 eli F r = F r, joten särkijän kumpaakin vartta on painettava voimalla, jonka suuruus on F Fr 43 N 0,06 m 9,3 N. = = = r 0, m 0-7. Tasapaksuun hirteen kohdistuva paino vaikuttaa hirren painopisteeseen eli keskipisteeseen. Hirren tasapainoehto pystysuunnassa on F = 0 eli F+ F+ G= 0. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F + F G=. 0 Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

91 F Vasemmanpuoleisen tukivoiman vaikutuskohta on A. Valitaan kohta A momenttiakseliksi. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, akselin A suhteen momenttiyhtälö on MA = Gr + F r = 0. Tukivoiman F suuruus on mgr 40 kg 9,8 m/s,0 m = = = 457,8 N. r 3,0 m F F Tukivoiman suuruus saadaan yhtälöstä F + F G=, joten F G F mg F = / = / = 40 kg 9,8m/s / 457,8 N 95,4 N. Voimat ovat 460 N ja 90 N Jäykän kappaleen tasapaino

92 a) Valitaan pyörän akseli A momenttiakseliksi. Kärryyn kohdistuvan painon G ja pyöriin kohdistuvan tukivoiman N vaikutussuoran etäisyys akselista A on 0,0 m, joten näillä voimilla ei ole vääntövaikutusta akselin A suhteen. Tasapainotilanteessa voimien momenttien summa on nolla. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, akselin A suhteen momenttiehto on M A = 0 eli G r N r = 0, josta tukivoiman N suuruus on m G r mgr 65 kg 9,8, m N s = = = = 80,566 N 80 N r r,5 m ja suunta on ylös. b) Peräkärry on tasapainossa, joten tasapainoehto pystysuunnassa on Newtonin II lain perusteella F = 0 eli N+ N+ G+ G = 0. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö N + N G G = 0, josta ratkaistaan pyöriin kohdistuvan tukivoiman suuruus: N = G + G N = m g +m g N = 570 kg 9,8 m/s + 65 kg 9,8 m/s 80,566 N 5900 N ja suunta on ylös. c) Kun peräkärry kuormataan, peräkärryn aisa ei saa nousta itsestään ylös, jos aisaa ei tueta. Jos pesukone sijoitetaan kuvatussa tilanteessa pyörien taakse, aisa nousee itsestään ylös. Jos tällainen aisa kiinnitetään auton vetokoukkuun, aisasta koukkuun kohdistuvan voiman suunta on ylös. Vetokoukkuun ylös suuntautuva voima voi jossakin tilanteessa aiheuttaa perän kevenemisen niin, että takapyörät menettävät sivusuuntaisen pitonsa. Huomaa, että koukkuun kiinnitetty väärin kuormatun kärryn aisa ei irtoa koukusta, vaan nostaa koukkua ja samalla auton perää. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

93 0-9. a) Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, tangon alapään akselin A suhteen momenttiyhtälö on MA = Tr G r= 0, joka geometrian perusteella on M, kun l on lipputangon pituus. A = Tl sin 45 G l cos45 = 0 T on vaijerin jännitysvoima. Sen suuruus on mg l cos45 T = = = = l sin45 sin45 sin45 mg 78 kg 9,8m/s cos45 cos45 38,59 N 380 N. b) Tangon tasapainoehto on Newtonin II lain perusteella F = 0 eli vaakasuunnassa Fx + T = 0. Kun suunta oikealle on positiivinen, skalaariyhtälöstä Fx T = 0 voiman F x-komponentin suuruudeksi saadaan Fx = T = 38,59 kn. Tangon tasapainoehto on Newtonin II lain perusteella F = 0 eli pystysuunnassa F. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan y + G = 0 skalaariyhtälö F. Voiman F y-komponentin suuruudeksi y G = 0 saadaan 0 Jäykän kappaleen tasapaino

94 Fy = mg= 78kg 9,8m/s 765,8N. Voiman F suuruus on F = F + F = (38,59 N) + (765,8 N) = 855,497 N 860 N. x y Voiman suunta saadaan yhtälöstä Fy tanα = = 765,8 N, josta kulma on α 63. F 38,497 N x 0-0. a) Köyden jännitysvoima on joka kohdassa yhtä suuri. Koska kuormaa kannattelee kaksi köyttä, nostoon tarvittavan voiman suuruus on G mg 5kg 9,8m/s F = = = 0 N. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

95 b) Köyden jännitysvoima on joka kohdassa yhtä suuri. Koska kuormaa kannattelee neljä köyttä, nostoon tarvittavan voiman suuruus on G mg 0 kg 9,8m/s F = = = 90 N Huomaa, että taljan kahteen pyörään kohdistuu köysien jännitysvoimat, joiden suuruudet ovat G/ Kuvaan on merkitty lankkuun vaikuttavat voimat. 0 Jäykän kappaleen tasapaino

96 Lankun alapäässä vaikuttavat lattian tukivoima N ja kitka F µ. Yläpäässä lankkuun kohdistuu seinän tukivoima N ja koska seinä oletettiin liukkaaksi, kitka F µ. Lankun painopisteessä vaikuttaa 0N lankkuun kohdistuva paino G. Tasapainoehto etenemisen suhteen pystysuunnassa on Newtonin II lain perusteella F y = 0 eli N + G= 0. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälöstä N G = 0 saadaan N = G. Tasapainoehto vaakasuunnassa on Newtonin II lain perusteella F x = 0. eli N. Kun suunta oikealle on positiivinen, skalaariyhtälöstä + F µ = 0 N F µ = 0 saadaan N = F µ = µn = µg. Asetetaan momenttiakseli pisteeseen A. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, tasapainotilanteessa momenttien summa akselin A suhteen on ΣM A = 0 eli Na + G b= 0. Koska N = µg, momenttiehto Na + G b= 0 saadaan muotoon µga + G b = 0 eli µ a+ b= 0, b josta saadaan a = µ. Toisaalta suorakulmaisen kolmion trigonometrian perusteella on tanθ = b, joten yhtälöstä a tanθ = b = µ = 0,4 = 0,84 a saadaan kulma θ 40. Lankku voidaan asettaa seinään nähden korkeintaan 40 :n kulmaan. TESTAA, OSAATKO S. 0. c. a 3. a 4. b 5. a b 6. b 7. c 8. b 9. b c 0. b Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

97 TEHTÄVIEN RATKAISUT -. a) Pulkan vetonarun pulkkaan kohdistama voima isän vetäessä lasta pulkassa. Hissin vaijerien välittämä voima hissin noustessa ylös. Käsien tarjottimeen kohdistama voima kannettaessa ruoka-annosta ruokalan pöytään. b) Putoavaan lumihiukkaseen vaikuttava ilmavastus. Suksiin vaikuttavan kitkan tekemä työ. Käsien tekemä työ laskettaessa reppua lattialle. c) Naulakon koukun takkiin kohdistama voima. Matkalaukun paino laukun liikkuessa liukuhihnalla. Lepokitkan tekemä työ pöydän pinnalla olevaan kappaleeseen. -. a) Paino on kohtisuorassa lattian suuntaista siirtymää vastaan, joten se ei tee työtä. b) Jos opettaja liikkuu vakionopeudella, kirjoihin liikkeen suunnassa vaikuttava voima on nolla. Opettajan kirjoihin kohdistama voima ei tee silloin työtä. Lähtiessään liikkeelle opettajan täytyy kohdistaa kirjoihin liikkeen suuntainen voima, jotta myös kirjat lähtevät liikkeelle (eli ovat kiihtyvässä liikkeessä). Tässä vaiheessa opettajan käsien voima tekee työtä. -3. a) Työ on W = F s = 05 N,0 m = 40 Nm = 40 J. b) Työ on W = F cosc s= 05 N cos 45,0 m = 89,94 J 90 J. -4. a) Koska piano lasketaan tasaisella nopeudella, on nosturin pianoon kohdistama voima F saman suuruinen kuin pianon paino G eli F = G = mg. Voiman F suunta on ylöspäin eli vastakkainen siirtymälle. Työ

98 Voiman tekemä työ on silloin m W = F s = mg s = 0 kg 9,8 m = 5,8984 kj 6 kj. s Painon tekemä työ on m W = G s = mg s = 0 kg 9,8 m = 5,8984 kj 6 kj. s b) Painon tekemä työ on sama kuin edellisessä tapauksessa eli 6 kj. -5. a) Työtä tekevät voimat ovat pyöriin vaikuttava kitkavoima F µ liikkeen suunnassa ja vastakkaisessa suunnassa painon G luiskan suuntainen komponentti G x. b) Koska luiskan kaltevuus on 5, on G x :n suuruus m Gx = Gsin5 = mg sin5 = 8 kg 9,8 0,588 = 08,84 N. s Oletetaan, että pyörätuoli liikkuu likimain vakionopeudella. Silloin kitkan F µ suuruus on sama kuin vastakkaiseen suuntaan vaikuttavan voiman G x suuruus eli F µ =08,84 N. Voiman tekemäksi työksi saadaan silloin W = Fµ d = 08,84 N 3,0 m 60 J. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

99 -6. Anodin ja katodin välinen jännite on U = Ed, josta saadaan sähkökentän U voimakkuudelle E =. Sähköinen voima on suuruudeltaan F = Eq, d jossa q on hiukkasen varauksen suuruus. Sähköisen voiman tekemä työ on U W = Fd = Eqd = qd d 9 9 = Uq = 4,0 V,608 0 C = 4,0 ev 6,4 0 J. -7. Työ saadaan summana W = W + W = F s + F s hiekka hiekaton hiekka hiekka hiekaton hiekaton = 50 N 5,0 m + 0 N 0,0 m = 450 J. Laskukaavasta voi päätellä, että työ on voiman kuvaajan alle jäävä pintaala. -8. a) Yhtälöstä P = Fv saadaan ratkaistua voima F : 3 P W F = = 37 kn. v 37 m 3,6 s b) Koska sinivalas ui tasaisella vauhdilla, on liikkeen suuntainen kokonaisvoima nolla. Täten veden vastusvoima on samansuuruinen kuin voima F eli 37 kn. c) Valas kohdistaa pyrstönsä liikkeillä veteen voiman. Newtonin III lain mukaan vesi kohdistaa valaaseen yhtä suuren vastakkaissuuntaisen voiman. Tämä voima pitää valaan liikkeessä. Työ

100 -9. a) Työ on voiman kuvaajan ja vaaka-akselin väliin jäävä fysikaalinen pinta-ala. Se on W = 5,0 m 5 N + 5,0 m 5 N 90 J. b) Ensimmäisen 5 m:n matkalla voima on vakio, joten liike on tasaisesti kiihtyvää. c) Koko 0 m:n matkan ajan kappaleeseen on vaikuttanut positiivinen voima, joten kappaleen nopeus on ollut koko ajan kiihtyvää. 0 metrin jälkeen kappale jatkaa liikettään sillä nopeudella, jonka se on sitä ennen saavuttanut. -0. a) Nostava voima on sama kuin koneen paino eli F = mg joten työ on 3 m 3 W = F h = mg h = kg 9,8 0 m = 60,496 GJ 60 GJ. s b) Lentokone nousee km:n korkeuteen teholla W 60,496 GJ P = = 4 MW. t 4 60 s -. Lentokoneen liikkeen ylläpitämiseksi tarvittava teho on P = Fv, jossa F on ilmanvastuksen voittamiseen tarvittava eteenpäin suuntautuva voima. Kun F on samansuuruinen kuin ilmanvastus, liike tapahtuu tasaisella nopeudella. Voimaksi saadaan Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

101 P 80 kw F = = =,349 kn. v 80 m 3,6 s Tämä voima tekee työn W = Fs =,349 kn 50 km 350 MJ. -. Teho on P = Fv t, joten työntövoima on F t P 6 0 W 54 kn. = = = v 400 m 3,6 s -3. Lasketaan ensin askelmien määrä: korkeusero 5 m askelmien määrä = = = 75. askelman korkeus 0,0 m Liukuportaiden kuljettama massa on silloin m = 75 60,0 kg = 4500 kg. Liukuportaat liikkuvat tasaisesti, joten ylöspäin vaikuttavan voiman F on oltava saman suuruinen kuin alaspäin vaikuttava paino eli F = mg. Sen voiman tekemä työ on W = F h = mg h, jossa h = 5 m. Tehon laskemiseksi pitää tietää nousuaika. Portaiden pituus on h 5 m L = = = 30 m. sin30 0,5 L 30 m Nousuaika on silloin t = = = 4,86 s. v m 0,70 s Liukuportaiden nostavan voiman tehon on oltava vähintään m 4500 kg 9,8 5 m W mg h P = = = s 5 kw. t L 4,86 s v Työ

102 -4. a) Jännitysvoiman liikkeen suuntainen osa on T cos 45. Sen tekemä työ saadaan työn yhtälöstä W = Fs eli W = Fs = T cos45 s = N cos m =559,7 J 600 J. b) Voiman tekemän työn teho saadaan yhtälöstä W 559,7 J P = = 8 W. t 55 s W P = : t -5. Kaalilaatikkoon vaikutti luiskan suunnassa kolme voimaa, voima F, jolla viljelijä työnsi laatikkoa, laatikon painon komponentti luiskan suunnassa ja kitka. Koska liike oli tasaista, nämä vastakkaisiin suuntiin vaikuttaneet voimat olivat yhtä suuret eli F = G jossa on painon x + Fµ ja N = Gy, G x komponentti luiskan suunnassa ja G y luiskaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Koska pinnan tukivoima ja painon pintaa vastaan kohtisuora komponentti ovat yhtä suuret, on kitkan suuruus F N G y. Silloin µ = µ = µ F = G + Fo = G + og = Gcosc + ogsinc = mg cosc + omg sinc x x y ( ) = 45 kg 9,8 m/s sin38 + 0,3 cos38 = 383,0 N. Voiman tekemä työ on W = F s= 434,838 N 3,5 m,3 kj. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

103 -6. a) Kuvaajasta nähdään, että sen jälkeen kun kappale on lähtenyt liikkeelle hetkellä noin 3 s (lepokitka muuttuu silloin liikekitkaksi), kappaletta vetävän voiman suuruus vaihtelee välillä 7 N -- 8 N. Keskimääräisen voiman suuruudeksi voidaan arvioida F 7,5 N. b) Aika-paikka-kuvaajasta voidaan määrittää kappaleen kulkemaksi matkaksi s 0,54 m. Työn yhtälöstä W = Fs saadaan silloin voiman tekemäksi työksi W 7,5 N 0,54 m 4,0 J. Työ

104 c) Kohdan b kuvaajasta saadaan voima vaikutusajaksi t s -- 3 s = 8 s. W W 4,0 J Tehon yhtälöstä P = saadaan voiman tehoksi P = = 0,5 W. t t 8 s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

105 TEHTÄVIEN RATKAISUT -. a) Liike-energia on E b) Liike-energia on E -. Henkilöauton liike-energia on E 90,0 m k = mv = = 50 kg 390,65 kj. 3,6 s Liike-energian yhtälöstä saadaan rekan nopeudeksi v k k = mv = 60 kg 6 m = 83 J. 3,6 s = mv = 0 kg 00 m 3,9 kj. 3,6 s 3 Ek 390,65 0 J km km rekka = = = 3 mrekka 40 0 kg h h 4,494 3, a) Liike-energia on verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin. Esimerkiksi jos nopeus kaksinkertaistuu, liike-energia nelinkertaistuu. b) Koska nopeus pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan, liike-energia pienenee neljäsosaan. -4. a) Auton nopeus 80 metrin kohdalla on 00 km/h. Sen liike-energia on silloin E 00 m k = mv = = 50 kg 0,4853 MJ 0,48 MJ. 3,6 s b) Koska liike-energia on verrannollinen nopeuden neliöön, liike-energia pienenee puoleen silloin, kun nopeus pienee tekijällä eli 0,7 nopeus on 00 km/h. Kun kiihtyvyys on vakio, auton nopeus hetkellä t on v = at ja auton kulkema matka s = at. Liike-energia

106 v Ratkaisemalla ensimmäisestä yhtälöstä aika, t =, ja sijoittamalla se a v v jälkimmäiseen yhtälöön, saadaan s a = eli a = v = as. a 00 km/h ax Saadaan verranto x = eli =, a 80 m 00 km/h 80 m jossa x on kysytty matka. Saadaan x = 80 m 90 m. -5. Jousen aiheuttaman voiman tekemä työ on W = F s= 0 N 0,73 m = 73,7446 J. Tämä työ on työ-energiaperiaatteen mukaan sama kuin nuolen liikeenergian muutos eli W = Ek = mvl mva = mvl 0. Ratkaistaan tästä yhtälöstä nuolen saavuttama nopeus: W 73,7446 J v m l = = 4. m 0,085 kg s -6. Molemmissa tapauksissa loppunopeus on nolla. Jarruttavan voiman F tekemä työ on liike-energian muutos eli W = mv = mv 0. Toisaalta voiman tekemä työ on W = -- Fx, jossa etumerkki johtuu siitä, että voiman suunta on vastakkainen siirtymän suuntaan nähden. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

107 Saadaan yhtälö m FF x = mv eli F x = v. F Koska auton massa m ja jarruttava voima F ovat molemmissa tapauksissa samat, havaitaan että jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin. Silloin km 0 x v h = = = 4 eli x = 4 x = 4 0 m = 80 m. x v km 60 h Jarrutusmatka on 80 m. -7. a) Työ-energiaperiaatteen mukaan liike-energian muutos on yhtä suuri kuin kokonaisvoiman tekemä työ eli E k = W. Vastusvoimien (kitka ja ilmanvastus) suunta on siirtymän suunnalle vastakkainen, joten niiden tekemä työ on negatiivinen. Koska ilmanvastus oletetaan nollaksi, työenergiaperiaatteen mukaan on E k = F µ x, jossa kitkan suuruus on F µ = µn. Liike-energia

108 Kappaleen liikeyhtälö y-suunnassa on Newtonin II lain mukaan F = 0 eli G+ N = 0. Suunta ylös on positiivinen, joten G N = 0 eli N = G. Työ-energiaperiaate saa muodon E k = F µ x = µn x = µg x. Koska auto pysähtyy on, liikeenergia lopussa on nolla, joten 0 mv = µ mg x. Auton jarrutusmatkaksi saadaan 65 m mv v 3,6 s x = = = 8 m. µ mg µ g m 0,60 9,8 s Huomataan, että jarrutusmatka ei riipu auton massasta, joten vastaus on sama molemmille autoille. b) Jos ilmanvastus otetaan huomioon, työperiaate saa muodon E k = F µ x W i, jossa W i on ilmanvastuksen tekemä työ. Työperiaate saa kohdan a perusteella muodon 0 mv = mg x Wi µ, josta ratkaistaan jarrutusmatka: Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

109 µ mg x = mv Wi, mv W x = = µ mg µ g µ mg i v Wi. Ilmanvastuksen suuruuteen vaikuttavat ilman tiheys, auton muoto, pintaala ja nopeus. Ne ovat molemmille autoille samat, joten ilmanvastuksen tekemä työ on yhtä suuri molemmille autoille. Jarrutusmatkaan vaikuttavista suureista vain massa on autoille eri suuri. Mitä suurempi W massa on, sitä pienempi on lauseke i ja sitä vähemmän termi µmg lyhentää kohdassa a laskettua jarrutusmatkaa. Lastatun auton jarrutusmatka on pitempi. -8. Täydennetään taulukkoon vaunujen liike-energiat E mv m (kg) 0,56 0,87 0,3043 0,3803 0,4563 v (m/s),475,04,767,58,59 E k (J) 0, , , , , k =. W i µmg Taulukosta päätellään, että 0,4563 kg:n massaisen vaunun tapauksessa nopeuden mittaus ei ole luotettava, koska saatu liike-energian arvo poikkeaa muista tapauksista selvästi. Määritetään liike-energia muista mittausarvoista keskiarvona. Saadaan E k = 0,47635 J 0,4764 J. Työperiaatteen mukaan voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen liike-energian muutos, joten kuminauhan vaunuihin tekemä työ on W = 0,4764 J. -9. Työperiaatteen mukaan tikan liike-energian muutos on sama kuin sen voiman tekemä työ, jonka taulu kohdistaa tikkaan tikan tunkeutuessa siihen. Koska tikan nopeus lopussa on nolla, saadaan yhtälö Liike-energia

110 -0. a) =, josta saadaan 0 mv F s ( ) mv 0,05 kg 7,0 m/s F =/ =/ / 0 N. s 0,005 m Voiman suuruus on 0 N, tikan lentosuuntaa vastaan. * Koska P v 3, nopeuden kasvaminen 3 tekijällä kasvattaa tehoa tekijällä 3 3 = 7. * Koska P r, lavan pituuden r kasvattaminen tekijällä 3 kasvattaa tehoa tekijällä 3 = 9. * Koska P r v 3, lavan pituuden ja tuulen nopeuden kolminkertaistuessa teho kasvaa tekijällä = 43. b) Teho on P= ηρrrv = 0,9,93 kg/m r ( 5 m ) ( 5, m/s ) 5 kw. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

111 TEHTÄVIEN RATKAISUT 3-. a) Väärin. Potentiaalienergian nollatason voi valita tilanteen mukaan mille korkeudelle tahansa. b) Oikein. c) Oikein. d) Oikein. e) Oikein. f) Väärin. Kun kappaleeseen vaikuttaa kitka, kappaleen mekaaninen energia ei säily vaan pienenee. Kitka on siis ei-konservatiivinen voima. 3-. a) Potentiaalienergia on Ep = mgh = 55 kg 9,8 m/s 8848 m = 4,8 MJ. b) Potentiaalienergia on Ep = mgh = 55 kg 9,8 m/s (/ 0994 m) =/ 5,9 MJ Merkitään yhden portaan korkeutta h:lla. Silloin Matin potentiaalienergia kasvaa määrällä Ep,Matti = mmattig h ja Liisan potentiaalienergia määrällä Ep,Liisa = mliisag 5 h. Koska potentiaalienergiat muuttuvat yhtä paljon, saadaan yhtälö mmattig h= mliisag 5 h, josta voidaan ratkaista Liisan massa: m 65 kg 5 kg. Liisa = mmatti = = 5 5 Oikea vastaus on b a) Potentiaalienergia on E p = mgh = 5,0 kg 9,8 m/s 5 m = 6,5 J, kj. 3 Potentiaalienergia

112 b) Potentiaalienergian muutos on E = E / E = mgh / mgh p p,l p,a l a ( l ha) 5,0 kg 9,8 m/s (3,0 m 5 m), kj. = mg h / = / / 3-5. a) Potentiaalienergia maanpinnan suhteen on E m p = mgh = 00 kg 9,8 4 m 0,6 MJ. s b) Nostavan voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin rakennuselementin potentiaalienergian muutos: m W = Ep = mg h = mg( hl ha) = 00 kg 9,8 ( 4 m,0 m) 0,4 MJ. s 3-6. Kun ilmanvastusta ei huomioida ja nopeus oletetaan nousun alkaessa samaksi kuin nousun päätyessä, nousuun tarvittava energia on sama kuin potentiaalienergian muutos: 5 m 3 9 Ep = mg ( hl ha) =,9 0 kg 9,8 ( 0,70 0 m 0 m) 0 0 J = 0 GJ. s 3-7. Koska nosto tapahtuu vakionopeudella, on laatikkoon vaikuttava kokonaisvoima nolla eli vaijerin jännitysvoima T ja laatikkoon vaikuttava gravitaatiovoima mg ovat samansuuruiset eli T = mg. Laatikon massa on silloin m = T = 40 N = 4,834 kg 43 kg. g 9,8 m/s Potentiaalienergia 4,5 m:n korkeudella on silloin Ep = mgh = 4,834 kg 9,8 m/s 4,5 m,9 kj. Sama tulos saadaan myös laskemalla jännitysvoiman tekemä työ: W = T h= 40 N 4,5 m,9 kj. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

113 3-8. a) Putoavan veden massa on m = V = Ah = ρ ρ 000 kg/m 47 0 m 0,55m 9,35 0 kg. Energiaa vapautuu potentiaalienergian muutoksen verran. Tehtävässä oletetaan, että pudotuskorkeus pysyy likimain vakiona. Potentiaalienergian muutos on E = = =. 9 p mg h 9,35 0 kg 9,8 m/s 3,0 m 6, J 6,7 TJ Säännöstelyaltaassa veden pudotuskorkeus vaihtelee sen mukaan, kuinka täynnä allas on vettä. Veden juoksutuksesta kahden viikon aikana saatava keskimääräinen teho on 6, J P = E = 5600 kw. t s Veden juoksutuksen aikana voisi toimia noin 5600 kappaletta,0 kw:n sähkölämmitintä, jos oletetaan, että kaikki vapautuva energia saadaan käyttöön. b) Vesivoimalaitoksessa padotun veden potentiaalienergiaa muunnetaan sähköenergiaksi hyötysuhteella η, joten η mgh = Eanto = Pt. Sekunnissa voimalaitoksen läpi virtaavan veden määrä on 930 m 3. Veden tiheys on 000 kg/m 3, joten veden massa on m = kg. Voimalaitoksen hyötysuhde on W,0 s η = Pt = 0,78. mgh kg 9,8 m 4 m s c) Veteen kohdistuva paino muuntaa veden potentiaalienergian liikeenergiaksi, joka turbiineissa muunnetaan edelleen sähköksi. 3 Potentiaalienergia

114 Voimalaitoksen tuottoteho on ηe ηmgh ηtvgh P = = = = t t t 3 3 p 0, kg/m 9 m 9,8m/s 3,0m,MW.,0 s d) Jos potentiaalienergian nollatasoksi valitaan turbiinien sijaintikohta, vesivarastossa olevan veden potentiaalienergia on 3 kg 6 3 Ep = mgh = ρ m vesivgh =,00 0 5,7 0 m 9,8 40m 3 m s 3 =,34 0 J 3 TJ. Oletetaan, että voimalaitos toimii 00 %:n hyötysuhteella. Kun vesi saapuu turbiiniin, se käyttää kaiken putoamisessaan saamansa energian eli potentiaalienergian E turbiinien pyörittämiseen. Teho on p = mgh Ep mgh silloin P = =, josta voidaan ratkaista turbiinin läpi sekunnissa s s kulkevan vesimäärän massa: 6 P s W s m = = = gh m 9,8 40 m s kg 90 0 kg. J kg m / s (Huomaa, että W = =. ) s s Turbiinin läpi sekunnissa kulkevan veden tilavuus on 3 m 90 0 kg 3 V = = = 90 m. ρ 3 kg vesi,00 0 m 3 Todellisuudessa voimalaitoksen hyötysuhde on pienempi kuin 00 %, joten ilmoitetun tehon saavuttamiseksi turbiinien läpi virtaavan veden tilavuus on saatua tulosta suurempi. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

115 e) Valitaan potentiaalienergian nollatasoksi vedenpinta alhaalla turbiinin tasolla, jolloin vesivoimalaitoksen tuottoteho saadaan yhtälöstä Eotto mgh Ptuotto = ηpotto = η = η, jossa η hyötysuhde, ρ veden tiheys, g t t putoamiskiihtyvyys ja h pudotuskorkeus. Tiheys on ρ = m/v ja massa m = ρv, joten tuottoteho on ηtvgh V Ptuotto = = ηt gh. t t Tuottotehoksi saadaan P 3 ηtvgh V kg m m = = ηt gh = 0, ,8 3,4 m W. t t m s s tuotto 3 TESTAA OSAATKO S. 37. a, b, c. b 3. a, b 4. c 5. c 6. c 7. b 8. c 9. a, b, c 0. a, c 3 Potentiaalienergia

116 TEHTÄVIEN RATKAISUT 4-. a) Oletetaan, että alussa vaunut ovat samalla korkeudella. Liike-energia on kaikilla vaunuilla alussa yhtä suuri ja lopussa nolla. Koska liikevastukset ovat pieniä, voidaan käyttää mekaanisen energian säilymislakia. Kuhunkin vaunuun kohdistuva paino muuntaa liikeenergian potentiaalienergiaksi, joka on kaikilla vaunuilla lopussa yhtä suuri. Asetetaan potentiaalienergian nollataso lähtökorkeudelle. Tällöin mekaanisen energian säilymislaki on mv mgh =, josta nousukorkeudeksi saadaan h = v. g Koska liikevastuksia ei oteta huomioon, vaunun nousukorkeus riippuu vain alkunopeudesta ja putoamiskiihtyvyydestä, mutta ei vaunun massasta. Siten kaikki vaunut nousevat yhtä korkealle. b) Oletetaan, että vaunut ovat alussa samalla korkeudella ja lähtevät liikkeelle levosta. Asetetaan potentiaalienergian nolla mäkien alaosan tasolle. 4 Mekaanisen energian säilyminen

117 Yhtälöstä mgh = mv saadaan silloin loppuvauhdiksi v = gh. Koska liikevastuksia ei oteta huomioon, loppuvauhti riippuu vain lähtökorkeudesta ja putoamiskiihtyvyydestä g, mutta ei vaunun massasta. Siten kaikilla vaunuilla on yhtä suuri vauhti mäen alaosassa. 4-. Yhtälöstä mgh = mv saadaan nopeudeksi v = = gh 9,8 m/s 5 m m/s. Laskussa ei ole huomioitu ilmanvastusta ja on oletettu, että 5 m:n pudotuksen aikana köysi ei hiljennä hyppääjän nopeutta a) Myöhemmin lähteneellä vesipisaralla on suurempi potentiaalienergia, koska se on korkeammalla maanpinnasta kuin aikaisemmin lähtenyt vesipisara. b) Koska pisarat ovat samanlaisia, niillä on yhtä suuri mekaaninen energia, joka on sama kuin niiden potentiaalienergia niiden ollessa jääpuikon päässä ollessaan. Koska ilmanvastus oletetaan pieneksi, mekaaninen kokonaisenergia säilyy putoamisen aikana. c) Aikaisemmin lähteneellä pisaralla on aina suurempi liike-energia kuin myöhemmin lähteneellä, koska sen potentiaalienergia on pienempi. Näin ollen aikaisemmin lähteneen pisaran nopeus on aina suurempi kuin myöhemmin lähteneen, joten pisaroiden välimatka kasvaa. d) Pisaran mekaaninen energia muuttuu veden sisäiseksi energiaksi (pisarasta muodostuu useita pienempiä pisaroita, mihin tarvitaan energiaa), maan sisäiseksi energiaksi (maan molekyylit saavat energiaa vesimolekyylien törmätessä niihin) ja osin myös ääniaaltojen energiaksi. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

118 4-4. a) Jääkiekon liike-energia on E k 0,70 kg 85 m = mv = 47 J. 3,6 s b) Mekaniikan energiaperiaate on mgha + mv a + W = mghl + mvl. Kappale liukuu ja pysähtyy vaakasuoralla pinnalla, joten h a = 0 m, h l = 0 m ja v l = 0 m/s. Tällöin mekaniikan energiaperiaate saadaan muotoon mva Fs 0. + = Vastusvoima on 0,70 kg 85 m mv a 3,6 s F = = 0,9 N. s 50m Liikettä vastustaa 0,9 N:n keskimääräinen voima a) Mekaniikan energiaperiaate on mgha + mv a + W = mghl + mvl. Asetetaan potentiaalienergian nollataso pyöräilijän alimpaan asemaan, eli h l = 0,0 J. Mekaniikan energiaperiaate saadaan muotoon mgha + mv a + W = mvl. Ratkaistaan yhtälöstä ensin pyöräilijän mgha + mva + W nopeuden neliö vl =, josta saadaan nopeudeksi m v mgh + mv + W m a = a. Vastusvoimat muuntavat mekaanista energiaa muihin energiamuotoihin. 4 Mekaanisen energian säilyminen

119 Vastusvoimat pienentävät mekaanista energiaa sen alkuperäisestä arvosta, joten niiden tekemä työ W tulee yhtälöön negatiivisena. Pyöräilijän nopeus mäen alla on silloin v l b) = = mgha + mva + W m 3 ( ) m 85kg 9,8 7 m)85kg 6 m 8, 0 J s + 3,6 s 85kg 3 m = 46 km. s h Kuvassa G on pyöräilijän ja pyörän paino, N on pinnan tukivoima ja F v on kokonaisvastusvoima Hyppääjä lähtee levosta, jolloin hänen liike-energiansa alussa on nolla. Asetetaan potentiaalienergian nollataso hyppyrin nokalle. Mekaniikan energiaperiaate E p,a +E k,a + W = E p,l + E k,l saa muodon mgh + 0+ W = 0 + mv, jossa W on liikevastusvoimien tekemä työ liu un aikana. Tästä saadaan liikevastusvoimien tekemäksi työksi 0 m m W = mv mgh = 7 kg 7 kg 9,8 66 m 8 kj. 3,6 s s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

120 4-7. Mekaniikan energiaperiaatteen mukaan mgh + mv + W = mgh + mv a a l l. Liikettä vastustava keskimääräinen voima F muuntaa mekaanista energiaa lumen, suksien ja ilman sisäenergiaksi, joten sen tekemän työn Fs arvo tulee yhtälöön negatiivisena, Fs = 55 N 35 m. Sovitaan, että mäen alla on potentiaalienergian nollataso eli h l = 0 m. Tällöin mgha + mv a + Fs = mvl. Yhtälöstä saadaan lumilautailijan nopeudeksi mäen alla v = mgha + mva + Fs m 73 kg 9,8 m 8,0 m + 73 kg (,5 m ) + / ( 55 N) 35 m = s s m/s. 73 kg 4-8. Auton noustessa mäkeä ylös autoon kohdistuva paino tekee työtä ja muuntaa liike-energiaa potentiaalienergiaksi. Nousun aikana liikevastukset (kitka ja ilmanvastus) muuntavat mekaanista energiaa tien, auton ja ilman sisäenergiaksi. Mekaniikan energiaperiaate on mgha + mv a + W = mghl + mvl. Asetetaan potentiaalienergian nollataso mäen alle. Liikevastusten tekemä työ on W= Fs. Tällöin liike-energia mäen päällä on v mvl = mva Fvs mghl m = 00 kg (8 ) 750 N 60m 00 kg 9,8 m 9,5m 38 kj. s s 4 Mekaanisen energian säilyminen

121 4-9. a) Lapseen kohdistuva paino muuntaa osan potentiaalienergiasta liikeenergiaksi. Osa potentiaalienergiasta muuntuu vastusvoimien (ilmanvastus ja kitka) tekemän työn takia lapsen, liukumäen ja maan sisäenergiaksi. Mekaniikan energiaperiaatteen mukaan on mgha + mv a + W = mghl + mvl. Asetetaan potentiaalienergia lopputilanteessa nollaksi. Koska liikeenergia alussa on nolla, energiaperiaate saa muodon mgha + W = mvl, joten vastusvoimien tekemä työ on W = mv m m l mgha = 0 kg (5,0 ) 0 kg 9,8 3,0m 340J. s s b) Vaakasuoralla pinnalla liukumisen alussa lapsen nopeus on yhtä suuri kuin mäessä saavutettu loppunopeus v l. Maassa tapahtuvan liu un aikana kitka ja ilmanvastus muuntavat lapsen liike-energian vuorovaikuttavien kappaleiden ja ilman sisäenergiaksi. Oletetaan ilmanvastus pieneksi. Lapsen liike-energia lopussa on nolla. Sovitaan potentiaalienergian nollatasoksi lapsen painopisteen taso. Mekaniikan energiaperiaate saa muodon = 0. mv F s l µ Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

122 Kitkan suuruus on F µ = µn. Pystysuunnassa lapsen ja pulkan liikeyhtälö on N + G= 0. Kun suunta ylös sovitaan positiiviseksi, liikeyhtälö skalaariyhtälönä on N G = 0 eli N = G. Kitkan suuruus on F µ = µmg. Lapsen liukuma matka on mv l mv m l (5,0 ) vl s = s,7 m. F = mg g 0,77 9,8 m µ µ = µ = s 4-0. Mekaniikan energiaperiaate E p,a +E k,a + W = E p,l + E k,l tulee muotoon mgh + 0+ W = 0 + mvl, jossa W on kitkan tekemä työ W = F µ s = µn s = µmg s. Yhtälöstä mgh + 0 µ mgs = 0+ mv saadaan nopeudelle liukumäen l lopussa ( ) vl = ( gh µ gs) = 9,8 m s 3 m 0,5 4 m 6,0 m s. Jos kitkakerroin olisi nolla, nopeus olisi m v = = s gh 9,8 3 m m/s. 4-. a) Mekaniikan energiaperiaatteen mukaan on Ep,a + Ek,a + W = Ep,l + Ek,l eli magha + mav a+ W = maghl + mavl. Liikevastusten tekemä työ oletetaan nollaksi. Oletetaan, että pulkat lähtevät levosta, eli liike-energia alussa on nolla. Valitaan potentiaalienergian nollataso mäen alle. Mekaniikan energiaperiaate on silloin magh a = mavl, josta ratkaistaan nopeus mäen alla: v = gh eli v = gh. l a l a 4 Mekaanisen energian säilyminen

123 Antin pulkan nopeus mäen alla on v = gh m m m a = 9,8 4,0 m = 8, ,9. s s s b) Antilla ja pulkalla on vaakasuoralle pihamaalle saapuessaan liikeenergiaa. Liikettä vastustava kokonaisvoiman F tekemä työ muuntaa sen toiseen muotoon liukumisen aikana. Sovelletaan mekaniikan energiaperiaatetta magha + mava + W = maghl + mavl. Valitaan vaakasuora maanpinta potentiaalienergian nollatasoksi, jolloin h a = h l = 0. Koska lopussa pulkka pysähtyy, on A l 0. mv = Vastusvoima pienentää mekaanista energiaa, joten sen tekemä työ tulee mekaniikan energiaperiaatteen yhtälöön negatiivisena eli W = Fs. Mekaniikan energiaperiaate on silloin = 0. A a m v Fs Tästä saadaan Anttiin ja pulkkaan kohdistuvan vastusvoiman suuruudeksi m ( ) mv 4kg 8,85889 A a F = = s =37,340N. s m Jos oletetaan, että Tiinaan ja Anttiin vaakasuoralla pihamaalla vaikuttavat vastusvoimat ovat yhtä suuria, saadaan Tiinan pulkan liukumismatka Antin tapauksessa johdetusta yhtälöstä mava Fs = 0 korvaamalla siinä massa m A massalla m T eli T a 0. m v Fs = Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

124 Ratkaistaan Tiinan pulkan liukuma matka vaakasuoralla pihamaalla: m mv kg (8,85889 ) T a s = = s 6,0 m. F 37,34 N c) Antin liukumasta matkasta voitiin laskussa ennustaa Tiinan liukuman matkan pituus, mutta sitä varten piti olettaa, että molempiin vaikuttaa samankokoinen vastusvoima. Oletus ei pidä paikkaansa todellisuudessa. Koska Tiina on pienempi, häneen kohdistuu pienempi ilmanvastus kuin Anttiin. Tiinan pienempi massa puolestaan merkitsee, että Tiinan pulkkaan kohdistuva kitka on pienempi kuin Antin pulkkaan kohdistuva kitka, sillä kitka on F µ = µn = µg = µmg. Liikettä vastustava kokonaisvoima F, jonka laskussa oletettiin olevan Antille ja Tiinalle yhtä suuri, on siis todellisuudessa pienempi Tiinan tapauksessa kuin Antin tapauksessa. Tämän takia Tiinan liukuma matka on todellisuudessa suurempi kuin laskussa saatiin. Antin liukumasta matkasta ei siis voi luotettavasti ennustaa Tiinan liukuman matkan pituutta. 4-. a) Olkoon pintaa pitkin kuljettu matka ennen pysähtymistä s. Kitkatyö muuntaa osan liike-energiasta aineen sisäenergiaksi ja kappaleeseen kohdistuva paino potentiaalienergiaksi. 4 Mekaanisen energian säilyminen

125 Sovitaan kappaleen potentiaalienergian nollataso lähtöpaikkaan. Kappaleen liike-energia ylimmässä kohdassa on myös nolla. Mekaniikan energiaperiaate E + E + W = E + E on tässä tapauksessa = mv Fµ s mgh. Kitka on F μ = μn = μg cos α = μmg cos α ja korkeus h = sin α s, joten mekaniikan energiaperiaate antaa yhtälön mv mg s mg o cos c = sin c s. Kappaleen liukuma matka on v s = ogcosc + gsinc m (4,5 ) = s =,54 m. m m 0,4 9,8 cos9 + 9,8 sin9 s s Korkeusero on h = s sin α =,54 m sin 9 = 0,7338 m 0,73 m. b) Kappaleen kulkema matka on sama kuin a-kohdassa, joten kitkavoiman tekemä työ on yhtä suuri. Yhtälöstä mgh F eli µ s = mv mgh µ mg cosc s = mv saadaan kappaleen nopeus, kun kappale ohittaa lähtöpisteensä: v = gh og cosc s p,a k,a p,l k,l m m = 9,8 0,7338 m 0,4 9,8 cos9,54 m s s m,9 s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

126 c) Rajatapauksessa pinnan suuntaisten voimien summa on oltava nolla eli kappaleen liikeyhtälö on F = Fµ + G x = 0. Sovitaan suunta alaviistoon positiiviseksi, jolloin liikeyhtälö on skalaariyhtälönä G x F µ = 0. Yhtälöstä Gx = F µ eli mg sinc = omg cosc kitkakertoimeksi sinc saadaan o = = tanc = tan9 0,34, cosc eli kappale ei lähde liukumaan, jos lepokitkakerroin on vähintään 0,34 mittaustarkkuuden mukaisesti pyöristettynä. Vastaus voidaan tässä tapauksessa pyöristää myös ylöspäin arvoon 0,35. TESTAA OSAATKO S. 37. a, b, c. b 3. a, b 4. c 5. c 6. c 7. b 8. c 9. a, b, c 0. a, c 4 Mekaanisen energian säilyminen

127 TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 7 kgm/s. b) 05-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 7 p v = = s 6,8 m/s. m 05 kg 5-. Impulssien suuruudet saadaan kuvaajista graafisella integroinnilla eli arvioimalla kuvaajien ja t-akselin väliin jäävän pinnan fysikaalinen pintaala. Yhden ruudun fysikaalinen pinta-ala on s N = Ns. Molemmissa tapauksissa impulssin suuruudeksi saadaan noin 6 Ns. Impulssit eroavat siten, että a-tapauksessa vaikuttava voima on suurempi kuin b- tapauksessa, ja a-tapauksessa voiman vaikutusaika on pidempi kuin b- tapauksessa. Vaikka impulssit ovat yhtä suuret, voiman vaikutus ei aina ole samanlainen. Suurempi voima saattaa esimerkiksi rikkoa rakenteita, mutta pienempi voima ei, vaikka voimien impulssit olisivat yhtä suuret Nopeutta kuvatussa tilanteessa esittää parhaiten kuva a. Kuvissa b ja c nopeuden pieneneminen muuttuu nopeuden suurenemiseksi voiman vaikutusaikana. Tämä ei ole kuitenkaan mahdollista, kun kyseessä on vakiovoima, sillä vakiovoiman tapauksessa impulssilla I ja siten liikemäärän muutoksella Fp = I on koko ajan sama suunta. Koska Fp = mv, silloin kappaleen nopeuden pitää koko ajan joko pienentyä tai suurentua, toisin kuin kuvissa b ja c. Kuva c ei vastaa kuvattua tilannetta, koska siinä nopeus muuttuu vain yhdessä pisteessä, mikä ei ole mahdollista vakiovoiman tapauksessa. Kuvan a tilanteessa voi olla kyse esimerkiksi suoraan ylös heitetyn kappaleen liikkeestä. Koska nopeus on kuvaajan mukaan alussa positiivinen, on suunta ylös valittu positiiviseksi suunnaksi. 5 Impulssi ja liikemäärä

128 Kappaleeseen vaikuttaa alaspäin paino. Sen impulssi on negatiivinen, koska voima on suuntasopimuksen mukaisesti negatiivinen. Koska impulssi I on negatiivinen, kappaleen liikemäärään tulee negatiivinen muutos, Fp = I < 0. Tämä tarkoittaa, että kappaleen nopeus pienenee. Koska voima on vakio, nopeuden kuvaaja välillä 0 0 s on laskeva suora. Huomaa, että nopeuden suunta muuttuu noin 4 s:n kohdalla; silloin pallo saavuttaa lakikorkeuden ja alkaa liikkua alaspäin Mailan palloon kohdistavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos: FF t = mf v = mv mv. Sovitaan voiman suunta positiiviseksi, jolloin pallon suunta ennen mailaan osumista on negatiivinen. Saadaan skalaariyhtälö FFt = mv m( v ) = m(v + v ). Maila vaikuttaa palloon voimalla mv ( 0,057 kg (30,0 m/s 0,0 m/s) + v) + F = = 40 N. Ft 0,00 s Keskimääräisen voiman suuruus on 40 N ja suunta on vastakkainen pallon alkuperäiseen liikesuuntaan nähden. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

129 5-5. Voiman kuvaajasta t,f-koordinaatistossa saadaan impulssi laskemalla voiman kuvaajan ja koordinaattiakselien muodostaman kolmion fysikaalinen pinta-ala: I =/ 45 ms 0 N=,475 Ns. Impulssi on I = Fp = mv, joten nopeuden muutos on F v = I =,475 Ns 69 m. m 0,036 kg s Nuolen lähtönopeus siis on 69 m/s a) Vaunun nopeus ennen törmäystä on v ja törmäyksen jälkeen v. Anturin vaunuun kohdistama voima aiheuttaa vaunun liikemäärän muutoksen, joka on yhtä suuri kuin voiman impulssi. Jousi puristuu kasaan kunnes vaunun liikesuunta muuttuu vastakkaiseksi, jolloin vaunuun kohdistuva voima on suurin ja vaunun nopeus on hetkellisesti 0 m/s. Vaunun hidastuessa törmäyksessä vaunuun kohdistuvan voiman impulssi on yhtä suuri kuin kuvion huipun vasemmalle puolelle jäävä fysikaalinen pintaala. Mittausohjelma antaa impulssin suuruudeksi 0,06 Ns. Impulssin suunta on kohti vaunun tulosuuntaa. 5 Impulssi ja liikemäärä

130 b) Impulssiperiaatteen mukaan on I = mfv eli I = m(0 v). Sovitaan vaunun tulosuunta positiiviseksi. Impulssin suunta on vaunun liikkeelle vastakkaissuuntainen, joten saadaan skalaariyhtälö I = m(0 v ). Vaunun nopeus ennen törmäystä on I 0,0653 Ns m m v = = = 0,8686 0,9. m 0,5 kg s s Kun vaunun liikesuunta on muuttunut, jousi vapautuu aiheuttaen vaunun liikemäärään muutoksen, joka on yhtä suuri kuin jousivoiman impulssi I. Impulssin suuruus on käyrän huipun oikealle puolelle jäävä fysikaalinen pinta-ala. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

131 Mittausohjelma antaa impulssin arvoksi 0,06946 Ns. Vaunun nopeuden suunta vaihtuu törmäyksessä, joten nopeus törmäyksen jälkeen on I 0,06946 Ns m m v = = = 0, ,3. m 0,5 kg s s c) Impulssiperiaatteen mukaan törmäyksen aikana vaikuttavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin vaunun liikemäärän muutos. Vaunun törmätessä anturiin impulssiperiaate skalaariyhtälönä on I = mfv = m(v v ). Liikemäärän muutos on I = 0,5 kg ( 0,33070 m/s -- 0,8686 m/s) 0,3 kgm/s. 5 Impulssi ja liikemäärä

132 5-7. Valitaan pallon alkuperäinen liikesuunta positiiviseksi suunnaksi. Silloin v = 5 m/s ja v = m/s. Pallon liikemäärän muutos on silloin Fp = mv -- mv = m(v -- v ) = 0,065 kg (-- 35 m/s) -- 5 m/s) = -- 3,9 kgm/s. Impulssiperiaatteen mukaan liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin impulssi I = Ft, jossa F on kappaleeseen kohdistunut keskimääräinen voima ja Ft on voiman vaikutusaika. Saadaan yhtälö Ft = Fp, josta voidaan ratkaista F p / 3,9 kg m/s keskimääräinen voima: F = = / 0,98 kn. Ft 4,0 ms Keskimääräisen voiman suuruus on 0.98 kn Pallon nopeus sen osuessa lattiaan saadaan energiaperiaatteen avulla: pallon potentiaalienergia muuntuu pudotuksessa liike-energiaksi. Saadaan yhtälö mv mgh, = josta saadaan nopeuden suuruudeksi vl = gh = 9,8 m/s,0 m = 4,4944 m/s. Valitaan suunta ylös positiiviseksi suunnaksi. Silloin pallon liikemäärä juuri ennen lattiaan osumista on pa =/ mvl =/ 0.50 kg 4,4944 m/s =/ 0,65446 Ns. Koska pallon nopeus törmäyksen jälkeen on likimain samansuuruinen kuin ennen törmäystä, on pallon liikemäärä törmäyksen jälkeen pl = mvl = 0,65446 Ns. Impulssiperiaatteen mukaan palloon törmäyksessä vaikuttavan voiman impulssi on sama kuin liikemäärän muutos eli I = p= pl pa = 0,65446 Ns ( 0,65446 Ns),3 Ns. Koska impulssi on positiivinen, on sen suunta ylöspäin a) Heinäsirkkaan vaikuttavan voiman impulssi ylöspäin on I = Ft = 0,38 N 0,09 s = 0,007 Ns. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

133 Impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos eli Fp = mv -- mv = m(v -- 0), josta saadaan nopeudeksi p v = = I = 0,007 Ns =,888 m. m m 0,005 kg s Tätä nopeutta vastaava liike-energia Ek = mv on muuntunut potentiaalienergiaksi Ep = mgh heinäsirkan saavuttaessa hyppynsä lakikorkeuden h. Tästä saadaan yhtälö mgh = mv, josta saadaan hypyn korkeudeksi v (,888 m/s) h = = 0,43 m. g 9,8 m/s b) Heinäsirkan kyky hypätä korkealle perustuu sen pitkiin takajalkoihin. Heinäsirkka painaa jalkojaan voimakkaasti alustaa vastaan, jolloin alusta kohdistaa niihin voiman Newtonin III lain mukaisesti. Jalkojen pituuden takia voimavaikutus kestää suhteellisen pitkän ajan, jolloin impulssi (liikemäärän muutos) on suuri Kananmunan potentiaalienergia Ep = mgh muuttuu putoamisen aikana liike-energiaksi Ek = mv. Yhtälöstä mv voidaan ratkaista = mgh kananmunan nopeus sen osuessa lattiaan: v = = = gh 9,8 m/s,0 m 4,4945 m/s. Kananmunan liikemäärä sen osuessa lattiaan on p = mv = 0,060 kg 4,4945 m/s 0,7 kg m/s. Koska kananmuna särkyy lattiaan osuessaan, törmäyksen jälkeen sen liikemäärä on nolla, joten liikemäärän muutos Fp on suuruudeltaan sama ja suunnaltaan vastakkainen kuin liikemäärä ennen törmäystä. Lattian kananmunaan kohdistaman voiman impulssi on yhtä suuri kuin kananmunan liikemäärän muutos eli I = Fp = 0,7 Ns ja sen suunta on ylöspäin. 5 Impulssi ja liikemäärä

134 Kananmunan lattiaan kohdistaman voiman impulssi on Newtonin III lain perusteella saman suuruinen eli 0,7 Ns, mutta sen suunta on alaspäin. 5-. Lasketaan ensin pallon nopeus törmäyksen jälkeen. Törmäyksen jälkeen pallo pomppaa korkeudelle h = 3, m, jolloin sen liike-energia on muuttunut potentiaalienergiaksi eli mv mgh. = Ratkaistaan tästä nopeuden suuruus törmäyksen jälkeen: v = gh = 9,8 (m/s ) 3, m = 7,79885 m/s. Pallon nopeus pienenee törmäyksessä, joten Fp = mv - mv = - 0,9 kgm/s. Pallon nopeus ennen törmäystä on silloin mv / p 0,0 kg 7,79885 m/s // ( 0,9 kg m/s) v = = =,3489 m/s. m 0,0 kg Mekaanisen energian säilymislaista saadaan mv josta saadaan = mgh, pudotuskorkeudeksi (,3489 m/s) v h = 7,8 m. g = 9,8 m/s 5-. Mailan osuessa palloon voiman impulssi on I = p = mv mv0 = mv + ( mv0). Impulssi voidaan arvioida kuvaajasta fysikaalisena pinta-alana (likimain kolmion alana): I 3,3 Ns. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

135 Voiman impulssi on liikemäärän muutos vaakasuunnassa eli joten v x 3,3Ns = I = = m/s. m 0,5kg I = mv, x Pallon nopeus pystysuunnassa on v 0 = v y =, m/s. Nopeudeksi saadaan x y ( ) ( ) v = v + v = m/s +,m/s 5m/s. v y Nopeuden suuntakulma on α: tanα =, josta α 7 vaakatasoon v nähden alaviistoon. x 5-3. a) Voiman impulssi on sama kuin liikemäärän muutos eli ( ) I =Fpeli FF t= pl pa= ma vl va = ma 0 mv a a, sillä auto pysähtyy törmäyksessä eli auton nopeus lopussa on v l = 0. Kun auton nopeuden suunta valitaan negatiiviseksi suunnaksi, saadaan voimaksi F mv 300 kg 5,6 m/s kg m a a 5 = = = 8 883,8 0 N. Fta 0,07 s s Voima on positiivinen eli sen suunta on auton nopeuden suunnalle vastakkainen. 5 Impulssi ja liikemäärä

136 b) Koska aikuisnuken nopeus törmäyksen alkaessa on sama kuin auton nopeus, saadaan voimalle samalla tavalla kuin a-kohdassa yhtälö F mv 75 kg 5,6 m/s kg m h a 4 = = = 073,9,0 0 N. Ftn 0,5 s s 5-4. a) Voima, aika-kuvaajasta saadaan törmäyksen kestoksi 0,0 s. b) Kohdan a kuvaajasta saadaan voiman suurimmaksi arvoksi N. c) Nopeus, aika-kuvaajasta saadaan nopeudeksi ennen törmäystä 0,69 m/s ja törmäyksen jälkeen 0,54 m/s, joten nopeuden muutos on Δv = 0, ,69 m/s =,3 m/s. Impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos, joten I = Δp = mδv = 0,570 kg (,3 m/s) 0,70 Ns. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

137 Data-aineistossa positiivinen suunta on vaunun suunta ennen törmäystä, joten impulssin suuruus on 0,3 Ns ja suunta päinvastainen kuin vaunun alkuperäisen nopeuden suunta. Huomaa, että nopeudet saa myös annetusta paikka,aika-kuvaajasta määrittämällä kuvaajan fysikaaliset kulmakertoimet ennen ja jälkeen törmäyksen. 5 Impulssi ja liikemäärä

138 TEHTÄVIEN RATKAISUT 6-. Kimmoisina a, b ja e, kimmottomina c ja d. 6-. Mittauksessa määritettiin toisiinsa törmäävien vaunujen massat m ja m sekä törmäävän vaunun nopeus v ja toisiinsa tarttuneiden vaunujen nopeus u: m (kg) m (kg) v (m/s) 0,56 0,549 3,98 0,56 0,650 4,30 0,56 0,75 3,94 0,56 0,853 3,8 0,56 0,954 4,00 Mittaustuloksista lasketut liikemäärät ja liike-energiat ennen ja jälkeen törmäyksen ovat: p a = m v p l = (m + m )u Ek,a = mv (J) Ek,l = ( m + m ) (J) u (kgm/s) (kgm/s),09,05 4,7,96,6, 4,86,0,07,03 4,08,6,0,97 3,84,4,0,07 4,,45 a) Liikemäärä säilyy törmäyksissä mittaustarkkuuden rajoissa. b) Liike-energia ei säily törmäyksissä. c) Koska vaunut liikkuvat törmäyksen jälkeen toisiinsa kiinnittyneinä, kyse on täysin epäelastisesta törmäyksestä. 6 Liikemäärän säilyminen

139 6-3. a) Alussa liikemäärä on nolla. Kun mies alkaa kävellä, hänen liikemääränsä on pmies = mmiesvmies = 75 kg,5 m/s =,5 kg m/s. Liikemäärän säilymislain mukaan vaunun liikemäärä on yhtä suuri ja vastakkaismerkkinen kuin miehen liikemäärä niin, että liikemäärien summa on nolla. Vaunun liikemäärän suuruudelle saadaan silloin yhtälö p = m v = p eli v vaunu vaunu vaunu mies p,5 kg m/s mies vaunu = = mvaunu 0 kg 0,54 m/s. Nopeuden suunta on miehen suuntaan nähden vastakkainen. b) Kun mies pysähtyy, hänen liikemääränsä on nolla. Liikemäärän säilymisen perusteella myös vaunun liikemäärä on nolla eli myös vaunu pysähtyy Autojen törmäys on kimmoton, jolloin liikemäärän säilymislaki on ( ) mv mv m m u + = +. Sovitaan autojen alkuperäinen liikesuunta positiiviseksi, jolloin m v + m v = (m + m )u. Autojen yhteinen nopeus heti törmäyksen jälkeen on u mv + mv 940 kg 0 km/h + 90 kg 85 km/h m + m 940 kg + 90 kg = = 94 km/h. Liikkeen suunta on sama kuin autojen alkuperäisen liikkeen suunta. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

140 6-5. Veneen ja veden vuorovaikutus oletetaan pieneksi, joten tyttöä ja venettä tarkastellaan eristettynä systeeminä. Tytön liikemäärä hypyn aikana on yhtä suuri kuin veneen ja tytön yhteenlaskettu liikemäärä tytön pysähdyttyä veneen pohjalle. Kun tytön liikesuunta sovitaan positiiviseksi, liikemäärän säilymislaista saadaan skalaariyhtälö mv = ( m+ m) u, koska liikesuunnat hypyn aikana ja hypyn jälkeen ovat samat. Skalaariyhtälöstä tytön massaksi saadaan 34 kg,5m/s = = = 5 kg. /,5m/s /,5m/s mu m v u 6-6. a) Mittausohjelmalla saadusta kuvasta saadaan selville törmäävän vaunun nopeus ennen sen törmäämistä paikallaan olevaan vaunuun ja molempien vaunujen nopeudet törmäyksen jälkeen. 6 Liikemäärän säilyminen

141 b) Mittausohjelmalla on määritetty liikkeen kuvaajien sivuajat juuri ennen ja jälkeen törmäyksen. Sivuajien fysikaaliset kulmakertoimet antavat vaunujen nopeudet, ja ne ovat luettavissa mittausohjelman antamista tiedoista. Vaunun (m =,000 kg) nopeus ennen törmäystä on v ja törmäyksen, a = 0,4764 m/s jälkeen v, l = 0,874 m/s. Vaunun (m = 0,500 kg) nopeus ennen törmäystä on v ja, a = 0 m/s törmäyksen jälkeen v, l = / 0,5403 m/s. Vaunujen yhteen laskettu liikemäärä ennen törmäystä on m kgm pa = p,a + p,a =,000 kg 0, = 0,4764 s s ja törmäyksen jälkeen m m pl = p, l + p, l =,000 kg 0, ,500 kg 0,5403 s s kgm = 0,4576. s Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

142 6-7. Liikemäärä säilyy törmäyksessä mittaustarkkuuden rajoissa. Huomaa, mittausohjelma antaa samaan suuntaan liikkuville vaunuille erimerkkiset nopeudet, koska anturi ovat radan eri päissä. a) Tutka mittaa vaunuradalla liikkuvan vaunun paikkaa. Hetkellä, s vaunu törmää toiseen vaunuun, jolloin vaunut tarttuvat yhteen. Vaunun nopeus ennen törmäystä on suurempi kuin yhteen tarttuneiden vaunujen nopeus. b) Vaunun nopeus ennen törmäystä saadaan jyrkemmän suoran kulmakertoimesta. x 0,77 m / 0,50 m Keskinopeus on v = = 0,39 m. t,0 s /,50 s s Yhteen tarttuneiden vaunujen keskinopeus on v x 0,90 0,77 m 0,6 m. 3,00 s,0 s s = = t Nopeudet ovat samaan suuntaan a) Aluksi kappale A on tasaisessa liikkeessä ja B levossa. Hetkellä 0,50 s kappale A törmää kappaleeseen B. Törmäyksen jälkeen A:lla ja B:llä on erisuuret vakionopeudet. Molemmat liikkuvat kappaleen A alkuperäisen nopeuden suuntaan. 6 Liikemäärän säilyminen

143 b) Liikemäärä säilyy törmäyksessä. Ennen törmäystä mv B B= 0, joten kuvan merkinnöillä saadaan yhtälö mava= mu A A+ mu B B. Valitaan kappaleiden liikesuunta positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä m A v A = m A u A + m B u B eli m A (v A u A ) = m B u B saadaan kappaleen A massaksi m A ub = v u A A m B Kappaleiden nopeudet saadaan kappaleiden paikan kuvaajista suorien fysikaalisina kulmakertoimina: v u x 0,80m,6 m/s, A A = = = ta 0,50 s x B B = = = tb 0,50s,0 m,0 m/s. Kappaleen A massa on u x 0,0m 0,40 m/s A A = = = ta 0,50s ja m u,0 m/s = B A mb 5g va/ u = A,6 m/s/ 0,40m/s = 85 g. Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia ennen törmäystä on Ek = mv A + mv B = 0,085 kg (,6 m/s) + 0 J = 0,088 J 0, J ja törmäyksen jälkeen Ek = mv A A + mv B B = + = 0,085 kg (0,40 m/s) 0,05 kg (,0 m/s) 0,088 J 0, J. Huomataan, että liike-energia säilyy, joten a-kohdan vastausta voidaan täydentää toteamalla, että törmäys on kimmoinen. Fysiikka 4 Tehtävien ratkaisut tekijät ja Sanoma Pro Oy 07

144 6-9. Kappaleen ja siihen tarttuneen nuolen liike-energia törmäyksen jälkeen on E ja u on yhteinen nopeus. Kun k = Mu, jossa M = mkpl + mnuoli kappaleen heilahduksen lakikorkeus on h, mekaanisen energian säilymislaista seuraa yhtälö Mu josta voidaan ratkaista nopeus = Mgh, u, u = gh. Merkitään nuolen nopeutta sen osuessa kappaleeseen v nuoli. Koska liikemäärä säilyy nuolen ja kappaleen törmäyksessä, saadaan yhtälö mnuolivnuoli = Mu, josta saadaan nuolen nopeudeksi 6-0. v nuoli = Mu = m nuoli ( kpl + nuoli ) m m gh m nuoli ( ) 0,95 g + 0,045 kg 9,8 m/s 0,08 m 8 m/s. = 0,045 kg Törmäyksessä liikemäärä säilyy, joten mav + A mv =. B B mu + A A mu B B Koska vaunu B on levossa ennen törmäistä, liikemäärän säilymislaki saa m v + 0 = mu + mu. muodon A A A A B B 6 Liikemäärän säilyminen