2 Kappaleeseen vaikuttavat voimat

Transkriptio

1 Kappaleeseen vaikuttavat voimat. Vuorovaikutus ja voima -. a) Sauvamagneetin ja Maan välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus. Maan ja magneetin välillä on magneettinen vuorovaikutus. Kosketusvuorovaikutus on langan ja magneetin välillä. Magneetin ja ilman välillä on kosketusvuorovaikutus. b) ravitaatiovuorovaikutus: kärryt ja Maa Kosketus/tukivuorovaikutus: lattia ja kärryt Kosketus/työntövuorovaikutus: työntäjä ja kärry Kitkavuorovaikutus: lattia ja kärryt Kosketusvuorovaikutus: kärryt ja ilma c) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo Kosketusvuorovaikutus: ilma ja pallo d) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja auto Kosketus/kitkavuorovaikutus: maanpinta ja auto Kosketus/tukivuorovaikutus: Maa ja auto Kosketus/väliaineen vastus: ilma ja auto e) ravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo Sähköinen vuorovaikutus: pallot keskenään Kosketus/tukivuorovaikutus: lanka ja pallo Kosketusvuorovaikutus: pallo ja ilma -. a) Maan kanssa ovat etävuorovaikutuksessa Aurinko ja Kuu. Muutkin taivaankappaleet ovat vuorovaikutuksessa Maan kanssa, mutta niiden gravitaatiovuorovaikutus on merkittävästi heikompi. b) Kun autoa työnnetään, se on kosketusvuorovaikutuksessa työntäjien ja tienpinnan kanssa. c) Tilanne, jossa kappale ei olisi vuorovaikutuksessa minkään toisen kappaleen kanssa, on mahdoton. -3. Kuorma-auto on gravitaatiovuorovaikutuksessa Maan kanssa. ravitaatiovuorovaikutus aiheuttaa autoon kohdistuvan painon. Kuorma-auto on kosketusvuorovaikutuksessa tienpinnan kanssa. Tästä aiheutuvat tukivoimat ja kitka, jotka kohdistuvat renkaisiin. Auto on myös kosketusvuorovaikutuksessa laatikon kanssa. Tästä aiheutuvat kitka lavan ja laatikon välillä sekä laatikkoon kohdistuva tukivoima. Tämän tukivoiman vastavoima on voima, jolla laatikko painaa auton lavaa. Auton liikkuessa auto ja lavalla oleva laatikko ovat kosketusvuorovaikutuksessa ilman kanssa. Tästä aiheutuu autoon ja laatikkoon kohdistuva väliaineen vastus. 6

2 . Mekaniikan peruslait -4. a) Hyppääjän liiketila pyrkii jatkumaan. Jos hän hyppäisi suoraan maalialueen yläpuolella, hän joutuisi kauas maalialueelta. b) Mattopiiskan osuessa mattoon matto liikahtaa lyönnin suuntaan, jolloin jatkavuuden lain mukaan roskat jäävät piiskan puoleisella pinnalla matosta jälkeen, irtoavat ja putoavat maahan. Maton liikahdus saa roskat liikkeelle vastakkaisellakin puolella mattoa, ja maton pysähtyessä roskat jatkavat matkaansa ja siten irtoavat. Myös iskuissa syntyvillä paineaalloilla on merkitystä. c) Pulloa ravistettaessa sitä liikutetaan korkki edellä ja sitten pysäytetään yhtäkkiä, jolloin sisällä oleva ketsuppi jatkaa liikettään jatkavuuden lain mukaan. Näin ketsuppi saadaan liikkumaan kohti pullon suuaukossa olevaa suljettua korkkia. Tämän jälkeen korkki voidaan avata ja ketsuppi saadaan ulos. d) Vanhoissa kirveissä on metalliterään kiinnitetty puuvarsi, joka joskus irtoaa. Irronnut varsi kiinnittyy terään, kun varsi työnnetään terän reikään ja sen jälkeen kopautetaan varren päätä tukevaan alustaan. Tällöin joka kopautuksella terä siirtyy jatkavuuden lain mukaan tiukemmin kiinni varteen. Näin kiinnitetty varsi ei ole kuitenkaan turvallinen, koska se voi irrota pian uudestaan. Irronnut terä voi aiheuttaa vahinkoja ja vammoja. Terän kiinnitys on syytä varmistaa esim. kiilan avulla. -5. a) Väite on väärin. Voima ja vastavoima eivät kumoa toisiaan, koska ne vaikuttavat eri kappaleisiin. b) Väite on väärin. Voiman ja vastavoiman lain mukaan Aurinko ja Kuu vetävät toisiaan puoleensa yhtä suurilla voimilla. c) Väite on oikein. Kappaleen saama kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen kappaleen massaan, jos voima on vakio. Raskaampi kappale on vaikeampi saada kiihtyvään liikkeeseen. -6. Auto liikkuu vakionopeudella: Painovoima Maan ja auton välinen vetovoima. Tukivoimat kohdistuvat Maasta auton pyöriin. Näiden vastavoimia ovat pyöristä maahan kohdistuvat voimat eli tienpintaa kuormittavat voimat. Liikettä vastustavat voimat ovat ilmanvastus (ilmasta autoon kohdistuva voima) ja vierimisvastus (vierivän pyörän vierimistä vastustava voima). Liikkeen suuntainen voima on tiestä auton renkaisiin kohdistuva kitkavoima. Liikkeen suuntainen kitka ja liikevastukset ovat itseisarvoltaan yhtä suuret. Lisäksi autoon kohdistuu periaatteessa ilmasta aiheutuva häviävän pieni noste. Auton nopeus kasvaa: Kuten edellä, mutta liikkeen suuntainen kitkavoima, joka vaikuttaa tiestä renkaisiin, on suurempi kuin liikettä vastustava kokonaisvoima. Auton nopeus pienenee: Kuten edellä, mutta liikkeen suunnalle vastakkaissuuntainen voima on suurempi kuin liikkeen suuntainen voima. 7

3 Huomaa, että kun kappale on vuorovaikutuksessa ilman kanssa, voimavektori piirretään yleensä ainoastaan nosteen ja ilmanvastuksen tapauksissa. -7. a) Voimat 3 ja 4 eivät ole voima ja vastavoima, koska ne vaikuttavat samaan kappaleeseen. b) Voiman vastavoima on 3. c) Voiman 6 vastavoima on voima, jolla kappale vetää Maata. d) Voima 5 on tukivoima, jolla naru estää lampun putoamisen. Voima 6 on voima, jolla Maa vetää kappaletta. -8. a) Kun Juho laskeutuu köyden varassa pitkin kallioseinämää, häneen vaikuttavat Maan vetovoima, köyden jännitysvoima, seinän tukivoima, seinän kitka, ilman hyvin pieni noste ja mahdollisesta tuulesta johtuva ilmanvastus. b) i N i i N -9. Kummassakin tapauksessa lukema on 50 N. 8

4 -0. a) b) i S N c) d) i s -. Tehtävässä tarkastellaan pöydällä olevaa kappaletta. Kappale on vuorovaikutuksessa pöydän kanssa (kosketusvuorovaikutus) ja Maan kanssa (gravitaatiovuorovaikutus). Piirroksessa b on esitetty gravitaatiovuorovaikutukseen liittyvät voimat: Maa vetää kappaletta puoleensa voimalla ja kappale vetää Maata puoleensa voimalla. Nämä ovat voima ja vastavoima. Piirroksessa c on esitetty kosketusvuorovaikutukseen liittyvät voimat: kappale painaa pöytää voimalla ja pöytä tukee kappaletta voimalla N. Nämä ovat voima ja vastavoima. Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat on koottu vapaakappalekuvaan a. Kappaleeseen vaikuttavat painovoima ja pinnan tukivoima N. (Kosketusvuorovaikutusta ilman kanssa ei ole otettu huomioon.) -. a) Koska siima kestää 00 N vetovoiman, siima kestää vedon 50 N voimalla. b) Köydenvedossa häviävän joukkueen vetäjien kengänpohjien ja maanpinnan välinen kitka on pienempi. -3. Pienin kiihtyvyys on kappaleella a. Kappaleilla c ja d on sama kiihtyvyys, joka on vertailussa toiseksi pienin. Suurin kiihtyvyys on kappaleilla b ja e. Eli järjestys on lyhyesti a a < a c = a d < a b = a e. 9

5 -4. a) yysikko oli Sir Isaac Newton. b) Kyseinen vuorovaikutus on gravitaatiovuorovaikutus. Runossa kuvattu omena on kiihtyvässä liikkeessä. c) Omenan maapalloon kohdistama vetovoima on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin omenan paino. d) Mato ei voi havaita putoamisen aikana painovoiman vaikutusta, koska omenan ja madon välinen tukivoima on nolla. -5. Kiihdyttävä voima on Newtonin II lain mukaan = ma = 87 kg 0,80 m/s 70 N. -6. a) Auton kiihtyvyys on 95 0m/s m/s Δv 3, 6 a = = 6 m/s Δt, 0 s eli hidastuvuus on 6 m/s. b) Turvavyön kuljettajaan kohdistama voima on = ma = 75 kg 6,4 m/s,0 kn. -7. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Kelkkaan vaikuttava kokonaisvoima on Σ =,55kN,5kN = 0,400kN = 400 N. Dynamiikan peruslaista Σ 400 N, m/s a = =. m 80kg Σ = ma kelkan kiihtyvyydeksi saadaan 30

6 -8. Koska auto pysähtyy jarrutuksen jälkeen, jarrutukseen kulunut aika on Δv 0 v0 v0 t = = =. a a a Tässä ajassa auto kulkee matkan v0 v0 v0 v0 v0 s = v0t + at = v0 + a = + =. a a a a a Ratkaistaan yhtälöstä auton kiihtyvyys. Auton alkunopeus on v 0 = 58 km/h = 6, m/s ja jarrutusmatka 8 m. Auton kiihtyvyys on v0 (6,m/s) a = = 7, m/s. s 8m a) Tarvittava voima on = ma = 7 kg ( 7, m/s ) 50 N. Pysäyttämiseen tarvittavan voiman suuruus on 50 N. b) Henkilön paino on = mg = 7 kg 9,8 m/s 706 N, joka on suurempi kuin 50 N, joten a-kohdassa laskettu voima ei riitä nostamaan henkilöä Maasta. c) Pysähtyminen kestää t v a 6,m/s 7, m/s 0 = =, s. -9. a) Auton kiihtyvyys on 50 m/s Δv 3, 6 a = =, 39 m/s Δt 0s ja tarvittava voima = ma = 800 kg,39 m/s, kn. b) Tangon massa on N m = = 0kg. g 9,8m/s c) Koska painovoima ei vaikuta auton kiihtyvyyteen, kohdan a) vastaus olisi =, kn eli sama kuin Maassa. Kuussa tangon massa olisi suurempi eli N m = 0,65 9,8m/s 690kg. -0. Sovitaan suunta oikealle positiiviseksi. Koska vaunun nopeus pienenee tasaisesti, sen kiihtyvyys on vakio. 3

7 v v N Tasaisesti muuttuvassa liikkeessä keskinopeus on v k m m 4, +,9 v0+ v s s m = = = 3,55. s Koska toisaalta on vk = s/, t hidastumiseen kulunut aika on s 80 m t = = 78,87 s. v 3,55 m/s Vaunun kiihtyvyys on k m m,9 4, Δv s s m a = = 0,0648. t 78,87 s s Liikesuunnalle vastakkainen kokonaisvoima on v ( ) = ma= 8000kg 0, 0648 m/s 300N. Voima on 300 N ja suunta kuvan mukaisesti vasemmalle. -. a) Oletetaan vastusvoimat pieniksi. Aluksi liike on tasaisesti kiihtyvää. Δv Kiihtyvyys on a =, josta alkukiihdytykseen kuluva aika on t t a,m/s Δv,5 m/s = = 0,4s. Tänä aikana vaunu kulkee matkan s = at =,m/s (0,4s) 65,m. Vaunu jarruttaa tasaisesti, joten a Δv 0m/s,5m/s = =,36 m/s. t3 9,5 s Jarrutuksen aikana vaunun kulkema matka on s = a t3,36 m/s (9,5 s) 59,4 m. = Tasaisen liikkeensä aikana vaunu kulkee matkan 3

8 s = 450 m 65, m 59,4 m = 35,5 m. Tähän matkaan kuluu aikaa 35,5m 6,0s. 45 m/s 3, 6 Kokonaisaika on 0,4 s + 6,0 s + 9,5 s 46 s. 0 0 v t s b) Kokonaisvoima voidaan määrittää dynamiikan peruslain = ma perusteella. Aikavälillä 0 0,4 s kiihtyvyys on, m/s ja kokonaisvoima = ma = 35000kg, m = 4kN s. Ajan t = 6,0s vaunu liikkuu tasaisella nopeudella, jolloin kiihtyvyys on nolla ja myös kokonaisvoima on nolla. m Ajan t 3 = 9,5 s kiihtyvyys on a =,36 ja kokonaisvoima s m = ma = kg,36 46 kn. s Voima on jarruttava voima. 33

9 .3 Liikeyhtälö -. a) Henkilö työntää seinää: vaikuttavat voimat ovat painovoima, seinän pinnan tukivoima ja kitka sekä kengänpohjiin kohdistuvat lattian tukivoima ja kitka. N N b) Jääkiekko hidastuvassa liikkeessä: vaikuttavat voimat ovat painovoima, jään pinnan tukivoima sekä liikettä vastustavat kitka ja ilmanvastus. i c) Vakionopeudella ylöspäin nouseva raketti: vaikuttavat voimat ovat alas suuntautuvat painovoima ja ilmanvastus, joiden summa on yhtä suuri kuin ylös suuntautuva voima, joka syntyy purkautuvien palamiskaasujen rakettiin aiheuttamasta voimasta. i 34

10 d) Putoava pallo: vaikuttavat voimat ovat painovoima ja ilmanvastus (ja noste). Jos voimien summa on nolla, pallo putoaa vakionopeudella. Muutoin pallo on kiihtyvässä tai hidastuvassa liikkeessä matkalla alas. (Nouseva ilmavirtaus voi aiheuttaa hidastuvan liikkeen varsinkin, jos pallo on kevyt.) noste i -3. a) Auto lähtee liikkeelle kiihdyttäen. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikon paino, lavan tukivoima, kitkavoima liikkeen suuntaan ja liikesuunnalle vastakkainen ilmanvastus. i b) Auto liikkuu vakionopeudella. Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat laatikon paino ja lavan tukivoima sekä kitkavoima ja ilmanvastus, jotka ovat yhtä suuria keskenään. i c) Auto jarruttaa. Vaikuttavat voimat ovat laatikon paino ja lavan tukivoima. Kitkavoima ja ilmanvastus ovat liikkeen suunnalle vastakkaiset. i 35

11 -4. a) b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ = maeli + μ = ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi suunnaksi, saadaan skalaariyhtälö µ = ma. Kiihtyvyys on μ 755 N 60 N 3,9 m/s a = =. m 35kg -5. a) Tiinan massa m = 65 kg ja vaa an näyttö m = 55 kg. Tiinaan vaikuttavat voimat ovat painovoima ja vaa an pinnan tukivoima. Tiinan liikeyhtälö on Σ = ma eli + N = ma. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä N = ma saadaan hissin kiihtyvyydeksi N mg m g m m a= = = g = m m m 65kg ' ' 65kg 55kg 9,8m/s,5m/s. Hissi on kiihtyvässä liikkeessä alaspäin tai hidastuvassa liikkeessä ylöspäin. b) Koska vaa an lukema on sama kuin Tiinan massa, hissi on paikoillaan tai etenee vakionopeudella. c) Vaa an lukema on 75 kg. Tiinaan vaikuttavat voimat ovat painovoima ja vaa an pinnan tukivoima. Tiinan liikeyhtälö on Σ = ma eli + N = ma. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä N = ma saadaan hissin kiihtyvyydeksi N 65kg 75kg 9,8m/s,5m/s a = =. m 65kg Hissi on hidastuvassa liikkeessä alaspäin tai kiihtyvässä liikkeessä ylöspäin. -6. Kiekon kiihtyvyys on v v0 0,6 m/s a = = = 0,0 m/s ja voima t 8,0s ma = = 0,70kg ( 0,0m/s ) = 0,034 N. 36

12 Liikettä vastustava kitkavoima on liikkeen suunnalle vastakkainen ja sen suuruus on 0,034 N = 34 mn. -7. a) p, vast i b) Perävaunun liikeyhtälö on Σ = ma eli Tp + p,vast = mpa. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi suunnaksi, jolloin skalaariyhtälö on T = m a. p p,vast P Voima, jolla auto vetää perävaunua, on T m a p = p,vast + p = 90 N kg 0,50 m/s 70 N. -8. Resultantti saadaan kosinilauseen avulla: = + (340 N) (90 N) 340 N 90 N cos65. Voima on 60 N N 340 N 60 N 340 N 90 N 65 37

13 x Pekka vetää voimalla P. Kosinilauseesta (70N) = P + (0N) 0N P cos 43 saadaan yhtälö (yhtälöstä on yksinkertaisuuden vuoksi jätetty yksiköt pois) P 3,8 P = 0. Yhtälön ratkaisu on P = 40,8 N tai P = 8,0 N. Pekka vetää 40 N voimalla. Näistä jälkimmäinen arvo ei kelpaa, koska silloin kulman x tulisi olla tylppä kulma. Sinilauseesta 0N sin x 70N = sin 43 saadaan ristiin kertomalla kulma x 6. Karitan tulee vetää Pekan suuntaan nähden oikealle yläviistoon 80 6 = 8 kulmassa..4 Voimien lakeja -30. Punnuksen liikeyhtälö on Σ = ma eli T + mg = ma. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T mg = ma. a) Koska punnus liikkuu vakionopeudella, kiihtyvyys on nolla. Yhtälöstä T mg = 0 jousivaa an lukemaksi saadaan T T = mg =, 6 kg 9,8m/s 6 N. a =

14 b) Kun hissi lähtee alaspäin, skalaariyhtälö on T mg = ma. Jousivaa an lukema on = = ( ) =,6 kg(9,8m/s,7 m/s ) 3 N. T mg ma m g a T a + c) Kun hissi lähtee ylöspäin, skalaariyhtälö on T mg = ma ja lukema T = mg + ma = m( g + a) =,6 kg (9,8 m/s +,7 m/s ) 8 N. -3. a) Hissin liikeyhtälö on Σ = ma eli T + ( m+ m) g = ( m+ m) a, jossa T on kannatinvaijerin maksimikuormitus. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, skalaariyhtälöstä T ( m + m ) g = ( m + m ) a saadaan hissin kiihtyvyydeksi = T g = 5,3 kn a 9,8m/s,m/s. m + m 650 kg kg b) Hissin liikeyhtälö on Σ = maeli N + mg = ma, jossa N on matkustajien hissin lattiaan kohdistama voima. Kun suunta ylöspäin on positiivinen, skalaariyhtälöstä N mg = ma saadaan voiman N suuruudeksi N = m g+ m a= m g+ a = +. ( ) 640 kg (9,8m/s,05 m/s ) 7,6 kn -3. Reen ja pulkan liikeyhtälö on Σ = ma a = m = m + m = 50N. 73,5kg Narussa vaikuttava jännitysvoima on 50 N T = ma = 8,5 kg 9 N. 73,5 kg. Kiihtyvyys on 39

15 -33. T T + a a mg mg Kirjoitetaan liikeyhtälöt kummallekin kappaleelle erikseen. Koska langan jännitysvoima on jokaisessa kohdassa yhtä suuri, on T = T = T. Kappaleen m liikeyhtälö on Σ = m a. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö m g m a. T = Kappaleen m liikeyhtälö on Σ = m a. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T mg = ma. Saadaan yhtälöpari T mg = ma. T mg = ma Kerrotaan alempi yhtälö luvulla ja lasketaan yhtälöt yhteen (eli vähennetään puolittain ylemmästä yhtälöstä alempi). Näin saadaan g m m ) = ( m m ) a, ( + josta saadaan kiihtyvyydeksi m m,0 kg a = g = 9,8m/s, m/s. m + m 6,0 kg Langan jännitysvoima on T = m a + m g = m ( a + g) = 7,0 kg (,3 m/s + 9,8m/s Kappale m törmää lattiaan nopeudella v = as =,3 m/s,0 m,6 m/s. ) 77 N. 40

16 -34. Käytetään tehtävän ratkaisussa sinilausetta. Saadaan verranto =, sin 8,50 sin 7,50 josta vaakasuorassa olevan vaijerin jännitysvoimaksi saadaan = Yhtälöstä 559 N. sin 7,50 7,50 kg 9,8m/s sin 8,50 = sin 90 sin 7,50 vaijerin vinon osan jännitysvoimaksi saadaan 564 N Kuormien ja ero on Δ = (5, 0 kg,0 kg) 9,8 m/s 37,3 N. Kuvaajan perusteella venymät ovat 60 mm ja 40 mm ja niiden erotus on Δx = 0 mm. Jousen jousivakioksi saadaan Δ 37,3 N k = = 6,867 N/mm. Δx 0 mm a) Jousen venymän muutos ilman kuormaa verrattuna kuormaan on Δ (, 0 kg 0 kg) 9,8 m/s Δ x = = = 5, 7 mm. k 6,867 N/mm Alkukohta on siis 40 mm 5,7 mm 4 mm (4,9 mm) kohdalla. b) Koska aloituskohta on 4,9 mm, kuorman 3 kanssa venymä on 30 mm. Kuorma 3 venytti jousta 30 mm 4,9 mm = 5,7 mm. Näin ollen = kx = 6,867 N/mm 5,7mm = 39,N ja kuorman 3 massa on 39,N m = = 4,0 kg. g 9,8m/s 4

17 -36. Ratkaistaan jousen venymä. Jousi lyhenee tasapainoasemasta venymänsä verran. Värähtelyn jaksonajaksi saadaan kuvasta T =, s. j Värähtelevän jousen jaksonajan ja jousivakion välinen yhtälö korotetaan puolittain toiseen potenssiin: m T = 4π, k josta jousivakioksi saadaan m 4π 0,500 kg 4π k = = 3,708 N/m. T (, s) Kun värähtely on vaimentunut ja punnus riippuu venyneessä jousessa, vallitsee tasapainotila, jolloin Σ = 0 eli j + = 0. Valitaan positiiviseksi suunnaksi suunta ylöspäin, joten j = 0 eli ky mg = 0. Kun punnus irrotetaan, jousi palautuu tasapainoasemaansa ja jousen lyhenemäksi y saadaan mg 0,500 kg 9,8m/s y = = 0,36 m. k 3,708 N/m -37. Kiihtyvyys a =Δv/Δt on vakio kaikilla alla olevilla aikaväleillä. Hissin kiihtyvyydet saadaan kuvaajasta fysikaalisena kulmakertoimena:, 5 m/s 0 4 s: a = = 0,375 m/s 4,0s 4 0 s: a = 0 (liike on tasaista) 0 s: a, 5 m/s,0s 3 = = 0,75m/s. T Hissin liikeyhtälö on Σ = ma eli T + = ma. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T mg = ma kannatinvaijeria jännittävä voima on T = ma+ mg. + 4

18 Kiihtyvyyksiä vastaavat jännitysvoimat ovat T = ma + mg = +, 480kg (0,375 m/s 9,8m/s ) 4,9 kn T = mg = 480 kg 9,8 m/s 4,7 kn ja T 3 = ma 3 + mg = m(a 3 + g) = 480 kg ( 0,75 m/s + 9,8 m/s ) 4,3 kn a) Talvirenkaiden kuviointi on tehty siten, että lumisissa ja jäisissä olosuhteissa renkaiden pito tienpinnalla olisi mahdollisimman hyvä. Talvirenkaan kuvioiden raot ovat suuremmat kuin kesärenkaassa, ja pinnassa voi olla pitoa parantava hienorakenne. Lisäksi talvirenkaiden kumi on pehmeämpää kuin kesärenkaiden. Tällaiset renkaat tarttuvat mahdollisimman lujasti tienpinnan pieniinkin epätasaisuuksiin. Kesärenkaiden kuvioiden tarkoitus on poistaa märällä pinnalla vettä renkaiden ja tien välistä. Jos kulutuspinta on ohut ja urat matalat, renkaat eivät pysty syrjäyttämään vettä tai sohjoa riittävästi. Tällöin auto voi joutua vesi- tai sohjoliirtoon eikä autoa voi silloin ohjata. b) Jos nastarenkaita ei käytettäisi, tienpinnat kestäisivät paremmin. Talvella nastarenkaiden käyttö on perusteltua kitkan suurentamiseksi ja liikenneturvallisuuden lisäämiseksi. c) Kitka estää renkaan sutimisen, joten sen suunta on auton etenemissuunnan mukainen. Kitka on lepokitkaa, koska rengas ei sudi Hyvin pieni kitkakerroin on esimerkiksi ainepareilla teflon ja teflon sekä teräs ja jää a) Junan pysäyttää pyörien ja kiskojen välinen kitkavoima. b) Lämmittäminen pehmentää kumia, jolloin se pureutuu tiukemmin asfalttipinnan hienorakenteeseen. Renkaiden pito paranee, koska kitka renkaan ja tienpinnan välillä suurenee. Tämän ansiosta mm. kaarteet voidaan ajaa suuremmalla nopeudella. -4. a) Tienpinnan ja renkaiden välinen kitka antaa autolle kiihtyvyyden. Jos auton kiihdytys on rauhallista ja renkaat eivät pyöri tyhjää, kitka on lepokitkaa. Jos pyörät sutivat, kitka on liukukitkaa. b) Kun auto lähtee liikkeelle, laatikko pyrkii jatkavuuden lain mukaan pysymään paikallaan. Jos laatikko pysyy autoa kiihdytettäessä lavan suhteen paikoillaan, lavan ja laatikon välinen kitka on lepokitkaa. Jos laatikko liukuu lavalla, kitka on liukukitkaa. 43

19 -4. a) Lennettäessä korkealla lentokoneeseen kohdistuva ilmanvastus on pienempi, koska ilma korkealla on harvempaa. Tällöin polttoainetta kuluu vähemmän kuin matalalla lennettäessä. b) Pakkasella lumikiteet eivät sula paineen vaikutuksesta jalan alla. Lumen narskuminen pakkasella johtuu siitä, että hauraiden lumikiteiden kiderakenne hajoaa askelten voimasta. Varsinkin uuden pakkaslumen kiteet ovat teräväreunaisia ja reunojen hankautuminen toisiaan vasten synnyttää myös narskumista a) Väliaineen vastusta pyritään hyödyntämään esimerkiksi soudussa ja uinnissa. Keihäänheittäjät, kuulantyöntäjät, seiväshyppääjät ja painonnostajat käyttävät magnesiumia, jotta saadaan parempi ote välineestä, eli magnesiumia käytetään lisäämään kitkaa. b) Kitkaa ja väliaineen vastusta pyritään vähentämään mm. uinnissa, mäkihypyssä, autourheilussa (väliaineen vastusta vähennetään, kitkaa lisätään), syöksylaskussa ja kelkkailussa c w on muotokerroin, ρ tiheys, A pinta-ala ja v nopeus. Muotokertoimen pienentämisellä pyritään pienentämään ilman vastuksen vaikutusta polttoaineen kulutukseen. Aikaisemmin autojen nopeudet olivat pienemmät ja ilmanvastuksen vaikutus pienempi. Myös polttoaineiden uhkaava loppuminen ja niiden kohonneet hinnat ovat vaikuttaneet siihen, että autojen muotoiluun ja muotokertoimiin on kiinnitetty enemmän huomiota a) Autojen etujarrujen on oltava tehokkaammat kuin takajarrujen, koska tällöin (esim. lukko)jarrutuksessa auto etenee liikkeen suunnassa eikä käänny poikittain. b) Jos auton etupyörät pyörivät (kitka lepokitkaa) ja takapyörät lukkiutuvat (kitka liukukitkaa), auton peräpää pyrkii kääntymään sivulle (vrt. käsijarrukäännöksen teko), koska liukukitka on pienempi kuin lepokitka. Liukuva perä kääntyy edelle, koska sivuttaisliikkeeseen joutuneen perän nopeus (vektorisuure) on suurempi kuin auton etuosan. c) Lukkiutumattoman jarrujärjestelmän (ABS) toiminta perustuu siihen, että auton pyörien pyörintänopeutta voidaan tarkkailla. Se tapahtuu anturien ja mikroprosessorien avulla, jotka ohjaavat kuhunkin jarruun menevää nestepainetta. Pyörän pyörimisnopeutta mitataan monta kertaa sekunnissa. Jos pyörä pyrkii lukkiutumaan, venttiili avautuu ja päästää painetta pois kyseisen pyörän nestepiiristä. Lukkiutumattomissa jarruissa sovelletaan ns. sumeaa logiikkaa Monissa laitteissa liukuminen muutetaan kuulalaakereiden avulla vierimiseksi, jolloin kitka pienenee. 44

20 -47. a) Potkukelkkaan vaikuttavat voimat ovat paino, jään pinnan tukivoima, kitkavoima (liikkeen suuntaa vastaan) ja ilmanvastus (suunta riippuu tuulesta). i b) Höyheneen vaikuttavat voimat ovat ilmanvastus (liikkeen suuntaa vastaan) ja paino. i c) Kuorma-autoon vaikuttavat voimat ovat paino, tienpinnan tukivoima, kitkavoima (liikkeen suuntaan, mahdollistaa liikkeen), ilmanvastus ja vierimisvastus liikesuuntaa vastaan. vast d) Pyöräilijään vaikuttavat paino, satulan, ohjaustangon sekä polkimien tukivoimat ja ilmanvastus, jonka suunta riippuu tuulesta. vast 45

21 -48. a) Tarvittava voima on µ = µn = µmg = 0, kg 9,8 m/s 940 N. b) v -49. a) Kappale lähtee liikkeelle hetkellä t =, s, kun kappaleeseen vaikuttava voima ylittää lepokitkan suurimman arvon 4,5 N. b) Kun kappale liikkuu tasaisella nopeudella, liikekitka on yhtä suuri kuin vetävä voima: kuviosta saadaan µ =,5 N. Liikekitka on µ = µn = µmg, josta saadaan liikekitkakertoimeksi μ,5 N μ = = mg, 8 kg 9,8m/s 0,4. c) Kuviosta saatava suurin lepokitka on µ 0 = 4,5 N. Lepokitkakerroin on 4,5 N μ = = mg,8 kg 9,8m/s μ 0 0 0, a) Lähtö- ja liikekitkan ero on µ0 µ = µ 0 mg µmg = mg(µ 0 µ) = 4 kg 9,8 m/s (0,30 0,0) 4 N. b) Kappaleen liikeyhtälö on Σ = ma eli + = ma. μ Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö µ = ma, josta kiihtyvyys on a 0,30mg 0, 0mg m m 0,0 0,0 9,8m/s 0,98 m/s μ = = = g =. 46

22 -5. Koska hyppääjä putoaa vakionopeudella, on häneen kohdistuva väliaineen vastus yhtä suuri kuin hänen painonsa eli = mg = 9 kg 9,8m/s 900 N. Annetulla nopeudella ei ole mitään merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta. -5. Koska kiekko on hidastuvassa liikkeessä ja lopulta pysähtyy, on v= v0 at = 0. Tästä saadaan kiekon liikkeelläoloajaksi v 0 t =. a Kitkavoima on = μmg = ma josta saadaan a= μg. Aika on μ, v0 5m/s t = = = 6,99s. μg 0,5 9,8m/s Kiekon liukuma matka on 5m/s s = vkt = 6,99s 0m (tai s = v0t at = 5 m/s 6,99 s 0,5 9,8 m/s (6,99 s) 0 m) Auton liikeyhtälö on Σ = ma. Lähtökitka aiheuttaa auton kiihtyvyyden eli = μ mg = ma. μ 0 0 Yhtälöstä saadaan auton suurimmaksi hetkelliseksi kiihtyvyydeksi a = μ g =. 0 0, 77 9,8m/s 7,6m /s 47

23 -54. Reen liikeyhtälö on Σ = ma. Kun reen liikesuunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö μ = ma. Kitkavoima on µ = µmg. Yhtälöstä µmg = ma saadaan kitkakertoimeksi ma 750 N 40kg 0,0m/s μ = = 0,7. mg 40 kg 9,8m/s -55. Liikeyhtälö on Σ = ma = 0 eli i + = 0, koska putoaminen tapahtuu vakionopeudella. Kun suunta ylöspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö i mg = 0 eli w 0 c Aρv mg =. Laskuvarjon pinta-ala on mg 85kg 9,8/s A = = 58m. c ρv,4,93kg/m (4,0 m/s) w -56. Lavalla olevan laatikon liikeyhtälö on Σ = ma eli μ 0 = ma. Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi. Yhtälöstä μ 0mg = ma saadaan kitkakertoimeksi a,8 m/s μ 0 = = 0,8 < 0,37. g 9,8m/s Näin ollen laatikko ei liu u. 48

24 -57. a) a + T + T a mg N mg b) Alusta on kitkaton. Koska langassa vallitsee sama jännitysvoima, on T = T = T. Liikeyhtälöstä Σ = ma saadaan skalaariyhtälöt T = ma T m. g = ma Kun yhtälöparista eliminoidaan T, saadaan m Kiihtyvyys on a m g = m a. m g 3,0 kg 9,8 m/s = = 5,9 m/s m + m,0 kg + 3,0 kg a. Alustan ja kappaleen välinen kitkakerroin on 0,0. Liikeyhtälöstä Σ = ma saadaan skalaariyhtälöt T μmg = ma T mg = ma. Eliminoidaan yhtälöparista T, jolloin kiihtyvyydeksi saadaan m g μm a = m + m g 3,0 kg 9,8m/s 0,0,0 kg 9,8m/s = 5,m/s. 5,0 kg -58. Liikeyhtälö on Σ = ma eli = μ ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö µ = 0,58µN = 0,58µmg = ma. Kiihtyvyydeksi saadaan a = 0,58 µg = 0,58 0,8 9,8 m/s,0 m/s. Maksimikiihtyvyyttä on vaikea saavuttaa, koska lepokitka muuttuu helposti liikekitkaksi, joka on pienempi kuin lepokitkan maksimiarvo. Kiihtyvyys pienenee auton nopeuden kasvaessa, koska tällöin ilmanvastus kasvaa Junan liikeyhtälö on Σ = ma. Kun junan liikkeelle vastakkainen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö 49

25 μ = Ma eli µmg = Ma, jossa M = 800 t + 89 t = 889 t ja m on veturin massa. Hidastuvuus on μmg 0, kg 9,8m/s a = = 0,069 m/s. M kg Yhtälöstä v= as saadaan jarrutusmatkaksi 65 m/s v 3, 6 s = =,4 km. a 0,069m/s -60. Kirjan paino on = 5,0 N. Lepokitka ylöspäin on = μn = 0,60 N = 7, N >, μ eli kirja pysyy paikoillaan. -6. a) Lähtökitka on m μ 0 = μ0n = μ0mg = 0, 6, kg 9,8 = 3,06 N. s Liikekitka on m μ = μn = μmg = 0,, kg 9,8, 47 N. s Koska jousivaa an lukema =, N on pienempi kuin lähtökitka eli < μ 0, kappale on levossa. Kappaleen liikeyhtälö on Σ = ma = 0. Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö = 0. Kitkavoimaksi saadaan μ μ = =, N (lepokitkaa). b) Kun kappaletta vedetään jousivaa alla vakionopeudella, vetävä voima on yhtä suuri kuin kitka eli = =,5N (liikekitkaa). μ 50

26 -6. Kappaleen kiihtyvyydeksi saadaan (t, v)-koordinaatistosta Δv 4,5m/s a = = = 4,5 m/s Δt,0s. Liikeyhtälö lattian suunnassa on Σ = ma. Kun liikkeen suunta valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö μ = ma eli μmg = ma. Kitkakerroin on ma 35,0 N 4,0 kg 4,5 m/s μ = = 0, 43. mg 4,0 kg 9,8m/s -63. a) Kun kappale kelluu, sen tiheys on pienempi kuin nesteen tiheys. b) Kun kappale uppoaa, sen tiheys on suurempi kuin nesteen tiheys. c) Kun kappale leijuu, sen tiheys on yhtä suuri kuin nesteen tiheys a) Meriveden tiheys on suurempi kuin järviveden tiheys. Näin ollen merivedessä uiminen on helpompaa, koska noste merivedessä on suurempi kuin järvivedessä. b) Vedessä kiven kannatteleminen on helpompaa veden nosteen vuoksi. Myös ilmassa kiveen kohdistuu noste, mutta se on kaasuissa huomattavasti pienempi kuin nesteissä Kun lasikuvusta imetään ilmaa pois, ilmanpaine kuvun sisällä pienenee ja ilman tiheys alenee. Tällöin ilman noste pienenee ja lasipallo painuu alaspäin a) Epäily rautalaivojen kellumisesta johtui siitä, että raudan tiheys oli suurempi kuin veden. Rautalaivan pysyminen pinnalla johtuu veden nosteesta. Kelluva laiva on ontto, eli valtaosa laivan tilavuudesta on ilmaa. Laiva syrjäyttää painonsa (ei tilavuutensa) verran vettä. b) Pelastusliivit on tehty vedenpitävästä kevyestä, kelluvasta materiaalista. Pelastusliivien varassa ihminen kelluu, vaikka uimiseen tai veden pinnalla pysymiseen tarvittavat voimat vedessä loppuisivat. Varsinaisten pelastusliivien (ei uimaliivien) etupuolella on suuret kellukkeet, jotka kääntävät veden varaan joutuneen tajuttoman henkilön selälleen, jolloin pää pysyy veden yläpuolella. 5

27 -67. Valuuko vesi reunan yli jään sulettua? Olkoon V veden pinnan yläpuolella oleva tilavuus ja V veden pinnan alapuolella oleva tilavuus. Jään tiheys on m jää ρ jää =, Vjää josta saadaan m = ρ V = ρ ( V + V ). jää jää jää jää Noste on yhtä suuri kuin jääpalan pinnanalaisen osan syrjäyttämän veden paino: N = mjää g ρ Vg= m g ρ V HO jää Vg= ρ ( V+ V) g HO jää ρ = V V + V ( V + V ) g jää ρ ρ = ρ HO jää HO g. Jääpalan massa on yhtä suuri kuin siitä syntyneen veden massa. Merkitään jäästä syntyneen veden tilavuudeksi x: m ρ ρ ρ jää = m jäästä tullut vesi ( V + V ) = ρ x jää HO jää x = V + V HO Toisaalta edellä saatiin tulos V V + V ρ = ρ jää HO. Yhdistetään tulokset eli x V =, josta saadaan x = V. V+ V V+ V Jäästä sulanut vesi täyttää täsmälleen sen tilavuuden, joka oli jääkappaleen pinnanalaisella osalla. Siksi vesi ei valu reunan yli jään sulettua. V V 5

28 -68. Vesivoimistelua käytetään hoitokeinona. Veden keventävästä vaikutuksesta (nosteesta) johtuen esim. voimisteleminen vedessä on helpompaa kuin ilmassa ja se rasittaa niveliä vähemmän. Toisaalta veden vastus estää liikkeitä. Näin lihakset joutuvat työskentelemään voimakkaammin kuin esimerkiksi ilmassa altaan reunalla ja hyvin heikotkin lihakset voivat kuntoutua a) yysikkoa tarvittiin ratkaisemaan ongelma, miten pallot saadaan pysymään vedessä paikoillaan. b) Teos liittyy nosteeseen. c) Ilmalla täytetyt koripallot kelluvat veden pinnalla. Taideteoksen tiedoissa ilmoitetaan veden olevan suolavettä. Suolaveden konsentraatio on suurempi altaan pohjalla, joten myös tiheys on suurin siellä. Pallojen sisällä on jotakin ainetta niin, että niiden keskitiheys on suurempi kuin suolaveden tiheys pinnalla mutta pienempi kuin suolaveden tiheys pohjalla Kelluva kappale syrjäyttää oman painonsa verran vettä. Kummankin lelun syrjäyttämän veden paino on yhtä suuri kuin astiaan mahtuvan lisäveden paino, jos lelua ei olisi astiassa. Kaikissa tilanteissa punnitustulos on sama. -7. Koska kuulan nopeus on vakio, on kuulaan vaikuttavien voimien summan oltava nolla. Kuulaan vaikuttavat alaspäin painovoima ja ylöspäin noste sekä väliaineen vastus. Voimien resultantin suuruus on + N + vastus = a) Noste on N =,40 N 0,84 N = 0,56 N. b) Nosteen yhtälöstä N = ρvg saadaan lasipalan tilavuudeksi N 0,56 N V = = ρg 000 kg/m 9,8m/s 3 57 cm 3. c) Lasin tiheys on ρ = m / g,40n/9,8m/s 3 V = V = 57,cm 500 kg/m 3. d) T -73. a) Kiven paino on 53

29 = mg =, kg 9,8 m/s N. b) Kiveen kohdistuva noste on m 3, kg N = ρvg = ρ g = 000kg/m 9,8m/s 4,7 N. ρ 3 k 500 kg/m c) Kivi pysyy paikoillaan, kun sitä tuetaan ylöspäin suuntautuvalla = N =,8 N 4,7 N = 7, N voimalla Pallon tilavuus on V 4 π r 4 π(0,05m) 65,45cm = =. Arkhimedeen lain mukaan pallon upotessa sen syrjäyttämän veden määrä on 65,45 cm 3. Tämän vesimäärän massa on m = ρv =,00 g/cm 3 65,45 cm 3 = 65,45 g. Vaa an lukema on 995 g + 65,45 g 060 g Tasapainoehto on Σ = 0 eli jää + N = 0. Kun valitaan suunta alaspäin positiiviseksi, saadaan jää N = 0 eli jääkuution paino on yhtä suuri kuin veden aiheuttama noste. A x h mg N Olkoon x jääkuution vedenpinnan alapuolella olevan sivun pituus, A pohjan pinta-ala sekä h kuution sivun pituus: jää = N m jää g = ρ vesi Vg, supistetaan g ρ jää V = ρ vesi Ax ρ jää Ah = ρ vesi Ax, supistetaan A ja ratkaistaan x x = ρ ρ jää vesi 3 90kg/m h = 3, 0 m = 0,9 m 000 kg/m Jäästä on pinnan alapuolella 9 cm ja pinnan yläpuolella 8 cm. Pinnan yläpuolella on kuution tilavuudesta 0,08 m,0 m,0 m = 0,08 m 3 eli 8 % koko tilavuudesta. 54

30 -76. Laituriin kohdistuvan nosteen on oltava yhtä suuri kuin styroksin, puuosien ja kuorman painon. Tasapainoehto on Σ = 0 eli kok + N = 0. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan yhtälö N kok = 0, joten kok = N eli henkilöt + puuosat + styroksi = ρ vesi Vg. Tarvittavan styroksimäärän paino on styroksi = n m styroksi g = n ρ styroksi Vg, jossa n on tarvittavien styroksikellukkeiden lukumäärä. Kokonaispaino on kok = 4 75 kg 9,8 m/s + 95 kg 9,8 m/s + n 5 kg/m 3 0,075 m 3 9,8m/s = 3874,95 N + 8,39 n. Veden noste on N = ρ vesi Vg = 000 kg/m 3 n 0,075 m 3 9,8 m/s = 735,75 N. Kirjoitetaan yhtälö kok = N eli 3874,95 N + n 8,39 N = n 735,75 N. Yhtälöstä saadaan ratkaisuksi n = 5,4, joten styroksikellukkeita tarvitaan 6 kpl Pienoismalli keveni 640 g = 0,640 kg, jolloin syrjäytetyn veden massa on myös 0,640 kg. Pienoismalliin kohdistuva noste on yhtä suuri kuin syrjäytetyn vesimäärän paino, eli noste on N = 0,640 kg 9,8 m/s 6,8 N. a) Pienoismallin tilavuus on N 6,8 N V = = = 6,40 0 m = 640 cm. 3 ρg 000 kg/m 9,8m/s b) Koska mittakaava on : 0, dinosauruksen tilavuus on ,40 0 m = 5,m 3. c) Dinosauruksen massa olisi m= ρv = kg/m 5, m 500 kg. 55

31 -78. Kuumailmapalloon liittyviä tietoja: Jos pallon tilavuus on 550 m 3, pallon sisälämpötila on noin C. Tällöin käytetään kolmea kaasupulloa, joista jokaisen massa 50 kg. Pallon päällä on venttiili, josta lämmintä ilmaa voi laskea ulos. Paine kuumailmapallon sisä- ja ulkopuolella on likimain sama, joten pallon sisällä olevan lämpimän ilman tiheys on pienempi kuin ympäröivän ilman tiheys. Tästä aiheutuu palloon noste, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin pallon, lämmenneen ilman ja kuorman yhteinen paino. Kaasupolttimien avulla voidaan vaikuttaa pallon sisällä olevan ilman lämpötilaan. Rajatapauksessa palloon kohdistuva noste on yhtä suuri kuin pallon kokonaispaino. Tasapainoehto on Σ = 0 eli kok + N = 0. Valitaan suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä kok N = 0 saadaan yhtälö m ki g + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg. Kuuman ilman massa voidaan kirjoittaa muotoon m ki = ρ ki V. Yhtälöstä ρ ki Vg + m kuorma g + m pallo g = ρ ilma Vg kuorman massa on m kuorma = ρ ilma V ρ ki V m pallo = (ρ ilma ρ ki )V m pallo = (,3 kg/m 3 0,85 kg/m 3 ) 60 m 3 3 kg = 49 kg Tasapainoehto on Σ = 0 eli N + kok = 0. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö N kok = 0 eli ρvg = (m + ma)g. Yhtälöstä ρahg = (m + m a )g saadaan uppoamalle yhtälö h = m ma ρa + ρa. Siirretään mittaustulokset (m, h)-koordinaatistoon. 56

32 mm h m g Suoran fysikaalinen kulmakerroin on Δ h 3, 0 cm = 0,cm/g. Δm 7g Saadaan yhtälö 0,cm/g ρ A =, josta liuoksen tiheys on ρ = =, g/cm 3. A 0,cm/g π (, 6 cm) 0,cm/g Astian massa saadaan suoran ja h-akselin leikkauspisteen avulla. Kun m = 0, astian massa on ma = ρah 0 =, g/cm 3 π (,6 cm) 3,0 cm 7 g..5 Voiman komponentit -80. Voiman komponentit ovat x = cosα = 4N cos7 3 N ja y = sinα = 4N sin7 7,0 N. 57

33 -8. Voimien akselien suuntaiset komponentit ovat x = N ja y = N, x = N ja y = N, 3x = N ja 3y = 3 N. Voimien summa x-suunnassa on Σ x =,0 N ja y-suunnassa =,0 N. Dynamiikan peruslain mukaan Σ = ma, joten akselien suuntaiset kiihtyvyydet ovat,0 N m,0 N m a x = = 4,0 ja a = =,0 y. 0,50 kg s 0,50 kg s Kiihtyvyys on m m m a = a x + a y = ( 4,0 ) + (,0 ) 4,5. s s s Kiihtyvyyden suunta on a y,0 m/s tanα = =, josta α 7. a 4,0m/s x Σ y -8. a) Laatikkoon vaikuttavat voimat ovat työntövoima, paino mg, pinnan tukivoima N ja kitkavoima μ. mg N b) Koska mies työntää laatikkoa vakionopeudella, liikeyhtälö x-suunnassa on Σ x = 0. Kun valitaan liikkeen suunta positiiviseksi suunnaksi, saadaan skalaariyhtälö cosθ μ = 0. Koska laatikko ei nouse ilmaan, liikeyhtälö pystysuunnassa on Σ y = 0. Valitsemalla suunta ylöspäin positiiviseksi saadaan skalaariyhtälö N mg sinθ = 0, josta tukivoima on N = mg+ sinθ. Kitkavoima on = μn = μ( mg + sinθ ). μ 58

34 Sijoitetaan kitkavoima x-suuntaiseen skalaariyhtälöön ja ratkaistaan : cosθ μ( mg + sinθ ) = 0 cosθ μmg μ sinθ = 0 (cosθ μ sinθ ) = μmg, josta työntövoima on μmg 0,3 47 kg 9,8 m/s = cosθ μ sinθ cos30 0,3sin 30 = = 0 N a) Nyt = N, eli paino ja tukivoima ovat yhtä suuret. b) Nyt y + = N, eli paino on pienempi kuin tukivoima c) Nyt y + N =, eli paino on suurempi kuin tukivoima. Piirrä vapaakappalekuva. a) b) c) N N N -84. T T T y T T T y Vasemmanpuoleinen taulu: Koska taulu pysyy seinällä, on voimassa Σ y = 0 eli T + T + = 0. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T = 0 saadaan langan jännitysvoimaksi 6,3 kg 9,8 m/s T = = 3 N. Oikeanpuoleinen taulu: Koska taulu pysyy seinällä, on voimassa Σ = 0 eli T + T + = 0. Ty = T y = Ty. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä T y = 0 eli T sinα mg = 0 saadaan langan jännitysvoimaksi y y y 59

35 mg 6,3 kg 9,8 m/s T = = 44 N. sinα sin 45 Jännitysvoimat ovat suuremmat oikeanpuoleisessa taulussa T Koska tasapainotilanteessa = 0, oheisen voimakuvion mukaan on T tan 5 =, josta kysytty vaakasuora voima on T = tan 5 = 0kg 9,8m/s tan 5 550N T T T 75 y T y 5 mg Nostolava on tasapainossa, joten Σ y = 0 eli T + T + = 0. Ty = T y = Ty. Kun valitaan suunta ylöspäin positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö Tsinα + Tsinα mg = 0. Massaksi saadaan Tsinα kn sin5 m = = 630 kg. g 9,8m/s y y 60

36 -87. T 30 T T mg mg T Koska on voimassa Σ = 0, vektorikuviosta saadaan tan 60 = josta voima ja T mg, T = mg tan60 = 4,5kg 9,8m/s tan60 76N, mg cos60 =, T josta voima T mg 4,5 kg 9,8m/s = = 88 N. cos 60 cos vast x 7 7 y Pulkkailijan liikeyhtälö on Σ = ma eli x + vast = max. Kun rinteen suunta alaspäin valitaan positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö VAST =. x ma x Vastusvoimien suuruus on VAST = ma = mg sinα ma = m( g sinα a = 6 kg (9,8m/s x x sin7 x,4m/s ) 9 N. x ) 6

37 -89. x vast y Sannan liikeyhtälö on Σ = ma eli + x + vast = max. Valitaan suunta rinnettä ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä x vast = max vaijerin jännitysvoimaksi saadaan = x + vast + ma = 63kg 9,8m/s x = mg sinα + vast + ma sin N + 63kg, m/s x 300 N a) Kourussa vierivälle pallolle antaa kiihtyvyyden painovoiman tason suuntainen komponentti yhdessä pallon ja tason pinnan välisen lepokitkan kanssa. Lepokitka estää liukumisen ja pienentää kiihtyvyyttä. (Tähän ilmiöön tutustutaan kurssilla Pyöriminen ja gravitaatio.) b) Pallon kiihtyvyys muuttuu, kun tason kaltevuutta suurennetaan. Kaltevuuden suurentuessa painovoiman tason suuntainen komponentti ja samoin kiihtyvyys suurenevat. -9. a) Laatikko liikkuu,0 sekunnissa alas,0 m ja oikealle 4,0 m, joten matka tasoa pitkin on s = (,0m) + (4,0m) 4,47 m. Matka tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kappaleen lähtiessä levosta saadaan yhtälöstä s = at. Kappaleen kiihtyvyys on s 4,47 m a = =, m/s. t (,0 s) b) Lasketaan ensin tason kaltevuuskulma,0m tan α =, 4,0m josta saadaan α = 6, 565. Kappaleen liikeyhtälö tason suunnassa on Σ = ma. Valitaan tason suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä x μ = ma saadaan liukukitkaksi 6

38 = ma μ x = mg sinα ma = 5kg 9,8m/s sin 6,565 5kg,36 m/s 54 N. -9. Alaspäin + Ylöspäin + x x y Oletetaan ensin, että kappale, jonka massa on 5,0 kg, liikkuu alaspäin. Rajatapauksessa on voimassa yhtälö Σ = 0 eli + μ + x = 0. Valitaan tason suunta ylöspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä + μ x = 0 saadaan langassa vallitsevaksi jännitysvoimaksi = x μ = sinα μn = sinα μ cosα = (sinα μ cosα) = 5,0 kg 9,8m/s (sin5 0,30 cos5 ) 7,39 N. Koska kappaleeseen m vaikuttavan langan jännitysvoiman suuruus on 7,39 N, massaksi saadaan 7,39 N m = = = 0,75 kg. g 9,8m/s Tutkitaan seuraavaksi tilanne, jossa kappale, jonka massa on 5,0 kg, liikkuu ylöspäin. Rajatapauksessa on voimassa yhtälö Σ = 0 eli + μ + x = 0. Valitaan tason suunta alaspäin positiiviseksi. Skalaariyhtälöstä μ x = 0 saadaan langassa vallitsevaksi jännitysvoimaksi = μmgcosα + mgsin α = mg( μ cosα + sin α) = + 5,0 kg 9,8 m/s (0,30 cos5 sin5 ) 34, N. y 63

39 Koska nyt kappaleeseen m vaikuttavan langan jännitysvoiman suuruus on 34, N, massaksi saadaan 34,N m = = g 9,8m/s 3,5 kg. Näin ollen kappaleen m massa voi vaihdella välillä0,75kg < m < 3,5kg. Testaa, osaatko. c,. a, 3. a, 4. b, 5. ab, 6. b, 7. a, 8. a, 9. c, 0. b 64