Matemaattiset oppimisvaikeudet (EDUK213, 5 op)

Matemaattiset oppimisvaikeudet (EDUK213, 5 op) - kurssi matemaattisten taitojen kehityksestä, oppimisvaikeuksista, arvioinnista ja interventioista Osa 1: Kehitys Syyskuu 2018 Professori Pirjo Aunio Erityispedagogiikka

Kurssin aikataulu ja paikat (Kaikille yhteiset) Päivä Kello Paikka Alustava aihe Ke 5.9.2018 14.15-15.45 (2x45 min) To 6.9.2018 14.15-15.45 (2x45 min) Ma 1.10.2018 14.15-15.45 (2x45 min) Ti 2.10.2018 14.15-15.45 (2x45 min) To 4.10.2018 12.15-15.45 (4x45 min, 30 min tauko) Päärakennus, Sali 13 Porthania, PII Porthania, PIII Aurora, aud 230 Aurora, aud 230 Kurssin sisältö Matemaattisten taitojen kehitys Matemaattisten taitojen kehitys Matemaattiset oppimisvaikeudet Matemaattiset oppimisvaikeudet Matemaattisten taitojen arviointi Ti 9.10.2018 12.15-15.45 (4x45 min, 30 min tauko) Aurora, aud 230 Pe 9.11.2018 14.15-16.45 Aurora, aud 230 Tentti Matemaattisten taitojen interventiotutkimus Pirjo Aunio 2

Harjoitusryhmät Katso oman ryhmäsi ajat WebOodista. Minja Lahdelma: EO, ELO, VEO Pirjo Aunio: EP pääaine Harjoitusryhmissä jatketaan luennoilla opitun tiedon käsittelyä ja käyttämistä Harjoitusryhmissä tutustutaan arviointi- ja interventio materiaaleihin + harjoitellaan niiden käyttöä Harjoitusryhmiin osallistuminen on pakollista Pirjo Aunio 3

Kurssin tavoitteet (sisältö): Ymmärtää matemaattisten taitojen tavallista ja poikkeavaa kehitystä Oppi ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia ja niihin liittyvää arviointia sekä interventiotutkimusta Syventää osaamistaan matematiikan oppimisvaikeuksista ja niihin liittyvistä taustatekijöistä (esim. kognitiiviset tekijät, ympäristölliset tekijät) 3 4

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa) Vaihtoehto 1: Berch, D., & Mazzocco, M.M.M (toim.) (2007). Why is math so hard for some children? The nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Paul H. Brookes. 441 s. JA Chinn, S. (toim.) (2015). The Routledge international handbook of dyscalculia and mathematical learning difficulties. London: Routledge. 419 s. Vaihtoehto 2: Gersten, R., & Newman-Gonchar, R. (toim.) (2011). Understanding RTI in mathematics: Proven methods and applications. Baltimore, Paul H. Brookes. 219 s. JA Henry, L. (2012). The development of working memory in children. Los Angeles: Sage. 384 s. Pirjo Aunio 5

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa) Vaihtoehto 3 Price, G.R., & Ansari, D. (2013). Dyscalculia: Characteristics, causes and treatments. Numeracy, 6(1), 1-16. Jordan, N., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and individual differences, 20(2), 82-88. LeFevre, J-A., Berrigan, L., Vendetti, C., Kamawar, D., Bisanz, J., Skwarchuk, S-L., & Smith-Chant, B. L. (2013). The role of executive attention in acquisition of mathematical skills for children in grades 2 through 4. Journal of experimental child psychology, 114(2), 243-261. Korhonen, J., Linnanmäki, K., & Aunio, P. (2013). Learning difficulties, academic well-being and educational dropout: A person-centered approach. Learning and individual differences, 31, 1-10. Toll, S. W.M., & Van Luit, J.E.H. (2012). Early numeracy intervention for lowperforming kindergartners. Journal of early intervention, 34(4), 243-264. Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from target=_blank>http://ies.ed.gov/ncee/wwc/publications/practiceguides/. Pirjo Aunio 30.10.2009 6

Kurssin suorittaminen Luennot Harjoitusryhmät Kirjallisuus Tentti 9.11.2018 - yksilötentti - materiaalit saa olla mukana Pirjo Aunio 7

Kurssin sisältöä tarkemmin Matemaattisten perustaitojen kehitys Kehityksen taustatekijöitä Matematiikan oppimisvaikeudet Taitojen arviointi Pedagoginen tukeminen Ennen koulua Työmuisti (toiminnan ohajusfunktiot) Dyscalculia Kehit.psyk testit ja seulat SES Mat. Op. Vaik OPS-pohjaiset mittarit Interventioista kieli Alakoulussa Motoriikka+ fyysinen aktiivisuus Heikko osaaja Observointi, haastattelu, portfolio, päiväkirja Pirjo Aunio 8

Erityispedagogisen ajattelun pilarit Oppimisen/kehityksen ymmärtäminen Oppimiseen/kehitykseen puuttuminen (interventio) Oppimisen/kehityksen arviointi (heikkojen löytäminen) 9

Mitkä ovat matemaattiset perustaidot? Mitä arvostetaan, mihin keskitytään, mistä ollaan huolissaan? Pirjo Aunio 6.9.2018

Keskeiset matemaattiset taitorypäät esi- ja alkuopetusikäisillä lapsilla I vaihe: testit joiden tarkoituksena on arvioida 5-8 -vuotiaiden lasten matemaattista osaamista. Tarkasteluun otimme testit, joihin oli julkaistu normit (eli on tieto miten lapset suoriutuvat testistä keskimäärin + validointiprosessi) jotka olivat opettajien käytössä useissa eri maissa joissa mitattiin erityyppisiä matemaattisia taitoja jotka eivät olleet opetussuunnitelma riippuvaisia Lukukäsitetesti (Van Luit, et al. 1994), Number Knowledge Test (Griffin 2003), Early Numearcy (Wright et al. 2006) ja TEMA-3 (Ginsburg & al. 2006) II Vaihe: Pitkittäistutkimukset Pirjo Aunio 6.9.2018

Keskeiset matemaattiset taitoryppäät esi-ja alkuopetusikäisillä lapsilla (Aunio & Räsänen, 2016 kts. myös www.lukimat.fi) Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen matemaattis-loogiset periaatteet aritmeettiset periaatteet matemaattiset symbolit paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä Laskemisen taidot numerosymbolien hallinta Aritmeettiset perustaidot aritmeettiset yhdistelmät lukujonon luettelemisen taidot lukumäärän laskutaidot yhteen- ja vähennyslaskutaidot Lukumääräisyyden taju Pirjo Aunio 6.9.2018

Laskemisen taidot Lukujonon luettelemisen taidot 1. Lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin (usein: Osaatko sinä laskea?) 2. Lukujonon luetteleminen hyppäyksittäin (l. sanomalla joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku) 3. Lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta (l. jatka laskemista luvusta kahdeksan eteenpäin) Number words sequence skills (synonyms often acoustic counting, reciting number words, counting) (VanDerHeyden et al. 2006; Clarke and Shinn 2004) Pirjo Aunio 6.9.2018

Laskemisen taidot (jatkuu) Lukumäärien laskemisen taidot: 1. Osaa luetella lukujonon oikeassa järjestyksessä 2. Osaa luoda yksi-yhteen-suhteen sanotun sanan ja laskettavan esineen sekä osoittavan eleen välille 3. Oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo sen kuinka monta esinettä kokonaisuudessa on 4. Oivaltaa, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä ja asioita voi laskea 5. Tietää, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran Enumeration (often counting the numerosity of a set, counting, cardinal meaning of number, counting objects) Child uses her/his number word sequence skills to enumerate (Aunio & Niemivirta 2010; Jordan et al. 2006) Pirjo Aunio 6.9.2018

Laskemisen taidot (jatkuu) Numerosymbolien hallinta: 1. Yhdistää sanottu lukusana -> numerosymboliin (nimeäminen ja tunnistaminen). Lapselle sanotaan joku lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaava numerosymboli Lapselle näytetään joku numerosymboli ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaava lukusana. 2. Ilmaisee numerosymboleilla lukumääriä Pyydetään näyttämään se numerosymboli mikä on yhtä suuri kuin näytettyjen esineiden lukumäärä Näytetään numerosymboli ja pyydetään antamaan yhtä monta esinettä Symbol-verbal and verbal-symbol transitions = word identification and recognition of numbers (e.g. choose number in VanDerHeyden et al. 2006) Pirjo Aunio 6.9.2018

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen 2 v. Primäärinen ymmärrys lukumääristä lukusanoilla viitataan eri lukumääriin hyvin karkeat lukumäärät selkeitä 3 v 4 v Lorumainen laskeminen käsittelee numeroita osana lauluja ja loruja ei välttämättä erota lukusanoja erillisinä sanoina vaan rimpsuna yksikaksikolmeneljä Eriaikainen laskeminen Ymmärtää, että lukusanoja voidaan käyttää esineiden laskemiseen Osaa luetella lukusanat oikeassa järjestyksessä, mutta ei kykene osoittamaan esinettä ja merkkaamaan sitä samaan aikaan. Jättää laskematta jonkun esineen, laskee (merkkaa) yhden esineen kaksi kertaa Pirjo Aunio 6.9.2018

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen (2) 4-5 v 5 v 6 v. Samanaikainen laskeminen Sanoo lukusanan, osoittaa esineitä Hallitsee 1-1-suhteella operoimisen Järjestää esineet, yhdistää niihin lukusanan (l. laskee) Tuloksen laskeminen Laskeminen alkaa luvusta yksi Jokainen esine lasketaan vain kerran Viimeinen lukusana kertoo esineiden lukumäärän Lyhentynyt laskeminen Kykenee tunnistamaan tietystä lukujoukosta numeron, josta he jatkavat laskemista Ei enää tarvitse aloittaa luvusta yksi, kun heiltä kysytään esineiden lukumäärää. Pirjo Aunio 6.9.2018

Aritmeettiset perustaidot Lukujonon luettelemisen ja lukumäärän laskemisen taitojen kehittyessä alkavat lapset myös harjoitella aritmeettisia perustaitoja Pienillä luvuilla & lukujen luettelu ja sormilla esineillä laskeminen Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy, lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia ja usein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voi palauttaa vastauksen suoraan muistista (l. aritmeettisten yhdistelmien muistaminen) Kehityksen kuluessa lapsi keksii uusia strategioita ja voi jättää jo opittuja käyttämättä Pirjo Aunio 6.9.2018

Aritmeettiset perustaidot Aritmeettisista perustaidoista keskeisiä esi- ja alkuopetusiässä ovat yhteen- ja vähennyslaskutaidot -> sujuva peruslaskutaito 2lkn keväällä ja 3:lla luokalla yhteen ja vähennyslaskutaidon oletetaan yksinumeroisilla luvuilla olevan suhteellisen sujuvaa ja aletaan opetella kerto- ja jakolaskua Pirjo Aunio 6.9.2018

Aritmeettiset perustaidot Laskutoimitukset eroavat siinä, missä määrin niiden harjoittelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat Kertolasku pohjaa ulkoaoppimiseen ja siinä muistista hakeminen on keskeinen strategia Vähennys ja jakolaskuissa on vähemmän ulkoaoppimista niissä käytetään erilaisia laskustrategioita useimmiten pohjaten yhteen ja kertolaskuun. Pirjo Aunio 6.9.2018

Aritmeettiset perustaidot Se mitä strategiaa lapsi käyttää riippuu esimerkiksi laskun tekijöistä: Esikoululainen voi muistaa ulkoa vastauksen osaan pienistä laskuista (1+1, 2+2, 1+2) Kun laskuissa vaaditaan 10-ylitystä (8+6, 9+5) on se jo hankalampi (laskemisen strategia käyttöön) 0 ja 1 sisältävät laskut näyttää nojaavaan sääntöjen muistamiseen (esim. kun nollan lisääminen ei muuta lukumäärää) Pirjo Aunio 6.9.2018

Aritmeettiset perustaidot Strategiat selviää seuraamalla lapsen laskemista ja pyytämällä häntä selittämään, miten ratkaisee tehtävän Tavallisesti lapsilla on käytössään useita strategioita Sujuva laskija: Pääasiassa palauttaa vastauksen nopeasti muistista Tarvittaessa valitsee muista strategioista tehtävään sopivimman Niillä lapsilla, joilla on matemaattisia oppimisvaikeuksia on käytössään yleensä vain hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen on heille vaikeaa (pysyy vaikeina tarvitsee tukea!) Pirjo Aunio 6.9.2018

Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen Asteittain: Luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista Vähennyslaskustrategiat ovat vaikeampia kuin yhteenlaskustarategiat - Vähennyslaskuissa pitää muistaa useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa - Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteenja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen Pirjo Aunio 6.9.2018

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa Laskutehtävien ratkominen aloitetaan lukujen luetteluun pohjatuvien strategioiden kautta Konkretian ja visuaalisen tuen avulla (esineet, sormet, piirtäminen) Mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla Eri tapoja käyttää lukujonoa laskemisessa tueksi: Pirjo Aunio 6.9.2018

Laske kaikki, aloita alusta Lukujen luetteluun pohjautuvat strategita yhteenlaskussa konkretia/visuaalinen tuki Laske toinen luvuista, aloita alusta Laskeminen eteenpäin Laskeminen eteenpäin, aloittaen suuremmasta luvusta Esim. 3 + 2 =? Lapsi laskee kolme esinettä yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa tulokseksi viisi. Esim. 3 + 4 =? Lapsi näyttää sormillaan suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen suoraan sormien lukumäärästä. Esim. 4 + 3 =? Lapsi näyttää sormillaan luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla "5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi sanottu lukusana. Esim. 2 + 5 =? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän näyttää sormillaan luvun viisi ja laskee sormien avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Pirjo Aunio 25

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia yhteenlaskussa mielessä tapahtuva laskeminen Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä luvusta Laskeminen eteenpäin suuremmasta luvusta Esim. 3 + 4 =? Lapsi aloittaa luvusta 3 ja laskee mielessään eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Esim. 2 + 5 =? Lapsi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta. Hän sanoo luvun viisi ja laskee mielessään eteenpäin "6, 7". Vastaus on viimeiseksi sanottu lukusana. Pirjo Aunio 26

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa konkretia/visuaalinen tuki Laske kaikki, aloita alusta Esim. 5 3 =? Lapsi laskee viisi esinettä yksitellen. Sitten hän laskee pois kolme esinettä, laskee jäljelle jääneet ja saa tulokseksi kaksi Laskeminen eteenpäin Esim. 7 4 =? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin sormien tuella 5, 6, 7. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme. Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran Laskeminen eteen- ja taaksepäin Esim. 8 3 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien avulla taaksepäin kolme lukua 7, 6, 5. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku. Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla tavalla tarvitsee laskea vähemmän. Esim. laskussa 9 7 =?, lapsi valitsisi kohdan 2. Pirjo Aunio 27

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa mielessä tapahtuva laskeminen Laskeminen eteenpäin Esim. 7 4 =? Lapsi aloittaa luvusta 4, laskee eteenpäin mielessään 5, 6, 7. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli kolme. Laskeminen taaksepäin annetun luvun verran Laskeminen taaksepäin annettuun lukuun asti Laskeminen eteen- tai taaksepäin Esim. 8 3 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin kolme lukua 7, 6, 5. Vastaus on viimeiseksi sanottu luku. Esim. 8-6 =? Lapsi aloittaa laskemisen luvusta 8 ja laskee mielessään taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli 2. Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen edellä esitellyistä kohdista joko kohdan 2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla tarvitsee laskea vähiten. Esim. laskussa 9-7 =?, lapsi valitsisi kohdan 2 tai 4. Pirjo Aunio 28

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen Palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (2+3=5) Johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta 6-3=3 joten 6-4=2, koska luku 4 on yhden suurempi kuin 3 Pilkkoo laskun osavaiheisiin ja kokoaa laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä 7+5 -> 7 + (3+2) -> 10 + 2=12 Toisen laskun kautta laskun johtaminen voi auttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista Tuplien kautta oppiminen + niitä lähellä olevat aritmeettiset yhdistelmät Pirjo Aunio 6.9.2018

Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa Tupla +1, +1 Tupla -1, -2 10-parit 10-lasku Jaettu Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi tai kaksi. esim. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi tai kaksi. esim. 7 + 6 = (7 + 7) - 1 = 13 Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja. esim. 8 + 2 = 10, joten 8 + 3 = 11 Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. esim. 10 + 8 = 18, joten 9 + 8 = 17 Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Myöhemmin tästä syntynyttä mielikuvaa voidaan käyttää hyväksi laskemisessa. esim. 7 + 5 = 6 + 6 Toisen tunnetun yhdistelmän kautta esim. 7+5=(7+4)+1=12 Pirjo Aunio 30

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa Tupla +1 Tupla -1 Jaettu Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja lisätään siihen yksi. esim. 13-6 --> 6 + = 13 --> 6 + (6 + 1) = 13 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja vähennetään siitä yksi. esim. 11-6 --> 6 + = 11 --> 6 + (6-1) = 11 Yhteenlasku havainnollistuu hyvin palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä siirretään yksi palikka toiseen, jolloin saadaan tupla. Tätä mielikuvaa käytetään hyväksi myös vähennyslaskussa. esim. 12-7 --> 6+6=12, joten 7+5=12 Pirjo Aunio 31

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa 10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa toisena tekijänä on 10. Esim. 16-10=6, joten 16-9=7 Toisen tunnetun yhdistelmän kautta Esim 12-7=>12-8=4, joten 12-7=5 Pirjo Aunio 32

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 8+5-> (8+2)+3=10+3=13 Pirjo Aunio 33

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa Lisääminen 10 kautta Vähentäminen 10 kautta Vähentäminen kymmenestä Luku täydennetään ensin kymmeneen ja katsotaan kuinka paljon tulee vielä kymmenen yli lisää. Esim 13-6-> 6+4=10, 10+3=13 -> 4 + 3= 7 Luku vähennetään ensin kymmeneen ja otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä pois 12-7-> 12-2=10, 10-5=5 Otetaan kymmenen yli menevä luku talteen, sen jälkeen otetaan vähentäjä pois kymmenestä ja lisätään talteen laitettu luku muistista 12-4= (10-4) + 2= 8 Pirjo Aunio 34

Van den Heuvel-Panhuizen (1999/2001): Children Learn Mathematics Wright et al. (2012): Developing Number Knowledge Yksittäinen laskeminen esineillä ja/tai lukujonolla Välineiden lapsilähtöinen käyttö Strukturoitu laskeminen välineillä Piilottaminen Välineiden ohjattu käyttö (ryhmittely, systemaattisuus) Välineiden nivominen strategioihin Mielessä tapahtuva laskeminen ilman välineitä Muistista palauttaminen Toisten laskujen hyödyntäminen Faktojen muistaminen 35

Yhteen- ja vähennyslaskustrategioiden oppiminen ja kehityksen tukeminen Aritmeettiset laskustrategiat Lukujen luetteluun perustuvat strategiat Strukturoitu laskeminen Muistamiseen perustuvat strategiat Välineet vapaasti lasten käytössä Mielessä tapahtuva laskeminen Välineillä ohjatusti Toisen laskun kautta (derived facts) Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen (decomposition) Suora muistista palauttaminen (fact retrieval) Lukualue 1-20 36

Strukturoitu laskeminen välivaihe/silta lukujen luettelusta muistista palautta Kymppipohja/viitospohja Helmitaulu (viiden kautta) Numeroruudukko -> lukusuoraan Tyhjä lukusuora Osa-kokonaisuus pallomalli (esim. Emerson & Babtie, 2010) Matikka-vuori Math-mountain (esim. Wright et al. 2012) Osa muistista palauttamista strategioista voidaan myös ottaa opetuksen kohteeksi Kielellistäminen 37

Strukturoidun laskemisen vaihe Osa-kokonaisuus pallo malli (esim. Emerson & Babtie, 2010) Matikka-vuori (Wright et al. 2012) 6 12 10 2 38

Kerto ja jakolaskutaidon kehittyminen Oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa korostuu suuremmassa määrin ulkoaopettelu kuin yhteenja vähennyslaskussa Hakeminen muistista on keskeinen ratkaisutapa heti alusta lähtien Jakolaskun kehityksestä tiedetään vähemmän: Alussa yhteenlaskun avulla Kertolasku nousee nopeasti yleisemmäksi Jakolaskujen ratkaisu hankalaa ilman kertolaskun hallintaa (kertolaskun ja jakolaskun suhteen ymmärtäminen) Pirjo Aunio 39

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kertolaskussa Alkuvaiheessa toistuva yhteenlasku ja lukujonon luetteleminen tietyn askeleen välein on yleisesti käytettjä strategioita - Ääneen tai mielessä luettelemalla lukujonoa (ei visuaalista tukea) esim. viiden välein 5x4 -> 5, 10, 15, 20 - Sormien avulla + luettelu, auttaa muistamaan montako harppausta lukujonossa on menty ( viisi yksi sormi, kymmenen kaksi sormea) Osalle lapsista hyppiminen lukujonossa vaikeaa - Laskee yksitellen, piirtää viivoja, ryhmittelee, laskee ne - => hidas, virhealtis, ei mielekäs Pirjo Aunio 40

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen jakolaskussa Luettelupohjaiset strategiat: - Toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen kunnes saavutetaan jaettava - Toistuva vähennyslasku, jossa jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää kunnes päädytään nollaan - Ryhmittely, lapsi miettii, kuinka monta jakajan suuruista ryhmää jaettavasta saadaan Pirjo Aunio 41

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa Aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista nousee yleisemmäksi strategiaksi Kansainväliset tutkimukset (lisää lähde): - 2- luokalla yleisin ratkaisutapa: lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuissa - 4-luokalla (9 v) suurimmaksi osaksi (noin 70-80% kertolaskuista) Jakolaskuissa - Muistiinpohjaavat strategiat: vastauksen hakeminen suoraan muistista, kertolaskun avulla vastauksen ratkaiseminen, sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin osiin - Vähiten automatisoituva - 6-7 luokalla yhdistelmien muistamista käytettiin vähemmän kuin kertolaskua Pirjo Aunio 42

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen Matemaattis-loogiset periaatteet l. säännönmukaisuuksien ymmärtäminen ja soveltaminen määrällisessä kontekstissa 1. Sarjoittaminen (Bryant 1996) (esim. Järjestä nämä kukat pisimmästä lyhyinpään) 2. Vertailu (Sophian 1998) (esim. Kummassa laatikossa on enemmän kuulia?) 3. Luokittelu (Smith 2002) (esim. Laita tähän laatikkoon kaikki siniset suuret pallot?) 4. Yksi-yhteen suhde (Alibali & DiRusso 1999) (esim. Missä laatikossa on riittävästi pipoja näille viidelle lapselle?) Pirjo Aunio 6.9.2018

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen (jatkuu) Aritmeettiset periaatteet (l. osa-kokonaisuus -suhteiden ymmärtäminen) 1) kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista luku kuusi voidaan muodostaa laskemalla yhteen esimerkiksi 5+1; 4+2; tai 3+2+1. 2) yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansa järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos -> a+b=b+a. Pirjo Aunio 6.9.2018

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen aritmeettiset periaatteet (jatkuu) 3) yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja saadaan sama tulos -> (a+b) + c = a + (b + c) 4) käänteisyyden periaate, millä tarkoitetaan sitä, että yhteen-ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa ->3+1-1=3 often the understanding of part-whole relations in addition or subtraction tasks (Canobi, Reeve & Pattison 2002; Robinson, Niowski & Gray, 2006, Wilkins, Baroody & Tiilikainen 2001) Pirjo Aunio 6.9.2018

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen matemaattiset symbolit Vertailun symbolit alkuopetuksessa mikä on suurempi kuin (>) pienempi kuin (<), yhtä suuri kuin (=) eri suuri kuin ( ) Pirjo Aunio 6.9.2018

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä Kun lapsi alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla. 2 23 233 2333 Pirjo Aunio

Lukumääräisyyden taju kykyä hahmottaa lukumääriä ilman kieleen perustuvaa laskemista lukumääräisyyden tajua pidetään perustavimmanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonka päälle kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taito rakentuu (Dehaene, 1997/2011; Lipton & Spelke 2003) Pirjo Aunio 6.9.2018

Lukumääräisyyden taju (2) Myötäsyntyinen kyky lukumäärien hahmottamiseen Ei laskemista vaan suhteellinen, epätarkkaa, lukumäärien hahmotuskyky Aistikanavasta riippumaton kyky Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaa on ne erottaa toisistaan. Kyky näyttää paranevan kohtuullisesti aina varhaislapsuuteen -> kehitys tasaantuu ei muutu täysin tarkaksi -> ainoa keino tarkkaan määrän hahmottamiseen on kieli ja laskeminen. Pirjo Aunio 6.9.2018

Mitkä taidot todettu hyviksi ennustajiksi? Pitkittäistutkimuksista (viimeisen 10 vuoden aikana) tietoa, mitkä taidot ennustavat myöhempää matematiikan osaamista Pirjo Aunio 6.9.2018

Tavalliset lapset 1) Esiopetusikäisen lapsen lukujonotaidot ennustavat hyvin myöhempää yhteen- ja vähennyslaskun taitoa 2) Spontaani lukumäärien havaitseminen ja lukumääräisyyden taju nuorilla lapsilla ennustaa myöhempää lukumäärän laskemisen taitoa. 3) Yleinen matematiikan osaaminen ennen kouluikää ennustaa hyvin myöhempää aritmetiikan osaamista koulussa. Pirjo Aunio 6.9.2018

Lapset, joilla oppimisvaikeuksia 1) Lukumäärän laskutaito esikoulussa on hyvä ennustaja myöhemmälle matematiikan osaamiselle. 2) Lapsilla, joilla on matematiikan ja/tai lukemisen vaikeuksia - todennäköisesti vaikeuksia kaikkien taitoryppäiden kehityksessä - erityisesti: laskuprosessien ymmärtämisessä, aritmeettisten faktojen muistamisessa ja aritmeettisten strategioiden käyttämisessä 3) Ristiriitaiset tulokset koskevat lukumäärän laskutaidon kehitystä lapsilla, joilla on kielen oppimisen vaikeuksia. - Osa raportoi, että vaikeuksia laskutaidoissa ei ole - Toiset taas, että esimerkiksi lukujonon hallinta on heikkoa nuorilla dysfasia lapsilla. Pirjo Aunio 6.9.2018

Heikkous lukumääräisyyden tajussa - Potentiaalinen selittäjä vaikeille matematiikan oppimisvaikeuksille (Mazzocco, Feigenson & Halberda 2011a; Price & Ansari 2013) - Estimointiin keskittyvä lukumäärän ymmärrys (i.e., approximate number system) ennustaa myöhempiä taitoja (Libertus, Feigenson & Halberda 2011; Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b) - Onko kyseessä mentaali mallinnus numerosymboleista vai ei-symbolinen lukumäärän representaatio? (De Smedt, Nöel, Gilmore & Ansari, 2013) Pirjo Aunio 53

Aunio & Niemivirta 2010 EARLY NUMERACY SKILLS PREDICTING MATH IN 1 ST GRADE 54

Aunio, P., Laine, A. & Räsänen, P. (manuscript in preparation) Development of mathematical skills in 9-12 years old children Pirjo AUnio 55

Kehityksestä 9-12 vuotiaiden ikäryhmässä Lapset, joilla matamaattisia oppimisvaikeuksia ikäryhmässä 9-12 v: On pulmia etenkin perusaritmeettisissa taidoissa sujumattomuus (e.g. Geary 2014, Kucian & von Aster 2014) Syy voi olla poikkeavasta neurologisesta toiminnasta lukumäärillä operoiminen on vaikeutunut (e.g. Price & Ansari, 2013) Pulmia sanallisissa tehtävissä (syynä heikot aritmeettiset taidot vai kielellinen pulma)

Tutkimuksen tavoite ja menetelmä Mitkä ovat keskeiset matemaattiset taidot, jotka kehittyvät ikäryhmässä 9-12? Vaihe 1: Systemaattinen luenta arviointivälineet, joilla mitataan lasten (9-12v) matemaattisia taitoja Tehtävien luokittelu Vaihe 2: Pitkittäistutkimuksien analyysi, mitä on tehty koskien matemaattisten taitojen kehitystä ikäryhmässä 9-12 y. ennustearvot

Vaihe 1 arviointivälineet Finnish 1 Räsänen (2005) Banuca. Lukukäsitteen ja laskutaidon hallinnan testi. 7-9 years old children. 2 Räsänen (2004) RMAT. 9-12 years old children. 3 Häyrinen, Serenius-Serve & Korkman (2013) Lukilasse- 2. 7-12 years old International 1 Butterworth (2003) Dyscalculia Screener. 6-14 years. 2 Woodcock, McGrew & Mather (2001; 2007) Woodcock- Johnson Test of Achievement. 2-90+ years 3 Von Aster, Weinhold Zulauf & Horn (2006) ZAREKI-R (n 7-16 y.) leerjaar 3-> 2 klas voortgezet onderwijs

Banuca RMAT Lukilasse Comparison bw numerosities (Lukumäärien vertailu) Numerosity-symbol-number word (Lukumäärä-symbolilukusanan yhteys) Symbol-number word (symboli-lukusanan yhteys) Continue the number word sequence (Lukujonon jatkaminen ja ymmärtäminen) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen- ja vähennyslaskut; päässälaskut) Continue the number word sequence; natural numbers, fractions, desimal numbers (lukujonon jatkaminen; luonnolliset luvut, murtoluvut, desimaaliluvut) Addition and substraction without manipulatives (Yhteen-ja vähennyslaskut; päässälaskut) Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain) Addition and substraction; algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut; allekkain) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut) Muiltiplication and division, algorithm (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; päässälaskut) Multiplication and division without manipulatives (Kerto- ja jakolaskut; allekkain, jakokulmassa)

Dyscalculia Screener Number size (Lukumäärien vertailu) WJ test of achievement III Zareki-R-NL Number comparison, manipulation,(what is bigger?) Number sequence skills, backwards Number-number word numerosity relations (reading arabic numbers, writing numbers from dictation) Mental numberline Enumeration skills Addition (no manipulatives) Quantitative concepts Calculation: addition, subtraction, division, algorithms, natural numbers, fractions, decimal numbers Digit span, repeating said number Addition, subtraction and multiplication without manipulatives Multiplication (no manipulatives) Math Fluency: addition, subtraction, multiplication without manipulatives Applied problems (counting numerosity, arithmetics, money, temperature, clock, percent, area, volume) Verbally given problems, addition and subtraction, digit span, repeating said numbers

Vaihe 1 alustavia tuloksia Arviointivälineissä mitattaan yleensä Yhteenlaskua ja kertolaskua - Myös vähennyslasku ja jakolasku Päässälaskua pienillä luvuilla (alle 100 ) Joskus myös sanallisia tehtäviä

Authors Hecht, S., Torgensen, J., Wagner, R. & Rashotte, C. Mazzocco & Kover Yea r Name of article 2001 The relations between phonological processing abilities and emergining individual differences in mathematical computational skills: A longitudinal study from second to fifth grades. Journal of Experimental Child Psychology, 79,2,192-227. 2007 A longitudinal assessment of executive function skills and their association with math performance. Child Neuropsychology 13 18-45. Geary, D.C. 2011 Cognitive predictors of achievement growth in mathematics: 5 year longitudinal study. Developmental Psychology 47 (6) 1539-1552. Swanson, H.L. Zheng, G., Swanson, H.L. & Marcoulides, G. Alloway, T & Passolunghi, M C Alloway T P. & Alloway, R. G. Vukovic, R.K. & Lesaux, N.K. 2011 Working memory, attention and mathematical problem solving: A longitudinal study of elementary school children. Journal of Educational Psychology, 1-17. 2011 Working memory components as predictors of children's mathematical problem solving. Journal of Experimental Child Psychology, 481-498. 2011 The relationship between working memory, IQ, and mathematical skills in children 2010 Investigating the predictive roles of working memory and IQ in academic attainment. Journal of Experimental Child Psychology, 20-29. 2013 The language of mathematics: Investigating the way language counts for children's mathematical development. Journal of Experimental Child Psychology 115, 227-244.

Vaihe 2: alustavia tuloksia Nyt kognitiiviset komponentit ja matematiikka Verbal problem solving and working (Lee, Swee, Fong, Ee- Lyn & Zee-Ying 2004; Swanson & Sachse-Lee 2001; Swanson 2004;Swanson et Lee 2011; Fuchs et al 2006; Lee et al. 2009; Passolunghi, Cornoldis & Deliberto 1999; Zheng 2011) Vain muutamassa tutkimuksessa ennustetaan matematiikan taitoja toisilla matemaattisilla taidoilla (Landerl, Bevan & Butterworth 2004; Locuniak & Jordan 2008; Mazzocco & Thompson 2005) 63

Katsaus suomalaiseen nykytutkimukseen YKSILÖLLISTEN EROJEN SELITTÄMINEN MATEMAATTISESSA OSAAMISESSA 64

Katsaus (Lee & Aunio, in press) Viimeiset 15 vuotta Kv-julkaisut Kehityksen (osaamisen) selittäminen 33 artikkelia Pirjo Aunio 65

Muutama yleinen huomio Matemaattisten taitojen kehityksen tutkimusta tehdään useassa ryhmässä ja yliopistossa: Jyväskylän yliopisto (Aunola et al., Räsänen et al. Koponen et al.) Turun yliopisto (Kyttälä et al., Hannula-Sormunen et al.) Itä-Suomen yliopisto (Björn et al., Hakkarainen et al., ) Helsingin yliopisto (Aunio et al.) 4-9 vuotiaat ja 15-16 -vuotiaat Pirjo Aunio 66

Tuloksia koskien 4-9-vuotiaita lapsia Kyttälä et al. (2003) ja Kyttälä (2013) osoittivat, että 4-6 vuotiaana erityisesti visuospatiaalista työmuistia tarvitaan kun ratkaistaan lukumäärän laskemisen tehtäviä ja sanallisia tehtäviä (yksinkertaisia yhteen- ja vähennyslaskuja) Kyttälä et al. (2010) osoittivat, että mikäli lapsella oli 4-6 vuotiaana heikkoutta matemaattisissa varhaistaidoissa hänellä oli heikoutta laajemmin kognitiivisessa osaamisessa (työmuisti, kielen osaaminen, joustava älykkyys) 67

Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (1) Aunola et al. (2004) ja Aunio & Niemivirta (2010) osoittivat, että varhaiset matemaattiset taidot, jotka on mitattuna ennen koulun alkua ennustaa hyvin osaamista ensimmäisellä ja toisella luokalla Erot lasten välillä kasvoivat koulun alun jälkeen Aunio et al. (2015) raportoi, että lapset, jotka aloittivat esikoulun heikoilla matemaattisilla taidoilla olivat heikkoja myös esikoulun lopussa, eivätkä tavoittaneet tavallisesti osaavien ikätoverien osaamistasoa. Hannula-Sormunen et al. (2015) lisää, että spontaani lukumäärien havaitseminen ennen koulua ennustaa hyvin myöhempää matemaattista osaamista 68

Koulunaloittajien matemaattisten taitojen kehitys (2) McMullen et al. (2016) tulokset osoittavat, että lasten spontaani fokusoiminen lukumääriin on hyvä ennustaja myöhemmälle rationaalilukujen osaamiselle McMullen et al. (2014) lisäävät, että pienten lasten spontaani kyky kiinnittää huomiota lukumäärien suhteisiin ennustaa hyvin myöhempää murtolukujen osaamista. Zhang et al (2014) tutkimus osoitti, että kirjoitettu kielitaito on tärkeää varhaisille aritmetiikan taitojen kehitykselle Björn et al. (2016) toteavat, että luetun ymmärtämisen taidot ovat tärkeä osa matemaattista ongelman ratkaisua 69

Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (1) Aunola et al. (2006) osoittivat, että tehtäväorientoituminen matemaattisiin tehtäviin jo ennen koulun alkua on merkityksellinen, koska korkea matematiikan osaaminen koulun alussa nosti tehtävä orientoitumista, joka ennusti osaamista toisen luokan alussa Opettajien toiminta vaikuttaa lasten tehtävä orientoitumiseen Viljaranta et al. (2009) täydentää edellistä tulosta raportoimalla, että mitä enemmän lapset raportoivat tehtävä orientoitunutta motivaatiota esikoulun alussa sitä korkeampi oli heidän artimeettinen osaaminen esikoulun lopussa - Mitä parempi aritmeettinen osaaminen, sitä kiinnostuneempia lapset olivat matematiikasta Pirjo Aunio 70

Matemaattisten taitojen kehitys ja motivationaaliset tendenssit (2) Aunola et al. (2003) raportoivat, että vanhempien usko lapsen yleiseen kouluosaamiseen lisäsi lapsen tehtäväorientoitunutta toimintaa ja ennusti hyvää matemaattista osaamista. Vanhempien usko lapsen matemaattiseen osaamisen vaikutti positiivisesti lapsen matemaattiseen osaamiseen Slilinskas et al (2010) osoittivat, että mitä alhaisempi oli vanhempien sosio-ekonominen status, sitä enemmän he opettivat lapsiaan matematiikassa ja lukemisessa ensimmäisellä luokalla - Mitä heikommat taidot lapsella oli matematiikassa koulun alussa, sitä enemmän vanhemmat raportoivat opettavansa myöhemmin Pirjo Aunio 71

Matemaattiset erot ja kognitiiviset taidot yläkoulussa Kyttälä & Lehto (2008) osoittivat, että yläkoululaisten osaaminen matemaattisissa tehtävissä oli yhteydessä joustavaan älykkyyteen ja passiiviseen visuospatiaaliseen työmuistiin Kyttälä (2008) toteaa, että sellaiset yläkoululaiste, joilla on oppimisvaikeutta matematiikassa ja lukemisessa, on myös yleisesti vaikeuttaa visuospatiaalisessa työmuistissa Ne, joilla oli vaikeuksia vain matematiikassa, heillä oli vaikeuksia vain passiivisen visaalisen informaation samanaikaisessa säilyttämisessä Pirjo Aunio 72

Matemaattiset erot yläkoulussa Hakkarainen et al. (2013, 2015) osoittivat, että matemaattiset ja lukemisen oppimisvaikeudet ennustivat vahvasti kouluosaamista 9-luokan lopussa siirtymistä toiselle asteelle Koulutuksellista syrjäytymistä Hakkarainen et al. (2013) ja Korhonen et al. (2010) toteavat, että lukemisen taidot olivat yhteydessä matemaattisten taitojen osaamiseen 9-luokalla Korhonen et al. (2014) löysi yläkoulun päättäjistä kaksi oppimisprofiilia, jotka olivat erityisen herkkiä koulutuksesta syrjäytymiselle - Heikko osaaminen ja akateeminen hyvinvointi - Osaaminen on ok; akateeminen huonovointisuus Pirjo Aunio 73

Matemaattiset erot yläkoulussa Korhonen et al. (2016) havaitsi eroja tyttöjen ja poikien väillä siinä, miten matematiikka ja kiinnostus olivat yhteydessä oppimisen tavoitteisiin Tyttöjen kohdalla kiinnostus matematiikkaan ennusti sitä mitä he tavoittelivat Pojilla osaaminen oli parempi ennustaja Tytöillä ja pojilla kouluun liittyvä loppuunpalaminen ennusti kiinnostuksen kautta osaamista matematiikassa ja lukemisessa - Tytöillä suora postiivinen yhteys oppimiseen liittyviin tavoitteisiin Pirjo Aunio 74

Matemaattiset erot yläkoulussa Niemivirta ja Tapola (2009) Minäpystyvyys + kiinnostus ongelmanratkaisutehtävässä Minäpystyvyys ja kiinnostus korreloi positiivisesti Kun osaamisen taso kontrolloitiin, alukuperäinen minäpystyvyys ja muutos kiinnostuksessa ennusti tehtävän suoritustasoa Kyttälä & Björn (2010) toteavat, että matematiikkaan liittyvä ahdistuneisuus (anxiety) on enemmänkin opetuksellinen lopputulos kun oppimiseen vaikuttava tekijä 14-vuotiailla nuorilla - Vaikka ahdistuneisuus ei ennusta osaamista, se on uhka hyvinvoinnille kaikissa osaamisryhmissä 75

Yksilölliset erot matemaattisissa taidoissa Kognitiiviset tekijät Emotionaaliset tekijät Oppmisympäristö Perheen merkitys 76