Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia yhden muuttujan funktioita Usean muuttujan lineaarisia funktioita Yhden muuttujan funktioista f(x) tiedämme: Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta x:n suhteen Suhteellinen muutosnopeus D lnf x = f (x) kertoo funktion arvon suhteellisen f(x) muutoksen, kun x kasvaa yhden yksikön (pieni, absoluuttinen muutos) Jousto f (x) x kertoo funktion arvon suhteellisen muutoksen, kun x kasvaa f(x) prosentin (pieni, suhteellinen muutos) 2
Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioita yleisesti Erityisesti määrittelemme derivaatan, suhteellisen muutosnopeuden ja jouston vastineet usean muuttujan funktioille Osittaisderivaatta ja gradientti (Osittainen) suhteellinen muutosnopeus Osittaisjousto 3
Usean muuttujan funktiot Esim. Ekonomisti selvitti, että Arktinen Kala yhtiön tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ; laitteet, rakennukset ym. infrastruktuuri) kuvaa Cobb-Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 2.28x 1 0.38 x 2 0.62. Esim. Työpanoksella x 1 = 20 M ja pääomapanoksella x 2 = 10 M tuotannon arvo on f 20,10 = 2.28 20 0.38 10 0.62 29.67 M Tuotanto on tappiollista: 29.67 30 M = 0.33 M 4
Usean muuttujan funktiot Yritys suunnittelee lisäinvestointia tuotantoon. Kuinka työvoimaan ja pääomaan kohdennetut lisäinvestoinnit vaikuttavat tuotannon arvoon? Tällaiseen kysymykseen voidaan vastata tarkastelemalla tuotantofunktion muutosnopeutta työvoima- ja pääomapanosten suhteen 5
Derivaatta ja osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktion f(x) muutosnopeudesta muuttujan x suhteen kertoo derivaatta f (x) f (x) > 0: funktio kasvaa muuttujan x suhteen f x < 0: funktio vähenee muuttujan x suhteen Monen muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeudesta muuttujan x i suhteen kertoo osittaisderivaatta f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i > 0: funktio kasvaa muuttujan x i suhteen < 0: funktio vähenee muuttujan x i suhteen Eri merkintätapoja: f x 1,,x n x i, D i f x 1,, x n, D xi f x 1,, x n, f i x 1,, x n, f xi x 1,, x n 6
Osittaisderivaatta Jos sijoitetun pääoman tasoksi kiinnitetään esim. x 2 = 10 M ja työpanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi t 10 : R + R +, t 10 x 1 = f x 1, 10 = 2.28x 1 0.38 10 0.62 = 9.505x 1 0.38 Tuotanto on voitollista, kun 9.505x 1 0.38 10 + x 1 > 0 x 1 (1.75, 19.24) Nollakohdat voi ratkaista esim. Wolfram Alphassa komennolla solve(9.505*x^0.38-10-x=0) 7
Osittaisderivaatta Kun x 2 on kiinnitetty arvoon 10 M, tuotannon arvon muutosnopeutta työvoimapanoksen x 1 suhteen kuvaa derivaatta t 10 x 1 = D 9.505x 1 0.38 = 3.612x 1 0.62 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 2 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 1 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 1 = D 1 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 2 0.62 D 1 x 1 0.38 = 0.38 2.28x 2 0.62 x 1 0.62 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 Vakio! 8
Osittaisderivaatta Jos työpanokseksi kiinnitetään esim. x 1 = 20 M ja pääomapanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi k 20 : R + R +, k 20 x 2 = f 20, x 2 = 2.28 20 0.38 x 2 0.62 = 7.117x 2 0.62 Tuotanto on voitollista, kun 7.117x 0.62 2 20 + x 2 > 0 x 2 (10.40, 114.54) 9
Osittaisderivaatta Kun x 1 on kiinnitetty arvoon 20 M, tuotannon arvon muutosnopeutta pääoman x 2 suhteen kuvaa derivaatta k 20 x 2 = D 2 (7.117x 2 0.62 ) = 4.413x 2 0.38 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 1 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 2 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 2 = D 2 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 1 0.38 D 2 x 2 0.62 = 0.62 2.28x 1 0.38 x 2 0.38 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 Vakio! 10
Osittaisderivaatta Tuotantofunktion f x 1, x 2 osittaisderivaattoja sanotaan myös työpanoksen ja pääoman rajatuottavuuksiksi, esim. D 1 f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 on työpanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) D 2 f x 1, x 2 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 on pääomapanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) 11
Osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktioille määriteltyjä derivointisääntöjä voidaan soveltaa, kun muut muuttujat ajatellaan vakioina. Esim. f: R 2 R, f x, y = 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 D x f x, y = D x 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D x 3xy 2 + 4x + D x 2y 2 5y + 1 = 3y 2 D x x + 4D x x + 0 = 3y 2 + 4 D y f x, y = D y 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D y 3xy 2 2y 2 5y + D y 4x + 1 = 3xD y y 2 2D y y 2 5D y y + 0 = 6xy 4y 5 12
Osittaisderivaatta Esim. f: R ++ R R ++, f x, y = x y on potenssifunktio x:n suhteen ja eksponenttifunktio y:n suhteen D x f x, y = D x x y = yx y 1 D y f x, y = D y x y = x y ln x 13
Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y, z = ze 2x + x 3 f x x, y, z y y ln z osittaisderivaatta 1. 2ze 2x + 3x 2 y 2. e 2x + y 3. 2ze 2x + 3x2 2 y y ln z 14
Presemo-kysymys Tuotannon arvoa työvoimapanoksen x 1 (M ) ja pääomapanoksen x 2 (M ) suhteen kuvaa tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 1.5x 1 0.30 x 2 0.70 Mikä funktio kuvaa pääomapanoksen rajatuottavuutta? 1. g x 1, x 2 = 0.45x 1 0.70 x 2 0.70 2. g x 1, x 2 = 1.05x 1 0.30 x 2 0.30 3. g x 1, x 2 = 1.05x 1 0.30 x 2 0.70 21.2.2018 15
Gradientti Funktion f(x 1,, x n ) gradientti f(x 1,, x n ) on pystyvektori, jonka i. komponentti on f:n osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen: f x 1,, x n = D 1 f(x 1,, x n ) D n f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion f muutospyrkimyksestä (suunta ja voimakkuus) pisteessä (x 1,, x n ). 16
Gradientti Esim. Tuotantofunktion muutospyrkimystä kuvaa vektori: f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 Tuotannon arvon muutospyrkimys työvoimapanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M : f x 1, x 2 = 0.8664 20 0.62 10 0.62 0.564 1.4136 20 0.38 0.38 = 10 1.840 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus työvoimaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 0.564 = 0.0564 = 56 400 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus pääomaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 1.840 = 0.184 = 184 000 17
Gradientti Yleisesti: Kun muuttuja x i x i + x i, niin funktion arvon likimääräinen muutos on f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,,x n x i x i Kun muuttujavektori x = muutos on x 1 x n x 1 + x 1 x n + x n = x + x, niin funktion arvon likimääräinen f x = f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,, x n x 1 = f x + f x x x 1 + + f x 1,, x n x n x n 18
Gradientti Muuttujavektorin pienillä muutoksilla x muutos funktion arvossa on siis likimäärin gradientin ja muutosvektorin sisätulo f x x Luennolta 9 muistamme, että f x x = cos θ f x x, missä θ on vektorien f x ja x välinen kulma Jos muutosvektorin x pituus on kiinnitetty, funktion muutos on suurin, kun cos θ = 1 θ = 0. Funktion f x arvo muuttuu eniten, kun x muuttuu gradientin f x suuntaan 19
Gradientti Esim. Jos lisäpanos 0.2 M jaetaan tasan työn ja pääoman kesken, niin tuotannon arvo kasvaa likimain 0.1 0.564 1.840 = 0.1 0.564 + 0.1 1.840 = 0.24 240 000 0.1 0.2404 Gradientti ja muutosvektori ovat melko erisuuntaiset: cos θ = = 0.564 2 +1.840 2 0.1 2 +0.1 2 0.88 θ 28 lisäpanos käytetään todennäköisesti epätehokkaasti Jaetaan lisäpanos gradientin suhteessa: 0.564 x 1 = 0.564 + 1.840 0.2 = 0.047 M, x 1.840 2 = 0.2 = 0.153 M 0.564 + 1.840 Tällä jaolla tuotannon arvo kasvaa likimain 0.564 1.840 0.047 0.153 308 000 20
Presemo-kysymys Tuotannon arvoa työvoimapanoksen x 1 (M ) ja pääomapanoksen x 2 (M ) suhteen kuvaa tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 1.5x 1 0.30 x 2 0.70 Tällä hetkellä työvoima- ja pääomapanokset ovat 5 M ja 8 M. Miten 2 M :n lisäpanos jakautuu työvoiman ja pääoman kesken, kun jako tehdään gradientin suunnassa? 1. x 1 = 0.42, x 2 = 1.58 2. x 1 = 0.6, x 2 = 1.4 3. x 1 = 0.81, x 2 = 1.19 Kuinka paljon tuotannon arvo likimäärin kasvaa? Entä todellisuudessa? 21.2.2018 21
Suhteellinen muutosnopeus Kuten yhden muuttujan funktioiden tapauksessa Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? 22
Suhteellinen muutosnopeus Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 suhteellinen muutosnopeus työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 = D 1 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.38 x 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 = D 2 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.62 x 2 Esim. Työpanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M 1 M lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.38 = 1.9% (kaikilla pääomatasoilla!) 1 M lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.62 = 6.2% (kaikilla työvoimatasoilla!) 20 10 23
Presemo-kysymys Tuotannon arvoa (M ) yksikköhinnan x ( ) ja ajan t (v) suhteen kuvaa funktio v x, t = 1.2(x + 1) 0.2 1.08 t Kahden vuoden kuluttua tarkastelujakson alusta tuotteen yksikköhinta on 5. Kuinka monta prosenttia yhden euron hinnankorotus likimäärin kasvattaa tuotannon arvoa? 1. 3.3 % 2. 6.7 % 3. 11.0 % 21.2.2018 24
Osittaisjousto Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? Osittaisjousto E i f x 1,, x n = D i ln f x 1,, x n x i = D if(x 1,,x n ) x f x 1,,x i antaa n likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, kun x kasvaa 1% (pieni, suhteellinen muutos)? 25
Osittaisjousto Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 osittaisjousto työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 x 1 = 0.38 x x 1 = 0.38 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 x 2 = 0.62 x 2 x 2 = 0.62 Tulkinta: 1% lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.38% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 1% lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.62% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 26
Presemo-kysymys Määritä funktion f x 1, x 2 = e x 1 x 2 osittaisjousto muuttujan x 1 suhteen. 1. x 1 2. x 1 x 2 3. x 2 1 27
Presemo-kysymys Tuotannon arvoa (M ) yksikköhinnan x ( ) ja ajan t (v) suhteen kuvaa funktio v x, t = 1.2(x + 1) 0.2 1.08 t Kahden vuoden kuluttua tarkastelujakson alusta tuotteen yksikköhinta on 5. Kuinka monta prosenttia yhden prosentin hinnankorotus likimäärin kasvattaa tuotannon arvoa? 1. 0.17 % 2. 16.7 % 3. 33.4 % 21.2.2018 28
Yhteenveto Usean muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeutta muuttujan x i suhteen kuvaa osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Osittaisderivaatta lasketaan 1. Mieltämällä kaikki muut muuttujat vakioiksi 2. Soveltamalla yhden muuttujan funktion derviointisääntöjä Funktion gradientti f x 1,, x n on vektori, jonka i. komponentti on osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion nopeimman kasvun suunnan Suhteellinen muutosnopeus muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n Osittaisjousto muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) x i = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n x i 29