Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto

Samankaltaiset tiedostot
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Matematiikan tukikurssi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

Talousmatematiikan perusteet: Luento 18. Kertaus luennoista 11-17

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - TUDI

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

Talousmatematiikan perusteet: Luento 18. Määrätty integraali Epäoleellinen integraali

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Matematiikan tukikurssi

Taustatietoja ja perusteita

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

Talousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

41 Tuotanto ja tuotannontekijät

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Matematiikan tukikurssi

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

1 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40

a(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Koontitehtäviä luvuista 1 9

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

Testaa taitosi Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

Differentiaalilaskennan tehtäviä

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

Transkriptio:

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta ja gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto

Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia yhden muuttujan funktioita Usean muuttujan lineaarisia funktioita Yhden muuttujan funktioista f(x) tiedämme: Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta x:n suhteen Suhteellinen muutosnopeus D lnf x = f (x) kertoo funktion arvon suhteellisen f(x) muutoksen, kun x kasvaa yhden yksikön (pieni, absoluuttinen muutos) Jousto f (x) x kertoo funktion arvon suhteellisen muutoksen, kun x kasvaa f(x) prosentin (pieni, suhteellinen muutos) 2

Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioita yleisesti Erityisesti määrittelemme derivaatan, suhteellisen muutosnopeuden ja jouston vastineet usean muuttujan funktioille Osittaisderivaatta ja gradientti (Osittainen) suhteellinen muutosnopeus Osittaisjousto 3

Usean muuttujan funktiot Esim. Ekonomisti selvitti, että Arktinen Kala yhtiön tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ; laitteet, rakennukset ym. infrastruktuuri) kuvaa Cobb-Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 2.28x 1 0.38 x 2 0.62. Esim. Työpanoksella x 1 = 20 M ja pääomapanoksella x 2 = 10 M tuotannon arvo on f 20,10 = 2.28 20 0.38 10 0.62 29.67 M Tuotanto on tappiollista: 29.67 30 M = 0.33 M 4

Usean muuttujan funktiot Yritys suunnittelee lisäinvestointia tuotantoon. Kuinka työvoimaan ja pääomaan kohdennetut lisäinvestoinnit vaikuttavat tuotannon arvoon? Tällaiseen kysymykseen voidaan vastata tarkastelemalla tuotantofunktion muutosnopeutta työvoima- ja pääomapanosten suhteen 5

Derivaatta ja osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktion f(x) muutosnopeudesta muuttujan x suhteen kertoo derivaatta f (x) f (x) > 0: funktio kasvaa muuttujan x suhteen f x < 0: funktio vähenee muuttujan x suhteen Monen muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeudesta muuttujan x i suhteen kertoo osittaisderivaatta f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i > 0: funktio kasvaa muuttujan x i suhteen < 0: funktio vähenee muuttujan x i suhteen Eri merkintätapoja: f x 1,,x n x i, D i f x 1,, x n, D xi f x 1,, x n, f i x 1,, x n, f xi x 1,, x n 6

Osittaisderivaatta Jos sijoitetun pääoman tasoksi kiinnitetään esim. x 2 = 10 M ja työpanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi t 10 : R + R +, t 10 x 1 = f x 1, 10 = 2.28x 1 0.38 10 0.62 = 9.505x 1 0.38 Tuotanto on voitollista, kun 9.505x 1 0.38 10 + x 1 > 0 x 1 (1.75, 19.24) Nollakohdat voi ratkaista esim. Wolfram Alphassa komennolla solve(9.505*x^0.38-10-x=0) 7

Osittaisderivaatta Kun x 2 on kiinnitetty arvoon 10 M, tuotannon arvon muutosnopeutta työvoimapanoksen x 1 suhteen kuvaa derivaatta t 10 x 1 = D 9.505x 1 0.38 = 3.612x 1 0.62 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 2 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 1 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 1 = D 1 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 2 0.62 D 1 x 1 0.38 = 0.38 2.28x 2 0.62 x 1 0.62 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 Vakio! 8

Osittaisderivaatta Jos työpanokseksi kiinnitetään esim. x 1 = 20 M ja pääomapanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi k 20 : R + R +, k 20 x 2 = f 20, x 2 = 2.28 20 0.38 x 2 0.62 = 7.117x 2 0.62 Tuotanto on voitollista, kun 7.117x 0.62 2 20 + x 2 > 0 x 2 (10.40, 114.54) 9

Osittaisderivaatta Kun x 1 on kiinnitetty arvoon 20 M, tuotannon arvon muutosnopeutta pääoman x 2 suhteen kuvaa derivaatta k 20 x 2 = D 2 (7.117x 2 0.62 ) = 4.413x 2 0.38 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 1 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 2 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 2 = D 2 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 1 0.38 D 2 x 2 0.62 = 0.62 2.28x 1 0.38 x 2 0.38 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 Vakio! 10

Osittaisderivaatta Tuotantofunktion f x 1, x 2 osittaisderivaattoja sanotaan myös työpanoksen ja pääoman rajatuottavuuksiksi, esim. D 1 f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 on työpanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) D 2 f x 1, x 2 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 on pääomapanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) 11

Osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktioille määriteltyjä derivointisääntöjä voidaan soveltaa, kun muut muuttujat ajatellaan vakioina. Esim. f: R 2 R, f x, y = 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 D x f x, y = D x 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D x 3xy 2 + 4x + D x 2y 2 5y + 1 = 3y 2 D x x + 4D x x + 0 = 3y 2 + 4 D y f x, y = D y 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D y 3xy 2 2y 2 5y + D y 4x + 1 = 3xD y y 2 2D y y 2 5D y y + 0 = 6xy 4y 5 12

Osittaisderivaatta Esim. f: R ++ R R ++, f x, y = x y on potenssifunktio x:n suhteen ja eksponenttifunktio y:n suhteen D x f x, y = D x x y = yx y 1 D y f x, y = D y x y = x y ln x 13

Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y, z = ze 2x + x 3 f x x, y, z y y ln z osittaisderivaatta 1. 2ze 2x + 3x 2 y 2. e 2x + y 3. 2ze 2x + 3x2 2 y y ln z 14

Presemo-kysymys Tuotannon arvoa työvoimapanoksen x 1 (M ) ja pääomapanoksen x 2 (M ) suhteen kuvaa tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 1.5x 1 0.30 x 2 0.70 Mikä funktio kuvaa pääomapanoksen rajatuottavuutta? 1. g x 1, x 2 = 0.45x 1 0.70 x 2 0.70 2. g x 1, x 2 = 1.05x 1 0.30 x 2 0.30 3. g x 1, x 2 = 1.05x 1 0.30 x 2 0.70 21.2.2018 15

Gradientti Funktion f(x 1,, x n ) gradientti f(x 1,, x n ) on pystyvektori, jonka i. komponentti on f:n osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen: f x 1,, x n = D 1 f(x 1,, x n ) D n f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion f muutospyrkimyksestä (suunta ja voimakkuus) pisteessä (x 1,, x n ). 16

Gradientti Esim. Tuotantofunktion muutospyrkimystä kuvaa vektori: f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 Tuotannon arvon muutospyrkimys työvoimapanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M : f x 1, x 2 = 0.8664 20 0.62 10 0.62 0.564 1.4136 20 0.38 0.38 = 10 1.840 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus työvoimaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 0.564 = 0.0564 = 56 400 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus pääomaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 1.840 = 0.184 = 184 000 17

Gradientti Yleisesti: Kun muuttuja x i x i + x i, niin funktion arvon likimääräinen muutos on f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,,x n x i x i Kun muuttujavektori x = muutos on x 1 x n x 1 + x 1 x n + x n = x + x, niin funktion arvon likimääräinen f x = f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,, x n x 1 = f x + f x x x 1 + + f x 1,, x n x n x n 18

Gradientti Muuttujavektorin pienillä muutoksilla x muutos funktion arvossa on siis likimäärin gradientin ja muutosvektorin sisätulo f x x Luennolta 9 muistamme, että f x x = cos θ f x x, missä θ on vektorien f x ja x välinen kulma Jos muutosvektorin x pituus on kiinnitetty, funktion muutos on suurin, kun cos θ = 1 θ = 0. Funktion f x arvo muuttuu eniten, kun x muuttuu gradientin f x suuntaan 19

Gradientti Esim. Jos lisäpanos 0.2 M jaetaan tasan työn ja pääoman kesken, niin tuotannon arvo kasvaa likimain 0.1 0.564 1.840 = 0.1 0.564 + 0.1 1.840 = 0.24 240 000 0.1 0.2404 Gradientti ja muutosvektori ovat melko erisuuntaiset: cos θ = = 0.564 2 +1.840 2 0.1 2 +0.1 2 0.88 θ 28 lisäpanos käytetään todennäköisesti epätehokkaasti Jaetaan lisäpanos gradientin suhteessa: 0.564 x 1 = 0.564 + 1.840 0.2 = 0.047 M, x 1.840 2 = 0.2 = 0.153 M 0.564 + 1.840 Tällä jaolla tuotannon arvo kasvaa likimain 0.564 1.840 0.047 0.153 308 000 20

Presemo-kysymys Tuotannon arvoa työvoimapanoksen x 1 (M ) ja pääomapanoksen x 2 (M ) suhteen kuvaa tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 1.5x 1 0.30 x 2 0.70 Tällä hetkellä työvoima- ja pääomapanokset ovat 5 M ja 8 M. Miten 2 M :n lisäpanos jakautuu työvoiman ja pääoman kesken, kun jako tehdään gradientin suunnassa? 1. x 1 = 0.42, x 2 = 1.58 2. x 1 = 0.6, x 2 = 1.4 3. x 1 = 0.81, x 2 = 1.19 Kuinka paljon tuotannon arvo likimäärin kasvaa? Entä todellisuudessa? 21.2.2018 21

Suhteellinen muutosnopeus Kuten yhden muuttujan funktioiden tapauksessa Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? 22

Suhteellinen muutosnopeus Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 suhteellinen muutosnopeus työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 = D 1 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.38 x 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 = D 2 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.62 x 2 Esim. Työpanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M 1 M lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.38 = 1.9% (kaikilla pääomatasoilla!) 1 M lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.62 = 6.2% (kaikilla työvoimatasoilla!) 20 10 23

Presemo-kysymys Tuotannon arvoa (M ) yksikköhinnan x ( ) ja ajan t (v) suhteen kuvaa funktio v x, t = 1.2(x + 1) 0.2 1.08 t Kahden vuoden kuluttua tarkastelujakson alusta tuotteen yksikköhinta on 5. Kuinka monta prosenttia yhden euron hinnankorotus likimäärin kasvattaa tuotannon arvoa? 1. 3.3 % 2. 6.7 % 3. 11.0 % 21.2.2018 24

Osittaisjousto Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? Osittaisjousto E i f x 1,, x n = D i ln f x 1,, x n x i = D if(x 1,,x n ) x f x 1,,x i antaa n likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, kun x kasvaa 1% (pieni, suhteellinen muutos)? 25

Osittaisjousto Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 osittaisjousto työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 x 1 = 0.38 x x 1 = 0.38 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 x 2 = 0.62 x 2 x 2 = 0.62 Tulkinta: 1% lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.38% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 1% lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.62% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 26

Presemo-kysymys Määritä funktion f x 1, x 2 = e x 1 x 2 osittaisjousto muuttujan x 1 suhteen. 1. x 1 2. x 1 x 2 3. x 2 1 27

Presemo-kysymys Tuotannon arvoa (M ) yksikköhinnan x ( ) ja ajan t (v) suhteen kuvaa funktio v x, t = 1.2(x + 1) 0.2 1.08 t Kahden vuoden kuluttua tarkastelujakson alusta tuotteen yksikköhinta on 5. Kuinka monta prosenttia yhden prosentin hinnankorotus likimäärin kasvattaa tuotannon arvoa? 1. 0.17 % 2. 16.7 % 3. 33.4 % 21.2.2018 28

Yhteenveto Usean muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeutta muuttujan x i suhteen kuvaa osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Osittaisderivaatta lasketaan 1. Mieltämällä kaikki muut muuttujat vakioiksi 2. Soveltamalla yhden muuttujan funktion derviointisääntöjä Funktion gradientti f x 1,, x n on vektori, jonka i. komponentti on osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion nopeimman kasvun suunnan Suhteellinen muutosnopeus muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n Osittaisjousto muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) x i = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n x i 29