SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1
2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia Voi olla selvästi havaittavissa tai lähes näkymätön Voi johtua myös lämpötilamuutoksesta Ei ole välttämättä tasainen koko kappaleessa. Siten kappaleesta leikatun viiva-alkion geometriamuutos voi vaihdella sen pituussuunnassa. 3 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutostarkastelun yksinkertaistaminen Oleta viivojen olevan hyvin lyhyitä ja sijaitsevan tutkittavan pisteen läheisyydessä Ota huomioon viiva-alkion suunta tutkittavan pisteen suhteen 4 2
2.2 VENYMÄ Venymä Määritetään viiva-alkion pituuden muutoksena Tarkastellaan viiva-alkiota AB kuvan kappaleessa Muodonmuutoksen jälkeen s muuttuu s 5 2.2 VENYMÄ Venymä Määritetään keskimääräinen venymä käyttäen symbolia ε avg (epsilon) ε avg = kun s 0, s 0 s s s lim s s ε = B A linjaa n s 6 3
2.2 VENYMÄ Venymä (normaalivenymä) Kun normaalivenymä (jatkossa venymä) ε tunnetaan, käytetään oheista approksimatiivista yhtälöä määrittämään lyhyen viiva-alkion n- suuntaisesta pituudesta muodonmuutoksen jälkeen s (1 + ε) s Kun ε on positiivinen, viiva-alkio venyy ja päinvastoin 7 2.2 VENYMÄ Yksiköt Venymä on dimensioton suure, koska se on kahden pituuden välinen suhde Usein kuitenkin venymän yksikkö esitetään muodossa metri/metri (m/m) ε on hyvin pieni useimmissa teknisissä sovelluksissa, joten usein sen yksikkö esitetään muodossa mikrometri per metri (µm/m) jossa 1 µm = 10 6 Venymä voidaan esittää myös prosentuaalisena suureena, esim. 0.001 m/m = 0.1 % 8 4
2.3 LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Liukuma määritetään kulmamuutoksena kahden viiva-alkion välillä, jotka alunperin olivat kohtisuorassa toisiaan vastaan Kulmamuutos merkitään kirjaimella γ (gamma) ja se mitataan radiaaneissa (rad). 9 2.3 LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Tutkitaan viiva-alkioita AB ja AC, jotka lähtevät samasta pisteestä A ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan suunnissa n ja t Muodonmuutoksen tapahduttua viiva-alkiot ovat käyriä ja niiden välinen kulma pisteessä A on θ 10 5
2.3 LIUKUMA Liukuma (leikkausvenymä) Siten liukukulma pisteessä A suuntien n ja t suhteen on γ nt = π 2 lim B A pitkin n θ C A pitkin t Mikäli θ on suurempi kuin π/2, liukuma on postiivinen ja päinvastoin 11 2.4 KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Käytetään edellä olleita määrityksiä ja kuvataan niillä kappaleen pisteen muodonmuutos Jaetaan kappale differentiaalielementteihin, joiden dimensiot ovat x, y ja z 12 6
2.4 KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Muodonmuutoksen tapahduttua on elementti paralleelipipedi Sivujen aproksimoidut pituudet ovat (1 + ε x ) x (1 + ε y ) y (1 + ε z ) z 13 2.4 KOKONAISVENYMÄ Karteesiset venymäkomponentit Sivujen likimääräiset kulmat ovat π 2 γ π xy 2 γ yz π 2 γ xz Venymät aiheuttavat kappaleen tilavuudenmuutoksen Liukumat aiheuttavat kappaleen muodonmuutoksen Yhteenvetona: pisteessä pitää määrittää 3 venymää; ε x, ε y, ε z ja 3 liukumaa; γ xy, γ yz, γ xz 14 7
2.4 KOKONAISVENYMÄ Pienten venymien analyysi Useimmissa tekniikan sovelluksissa sallitaan vain kappaleen pienet siirtymät Oletetaan kappaleen muodonmuutosten olevan lähes infinitesimaalisia, jolloin normaalivenymät materiaalissa ovat hyvin pieniä yksikkövenymään nähden, ts. ε << 1. 15 2.4 KOKONAISVENYMÄ Pienten venymien analyysi Tämä oletus on laajalti sovellettua tekniikassa, jolloin puhutaan pienten venymien analyysista tai pienten siirtymien analyysista Silloin voidaan approksimoida esimerkiksi kulmien trigonometrisistä funktioista sin θ = θ, cos θ = θ ja tan θ = θ kun θ on hyvin pieni. 16 8
ESIMERKKI 2.1 Kuvan sauvaan vaikuttaa lämpötilan muutos, joka aiheuttaa aksiaalisuunnassa venymän ε z = 40(10 3 )z 1/2,, missä z on annettu metreissä. Määritä (a) pisteen B siirtymä johtuen lämpötilan noususta (b) Sauvan keskimääräinen venymä. 17 ESIMERKKI 2.1 (RATKAISU) (a) Differentiaalipalasen dz, joka sijaitsee pisteessä z, pituuden muutos on : dz = [1 + 40(10 3 )z 1/2 ] dz Integroimalla (summaamalla) yli koko sauvan, saadaan pituuden muutosten yhteisvaikutus eli 0.2 m z = 0 [1 + 40(10 3 )z 1/2 ] dz = z + 40(10 3 )(⅔ z 3/2 0.2 m ) 0 = 0,20239 m Siirtymä pisteessä B on siis B = 0,20239 m 0,2 m = 2,39 mm 18 9
ESIMERKKI 2.1 (RATKAISU) (b) Oleta sauva tai viiva-alkio, jolla on alkupituus 200 mm ja pituuden muutos 2,39 mm. Siten ε avg = s s s = 2.39 mm 200 mm = 0.0119 mm/mm 19 ESIMERKKI 2.2 Levyn muodonmuutos on esitetty kuvassa. Muodonmuutoksessa levyjen sivut pysyvät suorina eikä niiden pituus muutu. Määritä (a) Sivun AB keskimääräinen venymä ja (b) levyn liukuma (keskimääräinen leikkausvenymä) suhteessa x ja y akseleihin 20 10
ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU) (a) Viivasta AB, joka on y akselin suuntainen, tulee AB muodonmuutoksen jälkeen. Viivan AB pituus on AB = (250 2) 2 + (3) 2 = 248.018 mm 21 ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU) (a) Siten keskimääräinen normaalivenymä suoralla AB on (ε AB ) avg = AB AB AB = 248.018 mm 250 mm 250 mm = 7.93(10 3 ) mm/mm Negatiivinen etumerkki tarkoittaa, että materiaali puristuu ko. suoralla. 22 11
ESIMERKKI 2.2 (RATKAISU)) (b) Kun piste B siirtyy pisteeseen B, kulma BAC akselien x ja y välillä muuttuu arvoon θ. Koska γ xy = π/2 θ, saadaan liukumaksi γ xy = tan 1 ( ) 3 mm 250 mm 2 mm = 0.0121 rad 23 YHTEENVETO Kuormitukset muuttavat kappaleen muotoa, siten kappaleen pisteet saavat siirtymiä eli paikkamuutoksia Venymällä tarkoitetaan kappaleen lyhyen viiva-alkion pituudenmuutosta Liukumalla tarkoitetaan kappaleen kahden lyhyen, toisiaan vastaan kohtisuoran, viiva-alkion kulmamuutosta 24 12
YHTEENVETO Pisteen venymätila määritetään kuudella muodonmuutoskomponentilla: a) Kolme venymäkomponenttia: ε x, ε y, ε z b) Kolme liukumakomponenttia: γ xy, γ xz, γ yz Venymä on geometrinen suure, joka mitataan kokeellisesti. Kappaleessa oleva jännitystila määritetään sitten materiaaliominaisuuksien perusteella (konstitutiiviset yhteydet). 25 YHTEENVETO Useimmat teknisissä sovelluksissa käytettävät materiaalit ovat perustana koneille/laitteille/rakennuksille, jotka kuormitettuina saavat pieniä siirtymiä, siten ε << 1. Tämä ns. pienten siirtymien oletus sallii laskelmien yksinkertaistamisen eli ns. ensimmäisen kertaluvun teorian soveltamisen ja siihen liittyvät approksimaatiot 26 13