Diplomi-insino o rien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Insino o rialinnan fysiikan koe 7.5.15, malliratkaisut A1 Pallo (massa m = 1, kg, sa de r =, cm) nojaa kur an mukaisesti pystysuoraan seina a n ja tasoon, jonka kal teuuskulma θ = 1,. Laske kuinka suurilla oimilla θ seina ja taso aikuttaat palloon, kun kaikki pinnat oat kitkattomia. Tehta a n 1 kua. Sarjoittaiset arot: m θ (kg) ( ) A 1, 1, B 1,, C 1, 8, D 1,7 3, Pallo on leossa, joten Newton II:n tai dynamiikan peruslain mukaan (tai pallo on tasapainossa) ~F = : x: N N1 sin θ = y: N1 cos θ G = y N1 x N θ G Voimakuio. y-suunnassa saadaan ratkaistua tukioima N1 : N1 = G mg = = 1, N cos θ cos θ Sijoittamalla ylla olea tulos x-suuntaiseen oiman yhta lo o n saadaan tukioimalle N : N = G tan θ = mg tan θ =,5 N A: B: C: D: N1 1, 1,8 17,8 19,7 trk+1 1,1 1,81 17,78 19,7 N,5 5,55 8,35 1, trk+1,519 5,59 8,3 1,
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 A Veturi (massa M = 77, 1 3 kg) lähtee asemalta liikkeelle ajanhetkellä t =, min. Oheinen kuaaja esittää eturin kiskojen suunnassa aikuttaaa kokonaisoimaa ajan funktiona. a) Laske eturin kiskojen suuntainen kiihtyyys ajanhetkellä t 1 = 1,5 min. (1p) b) Mikä seuraaista äittämistä kuaa eturin liikettä ajanhetkellä t = 3,5 min: (i) Veturi on leossa, (ii) eturi on tasaisessa liikkeessä, (iii) eturi on kiihtyässä liikkeessä? Perustele. (p) c) Laske eturin nopeus hetkellä t 3 =, min. (3p) 1-1 F kn 1 3 Tehtään kua. 5 7 min 8 t a) (max 1p) Kuaajasta oidaan lukea eturiin kiskojen suuntaisesti aikuttaa kokonaisoima ajanhetkellä t 1 = 1,5 min: F(1,5 min) = 15 kn c) (max 3p) Impulssiperiaatteen mukaan eturin liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin kokonaisoiman impulssi, eli p = I Kokonaisoiman impulssi oidaan laskea kokonaisoiman kuaajan ja t-akselin äliin jääästä pinta-alasta: I = t3 F dt = 1,5 1 N Koska eturi lähtee liikkeelle leosta (() = m/s) on sen liikemäärän muutos ja loppunopeus näin ollen trk+1: 19,5 m/s, p = m(t 3 ) m() = m(t 3 ) (t 3 ) = I t3 m = F dt = 19 m/s m Newton II:sta ( F = ma) saadaan ratkaistua eturin kiihtyyys: a = F m =,19 m/s trk+1:,195 m/s, b) (max p) Oikea äittämä: (ii). Perustelut: Ajanhetkellä t = 3,5 min eturiin aikuttaa kokonaisoima on N. Newton II:n (tai dynamiikan peruslain) mukaan eturilla ei tällöin ole kiihtyyyttä. Koska eturiin on ajanjaksolla... 3 min aikuttanut positiiinen kokonaisoima, on se lähtenyt liikkeelle ja kiihdyttänyt aina ajanhetkeen 3 min. Tästä seuraa että eturi ajanhetkellä t = 3,5 on tasaisessa liikkeessä.
A3 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Oheisissa kuaajissa A ja B on kuattu seisoaa aaltoliikettä kielessä jollakin ajanhetkellä (A) ja kielen ärähtelyä kohdassa x =, cm (B). Määritä kuaajia apuna käyttäen a) aallon aallonpituus, (1p) b) aallon nopeus, (p) c) ärähteleän kielielementin suurin nopeus kohdassa x =, cm. (3p) c) (max 3p) Tapa 1: Nopeuden määritelmästä = dy dt nähdään, että kielielementillä on suurin nopeus niillä ajanhetkillä, joilla kuaajan tangentin kulmakerroin on suurimmillan, eli kohdissa, missä B kuaaja leikkaa t-akselin. Kuaajaan piirretyn tangentin aulla saadan suurimmalle nopeudelle aro y [cm] 1 8-1 - - -8-1 A λ 3 5 7 8 x [cm] y [cm] 8 - - - -8 B 1 T 3 t y 5 t [s] trk+1:,19 m/s, max = y t =, m/s Tehtään 3 kuat. a) (max 1p) Kuaajasta A oidaan lukea seisoan aallon aallonpituus λ kahden samassa aiheessa olean kohdan etäisyyserosta, esimerkiksi kuassa merkittyjen kahden aallon huipun etäisyydestä toisistaan. trk+1: cm, λ = x = cm b) (max p) Kuaajasta B oidaan lukea seisoan aallon jaksonaika T kahden samassa aiheessa olean kohdan aikaerosta. Kuassa merkittyjen kahden huipun aikaerosta saadaan T =,5 s. Aallon nopeus oidaan laskea jakson ja aallonpituuden aulla: = λ f = λ T =, m/s trk+1:,17 m/s,
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 A Pitkä johdinsilmukka (resistanssi R =,37 Ω) työnnetään kuan mukaisesti akionopeudella =,5 m/s liikettä astaan kohtisuorassa oleaan homogeeniseen magneettikenttään (B =,1 T). Silmukan pituus on a = 8, cm ja leeys b = 13, cm. a) Mihin suuntaan irta kulkee silmukassa? Perustele. (p) b) Laske irran suuruus kuan mukaisessa tilanteessa. (p) Sarjoittaiset arot: R B b (Ω) (m/s) (T) (cm) A,37,5,1 13, B,3,5,3 15, C,35,5, 1, D,38,5, 15, B a Tehtään kua. a) (max p) Vastapäiään. Kun silmukkaa työnnetään kenttään indusoituu silmukkaan Lenzin (tai Faradayn) lain mukaan lähdejännite ja edelleen Ohmin lain mukaan sähköirta. Induktioirran muodostama magneettikenttä pyrkii astustamaan magneettiuon muutosta jonhdinsilmukan läpi. Tällöin indusoitunut magneettikenttä silmukan sisäpuolella on astakkaissuntainen B:n kentän kanssa ja induktioirran suunta on astapäiään. b Indusoitunut irta saadaan Ohmin laista: I = E R = Bb R =,5 A I trk+1 E (A) (A) (V) A:,5,8, B:,81,8,9 C:,95,9,331 D:,78,78,97 b) (max p) Silmukkaan indusoitunut lähdejännite saadaan induktiolain (tai Faradayn lain) aulla: E = dφ B dt, missä Φ B on magneettiuo silmukan läpi. Magneettiuo hetkellä t on Φ B = B A = Btb, missä A = tb on magneettikentän läpäisemä osa silmukan pinta-alasta, kun silmukan asen reuna tulee kenttään ajanhetkellä t = akionopeudella. Pintaektori A on tässä astakkaissuuntainen magneettikenttään B. Silmukkaan indusoitunut jännite on näin ollen E = B d (tb) = Bb dt
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 A5 Juna, jonka pituus omassa lepokoordinaatistossaan on L j = 11, km, kulkee akionopeudella sillan yli oheisen kuan mukaisesti. Sillan pituus sillan lepokoordinaatistossa on L s = 8, km. a) Kuinka suuri junan nopeus on siltakoordinaatistossa, jos juna juuri ja juuri mahtuu kokonaisuudessaan sillalle siltakoordinaatistossa leossa olean haaitsijan mukaan? b) Kuinka kauan junan etupää on sillalla junan etupäässä olean haaitsijan mukaan? H j1 L s Tehtäien 5 ja kua. a) (max 3p) Kun juna juuri ja juuri mahtuu sillalle, sillalla olean haaitsijan mukaan, on sen pituus siltakoordinaatistossa L s. Yhteys junan pituudella silta- ja junakoordinaatistojen älillä saadaan pituuskontraktion kaaalla (1): L s = Tästä oidaan ratkaista junan nopeus Sarjoittaiset arot: 1 (/c) L j. Hj ( ) = c L 1 s =,81c =, 1 8 m/s L j b) (max 3p) Tapa 1: Juna on tasaisessa liikkeessä, joten ajanjakso jonka junan etupää on sillalla siltakoordinaatistossa olean haaitsijan mukaan on t = L s Koska junan etupäässä olea haaitsija liikkuu nopeudella siltaan nähden, tulee hän mittaamaan lyhyemmän ajan t siltaylitykselle kuin siltakoordinaatistossa olea haaitsija. Yhteys aikojen älillä saadaan aikadilataation kaaalla (1): t = γ t. Tästä oidaan ratkaista junan etupäässä olean haaitsijan mitaama aika; t = t ( ) γ = Ls 1 c =,9 1 5 s = 9, µs Tapa : Junakoordinaatistossa silta liikkuu nopeudella kohti junaa. Näin ollen pituuskontraktiosta johtuen sillan pituus junakoordinaatistossa on: L sj = 1 (/c) L s. Kun silta liikkuu akionopeudella junakoordinaatistossa, on junan etupäässä olea haaitsija sillalla ajanjakson: t = L ( sj ) = Ls 1 c =,9 1 5 s = 9, µs t trk+1 (µs) (µs) A: 9, 9, B: 3, 3, C: 31, 31,3 D: 39,5 39,5 L j L s (km) (km) A 11, 8, B 11,1 8,7 C 1,9 8, D 1,8 8,7 trk+1 (m/s) (m/s) A:, 1 8, 1 8 B: 1,8 1 8 1,8 1 8 C: 1,98 1 8 1,975 1 8 D: 1,78 1 8 1,77 1 8
A Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisalinta - dia-alinta 15 Tehtään 5 junan päissä oat haaitsijat H j1 ja H j. Haaitsijat ampuat laserpistooleilla junan lepokoordinaatistossa samanaikaisesti merkit suoraan alapuolellaan oleaan junarataan. a) Kuinka suuri laukausten älinen aikaero on siltakoordinaatistossa? (3p) b) Kumpi laukauksista ammutaan ensin siltakoordinaatistossa? (1p) c) Kuinka kaukana toisistaan merkit junaradalla oat siltakoordinaatistossa? (p) b) (max 1p) Koska a)-kohdan aikaero on positiiinen, tapahtuu haaitsijan H j1 laukaus ensin siltakoordinaatistossa. c) (max p) Käänteisellä Lorentz-muunnoksella () saadaan myös laukausten paikkakoordinaatit siltakoordinaatistossa: x Hj1 = γx Hj1 + γt Hj1 x Hj = γx Hj + γt Hj Junakoordinaatistossa laukaukset tapahtuat samanaikaisesti, eli t Hj1 = t Hj. Tästä seuraa että junaradalla oleien merkkien etäisyysero siltakoordinaatistossa on H j1 Sarjoittaiset arot: L s Tehtäien 5 ja kua. L j L s (km) (km) (m/s) A 11, 8,, 1 8 B 11,1 8,7 1,8 1 8 C 1,9 8, 1,975 1 8 D 1,8 8,7 1,77 1 8 Hj x = x Hj x Hj1 = γ(x Hj x Hj1 ) = γl j = 15,3 km t trk+1 x trk+1 (µs) (µs) (km) (km) A: 3,8 3,7 15,3 15,3 B: 9,3 9,3 1, 1,1 C: 31,8 31,8 1,5 1,9 D:,5,5 13, 13,1 a) (max 3p) Laserpistoolien laukausten ajankohdat siltakoordinaatistossa saadaan käänteisellä Lorentz-muunnoksella (7): t Hj1 = γt Hj1 + γ x Hj1 c t Hj = γt Hj + γ x Hj c Junakoordinaatistossa laukaukset tapahtuat samanaikaisesti, eli t Hj1 = t Hj. Laukausten älinen aikaero siltakoordinaatistossa on näin ollen: t = t Hj t Hj1 = γ ( ) c x Hj x Hj1 = γ c L j = 3,8 µs