k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

Samankaltaiset tiedostot
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø


ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

139/ /11034 = 0.58

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ


{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø


ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

139/ /11034 = 0.58

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =


Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

¾º C A {N A } K N A º A B N B

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò


P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ


Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ

Transkriptio:

Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ½½ Ð Ø ÚÙ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ È Ò Ë Ò Ð Ò ØØ ÐÝ ÑÙÐØ Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò Ú Ò Ò Ø ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ò¹ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ö Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÌÝ Ø ÐÐÒ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ ØØ ÐÝØ Ô ÓÒ Ú Ö Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Òº Ê Ö ÓÒ ÐÝÝ ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚÙÙ Ù ØØ º È Ö ÒØ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ Ð Ò ¹ Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ó Ù Ø Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ò Ø Ð ÒØ Òº ÍÙ ÐÙÔ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Òº Ù Ò ÔÖÓ Ø ÝØØÚØ Ý Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ò Ò ÙÙÐÙÚ Ø Ý ÒÑ Ò Ø ÐÑ Òº ÌÑ ØÝ ÓÓ ØÙÙ Ô Ø ÖÚ ØØ Ú Ò Ø ÓÖ Ò Ø¹ ØÑ Ò ØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ô ÖÙ ¹ Ø ÓÖ Ò Ð Ø ØÒ Ò Ò Ø Ù Ø Ð ØØÝÚØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÝÔ ÖÔ Ö ¹ Ñ ØÖ Øº Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ÐØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Øº Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ò Ø ÐÐÒ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ º Ë ÑÙÐÓ ÒØ Ú ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Ø Ö Ö Ó¹ÓÒ Ð¹ Ñ Òº Ë ÙØ ÑÙÐÓ ÒØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø ÐÙÔ Ú Ú ÖÖ ØØÙ Ò Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Òº

ÁÁÁ ÄÃÍË Æ Ì ÇÐ Ò Ø ÒÝØ Ò Ø ÒØÝ Ò Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ò Ð Ò ØØ ÐÝÒ Ð ØÓ ÐÐ ØÓ Ñ Ò ØÙØ ÑÙ ÔÙÐ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ ÓÐÓ Ò ØÙØ ¹ ÑÙ ÖÝ Ñ º Ì ÓÒ ØØ ÙÙÖ Ø ØÓ Ò ØÝ Ò Ó ÐÐ ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ ÐÐ ÚÙ Ø ØÝ Ò Ò Ú Ð ÒÒ Ó Ù Ø º Ä Ø ØÓ Ò ØØ ØÝ Ò Ø Ö ¹ Ø Ò ØÓ Ñ ÒÙØØ Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙ Ø º Ã ØÒ Ò Ð Ò ØØ ÐÝÒ Ð ØÓ Ø ØÝ Ò Ö ÐÐ Ø ØÙ Ñ Ø º Ì ÑÔ Ö ÐÐ ¾ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ì ÖÑÓ ÇÔ Ð Ò ØÙ ½ ¾¼ Ì ÅÈ Ê

ÁÎ ËÁË ÄÄ Ë ½º ÂÓ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ Ì ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÖÓÛÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ò ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ÙÐÓØØ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ à ÙÐÓØØ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÂÓ ØÓÔØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Ä Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ºÄ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

Î Ì ÊÅÁÌ Â Ë Å ÇÄÁÌ Å Å Å Ë ÊÉ ÄÇǹ Î ÀÅÅ N R C E[X] Cov(X, Y ) m(x) k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) trace(x) Å Ö ÓÚ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Å Ö ÓÚ Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ ËÕÙ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ê Ø ÓÒ Ð ÉÙ Ö Ø Ä Ú ¹ÓÒ ¹ÓÙØ ÖÓ ¹Ú Ð Ø ÓÒ À Ò Å Ö ÓÚ ÅÓ Ð Ô ÐÓ¹Å Ö ÓÚ¹Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ù Ò ÔÖÓ ÝØ ØØÚ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ù Ò ÔÖÓ Ñ ØÖ Ò X Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ú ØÓÖ Ò x Ô¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÐÚ Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø x Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð ØØ ÙÒ Ø Ó Ñ ØÖ Ò X Ð

½ ½º ÂÇÀ ÆÌÇ Î Ð Ø Ò Ò Ø ÒØÝ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ÓÒ ÓÔÔ ¹ Ñ ÓÒ ÐÑ Òº ÃÓÒ ÓÔÔ Ñ ÓÒ ÐÑ Ø ÐØÚØ ÑÙÙÒ ÑÙ Ö Ö Ó¹ ÐÙÓ ØØ ÐÙ¹ ÓÒ ÐÑ Ø Ó Ò Ö Ø Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ ÐØÙÚ Øº ÌØ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚÒ Ø ÓÖ Ò ÐÔ ÝÑ Ò Ò ØØ Ú Ø ÓÐ Ñ ÓØÓÒØ Ø ØÝ ÓØ Ò Ø¹ Ø ØÙÐ Ö Ø Ô Ð ÓÒ Ò Ø ÒØÝ Ò ÙÔÔ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ º Ì Ø ÝÝ Ø Ö Ò Ò ØÝ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ º Å ÓÐÐ Ò ÐÙ ÙÒÒ Ò Ø Ò ÚÙÓ ØÒ ÐÙÚÙ ¾ Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò ØÓ Ø ¹ Ø ÔÖÓ Ø Ó ÓÒ ÚÐØØÑØ ÒØ Ù Ò ÔÖÓ Ò ÝÑÑÖØÑ Òº Ë ÐÐ ÓÚ Ø Ò Ù Ò ÔÖÓ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ Óº ËØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò Ð ØÒ Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ ÚÙÓ ÑÙÙØ Ñ ÑÙ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò ÔÖÓ ÓÙ Ó Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð º Æ Ø ØÖ ÑÔÒ Å Ö Ó¹ Ú Ò ÔÖÓ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÒ Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ º ÃÓ Ö Ò ØÝ Ò Ó Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÝØØ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ò ØÝ Ò ÐÙÚÙ Ý Ò ÐÔ Ñ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ ÓÒ Ý Ò Ô Ö Ò¹ Ø Ø ÝØ ØØÚØ Ñ Ò Ø ÐÑغ ÆÑ Ø ÐØÚØ Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ò Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ö Ö Ó Ó Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÝØØ Ó Ø Ø Ø ÐÐÒ ÔÓ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ñ ÓÐÐ ØÙ Ö Ó ØÙ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÖ Ý Ò ØÝ Ò Ð ÙÙ Ò ÔÙ ØØ ÐÔ ÐÙÚÙ ¹ Ø ØÒ ØÖ Ý Ø Ý ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Òº Ë ÐÐ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº à ÒØ Ø Ø Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ø¹ ØÝÝ ÝØ ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð ÒØ ÓÒ Ú Ò Ñ ÝØ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÑÖ ØØ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÝØÒÒ ¹ Òº Æ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ø Ò Ù ÑÑ Ò ÝØ ØØÚØ ÔÓ Ò Ò Ò ÓÚ ÐØÙÑ Ø Ö Ð Ò Ø Ð ÒØ Òº ÌÑÒ Ð Ò ØÙÐ ÑÑ ÙÓÑ ¹ Ñ Ò ØØ Ù ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÝØ ØÒ ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ø ÙØ ÙØ Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ º ÆÑ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ø ÔÝÖ Ø ÑÓ Ñ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø Ø Ø ÝÝ Ø ÝÒ ÐÝ Ý Ø ÐÔ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ¹ Ø ÑÓ ÒØ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ÝØ ØØÚØ Ô ÖÙ Ñ Ò Ø ÐÑغ Ì ÓÖ Ò Ú Ø Ô ÒÓ ÐÓÔÙ ÓÚ ÐÐ Ò ÐÙÚÙ Ù Ò ÔÖÓ Ý Ò Ö¹ Ø Ò Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ú ÖØ Ð Ò ØÙÐÓ Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ø Ú Òº ÌÑÒ Ð ØÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔÓ Ò Ñ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò Ñ ¹

½º ÂÓ ÒØÓ ¾ ÓÐÐ Ø ÓÚ ÐØÙÚÙÙØØ Ö Ð Ò Ø Ð ÒØ Òº

¾º ËÌÇà ËÌÁË Ì ÈÊÇË ËËÁÌ ÌÓ ÐÐ ÙÙ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ Ú Ø Ý Ø Ñ Ø ÚØ Ù Ò ÓÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò ¹ Ú ÐÐ Ø ÐÚ Ýݹ ÙÖ Ù Ù Ø Ø º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ø ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ ¹ Ñ Ò ØÓ Ø ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ Ó Ø Ó Ù ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ º Ñ Ö¹ Ñ ÐÐ Ö Ø Ó Ø ÔÝÖ ØÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ØÓ Ø ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØРй к Ë ØÙÒÒ ÔÖÓ ÓÒ ÙÚ Ú Ò Ñ ÐÐ Ð ØØÝÝ Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ò ÑÙÙØÓ Ò ØÙÒÒ ÙÙØØ º ¾º½ Ì ÓÖ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ú ÖÙÙ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓØÓ Ú ÖÙÙ Ø Ω Ø Ô ØÙÑ Ò ÓÙ Ó Ø F ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ Ø Ø Pº Ì Ô ØÙÑ Ò ÓÙ Ó F ÙØ ÙØ Ò ÑÝ σ¹ Ð Ö º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù Ò x : Ω T R n Ñ T ÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ½ º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ñ Ö ØÒ x(t) Ø x t Ò Ö Ð Ø ÓØ x(ω, t) ÙÒ ÒÒ Ø ØÒ ω Ωº ÌÖ ÓÒ ÙÓÑ Ø ØØ t T : x(t) ÓÒ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÐÐ R ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÐÐ Ù ÑÔ ÙÐÓØØ Ò Òº Â Ø Ó ÐÑ Ò Ö ÙÓÑ ÙØÙ Ø ØØ Ð ÑÑ ØÑÑ ØÙ¹ ÐÓ Ø Ù ÑÔ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Ë ØÙÒÒ ÔÖÓ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ø ÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÙ ÓÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ º Ê Ð Ñ ÐÑ Ò Ö Ø ÐÑ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ ÓÒ Ù Ò ÐÙÓÒØ Ú ØÙØ Ö ¹ Ø ÐÑÒ ÑÙÙØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ t N ØÐÐ Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ¾ º ÌÓ Ò ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ó Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ÝØ ØØÚØ ØÓ Ø Ø Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ ¹ º È Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Ò T ÓÐÐ Ñ Ö R Ò Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ ÙØ ÙØ Ò Ø ÙÚ ¹ ¾ º ËØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÐÓ Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Ð ØØÝÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ù¹ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð x t = x 1 Ò Ø ÐÐ t Ò Ò ØÐÐ Ò Ø Ð Ò Ð ØØÝÚ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F t (x 1 ) = P(x t x 1 ) º Ö ÐÐ ÐÐ ÑÖÐÐ Ò Ø¹ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÔÖÓ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØݹ Ñ ÙÒ Ø ÓÒ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º½º Ë ÐØ Ò t = (t 1, t 2,..., t k ) Ò Ø Ø ØÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ Ñ¹ Ö Ø ÐÐ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ù¹ Ö Ú Ø F t (x 1, x 2,..., x k ) = F xt (x 1, x 2,...,x k ) = F xt1,x t2,...,x tk (x 1, x 2,...,x k ).

¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Å ÐÐ ÒÒ ØØ Ú Ø ÔÖÓ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÐ ÒÚ Ö ÒØØ ÓÖ ÓÒ Ú Ð ÒÒ ÐÐ ØÐÐ Ò ÔÖÓ¹ ÒÓØ Ò Ø Ø ÓÒÖ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ñ Ö ÔÖÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ð ØØÝÚØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÚØ ÑÙÙØÙ Ò ØÓ º ØØ Ñ ÐÐ Ö Ð Ú Ø ÑÙ ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ ÐÐ ÑÑ Ö Ø Ú ÐÐ Ø Ø ÓÒÖ ÔÖÓ ¹ º ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒÖ Ò ÔÖÓ Ò ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º¾º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ x ÓÒ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ó Ò Ó¹ Ò Ò Ö ÐÐ ÙÐÓØØ Ò Ò Ý Ø ÙÑ ØÓØ ÙØØ F xt (x 1, x 2,...,x k ) = F xt+s (x 1, x 2,..., x k ), Ñ t + s T º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ó ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ò ÖØ ÐÙ¹ ÚÙÒ ÑÓÑ ÒØ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ú Ó ÓÚ Ö Ò Ö ÔÔÙÙ Ú Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ò Ø Ò ÖÓØÙ Ø ½ º ¾º¾ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ ÓÚ Ø ØÖ Ó ÓÙ Ó ØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ò ÓÚ Ø Ö ØØ ¹ ¹Ø Ð º Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ ÓÚ Ø ÑÙ Ø ØØÓÑ ÐÐ ØÙÐ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÒÝ Ý Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÑÑ Ø Ø ÐÓ Ø º ÇÐ ÓÓÒ i t ÔÖÓ Ò Ø Ð Ò Ø ÐÐ t ÓÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ñ Ö Ø x t = i t º ÂÓØØ ØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÐ ÑÙ Ø ØÓÒ ØØ Ò Å Ö ÓÚ¹ÔÖÓ Ò ØÙÐ ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú ØÓ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º½º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ØÓØ ÙØØ ÑÙ Ø ØØÓÑÙÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò Ø ÐÐ t P(x t+1 = i t+1 x t = i t,x t 1 = i t 1,...,x = i ) = P(x t+1 = i t+1 x t = i t ) = p it,i t+1, Ñ p it,i t+1 ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÙÖ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ò Ò ÓÒ ÒÝ ÝØ Ð Ø i t ÙÙ¹ Ø Ò Ø Ð Ò i t+1 º ÃÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¾º¾º½ Ò Ò Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ð ÖØÝÑ Ò Ò Ø Ð Ö ÔÔÙÙ Ú Ò ÒÝ Ý Ø Ø Ð Ø º ¾º¾º½ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÒÓ ÙØÙÚ Ø ØÙÒÒ ÙÙ Ò ÝØØ Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ð¹ Ñ º Æ Ñ ÙÓÒØ ÙÙÖ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø ÒÓ ÙÔÙÒ Ø º È ÖÙ Ò ÓÒ ÐÙ ÑÖ ØØ Ú ÖÙÙ Ó ÓÒ ØÙÒÒ Ø ÒÝØØ Ø ÙÙÐÙÚ Øº ÌÑÒ Ð Ò ØÙÓØ Ø Ò ØÙÒÒ Ø ÒÝØØ Ø Ó ÐÐ ÒÝØØ ÐÐ ÙÓÖ Ø Ø Ò Ø Ö Ó ØÙ ÒÑÙ Ò Ò

¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø Ð ÐÑ º ÄÓÔÙ ÔØØ Ð ÑÑ Ø Ò Ø ÙÓÖ Ø ØÙ Ø Ð ÐÑ Ø Ð ÙÔ Ö ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ö Ø ÙÒº Ñ Ö Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÖ Ø ØØ ÓÙ ÙØ Ò Ð Ñ Ò ÒØ Ö Ð ÑÓ¹ Ò ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ º Í Ò ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ò ÑÖØØÝ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ ¹ Ò Ò ÓÒ ØÓ ÐÐ Ú ÓÔ Ñ ÓØÓÒØ Ò ÐÝÝØØ Ø º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖ¹ Ú ÙØÙÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÒÙÑ Ö Ò Ö Ø Ñ Òº ÁÒØ Ö Ð Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ¹ Ñ Ò ÓÒ Ù Ø Ö Ð Ñ Ò Ø ÐÑ º Å Ò Ø ÐÑ ÓÚ Ø Ñ Ö Ù Ò Ú ¹ Ö ØÙÙÖ ÆÝ ØÖ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Æ ÛØÓÒ¹ ÓØ ¹ Ú Øº Í Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ø Ö Ø Ú Ð Ò ÔÝÖ ÚØ Ö Ø Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð ÖÖ ÐÐ Òº ÁØ Ö Ø Ú Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÑÑ Ð ÐÐ Ð ÙÖ Ø Ù Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÓÒÚ Ö¹ Ó ØÙ Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù º Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑØ ÒØ Ú Ø Ø Ó Ò ØÝ ÐÙÒ Ø Ô Ù Ò Ó Ð ÑÑ ØÓ¹ ÐÐ ÓÖ ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÒØ Ö Ð º Æ Ø Ô Ù Ô Ö ÒØ Ø Ø ¹ Ö Ø Ú Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ú Ø Ú º Ò ÒÝØØ Ø Ø Ð ÑÑ Ò ÒÝØØ Ø ¹Ò Ñ Ò Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ØÓ Ñ ÒØ Ô ¹ Ö Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ð ØØ º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ö ÒÝØØ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º Ø ÙÑ Ò ÝØØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ò¹ Ð ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù ÓØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ù Ò Ò ÓÒÒ ØÙº Ò ÒÝØØ Ø ÝØ ØØ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÐÐ Ú Ò Ý ÙÐÓØØ ÓÐÐ ÙÑ º Ò ÒÝØØ Ø ØÓ Ñ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ x p(x 1, x 2,...,x k )º ÐÙ ÐÙ Ø ÑÑ Ú ØÓÖ Ò x () Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò ÔÝÖ ÑÑ ÒÝØØ Ø¹ ÑÒ Ú ØÓÖ Ò x (1) Ò ÑÑ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x (1) 1 ØÐÐ Ò ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø p(x 1 x 2 = x () 2, x 3 = x () 3,..., x k = x () )º ÐÐ Ø ÓÐÐ ¹ Ø ÙÑ Ø ÑÑ ÖÚÓÒ x (1) 1 ÐÐ º ÌÑÒ Ð Ò ÐÙ ÑÑ ÒÝØØ Ø ÖÚÓÒ x (1) 2 ÐÐ ÓÒ ÑÑ ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø p(x 2 x 1 = x (1) 1, x 3 = x () 3,...,x k = )º ÃÙÒ ÓÐ ÑÑ ÒÝØØ ØÒ Ø Ó ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÙÙ Ò ÖÚÓÒ ØØ Ò x () k ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò x (1) Ò Ò ÙÖ Ú ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ð ØØ ÙÖ Ú ÒÝØ Ú ØÓÖ x (2) ÝØÑÑ Ð Ù ÖÚÓ Ò ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò x (1) ÖÚÓ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÒÝع Ø Ø ØÝÒ Ú ØÓÖ Ò x (t) ÙÑ ÓÒ p(x) ÙÒ t ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÆÝØØ ØÑÑ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ N ÔÔ Ð ØØ ÒÝØ Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÑ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ Ð ÖÚÓÒ E[X] 1 N N i=1 xi º ÎÓ Ò ÑÝ Ó Ó ØØ ØØ ÒÝØ Ú ØÓ¹ Ö Ò ÖÚÓ Ð ØÝÝ ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ØØÝ Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø k

¾º ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Ø ÙÒ ÒÝØ Ú ØÓÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ 1 E[X] = lim N N N x (i). i=1 ¾º½µ Ã Ö ÓÒ Ð Ø ØØÝ ØÓ Ò Ò Ò ÝÐ Ò Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ò Ñ ÓÒ Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ò ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò Ø ØÙÐ Ø Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ó Ó Ò Ò ÒÝØ ÝÚ Ý¹ ØÒº ¾º ÖÓÛÒ Ò Ð Ð ÖØ Ò Ø Ò ÙÐ ÚÙÓÒÒ ½ ¼ ØÙØ ÑÙ Ò Ù Ø Ò Ð Ø Ò Ø ¹ Ø Ù º Ë Ò Ò ØØ ØØ Ù Ø Ò Ð ÙÑ Ò Ò ÑÖÝØÝÝ Ò Ò Ø ÖÑÚ Ø ÑÓÐ ÝÝРغ À Ù Ø Ò Ð ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ð ØØ ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÖÓÛÒ Ò Ð ÐÐ ¾ º À Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ñ Ö Ö ¹ Ø Ø ÖÓÛÒ Ò Ð Ø Ð ÝØÝÝ ÙÚ Ø ¾º½º ÃÙÚ ÓÒ Ø ØÝ Å ØÐ ¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÐÓ ØÙ Ô Ø Ò ÝØ ØØ Ò ÓÖ Ó ÔÖÓ Ò Ø ÐÓ ØÙØ Ø Ò ½¼¼ ÐÐ Ò Ø Ðк 3 Brownin liike 2 1 y 1 2 3 4 5 4 2 2 4 6 8 x ÃÙÚ ¾º½ Ë ÑÙÐÓ ØÙ ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÓÛÒ Ò Ð

º Ê Ê ËËÁÇ Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ØÙØ Ø Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÝØغ È Ö ÒØ Ò Ð ØÝÑ Ø Ô ÓÒ ÓÐ ØØ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú¹ Ð ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ý º ÌÐÐ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò y i ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ö ÔÔÙÚ Ò ¹ Ð ØØÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x i ÙÖ Ú Ø y i = k α j x j i + ǫ i = α + α 1 x i + α 2 x 2 i +... + α kx k i + ǫ i, j= º½µ Ñ α j, j = 1, 2,..., k ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓØ ÔÝÖ ØÒ Ö Ø Ñ Ò Ñ ØØ Ù Ø Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ñ ØØ Ù Ô Ö Ò (x j, y j ) ÐÙ ÙÑÖ N ØÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ ÖØ Ó Ò Ñ ØØ Ù Ô Ö Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ø Ý ØÐ Ò º½ ÑÙ Ø Ö Ó ØØ Ò Ñ ØÖ ¹ ÑÙÓ Ó Y = Xα + ǫ, º¾µ Ñ Y R N X R N k+1 α R k+1 ǫ R N º ÎÓ ÑÑ Ö Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ¹ ØÓÖ Ò α ÝØØÑÐÐ Ñ Ö Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐѺ Ä Ò Ö Ò Ò Ñ ÐÐ ØÓ Ñ ÙÓÒÓ Ø Ø Ô Ù Ó Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð Øع ÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø ÔÐ Ò Ö Ò Òº ÌÐÐ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÝØØ ÔÐ Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ÌÐÐ Ò Ö Ó Ø ÑÑ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó Ò Ò Ú¹ Ð ÐÐ y i = f(x i, α) + ǫ i, º µ Ñ f(, α) ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó α Ý Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Øº ÔÐ ¹ Ò Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ö ÔÓÒ ÒØØ ¹ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø Ó Ø º ÇÔØ ÑÓ ÒÒ ÔÝÖ ØÒ ÝÐ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ Ò Ú Ö ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÙØ Ò ÑÝ Ð Ò Ö Ø Ô Ù º ÇÒ ÐÑ Ô¹ Ð Ò Ö Ö Ö Ó ØÙÐ ØØ ÝÐ Ø Ô Ù ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó Ö Ø Ù º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ð ÝØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÙ ÙÑÑ ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ø Ú Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Òº

º ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓÙ Óº ÃÝØÑÑ Ù Ò ÔÖÓ¹ ÐÐ ÙÖ Ú ÝÐ Ø ÝØ ÓÐ Ú ÑÖ Ø ÐÑ ½ º ÅÖ Ø ÐÑ º¼º½º ËØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ Ó ÔÖÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º½º½ ÑÙ Ø Ö ÐÐ Ø Ý Ø ÙÑ Ø ÓÚ Ø ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Æ Ñ ØÝ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÚ Ú ÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÑÝ Ù Ò ÙÑ º ÅÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Ò Ù Ñ¹ Ô ÙÐÓØØ Ò Ú ÖÙÙØ Òº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ú Ö Ò Òº Ì ÖÚ Ø ÑÑ ÑÙÐØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ Ò µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Σº Ìй Ð Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ØØ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ x ÒÓÙ ØØ ÑÙÐØ ¹ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò µ Σ ÙÖ Ú Ø x N(µ, Σ). º½µ ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝØØ Ò Ð ØØÝÝ ÝÚ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ý Ò ÐÔ ØÖ ÑÑØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚØ º Ä Ù ½º Å Ð Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÙÙØØÙ Ø x 1, x 2,...,x n ÓÚ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÝ Ò Ò Ý Ø ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ x ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÐÐ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Σº ÌÐÐ Ò ÑÝ x Ò Ó Ú ØÓÖ x ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÐÐ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÐÐ Σ ÓØ Ò x Ò Ú Ø Ú Ø º Ã Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ ÓÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ø º Ù Ò ÔÖÓ ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº ÅÙÐØ ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÝÐ º ËØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÐÙÓÒ¹ Ø Ò ÚÙÓ Ù Ò ÔÖÓ Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÝÐ º ÅÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÝÐ ØÝÚØ Ù Ò ÔÖÓ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó m(x) ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k(x,x )º ÅÖ ØÑÑ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ º

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º¼º¾º ÙÒ Ø ÓÓÒ f(x) Ð ØØÝÚØ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó m(x) ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø Ó k(x,x ) ÓÚ Ø m(x) = E[f(x)], k(x,x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ))]. ÌÙÐ ÑÑ Ø Ó Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò Ñ Ö ÒÒÐÐ K(X, X) ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ó K(X, X) ij ÓÒ k(x i,x j )º ÁÒ Ø i, j I Ñ ÓÙ Ó I ÐØ Ú ØÓ¹ Ö Ò Ò Øº ÎÓ ÑÑ Ò Ö Ó ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó f ÒÓÙ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÓØ Ñ Ö Ø¹ ÑÑ ÙÖ Ú Ø f(x) GP(m(x), k(x,x )). º¾µ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ý ØÐ Ø º¾ Ò ÑÑ ØØ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó Ó ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÖÚÓ Ö Ô ¹ Ø xº ÀÝ ÝÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó ÙÖ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ø ÑÖ Ø Ø¹ Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÑÖ ØØ Ö ÙÒ ÙÑ º ÇÑ Ò ÙÙع Ø ÙØ ÙØ Ò Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ Ø Ö ÒØÙÚÙÙ º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ Ø Ö Ó ØØ Ô ¹ Ö ØØ Ø ØØ ÙÙÖ ÑÔ ÓÙ Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙÙØ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ÙÑ º º½ Ê Ö Ó ÌÙØ ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ú Ø ÑÙÙØØÙ ÐØ Ó Ò ØÐÐ Ò Ö Ó Ø ÑÑ y = f(x) + ǫº ÐÐ Ò Ó ÓÐ Ø ÑÑ ØØ Ó Ò ÓÒ Ñ Ø Ù¹ Ñ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ ÚÓ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ Ö Ó ØØ Ò Ú Ø ÑÙÙع ØÙ Ò ÚÐ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Cov(y i, y j ) = k(x i,x j ) + σ 2 n δ ij, º µ Ñ σ 2 n ÓÒ Ó Ò Ò Ú Ö Ò δ ij ÓÒ ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ ÙÒ Ø Óº ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ ¹ ÙÒ Ø Ó δ ij ÓÒ 1 Ó Ú Ò Ó i = j ÑÙÙÐÐÓ Ò º Ä Ñ ÐÐ ÓÚ Ö Ò Ø Ò Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ ÐÐ ÑÑ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò Cov(y) = K(X, X) + σ 2 n I. º µ Ë ÐØ Ò Ñ ØÖ X ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø X Ø Ø Ñ Ò ÝØ ØØÚØ ÒÝØØ Øº ÌÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ø Ø ÒÝØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ò [ ] ( [ ]) y K(X, X) + σn 2 N, I K(X, X ). º µ K(X, X) K(X, X ) f

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½¼ Â Ø Ó Ò ÓÐ Ø ÑÑ Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ m(x) = º ÇÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø f Ò ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø ØÐÐ Ò ÒÒ ØÑÑ ÑÙÙع ØÙ Ò y X X ÖÚÓغ Ä Ù Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ý ØÐ Ò º Ø Ô Ù ÑÑ f Ò ÓÐÐ ÙÑ f y, X, X N( f, Cov(f )) Ñ f = K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 y, Cov(f ) = K(X, X ) K(X, X)[K(X, X) + σ 2 n I] 1 K(X, X ). º µ º µ º µ ÃÙÒ ÓÚ ÐÐ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ò Ò ÑÑ Ö Ö Ó¹ ØÙÐÓ ÐÐ ÐÙÓØØ ÑÙ Ö Ø Ñ ÐÐ Ó ÓÚ ÐÐÙ Ø Ö ÔÔÙ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÝÚ Ò Ò Ñ Ö¹ ØØÚ ÓÑ Ò ÙÙ º º¾ ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ÙÚ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ö Ð ¹ ÐÙÚÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÇÐ ÓÓÒ k : S 2 R ØÐÐ Ò x,x S ÔØ k(x,x ) Rº ÌÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ k ÙØ ÙØ Ò Ý Ò ÙÒ Ø Ó º Ù Ò ÔÖÓ ØÖ Ó ÓÐ Ú Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò Ó ÓÙ Óº ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ö Ó ØÙ ÓÒ ÖØÓ ÓÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÐØ Ö ÐÐ Ø ÒÝØØ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ú ÖÖ ØØÙ Ò º ÃÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÝØ ØÒ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÔ Ñ Ø ¹ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐØ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò K Ð Ó K(X, X) ij k(x i,x j ) ÑÖ Ø ÐÑÒ º¼º¾ ÑÙ Ø Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÐØ Ú ØØ Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐРРݹ ÑÑ Ø ØØÝ Ú Ø ÑÙ ÑÝ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ º Ì ÑÑ Ò ÒÒ Ò ØØ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÓ Ò ÒÓ Ò K(X, X) ij = K(X, X) ji ÓÐÐÓ Ò ÑÝ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò k(x i,x j ) = k(x j,x i )µº ÃÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ Ò Òº ÈÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ ÝÝ Ø Ö Ó ØØ ØØ x Kx ÓÒ ØÓØØ Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ x C n \{}º ÙÒ Ø Ó ¹ Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ ÝÝ Ø Ò ÑÑÒ ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð Ø ØÓ Ñ Ö Ø Ó Ø º Å Ð Ú ÑÑ ØØ ÝØØÑÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ý Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ Ò Ò Ý ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐРѹ Ö Ø ØØÝ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ØØ º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k(x,x ) ÚÓ Ò ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ø Ò Ö ÔÔÙÙ ÑÙÙØØÙ Ø x x º Ë ÒÓÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ø Ø ÓÒÖ Ó ÓÒ Ú Ò ÖÓØÙ Ò x x ÙÒ Ø Óº ÃÓ Ø Ø ÓÒÖ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ú Ò Ò

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½½ ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ò ÓÚ Ø Ø Ø ÓÒÖ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò Ø ÚÓ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÖ ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ø º ÂÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k ÓÒ Ú Ò ÒÓÖÑ Ò x x 2 ÙÒ Ø Ó Ò Ò ØÐÐ Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÓØÖÓÓÔÔ º Á ÓØÖÓÓÔÔ Ò Ò ÓÚ ¹ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÖÖÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ º È Ø ØÙ¹ ÐÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ k(x,x ) Ö ÔÔÙÚ Ø Ô Ð ØÒ x Ò x Ò ÚÐ Ø Ô Ø ØÙÐÓ Ø x x º ËØÓ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ò ÐÝ Ó Ñ Ò ÝØ ØÒ Ò Ò Ò ¹ Ð ÐÐ Ø Ø ÙÚÙÙØØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÑ Ø º ÅÖ Ø ÐÑØ Ð Ø ØÓ ¹ Ò Ð ÐÐ Ø Ø ÙÚÙÙ Ø Ö ÚÓ ØÙÑ Ø Ð ÝØÝÚØ Ñ Ö ÐÔÓ Ø Ð ¹ ØÝØØÚ Ø Ö Ø ½¼ º Ë ÙÖ Ú ÝÑÑ ÓÐÑ Ò ÝÐ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑØ ÙÒ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÐÔ º Ò ÑÑ ØØ Ð ÑÑ Ò Ð ØÝ ÔÓÒ ÒØ Ð ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ë µº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º¾º Æ Ð ØÝ ÔÓÒ ÒØ Ð ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k SE ÓÒ ÑÙÓØÓ ( k SE (x,x ) = exp (x ) x ) T P 1 (x x ), 2 Ñ P = diag(l 2 ) Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l Ð Ø Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò ÚÐ Ø Ø ¹ ÝÝØغ ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÐÚ ØØ k SE ÓÒ Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ØØ Ò ÑÝ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ò Ð Ð¹ Ð Ø º ÌÐÐ Ò Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÝÚ Ò Ð º Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÝØ ØÒ Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø Ù Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Óº ÃÙÚ º½ Ò ÑÑ Ñ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÓÚ Ö Ò Ö ÔÔÙÙ ÒÝØØ Ò Ú¹ Ð Ø Ø ÝÝ Ø Ñ ÙÚ ÓÒ ÑÝ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ñ Ö ¹ ÙÒ Ø Óغ ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÑ Ñ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ l Ú ÙØØ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò Ð ÝØ Òº Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÖ ØÑÑ Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k Matern ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ( ) k Matern (x,x ) = 21 ν 2ν(x x ) Γ(ν) T P 1 (x x )) K ν 2ν(x x ) T P 1 (x x ), Ñ P = diag(l 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ø ν, l > Γ ÓÒ ÑÑ ÙÒ Ø Ó K ν ÓÒ ÑÙÓ ØØÙ Ð Ò ÙÒ Ø Óº Å Ø ÖÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÔÖÓ Ò Ò Ð ÐÐ Ò Ò Ö ÚÓ ¹ ØÙÚÙÙ ÓÒ Ö ÔÔÙÚ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ν ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø ν ÖØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º ÃÝØ ØØ Å Ø ÖÒ Ò

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½¾ SE kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 l=1 l=3/2 f(x).7.6.5.4.3.2.1.1.2 2 4 6 näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º½ ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø ÓÚ Ø ØØÙ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò ÒÝØØ Òº ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l {1,3/2}º ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ù Ò ÔÖÓ ØÝÝÔ ÐÐ Ø ÓÐ Ð Ò Ý Ø Ð Ù Ò ÝØ ØØ Ñ Ö Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÌÑ ØØ ÓÐÐ ØÓ ÚÓØØÙ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Ø ØØÝ Ö Ð Ñ ÐÑ Ò ÔÖÓ Ñ ÐÐ ÒÒ ØØ º ÃÙÚ º¾ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ø νº Æ ÑÑ ÙÚ Ø ØØ Ö ν Ò ÖÚÓØ ÚØ Ú ÙØ Ñ Ö ØØÚ Ø ÒÝØØ ¹ Ò ÚÐ Ò ÓÚ Ö Ò Òº Ë ÐØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÖÓ Ú Ø ÙÙÖ Ø ØÓ Ø Ò Ð Ý Ò Ù Ø Ò ÐÐ Ô Ò ÑÑÐÐ ν Ò ÖÚÓÐÐ ØÙ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ð ¹ Ò Ý Ø Ð Ù Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ν Ò ÖÚÓÐÐ ØÙº ÃÙ Ø Ò Ò Ú ÖÖ Ø ØÙÐÓ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ØÙ Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð ÑÔ º Î Ñ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝÑÑ ÐÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò ÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Êɵº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º º Ê Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k RQ ÓÒ ÑÙÓØÓ k RQ (x,x ) = Ñ P = diag(l 2 ) Ô Ö Ñ ØÖ Ø α, l > º ( 1 + (x ) x ) T P 1 (x x α ), 2α

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Matérn kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 ν=3/2 ν=5/2 f(x).7.6.5.4.3.2.1.1.2 2 4 6 näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º¾ ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù ¹ Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø Ó¹ Ú Ø ØØÙ ÑÓ Ò ÒÝØØ Ò Ù Ò ÙÚ º½º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l = 1 ν {3/2,5/2}º Ê Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø Ë ¹ Ó¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø Ô Ò Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒØ ÖØ Ò Ð ÐÐ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º ÃÙÚ º Ò ÑÑ Ñ Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø αº À Ú Ø ÑÑ ÙÚ Ø ØØ ÙÒ α = 2/5 Ò Ò ÒÝØØ Ò ÚÐ Ò Ò Ó¹ Ú Ö Ò Ô Ò Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÑÙ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ø ÑÑ Ò Ó Ø ÒÓÐÐ ÒÝØØ Ò Ø ÝÝ Ò Ú º Ë ÙØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ý ÐØÒ Ë ¹ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ØÙ Ò ÚÐ º ÃÙØ Ò ÙÓÑ ÑÑ ÐÐ ÓÐÐ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ò ¹ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ú ÙØØ Ú Ô Ö Ñ ØÖ º ÃÙØ ÙÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ ÓÖÓ Ø ÑÑ ØØ Ò ÓÚ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÚØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º º Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ØØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØݹ Ú Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒÒ Òº ÇÒ ÐÚ ØØ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ ÓÐ Ñ Ò Ø Ô Ù ÐÔÔÓ Ø ØÚº ÇÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ Ó Ò Ø Ô Ù

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ RQ kovarianssifunktion käyttäytyminen näytteiden välinen kovarianssi 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 α=2/5 α=5 f(x).7.6.5.4.3.2.1.1.2 2 4 6 näytteiden erotus 2 2 x ÃÙÚ º ÙÐÓØØ Ø Ò ÒÝØØ Ò ÓÚ Ö Ò Ø ÒÝØØ Ò ÖÓØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ ØÙÒÒ Ø Ö Ö Ó ÝÖ Ò Ö Ð Ø Óغ Ê Ö Ó ÝÖØ ÓÚ Ø ÓÚ Ø ØØÙ ÑÓ Ò ÒÝØØ Ò Ù Ò ÙÚ º½º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ ØÒ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º È Ö Ñ ØÖ l = 1 α {2/5,5}º ÓØ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ ÝÝ Ø Ð Ý Øº Ñ Ö Ó ÙÓ¹ Ñ ÑÑ ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø ØØ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ð Ò Ò ØÐÐ Ò ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ó ÐÐ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ë Øº Ë ÐÐ Ë ÓÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ò Ö ØØ Ñ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ º Ì Ø Ô Ù Ð ÐÐ Ú Ð Ë Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ú Ð ÒØ ØÓ Ò ÚÓ ÑÑ Ó ÐÐ Ö Ð ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ú Ð ¹ Ø Ò Ø Ò ÓØ ØÙÒØÙÚ Ø ÒØ Ú Ø Ô Ö Ò ØÙÐÓ Òº ÂÓ Ø Ô Ù ÝÐÐ ÓÐ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐ Ø ÑÐÐ Ò Òº Ð Ø Ô Ù ÐÙ ÑÑ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÐÐ ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø Ô Ö Ò Ñ Ð¹ Ð Ò ÓÔØ ÑÓ Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º à ØØ Ð ÑÑ Ô ÖÙ Ø Ø ÝÐ Ø ÝØ ØØÚ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ò ÝÔ Ö¹ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Òº Å Ò Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ö Ø ÒÚ ¹ Ð Ó ÒØ º Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú Ð ÑÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ ÐÐ ÒÒ ØØ٠й Ð ÓÔ ØÙ ÒÝØØ ÐÐ Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ØÙØ ÑÑ Ø ÑÓ ØÙ Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÒÙ ØÙ ¹ Ú Ö Øغ Ë ÙÖ Ú ÔÔ Ð ÝÑÑ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ñ Ò Ø ÐÑØ Ý ØÝ Ó ¹ Ø ÑÑ Ò ÐÔ º Â Ø Ó Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ú Ð ÒØ Ò Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ Ø¹ Ö Ò Ø ÑÓ ÒÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ÙÑ ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º½º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ p(x a,b) Ñ Ö Ò Ð ÙÑ b Ò ÝÐ ÓÒ p(x a) = p(x a, b)p(b a)db, Ñ p(b a) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÒÒ ØØÙÒ aº ÃÝØØÑÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ º º½ Ø Ø Ö ÒØÙÚÙÙØØ Ù Ò ÔÖÓ Ò º Ø Ô Ù ¹ ÓØØ Ñ ÐÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÑÑ log(p(y X, θ)) = 1 2 yt (K + σni) 2 1 y 1 2 log( K + σ2 ni ) n log 2π. 2 º µ ÐÐ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ö Ò ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò ÓØ Ò ØÓ Ø ÑÑ Ø º ÌÓ ØÙ º ØÐ Ø º Ú Ø ÑÑ ØØ y N(, K + σn 2 I)º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò y Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( p(y X, θ) = (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 ) 2 (y )T (K + σn 2 I) 1 (y ) º½¼µ ( = (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 ) 2 yt (K + σn 2 I) 1 y. º½½µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ø ÐÓ Ö ØÑ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÝØØÑÐÐ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ð Ù ÒØ ÑÑ log(p(y X, θ)) = log ( ( (2π) n/2 K + σn 2 I 1/2 exp 1 )) 2 yt (K + σn 2 I) 1 y º½¾µ = n 2 log(2π) 1 2 log( K + σ2 ni ) 1 2 yt (K + σ 2 ni) 1 y. º½ µ º º½ Ý Ð Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Å ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Ø Ô ØÙÙ Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú ÖÖÓ ÖÖÓ ÐØ Ò Ýع Ø Ò Ý Ò ÒØ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ö ÖÖÓ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ w Ò Ò Ð ØØÝÚ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ θ ÐÓÔÙ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒÒ ØØ M º Ð ÑÑÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ØÙØ ÑÑ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ú Ð ÒØ ÝØØ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÓ ¹ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝØغ p(m i y, X) = p(m i)p(y X, M i ) p(y X) = p(m i)p(y X, M i ) i p(y X, M i)p(m i ), º½ µ Ñ p(m i ) ÓÒ Ñ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò M i ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X, M i ) ÒÝØØ ¹ Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ç Ó ØØ ÓÐ Ú Ò Ø ÖÑ Ò p(y X, M i ) Ú ÙØÙ Ø

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒÒ ÔÓ ÑÑ Ø Ö ÑÑ Ò ÙÖ Ú Ò ÖÖÓ Ò Ý Ø Ý º Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ø p(θ X,y, M i ) = p(θ M i)p(y X, θ, M i ), º½ µ p(y X, M i ) Ñ p(θ M i ) ÓÒ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÝÔ ÖÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X, θ, M i ) ÒÝع Ø Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Æ Ñ ØØ ÓÐ Ú Ø ÖÑ ÓÒ Ø p(y X, M i ) = p(y X, θ, M i )p(θ M i ) dθ, º½ µ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ÓÒ Ú Ö Ò ØÖ ÓÑ Ò ÙÙ º ÌÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒØ Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø ¹ Ú ÐÐ Ò ÙÒ ØØ Ø ÙØÓÑ ØØ Ø ÓÑÔÖÓÑ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ Ò ÚÐ Ðк ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ø ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ç Ñ Ò Ô ÖØ Ú Ø¹ Ó Ø Ø Ô Ù Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ð ØØÚÒ Ñ ÐÐ Ò ØÙÐ ÓÐÐ Ñ Óй Ð ÑÑ Ò Ý Ò ÖØ Ò Òº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ý Ò Ò Ø ÖÑ ÒØÝÝ ÑÝ Ý ØÐ ¹ º½ Ó Ø ØØ ÓÐÐ ÒØÙ Ø Ú ÑÔ ÔÓ Ø Ç Ñ Ò Ô Ö ØØ Ò Ú ÙØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒÒ º Ð ÑÑ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÚÙÓÖÓ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ØÓ ÒÒ¹ ÝÝØØ p(w y, X, θ, M i ) = p(w θ, M i)p(y X,w, M i ) p(y X, θ, M i ) = p(w θ, M i )p(y X,w, M i ) p(y X,w, Mi )p(w θ, M i ) dw, º½ µ Ñ p(w θ, M i ) ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÔÖ ÓÖ ØÓ ÒÒ ÝÝ p(y X,w, M i ) ÒÝØØ Ò Ð ØØÝÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ Ó ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú ÑÓÒ ÙÐÓØØ ÒØ Ö Ð ¹ ÓØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÝÐ Ø Ô Ù Ö Ø Ú ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó º ÌÐÐ Ò ÓÙ ÙÑÑ ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò Ö Ð Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Òº ÇÒÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ ÝØ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÓÐ Ø Ø¹ Ø ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò Ó Ò Ò ÓÐ Ú Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØ ÒØ Ö Ð Ø ÓÚ Ø Ò ¹ ÐÝÝØØ Ø Ö Ø Ú º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÙÖ Ú Ø Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ Ò¹ Ò ÝÝØØ Ò Ñ ÑÓ ÒØ º ÂÓ ÑÑ Ó ÑÑ Ò Ð Ù Ò log(p(y X, θ)) = n log(2π) 1 2 2 log( K+σ2 ni ) 1 2 yt (K+σnI) 2 1 y Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö Ò Ð ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ º Ä Ù ÒØÝÚ Ø ÖÑ n log(2π) ÓÒ Ú Ó ÓÐÐ ÓÐ ÙÓ¹ 2 Ö Ò Ø Ú ÙØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò Ú Ð ÒØ Òº ÀÙÓÑ ØØ Ú Ø ØÖ ÑÔ ÓÒ Ø ÖÑ 1 log( K+ 2 σn 2I ) Ó Ö ÔÔÙÙ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ø K + σ2 ni ØØ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÒØÙÐÓ Ø º ÐÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ú ÙØÙ Ú ÙÒ Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ØÙÐ ÑÓÒ ÑÙØ ¹ ÑÔ º ÅÓÒ ÑÙØ ÙÙ ÐÐ Ø Ö Ó Ø ÑÑ Ø Ø Ô Ù Ñ ÐÐ Ò Ý Ý ÒÓÔ Ñ¹

º Ù Ò ÔÖÓ Ø ½ Ô Ò ÑÙÙØÓ Òº ÃÓÐÑ Ø ÖÑ 1 2 yt (K + σ 2 n I) 1 y Ö ÔÔÙÙ ÒÝØØ Ò ÓÚ ØÙ ¹ Ø º ÌÑÒ Ø ÖÑ Ò Ú ÙØÙ Ú ÙÒ Ñ ÐÐ Ø ÑÑ ØÙÐ Ý Ò ÖØ ÑÔ ØÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÓÚ ØØÙÙ ÓÑÑ Ò ÒÝØØ Òº ÌØ Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ ÓÔØ ÑÓ ÒÒ ÙØ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÔÝÖ ÚØ Ø Ô ÒÓØØ Ñ Ò ÓÚ ØÙ Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙØØ º ÇÔØ ÑÓ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ θ = [θ 1, θ 2,...,θ k ] T Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ý ØÐ Ò º Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ó Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò θ i Ù Ø Ò log(p(y X, θ)) θ i = 1 2 yt K 1 K K 1 y 1 ( θ i 2 trace K 1 K ). º½ µ θ i º º¾ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ Ø Ò ÒÝØØ Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ø Ø ÒÝØØ Òº ÇÔ ØÙ ¹ ÒÝØØ Ø ÝØ ØÒ Ñ ÐÐ Ò ÓÔ ØØ Ñ Ò Ø Ø ÒÝØØ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÓÔ ÚÙÙØØ ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒÒ º Å ÐÐ Ò ÓÔ ÚÙÙ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÙÙÒ ÚÓ Ò ÝØØ Ö Ð Ñ ØØÓ Ñ Ö 1 ¹ 2 ¹ ¹ÒÓÖÑ º Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ ÚÓ Ò Ø ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÐÐ ÒÝØØ Ø ÚÓ Ò Ö Ø ÚÓ Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò Ú Ð Ó ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Òº Í Ò ÝØ ØÒ Ò Ò ÙØ ÙØØÙ v¹ ÖØ Ø Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ Ò ÒÝØ ÓÙ Ó Ø Ò Ñ Ò Ó Ó Ò Ö ÐÐ Ò Ó ÓÙ Ó Ò ØÐÐ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ý Ø Ò v ÔÔ Ð ØØ º ÌÐÐ Ò ÓÔ ØÙ ¹ Ò ÝØ ØÒ ÚÙÓÖÓÐÐ Ò v 1 Ó ÓÙ Ó Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÙÓÖ ¹ Ø Ø Ò Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒØ º ÐÐ Ñ Ò ØØÙ ØÓ Ø Ø Ò Ý Ø Ò v ÖØ Ó ÐÐ ÖÖ ÐÐ ÝØ ØÒ Ö Ó ÓÙ Ó Ñ ÐÐ Ò Ú Ð Ó ÒØ Òº ÀÙÓÑ ÑÑ ØØ v Ò Ú ¹ ÓÙ ÙÑÑ ÓÔ ØØ Ñ Ò Ý Ù ÑÔ Ñ ÐÐ ØÐÐ Ò Ð ÒØ ÑÖ Ð ÒØÝݺ Ì Ô Ù Ò Ó v ÓÒ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ý ¹ÔÓ ¹ Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ÄÇǹ ε ØÓØ ÙØÙ Ò ÓÒ Ø Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐÐ ÚÓ ¹ Ò ÓÒÒ Ú ÒØ Ð ÒØ ÑÖ ÙÓÖ Ú Ú Ò ØÓØ Ù Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ º ÄÓ¹ ÔÙÐÐ Ñ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ó ØÓ Ñ Ô Ö Ø Ò Ú Ð ØÙÒ Ú Ð Ó ÒØ Ö Ø Ö Ò Ñ Ð ÓÔ ØØ ÙÙ ÐÐ Ò ÝØØ Ò ÒÝØØ Øº ÌÓ Ò Ò Ù Ò ÝØ ØØÚ Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ ÓÒ Ð Ö Ø ÒÚ Ð Ó ÒÒ ÝØ ØØÝ Ò Ñ ÐÐ Ò ÖÚÓ Ò Ò Ñ ÐÐ º Ê Ø ÒÚ Ð Ó ÒØ ÓÒ Ö ØÝ Ò Ý ÝÐÐ Ò Ò Ò Ø Ô Ù Ó ÝØ ØØÚ Òݹ Ø ÑÖ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò ÓÐ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ Ø Ø Ø ÒÝØØ ÓÙ Ó ½½ º

½ º ËÁÅÍÄ ÌÁÇÌ Î ÖØ Ð ÑÑ Ý ¹ ÙÐÓØØ Ø Ô Ù Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÐÑ Ò Ô Ö ÒØ Ø ÝØ ØØÚ Ñ Ò Ø ÐÑ º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ØØ Ò ÓÒ ÐÐ Ó ÓÐ ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ Ò ÁÒØ Ð Ò ÓÖ ¾ ÙÓ Ì ¼¼ ¾º ¼ ÀÞ Ù ÑÙ Ø ¾ º Ë ÑÙÐ Ø Ó¹ Ó ÐÑ ØÓÒ ÝØ ØØ Ò Å ØÐ º º½ ÙÐÓØØ Ò Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò ÝØÑÑ ÖÐ Û Ö Ê ÑÙ Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ Å ØÐ ¹ ÓÓ ½ Ö ÒØÝÚ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º È Ö ÒØ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Ó ÔÝÖ ØÒ ÓÚ ØØ Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ ØØ Ù ¹ Ô Ø Ò Ø Ø ÝÝ Ø Ú ÖØ ÑÑ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ù Ò ÔÖÓ Òº Î Ð Ø ÑÑ Ø Ø ØØ Ú ÓÐÑ Ø Ô Ù Ø Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÒ ÐÚ ÝØÝÚÒ Ò Øº Ä Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÓÐÐ ÓÚ Ø Ú Ø Ø Ô Ù Ñ Ö Ú ¹ Ñ Ò Ú ÚÖ Ø ÐÝ Ð ÙÒ Ø Óº ÌÓ ÐØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ØÙ¹ Ð ÓÐÐ ÐÔÔÓ º ÂÓ ÓÐÑ Ø Ô Ù ÓØ ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÒÝØØ Ø Ø ¹ ÚÐ Ò ¼ Ô Ø ÚÐ ÐØ [ 5, 5]º ÆÝØØ ÒÓØÓÒ Ð Ò Ð ÑÑ ÒÝØØ Ò ÒÓÐÐ ¹ ÖÚÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØØ Ó Ò Ø ØÝÐÐ Ú Ö Ò ÐÐ σ 2 ØÑÒ Ð Ò ÓÚ Ø ÑÑ ÝÖÒº Î Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÝÒ ÓÒ Ò Ð ÓÚ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ú ÙÙÖ Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ò Ø º ËÝÝ Ø Ò Ú Ø Ò Ó¹ Ú ÐØ Ñ ÐÐ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù ØØ ØÐÐ Ò Ò Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ n ÓÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø º ÃÝØ ÑÑ ÙÖ Ú Ú Ñ Ò Ú ÚÖ Ø ÐÝ ÙÚ Ú ÙÒ Ø ÓØ f(x) = exp(.3x) sin(3x). º½µ ÃÙÚ º½ º¾ Ò Ò Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ð¹ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ º Ò ÒÒ Ò ÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÒ Ñ Ð Ó ÓÖ ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø ÝÝ Øº ËÓÚ Ø ØØÙ ÝÖ ÑÙ ØÙØØ ÝØØÝØÝÑ ÐØÒ Ú Ñ Ò ¹ Ú ÚÖ Ø ÐÝ ÒÝØ ÚÐ ÐÐ ÑÙØØ Ú ØØ Ú ÓÒ ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ò Ñ Ø Ú ¹ ÖÓ º ËÓÚ Ø ØØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÓ ÝØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ Ø ØÝ Ö Ö Ó ÓÒ Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ ¹ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÓÒÒ ØÙÒ ÑÔ ÐÐ ÒÝØ ÚÐ ÐÐ ÓÐ Ú ØØ Ú Ú ¹ ÖÓ ½ ÖÐ Û Ö Ê ÑÙ Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ Ø Å ØÐ ¹ ÓÓ Ø Ð ÝØÝÚØ Ó Ò Ò Ú Ö Ó¹Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº Ù ÒÔÖÓ ºÓÖ» ÔÑÐ»Ó»Ñ Øл Ó»

º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ½ ÑÔÐ ØÙ Ò Ô Ò Ò Ñ Ò Ò Ò ÓÒ Ú ÑÑÒ Ñ Ö ØØÚº ÌÙÐÓ ÒØ ÑÝ ÓØ Ò Ø ØÓ ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐØ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ø ØÓ Ò ØÙÐÓ Ò ØÝØÝÝ Øй Ð Ò Ù Ø ÙØÙ Ö ØØ Ø º ÃÙÑÑ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ ÓÐ Ú ØØ Ú Ñ Ö ØØÚ ÝÐ ÓÔÔ Ñ Ø º Ð ÙÒ Ø ÓÓÒ ÓÒ Ú ÓÚ ØØ ÝÖ Ó ÓÐ Ø ÙÚ Ô Ø x = º Ð ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x < f(x) = º¾µ 1 x. ÃÙÚ º º ÓÚ Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÝØØ Ò Ë ¹ Ò Ù¹ ÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ø º ÑÖ Ø ÐÑ º½º½µº Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ú Ð ØØ Ò Ò Ô Ø Ø ÓÒÖ ÝÝ Ò ÚÙÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó k NN ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ) k NN (x,x 2 x T Σ x ) = arcsin, (1 + 2 xt Σ x)(1 + 2 x T Σ x ) Ñ x = [1,x T ] T x = [1,x T ] T Σ = diag(l 2 ) Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l Ð Ø Ò ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ò ÚÐ Ø Ø ÝÝØغ Æ ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÚØ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ø Ò ÒÝØØ ¹ غ ÃÙÚ º ÓÒ ØÙÐÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ö Ö Ó¹ ÝÖØ ÓÚ Ø ÝÖ ÑÔ ÓÖ ÓÒ Ð ÝÝ Ù Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ØÙ ØØ Ò Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÓÒ Ô Ö ÑÑ Ò Ú ØØ Ú º Ì Ò Ø Ô Ù ÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ò Ø Ú Ú Ö Ò Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ØØ Ú Ø Ø Ò ÓØØ ÓÚ Ø ØØÙ ÝÖ ÙÚ Ô Ö ÑÑ Ò Ô Ø ÙÚÙÙ Ó Ø ÓÖ Ó º Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÙÐÓ ¹ ÝØ ØØ Ë ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ Ú ØØ Ú Ô ÒØ ÝÐ ÓÔÔ Ñ Ø ÑÙØØ ØÙÐÓ Ò ØÙ Ö Ö Ó ÝÖ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ð ØÝ Ò ÝÐ ÓÚ Ø ØØÙº Ì Ø Ô Ù Ò ÙÖÓÚ Ö Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ ÒÝØØ ¹ Ø ÒØÓ Ú Ö Ò ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Òº ÃÙÑÑ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ ÚÓ ÝØØ Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÒÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Î Ñ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ø Ò ØØ ÓÔ ÝÚ Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ö Ö ÓÐÐ º Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ò Ñ Ø Ò Ù Ò ÔÖÓ ÝØØÝØÝÝ ØÐÐ Ø Ô Ù º ÃÝØØØÑÑÑ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÐ ÑÙÓØÓ f(x) =.4x 2 +.3x.5. º µ ÃÙÚ º º ÓÚ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÒ Ö Ö Ó Ý¹ Öغ ÆÝØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ò ØØ ÒÝØØ Ø Ú ÙØØ Ú Ø ÓÐ Ú Ò Ô Ö Ò

º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ¾¼ ÝÐ Ô Ò Ù Ú Ø Ô Ö Ð Ø º Ì Ø ÝÝ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÝÖ ØØ ÓÚ ØØ ØÓ ¹ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÝØØ Ò Ó Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÐ ØÓ ÐÐ ÙÙ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÝÚº ÃÙ Ø Ò Ò ÒÝØ ÚÐ ÐÐ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙÒ Ö Ö Ó ÝÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ Ò Ú¹ Ð ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ ÖÓ º ÆÝØ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÒÒÙ Ø Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÝØØÝØÝÑ Ø ÝÚ Ò ÑÙØØ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙÐÐ Ö Ö Ó ÝÖÐÐ Ð Ò Ý Ø ÝÚ Òº À Ú Ø ÑÑ Ò Ø ÓÐÑ Ø Ñ Ö Ø ØØ Ù Ò ÔÖÓ Ø ØÓ Ñ Ú Ø Ø ØÝ ¹ Ö Ö Ó¹ÓÒ ÐÑ ÝÚ Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ Ô Ö ÒØ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ö ÓÓÒº º¾ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ë ÑÙÐÓ ÒÒ ÝØÑÑ Å ØÐ ØØÚÒ Ì Å Ø ÏÓÖ ¹Ý Ø Ò ÐÓ Ó Ø ØÙع ØÙ ÙÒ Ø ÓØ º Ë ÓÒ Ø ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ó ØØ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò 2 u = t 2 2 u + 2 u Ö Ø Ù Ò Ð ØØÝÚ ÓÑ Ò ÙÒ Ø Óº ÇØ ÑÑ ÙÒ Ø Ó Ø ÒÝØØ Ø Ý Ø Ò¹ x 2 y 2 ½ Ô Ø º Ä ÑÑ ÒÝØØ Ò Ó Ò ØÑÒ Ð Ò ÝØÑÑ Ò Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ º ÃÙÚ º ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ò Ð ÙÚ º Ò Ð Ò ÓÒ Ð ØØÝ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒÙØØ Ó Ò ÖÚÓÐÐ Ú Ö Ò ÐÐ.1º ÃÝØÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Î Ø Ö Ò Â ÖÒÓ Î Ò Ø ÐÓÒ Å ØÐ ÐÐ Ö Ó ØØ Ñ Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ØÓ ¾ ÑÓ Å ØÐ ¹ ÓÓ Ó Ø ÝØ ØØ Ò Ó ÑÑ Ò Ý ÙÐÓØØ Ø Ô Ù º Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ¹ ØÓ ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØÙ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ ÝØØ Ò Ù Ø Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ¹ º Å Ò Ø ÐÑ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö Ø Ò ØÝ Ø ÐØÝ Ò ÒÝØØ ¹ Ø º Ä Ø ØÓ ÑÙÙÒ ÑÙ ÝØ ØØÚ Ø ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÝØÝÝ ØÝ ÐÙ¹ Ö ØÓÒ Ó ÙÑ ÒØ Ø Ó Ø º Î ÖØ Ð ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ Ý Ò ÖØ Ò ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò ÐÐ Ö¹ ÚÓ ÙÓ Ò Ú Ñ ÒØ ÝÚ Ò Ð ØÝÒ ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ò Ð Ø ½¾ º ÃÝØÑÑ ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ Ø Ø ÑÑ Ø ÝØØ Ò Ö Ó Ó ¹ ÙÒÓ Ø º Ä ÑÑ Ò Ð Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÝØØÑÑÑ ÙÒ Ò Ú Ø Ñ Ò ÑÖÒ ÒÓÐÐ ÓØØ ÙÓ Ø ØØÙ Ò Ð ÐØ Ñ Ò ÑÖÒ ÒÝØØ Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö ¹ Ò Òº Ì ÙÐÙ Ó º½ ÓÒ Ý Ø ÒÚ ØÓ ÑÖ Ø Ò Ð ÐÐ Ø Ú Ö Ø ÅË µ Ð ÒØ ¹ Ó Ø Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ðк Æ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÝØØÑÐÐ Ô¹ ÑÑ Ô Ò ÑÔÒ Ú Ö Òº Ì Ò Ø Ô Ù ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ô Ö ÒØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÒÝØØ Ø ØÓ Ñ ÝÚ Òº È Ö ÑÑ Ò ØÙ¹ ÐÓ Ò ÖÚÓ ÙÓØ Ñ ÐÐ ÑÑ ÙÒ ÓÓÐÐ 5 5º ÌÓ Ò Ú Ø ÑÑ ØØ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Ò Ô Ò ÑÔ Ò Ú Ö Ò ÖÓ ÓÒ Ñ Ð Ó Ô Ò º Ì Ø Ò Ò Ø ÑÓ ¹ Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÝØØ Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ð ÒØ ¹ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ¾ Î Ø Ö Ò Â ÖÒÓ Î Ò Ø ÐÓÒ Ö Ó ØØ Ñ Å Å ØÙ ¹ØÝ ÐÙ Ö ØÓ ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ó ¹ Ò Ò Ó Ó ØØ Ø ØØÔ»»ÛÛۺРº Ùغ»Ö Ö»ÑÑ»ÑÑ ØÙ»

º Ë ÑÙÐ Ø ÓØ ¾½ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÑÖ Ø Ò Ð ÐÐ Ø Ú Ö Ø Ú ÖÖ ØØÙÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÙÚ Ò Å Ò Ø ÐÑ ÅË Ó» Ñ Ò º ¼ Ù Ò ÔÖÓ ¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ Ù Ò ÔÖÓ ½¼¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ ¾ ½ Ù Ò ÔÖÓ ½¼¼¼ ÒÝØØ ÐÐ ¾º½ ½ ¾ Ù Ò ÔÖÓ Å Ø ÖÒµ ¾º½ ¾¼ ½ Ù Ò ÔÖÓ Êɵ ¾º¼ ¾½ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º ¼ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ ¾º ½ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º¾ º ¹ à ÖÚÓ ÙÓ Ò Ü µ º¾ º¼ ¹ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ñ Ö ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò Ú Ø Ñ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ÒØ ¹ ÓÒ Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ ÙÑÖÒº ÇÒÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ÑÑ ØØ Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ø ÑÓ Ø Ú Ø ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒÚ Ö Ó ØÙÚ Ø Ñ Ð Ó ÒÓ¹ Ô Ø Ó Ø ÓÔ ØÙ ÒÝØØ Ø Ú Ø Ú ÓÔØ Ñ º Ë ÐÐ Ú Ö ÙÙÖ Ò Ô Ò Ò Ú Ú ØØ ÑÑ ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ ØØÚ Ò ÒÝØØ Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖº ÃÙÚ º½¼ º½½ ÓÚ Ø Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ ÙØ Ö Ö ÓÔ ÒÒ Ø Ò Ø ¹ Ô Ù Ó ÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ø ÑÓ ØÙ ÝØØ Ò Å Å ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÔÖ ÓÖ ÙÑ Ò ÒØ ÑÑ ÙÑ º ÃÝØØ Ò Ô Ö ÒØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ý¹ Ô ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò Å Ø ÖÒ¹ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÓÒ ¹ ØÙ ÙÚ Ò º½¾ º½ ÐØ Ø Ö Ö ÓÔ ÒÒ Øº ÎÙÓÖÓ Ø Ò ÙÚ º½ º½ ÓÚ Ø ÖÚÓ ÙÓ Ø ØÙØ Ò Ð Ø Ö ÙÒ Ó³Ó ÐÐ º ÃÙÚ Ø ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ù Ò ÔÖÓ ÒØ Ð Ò Ô ÒÒ Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ ÖÚÓ ÙÓØ Ñ Ò ØÙÐÓ Òº Ù ¹ Ò ÔÖÓ Ò ØÙÒ ÓÒ ÑÝ ØØ ÑÑ ÔÖÓ Ø ÐÙ ÑÑ ÑÖÒ ÙÐÓ ØÙ¹ ÐÓÒÝØØ Ø ØÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ò Ð ÐÐ Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ º

¾¾ º ÂÇÀÌÇÈ Ì ÃË Ì ÌÝ Ø ÐØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð ØØÝÚ Ô ÖÙ Ø ÓÖ º Ö ØÝ Ø ÔÓ ÑÑ Ù Ò ÔÖÓ ÓÒ ÓÔÔ Ñ Ò ÒÒ ÐØ Ó ÓÒ Ñ Ð Ó ÙÙ ÓÚ ÐÐÙ ÐÙ Ù Ò ÔÖÓ ÐÐ º Î ÙØØ ÐØ ØØ ØÓ ÒÒ Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø ØÙ¹ Ð Ú ÙÙ ÒØ Ø Ý ÝÐÐ ÑÑ ØÝ ÐÙ Ö Ð Ò ÓÒ ÓÔÔ Ñ ÓÒ ÐÑ Òº Ë ÐÐ ÑÙÙ Ò ÑÙ Ú Ò Ò ÐÝÝ ÝØØ Ò Ñ Ö ÓÒÓÝ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ØÖ Ò ÖÒ Ðµ ÓÒ ØÙ ÝÚ ØÙÐÓ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ñ Ö ÝÐ Ø ÝØ ØÝ ÐÐ Å Ö ÓÚ Ò Ô ÐÓÑ ÐÐ ÐÐ À Ò Å Ö ÓÚ ÅÓ Ðµ ØÙ Ò ØÙÐÓ Òº Î Ù Ò ÔÖÓ Ø ÚÓ Ú Ø Ú ÙØØ ÑÓÒ ÑÙØ ÐØ Ò Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ø Ø ÓÖ Ø Ú Ø ÑÑ ØØ Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ñ Ð Ó ÒØÙ Ø Ú Ø ÙÒ ØØ Ð ÑÑ Ò ÑÙÐØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÝÐ ØÝ Òº ÃÙØ Ò ÑÙÐÓ ÒÒ Ø ÚÓ Ò Ú Ø Ù Ò ÔÖÓ Ø ÓÚ Ø Ý ÝÐÐ Ò Ò ØÝ ¹ ÐÙ Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ô Ö ÒØ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÐÐ º Ë ÐÐ ÔÔ Ö Ñ ØÖ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÚÙÓ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÚ Ø ÓÙ Ø Ú ØÝ ÐÙ Ö Ö Ó¹ ÓÒ ÐÑ Ò ÐÐ ÑÑ Ú Ö Ò Ø ÓÐ Ø Ñ ØÒ Ø ØØÝ ÑÙÓØÓ Ø Ù Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ º Ù Ò ÔÖÓ Ò Ð Ò Ò ÒÓØØÙ Ò Ý Ò ÙÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÐÑ Ò ÙÙÐÙÚ Ø ¹ Ñ Ö ØÙ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ó Ó ØØ ÙØÙÒ Ø ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ø Ó ¹ º ÌÙ Ú ØÓÖ ÓÒ Ø ÚÓ Ò ÝØØ Ù Ò ÔÖÓ Ò Ø Ô Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙÙÒ Ö Ö ÓÓÒº ÌØ Ò Ø Ó ÚÓ ØÙØ Ø Ö ÑÑ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ØÙ ¹ Ú ØÓÖ ÓÒ Ò ÚÐ Ø Ý Ø ÝØØ Ú ÖØ ÐÐ Ò ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ ØÙÐÓ º Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÐ Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ØÙØ Ð ÑÑ Ò Ù Ò ÔÖÓ¹ Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÖ ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ ØÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ó ÓÐ Ù ¹ Ò ÔÖÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÐÙÓ ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ò Ú ÖØ ÐÐ Ò Ò ØÙ ØÙÐÓ Ô Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ØÙ Òº

¾ Ä ÀÌ Ì ½ Ǻ Ã Ð Ú ËØÓ Ø Ø ÔÖÓ Øº Ì ÑÔ Ö ÌÌ ¾¼¼ º ÇÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ë Ø ¹ Ú ØØÔ»» ÙØÐ ÖººØÙغ» Ð Ú» ¾ º È ÔÓÙÐ ÈÖÓ Ð ØÝ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð Ò ËØÓ Ø ÈÖÓ º Ö º Æ Û ÓÖ Å Ö Û¹À ÐÐ ½ ½º Àº Ⱥ À Ù Ì ÓÖÝ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ó ÈÖÓ Ð ØÝ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð Ò Ê Ò ÓÑ ÈÖÓ º Æ Û Â Ö Ý Å Ö Û¹À ÐÐ ½ º º ÈÖÓ Þ Âº Í Ð Èº º Ϻ Ê ÝÒ Ö Æº º Ã Ò ÙÖÝ Ë Ò Ð Ò ÐÝ Ò ÈÖ Ø ÓÒº Ó ØÓÒ Ö Ù Ö ½ º º Ⱥ ÊÓ ÖØ º ÐÐ ÅÓÒØ ÖÐÓ ËØ Ø Ø Ð Å Ø Ó º ¾Ò º Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º º Ò Ø Ò ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ì ÓÖÝ Ó ÖÓÛÒ Ò ÅÓÚ Ñ Òغ Æ Û ÓÖ ÓÚ Ö ½ º º ÈÓ Ú ÖØ Ãº ÊÙÓ ÓÒ Ò Ä Ø Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø º Ì ÑÔ Ö ÌÌ ¾¼¼ º ÇÔ ÒØÓÑÓÒ Ø Ë Ø Ú ØØÔ»»Ñ Ø ºØÙغ» ÖÙÓ ÓÒ Ò» º º Ê ÑÙ Ò º ú Áº Ï ÐÐ Ñ Ù Ò ÈÖÓ ÓÖ Å Ò Ä Ö¹ Ò Ò º Ñ Ö Å Ù ØØ Ì ÅÁÌ ÈÖ ¾¼¼ º ʺ Ø ÈÓ Ø Ú Ò Ø Å ØÖ º ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÙ Ð Ø ÓÒ ¾¼¼ º ½¼ ź ĺ ËØ Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ó ËÔ Ø Ð Ø ËÓÑ Ì ÓÖÝ ÓÖ ÃÖ Ò º Æ Û ÓÖ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ½ º ½½ ú Àº Ò Ò ÅÙÐØ Ú Ö Ø Ø Ò ÐÝ Ò ÈÖ Ø º Ç ÐÓ ÅÇ ÈÖÓ Ë ¾¼¼¾º ½¾ º ØÓРȺ ÃÙÓ Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÆÓÒÐ Ò Ö Ø Ð ÐØ Ö Ò º ÐÓ¹ Ö Ê ÈÖ ÄÄ ½ º

¾ º ÄÁÁÌÌ ÁÌ 12 1 8 Regressio Gaussin prosessilla 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat Alkuperäinen 6 4 2 2 4 6 8 8 6 4 2 2 4 6 8 x y ÃÙÚ º½ Ê Ö Ó Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓ¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l = 1º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º

º Ä ØØ Ø ¾ 4 Polynominen regressio 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi Alkuperäinen y ÃÙÚ º¾ Ê Ö Ó Ú Ñ Ò Ú Ò ÚÖ Ø ÐÝÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ½ º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º

º Ä ØØ Ø ¾ 1.5 Regressio Gaussin prosessilla 1.5.5 1 1.5 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat 2 8 6 4 2 2 4 6 8 x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓÚ Ö Ò ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l =.3º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú ¹ Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º

º Ä ØØ Ø ¾ 1.5 Regressio Gaussin prosessilla 1.5.5 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat 1 8 6 4 2 2 4 6 8 x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Ò ÙÖÓÚ Ö ¹ Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ø ÑÓ Ø Ò Ó Ò ÐÐ Ø ÒÝØØ Øº ÆÓÐÐ Ö¹ ÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º

º Ä ØØ Ø ¾ 1.4 Polynominen regressio 1.2 1.8.6.4.2.2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi y ÃÙÚ º Ê Ö Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ½¼º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 =.2º

º Ä ØØ Ø ¾ 3 25 Regressio Gaussin prosessilla 95 % luottamusväli Regressio Kohinalliset Kohinattomat Alkuperäinen 2 15 1 5 5 8 6 4 2 2 4 6 8 x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÃÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ë Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ l = 6.5º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 = 2º

º Ä ØØ Ø ¼ 12 Polynominen regressio 1 Kohinalliset Kohinattomat Sovitettu polynomi Alkuperäinen 8 6 4 2 2 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x y ÃÙÚ º Ê Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ô Ù ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ º ËÓÚ Ø ØÙÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÓÐ ¾º ÆÓÐÐ ÖÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ Ò Ó Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐ σ 2 = 2º

º Ä ØØ Ø ½ Alkuperäinen signaali 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º ÃÙÚ ÓÚ Ø Ì Å Ø ÏÓÖ ¹Ý Ø Ò ÐÓ Ó ÒØÝÚ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ØÙØ ½ ÒÝØ Øغ Signaali kohinan lisäämisen jälkeen 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º Ë Ò Ð º Ó Ò Ò Ð Ñ Ò Ð Òº ÃÓ Ò ÓÒ ÒÓÐÐ ÖÚÓ Ø ÒÓÖÑ ¹ Ð ÙØÙÒÙØØ Ú Ö Ò ÐÐ σ 2 =.1º

º Ä ØØ Ø ¾ Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½¼ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ Ø¹ Ø Ò ¼ ÒÝØ Øغ Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½½ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ º ÀÝÔ ÖÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ò ÝØ Ø¹ Ø Ò ½¼¼¼ ÒÝØ Øغ

º Ä ØØ Ø Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½¾ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Å Ø ÖÒ¹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ Ö¹ Ô Ö Ñ ØÖ ν = 5/2 l Ø ÑÓ Ø Ò ÒÝØØ Ø Lopputulos käyttäen Gaussin prosessia 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½ Ê Ö Ó ÝØØ Ò Ù Ò ÔÖÓ Êɹ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÀÝÔ ÖÔ Ö ¹ Ñ ØÖ Ø α l Ø ÑÓ Ø Ò ÙÓÖ Ò ÒÝØØ Øº

º Ä ØØ Ø Keskiarvosuodatettu 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½ ÃÓ Ò Ò ÙÓ ØÙ ÝØØ Ò ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ º ËÙÓØ Ñ Ò Ù¹ Ò Ò Ó Ó ÓÐ Ü º Keskiarvosuodatettu 1.5 z.5 2 1 y x 1 2 ÃÙÚ º½ ÃÓ Ò Ò ÙÓ ØÙ ÝØØ Ò ÙÐÓØØ Ø ÖÚÓ ÙÓ ÒØ º ËÙÓØ Ñ Ò Ù¹ Ò Ò Ó Ó ÓÐ Ü º

2025 © DocPlayer.fi Yksityisyyskäytäntö | Palveluehdot | Palaute