Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen

Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen Tuomas Nurmi, Henri Pesonen ja Heikki Ruskeepää Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 1 Matemaattinen teksti Hyvän matematiikkaa sisältävän tekstin kirjoittamisen ehdoton edellytys on aina käsiteltävän asian syvällinen ymmärtäminen. Mutta pelkkä matemaattinen osaaminen ei edes yhdessä tavanomaisen kieliopin hallinnankaan kanssa takaa sitä, että kirjoitettava matemaattinen teksti olisi helppolukuista ja yksiselitteistä. Hyvän matemaattisen tekstin tuottaminen vaatiikin huomattavasti enemmän ponnistelua ja harkintaa kuin tavanomaisen asiatekstin tuottaminen. Matemaattisten kaavojen ladonnan takia myös tavanomaiset tekstinkäsittelyohjelmat soveltuvat huonosti matemaattisen tekstin tuottamiseen. Kaavaeditorilla pystyy toki tuottamaan kaavoja, mutta niiden muotoilu ja viimeistely on kohtuuttoman työlästä. Paras vaihtoehto matemaattisen tekstin tuottamiseen on L A TEXladontaohjelma, josta on saatavilla lukuisia erilaisia ilmaisversioita. Sen käyttö vaatii ensialkuun hieman totuttelua, mutta opettelun jälkeen se on ohjelmistoista helppokäyttöisin ja luotettavin. Matemaattiseen tekstiin tuottamiseen liittyy usein myös käsiteltävää asiaa havainnollistavien kuvien tekeminen, mihin soveltuvia ohjelmia ovat esimerkiksi R- studio, GeoGebra, MATLAB ja Sage, joiden käyttö opetetaan muun opetuksen yhteydessä. Lisäksi yleiseen matemaattiseen ja tilastotieteelliseen työskentelyyn, erityisesti symboliseen laskentaan, sopii Mathematica, jonka käyttöä esitellään tällä kurssilla. 2 Kirjallisten töiden tavoitteet Kirjallisten töiden laatimisessa on tavoitteena opetella kirjoittamaan matemaattista tekstiä, harjoitella itsenäistä matemaattista tai tilastotieteellistä työskentelyä, tottua vieraskielisen tieteellisen kirjallisuuden käyttöön ja oppia matematiikka tai tilastotiedettä 1

Kannattaa huomata, että kyseessä on todella opettelu: matemaattisen tekstin kirjoittaminen voi olla aluksi vaikeaa ja työn ohjaaja löytää luultavasti paljon korjattavaa, mutta tarkoitus onkin aktiivisesti opetella matemaattista kirjoittamista. Aineen ja tutkielmien kirjoittamisessa on olennaista myös se, että tarkasteltavasta asiasta luodaan oma esitys. Pelkästään kääntämällä virkkeet suomeksi ei synny kunnollista ainetta, koska silloin on todellakin kysymys vain käännöksestä: asia on jäänyt ilmaisematta omin sanoin. Aine tai tutkielma ei koskaan synny ensikirjoittamalla, vaan tarvitaan useita muokkausvaiheita, kunnes esitys on oman käsityksesi mukaan parhaassa muodossa asiasisällön ja rakenteen kannalta. Itsenäistä kirjoitustyötä tarvitaan aina myös sen takia, että aineesta tai tutkielmasta on aina kirjoitettava oma rakenteellisesti yhtenäinen kokonaisuutensa, mikä on yleensä mahdotonta suoraan lähdemateriaalia kääntämällä. Aineen lähdeaineisto on usein esimerkiksi kirjan luku, jota saattaa olla tarpeen karsia, mutta jota on samalla kuitenkin täydennettävä järkevän kokonaisuuden muodostamiseksi esimerkiksi lisäämällä johdanto, yhteenveto tai vaikkapa esimerkkejä. Tutkielmissa taas ohjaajan antama lähdemateriaali saattaa koostua useista eri kirjojen luvuista tai tieteellisistä artikkeleista. Lisäksi materiaalia on usein tarpeen etsiä lisää itsenäisesti. Työtä aloitettaessa kannattaa tutustua laitoksen www-sivuilla oleviin malliaineisiin ja muuhun matemaattista kirjoittamista käsittelevään materiaaliin. 3 Työskentelyn vaiheet Aineen tai tutkielman aihe sovitaan yhdessä ohjaajan kanssa. Ohjaaja antaa opiskelijalle materiaalin, jonka avulla tämä pääsee työnsä alkuun. Aiheeseen perehtyminen. Perehdy materiaaliisi huolellisesti, ennen kuin harkitsetkaan kirjoitustyön aloittamista. Tutkielmien tekoon kuuluu olennaisena osana myös lisämateriaalin etsiminen itse ja usein jopa oman pienimuotoisen tutkimustyön tekeminen. Myös ainetta tehdessä voi aiheen ymmärtämiseksi joskus olla tarpeen hankkia lisämateriaalia (esimerkiksi lähdekirjan aiempi luku). Laadi materiaalistasi muistiinpanoja ja pohdi, mitä sisällytät omaan tekstiisi ja miten asiat esität. Jos jotkin kohdat materiaalissa tuntuvat liian hankalilta, voi ohjaajalta kysyä apua. Tilastotieteen tutkielmissa tähän vaiheeseen kuuluu luonnollisesti myös tutkittavan aineiston analysointi. Oman esityksen suunnittelu. Suunnittele esityksestäsi itsenäinen ja yhtenäinen kokonaisuus. Pohdi, mitä asioita on hyvä ottaa mukaan ja mitä taas voi jättää pois ja millaisen rakenteen esitykseesi laadit. Pohdi myös, millaisia taustatietoja esityksesi edellyttää lukijalta, ja pyri tekemään esityksestäsi tällaiselle lukijalle helppolukuinen. Kirjoitustyö. Ennen kirjoitustyön aloittamista kannattaa käydä keskustelemassa ohjaajan kanssa suunnitelmasta. Kirjoitustyön aikana on edelleen hy- 2

vä pitää mielessä se, että tarkoituksena on laatia aiheesta oma esitys, ei lähdemateriaalin käännöstä, ja varoa englanninkielisten sanamuotojen ja lauserakenteiden lipsahtamista tekstiin. Ja edelleen kirjoitustyö. Matemaattista tekstiä kirjoitettaessa ei valmista yleensä tule kerralla, vaan tekstiä kannattaa itse oikolukea ja miettiä omia valintoja ilmaisu- ja sanamuodoiksi. Tällaista tekstin prosessointia on harrastettava jo ennen kuin vie esitystään ohjaajalle, ja se mitä luultavimmin jatkuu vielä yhdessä ohjaajan kanssa. 4 Kirjallisen esityksen rakenne Esityksen hyvin laadittu rakenne helpottaa tekstin lukemista ja tiedon hakua esityksestä. Käytettävät erikoistermit ja merkinnät on esiteltävä tai määriteltävä ennen kuin niitä ensimmäisen kerran käytetään. Esityksen tulisi edetä loogisesti ja suoraviivaisesti, jottei lukijan tarvitse siirtyä edestakaisin sivulta toiselle esitystä ymmärtääkseen. Jokaisen matemaattisen esityksen tulisi alkaa johdannolla, jossa selvitetään esitettävien tulosten merkitys, mahdollisesti historiaakin, ja sijoitetaan ne tieteelliseen kontekstiinsa. Hyvän johdannon kirjoittaminen on usein työn osa-alueista vaativimpia. Laajempien esitysten loppuun on yleensä tarpeen sijoittaa jonkinlainen yhteenveto- ja pohdiskeluosuus. Esityksen laajuudesta riippuu myös, onko tarpeen liittää mukaan sisällysluetteloa. Teksti on jaettava riittävän lyhyiksi kappaleiksi, joista kukin käsittelee kyllin suppean kokonaisuuden. Kappaleet erotetaan toisistaan sisentämällä alkavan kappaleen ensimmäistä riviä. Nykyään yleistynyt ja monilla muilla tieteenaloilla tavallinen käytäntö erottaa kappaleet ylimääräisellä rivinvaihdolla ei matemaattisissa teksteissä ole riittävän selkeä, sillä kaavarivit tekevät rivityksestä jo muutenkin epäyhtenäistä. Kun muuntelet lähteen tekstiä esimerkiksi lisäämällä perusteluja ja selityksiä, niin vaarana on liian pitkien ja sekavien lauseiden ja kappaleiden muodostuminen. Voit joutua rakentamaan tällaisen kohdan kokonaan uudestaan käyttämällä lyhyempiä virkkeitä ja kappaleita. 5 Kirjoitusvaihe Ennen kuin kirjoitat, on sinun ymmärrettävä asia, josta olet kirjoittamassa. Jos lähdeaineistossa on vaikealta tuntuvia kohtia, kannattaa niistä keskustella ohjaajan kanssa ennen kirjoitustyön aloittamista. Kun ryhdyt kirjoittamaan ensimmäistä versiota itse aineesta, muista, että et kirjoita itsellesi vaan toiselle lukijalle. Kirjoita niin, että esimerkiksi opiskelutoverisi voisivat ymmärtää tekstisi. Matemaattisen tekstin kirjoituksessa on siis otettava huomioon seuraavat kaksi ymmärtämiseen liittyvää asiaa. Ensinnäkin kirjoittajan tulee ymmärtää kirjoitta- 3

mansa asia. Toiseksi kirjoittajan on esitettävä asiansa niin selkeästi, että lukijakin ymmärtää asian. Tärkeää on johdatella lukijaa seuraavan tapaisilla lauseilla: Näin ollen riittää osoittaa, että...,..., mikä todistetaan seuraavassa, Näin on todistettu kaava.... Älä jätä lukijaa epävarmaksi siitä, ollaanko parhaillaan perustelemassa edellä ollutta tulosta vai johtamassa jäljempänä seuraavaa tulosta. Kerro selvästi, mitkä ovat oletuksia ja mitkä tuloksia. Lauseen todistuksessa on hyvä korostaa todistuksen rakennetta ja niitä keskeisiä ideoita, jotka tekevät todistuksesta toimivan. Jos todistuksen jokin vaihe jätetään väliin, niin on hyvä mainita jotakin tämän vaiheen vaikeudesta tai helppoudesta. Jos todistus on pitkä, kannattaa harkita sen jakamista usean lemman sarjaksi. Jos oletuksia on useita, älä sano, että oletuksista seuraa..., vaan kerro kussakin kohdassa juuri se oletus tai ne oletukset, joita siinä kohdassa käytetään. Korosta päätuloksia tai keskeisiä asioita ( Todistetaan seuraava päätulos. ). Tulkitse tuloksia ja niiden merkitystä riittävän yksityiskohtaisesti. Lähteissä voi olla paljon puutteita näissä suhteissa. Matemaattisen esityksen kirjoittamisessa pätevät normaalit ns. asiaproosan kirjoittamista koskevat säännöt. Esikuviksi kelpaavat monet matematiikan kirjat, eivät sitä vastoin yleensä luentomonisteet tai lukion oppikirjat. Hyvä asiateksti on yksinkertaista ja ytimekästä, vailla turhaa hienostelua. Aine on kirjoitettava niin, että se muodostuu täydellisistä virkkeistä, joiden luonteviksi osiksi myös matemaattiset lausekkeet ja kaavat niveltyvät. Lue aina kirjoittamasi virke kaikkine matemaattisine ilmaisuineen itsellesi. Näin tulee tarkistetuksi, onko se oikein muodostettu. Kun kirjoitat omaa matemaattista tekstiä (vaikkapa ratkaiset harjoitustehtävän ja sijoitat sen esimerkiksi), pidä huoli, että tyyli säilyy moitteettomana: esityksen on edelleenkin muodostuttava täydellisistä virkkeistä riittävin sidesanoin ja kommentein ( koska..., joten... ). Demonstraatiotyyli, jossa vain kirjoitetaan kaavoja peräkkäin ( kaava 1 kaava 2 kaava 3 ), ei kelpaa, vaan kukin kaava tai lauseke sijoitetaan usein omalle rivilleen, ja kun kaavasta tai lausekkeesta siirrytään seuraavaan, niin välissä on jotakin johdattelevaa tekstiä ( Tämän perusteella nähdään, että..., josta sieventämällä saadaan, että... ). 6 Erityiskysymyksiä Kaavat Lyhyet kaavat sijoitetaan usein tekstin joukkoon. Kaava voidaan sijoittaa myös omalle rivilleen. Näin tehdään selvyyden vuoksi, jos kaava on pitkä tai muuten monimutkainen, kaavan korostamiseksi, jos se on erityisen tärkeä, tai kaavan numeroimiseksi siihen tehtäviä viittauksia varten. 4

Sana kaava on edellä käsitettävä laajemmin kuin sananmukaisesti: kyseessä voi olla selvästi rajattu matemaattinen ilmaisu, joka sisältää myös sanallista tekstiä. Tällainen kaava voi olla esimerkiksi: { 0, jos n on parillinen, H(n) = 1, jos n on pariton. Matemaattisessa esityksessä on monenlaisia kaavan näköisiä lausekkeita. Niitä kaikkia ei sovi kutsua kaavoiksi tai yhtälöiksi, vaan joukossa on myös esimerkiksi lausekkeita, määritelmiä, funktioita tai epäyhtälöitä. Mieti siis kunkin kaavan luonnetta ja käytä sopivaa termiä. Esimerkiksi yhtälössä täytyy olla ainakin yhtäsuuruusmerkki, ja usein yhtälöstä on myös tarkoitus ratkaista jotakin. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat lausekkeita. Symbolit Logiikan symboleja (esimerkiksi,, ) ei milloinkaan käytetä normaaleissa virkkeissä sanallisten ilmaisujen lyhenteinä. Eräät matemaattiset symbolit voidaan lukea lauseyhteyden mukaan monilla tavoilla; tämä tuo joustavuutta lauseiden muodostamiseen. Jokin matemaattinen kokonaisuus (esim. yhtälö) voi olla lauseessa objektina tai vaihtoehtoisesti rakenteellisena osana lausetta, jolloin lauseen predikaatti usein sisältyy johonkin matemaattiseen symboliin. Esimerkiksi yhtäsuuruusmerkki voi tarpeen mukaan joko sisältää tai olla sisältämättä lauseen predikaatin. Voidaan esimerkiksi kirjoittaa seuraavilla tavoilla: Tämän nojalla a = b. Tästä nähdään, että a = b. Näin ollen on voimassa yhtäsuuruus a = b. Tämän nojalla a on yhtä suuri kuin b. Väite a = b nähdään oikeaksi edellisestä yhtälöstä. Usein on harkinnanvaraista, ilmaistako jokin asia sanoin vai symbolein. Epävarmoissa tapauksissa on ajateltava ennen muuta sanonnan selkeyttä ja havainnollisuutta. Virke ei saa alkaa matemaattisella kaavalla, lausekkeella tai symbolilla; ei siis n-rivistä matriisia kerrottaessa on huomattava, että..., vaan esimerkiksi Kerrottaessa n-rivistä matriisia.... Uutta pykälää tai kappaletta ei koskaan aloiteta matemaattisella määritelmällä, lauseella tai kaavalla, vaan selittävällä tekstillä Sijapäätteiden liittämistä symboleihin on vältettävä. Niitä ei tarvitse käyttää, kun symbolin eteen kirjoittaa symbolia kuvaavan sanan. Ei siis kirjoiteta kun M i :t kerrotaan K:lla... vaan kirjoitetaan kun matriisit M i kerrotaan matriisilla K.... Yleensäkin lukijalle on helpompaa, jos symboleihin liitetään sopivia määresanoja; vertaa esimerkiksi seuraavia kahta virkettä: 5

Näin ollen P on f:ssa, jos sen projektio n:lla yhtyy N:ään. Näin ollen piste P on tasossa f, jos sen projektio suoralla n yhtyy pisteeseen N. Sijapäätteitä on kiusaus käyttää, koska englannissa käytetään prepositioita eikä kuvaavia sanoja välttämättä tarvita. Matemaattiset symbolit on tapana kursivoida. Kursivointia ei kuitenkaan käytetä vakiintuneista monikirjaimisista funktioiden nimistä, kuten trigonometrisistä tai logaritmifunktioista. Kun otat käyttöön omia merkintöjä, niin mieti kunkin merkinnän kohdalla tarkasti, onko merkintä helposti luettava, luonnollinen, lyhyt, looginen ja esteettisesti miellyttävä. Ota käyttöön vain todella tarpeelliset merkinnät. Ole merkinnöissä johdonmukainen: käytä samasta asiasta aina samaa merkintää, äläkä käytä eri asioista samaa merkintää. Todistukset Laadukkaassa matemaattisessa tekstissä esitetään matemaattisille väitteille aina myös todistukset ja luonnollisesti myös oletukset, joiden voimassa ollessa väite pitää paikkansa. Todistuksen pitää muodostaa looginen kokonaisuus, ja myös triviaalit tapaukset on syytä käsitellä. Esimerkiksi sanapari helposti nähdään soveltuu käytettäväksi vain niin yksinkertaisissa tilanteissa, että asia tulee yleensä selväksi ilman tätä sanapariakin. Todistuksen voi kuitenkin tarvittaessa korvata lähdeviitteellä: Lauseen todistus sivuutetaan tässä yhteydessä. Se on esitetty Apostolin kirjassa [4]. 7 Suomen kieli Tähän lukuun on koottu kieliopillisia asioita, joihin matematiikan ainetta ja tutkielmia tehtäessä kannattaa kiinnittää erityistä huomiota. Englannista suomeksi Kirjoita sujuvaa suomea, älä suomeksi väännettyä englantia! Usein suomen kielen lause muodostetaan aivan toisin kuin englannin kielen lause. Esimerkiksi However, if x is... ei ole Kuitenkin, jos x on... vaan Jos kuitenkin x on.... Englannin kielessä käytetään usein monikon ensimmäistä persoonaa ( From this we see that... ). Suomessa käytetään useimmiten passiivia ( Tästä nähdään, että... ). Genetiiviattribuutin ja pääsanan väliin ei yleensä pidä kirjoittaa sivulausetta. Virkettä The derivative of a function that is increasing is positive ei siis pidä kirjoittaa muotoon Funktion, joka on kasvava, derivaatta on positiivinen vaan esimerkiksi muotoon Kasvavan funktion derivaatta on positiivinen tai muotoon Jos funktio on kasvava, niin sen derivaatta on positiivinen. Englannin sana or on matemaattisessa tekstissä useimmiten eli (eikä tai ). 6

Kielestäsi tulee todennäköisesti paljon parempaa, jos et käännä, vaan mietit asiaa, kunnes ymmärrät sen, ja ilmaiset sitten asiasisällön omin sanoin (kuvittele myös selostavasi asiaa toverillesi). Matemaattisen kielen luontevuutta punnittaessa on hyvä ajatella normaalikielen analogisia sanontoja. Miksi kirjoittaisit on olemassa N siten, että a n < ε kaikilla n > N (suora väännös englannin ilmaisusta such that ), kun luontevampaa on sanoa on olemassa sellainen N, että a n < ε aina kun n > N. Ethän sanoisi tässä on aine siten, että tukka nousee pystyyn vaan tässä on sellainen aine, että tukka nousee pystyyn. Ilmaisun on olemassa sellainen x, jolle pätee f(x) = 0 tai..., jolle on voimassa f(x) = 0 sijasta voit käyttää vaikkapa ilmaisua..., jolla on ominaisuus... tai..., joka täyttää ehdon.... Yhdyssanat Yhdyssanat on kirjoitettava yhteen! Englannin kielen yhdyssanojen kirjoitussäännöt ovat erilaiset kuin suomen kielen. Sanaparit yhtä suuri ja eri suuri kirjoitetaan yleiskielessä erikseen. Esimerkiksi Cauchy sequence taas on suomeksi Cauchyn jono ja Gauss Seidel method on Gaussin ja Seidelin menetelmä (tai Gaussin Seidelin menetelmä tai Gauss Seidel-menetelmä). Jos nimiä on kolme tai useampia, niin käytetään yleensä ajatusviivoja: Davidon Fletcher Powell-menetelmä. Useimmiten ongelmia tuottavat juuri yllä kuvatun kaltaiset tilanteet, joissa suomenkielisessä tekstissä on käytettävä ajatusviivaa, joka on yhdysmerkkiä eli tavuviivaa pidempi vaakaviiva. Ajatusviiva erottaa esimerkiksi välin ääripäitä (40 50-vuotiaat) tai vuorovaikutuksen osapuolia (TPS HIFK-ottelu). Malli, joka kuvaa petoeläinten ja saaliseläinten vuorovaikutusta, on siis peto saalis-malli. Ajatusviiva tuotetaan L A TEX-ohjelmassa kirjoittamalla kaksi yhdysmerkkiä peräkkäin. Pilkut Virkkeet on pilkutettava! Englannin kielessä pilkutus on erilaista kuin suomen kielessä. Pilkut auttavat virkkeiden hahmottamisessa, mutta pilkulla voi myös olla virkkeen sisällölle jopa ratkaiseva merkitys. Suomen oikeakielisyyssääntöjen mukaan desimaalit erotetaan pilkulla. Pilkun käytön pääsääntö on, että virkkeen eri lauseet erotetaan toisistaan pilkuilla: pilkkua käytetään siis erottamaan peräkkäiset päälauseet tai peräkkäiset sivulauseet toisistaan ja erottamaan sivulause päälauseesta (tietysti molemmista päistä, jos sivulause on päälauseen tai päälauseiden keskellä). Säännöstä on poikkeuksia peräkkäisten päälauseiden ja peräkkäisten sivulauseiden kohdalla. Seuraavassa ovat pilkunkäytön kolme tärkeintä sääntöä: Päälause ja sivulause erotetaan toisistaan aina pilkulla. Peräkkäisiä sivulauseita ei eroteta pilkulla, jos niitä yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, eli, tai, vai, mutta, vaan, sillä, joko tai. 7

Peräkkäisiä päälauseita ei eroteta pilkulla, jos molemmat seuraavista kahdesta ehdosta ovat voimassa: 1. lauseita yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, -kä, eli, tai, vai, (mutta, vaan) 2. lauseilla on yhteinen lauseenjäsen tai molempien lauseiden predikaatit ovat samassa 1. tai 2. persoonan muodossa tai passiivissa. Esimerkkejä: Funktio on jatkuva ja lähestyy nollaa, kun... (yhteinen subjekti funktio). Oletuksen mukaan A ei ole voimassa vaan päädytään ehtoon B (yhteinen adverbiaali oletuksen mukaan ). Tarkastellaan lähemmin tapausta B ja otetaan käyttöön oletus d (passiivi kummassakin lauseessa). Jos tämä oletus on voimassa, niin funktio on jatkuva eikä sen derivaatallakaan ole epäjatkuvuuskohtia (yhteisenä adverbiaalina jos-lause). Lisäyksenä näihin kolmeen sääntöön voidaan mainita seuraavat tapaukset. Pilkkua ei välttämättä tarvita, jos peräkkäiset lauseet ovat lyhyitä. Esimerkki: Siitä että f on jatkuva, ei välttämättä seuraa.... Seuraavan tapaisen monisanaisen alistuskonjunktion eteen voi kirjoittaa pilkun: Funktio on jatkuva(,) silloin kun se on derivoituva, mutta pilkun voi jättää poiskin. Muita esimerkkejä: Nämä toimenpiteet kannattaa suorittaa ennen kuin iterointi aloitetaan, Iterointi lopetetaan niin pian kuin jompikumpi ehdoista tulee voimaan. Kuin-sanan eteen ei tule pilkkua, jos sillä ilmaistaan vertailua: Iterointi suppeni nopeammin kuin oletettiin. Peräkkäisten adjektiiviattribuuttien välissä käytetään pilkkua vain, jos attribuutit ovat todella samanarvoiset eli rinnasteiset. Tällöin niiden väliin voi usein ajatella ja-sanan: Tämä on paljon käytetty, varmatoiminen algoritmi, On olemassa toinenkin, nopeampi algoritmi ( toinenkin ja nopeampi määrittävät kumpikin sanaa algoritmi, ja paino on sanalla nopeampi ; nopeampia algoritmeja on ainakin yksi), vrt. On olemassa toinenkin nopeampi algoritmi ( toinenkin määrittää nopeampaa algoritmia, ja paino on sanalla toinenkin ; nopeampia algoritmeja on ainakin kaksi). Koska pilkkua vastaa puheessa lyhyt tauko, niin epävarmoissa pilkutustapauksissa kannattaa tarkkailla, miltä kyseinen kohta kuulostaisi puhuttuna. Muuta huomattavaa Jos-sanan parina kannattaa usein käyttää niin-sanaa. Tarkastellaan virkettä jos x < a, niin f(x) > c ja g(x) > c. Jos siitä jättää pois niin-sanan, niin virkkeen ymmärtäminen vaikeutuu: jos x < a, f(x) > c ja g(x) > c. Ensin tekstistä saa vaikutelman, että myös f(x) > c ja g(x) > c ovat oletuksia, mutta kun piste tulee vastaan, niin huomaa, että f(x) > c ja g(x) > c olivatkin seurauksia. Jos ymmärtäminen ei vaikeudu, voit jättää niin-sanan pois. 8

Huomaa, että seuraavista esimerkkilauseista ensimmäisessä ei käytetä kaksoispistettä, mutta toisessa käytetään: Todistuksessa nojaudutaan yhtälöön (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Todistuksessa nojaudutaan seuraavaan yhtälöön: (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Edellinen ilmaisu on yleensä parempi; vältä turhaa seuraava-sanan käyttöä. Kaksoispistettä tarvitaan lähinnä tilanteissa, joissa halutaan yhdellä kaavarivillä esittää useamman yhtäsuuruuden kokonaisuus: Muuttujan x arvo voidaan laskea seuraavasti: x = f(x) g(x) = 2x2 3x = 2 0, 667. 2 3 Yhtälöiden välisiä ekvivalensseja ei kuitenkaan koskaan esitetä tällaisia rakenteina, vaan yhtälöiden väliset ekvivalenssit tuodaan esiin selittävällä välitekstillä, kuten Tämän perusteella saadaan yhtälö..., Täten...,..., mistä nähdään, että... tai esimerkiksi Näin on johdettu tulos.... Jos tunnet itsesi epävarmaksi kielenkäyttäjäksi, pyri lyhyisiin virkkeisiin. Esityksen sujuvuus voi tästä kärsiä, mutta se on selvyyden rinnalla toisarvoista. Suomenkielisestä matematiikan perusterminologiasta, joka on vakiintunut mm. luentokursseilla, on syytä pitää kiinni. Esimerkiksi object function on kohdefunktio ja linear programming on lineaarinen optimointi. Sanan nondecreasing sananmukaista käännöstä ei-vähenevä voidaan pitää kankeana ilmauksena; parempi on kasvava. Ilmaus strictly non-decreasing olisi vastaavasti aidosti kasvava. Jos vastaan tulee uusia käsitteitä, niiden suomentamisesta voi neuvotella ohjaajan kanssa. Sanojen lyhenteitä (esimerkiksi ody, Newtonin men., Esim., Määr., Tod.) ei yleensä pidä käyttää. Voidaan kuitenkin kirjoittaa esimerkiksi pns-menetelmä sen jälkeen, kun on ensin esitelty täydellinen nimi ja siitä käytettävä lyhenne: Pienimmän neliösumman menetelmä (pns-menetelmä) on.... 8 Viittaustekniikat Lähdeteoksiin viittaaminen Kaikki työssä käytetyt lähteet on mainittava. Kuhunkin lähteeseen viitataan työn siinä kohdassa, jossa tätä lähdettä on käytetty. Kaikki lähteet kerätään työn loppuun kirjallisuusluetteloksi, vaikka lähteitä olisi vain yksikin. Kirjallisuusluettelo ei ole vain luettelo aiheeseen liittyvää kirjallisuutta, vaan jokaiseen luettelon lähteeseen on tekstissä viitattava ainakin kerran. Lähteiden käyttö voidaan esitellä tapauskohtaisesti: Lauseen todistus on esitetty kirjassa.... Jos yksittäistä lausetta laajempi kokonaisuus perustuu tiettyyn 9

lähteeseen, voidaan lähteiden käyttöä esitellä myös johdannossa tai kunkin luvun alussa, esimerkiksi: Tässä luvussa todistetaan Hahnin ja Banachin lause mukaillen Rudinin kirjan [3] esitystapaa. Johdannossa tai kunkin luvun alussa on tuotava esiin myös itsenäisen työn osuus. Kirjaan viitattaessa on kirjallisuusluettelossa mainittava kirjan kirjoittajat, kirjan nimi, kustantaja, painopaikka ja -vuosi. Tieteelliseen artikkeliin viitattaessa on mainittava artikkelin kirjoittajat, artikkelin nimi, julkaisuvuosi, lehden nimi ja volyymi sekä sivut, joilla juuri kyseinen artikkeli on. Internet-lähteeseen viitattaessa on mainittava ainakin sivuston otsikko, mahdolliset kirjoittajien nimet, osoite, sekä päivämäärä, jolloin sivu on luettu. Internetlähteitä käytettäessä on tarkoin harkittava, missä tilanteessa erilaisia lähteitä on soveliasta käyttää tieteellisen tekstin lähteenä. Esimerkiksi yliopistollisen tutkimusryhmän tai Tilastokeskuksen www-sivut sopivat tietolähteeksi useimmiten, mutta Vauva-lehden keskustelupalsta ei sovi juuri koskaan. Hankala rajatapaus on Wikipedia, joka on näppärä työkalu uusiin asioihin tutustumisessa, mutta joka vapaan muokattavuutensa ei ole luotettava tai muuttumaton tietolähde. Wikipedian käyttöä lähteenä tulisi siis pyrkiä välttämään. Wikipedian artikkeleissa on kuitenkin usein hyvät lähdeviitteet, joiden avulla on mahdollista päästä tiedon alkulähteille ja löytää luotettavampia lähteitä tutkielmassa käytettäväksi. Viitauksiin käytettävän tekniikan sekä kirjallisuusluettelon ulkoasun voi valita vapaasti, kunhan ne ovat yksiselitteisiä, johdonmukaisia ja helppolukuisia. Yleensä on helpointa käyttää L A TEX-ohjelman valmiita työkaluja. Kuvat, taulukot ja matemaattiset rakenteet Matemaattiset kaavat ovat aina osa normaalia tekstiä ja yhdistyvät normaalin tekstin virkkeiden lauserakenteeseen. Täten varsinainen viittaaminen kaavoihin on tarpeen ainoastaan silloin, kun halutaan käyttää uudelleen aiemmin tekstissä esiintynyttä kaavaa. Näissä tilanteissa kaava sijoitetaan omalle kaavarivilleen ja numeroidaan viittausta varten. Kaavaan viitattaessa on tapana kirjoittaa kaavan numero kaarisulkeisiin: Kuten epäyhtälöstä (5) nähdään.... Kaavarivien numerointiin ja kaavoihin viittaamiseen kannattaa käyttää L A TEX-ohjelman automaattisia työkaluja. Tärkeimmät matemaattiset tulokset muotoillaan usein lauseiksi tai apulauseiksi eli lemmoiksi, jotka numeroidaan viittauksia varten. Niihin viitattaessa ei lauseen tai lemman numeroa laiteta sulkeisiin erotuksena numeroituihin kaavariveihin viittaamisesta. Lause 3 tai kuva 7 eivät ole erisnimiä, eikä niitä siis kirjoiteta isolla alkukirjaimella muulloin kuin virkkeen alussa. Samat ohjeet koskevat numeroituihin esimerkkeihin viittaamista. Nämäkin muotoilut ja viittaukset onnistuvat L A TEX-ohjelman automaattisilla työkaluilla. Viittaukset kuviin eivät koskaan perustu kuvan asemointiin tekstissä ( Vasemmalla olevasta kuvasta nähdään... ), vaan kuvan alle tulee kuvateksti, joka alkaa esimerkiksi Kuva 3. Funktion f kuvaaja.... Varsinaisesssa tekstissä kuvaan viitataan numeron avulla ( Kuten kuvasta 3 nähdään... ). Kuvatekstissä on kerrottava 10

kuvan sisällöstä niin laajasti, että kuvan sisällöstä voi saada yleiskuvan lukematta varsinaista tekstiä. Lisäksi voidaan listata yksityiskohtia, kuten parametriarvoja, jotka sivuutetaan varsinaisessa tekstissä. Näin toimittaessa hoituu kuvien ladonta tekstin joukkoon helposti, sillä se tapahtuu kokonaan L A TEX-ohjelman automaattisten työkalujen avulla. Täysin vastaavaan tapaan toimitaan taulukoiden kanssa. Mikäli taulukko on niin suuri, ettei se sovi normaalille tekstisivulle, on useimmiten paras vaihtoehto sijoittaa taulukko työn loppuun erilliseksi liitteeksi, jolloin siihen voidaan viitata esimerkiksi seuraavasti: Liitteen A taulukosta havaitaan, että.... Liitteen alussa on luonnollisesti myös kuvattava sen sisältämää taulukkoa riittävästi, jotta taulukon sisällöstä voi saada yleiskuvan myös varsinaista tekstiä lukematta. 9 Havainnollisten kuvien laatiminen Matematiikassa ja tilastotieteessä informaatiota voidaan välittää usein tekstin, kaavojen ja taulukoiden lisäksi käyttämällä hyödyksi kuvia ja diagrammeja. Usein paras keino välittää informaatiota on käyttää kaikkia menetelmiä toisiaan tukien. Kuvan tarkoituksena on esittää data, menetelmä tai analyysin tulokset helposti omaksuttavassa muodossa siten, että informaatio välittyy ilman lisäselvitystä työn tekstiosiosta. Grafiikka ei kuitenkaan saa jäädä tieteellisessä työssä irralliseksi objektiksi vaan jokaiseen kuvaan täytyy viitata tekstiosiossa. Jokaiseen kuvaan tulee myös kirjoittaa kuvateksti, jossa selitetään mitä kuvaan on piirretty. Hyvien kuvien laatiminen on usein hyvin hidasta, mutta niihin kannattaa panostaa, sillä kuvien avulla keskeinen informaatio välittyy nopeasti ja usein juuri graafinen esitys jää lukijalle hyvin mieleen. Mieti etukäteen mitä informaatiota haluat välittää kuvan avulla. Jokaisen kuvan osan täytyy olla oleellinen, joten piirrä se mahdollisimman yksinkertaiseksi. Turhat objektit kuvassa vievät pois huomiota kuvan pääkohdista. Kiinnitä huomiota kuvasi akseleihin ja niiden skaaloihin. Mieti saisitko ilmaistua haluamasi tulokset paremmin käyttäen jollakin muulla skaalalla kuten esimerkiksi logaritmisella asteikolla tai yksinkertaisesti piirtämällä kuvasta ainoastaan pienen osan. Nykyisin kuvien piirtäminen on nopeampaa kuin aiemmin, sillä kuvat laaditaan usein käyttäen hyväksi tieteellisen laskennan ohjelmistoja kuten R:ää tai MATLABia. Ohjelmistojen piirtofunktioiden oletusasetukset eivät kuitenkaan välttämättä tuota parhaita mahdollisia kuvia haluamasi informaation välittämiseen. Kannattaakin tutustua käyttämäsi ohjelmiston grafiikan tuottamisen työkaluihin. Lähes jokaisessa ohjelmassa pääset muokkaamaan ohjelman tuottamia kuvia omia tarpeitasi varten. Usein informaatiota esitetään erilaisin symbolein tai käyrin. Kiinnitä huomiota näiden kokoihin, tyyppeihin ja väreihin. Värien hyödyntäminen informaation välityksessä kuvassa on usein suotavaa, mutta erityisesti opinnäytetöissä kuvan tulee toimia myös mustavalkotulosteena. Kuvasta täytyy käydä ilmi mitä kuvan objektit tarkoittavat. Usein eri menetelmien antamia tuloksia vertaillaan piirtämällä tulokset erilaisina objekteina samaan kuvaan. Kuvasta tai kuvan selitteestä (eng. legend) täytyy käydä ilmi mikä objekti 11

vastaa mitäkin menetelmää. Kun kirjoitat kuvaan tekstiä, nimeät kuvan akseleita tai lisäät kuvaan selitteen, niin kiinnitä huomiota käyttämiisi fontteihin. Suurenna tai pienennä fontteja tarvittaessa ottaen huomioon miltä kuva tulee näyttämään osana tekstiä. Yritä mahdollisuuksien mukaan kirjoittaa kuvan tekstit vaakatasoon, jolloin niiden lukeminen on helpompaa. Erityisesti tieteellisen laskennan ohjelmistot oletusarvoisesti kirjoittavat pystysuoran akselin otsikon pystysuoraan, mutta tämä voidaan lähes aina muuttaa vaakasuoraksi piirtoasetusten avulla. Liittäessäsi kuvan osaksi tieteellistä tekstiä, ota kuvallisista sivuista tulosteet jolloin näet miten kuva toimii tulostettuna, ja pitäisikö kuvan kokoa muuttaa. Tarkasta myös, että kuvissa käytetyt kirjasinkoot ovat niin suuria, että kuviin kuuluvat symbolit ja tekstit ovat helposti luettavissa myös tulostetusta kuvasta. Käytännössä kuvien kirjasinkoko kannattaa pyrkiä säätämään samaksi kuin tavallisen tekstin kirjasinkoko. Kuvan koon tulee olla suhteessa kuvan välittämään informaatioon. Jos pienemmällä kuvalla saisit välitettyä selkeästi haluamasi viestin, niin pienennä kuvaa. Muista lopuksi tarkastaa, että piirtämäsi kuva todella tukee tekemiäsi johtopäätöksiä. 10 Käytännön vinkkejä työn helpottamiseksi Käytä L A TEX-ohjelmaa. Ensimmäisten sivujen kirjoittaminen on vaativaa, mutta kun ohjelman käytön oppii, työ käy helposti eikä ikäviä yllätyksiä juurikaan tule. Aloita työskentely hakemalla L A TEX-ohjelmaan valmis ainepohja laitoksen www-sivuilta. Tästä dokumentista voit kopioida omaan käyttöösi useimmat tarvitsemasi L A TEX-rakenteet. Hyödynnä muutenkin laitoksen L A TEX-sivuja työssäsi. Työskennellessäsi suorita lähdekoodin L A TEX-käännös mahdollisimman usein. Lähdekoodissa oleva yksittäinen virhe voidaan yleensä löytää ja korjata virheilmoitusten perusteella helposti, mutta useamman virheen samanaikainen paikallistaminen on huomattavasti vaativampaa. Korjaa lähdekoodin virheet aina välittömästi virheilmoituksen saatuasi, vaikka esikatseltava tiedosto näyttäisikin oikealta. Opettele käyttämään L A TEX-ohjelman automaattisia ladonta-, numerointi- ja viittaustyökaluja. Tähän opetteluun käytetyn ajan saat moninkertaisena takaisin työn edetessä. Myös laitoksen ainepohjassa on esimerkkejä tärkeimpien työkalujen käytöstä. Muista, että ohjaajasi ei suinkaan oleta sinun osaavan kirjoittaa täydellistä matemaattista tekstiä heti työn aloittessasi, vaan tämän taidon oppiminen on yksi kirjallisten töiden tärkeimmistä tavoitteista. Ohjaajasi ei toimi pelkästään valmiin työn tarkastajana, vaan hänen tehtävänään on olla opastajasi tämän oppimisprosessin aikana. Hyödynnä siis ohjaajaasi, ja kysy rohkeasti asioista, jotka eivät tunnu omalla pohtimisella selviävän. 12