1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan yksinkertaisesti laskutoimitusten suorittamista tehtyjen sopimusten mukaisessa järjestyksessä. Jos olet mansikkamaalla työssä 54 tuntia ja palkaksesi on sovittu 9 /h, niin palkkasi laskeminen on erään lausekkeen sievennys. Sievennys ei kuitenkaan ole pelkkää kertolaskua. Kun on määrätty sievennettäväksi lauseke, joka sisältää neljää peruslaskutoimitusta sekä kertolaskun erikoistapausta, potenssiin-korotusta, niin on voimassa SOPIMUS: kaikkein ensimmäiseksi suoritetaan potenssiinkorotukset, sitten järjestyksessään keskenään samanarvoisina kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle ja lopuksi keskenään samanarvoisina yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. POIKKEUS: käyttämällä sulkeita voidaan sovittua järjestystä muuttaa siten, että sulkeiden sisäinen tavara sievennetään kaikkein ensimmäiseksi. Lausekkeen sieventämisessä on erityisesti varottava sitä, ettei poista siitä nimittäjää, ellei se supistumalla poistu. Lauseketta ei siis saa kertoa nimittäjällään, vaikka yhtälön ratkaisuprosessissa kummankin puolen kertominen samalla luvulla on erittäin keskeinen sievennystoimenpide. Lauseke ei nimittäin ole enää samanarvoinen, jos sen ykkösestä eroavalla luvulla kertoo. Yhtälön totuusarvohan taas ei muutu miksikään, jos sen puolittain nollasta eroavalla luvulla kertoo. 2 Esim. 1 Antti on velkaa Lauralle. Velan esitysmuoto on hyvin epämukava, joten poistetaan nimittäjä kertomalla kolmosella. Tämän toimenpiteen jälkeen Antti onkin Lauralle velkaa 2. Yksinkertaista! Lauseketta saa kylläkin laventaa ja supistaa. Lavennettaessa lausekkeen sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla ( 0), supistettaessa molemmat taas jaetaan samalla luvulla. Kumpikin toimitus voidaan ilmaista lyhyesti yhtenä kaavana seuraavasti: a b = ka kb
Kaavassa vasemmalta oikealle lavennetaan ja oikealta vasemmalle supistetaan. Lausekkeen sievennys etenee välimuodosta toiseen yhtäsuuruusmerkkejä käyttäen, eikä jokaista välimuotoa suinkaan tarvitse kirjoittaa omalle rivilleen kuten yhtälöiden sievennyksissä on tapana syystä, joka selvitetään opintojen myöhemmässä vaiheessa. Esim. 2 4 (x ) 4 x x = 12 x 7 x 12 7 = x 5 = x Yhtälö käsitteenä tarkoittaa, että kahden lausekkeen välissä on yhtäsuuruusmerkki. Yhtälöön aina kuuluvan yhtäsuuruusmerkin edellä oleva lauseke on yhtälön vasen puoli ja jäljessä tuleva taas yhtälön oikea puoli. Sellaisia yhtälöitä kuten m(a + b) = ma + mb, jotka siis ovat voimassa riippumatta siitä, mitä lukuarvoja niissä esiintyvät kirjaimet saavat, sanotaan identtisiksi. Yhtälö on kuitenkin yleensä ehdollinen, esim. 2x + 6 = 18. Tällainen yhtälö ei ole siis tosi millä x:n reaaliarvolla tahansa. Jos x = 6, yhtälö toteutuu eli on tosi, muutoin epätosi. Tätä yhtälön toteuttavaa x:n arvoa sanotaan yhtälön juureksi. Yhtälön toteuttavan luvun etsimistä ja löytämään onnistumista sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi. Kahta (ehdollista) yhtälöä sanotaan yhtäpitäviksi (ekvivalenteiksi), jos niillä kummallakin on täsmälleen samat juuret. Yhtälön ratkaisuprosessissa yhtälöä joudutaan yleensä sieventämään. Näissä yhteyksissä sieventäminen voi osittain tarkoittaa samaa kuin lausekkeiden yhteydessä (=suoritetaan merkittyjä laskutoimituksia), mutta yleensä yhtälön sieventäminen on sitä, että alkuperäisestä, ehkä hyvinkin monimutkaisesta yhtälöstä johdetaan yhä yksinkertaisempia, kuitenkin alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitäviä yhtälöitä. Näillä sievennystoimenpiteillä pyritään pääsemään yhtälön normaalimuotoon, mikä polynomiyhtälöiden yhteydessä tarkoittaa sitä, että yhtälön vasemmaksi puoleksi sievenee muuttujan astelukua n oleva polynomi, ja oikeaksi puoleksi tulee nolla. Tämä n, siis muuttujan (tuntemattoman) korkeimman potenssin ilmaiseva eksponentti määrää samalla yhtälön asteen tai asteluvun.
Tässä kurssissa vastaantulevat yhtälöt ovat yleensä poikkeuksetta ensimmäistä astetta, ja niiden normaalimuoto edelläolevan selvityksen mukaan siten muotoa ax + b = 0, joskin ensiasteen yhtälö normaalimuodossaan tavallisesti esitetään niin, että tuntematonta sisältävä tavara on toisella ja vakiotavara taas toisella puolella yhtäsuuruusmerkkiä, siis ax = b, missä a ja b ovat useimmiten lukuja (helppo tapaus), mutta joskus yleisiä vakioita sisältäviä kirjainlausekkeita (vaikea tapaus). Yhtälön sieventäminen teoreettiselta taustaltaan perustuu kohta esitettävään lauseeseen, jonka oikeellisuutta voidaan perustella seuraavin käytännön esimerkein: Esim. Jos Markus ja Jani käyvät puntarissa ja se näyttää kummankin alla samaa lukemaa, sanotaan, että heidän massansa ovat yhtä suuret. Jos heidät punnitaan uudelleen niin, että kumpikin ottaa kumpaankin käteensä täyden litranvetoisen juomapullon, vaaka näyttää kummallekin suurempaa lukemaa, mutta nämä punnitustulokset ovat kuitenkin keskenään yhtä suuret. Jos Henri ja Jani ovat yhtä pitkät, ja heistä otetaan valokuva heidän seistessään vierekkäin tasaisella alustalla, he ovat kuvassakin yhtä pitkät. Siirtyminen todellisuudesta valokuvaan merkitsee mittauskohteiden pienentämistä. Kääntäen, jos kaksi taloa on piirretty samaa mittakaavaa käyttäen, ja kummankin talon leveys on piirustuksissa sama, niin myös valmiit talot ovat yhtä leveät. Niinpä on helppoa uskoa todeksi *********************************************************************** LAUSE 1: Annetun yhtälön kanssa ekvivalentti (yhtä pitävä) yhtälö saadaan, jos
1o yhtälön kummallekin puolelle lisätään (vähennetään) sama luku 2o yhtälön kumpikin puoli kerrotaan tai jaetaan samalla NOL- LASTA EROAVALLA luvulla. *********************************************************************** Esitetyn lauseen avulla voidaan todistaa lähes jokaisen yhtälön ratkaisuprosessissa suoritettavan toimenpiteen oikeellisuus ****************************************************************** LAUSE 2: Yhtälössä voidaan termi siirtää puolelta toiselle, jos samalla muutetaan sen merkki. Tod.: a = b lisätään kummallekin puolelle b a + ( b) = b + ( b) a b = 0 ****************************************************************** Esim. 4 x2 + 2x 5 = 7 + x2 Termi x2 häipyy, kun puolittain lisätään ( x2) 2x 5 = 7 Siirretään 5 oikealle, merkki muuttuu 2x = 7 + 5 Sievennetään oikea puoli 2x = 12 Jaetaan kumpikin puoli kakkosella 2 x 12 = 2 2 x = 6 Koska suoritetut sieventämistoimenpiteet olivat luvallisia, lauseiden 1.1 ja 1.2 sallimia, kaikilla matkan varrella esiintyneillä yhtälöillä on samat juuret. Viimeksi kirjoitettu yhtälö ilmaisee suoraan, että alkuperäisen yhtälön ainoa juuri on 6.
Koska kuitenkin on mahdollista, että on tehty huolimattomuus- tai laskuvirhe, on syytä aina tarkistaa, että saatu juuri toteuttaa ALKUPERÄISEN yhtälön. Tarkistus: Vasen puoli: 5 62 + 2 6 5 = 187 Oikea puoli 7 + 5 62 = 187 Tarkistus vahvistaa, että saatu ratkaisu x = 6 todellakin toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Kun tehtävänäsi on ratkaista yhtälö, niin pyri AINA saattamaan se normaalimuotoon tarkoituksenmukaisin sievennystoimenpitein. Näitä ovat 1o NIMITTÄJIEN POISTAMINEN: yhtälön molemmat puolet = kummankin puolen JOKAINEN termi kerrotaan sellaisella luvulla (nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla), ettei tätä seuraavain supistamisten jälkeen nimittäjiä enää esiinny. 2o SULKEIDEN POISTAMINEN tarkoittaa yksinkertaisesti kummallakin puolella yhtälöä esiintyvien lausekkeiden sieventämistä. o TERMIEN SIIRTÄMINEN. Usein tuntematonta sisältävät termit siirretään vasemmalle ja muut oikealle puolelle, joskus kaikki termit samalle puolelle, joskus juurilauseke toiselle ja juuria sisältämättömät toiselle jne. yhtälötyypistä riippuen. 4o SAMANMUOTOISTEN TERMIEN YHDISTÄMINEN yhteenlasku). (vrt. polynomien Jos yhtälö on ensimmäistä astetta, sen tulisi näiden toimenpiteiden jälkeen olla muodossa ax = b, josta saadaan x ratkaistuksi: mikäli vain toteutuu ehto a 0. x = a b,
Kun Sinä saat normaalimuotoiseksi yhtälöksi esimerkiksi 2x = 6, ei sen sieventämisessä ole ongelmia. Kakkosellahan voi jakaa, ja kaikki tietävät, ettei kakkonen ole nolla. Mutta voi sattua, että kun tästä hetkestä kuluu aikaa, ja saat yhtälön normaali-muotoon ax = a2 + a, niin siitä vain a:lla jakamaan, ja ilo on suuri, kun tulee vastaukseksi x = a 2 + a = a 1 a +. Sitten kokeenpalautuspäivänä onkin naama nolo, kun ei tule 6p. Miksei tule 6p?? On päässyt unohtumaan sellainen tehty sopimus, että kun luvun merkkinä joskus käytetään kirjainta, niin periaatteessa tämän kirjaimen paikalle on voitava sijoittaa mikä reaaliluku tahansa, ellei erikseen ole muuta sovittu. Yhtälössä ax = a2 + a tietysti ole mitään ongelmia, jos a:n paikalle sijoitetaan jokin nollasta eroava reaaliluku, mutta kun täytyy voida sijoittaa myös nolla. Tällöin saadaan tämä nyt normaalimuodossaan annettu alkuperäinen yhtälö sievenemään muotoon 0 x = 02 + 0 eli 0 x = 0, josta saadaan yllättäen x = 0/0 = 11. Heh heh. Tuli 11!!! Osamäärän määritelmän nojalla 11 0 = 0. x x 2 Esim. 5 Ratkaise yhtälö = 2. 5 Tässä ensimmäinen toimenpide on nimittäjien poistaminen. Sitä varten yhtälön kumpikin puoli kerrotaan nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla eli luvulla 15 (tai yleensä luvulla, jonka tekijöistä jokainen nimittäjä löytyy, ainakin nimittäjien tulo on sellainen). Kun sanotaan, että yhtälön kumpikin puoli kerrotaan luvulla 15, se tarkoittaa, että kummallakin puolella jokainen termi kerrotaan tällä luvulla. On myös syytä muistaa sellainen tosiasia, että murtoluku kerro-taan kokonaisluvulla niin, että sen osoittaja kerrotaan tällä luvulla ja ennen kertomista supistetaan, mikäli voidaan. Merkitään siis seuraa-vaan, sievennettyyn (?) yhtälöön jokainen termi kerrotuksi luvulla 15: 15x 5 15(x 2) = 2 15 Kun suoritetaan mahdolliset supistamiset, saadaan
x 5( x 2) = 0 x 5x + 10 = 0 x 5x = 0 10 2x = 20 2x 20 = 2 2 x = 10 nyt x : t sulut auki vasemmalle, muut oikealle yhdistellään samanmuotoiset termit jaetaan molemmat puolet luvulla 2 10 10 2 12 Tarkistus: vp: = 2 ( ) = 2 + 4 = 2 = op. 5 op: 2 Saatu juuri todellakin toteuttaa yhtälön!! Huom.: Myöhemmin saattaa selvitä syy, miksi tarkistuksen yhteydessä on syytä sijoittaa saatu juuri alkuperäiseen yhtälöön erikseen oikealle ja erikseen vasemmalle. Esim. 6 5(4x 1) (x 2) (4x ) = 2 8 2 ensin pois uloimmat kaarisulut 5(4x 1) (x 2) 4x + = 2 8 2 pois nimittäjät, kerrotaan luvulla 8 8 5(4x 1) 8 (x 2) 8 4x + = 8 2 8 2 supistetaan 5(4x 1) 2x + 12(x 2) = 16 sulut auki 20x 5 2x + 12x 24 = 16 termien siirto 20x 2x + 12x = 16 + 5 + 24 samanmuot. termien yhdistäminen 0 x = 45 Tätä yhtälöä ei toteuta mikään luku, sillä ei löydy sellaista reaalilukua, joka nollalla kerrottuna antaisi tulokseksi luvun 45.
Vastaus: Ei ratkaisua. Ensimmäisen asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on siis ax = b, ja on jo nähty, että voi esiintyä ainakin kaksi erilaista tapausta. Yhtälöllä voi olla täsmälleen yksi ratkaisu, taikka yhtälöllä ei ole ratkaisua ollenkaan. Kolmaskin tapaus (esiintyi alustavasti sivulla 7) on sellainen, missä ratkaisuja on äärettömän monta eli yhtälö on identtinen. Tämä ilmenee siten, että sievennys päättyy muotoon 0 x = 0 Näihin eri lopputuloksiin vaikuttavat ratkaisevasti kertoimien a ja b arvot, erikoisen tärkeä on muuttujan kerroin a. 1o Jos vakio a 0, yhtälöllä ax = b on aina täsmälleen yksi ratkaisu! Totisesti ei ole aina helppoa huomata, onko a nollasta eroava, jos se ei ole luku. 2o Jos vakio a = 0 ja vakio b 0, yhtälöllä ax = b eli 0 x = b ei ole juurta. o Jos a = b = 0, yhtälö ax = b eli yhtälö 0 x = 0 on identtisesti tosi Huomautetaan varmuuden vuoksi kerran vielä, että on syytä olla varuillaan, mikäli a ei ole numero! Vaan annapas olla ja mitenkäs käy, jos yhtälössä esiintyy myös kirjainkertoimia. Tätä asiaa ei yleensä koskaan korosteta tarpeeksi.
Esim. 7 a(x + 1) = a 2x. Aluksi pitäisi poistaa nimittäjä, kerrotaan yhtälö puolittain kolmosella. Supistamisen jälkeen poistetaan sulut: a(x + 1) = (a 2x) ax + a = a 6x siirretään termit ax + 6x = a a x(a + 6) = 2a yhdistetään samanmuotoiset termit Nyt ollaan normaalimuodossa ja yhtälö voidaan jakaa x:n kertoimella, jos se on nollasta eroava. On siis kysyttävä, milloin a + 6 = 0 ja milloin ei ole. Viimeksi kirjoitetussa virkkeessä meillä on yhtälö, joka kertoo, että a + 6 = 0, kun a = 6. Erotetaan nyt kaksi tapausta sen mukaan, onko a = 6 vai ei. Jos a = 6, yhtälön normaalimuoto sievenee yhtälöksi 0 x = 12, millä ei ole ratkaisua. Vastaus: 2a x =, kun a + 6 ei juurta, kun a 6 a = 6