Digitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 1 (22) Lausekkeiden sieventäminen F C F = B + A C. Espresso F = A (A + B) = A A + A B = A B
|
|
|
- Anton Hovinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e = + = ( + ) = + = Espresso
2 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Johdanto Tässä luvussa esitetään perusteet lausekemuodossa esitettyjen kytkentäfunktioiden sieventämiselle esitetään Karnaugh n karttamenetelmä, jolla lausekkeita sievennetään mahdollisimman pienellä porttipiirimäärällä toteutettaviksi käydään läpi kaksi esimerkkiä Karnaugh'n kartan käytöstä funktion mahdollisimman yksinkertaisen SOP-muotoisen lausekkeen etsimiseen etsitään samojen funktioiden mahdollisimman yksinkertaiset POSmuotoiset lausekkeet Karnaugh'n karttamenetelmällä esitetään epätäydellisesti määritellyt kytkentäfunktiot ja niiden sieventäminen Karnaugh'n karttamenetelmällä Luku on melko teoreettinen, mutta oppimiseen käytetään käytännön esimerkkejä Luvussa esitettäviä käsitteitä ja menettelyjä sovelletaan jatkossa, kun suunnitellaan käytännön digitaalipiirejä
3 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 3 (22).9.2 e Pyritään piirin koon, hinnan ja tehonkulutuksen minimointiin mahdollisimman pieni määrä portteja mahdollisimman yksinkertaisia portteja vähän tuloja yksinkertainen sisäinen rakenne Mitä yksinkertaisempi lauseke, sitä pienempi piiri Kytkentäfunktion lauseke sievennetään (simplify, optimize) mahdollisimman yksinkertaiseen SOP- tai POS-muotoon Kytkentäalgebran teoreemat (jos kaksi muuttujaa) esimerkki: = ( + ) = + = + = Karnaugh n karttamenetelmä (jos 3-6 muuttujaa) Tietokoneella erikseen tehtävä sievennys Quinen-Mcluskeyn menetelmä Espresso-menetelmä Suunnittelutyökaluihin sisältyvät sievennys- ja sovitusalgoritmit = +
4 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 4 (22).9.2 e Lausekkeen sieventäminen SOP-muotoon Jokainen SOP-lausekkeen tulotermi antaa funktiolle arvon yhdellä tai usealla (2 n ) muuttujien arvoyhdistelmällä sanotaan, että tulotermi peittää (cover) tietyn määrän funktion ykkösiä mitä vähemmän muuttujia tulotermissä on, sitä useampia ykkösiä se peittää Lausekkeen tulotermien tulee peittää funktion kaikki ykköset ja vain ne Mahdollisimman yksinkertaisessa SOP-lausekkeessa on mahdollisimman vähän tulotermejä ja ne ovat mahdollisimman yksinkertaisia Sievennyksen tehtävänä on löytää tällainen lauseke eli funktion SOP-minimipeitto Esimerkki: (,, ) = + Usea tulotermi saa peittää saman ykkösen
5 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 5 (22).9.2 e Lausekkeen sieventäminen POS-muotoon Jokainen POS-lausekkeen summatermi antaa funktiolle arvon yhdellä tai usealla (2 n ) muuttujien arvoyhdistelmällä sanotaan, että summatermi peittää tietyn määrän funktion nollia mitä vähemmän muuttujia summatermissä on, sitä useampia nollia se peittää Lausekkeen summatermien tulee peittää funktion kaikki nollat ja vain ne Mahdollisimman yksinkertaisessa POS-lausekkeessa on mahdollisimman vähän summatermejä ja ne ovat mahdollisimman yksinkertaisia Sievennyksen tehtävänä on löytää tällainen lauseke eli funktion POS-minimipeitto Esimerkki: (,, ) = ( + ) ( + ) Usea summatermi saa peittää saman nollan
6 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 6 (22).9.2 e Karnaugh'n karttamenetelmä Manuaalinen sievennysmenetelmä K-MP Soveltuu 3-6:lle muuttujalle Helppo 3-4:lle muuttujalle Perustuu kytkentäfunktion totuustaulun piirtämiseen muotoon, jossa voidaan visuaalisesti soveltaa kytkentäalgebran teoreemaa K (,, ) + K (,, ) = (K + K) (,, ) = (,, ) jopa useita kertoja yhtä aikaa ja löytää näin funktion SOP-minimipeitto Esimerkki: G = + + = ( + ) + = + unktion POS-minimipeitto löydetään vastaavasti soveltamalla visuaalisesti teoreemaa (K + (,, )) (K + (,, )) = (K K) + (,, ) = (,, ) Karnaugh n kartta on myös hyödyllinen kytkentäfunktioiden sievennyksen ja digitaalitekniikan käsitteiden ymmärtämisen apuväline
7 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 7 (22).9.2 e Karnaugh'n kartta Karnaugh'n kartan (Karnaugh map) kukin ruutu vastaa yhtä totuustaulun riviä Ruutujen lukumäärä vastaa rivien lukumäärää K-MP Muuttujia Ruutuja x x 6 Kuhunkin ruutuun merkitään sitä vastaavalla totuustaulun rivillä oleva funktion arvo Kartassa yhden muuttujan suhteen erilaisia rivejä vastaavat ruudut ovat vierekkäin Vierekkäisyys tulkitaan siten, että reunimmaiset ruudut ovat myös keskenään vierekkäisiä
8 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 8 (22).9.2 e Kolmen muuttujan Karnaugh n kartta Kolmen muuttujan kartta esitettynä kaikkine merkintöineen 3 Nimet (,,,) :n ykkösalue Vierekkäiset rivit :n ykkösalue Totuustaulun rivin numero unktion arvot totuustaulusta (sivu 4) :n ykkösalue Piirretään yleensä yksinkertaistettuna: U-sääntö
9 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 9 (22).9.2 e Neljän muuttujan Karnaugh n kartta Kuvassa yksinkertainen esitystapa Huomaa vierekkäisyydet 4 Vierekkäiset rivit Silmukkasääntö Vierekkäiset rivit
10 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e Viiden muuttujan Karnaugh n kartta Kaksi erillistä karttaa, jotka ajatellaan asetetuiksi päällekkäin Vierekkäisyys kuten neljän muuttujan kartassa, lisäksi päällekkäiset ruudut ovat vierekkäisiä Lisä = = E Vierekkäiset ruudut E 5
11 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu (22).9.2 e Karnaugh n kartan käyttö, tulojen summa (SOP) Laaditaan toteutettavan funktion totuustaulu Piirretään muuttujien määrän mukainen Karnaugh n kartta SOP Siirretään totuustaulusta nollat ja ykköset karttaan Muodostetaan vierekkäisistä ykkösistä kaikki mahdollisimman suuret :n, 2:n, 4:n tai 8:n ykkösen ryhmät; tietty ykkönen saa kuulua useaan ryhmään Valitaan muodostettuja ryhmiä, kunnes kaikki ykköset ovat ainakin yhdessä ryhmässä: joskus on valittava kaikki ryhmät, joskus vain osa ryhmistä Kutakin ryhmää vastaa tulotermi, jossa ovat mukana ne muuttujat sellaisinaan, joiden ykkösalueella kaikki ryhmän ykköset ovat invertoituina, joiden -alueen ulkopuolella kaikki ryhmän ykköset ovat Muodostetaan valittuja ryhmiä vastaavien tulotermien looginen summa se on yksinkertaisin totuustaulua vastaava tulojen summa (SOP) -muotoinen lauseke eli SOP-minimipeitto
12 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Esimerkkejä ryhmistä ja vastaavista tulotermeistä?
13 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 3 (22).9.2 e Perustermit ja olennaiset perustermit? 2 Tulotermiä, joka vastaa mahdollisimman suuren määrän ykkösiä sisältävää ryhmää, nimitetään perustermiksi (prime implicant) Perustermiä, jota vastaava ryhmä ainoana peittää ainakin yhden ykkösen, nimitetään olennaiseksi perustermiksi (essential prime implicant) Mikäli yksinkertaisin lauseke voidaan muodostaa pelkästään olennaisista perustermeistä, se on yksikäsitteinen Mikäli tarvitaan lisäksi muita perustermejä, on useita yhtä yksinkertaisia lausekkeita Olennaiset perustermit Ei perustermi! Muut perustermit = tai = + + +
14 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 4 (22).9.2 e Esimerkki : SOP-muotoinen lauseke, 3 muuttujaa? 3 = + Molemmat tulotermit olennaisia perustermejä SOP Huom! Järjestyksen vaihto
15 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 5 (22).9.2 e Esimerkki 2: SOP-muotoinen lauseke, 4 muuttujaa Huom! Järjestyksen vaihto Vaihtoehtoinen perustermi Vain ja olennaisia perustermejä SOP = + + +
16 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 6 (22).9.2 e Karnaugh n kartan käyttö, summien tulo (POS) Laaditaan toteutettavan funktion totuustaulu Piirretään muuttujien määrän mukainen Karnaugh n kartta Siirretään totuustaulusta nollat ja ykköset karttaan Muodostetaan vierekkäisistä nollista kaikki mahdollisimman suuret :n, 2:n, 4:n tai 8:n nollan ryhmät; tietty nolla saa kuulua useaan ryhmään Valitaan muodostettuja ryhmiä, kunnes kaikki nollat ovat ainakin yhdessä ryhmässä: joskus on valittava kaikki ryhmät, joskus vain osa ryhmistä Kutakin ryhmää vastaa summatermi, jossa ovat mukana ne muuttujat sellaisinaan, joiden nolla-alueella kaikki ryhmän nollat ovat invertoituina, joiden nolla-alueen ulkopuolella kaikki ryhmän nollat ovat nolla-alue on muuttujan ykkösalueen ulkopuolinen alue Muodostetaan valittuja ryhmiä vastaavien summatermien looginen tulo; se on yksinkertaisin totuustaulua vastaava summien tulo (POS) -muotoinen lauseke eli POS-minimipeitto POS :n nolla-alue
17 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 7 (22).9.2 e Esimerkki : POS-muotoinen lauseke, 3 muuttujaa POS Huom! Järjestyksen vaihto = ( + ) ( + ) Molemmat summatermit olennaisia perustermejä
18 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 8 (22).9.2 e? 4 Esimerkki 2: POS-muotoinen lauseke, 4 muuttujaa Huom! Järjestyksen vaihto Kaikki summatermit olennaisia perustermejä = ( + + ) ( + + ) ( + + ) POS Esittele Karnaugh'n karttaohjelma
19 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 9 (22).9.2 e Epätäydellisesti määritellyt kytkentäfunktiot Toisinaan kytkentäfunktion arvolla tietyllä tai tietyillä muuttujien arvoyhdistelmillä ei ole merkitystä yhdistelmä ei koskaan voi esiintyä: esimerkiksi kolmiasentoinen kytkin arvolla ei muutoin ole merkitystä: esimerkiksi lyhytaikainen virhekoodi Vastaavaa funktion arvoa nimitetään hälläväliä-arvoksi (don't care) Tällöin arvo voidaan jättää määrittelemättä: sanotaan, että kytkentäfunktio on epätäydellisesti määritelty (incompletely specified) Totuustauluun kyseiseen kohtaan merkitään X Jos kytkentäfunktio määritellään minimi- tai maksimitermien avulla, määritellään erikseen hälläväliä-termit Esimerkki: (,, ) = m (, 2, 3, 6); d (,, ) = m (, 5) (,, ) = Π M (4, 7); d (,, ) = Π M (, 5) on't are! Hälläväliä-termit X X
20 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Hälläväliä-arvot sieventämisessä Hälläväliä-arvot merkitään Karnaugh n karttaan X:llä rvot tulkitaan kukin erikseen :ksi tai :ksi sen mukaan, kumpi johtaa yksinkertaisempaan lausekkeeseen Lausekkeena määritelty kytkentäfunktio on aina täysin määritelty: funktiolla on aina joko arvo tai on t care!
21 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 2 (22).9.2 e Esimerkki hälläväliä-arvoista sieventämisessä? 5 SOP X X X X Huom! Järjestyksen vaihto X toteutuu :nä X X = + on t care! X toteutuu :na
22 igitaalitekniikan matematiikka Luku 5 Sivu 22 (22).9.2 e Yhteenveto Mahdollisimman yksinkertaisen lausekkeen löytämistä kytkentäfunktiolle nimitetään sen sen sieventämiseksi Sievennys voidaan tehdä tehdä esimerkiksi Karnaugh'n karttamenetelmällä Karnaugh'n kartta kartta on on ruudukon muotoon piirretty piirretty funktion totuustaulu Menetelmä on on helppo helppo kolmen ja ja neljän neljän muuttujan funktioille ja ja käyttökelpoinen myös myös viiden viiden ja ja kuuden kuuden muuttujan funktioille Menetelmässä Karnaugh'n kartan kartan ykkösistä (SOP) (SOP) tai tai nollista (POS) (POS) muodostetaan mahdollisimman suuria suuria ryhmiä ryhmiä Kutakin Kutakin ryhmää ryhmää vastaa vastaa tulotermi (SOP) (SOP) tai tai summatermi (POS) (POS) Näistä Näistä saadaan yksinkertaisin mahdollinen SOP- SOP- tai tai POS-lauseke Mikäli Mikäli kaikki kaikki lausekkeen termit termit ovat ovat olennaisia perustermejä, lauseke on on yksikäsitteinen, muutoin on on useita useita yhtä yhtä yksinkertaisia lausekkeita unktio unktio on on epätäydellisesti määritelty, jos jos osalla osalla sen sen saamista arvoista ei ei ole ole merkitystä Epätäydellisesti määritellyn funktion sievennys voidaan myös myös tehdä tehdä Karnaugh'n kartalla kartalla
ELEC-C3240 Elektroniikka 2 Digitaalielektroniikka Karnaugh n kartat ja esimerkkejä digitaalipiireistä
ELE-324 Elektroniikka 2 Digitaalielektroniikka Karnaugh n kartat ja esimerkkejä digitaalipiireistä Materiaalia otettu myös: https://www.allaboutcircuits.com/textbook/digital/chpt-8/introduction-to-karnaughmapping/
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) Kytkentäalgebra A + 1 = 1 A = A A + B C = (A + B) (A + C) A 0 = 0. Maksimitermi.
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 4 Sivu 1 (15) A + 1 = 1 A + B C = (A + B) (A + C) F(A, B, C) = Σ m (2, 3, 5, 7) Maksimitermi A = A m0 A 0 = 0 M7 A + B = A B Minimitermi Digitaalitekniikan matematiikka
Digitaalitekniikan matematiikka Harjoitustehtäviä
arjoitustehtäviä Sivu 6 6.3.2 e arjoitustehtäviä uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä jossa käytävän kummassakin päässä on kytkin ja käytävän keskellä lamppu. amppu
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu 1 (20) Kombinaatiopiirit & & A B A + B
igitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu (20).9.20 e 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 igitaalitekniikan matematiikka Luku 6 Sivu 2 (20).9.20 e Johdanto Tässä luvussa esitellään porttipiirityypit J-EI ja TI-EI
Yhden bitin tiedot. Binaariluvun arvon laskeminen. Koodin bittimäärä ja vaihtoehdot ? 1
Luku Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Digitaalitekniikan matematiikka Täsmätehtävät.9. Fe Opetuskerta Sivu Luku Opetuskerta Sivu Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.
Digitaalilaitteen signaalit
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 3 (9) Digitaalilaitteen signaalit Digitaalilaitteeseen tai -piiriin tulee ja siitä lähtee digitaalisia signaaleita yksittäisen signaalin arvo on kunakin hetkenä
Yhden bitin tiedot. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 1 Täsmätehtävä Tehtävä 1. Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista.
Digitaalitekniikan matematiikka Luku Täsmätehtävä Tehtävä Yhden bitin tiedot Luettele esimerkkejä yhden bitin tiedoista. Ovi auki - ovi kiinni Virta kulkee - virta ei kulje Lamppu palaa - lamppu ei pala
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 1 (19) Kytkentäfunktiot ja perusporttipiirit
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu (9) && Digitaalitekniikan matematiikka Luku 3 Sivu 2 (9) Johdanto Tässä luvussa esitetään digitaalilaitteen signaalit ja digitaalipiirien perustyypit esitellään
F = AB AC AB C C Tarkistus:
Digitaalitekniikka I, tenttitehtäviä ratkaisuineen I 3..995 2. c) esitä seuraava funktio kanonisten summien tulona f(,,) = + Sovelletaan DeMorganin teoreemaa (työläs). Teoriaminimointia ei ole käytetty!
Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu
Digitaalitekniikka (piirit) Luku 6 Sivu (5) Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu.8.24 Fe/AKo Synkronisten sekvenssipiirien suunnittelu Digitaalitekniikka (piirit) Luku 6 Sivu 2 (5) Synkronisten sekvenssipiirien
Uusi näkökulma. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Uusi näkökulma TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Aloitetaan alusta... Otetaan uusi näkökulma Haskelliin ohjelmointi laskentana kertausta toisaalta, uusia käsitteitä toisaalta helpottanee sitten
DIGITAALISTEN KOMBINAATIO- PIIRIEN LABORATORIOTÖIDEN SUUNNITTELU
OPINNÄYTETYÖ - AMMATTIKORKEAKOULUTUTKINTO TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN ALA DIGITAALISTEN KOMBINAATIO- PIIRIEN LABORATORIOTÖIDEN SUUNNITTELU T E K I J Ä : Toni Halonen SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU OPINNÄYTETYÖ
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Laskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
Datatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Yleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
C = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
Johdatus digitaalitekniikkaan
Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9. e Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9. e Johdatus digitaalitekniikkaan Johdanto
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu 1 (23) Kombinaatiopiirielimet MUX X/Y 2 EN
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu ().9. Fe DX G = G EN X/Y Digitaalitekniikan matematiikka Luku 8 Sivu ().9. Fe Johdanto Tässä luvussa esitetään keskeisiä kombinaatiopiirielimiä ne ovat perusporttipiirejä
Harjoitustehtävien ratkaisuja
igitaalitekniikan matematiikka arjoitustehtävien ratkaisuja Sivu (22) 6.3.2 e arjoitustehtävien ratkaisuja uku 3 ytkentäfunktiot ja perusporttipiirit 3. äytäväkytkin on järjestelmä, jossa käytävän kummassakin
1 Luvut jonossa 1. Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa?
1 1 Luvut jonossa Kuinka monta pikkuneliötä on a) neljännessä kuviossa b) seitsemännessä kuviossa c) kymmenennessä kuviossa? kuvio kuvio kuvio 10 28 55 a) Jos muodostelmaluistelujoukkue tekee 4 luistelijan
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Tarvikkeet: A5-kokoisia papereita, valmiiksi piirrettyjä yksinkertaisia kuvioita, kyniä
LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: OHJELMOINTI 1. Alkupohdinta: Mitä ohjelmointi on? Keskustellaan siitä, mitä ohjelmointi on (käskyjen antamista tietokoneelle). Miten käskyjen antaminen tietokoneelle
Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen
Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Valintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
ELEC-C3240 Elektroniikka 2
ELEC-C324 Elektroniikka 2 Marko Kosunen Marko.kosunen@aalto.fi Digitaalielektroniikka Tilakoneet Materiaali perustuu kurssiins-88. Digitaalitekniikan perusteet, laatinut Antti Ojapelto Luennon oppimistavoite
LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen
LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen
Kompleksilukujen kunnan konstruointi
Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei? Tapaus Mathematica
Simo K. Kivelä Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei? Tapaus Mathematica Symbolinen laskenta ei aina toimi, kuten voisi odottaa. Parempi onkin ajatella, että se elää omaa elämäänsä, jolla
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).
Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
Lisää laskentoa. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Lisää laskentoa TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Kertausta: Laajennettu aritmetiikka Lasketaan rationaaliluvuilla vakiot yhteen, vähennys, kerto ja jakolasku Laajennetaan sitä määrittelyillä: vakio
6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 1 Sivu 1 (19) Johdatus digitaalitekniikkaan
Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9.2 Fe Johdatus digitaalitekniikkaan Digitaalitekniikan matematiikka Luku Sivu 2 (9) Johdatus digitaalitekniikkaan.9.2 Fe Johdanto
kwc Nirni: Nimen selvennys : ELEKTRONIIKAN PERUSTEET 1 Tentti La / Matti Ilmonen / Vastaukset kysymyspapereille. 0pisk.
Tentti La 20.01.2001 / Matti Ilmonen / Vastaukset kysymyspapereille. Nirni: Nimen selvennys : 1 2 3 4 5 z -.. 0pisk.no: ARVOSANA 1. Selvita lyhyesti seuraavat kiitteet ( kohdat a... j ) a) Kokosummain?
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta
Demo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Harjoitustehtävien ratkaisut
Sivu (22) 29.8.2 Fe/Ko Luku Sekvenssipiirit. Tutki luentokalvo- ja opetusmonisteessa esitettyä esimerkkiä synkronisesta sekvenssipiiristä. a) Montako tilaa piirissä on? Koska piirissä on kaksi tilasignaalia,
Demo 7 ( ) Antti-Juhani Kaijanaho. 9. joulukuuta 2005
Demo 7 (14.12.2005) Antti-Juhani Kaijanaho 9. joulukuuta 2005 Liitteenä muutama esimerkki Ydin-Haskell-laskuista. Seuraavassa on enemmän kuin 12 nimellistä tehtävää; ylimääräiset ovat bonustehtäviä, joilla
PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
11. Javan toistorakenteet 11.1
11. Javan toistorakenteet 11.1 Sisällys Laskuri- ja lippumuuttujat. Sisäkkäiset silmukat. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena
Mikrotietokone Moderni tietokone Ajattelemme tietokonetta yleensä läppärinä tai pöytäkoneena Sen käyttötarkoitus on yleensä työnteko, kissavideoiden katselu internetistä tai pelien pelaaminen. Tietokoneen
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.2.2009 1 / 43 Funktiot Tähän asti esitetyt ohjelmat ovat oleet hyvin lyhyitä. Todellisessa elämässä tarvitaan kuitenkin
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Valokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.2.2010 1 / 47 Sijoituksen arvokehitys, koodi def main(): print "Ohjelma laskee sijoituksen arvon kehittymisen."
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin:
A Numeropeli Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Voit jokaisella siirrolla vaihtaa keskenään kaksi vierekkäistä lukua vaaka- tai
Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)
Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä
Kaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.