ÁÆÌ ÊÈÇÄ ÌÁÇ À Ê Æ Î ÊÍÍÃËÁËË ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Â ÖÑÓ Å Ð À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ù Ø ÙÙ ¾¼¼
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ À ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð Ò ØÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø ÔÙØÙÐÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó ½¼ º½ Ú ÖÙÙ Ø H p N º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ú ÖÙÙ Ò H p N Ô ÖÙ Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º H p ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ ¾¼ º½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó H º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù H p ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ¾ º½ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÖÐ ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÄÓÔÙ Ä Ø Ø
½ ÂÓ ÒØÓ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò H p µ Ø ÓÖ Ò Ð Ø Ó Ø ÓÒ Ð Ý ØØÚ ½ ¾¼¹ÐÙÚÙÐØ ÓÐÐÓ Ò ÑÙÙÒ ÑÙ Ñ Ø Ñ Ø ÓØ º Àº À Ö Ý Âº º Ä ØØÐ ÛÓÓ ÝØØ ÚØ Ð Ñ Ò Ø ÐÑ Ó ¹ Ò Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ö Ø ÐÙ º Æ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ø Ö ¹ Ø ÐÙ Ó Ø H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ÑÙÓØÓÙØÙÑ Òº ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ñ Ð Ò ÒØÓ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ó Ø Ò ÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø Ò Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ Ò ØØÝÑ Ò ÑÝ Øº ÌÑ Ð ØÝÑ Ø Ô ÒÓ Ø Ò ÙÙ ÓÒ ÐÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ð Ò ÝØ ØØÚ ÓÐ Ú Ò Ö Ø ÙÑ ÐÐ Ò ÓÙ Ó º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ò ØÙØ Ñ ¹ Ò Ò Ý Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ¹ ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ º ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ý ÓÒ À Ö ÝÒ Ú ¹ ÖÙÙ Ò H p (D) ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÚÐ Ø Ù ØØ º Ì Ú ÐÐ Ò Ø Ô Ò Ö Ó ØÙØ Ò ØÙØ Ñ Ò Ú ÖÙÙ Ò Ò ÖÚÓ ÐÐ 1 p º ÌÙØ ÐÑ Ò ØÓ ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ Ó Ø Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ò ÐÝÝØØ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Ó Ø ØÙØÙ ØÙØ Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ù ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø Ó Òº Î Ñ Ñ ¹ Ò ØÙØ Ø Ö Ó Ú Ø ÝÐÐØØÚÒ Ý ÝÐÐ Ò Ð ØÝÑ Ø Ú Ò Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØݹ Ñ Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ð ØÝØØ º Ä Ø ÐÐÒ Ð Ò ØÙÐÓ Ó ØÙÐ ÓÐ Ñ Ò ØÖ Ñ Ó Ó ØÝ Ò ÒÒ ÐØ º ÃÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø ÝØ ØÒ Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ØÙÐÓ ÔÙÒ ÝÚ ÒÒÝØØ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº È ÖÙ Ø Ú ÒÐ ØÙ Ø Ð ÑÑ Ò À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ ØØ Ð ÚØ ÙÖ Ò ÖÒ ØØ ÃÓÓ ÊÙ Ò Ø ØÙØ ÐÑ Ð Ø Ò ÝØ ØÝ Ø Ó º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ò ÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ ÒÓÙ Ú Ø ÑÝ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ º Ê Þ Ò ØÓÖÓ ÒØ Ø ÓÖ Ñ H p ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð ØÝØØ Ý ¹ ÓÒ Ö ÙÒ º Î Ñ Ñ Ò ØÙ Ø ÙÙÖ Ò Ó ÓÒ À Ö ÝÒ Ð Ù Ø Ò Ò Ñ Ö ØÓÙ Ó Ó ØØ ØØ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÔØØ ÐÝ ÝØ Ù Ð Ø ØØ Ó Ú Ó Óº Ì Ø ÖÚ ØØ Ú Ò Ù Ð Ø ØØ Ý ØÐ Ò ØØ Ð ¹ ÚØ Ò ÑÑ Ò Å ÒØÝÖ ÊÓ Ó Ò º Æ Ð ÐÙ Ù ØØ Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÑÖ ØØ Ð ÚÐØØÑØØ ÑØ ØØ Ö Ø¹ ØÚØ ÓØ ÐÐ ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÔ Ö ØØÓÖ ÙÚ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò l p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÓÒÓ º ÈÓ Ò ØÑ ÐÙ Ù ÙÖ ÙÖ Ò Ò Ð Ø Ò ÝØ ØØÝ Ö ÑÙØØ Ø ÓÖ Ñ Ò º ØÓ ØÙ ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÓ ÏÓ Ø ÞÞÝ Ò Ø Ó Òº Ì Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò H ÓÖÑÙÐÓ Êº º Ù º ÂÓ Ò Ò Ó ØØ Ø Ò Ö Ø¹ Ù Ò Ð Ò ÖÐ ÓÒ Ö Ø Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Ø Ô Ù p = º À Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ë Ô ÖÓ Ë Ð ØØ ÚØ Ý Ò ÖØ ÑÑ Ò Ö Ø ÙÒ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð Ò Ú Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÖÚÓ ÐÐ 1 p º Æ Ú ÒÐ ÒÒ È ÔÙÓÐ Ø Ò Ö Ø Ö Ó Ú Ø ÓÒÓØ {z i } {w i } Ó Ò ÚÐ ÐÐ H ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø º Î ÒÒ ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ý ÓÒ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò Ñ Ø¹ Ö Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ØÝ Ø Ý Ø Ò Ñ ØØÓ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÚÐ Ø Ý Ø ÝØغ ÄÙ Ù ÙÖ Ð Ø Ò ÝØ ØØÝ ÖÒ ØØ Ò Ø Ó Ø º ÃÙÙ ÒÒ ÐÙÚÙ ÖÖ Ø Ò ØÝ Ò ¹ ÑÑØ ØÙÐÓ Ø ÐÙÓ Ò ÐÝ ÝØ Ø Ù Ø ÓÖ Ò Ð ÒØ Ñ Òº
¾ ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ð Ò ØÙÐÓ ÄÙÚÙÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø ÐÐ ÖÖ Ø Ó Ø Ò ÑÔ Ø ØÓ ÑÙÙØ Ñ ØÖ Ø ØØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø ÖÔ Ò Ø Ö Ø ÐØ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ º ËÙÙÖØ Ó ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Ø Ó Ø Ø ØÓ Ø Ø º ÌÙÒÒ ØÙ ÓÐ Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø ÙØ Ò Ñ Ö À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÙÖ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Á Ø ÐÐÝØ Øº Ô Ö Ò ÓÔ Ú Ð Ø Ó ÓÚ Ø Ñ Ö ÇÐÐ Ä ÓÒ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Á ÁÁ Ä ÙÖ ÅÝÖ Ö Ò Ñ ÒÒ Ñ Ò Ò Ø Ó Ï ÐØ Ö ÊÙ Ò Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Ä ÓÐ ÙÓØ Ú ØØ ÐÙ ÓÐ ØÙØÙ ØÙÒÙØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Òº Å Ö ÒØØ ÔÓ R Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó C ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó D ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ò Ý Ó U(a, r) ÚÓ Ò ¹ Ò Ò Ö¹ Ø Ò Ò ÙÙÐ Ô ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ó Ω ÚÓ Ò Ý Ø Ò Ò Ò ÐÙ Ô ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ó E ÓÙ ÓÒ E Ö ÙÒ ¾º½ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ f ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÙ Ω C z Ωº Å ¹ f(z Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ¹ ÖÚÓ lim +w) f(z ) w w = f (z ) Ò Ò ÐÙ Ù f (z ) ÒÓØ Ò f Ò ÓÑÔÐ Ö Ú Ø Ô Ø z º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½º Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Óص ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò z ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÙ Ω Cº ÙÒ Ø ÓØ f ÒÓØ Ò Ò ÐÝÝØØ Ö ÐÐ ÙÙ ÑÝ ÓÐÓÑÓÖ µ Ñ Ð ÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò Ö Ú ØØ Ó Ω Ò Ô Ø º Ð ÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö Ò Ò ÓÒ Ð Ó Ò ÙÑÑ Ø ØÙÐÓØ ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ò Ò º ÅÝ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÑÖ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ ¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Ö Ø ÐÙÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ö Ø Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ø Ø Ò Ò ÙÔ Ø Ø٠ѹ Ñ ÑÙÓ Ó Òµº Æ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ð Ø ÙØØ Ñ ÐÐ Ò Ð Ò ÐÝÝØØ ÙÒ Ø Ó Ø Ó f g ÓÚ Ø Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó h = g f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g ØÝØÝÝ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ f Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó º ÅÓÒ Ò ÑÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ó ÐÐ Ö Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ñ Ö ØØÚ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ ÓÒ ØØ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÙ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÓ Ð Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ò º Î Ø Ú Ø Ó Ò Ò ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ó Ò Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ º ÈÓØ Ò Ö ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú ØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÂÓ ØÓÔØ Ø Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ Ò ØØ Ò ÐÝÝØØ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ò ÖØ ÐÙ¹ Ù Ò Ö Ú Ø Ø ÓØ ÓÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ó Ò º ÅÙ Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÚ Ø Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ó º ÌÓ Ø¹ Ø ÓÓÒ ÒÝØ ØØ Ñ Ð Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÐÐ Ó ÐÐ ÓÒ ÙØÙÑ Ô Ø Ó Ò ÐÙ¹ Ý ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº
¾º¾ À ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Óص ÐÙ Ω ÑÖ Ø ÐØÝ ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h : Ω C ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò Ó ØÓØ ÙØØ Ä ÔÐ Ò Ý ØÐ Ò h = 2 h + 2 h = º x 2 y 2 Ê Ð ÖÚÓ Ò ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ h Ð ØØÝÝ Ý Ø Ý Ø Ò ÐÙ Ω Ò ÓÒ Ù¹ ØØ ÙÒ Ø Ó h Ó ØÓØ ÙØØ h Ò Ò Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹Ý ØÐ Ø h x = h h y y = h x º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÑÝ ÓÒ Ù ØØ h ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f = h+i h ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº À ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÒ Ô ÝØØÝ Ò ÐÝÝØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙØØ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º¾ ÝÐÐ Ø ØØÝ Ò ÙÓÑ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÖÑÓÒ º Ä Ù ¾º º ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð µ ÇÐ ÓÓÒ f ÓÑÔÐ ÖÚÓ Ò Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ D Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ f 1 = 1 f(t) dt < ( f L 1 ( D) ) º ÌÐÐ Ò Ý Ó Ó Ò Ú Ò ÑÙ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ h(re iϕ ) ÒÓØ Ò f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð P[f] Ñ P(r, ϕ) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò h(re iϕ ) = P[f](re iϕ ) = 1 P(r, ϕ t)f(t)dt, P(r, ϕ) = 1 r 2 1 2r cosϕ + r 2. ÅÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó h ÓÒ Ý Ó D ÖÑÓÒ Ò Òº Å Ð f ÓÒ ÑÝ Ø ÙÚ D Ò Ö ÙÒ Ð¹ Ð Ò Ò ÚÓ Ò ØØ h(e iϕ ) = f(e iϕ ) Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ h ÓÒ Ø ÙÚ ÑÝ ÙÐ ØÙ Ý Ó Dº ½ ÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò ÚÓ Ò ØØ ÑÝ Ý ØÔ ØÚ ÑÙÓ Ó P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. ÌÓ ÐØ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÐ ØÙ Ý Ó Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ó Ö ÙÒ ¹ ÖÚÓ Ò h(e iϕ ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò º Ä Ù ¾º º ÖÚÓÐ Ù µ Ë ÒÓØ Ò ØØ Ω Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ÓÒ ÖÚÓ¹ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ó ÐÐ z Ω ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò r > ØØ ÔØ f(z) = 1 f(z + re iϕ )dϕ. à ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÓÑ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Ò ÐÐ ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙ º ¾ ¾º ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ Ò Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò Ø ÔÙÓÐ Ø Ù¹ ÚÙÙ Ó ÒØÝÝ ØÝ ÐÙÒ Ù Ò ÑÙÙÒ ÑÙ Ö Ð Ò ÐÝÝ Ò Ñ ØØ Ø ÓÖ Ò Ô Ö º ÇÐ ÓÓÒ z Ωº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÓ (a) (b) lim sup z z f(z) f(z ) lim inf z z f(z) f(z ). Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ω ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ó ÐÐ z Ω ÓÒ ÚÓ Ñ (a) Ð ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ñ Ð (b) ÔØ ÐÐ z Ωº ½ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ð Ø Ò ÝØ ØÝÒ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙ ÐÐ ¾ ¹¾ º ¾ ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ¾ º
ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º Ù ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø Óص Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò Ω Ó ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù٠غ ½µ u(z) < ÐÐ z Ωº ¾µ u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ º µ à ÐÐ U(a, r) Ω ÔØ µ u(a) 1 Ò ÒØ Ö Ð Ø µ ÓÐ º u(a + re iϕ )dϕ. ÅÖ Ø ÐÑÒ ¾º Ó Ø Ò ½µ ¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó ¹ Ø ØØÙ Ó Ω Ò ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Ó º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò ÒØ Ö Ð Ø µ ÓÚ Ø Ò ÓÐ Ñ ÐÐ Ò ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 u(a + re iϕ ) dϕ <. Ê Ð ÖÚÓ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ù ÖÑÓÒ ÐÐ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÒÒ ØÙØ ÓØ Ø ÙÚÙÙØ Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò ÒÓ ÐÐ Ð Ù ¾º µº Ä Ù ¾º º ÐÙ Ω ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ù ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ u ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ú Ú Ò ÓÒÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ γ Ý Ø γ u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÌÓ ØÙ º γ u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ Ó γ ÓÒ Ø ÙÚ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òº Ä Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ γ( ) = lim x γ(x)º ÇÐ ÓÓÒ ÙÖ Ú U(a, r) Ωº ÌÐÐ Ò ( 1 ) γ(u(a)) γ u(a + re iϕ )dϕ 1 γ(u(a + re iϕ ))dϕ. Ò ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔØ Ó u ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÂÐ ÑÑ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔÙÓÐ ¹ Ø Ò ÔØ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó γ ÓÒ ÓÒÚ ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ f Ω Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÐ ÒØØ Ø ÒÓÐÐ º ÙÒ Ø ÓÒ f ÐÓ Ö Ø¹ Ñ ÙÒ Ø Ó log f ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº { ÅÝ ÙÒ Ø ÓØ log + log f, f > 1 f = f, f 1 p ( < p < ) ÓÚ Ø Ù ÖÑÓÒ º ËÙ ÖÑÓÒ ÙÙ ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º ÙÒ Ø Ø Ò u = log f γ = max(, t) Ð ÑÑ Ø Ô Ù u = log f γ = e pt º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ K ÐÙ Ò Ω ÓÑÔ Ø Ó ÓÙ Ó h Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò Ø ÙÚ K ÖÑÓÒ Ò Ò ÓÙ Ó int(k) ØÑ Ñ Ö ÒØ Ø Ö Ó ØØ ÓÙ ÓÒ K Ô Ø Ò ÓÙ Ó Ð K Ø ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ Ò Ö ÙÒ µº ÆÝØ Ω Ù ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ u Ó ØÓØ ÙØØ K Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ u(z) h(z) ÓÒ Ó Ó ÓÙ Ó K ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ u(z) h(z)º ÌÓ ØÙ º Ø Ø Ò ũ = u h Ø Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ ũ(z) > ÓÐÐ Ò z int(k)º ËÙ ÖÑÓÒ Ò Ö Ð ÖÚÓ Òµ ÖÑÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÓØÙ Ò ũ ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓРع ÙÚ ÙÒ Ø Ó K ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ K Ñ Ñ m > º ÂÓÙ Ó E = {z K : ũ(z) = m} ÓÒ ÒÝØ ÚÓ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ ÒØ(K) ÔØÝ ÙÐ ØØÙ Ó ÓÙ Ó Ö ØÝ Ø d(e, K) > º ÇÐ ÓÓÒ z Eº ÆÝØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò r > ØØ ÙÐ ØØÙ ÙÙÐ U(z, r) ÒØ(K)º ÅÙØØ ÓÙ Ó U E c ÓÒ ÔØÝ ÓÐÐÓ Ò ũ(z ) = m > 1 ũ(z + re iϕ )dϕ = 1 u(z + re iϕ )dϕ h(z ). Î Ñ Ò Ò Ý ØÐ ÝÝ Ô ÖÙ ØÙÙ ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ð Ù ¾º µ Ó Ó ØØ ØØ ũ ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº Ë ØÙ ÔÝ ØÐ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ö Ø Ö Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÚØ ÊÙ Ò Ò Ö Ø ÚÙÐØ ¾º ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ º
Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾º Ó Ò µ Ò ÓØ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ú Ø Ô Ø Ô Ò º Ê Ð ÖÚÓ Ø ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó ØØ Ú Ø ÝÐ ÐØ Ù ÖÑÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø º À Ö¹ ÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø Ô Ò Ù ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÔØ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ù¹ Ö Ú ÓÖÓÐÐ Ö º ÃÓÖÓÐÐ Ö ¾º º Å Ð u ÓÒ Ý Ó D Ø ÙÚ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó r < 1 Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó m(r) = 1 u(re iϕ )dϕ ÓÒ Ú Ú º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ r 1 < r 2 < 1 h Ø ÙÚ Ó z r 2 ÖÑÓÒ Ò Ò Ò Ô ¹ Ø Ñ Ù Ò u Ò Ö ÙÒ ÐÐ º ÆÝØ u(z) h(z) Ó z r 2 m(r 1 ) 1 h(r 1 e iϕ )dϕ = h() = 1 h(r 2 e iϕ )dϕ = m(r 2 ). ÌØ Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ m(r) ÓÒ Ú Ú ÙÒ Ø Ó Ý Ó Dº ËÙ ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó u ÚÙØØ ÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ý Ø Ò ÚÓ Ñ ÐÙ Ω Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ sup Ω u(z) = u(z ) = m ÓÐÐÓ Ò u(z) m ÐÐ z Ωº ÆÝØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò r > ÓÐÐ U(z, r) Ω = u(z ) m 1 ( u(z + re iϕ ) m ) dϕ. ÐÐÓÐ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(z) = m Ó U(z, r) ÓÙ Ó A = {z Ω : u(z) = m} ÓÒ ÚÓ Òº A ÓÒ ÑÝ ÙÐ ØØÙ Ó u ÓÒ ÝÐ ÐØ ÔÙÓÐ Ø ÙÚ º ÌØ Ò A = Ω u ÓÒ Ú Ó ÙÒ Ø Óº ËÙ ÖÑÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÝØØÝØÝÚØ ÙÙÖ ÐØ Ó Ò Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ù Ò ÖÑÓÒ Ø ÙÒ ¹ Ø ÓØ Ñ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÙÖ Ù Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº Å Ø Ò ÒÑ ÙÒ Ø ÓÔ Ö ØØ ØØ Ò ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ê Ð ÖÚÓ Ø Ò ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ØÓ¹ ØØ Ò Ó ÐØÝÚÒ Ù ÖÑÓÒ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ô Ö Òº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ö ØØÚ ØÓ ÐÐ ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Ò Ú Ò ÖÑÓÒ Ò Òº Ä Ù ¾º º Å Ð u ÓÒ ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ u > ÐÙ Ω Ò Ò u ÓÒ Ω Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÌÓ ØÙ º Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ ØØ u ÓÐ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº ÙÒ Ø Ó u ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ u h ÓÒ ÐÓ Ð µ Ñ Ñ Ó Ò ÐÙ Ò Ω Ô Ø º ÃÝ Ô Ø ÔØ 2 (u h) 2 (u h) ÓØ Ò (u) = (u h) º ÌÑ ÓÒ x 2 y 2 Ö Ø Ö Ð Ù ØÓ Ò Ò ÓØ Ò Ð Ù Ô Ø Ô Ò º ¾º Ð Ò ØÙÐÓ ÒÒ Ò Ð Ò ØÙÐÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÒ ÝÝØ ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö Ó ØØ ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ {c i } ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÓÒÓº Ë ÒÓØ Ò ØØ ØÙÐÓ (1+c i) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù c C Ó c n lim n (1 + c i) = cº ÂÓÒÓ c i ÙÒ i º Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ó U(, 1 2 ) ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò log(1 + z) z = n= ( 1) n z n+1 n + 1 z = ( 1) n (z) n+1 ( 1 ) n z 2 = z 2. n + 1 2 n=1 n=1
ÌÑÒ ÚÙÐÐ Ò ÖÚ Ó n ( n ) 1 + c i = exp log 1 + c i exp ( n ) c i. ÐÐÓÐ Ú Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ØÙÐÓÒ i 1+c i ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÙÑÑ Ò i c i ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º Ö ØÝ Ø ÙÑÑ ÙÔÔ Ò Ó n (1 + c i) ÙÒ n º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¼º Ð Ò ØÙÐÓµ ÇÐ ÓÓÒ m N + Ú Ó {z i } Ý ÓÒ D ÓÒÓ Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ò ÓÒ i (1 z i ) < º Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ØÙÐÓ B(z) = z m i z i z i z i z 1 z i z ÙÔÔ Ò D º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ B(z) ÒÓØ Ò Ð Ò ØÙÐÓ º ÎÓ Ò ÓРع Ø ØØ ÐÐ i ÓÒ z i º Í Ò ØÙÐÓÒ Ø Ø ØÒ ÔÓ ÖÖÓ Ò z m º ÁÒ Ò i ÓÙ Ó ÚÓ ÑÝ ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙØØ Ù ÑÑ Ø Ò Ò Ý ÐÔ Ó Ó ÓÙ¹ ÓÒ Nº ÂÓ Ò Ò ØÙÐÓÒ Ø zi z 1 z ÓÒ Ý Ó Ò ÐÝÝØØ Ò Ò z i z iz 1 z iz < 1 ÓØ Ò Ý Ó D z ØÙÐÓ B(z) < 1º Ä Ù ¾º½½º Ð Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø Ñ Ø Ò Ó z r < 1 Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø z i ÓÖ Ó Ñ Ð m > µ Þµ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ z r < 1 Ø Ø Ò a i = z i z º 1 z iz ÆÝØ < a i 1 ÐÐ i ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ØÓ a i exp (1 a i )º ÐÐ Ò i a i i exp (1 a i) = exp i (1 a i)º Ä 1 a i = 1 z i z i z z i 1 z i z 1 z i z i z z i 1 z i z = z i z i 2 z z i z i + z i z z i (1 z i z) = z i (1 z i ) + z z i (1 z i ) z i (1 z i z) = (1 z i )(z i + z i z) z i (1 z i z) 1 + r 1 r (1 z i ). ÐÐ Ó Ó Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ( i a 1+r ) i exp 1 r i (1 z i ) Ñ ÙÑÑ ØÓØ ÙØØ Ð ¹ Ò ÓÒº ÂÐ ÐÐ ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ i a i º ÐÐÓÐ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÙÑÑ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÖ Ù Ò i 1 z i z i z z i 1 z iz < ÓØ Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ö Ø Ö Ò ÒÓ ÐÐ z i z i º zi z i 1 z iz B(z) Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÒÓ Ò Ò Ó ØÙÐÓص ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó Ó z r < 1 ÓØ Ò ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ø z i ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµº Ä Ù ¾º½¾º Î Ø Ú Ø i (1 z i ) < Ó Ð Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò Ó z r < 1º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ b i ÒÝØ Ð Ò ØÙÐÓÒ i Ø º Ð Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÒÓ ÐÐ ÙÑÑ i b i 1 = i 1 b i ÙÔÔ Ò º Ä Ù Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ Ò Ø Ô Ò 1 b i = 1 z i z i z 1 z i z = = (1 z i )(z i + z i z) z i (1 z i z) (1 z i ) 1 z 1 + z i z 1 r 1 + r (1 z i ). z i Ø ØÒ ÙØ ØÙÐÓ Ø ) ( i b i exp( i 1 b ) 1 r i exp 1+r i (1 z i ) º Å Ð i (1 z i ) ÙÔÔ Ò Ú Ò Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ Ò Ò i b i º ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ð Ù ÓÒ ÒÓ ÐÐ B(z) ÙÔÔ Ò º
¾º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ Ø ÔÙØÙÐÓ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ÐÐÒ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝØØ ÐØ Ò ÒÒ ÐØ Ð Ò ¹ Ö ÙÚ Ù Ø Ò ÚÙÐÐ Ú ØÑÒ ØÝ Ò Ô ÐÐ Ò Ò ÐØ Ø ÐÐÒ Ò Ò ÑÑÒ Ö Ð ¹ ÓÑÔÐ Ò ÐÝÝØØ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ò Ò ÑÙÙØ Ñ ØÓ ØÙ ÓÒ Ø ØØÚ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ð ÒØ ÑÑ Ò ÙÖ Ú Ò Ò Ú Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÑÙÙÒ ÑÙ Ã Ö Ø Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ º ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ X Y Ò ¹ Ú ÖÙÙ Øݹ ÐÐ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ µ T : X Y ÐÐ Ò Ò Ø ÙÚ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ØØ Ý Ô ÐÐÓÒ ÙÚ Ò ÙÐ ÙÑ T(B X ) ÐØ ÓÒ Ò Y Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÙÐ Òº Æ Ø Ó Ø ÙÖ ØØ T(X) = Y ÓÒ ÓÐ Ñ r > Ø Ò ØØ T(B X ) r B Y = {y Y : y < r}º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ º ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØ X Y Ò ¹ Ú ÖÙÙ T : X Y ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù ØØ ÓÙ Ó { (x, Tx) : x X } X Y ÓÒ ÙÐ ØØÙ ØÙÐÓØÓÔÓÐÓ º ÌÐÐ Ò T ÓÒ Ø ÙÚ º
À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó ÌÑÒ ÐÙÚÙÒ Ò Ø ÚÓ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø H p (D) Ý Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ð Ø ÐÐÒ Ð ÑÔ Æ ¹ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙØØ Nº ÐÙ ØÓ ØØ ÓÓÒ ØØ Ñ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f p¹òóöñ p (1 p < ) Ñ Ø ÐÐ ÓÙ Ó Ω ÓÒ Ñ ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òµ ÓÒ ÒØ Ö Ð f p = ( Ω f p dµ ) 1/p º ÖÚÓÐÐ p = ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÐÐ f = sup Ω f º ÐÐ Ñ Ò ØÙØ p¹òóöñ Ø ÑÖ ØØ Ð ÚØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ø Ò ØØ L p (Ω) ÐØ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÐÐ ÒÓÖÑ p < º ÐÐ ÙÚ ØÙØ L p ¹ Ú ÖÙÙ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ú ÖÙÙ ÑÙØØ p ÓÐ ÒÓÖÑ ÙÒ ÓÒ < p < 1º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ú Ø Ú Ú ÖÙÙ L p ÓÐ ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º ÅÙÙÒ ÑÙ Ø Ø ÝÝ Ø ØÙØ ÐÑ Ø Ö Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ÖÚÓ ÐÐ < p < 1º ÖÚÓ ÐÐ 1 p ÔÙÓÐ Ø Ò p ÓÒ ÒÓÖÑ L p (Ω) ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ º Æ Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò Ó Ø Ñ Ò ÝØ ØØÚ À Ð Ö Ò Å Ò ÓÛ Ò ÔÝ ØÐ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø Ø Ø ÑÙ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ó Ó Ø Ø Ø º ØØ ÓÒ Ø ÐØÝ Ø Ö ÑÑ Ò ÑÓÒ ÔÙÓÐ ÑÑ Ò À Ð Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Å ØØ ÒØ Ö Ð Ê Ð Ò ÐÝÝ Á ÑÝ ÊÙ Ò ØØ Ð ØØ Ö Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ÐÙÚÙ L p ¹ËÔ ÚÙØ ½¹ µº Ð Ø ÓØØ Ò Ø Ø Ø ÒÔ Ò ÑÝ Ò ÔÙ ÙØ Ñ Ø ÐÐ Ø ÓÙ Ó Ø Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÑ ÙÙ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÑ Ø ÓÒØ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ä ÐÑ Ò Ö ÐÐ Ø Ñ Ò ÒØ ÙÒ Ø Ó Ø ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ Ø ÐÐÒ Ý Ó º º½ Ú ÖÙÙ Ø H p N Ä Ø ØÒ Ó Ò Ý Ó Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ f ÙÒ Ø ÓÔ Ö {f r } ( r < 1) f r (e iϕ ) = f(re iϕ ). ÇÐ ÓÓÒ m Ý ÝÑÔÝÖÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ú Ø Ú Ø ÒÓÖÑ Ø ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò {f r } Ð Ó ÐÐ Ø ÐÐÒ Ð ÙÙÖ º f r p = ( 1 D f (1 p < ) f = sup f(re iϕ ) 1/p dm) p r r ϕ ( 1 ) f r = exp log + f r dm D ÁÒØ Ö Ð Ø ÓØ Ø Ò Ô Ø Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ Dº ÄÙÚÙ ¾º Ó Ó Ø ØØ Ò ÙÒ Ø Ó Ò f p ( < p < ) log + f ÓÐ Ú Ò Ù ÖÑÓÒ Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò ¾º ÒÓ ÐÐ f r p (p = Ø 1 p < ) ÓÒ Ò Ò ÓÐÐ Ò r Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ú º ÌØ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø p ÙÙÖ ÙÖ Ú Ø f p := sup { f r p : r < 1 } = lim r 1 f r p. Å Ð p = Ý ØÐ ÔØ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ñ Ñ Ô Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ º ËÙÙÖ ÓÐ ÒÓÖÑ ÐÐ ØÓØ ÙØ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º ÌÐÐ Ò Ñ Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓØ ÔÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ú Ò ÒÓÐÐ Ñ ØØ ÓÙ Ó º ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ¾½¾º ½¼
ÀÙÓÑ Ó º½º Â Ø Ó ÝØ ØÒ L p ( D)¹ ØØ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø Ñ Ö¹ ÒØ p º È ÒØ Ø Ý ÓÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÖÑ Ø ÑÙØØ Ò ÚÓ Ø Ô Ù ¹ Ó Ø Ø Ú ÖÑ Ø Ø Ñ Ú ÖÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØݺ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ø Ý Ó µ H p (D) (1 p ) ÓÓ ØÙÙ Ý Ó D Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ f p < º ÅÖ Ø ÐÑ º º Ý ÓÒ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ µ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ N(D) ÔÙÓÐ ¹ Ø Ò ÓÓ ØÙÙ Ø Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f Ó ÐÐ f < º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ø ÝØ ØÒ ÑÝ Ñ Ö ÒØ H = Nº À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ÐÐ Ý Ó ÓÒ ÒÝØ ÒÒ ØØÙ Ò ÑÑ Ø ÑÖ Ø ÐÑغ Ò ÐÑÝ ¹ ÐÐ ÐÙ ÚÓ ÔÓ ÐÐ Ý ÝÑÝ Ø Ñ Ò ÒÒ Ø Ú Ò Ñ Ò ÑÙÓ ØØÙÙÒ L p ¹ Ú ÖÙÙØ Ò ÒÒ ØØ ÒÒ ØØ ÙÓÑ ÓØ Ø Ñ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÝÒ Ó Ø ¹ Ú ØÝ Ó Ò Ø ÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ Ð Ø ØØ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÔ Ö º ÀÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ ÙÙ ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò Ý ÝÐÐ ÝÝ ÔÓ Ú Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º Ó ØØ Ò ÓÒ ÑÝ Ú Ð Ú ÑÔ ØÙØ ÙÒ Ø ÓÔ Ö Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ð ØÝØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ñ Ò Ð H p ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ô ÝØÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ÑÙØØ ÒÒ Ò ØØ ÓÒ ÝÝØ Ñ Ò Ø Ö Ø ÐÐ H p ¹ N¹ Ú ÖÙÙ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒÒ ØØ º º¾ Ú ÖÙÙ Ò H p N Ô ÖÙ Ö ÒÒ ÇÐ ÓÓÒ {f n } Ú ÖÙÙ Ò H p ٠ݹ ÓÒÓ z r < R < 1º Ë ÙÖ Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò Ò¹ ÑÑ Ò Ò Ó Ø ÔØ Ù ÝÒ Ú Ò ØÓ Ò Ò L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ØÙØÙÒ À Ð Ö Ò ÔÝ ØÐ Ò Ú Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ (R r) (f n f m )(z) 1 D (f n f m ) R dm ( 1 D (f n f m ) R p dm) 1/p fn f m p. Ì Ø ÔØ ÐÐÒ ÓÒÓÒ {f n } ÙÔÔ Ò Ú Ò ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø Ý Ó Ò ÐÝÝع Ø Ø ÙÒ Ø ÓØ fº ØÓÙÒ Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ R < 1 ÔØ 1 (f f m )(z) p 1 dm = lim (f n f m )(z) p dm lim n f n f m p n p. U(,R) U(,R) ÂÓ ÐÐ ǫ > ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò n ǫ ØØ ÐÐ n > n ǫ ÔÝ ØÐ f n f nǫ p < ǫ ÓÒ ÚÓ Ñ º ØÑÐÐ ØÑ ÝÐÐÓÐ Ú Ò ØÙÐÓ Ò Ò f f nǫ p lim n f n f nǫ p < ǫ. H p ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ð Å Ò ÓÛ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ Ý Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÓØ Ò H p ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ ¹ Ú ÖÙÙ Ó ÐÐ 1 p < º ÇÒ ÐÔÔÓ ÒÝØØ ØØ ÑÝ H ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ º L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ð ÐÚ ØØ H H q H p N Ó 1 p < q < º Î Ñ Ò Ò ÐØÝÚÝÝ ÙÖ ÙÓÖ Ò ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ú Ù Ø º Ë ÙÖ Ú ÓÒ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ñ Ø Ø ÚÓ Ø ØØ ÐÑÐÐÔ Ø Ò ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ö Ý ÝÐÐ Ò Ò ÔÙØÙÐÓ Ó ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ Â Ò Ò Ò Ú Ò º ½½
º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ì ÓÖ Ñ º º Â Ò Ò Ò Ú µ ÇÐ ÓÓÒ f Ó U(, R) Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f() z 1,..., z n Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ó U(, r) ( < r < R) ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó ¹ Òµº ÌÐÐ Ò ÔØ f() n r z i = exp { 1 } log f(re iϕ ) dϕ. ÌÓ ØÙ º ÂÖ Ø ØÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ø Ò ØØ z 1,.., z k U(, r) z k+1 = = z n = rº Ø Ø Ò k r 2 z i z n z i g(z) = f(z) r(z i z) z i z. i=k+1 Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ g ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ó U(, r + ǫ) ÓÐÐ Ò ǫ > g ÐÐ ÓРݹ Ó ÒÓÐÐ Ó Ø º ÌØ Ò log g ÓÒ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÖÚÓ¹ ÓÑ Ò ÙÙØ Ò ÒÓ ÐÐ log g() = 1 log g(re iϕ ) dϕº ÙÒ Ø ÓÒ g ÑÖ Ø ÐÑ Ø ¹ Ò ÒÝØ Ö ÐÐ Ø ÖÚ ÓØ g() = f() k r z i { log g(re iϕ ) = log f(re iϕ ) = log f(re iϕ ) + = log f(re iϕ ) k r z ie iϕ z i re iϕ k log(1) + n i=k+1 n i=k+1 n i=k+1 log 1 e i(ϕ ϕi). z } i z i re iϕ re iϕi log re iϕi re iϕ ÁÒØ ÖÓ Ø Ð ÑÑ Ø ÖÚ ÓØ ÝÐ ϕ Ò ÚÐ ÐÐ [, ] Ú Ñ Ò Ø ÖÑ Ú º ع ÑÐÐ ÒÝØ ÙØ ÖÚ ÓØ log g Ò ÖÚÓ¹ÓÑ Ò ÙÙØ Ò Ò ÐÙØØÙ ØÙÐÓ f() k r { 1 z i = g() = exp { 1 = exp { 1 = exp log f(re iϕ ) } log f(re iϕ ) dϕ } log g(re iϕ ) dϕ n i=k+1. } log 1 e i(ϕ ϕi) dϕ Â Ò Ò Ò Ú ÝØ ØÒ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ó Ó ØØ Ñ Ò Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓй Ð Ó ÐÐ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f N ÑÖ Ø ÐØÝ Ý Ó f º ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓÐÐ Ó Ø ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ò ÓÒ i (1 z i ) < º ÌÓ ØÙ º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐ Ú Ò Ö ØØ Ñ Ø Ó ÑÙÙØÓ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº Ä ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ f() Ó ÑÙÙØÓ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f(z)/z m Ñ f ÐÐ ÓÐ ÓÖ Ó ÖØ ÐÙÚÙÒ m ÒÓÐÐ Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ n(r) f Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º ÌÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙÐØ ¼ º ½¾
ÙÐ ØÙ Ó U(, r)º Ã ÒÒ Ø ØÒ k Ú Ð Ø Ò r < 1 ÓÐÐ ÔØ n(r) > kº ÆÝØ Â Ò Ò Ò Ú Ø Ò ÔÝ ØÐ n(r) r { 1 f() z i = exp f() k r { 1 z i exp } log f(re iϕ ) dϕ } log + f(re iϕ ) dϕ. ÔÝ ØÐ Ò Ó ÔÙÓÐ ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ < r < 1 Ó ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò f Nº ÌØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ c < ÓÐÐ ÖÚ Ó k z i rk f() c ÔØ ÐÐ k Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ r 1º ÐÐ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ z i f() >. c ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ ØÙÐÓ i z i ÙÔÔ Ò Ó z i < 1 ÐÐ iº ÐÐ Ò Ö Ó Ø Ø Ò z i exp( z i 1) i z i exp ( i (1 z i ) ) º ÌÑÒ ØÙÐÓ Ò ÒÓ ÐÐ i (1 z i ) < Ó ÑÙÙØÓ Ò ØÙÐÓ ÙÔÔ Ò º ÌÙÐÓ ÓÒ Ú Ö Ò Ñ ÐÐÝØØÚ Ú ÐÚ Ø Ð Ò ØÙÐÓÒ Ú Ú ÑÔ Ò Ð ÒÓÐÓÓÒ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ ØÙØ ØØ º ËÙÓÖ ÙÖ Ù Ð Ù Ø º ÓÒ ØØ ÒÓ Ý ÓÒ ÙÒ Ø Ó f N ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ i (1 z i ) = ÓÒ f º Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ò ÓÒº Ö ØÝ Ø ØÑ ÔØ ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ º Å Ð Ò ÒØÓ ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ØÙØ Ñ ¹ ÐÐ Ð ØØ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò ÖÓØØ ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÑ Ò ØØ Ú ÙØØ Ý Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖÑ Òº Ä Ù º º Î Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ý ÓÒ Æ Ú ÒÐ ÒÒ Ò Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó f f ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ò ØÙÐÓ Bº Ø Ø Ò ÒÝØ g = f/b ÓÐÐÓ Ò g N g = f ÐÐ Ò Ñ Ð f H p Ò Ò g H p Ö ØÝ Ø g p = f p ÙÒ 1 p º ÌÓ ØÙ º Ó z D Ð Ò ØÙÐÓÒ ÖÚÓ ÐÐ ÔØ Ò ÔÝ ØÐ B(z) 1 ÓØ Ò g(z) f(z) ÙÒ z Dº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f H p (p = Ø 1 p )º ÇÐ ÓÓÒ B s ÙÒ Ø ÓÒ f s Ò Ò ÑÑ Ò ÒÓÐÐ Ó Ò Ö ØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÖØ ÐÙÚÙØ ÙÓÑ Ó Òµ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð Ò ØÙÐÓ g s = f/b s º ÂÓ ÐÐ s ÔØ B s (re iϕ ) 1 Ø Ø ÙÒ r 1º ÌØ Ò g s p = f p º ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ g r p = lim s (g s) r p f p. Î Ñ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ r < 1 ÓØ Ò Ö ÐÐ r 1 Ò g p f p º ¹ ØÑÐÐ ØÑ ØÓ ØÙ Ò ÐÙ Ø ØÝÝÒ ÙÓÑ ÓÓÒ Ò g p = f p º Ä ÑÑ º º ÂÓ ÐÐ f H p f, (1 p < ) ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ó ØÓÒ ÙÒ Ø Ó h H 2 ÓÐÐ ÔØ f = B h 2/p º Ö ¹ ØÝ Ø Ó Ò Ò f H 1 ÑÙÓ Ó ØÙÙ ØÙÐÓ Ø f = gh Ñ ØÙÐÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò H 2 º È Ð ÙÒ Ñ Ö ØÝ Ú Ð ØØÝÝ ÚÙÐÐ ¾ º ½
ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ f/b H p f p = f/b p º ÙÒ Ø Ó f/b ÓÒ ÒÓÐÐ ¹ Ó ØÓÒ Ý Ø Ý Ø Ò ÐÙ D ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó φ ÓÒ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó exp(φ) = f/bº ½¼ Ø Ø Ò ÒÝØ h = exp(pφ/2) ÓÐÐÓ Ò h ÓÒ Ò ÐÝÝØØ ¹ Ò Ò h 2 = f/b p ÓØ Ò h H 2 Ð Ù Ò º ÑÙ Ò h 2 2 = f p p Ñ Ø ÓÑ Ò ÙÙ f = B h 2/p ÙÖ º Ä ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ ÒÝØ ØÓ Ø ØØÙº ÂÐ ÑÑ Ò Ó Ò Ó Ó ØØ Ñ ÝØ ØÒ Ó Ó Ó Ø ØØÙ ØÙÐÓ Ø f = (Bh) h (f H 1 ) ÓÐÐÓ Ò g = Bh ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº º H p ¹ ÙÒ Ø ÓØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÒÝØ Ø ØØÝ ÑÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ ØÙÐÓ ÑÙØØ ÙÒ ¹ Ø Ó Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ð ØÝØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ ÒÝØ Ú ÐÐ ÙÓÑ ÓØ º Ë ÙÖ Ú Ô Ò Ù ÙØ Ò Ø Ò Ý ÝÑÝ Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Òº ÐÙ ÒÒ Ø Ò ÑÙÙØ Ñ ÑÖ Ø ÐÑ ØÑÒ Ð Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Mf ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø ÝØغ Mf ÓÒ ÑÙÓØÓ Mf(e iϕ 1 ) = sup I e I iϕ I f(t) dt, Ñ I ÓÒ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö I ÓÒ Ö Ò Ô ØÙÙ º Ë ÙÖ Ú Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÚØ ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ÐØ ½ ½ º ÀÙÓÑ Ó º º (1) ÇÐ ÓÓÒ m Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ f L 1 ( D) λ >. ÌÐÐ Ò Mf < Ñ Ð Ò ÐÐ m ( {e iϕ : Mf(e iϕ ) > λ} ) C 1 λ f 1. (2) ÙÒ Ø Ó ÐÐ f L p ( D) (p > 1) ÔØ Mf p C p f p Å Ö ÒØ S α ( < α < π/2) Ø Ö Ó ØØ ÓÙ Ó Ó ÝÒØÝÝ Ý ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Ø 1 ÑÙÓ Ó Ø ØÙÒ 2α Ò ÙÙÖÙ Ò ÙÐÑ Ò ÓÖ Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ØÙÒ π 2α Ò ÙÙÖÙ Ò Ù ÙÐÑ Ò Òº S α ÓÒ Ð ÒÑÙÓØÓ Ò Ò Ý ÓÒ ÚÓ Ò Ó ÓÙ Óº Å Ö ÒØ e iϕ S α ÔÙÓÐ Ø Ò Ø Ö Ó ØØ S α Ò ÖØÓ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ ÙÐÑ Ò ϕ Ú ÖÖ Òº È Ø ØØ e iϕ ÚÓ Ð ØÝ ÐÙ e iϕ S α Ø Ò ÒØ Ð Ø Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ù Ø Òº S α O π 2α 2α 1 ½¼ ÌÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ ØÙ Ð ÝØÝÝ ÊÙ Ò Ò Ö Ø ÚÙÐØ ¾ º ½
ÅÖ Ø ÐÑ º º ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓµ Ó D ÑÖ Ø ÐÐÝÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ f ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ f Ô Ø e iϕ Ó f(z) f (e iϕ ) ÙÒ z e iϕ ÐÙ e iϕ S α ( < α < π/2)º ÅÖ Ø ÐÑ º½¼º ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Óµ Ó D ѹ Ö Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó N α f ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ D Ú ÐÐ (N α f)(e iϕ ) = sup { f(z) : z e iϕ S α }. Ì ÓÖ Ñ º½½º ÇÐ ÓÓÒ < r < 1 f ÙÒ Ø ÓÒ g L 1 ( D) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð º ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ ϕ ÔØ (N α f)(e iϕ ) C α Mg(e iϕ )º ÌÓ ØÙ º ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ f ÓÒ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ ¹ Ø Ó ÓØ Ò f r 1 < Ó ÐÐ r < 1º Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ø ÓÖ Ñ ÔØ ÙÒ ϕ = º ÆÝØ f(r) = 1 P(r, t)g(t)dt = 1 P(r, t)g(t)dt. D ÈÓ ÓÒ Ò Ý Ò P ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ú ÙÒ t [, π] ÓØ Ò Ø ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ð ÐØ ÓÒÓÐÐ Ð Ú Ý Ò ÖØ ÙÒ Ø Ó Ø φ i (t) = i n=1 a nχ ( xn,x n)(t) Ñ a i 1 2x i < x 1 <... < x i < 1º ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ 1 φ i (t)dt = 1 D i n=1 ËÙÑÑ 1 i n=1 2x na n 1 ÐÐ i ÓØ Ò 1 φ i (t)g(t)dt 1 φ i (t) g(t) dt 1 D D D 2x n a n 1 P(r, t)dt 1. D i n=1 ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ f(r) 1 1 xn 2x n a n g(t) dt Mg(1). 2x n x n P(r, t) g(t) dt Mg(1)º ÇÐ ÓÓÒ z = r e iϕ S α º ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ϕ > Ó Ø Ô Ù ϕ = ÓÒ Ó Ø ÐØÝ Ø Ô Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò ϕ < Ò º ÄÝ ÝØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÒØ ÓÒ tan(α) ϕ (1 r ) º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ð ÝØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò P(r, ϕ t) ÐÐ t ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÝÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ψ(t) = sup{p(r, ϕ s) : s > t }º ÌÐÐ Ò ψ(t) = P(r, ) ÙÒ t ϕ ψ(t) = P(r, t ϕ ) ÙÒ t > ϕ º ÐÐ Ó ØÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ 1 D ψ(t)dt = 1 ϕ ϕ P(r, t ϕ )dt + 1 1 + 4 tan(α) = C α. ϕ ϕ P(r, )dt 1 + 1 π ϕ 1 + r 1 r dt Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò ÐÐ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ ψ(t) Ð ÐØ ÓÙ ÓÐÐ Ð Ú Ú Ó¹ ÙÒ Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò 1 ψ(t) g(t) dt Cα Mg(1) Ö ØÝ Ø f(z ) C α Mg(1)º È Ø z Ú Ð ØØ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø ÓØ Ò ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ z S α º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò Ö Ó ØØ sup z Sα f(z) = (N α f)(1) C α Mg(1)º ÃÓÖÓÐÐ Ö º½¾º ÙÒ Ø ÓÒ g L p ( D) (1 < p ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ f = P[g] ÔØ ÔÝ ØÐ N α f p C α Mg p º Ë ÙÖ Ú Ø Ð ÑÑ Ø º½ º½ ÚÓ Ó Ø ÑÝ ÓÖÓÐÐ Ö Ø º½¾ ÑÙØØ Ø ØÒ Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÒÒÓÒ ÚÙÓ Ñ Ò Ö Ð Ø ØÓ Ø٠غ ½
Ä ÑÑ º½ º À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ µ ÇÐ ÓÓÒ h(re iϕ ) ÙÒ Ø ÓÒ f L p ( D) (1 < p < ) ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ø Ø Ò F(ϕ) = sup r<1 h(re iϕ ) º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø Ó F L p( [, ) ) ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ò p Ø Ö ÔÔÙÚ Ú Ó C p ÓÐÐ F p C p f p º ÌÓ ØÙ º Â Ø Ø Ò ÐÙ ÙÒ Ø Ó f Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ ¹Ô Ö Ó Ñ Ö ØÒ f(t) = t f(s)dsº ËÙÓÖ Ø Ø Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ º h(re iϕ ) = 1 P(r, ϕ t)f(t)dt = 1 [ ] P(r, ϕ t) f(t) 1 t t f(t) {P(r, ϕ t)} dt t à ÒØ ÐÐ ϕ ÓØ Ø Ò ÝÐÐÓÐ Ú Ø Ø ÖÚÓ ÙØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½½ ØÓ ØÙ ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ Ò ÈÓ ÓÒ Ò Ý ÒØ ÔÓÖÖ ÙÒ Ø Ó ÐÐ φ i (t) ÝØ ØÒ ØÙÐÓ Ø f(t)/t Mf(e iϕ ) ÓÐÐÓ Ò 1 [ φi (ϕ t) f(t) ] 1 t f(t) {P(r, ϕ t)} dt t t 1 f(t) dt + 1 t t {P(r, ϕ t)} Mf(e iϕ )dt Mf(e iϕ ) + 2r 1 + r Mf(eiϕ ) < 2Mf(e iϕ ). ÅÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ h(re iϕ ) 2Mf(e iϕ )º ØÑÐÐ ØÑ ÙÓ¹ Ñ ÓÒ º Ó Ò ¾µ Ò Ò h p C p f p Ñ ÔØ ÐÐ hº ÙÒ Ø Ó F ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò h r ÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ñ Ø ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò Ð ÑÑ ÓÒ Ò Ò ØÙ ØÓ Ø ØØÙ º Ä ÑÑ º½ º À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ µ ÇÐ ÓÓÒ f H p (D) (1 p ) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø Ó F(ϕ) = sup r<1 f(re iϕ ) º ÌÐÐ Ò F L p( [, ) ) F p C p f p º ÌÓ ØÙ º Ø Ø Ò ÒÒ Ø ØÝÐÐ R ÙÒ Ø Ó g(z) = f(rz) p/2 º Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ g(z) ÓÒ Ù ÖÑÓÒ Ò Òº Ä Ù Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h ÓÐÐ h(z) g(z) ÙÒ z D h(z) = g(z) ÙÒ z Dº ÌØ Ò Ð ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ G(ϕ) = sup g(re iϕ ) r<1 ÔØ G L 2( [, ) ) G 2 C 2 g 2 ÓØ Ò F R (ϕ) = sup r<1 f(rre iϕ ) ØÓØ ÙØØ ÓÒ F R p C 2/p 2 lim r R f r p º ÒÒ Ø Ò ÒÝØ Ú Ñ ÑÑ ÔÝ ØÐ R 1 ÓÐÐÓ Ò F R (ϕ) F(ϕ) Ú ÓØ Ò Ä Ù Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÒÓ ÐÐ ØÓ ØÙ ÓÒ ÐÚº Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓÒ 1 < p f Ý Ó ÖÑÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ sup r<1 f r p < Ý ÓÒ L p ¹ÒÓÖÑ µº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò g L p ( D) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð f ÓÒº ÌÑ Ð Ù ÓÒ Ó ÊÙ Ò Ò Ø Ó Ò Ê Ð ² ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ø ÓÖ Ñ ½½º ¼ ÚÙÐÐ ¾ º ÌÓ ØÙ Ø ØÒ Ó Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ð ÑÔ ÖÑÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ú Ó Ó¹ Ò ÙÙØØ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º Ë ÙÖ ØÙØ Ø Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓ Ñ Ò Ð Ò Ý Ø ØÒ Ù Ø ØÑÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Ø Ø ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ µ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÓÖ Ð¹Ñ ØØ m Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ º ÃÝØ ØÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ø ØÓ Ø ÑÙÓØÓ P(z, e it ) = 1 z 2 e it z Ñ 2 z = re iϕ º Å Ö ØÒ u(z) = P[dµ] = 1 P(z, e it )dµ(e it ) (Dµ)(e iϕ µ(i i ) ) = lim i m(i i ), D ½
Ñ ÓÙ ÓØ I i ÓÚ Ø ÚÓ Ñ e iϕ ¹ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö ÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø Ô Ø ØØ e iϕ º ÇÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ó ØØ ØØ u ÓÒ ÖÑÓÒ Ò Òº Ù Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ u r 1 = 1 u(re iϕ ) dϕ 1 1 P(z, e it )d µ(e it ) dϕ D = 1 1 P(z, e it )dϕ d µ(e it ) = 1 d µ(e it ) = µ <. D Ì ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ µ ÙØ Ò ÐÐ (Dµ)(e iϕ ) = ÓÐÐ Ò ϕº ÌÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ u(z) = 1 D P(z, eit )dµ(e it ) ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ô Ø e iϕ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ϕ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐ ØÓ (Dµ)(e iϕ ) = ØÓØ ÙØÙÙº à ÒÒ Ø ØÒ ǫ > º ÇÐ ØÙ Ò (Dµ)(e iϕ ) = ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò I iǫ ÓÐÐ µ(i i ) < ǫm(i i ) Ó ÐÐ i > i ǫ Ñ Ý ÝÑÔÝÖÒ Ö Ø I i ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø Ô Ø ØØ e iϕ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ µ ǫ Ñ Ø Ò µ Ö Ó ØØÙÑ Ö Ò I iǫ º Ø Ø Ò µ ǫ = µ µ ǫ Ñ Ö ØÒ Ú Ø Ú ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð u ǫ u ǫ º ÌÐÐ Ò ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ ÐÙ Ò e iϕ S α ÓÙ ÓÒ D I iǫ Ð Ù ÓÒ ØÝ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÝØ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ u ǫ (z) = 1 D D I iǫ P(z, e it )dµ(e it ) ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó Ø ÙÒ z e iϕ ÐÙ e iϕ S α º Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò u ǫ Ò Ò ÝÐÖ º Ì ÓÖ Ñ º½½ ÔØ Ú ÙÒ Ø ÓÒ g Ø Ð ÐÐ ¹ Ó Ø Ø Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö ÐÐ Ò Òµ ÓÖ Ð¹Ñ ØØ º ÌÑÒ Ñ Ò Ú Ú Ñ¹ Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò ÐÓ Ò Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½½ ØÓ ØÙ Ò Ò Ñ Ò ÚÙÓ ÚÙÙØ Ø Òº ÌØ Ò ÐÙ e iϕ S α z ÔØ u ǫ (z) (N α u ǫ )(e iϕ ) C α (Mµ ǫ )(e iϕ ) C α ǫ, Ñ Ú Ñ Ò Ò ÖÚ Ó ÙÖ Ó Ø µ(i i ) < ǫm(i i )º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò Ò ÖÚ Ó limsup z e iϕ u ǫ (z) C α ǫ ÐÙ e iϕ S α º ÐÐ Ò u = u ǫ + u ǫ ǫ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò ÓØ Ò lim z e iϕ u(z) = º Ì ÓÖ Ñ º½ º ØÓÙµ ÇÐ ÓÓÒ f L 1 ( D)º ÌÐÐ Ò f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ P[f] ÓÒ ÓÐ Ñ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ f(e iϕ ) Ñ Ð Ò ÐÐ Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÓ ØÙ º Ä Ó Ò Ò Ý ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ä Ù Ò Ô Ø º ÌÑ ÓÒ ØÓ ØØÙ ÑÙÙÒ ÑÙ ÁÐ ÀÓÐÓÔ Ò ÑÓÒ Ø Ò Ê Ð Ò ÐÝÝ Á ÚÙÒ ÙÓÑ Ó ¾ º¾º ÇÐ ÓÓÒ e iϕ ÒÝØ f Ò Ä Ù Ò Ô Ø m I i ÙØ Ò Ðк ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÓÒ f(e iϕ ) = ÑÙÙØÓ Ò Ú ÒÒ ØÒ ÙÒ Ø Ó Ø f Ú Ø Ú Ú Óº ÌÐÐ Ò ÔØ ÙÖ Ú ØÓ 1 lim f dm =. i m(i i ) I i ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð Ý ÝÑÔÝÖÒ ÓÖ Ð¹Ñ ØØ µ ÙÖ Ú Ø µ(e) = f dm. Å ØØ µ ØÓØ ÙØØ Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Óغ ØÑÐÐ ÙØ ØÙÐÓ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ lim i µ(i i) m(i i) = º ÌÓ Ò ÒÓ Ò (Dµ)(e iϕ ) = Ò Ò ÓÐÐ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð ÐÐ P[dµ] ÓÒ ÓÐ Ñ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ô Ø e iϕ º Ë Ñ ÔØ P[f] ÐÐ Ó P[f] P[ f ] = P[dµ]. E ½
Ì ÓÖ Ñ º½ º ÇÐ ÓÓÒ 1 p < f H p (D)º ÌÐÐ Ò (1) ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓØ N α f ÙÙÐÙÚ Ø Ú ÖÙÙØ Ò L p ( D) ÐÐ α < 1 (2) ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓØ f ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ D f L p ( D) (3) lim r 1 f f r p = (4) f p = f p º ÌÓ ØÙ º ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø (1) (2)º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ 1 < p < º ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø f H p ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò º½ й ÐÝØÝ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ L p ( D) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð f ÓÒº Ì ÓÖ Ñ Ò º½ ÒÓ ÐÐ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Ñ Ð Ò ÐÐ ÓÙ Ó ¹ Dº Ä ÓÖÓÐÐ Ö Ò º½¾ ÒÓ ÐÐ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ø Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø ÓØ N α f L p ( D) ÓØ Ò ÑÝ f L p ( D) Ó f (e iϕ ) (N α f)(e iϕ )º Ì Ô Ù p = 1º Ì Ò f ÐÐ Ð ÑÑ Ò º ÑÙ Ò Ò Ó f = B h 2 ÓÐÐÓ Ò h H 2 (D) f h 2 º ÐÐ Ò (N α f) (N α h) 2 ÓØ Ò ÝÐÐÓÐ Ú Ò ÑÙ Ò N α f L 1 ( D) Ó N α h L 2 ( D)º Î Ø Ú Ø B Ò h Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø ÓÙ Ó D ÙÖ f Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ö ØÝ Ø f N α f ÙÒ f ÓÒ ÓÐ Ñ º ÌØ Ò f L 1 ( D)º Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ó Ø (3) (4)º ËÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ØØ f r f Ñ Ð Ò ÐÐ f r N α f ÓØ Ò (3) ÔØ ÓÑ ÒÓ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÓ Ø (4) ÙÖ (3) Ø ÙÓÖ Ò ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ º ÃÓÖÓÐÐ Ö º½ º Å Ð f H 1 Ò Ò f ÓÒ f Ò ÈÓ ÓÒ Ò ØØ Ù ÝÒ ÒØ Ö Ð º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÖ ÙÓÑ Ó Ø ØØ f r (z) = f(rz) ÓÐÐÓ Ò f r H(U(, 1/r))º ÌÐÐ Ò f r (z) = 1 ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º½ Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ f(z) = 1 P(z, e it )f r (e it )dt f r (z) = 1 P(z, e it )f (e it )dt f(z) = 1 f r (e it ) e it z dt, f (e it ) e it z dt. Ì Ò Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ÑÙÙÒ ÑÙ ØØ Ó Ò Ò H p ÙÒ Ø Ó (1 p ) ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ØØ Ù ÝÒ ÒØ ¹ Ö Ð À Ö Ý¹Ä ØØÐ ÛÓÓ Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó Ö Ó ØØ Ý Ø Ò H p ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙ º ÌÑ ÙÖ ÓÖÓÐÐ Ö º½ Ø Ø ÓÖ Ñ º½½ Ø Ø ØØ H 1 H p (1 < p )º Ä ÑÑ º¾¼º ÇÐ ÓÓÒ f H p ÙÒ 1 p < º ÌÐÐ Ò ÔØ f(z) C p f p (1 z 2 ) 1/p º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ p = 1 Ö Ó Ø Ø Ò f ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ð Ò f(z) = 1 P(z, e it )f (e it )dt 1 1 z 2 e it z 2 f (e it ) dt 1 1 + z 1 z f (e it ) dt = 1 + z 1 z f 1 2 1 z 2 f 1. ½
Ä ÑÑ ÔØ ÙÒ p = 1º Ë ÙÖ Ú Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ò ØØ H p H 1 Ó ÐÐ p > 1º ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ g H p ÔØ g p H 1 ÓÐÐÓ Ò g(z) p = g(z) p 2 2 1 z 2 g(z)p 1 = 1 z 2 g(z) p p C p g(z) (1 z 2 ) g(z) p. 1/p º À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð À Ö ÝÒ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ð Ø ØØ Ó Ø ÓÑ ÐØ Ó ÐØ Ò Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò ØÙÐÓ Ò ÑÙØØ ØÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ Ù Ð Ú ÖÙÙØØ Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò ØÓ Ø Ñ ¹ Ò ÔÔ Ð º º ÌÑÒ ÚÙÓ ØÓ ØÙ Ú Ø Ø Ò Ö ÐÐ ÙÙØ Òº L p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÖ Ø ØÙØØÙ Ù Ð Ú ÖÙÙ Ò Ø ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ø H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº Ú ÖÙÙ Ò H p Ù Ð Ú ÖÙÙ ÓÒ H q Ñ ÔÓÒ ÒØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò 1 p + 1 q = 1 ÙÒ 1 < p < p q ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓÒ Ù ØØ µº Ö ØÝ Ø H 2 ÓÒ Ø Ò Ù Ð º Ð Ò Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ X ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ö ÐÐ Ò ÚÙÐÙÓ Ò X/S ÙÒ Ò ÙÐ ØÙÒ Ð Ú ÖÙÙ Ò S Ù Ø Òº Ö ØÝ Ø S ØÓ Ñ ÚÙÐÙÓ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ÚÙÐÙÓ Ò x+s ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x+s = inf y S x+y º ÂÓ Ò Ò ÚÙÐÙÓ ÓÒ Ø Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ º X ÐÐ ÓÔ ÖÓ Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ X º X Ò Ð Ú ÖÙÙ Ò S ÒÒ Ð ØØÓÖ ÙØ ÙØ Ò Ø X Ò Ð Ú ÖÙÙØØ S ÓÒ Ò Ø φ S ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÐÐ x S ÓÒ φ(x) = º Ì ÓÖ Ñ º¾½º Ú ÖÙÙ X /S ÓÒ ÓÑ ØÖ Ø ÓÑÓÖ Ò Ò S Ò Ò Ó ÐÐ ÒÒ Ø ØÝÐÐ φ X ÔØ Ñ Ö ØÝ Ø Ñ Ò Ñ ÚÙØ Ø Òº sup φ(x) = min φ + ψ, x S, x 1 ψ S ÌÓ ØÙ º ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ½½¼ Ø ÓÖ Ñ º½º H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò (1 p < ) ÝÐ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð φ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó φ(f) = 1 f(z)k(z)dz, i D Ñ k(e iϕ ) L q 1 p + 1 q = 1º ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ØÝ Ð ÝØÝÝ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙÐØ ½½ º Ú ÖÙÙ H p ÓÒ ÓÑ ØÖ Ø ÓÑÓÖ Ò Ò ÚÙÐÙÓ Ò L q /H q Ò H p Ò ÒÒ Ð ØØÓÖ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ò Ò H q Ò Ò º ½½ ÌØ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º¾½ ÒÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó h L q Ò Ý Ò k ÑÖ ØØÚØ Ñ Ò H p ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ó Ú Ò Ó h k H q Ð h k ÙÙÐÙÚ Ø Ñ Ò ÚÙÐÙÓ Ò L q /H q º ÃÓÖÓÐÐ Ö º¾¾º ÃÙÒ 1 p < ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÙÓÑ Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º¾½ ÒÓ ÐÐ 1 f(z)k(z)dz = min k g L q. g H q sup f H p, f p 1 D ÃÙØ ÙØ Ò ØØ Ù Ð Ø ØØ Ý ØÐ º ÌÓ ØÙ Ò ÚÓ ÐÙ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙÐØ ½ ¼º ½½ ÙÖ Ò Ò Ø Ó Ò ÚÙ ½½¾º ½
ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø Ö Ó Ý ÓÒ ÓÒÓØ {z i } ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÒÓØ {w j } Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ Ö ÔÔÙÚÙÙ f(z k ) = w k Ñ f H p º ÇÒ ÐÑ Ò ÐØÝÝ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò f Ð ÝØÑ Ò Òº Æ Ò ØÖ Ø Ò Ð Ò Ý ÝÑÝ Ò ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ Ú ÐØ Ø Ö Ø Ù ÑÙØØ ØÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ò Ö ØØÚ ØÙØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ H ¹ Ú ÖÙÙ Ð ÒØ ØÙ ØÙÐÓ ÔØ ÑÒ ÑÝ ÑÙ Ò H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ý Ø Ý Ø ÐÐÒ Ô Ð ÓÒ ÓÒÓ Ú ÖÙÙ l p (1 p ) ÓØ ÓÚ Ø Ò ¹ Ú ÖÙÙ º Ë ÒÓØ Ò ØØ ÓÒÓ {z i } l p Ó ( i z i p) 1/p < ÙÒ 1 p < sup i { z i } < ÙÒ p = º Ö ØÝ Ø l 1 l p l q l ÙÒ 1 < p < q < º º½ ÁÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ ÌÙØ ØØ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒÓ ÝÐ Ø H p ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÓÒ Ù Ò Ý ÝÐÐ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ð ÑÑ Ø Ò ÙÐÑ Ø º à ÒÒ Ø ØÒ p (1 p ) {z i } Ø Ø Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ T : f {f(z i )} Ó ÙÚ ÙÒ Ø ÓÒ f ÙÚ ÓÒÓ {f(z i )}º ÀÙÓÑ Ó º½º ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØØ ÝÝ Øµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó¹ ÒÓÐÐ {z i } ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó f H p º ÃÝ Ò ÓÒÓÒ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÒÓÐÐ ÓÒÓÒ Ó Ô Ø ÓØ Ò ÑÝ ÙÒ Ø Ó f + Bg Ñ g H p ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÓÒÓÐÐ {z i }º Å Ð ÓÒÓ ØÝØ Ð Ò ØÓ Ò Ò ØÐÐ Ò f ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓص Ë ÒÓØ Ò ØØ {z i } ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÓÒÓ Ú ÖÙÙ¹ H p Ó T(H p ) l p º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ò Ð ÝØ Ú ÖÙÙ Ò H p ÙÚ T(H p ) ÓÒÓØ Ò ÚØ Ù Ò Ò ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó p = º Ì Ø Ô Ù ÙÒ Ø ÓØ f ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò T(H ) l T : H l ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ö ØÝ Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÔØ T(H ) = l º Ð Ø Ó Ò Ò ÓÒÓ Ò Ó ÐÐ ÐØÝÚÝÝ T(H ) l ÓÒ ØÓ Ó Ö ØØ Ò Ø Ò ÓÒÓÒ {z i } Ú Ú Ø Ó ÐÐÓ Ú Ò ÓÒÓÒ {w i } ÚÐ ÐÐ ÓÐ ÓÐ Ñ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÙÒ Ø ÓØ f H º ÇÒÒ Ø ÓÒ ÒÒ ÐØ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÓÒÓØ ÚØ ÙÙÐÙ Ø Ò ÓÙ ÓÓÒº ÅÖ Ø ÐÑ º º Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓص ÂÓÒÓ {z i } ÒÓØ Ò Ø Ø ÒØ Ö¹ ÔÓÐÓ Ú H Ó T(H ) = l º ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÒÒ ØÙÖ ÙÒ p = Ó ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ò H ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ú Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙÚÙÙ Ò Óغ Ì Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÐÙÒ Ø Ù ¹ Ø Ò Ò Ô Ò ØÙØ ØØ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÑÙ ÐÐ p Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓ {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò Ò Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ {w i } l Ð ÝØÝÝ f H ÓÐÐ f(z i ) = w i º ÁÒØÙ Ø Ú Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÓÒÓÒ z i Ô Ø Ø ÚØ ÓÐÐ Ð Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò ÓØØ ÓÒÓ ÓÐ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú º ÌÑ ØÓ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÐÑÓ ØØ ÓÒ¹ Ö ØØ ÑÑ Ò Òº ¾¼
º¾ Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓØ ÅÖ Ø ÐÑ º º Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ø ÓÒÓص ÂÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ z i z j δ j. 1 z i z j i j ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ Ð Ò ØÙÐÓ B ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø {z i } ÙÔÔ Ò º Ì Ó¹ Ö Ñ º ØÙÐ Ó Ó ØØ Ñ Ò ØØ {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú H Ó Ú Ò Ó ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ñ Ò Ð Ò ÐÐ ÐÐ ÓÐÐ Ø ØÒ Ú Ð ÓÐÑ Ý ØÔ Ø¹ Ú ØÓº ÒÒ Ò Ý Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ØØÑ Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓÒÓ º Ì Ø Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ø Ö ØÝ Ø Ú Ø Ú Ò Ð Ò ØÙÐÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÖ ØØ Ý Ò ÓÒÓÒ ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØØ Ð Ò ØÓ i (1 z i ) < º Ä ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ B n (z) = ( z n z n z z n 1 z nz) 1 B(z) Ð Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÓÒÓÒ {zi } Ð Ò ØÙÐÓ Ó Ø ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ n Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓØ ØØÙ Ô Ø zº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÙÒ Ø ÓØ ÝØ ØÒ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò º ØÓ Ø Ñ º Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ {z i } Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ < z 1 z 2... º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó K δ > ÓÐÐ ÔØ Ê α n (z n ) K δ ÐÐ n Ñ α n (z) = k n 1 + z k z 1 z k z (1 z k 2 ). ÌÓ ØÙ º ÙÒ Ø ÓÐÐ α n Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ø ÖÚ ÓØ α n (z) = k n Ê α n (z) = k n 1 z k z 1 + z k z 1 z k z 1 z k z (1 z k 2 ) = 1 z k z + z k z z k 2 z 2 1 z k z 2 (1 z k 2 ) k n 1 z k 2 z 2 1 z k z 2 (1 z k 2 ). Ä Ó ÐÐ k n ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ 1 2 z k 2 + z k 4 = 1 z k 2 (2 z k 2 ) 1 z n 2 (2 z k 2 ) = 1 2 z n 2 + z n 2 z k 2, ÓØ Ò 1 z n 2 z k 2 2(1 z n 2 ) ÙÒ Ø ÓÐÐ Ê α n (z n ) Ò ÖÚ Ó Ê α n (z n ) = k n 1 z k 2 z n 2 1 z k z n 2 (1 z k 2 ) 2 1 z n 2 1 z k z n 2 (1 z k 2 ) k n = 2 1 z n 2 z k 2 + z n 2 z k 2 1 z k z n 2 = 2 1 z k z n 2 z k z n 2 1 z k z n 2 k n k n = 2 ( 1 z k z n 2) 2 4 log z k z n 1 z k z n 1 z k z n k n k>n 2 4 log z k z n 2 4 logδ = Kδ. 1 z k z n k n ÃÓÖÓÐÐ Ö º º Å Ð {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ i Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Ó A ÓÐÐ ÔØ (1 z i 2 )(1 z j 2 ) 1 z j z i 2 A. j=1 ¾½
ÌÓ ØÙ º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÖ ÙÓÖ Ò ÙÓÑ Ó Ø ØØ ÔÝ ØÐ Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ô ØÚÒ Ô ¹ Ò Ð Ù Ò º ØÓ ØÙ Ò Ý Ø Ý Ñ A = 1 2 log δº Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÙÖ Ú Ð Ù ÓÚ Ø Ú Ñ Ø ØÑÒ Ð ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓ Øº Ä ÑÑ º º α β 1 αβ α β 1 αβ Ó α < 1 β < 1. ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ú Ö Ò ÙÓÖ Ú Ú Ò Òº Å Ö ØÒ a = αº ÎÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ a > º ÇÐ ÓÓÒ < r < 1 ϕ < º ÌÐÐ Ò a reiϕ 2 a 2 2ar cos(ϕ) + r 2 = 1 are iϕ 1 2ar cos(ϕ) + a 2 r 2 = A + x B + x = l(x), A = a2 + r 2 2ar 1 + a2 r 2 2ar = B x = cos(ϕ). Ñ ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÒÝØ Ø l Ò Ñ Ò Ñ ÙÒ x < 1 ÑÙØØ l (x) = B A (B+x) 2 > ÓØ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÝØÝÝ Ó Ø ϕ( 1) = (a r)2 (1 ar) 2 Ñ ØÓ Ø Ð ÑÑ Òº Ä Ù º º ÂÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó c < 1 ØØ ÐÐ i ÔØ 1 z i+1 c(1 z i )º ÌÓ ØÙ º Ó Ø ÙÖ ÙÓÖ Ò ØØ 1 z j c j i (1 z i ) ÙÒ j > iº Ö ØÝ Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ i (1 z i ) < º ÌÑÒ Ð ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ ÙÖ Ú Ø ÔÝ ØÐ ÙÒ j > i z j z i (1 c j i )(1 z i ) 1 z j z i = 1 z j + z j (1 z i ) (1 + c j i )(1 z i ). Æ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ð ÑÑ Ò º ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÖ Ú ÙÒ j > i z i z j z j z i 1 z j z i 1 z j z i 1 cj i 1 + c j i z i z j ( 1 c n ) 2 > 1 z j z i 1 + c n j i n ÐÐ Ò Ò Ó Ó ØØ ÓÒÓÒ {z i } ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º Å Ð Ð Ù Ò º Ö ÐØ ÓÐ Ú ØØÙ z 1 < z 2 <... Ò Ò ØÓ ÓÐ ÑÝ ÓÐÐÙØ ÚÐØØÑØ Òº ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ø ØÒ ÐÙ Ò ÖØ ÐÐ º º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó H Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÓÖ Ñ Ò Ø ÐÐÒ Ó ÑÑ Ò Ñ Ò ØØÙ Ø Ò Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ØÙÚÙÙ Ò ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý H º Ì ÓÖ Ñ Ò ØÓ ØÙ Ò Ý Ø Ý Ú Ø ÙÙ¹ ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ δ ni = Ý ÓÒ ÃÖÓÒ Ö Ò ÐØ µº { 1, n = i, n i Ì ÓÖ Ñ º º Ë ÙÖ Ú Ø ÓØ Ý ÓÒ ÓÒÓÐÐ {z i } ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚØ (1) {z i } ÓÒ Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú ÓÒÓ H ; (2) inf n B n(z n ) = δ >, Ð ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ; (3) ÓÒ ÓÐ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T : l H ÓÐÐ T (w)(z i ) = w i ÐÐ Ò Ò i ÖÚÓ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ w = {w i } l. ¾¾
ÌÓ ØÙ º ½µ ¾µº ÄÙÚÙ ØÓ ØØ Ò H Ò ÓÐ Ú Ò Ò ¹ Ú ÖÙÙ Ð ØÝ ÐÐ Ò Ò ÒÓÖÑ Ú ÖÙÙ µº ÇÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ ØØ ÑÝ l ÓÒ Ò ¹ Ú ÖÙÙ T : H l f {f(z i )} ÓÒ Ø ÙÚ ÐÚ Ø Ð Ò Ö Ò Ò Ñ Ò Ð T(H ) = l ÓØ Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÓØ ØÝØØÝÚغ ÃÝ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó r > ØØ Ó ÐÐ n N ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f n H ÓÐÐ ÔØ f n r f n (z i ) = δ ni º ÆÝØ f n ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ð Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ÑÙÓ Ó f n = g n B n Ñ g n H f n = g n º Ö ØÝ Ø ÐÐ n ÔØ B n (z n ) = fn(zn) g 1 n(z n) r = δ > Ñ Ø ØÓ ØÙ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÙÖ º ¾µ µº ÇÐ ÓÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø Ö Ø ØØÝ Ø Ò ØØ < z 1 z 2... ÑÖ Ø ÐÐÒ ( 1 zn 2 ) 2 Bn (z) φ n (z) = 1 z n z B n (z n ) exp(α n(z n ) α n (z)), Ñ α n ÓÒ ÙØ Ò Ð Ù º º ÙÒ Ø Ó φ n (z) ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Òº Ä Ù Ò º ÒÓ ÐÐ ( 1 zn 2 ) 2 2(1 z n 2 z 2 )(1 z n 2 ) 1 z n z 1 z n z 2 = 2 ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ). Ä ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓØ Ò Bn(z) B n(z n) 1 Bn(zi) δ B = δ n(z n) niº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù T (w n ) = n w nφ n ØÙØ Ø Ò ÙÑÑ n φ n(z) º ÀÙÓÑ Ó Ò ÝÐÐ Ø ØÝØ Ø Ð Ù º Ò φ n (z) ( 1 zn 2 ) 2 Bn (z) 1 z n n n z B n (z n ) exp(ê α n(z n ) Ê α n (z)) 2 ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ) 1 δ exp(k δ Ê α n (z)) n 2 expk ( δ exp ( Ê α n (z) Ê α n+1 (z) ) ) 1 exp( Ê α n (z)) δ n = 2 expk δ exp( Ê α n+1 (z)) exp( Ê α n (z)) δ n = 2 expk ( ) δ lim δ exp( Ê α n+1(z)) exp( Ê α 1 (z)) n 2 expk ( ( δ lim δ exp 1 z k 2 z 2 )) z k 1 1 z k z 2 (1 z k 2 ) 2 expk δ = C δ. δ Æ Ò ÓÐÐ Ò n φ n(z) ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ φ n ÑÓ ÙÙÐ Ò φ n H Ó ÐÐ nº ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ ÑÝ ÓÔ Ö ØØÓÖ T ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙº ÐÐ Ó Ó Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ φ n (z n ) = 1 φ n (z i ) i n = ÓØ Ò φ n (z i ) = δ ni º ÌØ Ò T ØÝØØ µ Ú ØØ Ú Ø Óغ µ ½µº Ì ÓÖ Ñ Ò ÓÒ µ ÑÙ Ò ÐÐ w l ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù T (w) ÓÐÐ T(T (w)) = wº ÌØ Ò T(H ) l ØÓ ØÙ Ò Ú Ñ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÚ Ð Ø ÓÖ Ñ Ô Ø Ô Ò º Ì ÓÖ Ñ Ò ÒÓ ÐÐ H Ø Ø µ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ø ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÝ Ø Ø ¹ Ô ÖÓ ØÙÚ º ÄÙÚÙ º Ð ÒÒ Ø Ò ÐÙÚ ØÙÒ ÑÙ Ø Ø Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ Ú Ò ÓÒÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÑÙ Ò Ò H p ¹ Ú ÖÙÙ Òº ÒÒ Ò ÖØÝÑ Ø Ú Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò ÒÒ Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ú Ð Ý ÔÙ¹ ØÙÐÓ º ¾
Ä ÑÑ º½¼º ÇÐ ÓÓÒ a jk ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ØØ a kj = a jk n j=1 a jk M ÙÒ k {1, 2,..., n}º ÌÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ x 1,..., x n ÔØ n j,k=1 n a jk x j x k M x j 2. ÌÓ ØÙ º ÅÙÓ Ø Ò Ð Ù ØØ ÝØ ØÒ Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ n j,k=1 a jk x j x k n j,k=1 j=1 ( n ( a jk 1/2 x j )( a jk 1/2 x k ) a jk x j 2) 1/2( n a jk x k 2) 1/2 n a jk x j 2 M j,k=1 n x j 2. j=1 j,k=1 j,k=1 º ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù H p ¹ Ú ÖÙÙ ÐÐ Ë ÖÖÝØØ ØÙØ Ñ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÑÙ Ò Ý ÓÒ H p ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ù Ò H Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÖÒÐ Ø Ô ÒÓØ ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½½º Ô ÒÓØ ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Óµ ÇÐ ÓÓÒ {z i } ÓÒÓ T p : H p l Ð Ò ¹ Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÖÙÙ H p (1 p ) ÙÖ Ú Ø T p (f) = { (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) }. ÌÙÐ Ø Ò ØØ T = T º Ò ÑÑ Ò Ò Ý ÝÑÝ Ô ÒÓØ ØÙ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø Ð Ò Ñ ÙÚ ÓÙ ÓÓÒ ÓÒ Ð Ø ØØÝ ÖÖÓ Ò (1 z i 2 )º Ä ÑÑ Ò º¾¼ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÔÝ ØÐ (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) C p f p º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÔ Ö ØØÓÖ T p ÓÒ Ø ÙÚ º Î ÖÓ ØÙ Ò Ò Ò ØÓ ØØ ÓÓÒ ØØ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ T p (H p ) ÚÐØØÑØØ ÐÐÝ Ú ÖÙÙ¹ Ø Ò l p Ú {z i } ØÓØ ÙØØ Ò Ð Ò ÓÒº Ñ Ö º½¾º ÇÐ ÓÓÒ p = 1 ÓÒÓ {z k } ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ò ØØ z k = 1 k 2 º ÂÓÒÓ ØÓØ ÙØØ Ð Ò ÓÒ ÐÐ k (1 z k ) = k k 2 < º Ø Ø Ò f(z) = (1 z) 1/2 g(z) = (1 z) 1/4 ÓÐÐÓ Ò f 1 = g 2 2º Ã Ö Ó Ø Ø Ò g(z) Ý Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò Ú Ð ÒÒ ÐÐ z = z = re iϕ (z z ) n ( z g(z) = g (n) n (z ) = 1 + n! n= n=1 n! 4 n n k=1 ) (4k 3) = 1 + (z n n n=1 k=1 4k 3 ). 4k ÃÝØ ØÒ ÝÚ Ø ØÓ ØØ 1 + z 2 = (1 + z)(1 + z) ÓÐÐÓ Ò f Ò ÒÓÖÑ ÐÐ Ð ÝØÝÝ ÝÐÖ f 1 = g 2 2 = 1 1 + (1 z k 2 )f(z k ) k=1 n=1 k=1 e inϕ n k=1 4k 3 4k 2 dϕ 1 + k=1 n=1 ( 4n 3 ) 2n <, ÑÙØØ 4n (1 z k ) f(z k ) = (k 2 )(k 2 ) 1/2 = k=1 1 k =. Ä Ù Ó Ó ØØ Ò ØØ ÙÚ T 1 (H 1 ) ÐÐÝ Ú ÖÙÙØ Ò l 1 º Î Ø Ú ÙÒ Ø Ó Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ ÑÙ ÐÐ p Ò ÖÚÓ ÐÐ (p < )º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ý ÑÑ Ø ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ú H p ¹ Ú ÖÙÙ Ó Ú ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÐ Ù º ÃÝ Ò Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÒ H p ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ð ÒØ Ò ØÙÐÓ Ú Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò Ö ØØ Ò ØÝ Ð º ¾
Ì ÓÖ Ñ º½ º ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù µ ÇÐ ÓÓÒ 1 p º ÆÝØ T p (H p ) = l p Ó Ú Ò Ó {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÌÓ ØÙ º Ì Ô Ù p = ÔØ Ø ÓÖ Ñ Ò º ÒÓ ÐÐ ÓØ Ò ÓÐ ÓÓÒ 1 p < º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ô ÖÓ ØÙÚÙÙ Ò ÙÖ Ú Ò Ó Ø T p (H p ) = l p º À Ñ Ò ÝÐ ÑÑ Ò ÔØ ØØ Ñ Ð T p (H p ) l p Ò Ò ÙÐ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ T p ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ó Ò ÙÚ ÓÒ ÙÐ ØØÙº ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ ØÙÐ ÒÝØØ ØØ T p f = w Ó f n f Ú ÖÙÙ H p T p f n w Ú ÖÙÙ l p (w = {w i })º Ä ÑÑ Ò º¾¼ ÒÓ ÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ø f n f ÙÖ ØØ f n (z i ) f(z i ) ÐÐ iº ÌØ Ò (1 z i 2 ) 1/p f n (z i ) (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) ÐÐ iº ÌÓ ÐØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø T p f n w ÙÖ (1 z i 2 ) 1/p f n (z i ) = (T p f n )(z i ) w i ÐÐ iº Ê ¹ ÖÚÓÒ Ý ØØ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ (T p f)(z i ) = w i ÐÐ i T p ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÃÙÚ Ù T p : H p l p ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ø Ñ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ ÙÚ Ù T p : H p /Ker(T p ) l p º ÂÓÙ Ó Ker(T p ) ÐØ Ò ÙÒ Ø ÓØ f H p ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ú ÖÙÙ Ò l p Ò ÙØÖ Ð Ð Ó º ÐÐ Ò Ñ Ø Ø Ò Ò ÙÒ Ø ÓØ f, g H p Ó ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ f = gh ÓÐÐ Ò h Ker(T p )º ÌÐÐ Ò T p ÙÚ ÓÙ ÓÒ {fh : h Ker(T p )} Ù Ø Ò f H p ÓÐÐ Ò w l p Ó ÐÐ w = {w i } l p ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f H p ÓÐÐ ÐÐ i ÔØ (1 z i 2 ) 1/p f(z i ) = w i. ÇÔ Ö ØØÓÖ T p ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ Ý ØØ Ò Ò ÒØ ÙÚ Ù T 1 p : l p H p /Ker(T p ) Ó ÚÓ Ñ Ò ÙÚ Ù Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ Ø ÙÚ º Ö ¹ ØÝ Ø Ó ÐÐ i ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f i H p ÓÐÐ ÔØ f i (z j ) = (1 z i 2 ) 1/p δ ij f i p M p º ÇÐ ÓÓÒ n > i n 1 z j z F ni (z) = f i (z) z j z. ÙÒ Ø ÓÒ f i ÒÓÐÐ Ó Ø Ò ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ô Ø Ø z j Ñ j i Ð Ð Ù Ò º ÒÓ ÐÐ n z j z f i (z) = g i (z) 1 z j z, Ñ f i p = g i p º ÌØ Ò F ni p = g i p = f i p M F ni H p º ÆÝØ Ý ØÐ Ø j=1 j i j=1 j i F ni (z i ) = (1 z i 2 ) 1/p n Ò ÝÐÖ ØÙÐÓÐÐ Ð ÑÑ Ò º¾¼ ÚÙÐÐ n j=1 j i j=1 j i 1 z j z i z j z i 1 z j z i z j z i = (1 zi 2 ) 1/p F ni (z i ) C p F ni p C p M p. ÒÒ Ø Ò n Ú Ø Ò ÔÝ ØÐ Ò ÔÙÓÐ Ø ÖØÓÑ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò 1 z j z i = Bi (z i ), C p M p 1 z j z i j i Ñ Ó Ó ØØ {z i } Ò ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ó T p (H p ) = l p º ¾
ÃÒØ Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ Ñ Ò Ø Ú ÑÔ º ÐÙ Ó Ó Ø Ø Ò Ò ÔØ ÚÒ ÙÒ p = 2 Ñ Ø ÝÐ Ò Ò Ø Ô Ù ÙÖ Ð ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ º Ð Ù ØÓ Ò ÑÙ Ò ÓÒÓ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ δ > ÓÐÐ ÔØ zi zj i j 1 z iz j δ ÐÐ jº Ø Ø Ò (f, g) = 1 f(e iϕ )g(e iϕ )dϕ. Ð Ù ÓÒ ÒÓ ÐÐ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÃÝØ ØÒ ØÓ ØÙ Ò ÐÓÔÔÙÓ Ò Ý Ø Ý¹ ÙÖ Ú Ñ Ö ÒØ i sµ Ñ ØØÓÑ Ö µ ÝØ ØÒ ÒÒÙ Ø Ò ÚÐØع Ñ Ö ÐÐ Ò ØÙÐÓÒ Ñ Ö Ò B i (z) = j i z j z 1 z j z B s (z) = s j=1 z j z 1 z j z B is (z) = s j=1 j i z j z 1 z j z. ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ Ò Ò ÓÒÓÐÐ {w i } l 2 ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø Ó f H 2 ÓÐÐ ÔØ T 2 (f) = {w i }º ÇÐ ÓÓÒ w = {w i } l 2 g is (z) = (1 z i 2 ) 3/2 s (1 z i z) 2 B is (z) 2 g is (z) f s (z) = w i B is (z i ) 2. ÙÒ Ø Ó g is (z j ) = ÙÒ j i i, j s ÓØ Ò (1 z i 2 ) 3/2 B is (z i ) 2 f s (z i ) = w i (1 z i 2 ) 2 B is (z i ) 2 = w i (1 z (1 z i 2 ) 1/2 i 2 ) 1/2 f s (z i ) = w i. ÆÝØ ÓÒ T 2 (f s ) = {w i } s º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ò ÒÓÖÑ f s 2 2 = (f s, f s ) = 1 s f s (e iϕ )f s (e iϕ w i w j )dϕ = B is (z i ) 2 B js (z j ) (g is, g js ). 2 À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ i,j=1 g is (z) = (1 z i 2 ) 3/2 (z i z) 2 B s (z) 2, ÓØ Ò (g is, g js ) = 1 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 ( (zi e iϕ )(z j e iϕ ) ) 2 B s (eiϕ ) 4 dϕ. ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ø ÖÑ B s (e iϕ ) = 1 Ñ Ð Ò ÐÐ D ÐÐ ÓØ Ò Ú º ÆÝØ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò Ó ÑÙÖØÓ ÓØ ÐÑ (g is, g js ) z j z i 4 (g is, g js ) 1 z j z i δ 4 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 2 3( z j e iϕ 4 + z i e iϕ 4) δ 4 1 z j z i 4 ( (zi e iϕ )(z j e iϕ ) ) 2 dϕ = 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 δ 4 1 z j z i 4 (z j e iϕ ) 2 (z i e iϕ ) 2 + (z i e iϕ 2 ) (z j e iϕ ) 2 dϕ 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 ( (z j e iϕ ) 2 δ 4 1 z j z i 4 (z i e iϕ ) 2 dϕ + (z i e iϕ ) 2 ) (z j e iϕ ) 2 dϕ. ÁÒØ Ö Ð Ò ØØ ÐÝÝÒ ÝØ ØÒ Ö Ù Ø ÓÖ º ½¾ Ì ÓÖ Ò ÑÙ Ò D Ñ ÖÓÑÓÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÙÒ Ô Ø Ò ÓÒ Ñ Ù Ò i ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ D πi ÖØ D Ø Ú Ò Ò ÔÓ Ò Ö Ù Ò ÙÑÑ º ½¾ ÊÙ Ò Ò Ö Ò ÚÙ ¾¾ º ¾
ÅÓÐ ÑÑ ÐÐ ÒØ Ö Ð ÐÐ ÓÒ Ý ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ò Ô Ô Ø z = z i z = z j º Ä ÙØ ÓÚ Ø ÝÑÑ ØÖ Ø ÓØ Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ò ØÓ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ h = ( zj z z i z )2 Ö Ù Ò ÖÚÓ Ô Ø z = z i [ d Ê z=zi h(z) = lim (z z i ) 2( z j z ) ] 2 = 2(z i z j ). z zi dz z i z Ä Ø Ò ÙÖ Ú Ö Ù Ø Ý Ø Ò ÖÖÓØ Ò i ÐÐ ÓÐÐÓ Ò (g is, g js ) 8( (1 z i 2 )(1 z j 2 ) ) 3/2 δ 4 1 z j z i 4 4 z j z i 32 δ 4 ( (1 zi 2 )(1 z j 2 ) 1 z j z i 2 ) 3/2. ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò º ÚÙÐÐ Ò ÝÐÖ ÙÑÑ ÐÐ s (g is, g js ) 32A3/2 δ 4 f s 2 ÚÓ Ò Ð ÑÑ Ò º½¼ ÒÓ ÐÐ Ö Ó ØØ ÔÝ ØÐ f s 2 2 s i,j=1 w i w j δ 4 (g is, g js ) B δ 4 w 2 2. = Bº ÆÝØ ÒÓÖÑ ÐÐ ÌØ Ò f s ÓÒ Ø Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÖÙÙ H 2 ÓØ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒÓ f sj Ó ÙÔÔ ¹ Ò ÐÓ Ð Ø Ø Ø Ó Ø Ò ÐÝÝØØ Ø ÙÒ Ø ÓØ f H 2 ÓÐÐ T 2 f = w f 2 2 B δ 4 w 2 2º ÂÐ ÐÐ ÓÒ Ò ØÓ Ø ÙÒ p = 2µ ØØ T 2 (f) l 2 Ó ÐÐ f H 2 º Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ó f s Ó T 2 ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÖÚÓØ w i Ô Ø z i i s ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f s = h s B s g Ñ g H 2 ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó h s Ô Ø z i ÖÚÓØ h s (z i ) = (1 z i 2 ) 1/2 w i ÙÒ i sº ÇÐ ÓÓÒ Ð h s ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H 2 ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò h s 2 = min g H 2 h s B s g 2 º ÅÝ f s ÓÒ Ñ ÑÙÓØÓ Ù Ò h s ÓØ Ò h s 2 f s 2 C w 2 ÙÒ C = Bδ 2 º Ø Ø Ò k s (z) = hs(z) B º ÙÒ Ø ÓÒ f ÒÓÖÑ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ Ø Ð ÒØ Ò s (z) min g H 2 k s g 2 Ò ÑÙØØ h s Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ min g H 2 k s g 2 = k s 2 º Ä Ø Ò ÙÖ Ú φ(f) = 1 i D k s(z)f(z)dz ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÃÓÖÓÐÐ Ö º¾¾º ÙÒ Ø ÓÐÐ k s f ÓÒ Ý Ó s ÔÔ Ð ØØ Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ò ÔÓ z = z j Ñ j sº Ê Ù Ø ÓÖ Ò ÒÓ ÐÐ (z z j )h s (z) (z z j )h s (z) Ê z=zj k s (z)f(z) = lim f(z) = lim z zj B s (z) z zj B js (z j ) = (1 z j 2 ) 1/2 w j f(z j ). B js (z j ) 1 z j z z j z f(z) ËÙÑÑ Ø Ò Ö Ù Ø Ý Ø Ò ÖÖÓØ Ò i ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð φ ÑÙÓ ÓÒ φ(f) = s w i (1 z i 2 ) 1/2 f(z i ). B is (z i ) ÃÓÖÓÐÐ Ö Ò º¾¾ ÑÙ Ø s w i (1 z i 2 ) 1/2 f(z i ) B is (z i ) h s 2 f 2 C w 2 f 2, Ñ Ö ØØ ÓØØ ÙÔÖ ÑÙÑ ÝÐ Ò w l 2 Ó ÐÐ w 2 1º ÌÐÐ Ò Ò ( s ) 1/2 (1 z i 2 ) f(z i ) 2 C f 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò T 2 f l 2 Ó ÐÐ f H 2 º ¾
Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ T p f l p ÐÐ f H p ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º ÙÒ Ø ÓÐÐ f H p Ö Ó Ø Ø Ò f(z) = B(z) ( g(z) ) 2/p ÙØ Ò Ð ÑÑ º º Æ Ò ÓÐÐ Ò (1 z i 2 ) f(z i ) p (1 z i 2 ) g(z i ) 2 C 2 g 2 2 = C2 f p p. i i ÌÓ Ò ÒÓ Ò T p (f) p C 2/p f p ÙÒ f H p º ÄÓÔÙ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ T p (H p ) l p (1 p < ) ÙÒ {z i } ÓÒ Ø Ø Ô ÖÓ ØÙÚ º Ì Ó Ø Ô Ù Ò p = 1 ØÓ ØÙ ÖÓ ÝÐ Ø Ø Ô Ù Ø Ø ØÒ ÝÐ Ò Ø Ô Ù Ò Ð Òº ÇÐ ÓÓÒ 1 < p < w = {w i } l p g s (z) H p ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H p ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ g s (z i ) = (1 z i 2 ) 1/p w i (i s)º ÃÝØ ØÒ ÐÐ Ò Ø ÓÖ Ñ º¾¾ ÓÐÐÓ Ò g s Ò ÒÓÖÑ ÐÐ Ò ÓÐÐ Ò f H q f q = 1 q ÓÒ p Ò ÓÒ Ù ØØ µ Ý ØÐ g s p = s w i (1 z i 2 ) 1/q f(z i ). B is (z i ) Ä Ò Ö ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ T p ÙÒ ÒÓÖÑ Ò ÝÐÖ Ò ÒÓ ÐÐ g s p δ 1( s w i p) 1/p( s (1 z i 2 ) f(z i ) q) 1/q δ 1 C 2/q w p. Ê ÐÐ lim s g s g H p T p (g) = w ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ù Ò Ø Ô Ù p = 2º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p = 1 w l 1 g s (z) H 1 ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ H 1 ¹ÒÓÖÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ g s (z i ) = (1 z i 2 ) 1 w i (i s)º ÌÐÐ Ò ÓÐÐ Ò f H ÚÓ Ò Ö Ó ØØ g s 1 = s w i B is (z i ) f(z i), ÓÐÐÓ Ò g s 1 δ 1( s ) w i sup f(z) δ 1 w 1 f z ÃÓ ÐÐ w ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ó ÐÐ 1 p < ÓÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù ØÓ Ø ØØÙº ¾
ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ø Ò ÚØ Ô ÚÒÚ ÐÓÒ ½ ¼¹ÐÙÚÙÒ Ð ÙÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÙÓÐÐÓ Ò ÖÙÓØ Ð Ò Ò Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ó Ä ÒÒ ÖØ ÖÐ ÓÒ ØØ Ð Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ó Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ ¹ Ñ Ò Ý ÓÒ ÓÒÓØ Ó ÐÐ H ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÒØ Ò Ö Ø ÙÒ ÃÓÖÓÒ ¹Ø ÓÖ Ñ Òº ÌÑ Ø ÓÖ Ñ Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ð ØØÝÝ Ò ¹ Ð Ö H Ò Ñ Ñ Ð Ø Ò ¹ Ð Ò M ζ = {f H : f(ζ) = } ÙÐ ÙÑ Ò ( ζ < 1) Ð Ò Ò ØÓÔÓÐÓ º ÌÓ Ò ¹ ÒÓ Ò ÙÐÓØØÙÙ Ó ÙÐ ÙÑ Ò Ú ÙØÙ ÐÙ Ý ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ð ÓÒ Ó Ý ÓÐÐ ÓÖÓÒ Ú ÖØ ÙÖ Ò ÓÒ ÓÖÓÒ µ Î Ø Ù Ø Ò Ý ÝÑÝ Ò ÓÒ ÐØ Ò Òº ÃÝ Ø Ø ÓÖ Ñ ØÑÒ ØÝ Ò ÔÙ ØØ Ø ÐÐ ÑÙØØ Ð ÝØÝÝ ØÓ ØÙ Ò Ò ÑÙÙÒ ÑÙ ÙÖ Ò Ò Ö Ø Ì ÓÖÝ Ó H p ËÔ ÓÚ ÐØÙÙ Ñ Ö Ø ÓÐÙ Ñ Ö¹ Ð ÓÒ Ò Ñ ØÓ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÐÙ ÐÐ º º½ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÐ Ù Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò º½ ØÓ ØÙ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ Ñ Ð {z i } ÓÒ Ø ¹ Ø Ô ÖÓ ØÙÚ f H p Ò Ò ( (1 z i ) f(z i ) p) 1/p ( (1 z i 2 ) f(z i ) p) 1/p C f p. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØØ Ñ ØØ µ = i (1 z i )δ zi ÐÐ i ÓÐÐÓ Ò f(z) p dµ(z) < D Ó ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ f H p Ö ØÝ Ø Ò Ø Ó H p L p µ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº Å Ø ÐÐ δ zi ÔØ δ zi (A) = { 1, zi A, z i A. ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö Ý ÝÑÝ Ø Ñ ÐÐ ÑÙ ÐÐ Ñ ØÓ ÐÐ µ Ò ÐÙÙ Ó H p L p µ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÖ Ú Ð Ø ÚÓ Ñ Ò Ý ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Ñ ØØ ÓÒ ØÐÐ Ò Òº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ý Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÑ Ú Ò Ñ ØØÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø Ö Ó Ò ÓÚ Ø Ò Ò ÒÓØØÙ ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØÓ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÖÐ ÓÒ Ò Ñ ØØ µ ÚÓ Ñ Ò Ý ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ñ ØØ µ Ùع ÙØ Ò ÖÐ ÓÒ Ò Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú Ó A ØØ µ(s) Ah Ó ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ S Ò Ø ÓÙ Ó ÙØ ÙØ Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ Ó µ ÑÙÓØÓ S = {z = re iϕ : 1 h r < 1, ϕ ϕ ϕ + h}. Ä ÑÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ µ Ý ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÓÖ Ð¹Ñ ØØ α > º ÌÐÐ Ò µ ÓÒ Ö¹ Ð ÓÒ Ò Ñ ØØ Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó A α ÓÐÐ ÔØ ( ) µ ( {z : h(z) > λ} ) A α {ϕ : (Nα h)(e iϕ ) > λ}, λ >, Ó ÐÐ Ý ÓÒ ÖÑÓÒ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ hº ÓÒ ÚÐ Ò [, ) Ä Ù Ò Ñ ØØ N α h ÓÒ ¹Ø Ò ÒØ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð ÙÒ Ø Ó ÙØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º½¼º ÌÓ ØÙ º Î Ó α ÚÓ Ò ÒÒ ØØ Ó ØÓ ØÙ ÓÒ ÒØØ Ò Ò Ò Ó ÐÐ ÖÚÓÐÐ º Î Ð Ø Ò α = π/4º ¾
Å Ö ØÒ N ϕ = {e iϕ : (N π/4 h)(e iϕ ) > λ} H λ = {z : h(z) > λ}º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø z = r e iϕ H λ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Òº ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ñ Ð Ò Ò Ý ¹ ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö I z ÓÐÐ ÔØ z {e iϕ S π/4 : ϕ I z }º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ØÓ (N π/4 h)(e iϕ ) > λ ÙÒ ϕ I z N ϕ º π 4 γ O 1 2 z I z β ζ O r Iz Ã Ö Ò I z Ô Ø ÓÒ ( e iϕ Ô ØÙÙ ÚÓ Ò Ð Ó ÒÔÙÓÐ Ò ÙÚ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ 1 ÙÖ Ú Ø β = arcsin 2r ) γ = π/2 β ζ = π/4 γ I z = 2ζº I z = π 2, r 1 ( 1 ) I z = 2 arcsin π 2 2r 2, 1 2 < r < 1 ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÒÝØ Ô ØØ z ÓÐÐ Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ ÓÐÐ º Ã Ö Ò Ô ØÙÙ ÐÐ ÔØ ÔÝ ØÐ I z (1 r ) Ø Ö Ó ØÙ Ô Ö ÑÑ ÓÔ ÑÙÙØ Ò Ò ÙÖ Ú ÒÐ Ò Ò ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ Ó T z = {z = re iϕ : r r < 1, ϕ 1 r 2 ϕ ϕ + 1 r }. 2 ÆÝØ z T z {e iϕ S π/4 : ϕ I z }º È Ø z Ú Ð ØØ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ò Ô Ø z H λ ÚÓ Ò Ô ØØ ÖÐ ÓÒ Ò ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ø Ó Ý ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ ÐØÝÝ ÓÙ ÓÓÒ N ϕ º O J 1 ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ú Ø Ú Ø ÓÙ ÓØ I z Ó ÐÐ Ô Ø ÐÐ z H λ º Ø Ò Ø ÓÙ Ó Ø z H λ I z N ϕ ÓÒ ÚÓ Ò Ô ØØ Ý ÓÒ Ö ÙÒ Ò D Ø ÓÓ ØÙÙ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÑÓÒ Ø Ö ÐÐ Ø ÚÓ Ñ Ø Ó Ö Ø J j º ¼