Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan laskea polkuelementin dl paikalla vaikuttavasta liki vakiovoimasta F seuraavasti: dw = F dl = F cos dl = F k dl Kokonaistyö vastaten kaarevaa polkua P 2 voidaan siten laskea viivaintegraalina W = F dl = F cos dl = F k dl (6.14) Jokaisella polun elementillä erikseen on voimassa dw tot = dk [vrt. yhtälö (6.6)]! myös polkuelementtien summalle eli koko kaarevalle polulle on voimassa W tot = K = K 2 K 1 Systeemille tehdyn työn ja sen kineettisen energian yhteys pätee siis riippumatta polun tai vaikuttavien voimien ominaisuuksista! Voiman paralleelikomponentti F k tekee työtä 1
6.4 Teho Teholla tarkoitetaan nopeutta, jolla työtä tehdään Keskimääräinen teho P av = W t (5.15) Hetkellinen teho (lyhyesti: teho) W P =lim t!0 = dw (5.16) t dt Teho on skalaarisuure, kuten työ ja aika Tehon yksikkö [P] = [W] / [t] = J / s = W (watti) Vanha moottorien tehon yksikkö on hevosvoima: 1 hv = 746 W Sähköenergian (huom! Siis EI tehon) yksikkönä käytetään usein kilowattituntia 1 kwh = 1000 J / s. 3600 s = 3.6 MJ 2
Teho ilmoitetaan usein myös voiman ja nopeuden avulla Kun voima F vaikuttaa kappaleeseen siirtymän Δs tapahtuessa, vastaava työ on W = F k s Tällöin keskimääräinen teho on P av = F k s = F k v av t Teho määritellään raja-arvona, kun Δt! 0: P = F k v Nähdään, että hetkellinen teho saadaan kappaleesen vaikuttavan voiman ja ja kappaleen nopeuden skalaaritulona: P = F v (6.19) (ESIM) 3
Luvun 6 yhteenveto W = F s = Fscos F k = F cos K = 1 2 mv2 W tot = K = K 2 K 1 = W tot = F cos dl = F dl F k dl P =lim t!0 P av = W t W = dw t dt P = F v 4
7 POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN Kineettinen energia liittyy kappaleen liikkeeseen Potentiaalienergia liityy kappaleen paikkaan Esim. Laudalla seisovalla uimahyppääjällä on hänen paikastaan johtuvaa gravitationaalista potentiaalienergiaa Hypyn aikana hyppääjän potentiaalienergiaa muuttuu kineettiseksi energiaksi Potentiaalienergia voi olla paitsi painovoimaan, myös esim. jousivoimaan liittyvää (vrt. taipuneen hyppylaudan elastinen energia) tai sähköistä (esim. sähkövaraukset etäisyydellä r) Tietyissä tilanteissa: Systeemin mekaaninen energia = sen kineettisen ja potentiaalienergian summa on vakio AINA: Systeemin kokonaisenergia säilyy! 7.1 Gravitaatiopotentiaalienergia Potentiaalienergia toimii ikään kuin energiavarastona mahdollista myöhempää käyttöä varten Esim. kun henkilö tekee työtä nostaessaan kiven maasta (a) maan ja kiven systeemin potentiaalienergia kasvaa (b) kun henkilö pudottaa kiven, potentiaalienergiaa muuttuu kineettiseksi energiaksi (c) kineettinen energia on kykyä tehdä työtä, esim. kivi voi iskeä telttakeppiä syvemmälle maahan Kun kappale putoaa vapaasti, painovoiman tekemä työ (+y akseli tässä ylöspäin) on positiivinen (y 1 > y 2 ) W grav = Fs =( w)(y 2 y 1 ) = mgy 1 mgy 2 (7.1) Kun kappale liikkuu ylöspäin, painovoiman tekemä työ lasketaan myös kaavalla (7.1), mutta nyt tulos on negatiivinen (y 1 < y 2 ) Määritellään gravitaatiopotentiaalienergia U grav = mgy (7.2) Painovoiman tekemä työ on siis W grav = U grav = (U grav,2 U grav,1 ) (7.3) 5
Kun painovoima tekee (positiivista) työtä kappaleen pudotessa, potentiaalienergiaa kuluu : ΔU grav < 0 Kun painovoima tekee negatiivista työtä (s.o. joku ulkoinen voima tekee positiivista työtä systeemille) kappaletta nostettaessa, systeemin potentiaalienergia kasvaa: ΔU grav > 0 Gravitaatiopotentiaalienergia ei ole kappaleen ominaisuus, vaan kappaleen ja maapallon muodostaman systeemin ominaisuus. Paikan y nollakohdan valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä; vain paikan muutos y 2 y 1 merkitsee! Potentiaalienergian yksikkö on saman kuin työnkin eli Joule Jos putoavaan kappaleeseen ei vaikuta painoa lukuunottamatta mitään muita voimia (*): W tot = K ( ) = W grav = U grav, K 2 K 1 = U grav,1 U grav,2, K 1 + U grav,1 = K 2 + U grav,2 1 2 mv2 1 + mgy 1 = 1 2 mv2 2 + mgy 2 (7.5) Systeemin mekaaninen energia E = K + U säilyy vakiosuuruisena (E 1 = E 2 ), jos ainoastaan painovoima vaikuttaa 6
Kun painovoiman lisäksi myös muut voimat (niiden resultantti = F other ) vaikuttavat: W tot = W grav {z } = U grav +W other = K grav, (U grav,2 U grav,1 )+W other = K 2 K 1 W other = E =(K 2 + U grav,2 ) (K 1 + U grav,1 ) (7.7) Nähdään, että muut kuin gravitaatiovoimat aiheuttavat muutoksen systeemin mekaanisessa energiassa Mekaanisen energian käsitteen avulla on kätevää ratkaista ongelmia, joissa (a) on suuruudeltaan ja/tai suunnaltaan muuttuvia voimia (b) ei olla kiinnostuneita tapahtumiin kuluvasta ajasta Konservatiiviset voimat (kuten painovoima) voidaan esittää vastaavan potentiaalienergian muutoksella! yhtälö (7.5) On tärkeää tunnistaa, onko probleemassa mukana voimia F other, joita ei voida kuvata vastaavilla potentiaalienergian muutoksilla! yhtälö (7.7) 7
Kun painovoimakentässä tapahtuva liike ei ole suoraviivaista, jaetaan reitti jälleen infinitesimaalisiin suoraviivaisiin segmentteihin s = x î + y ĵ w = Saatiin sama lauseke kuin suoraan ylös tai alas liikkuvalle kappaleelle Nähdään, että painovoiman tekemä työ (ja vastaavan potentiaalienergian muutos) eivät riipu reitin yksityiskohdista, vaan ainoastaan reitin loppu- ja alkupisteiden y-koordinaattien erosta mg ĵ ) W grav = w s ) W grav =( mg) y = mgy 1 mgy 2 = U grav 8
9
10