Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 11.2.2018 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on yhteensä kaksi, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä valmennusleirille maaliskuussa Jyväskylään ja jopa valintakilpailuun vapun aikoihin Tallinnaan (ajankohdat varmistuvat myöhemmin), jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2018 fysiikkaolympialaisiin Portugaliin. Osallistumisesta ei aiheudu kuluja. Perussarjan valmennukseen osallistuminen auttaa myös pääsemään ensi vuonna avoimen sarjan valmennukseen, ja sitä kautta tulee mahdollisuus päästä kesän 2019 fysiikkaolympialaisiin Israeliin. Lisätietoa ja materiaalia löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta https://www.jyu.fi/fysiikka/ipho. Edellä mainittu aktiivinen vastaaminen ei tarkoita, että täytyy voida antaa täydellinen vastaus jokaiseen kysymykseen. Vaikka ratkaiseminen ei onnistuisikaan, ratkaistessa voi toivottavasti oppia jotain. Ratkaisut kaikkiin tehtäviin lähetetään niille jotka ovat palauttaneet vastauksen edes yhteen tehtävään. Tässä on ensimmäinen valmennuskirje, jonka vastaukset tulee lähettää minulle 11.2.2018 mennessä sähköpostitse. Kirjepalautus ei onnistu työmatkojen vuoksi. Jotkin tehtävät ovat pitkiä, mutta sitä ei kannata hätkähtää; arvostelun kannalta tässä on 4 + 1 + 3 + 4 = 12 saman arvoista tehtävää. Osatehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jokin kohta jäisi tekemättä, voi seuraavat silti ratkaista. Tehtävissä käsitellyt asiat eivät luultavasti ole kaikilta osin lukion kursseilta tuttuja, vaan niiden on tarkoitus opettaa jotain uutta klassisesta mekaniikasta. Olen alleviivauksin korostanut ne kohdat, joihin edellytetään vastausta. Jos ongelmia tulee vastaan, minulta voi kysellä asioita sähköpostitse. Tämä ei ole ylioppilas- tai kurssikoe, joten voit vastata järkeväksi katsomallasi tavalla. Kirjoita välivaiheita sen verran, että pystyt itse seuraamaan tekstiäsi ja uskot minunkin siihen pystyvän. Minulle ei tarvitse välivaihein vakuuttaa, että osaat ratkaista toisen asteen yhtälön tai tehdä jonkin muun mekaanisen laskun. Välivaiheet eivät kuitenkaan ole kiellettyjä. Jos et ole jostain syystä osallistunut MAOL:n fysiikkakilpailuun mutta haluat mukaan valmennukseen, vastaa tähän kirjeeseen. (Voit siis kertoa valmennuksesta kaverillesikin, jos arvelet hänen kiinnostuvan.) Lisäksi on hyödyksi ilmoittaa asiasta sähköpostitse minulle mahdollisimman pian, jotta myöhemmät kirjeet ja tiedotteet päätyvät sinullekin. Joonas Ilmavirta joonas.ilmavirta@jyu.fi Tehtävä 1. Massakin on energiaa, ja massa m on energiana tunnetun yhtälön mukaisesti mc 2. Fysikaalisissa järjestelmissä energiaa on monessa muodossa, ja massa on yksi niistä. Selvitämme tässä tehtävässä, millaiset määräsuhteet eri energioilla on tutuissa tilanteissa. (a) Vetyatomi: Vetyatomi koostuu protonista ja elektronista. Kuinka suuri on elektronin sidosenergiaa vastaava massa? Yksikkömuunnoksissa saattaa auttaa tai olla auttamatta tieto, että 96, 5 kj/mol = 1 ev/atomi. Kuinka suuri tämä massa on verrattuna vetyatomin massaan? Entä verrattuna elektronin massaan? (b) Maa ja Kuu: Maan ja Kuun muodostaman systeemin energia koostuu kolmesta osasta: massa, liike-energia ja potentiaalienergia. Kuinka suuri on suhde liike-energia + potentiaalienergia? massaenergia Voit tehdä karkeitakin arvioita. Tavoitteena on saada suuruusluokka-arvio, ei tarkkaa lukua. Esimerkiksi voit olettaa, että Maa on paikallaan ja Kuu kiertää ympyräradalla, ja että yhteismassa on Maan massa. 1/6
Huomaa, että potentiaalienergia on negatiivinen. Itseisarvon tehtävänä on varmistaa, etteivät suuret energiat vahingossa kumoa toisiaan liikaa merkkieron takia. Tehtävän suhdeluvun on tarkoitus kertoa, kuinka suuri merkitys muilla energiamuodoilla on massan rinnalla. (c) Protoni: Protoni koostuu kahdesta u-kvarkista ja yhdestä d-kvarkista. Protonin massa koostuu kvarkkien massojen lisäksi sidosenergiasta. Massat ovat m u = 2,3 MeV/c 2, m d = 4,8 MeV/c 2 ja m p = 938,3 MeV/c 2 (megaelektronivoltti on tässä yhteydessä kätevä yksikkö). Kuinka suuri osuus kvarkkien massalla on protonin massasta? Edellisissä kohdissa sidosenergian osuus oli melko pieni. Onko tilanne sama myös nyt? (d) Perustele aiempien kohtien laskuihin vedoten (laskematta enää mitään) seuraavat asiat: Suurin osa aurinkokuntamme energiasta on auringon (ja planeettojen) massaa. Suurin osa auringon tai planeetan massasta on sen sisältämien atomien massaa. Suurin osa atomien massasta on protonien ja neutronien massaa. Suurin osa protonien ja neutronien massasta on kvarkkien sidosenergiaa. Suurin osa aurinkokuntamme energiasta (ja siis myös massasta) on kvarkkien sidosenergiaa, ei niinkään hiukkasten massaa. Johtopäätös ei ole ongelma gravitaation kannalta: painovoiman aiheuttajana ei nimittäin ole vain massa, vaan kaikki energia. Tehtävä 2. Hubblen laki on kokeellinen havainto maailmankaikkeuden laajenemisesta, jonka mukaan meistä etäisyydellä r oleva tähti etääntyy meistä suunnilleen vauhdilla Hr, missä H on Hubblen vakio. Etäisyyden ja vauhdin mittaamiseen kosmologiassa liittyy ongelmia, joihin emme nyt puutu. Hubblen laki ei pidä tarkkaan paikkaansa, koska yksittäiset tähdet voivat liikkua melko satunnaisesti mikä mitenkin, mutta keskimäärin se pitää varsin hyvin paikkansa sopivilla etäisyysskaaloilla. Hubblen vakio on noin 70 km/s/mpc. Tässä esiintyvä yksikkö parsek, pc, on pituusyksikkö, joka on suuruudeltaan noin 3 valovuotta. Tässä tehtävässä ei tarvitse laskea tarkasti, vaan lukuja saa pyöristää reilusti, kunhan suuruusluokka pysyy kunnossa. Tutkitaan galaksia, joka on etäisyydellä r ja liikkuu Hubblen lain mukaisella nopeudella. Jos galaksi liikkuu vakionopeudella, milloin (kuinka monta vuotta sitten) se oli samassa paikassa meidän kotigalaksimme kanssa? Kuten (toivottavasti) huomaat, tulos ei riipu lainkaan etäisyydestä r, joten näistä oletuksista (vakionopeus ja Hubblen laki) seuraa, että kaikki aine on ollut joskus menneisyydessä yhdessä pisteessä. Nämä oletukset eivät pidä tarkkaan paikkaansa, mutta tämä on ehkä yksinkertaisin tapa perustella, että kaikki alkoi alkuräjähdyksestä. Miksi Hubblen laki ei voi päteä, jos etäisyys r on hyvin suuri? Arvioi, millä etäisyyksillä Hubblen laki viimeistään rikkoutuu. Arvio on kätevintä tehdä valovuosissa, mutta muitakin yksiköitä voi käyttää. Tehtävä 3. Maapallon ytimen olemassaolo havaittiin ensimmäisen kerran sen aiheuttaman varjon vuoksi. Tutustumme nyt tähän varjoon ja arvioimme sen perusteella ytimen kokoa ja ominaisuuksia. Tutkimme yksinkertaistettua mallia planeetastamme, jossa on kaksi kerrosta: ydin ja vaippa. Ytimen säde on r ja koko planeetan säde R. Maanjäristysaallon nopeus eli äänennopeus on ytimessä c y ja vaipassa c v. Vaikka kyse on ääniaallosta, toimivat samat optiikan periaatteet kuin tutummassa valo-optiikassakin. Maapallon ydin toimii eräänlaisena linssinä. (Todellisuudessa äänennopeus kasvaa jatkuvasti syvemmälle mentäessä, ja erilaisilla rajapinnoilla nopeudessa tapahtuu hyppäyksiä. Äänennopeuden jatkuvasta muutoksesta johtuen 2/6
aallot eivät etene suoraan. Yleensä hypyt tapahtuvat niin päin, että syvemmällä nopeus on suurempi. Vaipan ja ytimen rajapinnassa hyppy tapahtuukin päinvastaiseen suuntaan, ja juuri siksi se aiheuttaa varjon. Tämä epätavallinen hypyn suunta on vihje siitä, että ydin tai ainakin sen ulko-osa on nestemäinen. Meidän mallissamme kerroksia on vain kaksi ja kummankin kerroksen sisällä äänennopeus on vakio. Lisäksi tutkimme vain paineaaltoja, vaikka myös muunlaisia seismisiä aaltoja voi havaita.) Kuvassa 1 on esitetty maanjäristysaallon kulku kahdessa rajatapauksessa. Rajatapauksessa, kun aalto saapuu tangentiaalisesti ytimen ja vaipan rajapintaan, se voi jatkaa kahdella tavalla: joko suoraan tai taittuen. Aalto siis saapuu rajapinnalle pinnan suuntaisesti, mikä on juuri kokonaisheijastukseen liittyä rajatapaus. Tässä rajatapauksessa ytimeen taittuvan osan intensiteetti on nolla, mutta ytimen sisään menevä osuus kasvaa osumakulman jyrkentyessä. Kuva 1: Maanjäristysaallon kulku kahta reittiä. Ensimmäistä reittiä pitkin aalto kulkee pisteestä A pisteeseen C ydintä hipoen. Toisessa reitissä aalto taittuu rajapinnalta kohti ydintä pisteessä B ja tulee vastaavalla tavalla ytimestä takaisin vaippaan pisteessä D ja saapuu pinnalle pisteessä E. Rajatapauksessa kulma θ on kokonaisheijastuksen rajakulma. Jos pisteessä A tapahtuu maanjäristys, sen synnyttämä aalto havaitaan pisteiden A ja C välillä; näkyvää osaa on kulman α verran. Tästä eteenpäin tulee kulman δ kokoinen varjoalue (engl. P-wave shadow zone ), johon maanjäristysaallot eivät pääse suoraan. Pisteen E takana eli kulmaa α + δ kauempana maanjäristys havaitaan taas, ja nämä havaitut aallot ovat kulkeneet ytimen läpi. Kun maanjäristysaalto kulkee tätä rajatapausta suorempaan ydintä kohti, osa aallosta heijastuu rajapinnasta ja saapuu pinnalle ennen pistettä C ja osa menee ytimen läpi ja päätyy kauemmaksi kuin piste E. Seismisten aaltojen saapumista eri puolilla tapahtuvista maanjäristyksistä lukuisiin seismisiin mitta-asemiin on tutkittu kauan. Mittausten mukaan kuvan 1 kulmat ovat α 103 ja δ 39. Planeettamme säde on R 6371 km. Äänennopeus vaihtelee vaipassa noin c v 10 km/s. (Todellisuudessa se vaihtelee suunnilleen välillä 8... 13 km/s. Kuoriosassa, aivan 3/6
pinnan lähellä, se on pienempi.) Tässä tehtävässä on turha laskea liian tarkoilla luvuilla. (a) Päättele yhtälö ytimen säteelle r, kun tunnetaan R ja α. Sijoita tähän yhtälöön annetut lukuarvot ja arvioi ytimen säde. (b) Päättele yhtälö kuvan 1 kulmalle θ, kun tunnetaan kulmat α ja δ. Laske sitten nopeuksien suhde c y /c v kulmien α ja δ avulla. Kokonaisheijastuksen rajakulman voit olettaa tunnetuksi yhtälöksi; sitä ei tarvitse tässä perustella, ja sen voi tarvittaessa muistaa helposti Snellin lain avulla. Sijoita tähän yhtälöön annetut lukuarvot. Näin saat arvion äänennopeuden suhteelliselle muutokselle ytimen ja vaipan rajapinnalla. Mikä suunnilleen on tällä perusteella äänennopeus ytimessä? (c) Vertaa tuloksiasi tarkempiin tuloksiin, jotka on laskettu hienostuneemmilla menetelmillä. Ytimen säde on noin 3488 km ja nopeus hyppää vaipan ja ytimen rajalla suunnilleen arvosta 13,5 km/s arvoon 8 km/s. Onko ytimen säteessä ja äänennopeuksien suhteessa suuri ero edellä laskettujen tulosten ja näiden tarkempien arvojen välillä? Mistä luulet sen pääasiassa johtuvan? Jos jotain jäi tähän ilmiöön liittyen epäselväksi, kysy tässä kohdassa tai ennakkoon sähköpostilla. Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on m, liikettä kuvailee Newtonin mekaniikassa tuttu laki 1 (Newtonin toinen laki) F = ma, (1) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopeudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (2) missä C on jokin kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksista riippuva positiivinen vakio. Jos vastusvoiman lisäksi kappaleeseen vaikuttaa jokin ulkoinen voima F u, saadaan yhdistämällä yhtälöt (1) ja (2) yhtälö ma = Cv+F u. Jos sekä nopeus että kiihtyvyys riippuvat ajasta mutta F u on vakio, kirjoitamme edellisen muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden aikaderivaatta 2 : a(t) = v (t). Näin ollen saamme differentiaaliyhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (3) Seuraavaksi ratkaisemme tämän differentiaaliyhtälön, eli etsimme sellaisen funktion v(t), joka toteuttaa ehdon (3). 3 Lisäksi vaadimme ratkaisulta, että alkuhetkellä t = 0 nopeus on jokin annettu v 0. Kun siis tiedämme kappaleen nopeuden hetkellä t = 0 olevan 1 Tutkimme tilannetta yksinkertaisuuden vuoksi nyt yhdessä ulottuvuudessa. 2 Lukiokursseilla on mahdollisesti määritelty keskikiihtyvyys aikavälillä t 1... t 2 erotusosamääräksi v(t 2) v(t 1) t 2 t 1. Ottamalla raja-arvo t 2 t 1 saadaan suoraan derivaatan määritelmä: v (t 1 ) = v(t lim 2) v(t 1) t2 t 1 t 2 t 1, joka on tuttu matematiikan kursseilta. 3 Differentiaaliyhtälöistä kerrotaan valmennussivuilta löytyvässä matemaattisten menetelmien materiaalissa. Kyseisestä materiaalista voi olla hyötyä myös muissa tehtävissä. 4/6
tasan v 0, yritämme yhtälöä (3) käyttäen päätellä, mikä nopeus on myöhemmin. Teemme valistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A 3t, (4) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat joitain vakioita. Laske tämän funktion derivaatta ja laske lausekkeen mv (t) + Cv(t) F u arvo. Jotta funktiomme todella olisi ratkaisu differentiaaliyhtälöön (3), on tämän lausekkeen oltava nolla kaikilla t. Päättele tästä sekä tiedosta v(0) = v 0 vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. (Hyvää harjoitusta on myäs ratkaista yhtälä (3) alkuehdon v(0) = v 0 kanssa käyttämättä yritettä (4), jos satut tuntemaan jonkin tähän sopivan menetelmän.) (b) Edellisen kohdan lopputuloksena saamme siis ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F u C + (v 0 F u C )e Ct/m. (5) Perustele, miksi nopeus lähestyy arvoa v r = F u /C eli lim t v(t) = v r. Vertaillaan tätä tulosta yhtälöön (3), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvolla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t v(t) = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio, jo melko pienillä ajoilla. (Tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse.) Näin saamme siis yhtälön v F u /C. (6) (c) Edellä oletimme, että ulkoinen voima F u (t) on vakio. Nyt annamme sen muuttua, mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme siis olettaa, että v v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (7) Jos olisimmekin olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimme saaneet tutun yhtälön (tässä siis F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastuksen tai kitkan): F u (t) = ma(t). (8) Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksesta, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samanmassaista kappaletta pudotetaan yhtä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale noudattaa liikeyhtälöä (7), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (siis kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? 5/6
(d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusvoima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (7) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 4. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (7) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (8) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, jossa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä; tällöin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoihin F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. 4 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u (t) = K v(t) v(t). 6/6