MAY01 Lukion matematiikka 1 - Oppikirja: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1: Luvut ja lukujonot (paperisena tai sähköisenä ) - Kurssilla tarvitaan myös tietokone, TI-laskinohjelma, geogebraohjelma, MAOL taulukkokirja (suositellaan paperisena), vihko Kurssin sisältö: - luvut - laskutoimitukset - yhtälö ja epäyhtälö - potenssi - eksponenttiyhtälö ja logaritmi, kevyesti käydään - prosentti - funktio, kevyesti - lukujonot ja summat, kevyesti Kurssin arviointi: - Kurssikoe, joka pidetään koeviikolla - Tehtävälista, jolla voi ansaita jopa 5 lisäpistettä koetta varten. (voi korottaa numeroa yhdellä arvosanalla) - Pikkutestit (0 2 kpl) Opiskelemisesta: - tehtävien tekemisellä on suuri merkitys. Yritä parhaasi, se riittää. Kysy neuvoa opettajalta, kaverilta, neuvo itse kaveria ja opettajaa. Yhteistyö on voimaa - virheistä oppii. Älä pelkää vastata kysymyksiin virheiden pelosta. Opettaja tekee myös virheitä => huomauta heti, jos näin käy - tunnin alussa on teoriaosa. Silloin opiskellaan hiljaa. Lopputunti on omaa työskentelyä. Metelöidä ei saa, mutta aiheesta keskustelu on suotavaa - ellet ehdi tehdä kaikkia tehtäviä, jatka loppuun kotona tai hyppytunnilla Motivaatiosta: - kun motivaatio on hyvä, sujuu opiskelukin. Mikä sinua auttaa parhaiten motivoitumaan matematiikan opiskeluun? Työn iloa sinulle, lukiolainen!
Mihin matematiikkaa tarvitaan? s. 6 - yksi yhteinen kurssi - sitten valitaan pitkä tai lyhyt matematiikka - ks. kurssimäärät taulukosta. Lisäkursseja on myös mahdollista valita koulussamme - jatko-opintojen valintapisteitä saa usein myös matematiikasta - pääsykokeissa tarvitaan matematiikan taitoja (ks. s. 7 yläreuna, kohta 2.) - eri alojen opinnoissa tarvitaan matematiikkaa. Millä aloilla? Mistä saat tietoa asiasta? - eri ammateissa tarvitaan matematiikkaa. Tutki tekstejä s. 7 8, ja poimi ne ammatit, jotka yllättivät - matematiikka voi tuntua vaikealta välillä ja uuden oppiminen on haastavaa. Muista, aina kun ponnistelet vaikeiden asioiden opiskelemisessa, aivosi kehittyvät, ajattelusi kehittyy ja nopeutuu. Vaikka et tarvitsisi matematiikkaa tulevaisuudessa, sen opiskelusta on silti valtavasti hyötyä. - Opetus TV on hyvä apuväline kertaamista varten kotona. 1.1 Kokonaisluvut s. 10 Luonnolliset luvut Ν = { 0,1, 2,3,... } - Ovat positiivisia kokonaislukuja - Peruslaskutoimituksina summa ja tulo - Voimassa seuraavat lait: 1. Vaihdantalaki (järjestys voidaan vaihtaa) m + n = n + m m. n = n. m
2. Liitäntälaki (laskujärjestys voidaan vaihtaa) (m + n) + p = m + (n + p) (m. n). p = m. (n. p) 3. Osittelulaki ( yhteenlaskettavat voidaan kertoa erikseen yhteisellä tekijällä) p. (m + n) = p. m + p. n Toisinpäin: Tulojen summasta voidaan erottaa yhteinen tekijä!!! p. m + p. n = p. (m + n) Esim. 11.c) ja 4. d) Huomaa! Luonnollisten lukujen tulo on aina luonnollinen luku, samoin luonnollisten lukujen summa on luonnoll. luku. Erotus ei ole: 6-9 = -3. Kokonaisluvut Z = 3, 2, 1,0,1,2,3, - vaihdanta-, liitäntä-, ja osittelulaki ovat voimassa Vastaluku a + (- a) = 0 Itseisarvo Lukusuoralla luku ja sen vastaluku ovat yhtä kaukana luvusta nolla: -2-1 0 1 2..... Niiden itseisarvot ovat samat: 2 = 2 2 = 2 Itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden luvusta nolla.
Vähennyslasku yhteenlaskuna: a b = a + (-b) Lukuun a lisätään luvun b vastaluku b. Muista! +(-b) =-b ja -(-b) = +b Merkkisäännöt: - kahden samanmerkkisen luvun tulo ja osamäärä ovat positiivisia, esim. -6:(-3) = 2 - kahden erimerkkisen luvun tulo ja osamäärä ovat negatiivisia Laske: -2. (-2). (-2) = (Huomaa: Kirjan esimerkeissä on merkitty, mitkä tehtävistä lasketaan ilman laskinta. Samoin tehtävissä siniset tehtävät ilman laskinta, vihreissä saa käyttää laskinta.) Laskujärjestys: 1. Ensin sulut 2. Sitten potenssiin korotukset 3. Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 4. Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Esim. 8.c) Esim. vaativasta tehtävästä 22.d) Johdantoa: Epäyhtälömerkki > ja < mitä tarkoittavat? Onko totta: 1 > 2 1 < 2-1 < 1 1 > 1 a > 1
1.2 Reaaliluvut s. 20 Rationaaliluvut Q = +,, m ja n ovat kokonaislukuja, n 0. - osamäärä ei ole aina kokonaisluku, joten laajennetaan lukujoukkoa - murtoluvussa on osoittaja m ja nimittäjä n. - murtoluku voidaan esittää myös desimaalilukuna 2 0, 66666... (päättymätön, jaksollinen) 3 - tai sekalukuna 14 3 = 12 3 + 2 3 = 4 2 3 Reaaliluvut R - irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ja jaksottomia desimaalilukuja 7 = 2, 645751... - laajennetaan lukujoukkoa: o Reaaliluvut = rationaaliluvut ja irrationaaliluvut Murtolukujen laskutoimitukset s.22 Yhteen- ja vähennyslasku 30.
- lavennus - osoittajat yhteen /vähennä - nimittäjäksi yhteinen nimittäjä - supista, jos voi Kertolasku 30. - kerro osoittajat keskenään, nimittäjät keskenään - supista ennen kertomista, jos voi Käänteisluku - luku kertaa sen käänteisluku = 1 a 1 a =1, a 0 Esim. Mikä on luvun 1 5 käänteisluku? Jakolasku 30. - muuta kertolaskuksi: jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla - supista ennen kertomista, jos voi Harjoittele murtolukujen laskemista laskimella (teht. 33.). Lataa TI:n ilmainen kokeiluversio koneellesi.
1.3 Yhtälö ja epäyhtälö s. 30 Kertaa termit: - lauseke - yhtälö - muuttuja Ensimmäisen asteen yhtälö - muuttujan eksponentti on yksi - yhtälö säilyy samana, jos o puolet vaihdetaan keskenään o molemmille puolille lisätään sama luku o molemmat puolet jaetaan tai kerrotaan samalla luvulla (ei nollalla!) Esim. 47 b) 3x + 12 = 4x 4x = 3x + 12-3x 4x 3x = 12 x = 12 50.
Ensimmäisen asteen epäyhtälö - epäyhtälössä on epäyhtälömerkki: - ratkaisuna saadaan ratkaisujoukko Tutkitaan suuruusjärjestyksiä: 55.
Harjoittele yhtälön ja epäyhtälön ratkaisemista TI:n solve-toiminnolla: Laskin x= 3.Algebra 1.ratkaise kirjoita ratkaistava yhtälö: solve (,x) (kerro laskimelle pilkun jälkeen, mikä muuttuja ratkaistaan) (epäyhtälömerkki löytyy esim. kämmenlaitteesta, ctrl =, joka antaa valikon) Esim. 64. Vastaus: Epäyhtälöä ei toteuta mikään muuttujan arvo. Muista! Summasta ei saa supistaa!! Esim. 62.
2.1 Potenssi s.42 Tutkimus s. 42 Esim. kirjoita tulo potenssimerkintää käyttäen. Esim. kirjoita luku 8 potenssimerkintää käyttäen. Eksponenttina positiivinen kokonaisluku Olkoon n positiivinen kokonaisluku (n= 1, 2, 3, ). Luvun a n:s potenssi on n kappaletta a on kantaluku n on eksponentti Huomaa!
Laske: Negatiivisen kantaluvun potenssi on positiivinen, kun eksponentti on parillinen. negatiivinen, kun eksponentti on pariton. Laske: Eksponenttina nolla ja negatiivinen kokonaisluku Kun, on voimassa: Minkä tahansa luvun 0. potenssi on 1. Huomaa, että kantaluku ei voi olla nolla: jne ei määritellä. Esim. 69.
Kymmenpotenssimuoto s. 45 Luku esitetään muodossa Esim. missä n on kokonaisluku ja kerroin a yleensä välillä Esim. 77 Laskinharjoitus: käytä desimaalipistettä käytä symboleista E merkkiä, kun syötät kymmenpotenssimuotoa 78. d) Sanallinen tehtävä Esim. 80.
2.2 Potenssien laskusäännöt s. 52 Tutkimus s. 52 Tulon potenssi: Osamäärän potenssi: Samankantaisten potenssien tulo: Samankantaisten potenssien osamäärä:
Potenssin potenssi: Luvun a käänteisluvun n:s potenssi: Esim. 93 c Esim. 97 b) Esim. 103 c) Esim. 107 c)
2.3 Eksponentin ratkaiseminen Tutkimus s. 61 Eksponenttiyhtälö muuttuja x on eksponentissa Yleisesti: Yhtälöt, jotka voidaan sieventää muotoon ovat eksponenttiyhtälöitä. kantaluku a on aina positiivinen, eikä voi olla yksi. Miksi? kun kantaluku on positiivinen, niin a x on myös positiivinen. Siksi b on sekin aina positiivinen. Esim. 114.
Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen - ratkaise yhtälö muotoon a x = b - muuta yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina - käytä potenssien laskusääntöjä (luku 2.2) - yhtälö toteutuu vain, jos eksponentit ovat yhtä suuret - muodosta yhtälö eksponenteista - ratkaise x Esim. 116 Esim. 119 Esim. 121
Logaritmi Esim. 2 x = 9 Nyt yhtälön oikeaa puolta ei voi muuttaa kuten edellä luvun 2 potenssiksi. Voidaan arvioida, että x on suurempi kuin 3, 2 3 = 8, mutta pienempi kuin 4, 2 4 = 16. Tarkan vastauksen antaa luvun 9 kaksikantainen logaritmi: x = log2 9 Laskimella voidaan laskea sen likiarvo 3,16993 (cmd enter antaa likiarvon) Esim. 125 Siis log3 81 on se luku, mihin kantaluku 3 on korotettava, että tulokseksi tulee 81 Esim. 127 a)
Kymmenkantainen logaritmi: Merkintätapa: log10 = lg Esim. Laske päässä: lg 100 3.1 Prosentti s. 75 Suhde = osamäärä 5mm 25mm = 1 5 = 20 100 = 20% - suhde on yksikötön - voidaan ilmoittaa prosentteina - prosentti on sadasosa Esim. 142 c) Esim. 145. b)
Esim. Muutos- ja vertailuprosentti s. 78 Kun verrataan kahta suuretta toisiinsa, päättele tehtävästä perusarvo (alkuperäinen arvo tai arvo johon verrataan; nimittäjä) ja vertailuarvo (muutos tai arvo, jota verrataan; osoittaja).
Muutos prosenttiyksikköinä tai prosentteina s. 81 3.2 Prosentuaalinen muutos s. 85 Muuttuneen arvon laskeminen
Esim. Mikä on prosenttikerroin, kun suure kasvaa 67%? Entä, mikä on kerroin, kun suure pienenee 15%? Esim. Jos prosenttikerroin on 0,45, paljonko suureen arvo on muuttunut? Entä, jos kerroin on 1,05, paljonko suureen arvo on muuttunut prosentteina? Peräkkäiset muutokset Esim. 164
Kilohinnan muutos tai myyntitulojen muutos myyntitulot = myydyt tuotteet (kappaletta) x yhden hinta ( ) kilohinta = tuotteen hinta tuotteen massa kg Esim. 169. Prosenttiyhtälöitä s. 89 Esim. 171 a) Kuvan piirtäminen sallittu, jos se auttaa yhtälön laatimisessa
4.1 Funktio s. 98 Funktio = sääntö, joka liittää jokaiseen lukuun täsmälleen yhden uuden luvun. Määrittelyjoukko = luvut, jotka voidaan syöttää funktioon. Esim. Mikä on funktion määrittelyjoukko? (millaisia lukuja voi sijoittaa x:n paikalle?) Arvojoukko = luvut, jotka funktio tuottaa. Funktion nimi, muuttuja, funktion lauseke: Muuttujan arvo, funktion arvo: Määrittelyjoukon merkitseminen: Esim. 186 Esim. 193b Funktion nollakohta = ne määrittelyjoukon luvut (x:n arvot), joilla funktion arvo on nolla. Teht.s. 106: 185, 187,192,199,201
4.2 Funktion kuvaaja s. 110 Tee tutkimustehtävä, yhteistyö sallittua J s. 110 Funktion arvo, funktioiden kuvaajien leikkauspiste Esim. 208 a,d,e
Funktion merkki, nollakohta ja arvo kohdassa nolla s. 114 Kirjan esim. 2 digiaineiston avulla Esim. 211 Kuvaajan piirtäminen Esim. 215 a Lasketaan taulukkoon xy-arvopareja: x f(x)= 2-0.5x Merkitään pisteet koordinaatistoon:
Merkitään kuvaan annettu piste (-1,2). Piste on kuvaajan alapuolella. Laskemalla: Suoran piirtäminen laskimella: (laskinohjelmalla) Esim. 220 Valitse: Lisää Kuvaajat - syötä funktio f(x) = 4 3 x a) f(1) saadaan helposti jäljitystoiminnolla: - säädä jäljitysaskeleksi 1: 5: jäljitys -> 3: jäljityksen asetukset -> jäljitysaskel: 1 - jäljitä: 5: jäljitys -> 1: jäljitä kuvaaja. Nuolinäppäimellä pääset haluamiisi pisteisiin, pisteen koordinaatit näkyvät alla:
f(1) = 1 jne Tee tehtävä loppuun. Voit säätää akseleita Ikkuna/Zoomaa valikosta. (Miten löydetään kuvaajan piste syöttämällä y-koordinaatti?) (Miten määritetään polynomi ja lasketaan arvot näppärästi?)
5.1 Lukujono s. 130
Lukujono Esim. 4,6,8,10 päättyvä lukujono, neljä jäsentä (termiä) Merkitään: a1 = 4 (lukujonon ensimmäinen jäsen on kaksi) a2 =6 a3 = 8 jne Esim. 2,4,6,8,10,. päättymätön lukujono Lukujonolle voidaan määrittää yleinen jäsen keksimällä sääntö: an = 2n + 2 Säännöllä voidaan laskea vaikkapa kolmannen jäsenen arvo: a3 = 2. 3 +2 = 8 a100 = Esim. 4,6,, 16,18 päättyvä lukujono, 8 jäsentä. Kaikkia jäseniä ei tarvitse merkitä näkyviin. Esim. 123 b) an = 3n 2 7n Esim. 234.
Laskin harjoitus: Ylävalikosta: Lisää: Kuvaajat Työkaluista: 3.Kuvaajan syöttö/muokkaus: 7.Sekvenssi: 1. Sekvenssi Kirjoita sääntö kohtaan u1(n) Muuta akselistoa kouratyökalulla sopivaksi 236. 5.Jäljitys: 1.Jäljitä kuvaaja
Siirry pisteestä toiseen nuolinäppäimellä (vasemmalle) Laskimella, jäljitystoiminnolla näkymä:
Laskimen näyttö:
Sama ilman laskinta: Ratkaistaan epäyhtälö 8n -5 < 500 8n < 505 n < 63,125 Joten 63 jäsentä on pienempiä kuin 500. 5.2 Rekursiivinen lukujono s. 143
Rekursiokaava tälle jonolle olisi: a1 = 3 a2 = 4 a n = an-2 + an-1, n= 3,4, Rekursiokaavassa on siis kerrottu tarvittava määrä jäseniä jonon alusta sääntö, jolla saadaan laskettua seuraava jäsen edellisten avulla Esim. 250
Esim. 253. a) päätellään lisättävä luku b) Rekursiokaava on Laskinharjoitus: EI näin! Alapuolella järkevämpi tapa. Kirjan esimerkki 3. s. 147 Lisää: Listat & Taulukot Napsauta listasta: 3:Data 1:Luo sekvenssi o kirjoita kaava:
paina ok rullaa listaa, kunnes näet 25. jäsenen arvon
Laskinharjoitus: Kirjan esimerkki 3. s. 147 Lisää listat ja taulukot: nimeä sarakkeet n ja an täytä sarake n jäsenen järjestysnumeroilla 1,2,3 ja kopioi taulukko alareunasta venyttämällä 25 jäseneen asti
an sarakkeeseen ensimmäiseksi jäseneksi 6 (annettu tehtävässä) ja enter toisen jäsenen kohdalle kirjoitetaan kaava: o eteen = o 2. o sitten valitse ensimmäinen jäsen yläpuolelta ja enter: lisää kaavaan +7 ja enter kopioi kaava 25 jäseneen asti (kaava solussa b2, valitse se, venytä valinta alakulmasta 25 jäseneen asti): katso 25 jäsenen arvo: Kuvan piirtäminen: Lisää Data ja Tilastot Lisää muuttuja vaaka-akselille: n Lisää muuttuja pystyakselille: an
(Voit lukea kuvasta vastauksen menemällä kysytyn pisteen luo) Kokeile tehtävää 256 (lisää tehtävälistaan, ellei jo ole siellä) 5.3 Aritmeettinen jono s. 154 Esim. Jatka lukujonoa 4,7,10,13, Laske peräkkäisten jäsenten erotus. Mitä huomaat? Differenssi d = Esitä toinen, kolmas ja neljäs jäsen ensimmäisen jäsenen avulla: a2 = a3 = Päättele jonon n. jäsenen sääntö: an =
Esim. 268 Esim. 273 Esim. 275 5.4 Aritmeettinen summa s. 165 Tutkimustehtävä s. 165
Aritmeettinen summa = aritmeettisen jonon peräkkäisten jäsenten muodostama summa Esim. 5 +10 + 15 + + 90 + 95 + 100 Merkitään S20 = 5 +10 + 15 + + 90 + 95 + 100 (20 jonon jäsentä on laskettu yhteen) Summan kaavan johtaminen: s. 166
Esimerkit: 292 297 a) 299 301 a)
5.5 Geometrinen jono s. 178 Esim. Jatka jonoa: 5,10,20,40, Keksitkö säännön? a1 = a2 = a3 = a4 = an =
Esim. 315. Esim. 318. 4. Lisää listat&taulukot muodosta n -sarake (A-sarake) (jäsenet 1 12 riittää tässä) muodosta an -sarake (B-sarake) o kaava soluun B1:
potenssi ^-näppäimellä, a1 tulee näppäämällä vieressä olevaa ruutua, jossa on luku 1 venytä saraketta Kuvan piirtäminen: Jaa näyttö kahtia: Sivun asettelu-kuvakkeesta Napsauta tyhjän sivun päällä 5:Lisää Data&Tilastot Valitse n vaaka-akseliksi, an pystyakseliksi. Saat kuvan: 5.6 Geometrinen summa s. 191 c) Lue vastaus kuvasta.
Esim. 338. Esim. 340. a)
345. Testi 1
Nimi: Ryhmä: Laske tehtävät ilman laskinta. 1. a) 5 4 (2 6 : 3) = b) Merkitse ja laske lukujen 12 ja -15 vastalukujen summa. c) 5 6 + 1 4 = d) 14 15 : 7 5 1 3 7 = e) 4 769 + 6 769 = 2. Ratkaise yhtälö: x 5x 1= 2 6