Vektorianalyysi II MAT21020

Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8

Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden derivaatat 6 Määritelmä 6.: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x............ 6 Määritelmä 6.: Differentioituva kuvaus............................. 6 Lause 6.4: Pisteessä x o differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä.......... 6 Määritelmä 6.7: Affiini kuvaus.................................. 6 7 Derivoimissääntöjä 9 Lause 7.: Summafunktion differentioituvuus.......................... 9 Lause 7.3: Tulofunktion differentioituvuus............................ 9 Korollaari 7.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus.................. 9 Lause 7.6: Sisätulon differentioituvuus.............................. Lause 7.7: Ketjusääntö...................................... 8 Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta 3 Määritelmä 8.: Suunnattu derivaatta.............................. 3 Määritelmä 8.5: Osittaisderivaatat................................ 4 9 Jacobin matriisi 6 Määritelmä 9.3: Jacobin matriisi................................. 6 Määritelmä 9.6: Jacobin determinantti.............................. 7 Differentioituvuudesta 9 Määritelmä.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus....................... 9.7 Yhteenveto......................................... Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset.4 Jatkuvasti differentioituvat polut...............................paloittain säännöllisistä poluista.............................. 5 Käänteiskuvauslause 7 Lause.: Lokaali injektiivisyys................................ 7 Lause.5: Käänteiskuvauslause................................. 9 Määritelmä.7: Diffeomorfismi................................. 9 3 Ääriarvotehtävistä 3 Lause 3.3: Lagrangen kertojien menetelmä........................... 3 3.5 Geometrista perustelua................................... 3 4 Avaruuden R n pinnoista 34 4.3Implisiittisesti määritellyistä pinnoista........................... 38 5 Yleistä ääriarvotehtävistä 4 5. A on kompakti joukko................................... 4 5.4 A ei ole kompakti joukko.................................. 4

Vektorianalyysi II SISÄLTÖ 6 Riemannin integraalista 45 6. Kertausta.......................................... 45 6. Riemannin integraali avaruudessa R n........................... 47 6.3 Iteroiduista integraaleista.................................. 5 6.Integraalin ominaisuuksia funktion suhteen........................ 55 6.Nollajoukon käsite..................................... 56 Lause 6.3: Additiivisuus joukon suhteen............................ 56 6.5Muuttujanvaihtokaava karkeasti).............................. 57 6.6Muuttujanvaihtolause tarkemmin.............................. 58 6.8Sylinterikoordinaattikuvaus avaruudessa R 3........................ 59 6.9Pallokoordinaattikuvaus avaruudessa R 3.......................... 6 7 Epäoleellisista integraaleista 64 7. Integraali yli avaruuden R n, n............................. 64 Lause 7.: Iteroitu integraali................................... 66 8 Käyräintegraalista 67 8. Reaaliarvoisen funktion käyräintegraali.......................... 67 8. Vektorikentän käyräintegraali................................ 68 9 Analyysin peruslause ja sen moniulotteisia vastineita 7 Kertausta kurssikokeeseen 73 Roottori ja divergenssi 78 Reaaliarvoisen funktion pintaintegraali 79 Vektorikentän pintaintegraali 8 3 Stokesin lause 8 4 Gaussin lause Divergenssilause) 83 Viitteet 85 RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II RHS:N LUENNOISTA RHS:n luennoista Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessa R n, n, määriteltyjen vektoriarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan perusteita. Luentojen runko seuraa Olli Martion kirjaa. Luentoja tehdessäni olen käyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonisteita Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa, Differentiaalilaskentaa, Integraalilaskenta ja Integraalilaskenta, omia Differentiaalilaskenta luentojani ja James Stewartin kirjaa Calculus. Early Transcendentals. Suurkiitos Outi Bomanille, Ilmari Lehmusoksalle ja Heli Virtaselle luentojen LATEX:lla kirjoittamisesta ja Toivo Kiiskelle painovirheiden etsimisestä. Ilmarille suurkiitos myös kuvien todella taidokkaasta piirtämisestä! Kiitos luennoille osallistuneille. Helsingissä 4..7 Ritva Hurri-Syrjänen RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II 5 KERTAUSTA VEKTORIFUNKTIOISTA 5 Kertausta vektorifunktioista Kurssi on tavallaan kuvausten teoriaa. Kertaamme ensin tuloksia jatkuvista kuvauksista ja raja-arvoista. 5. Kuvauksen f A R m, A R n, lähtöjoukko) on A, maalijoukko) on R m, kuvajoukko) on fa). Kuvaus f A B, A R n, B R m, on a) vektorifunktio, jos n > tai m >, ja erityisesti b) vektoriarvoinen, jos m >, c) reaaliarvoinen, jos m =. 5. Kuvaus f A R m, A R n, on jatkuva pisteessä x A, jos jokaisella ε > on olemassa δ > siten, että fy) fx) < ε, kun y x < δ, y A. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä x A. 5.3 Kuvaus f = f,, f m ) A R m, A R n, fx) = f x)e + f x)e + + f m x)e m kaikilla x A, missä { e, e,, e m } on avaruuden R m kanta, on jatkuva pisteessä x A vastaavasti joukossa A), jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio f k A R, k =,, m, on jatkuva pisteessä x A vastaavasti joukossa A). Esimerkki 5.4 Olkoon f = f, f, f 3 ) R R 3 Silloin komponenttifunktiot ovat f x, x ) = x, x + 5x, 4x x ). f R R, f R R, f 3 R R, x, x ) x x, x ) x + 5x x, x ) 4x x. 5.5 Kuvauksella f A R m on raja-arvo b R m joukon A kasautumispisteessä a, merkitään lim fx) = b, x a x A jos jokaisella ε > on olemassa δ > siten, että fx) b < ε, kunhan < x a < δ, x A. 5.6 Kuvauksella f = ) f, f,, f m A R m, A R n, on raja-arvo b = ) b,, b m R m pisteessä a, jos ja vain jos lim f j x) = b j, kaikilla j =,, m. x a x A RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II 5 KERTAUSTA VEKTORIFUNKTIOISTA 5.7 Jos x A ei ole erillinen piste, niin silloin kuvaus f A R m, A R n, on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim fy) = fx). y x y A Huomautus: Funktio on aina jatkuva erillisessä pisteessä. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT 6 Vektorifunktioiden derivaatat Määritelmä 6.: Kuvauksen derivaatta ja differentioituvuus pisteessä x. Olkoon avoin joukko avaruudessa R n. Kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, jos on olemassa kuvaus A L R n, R m ) siten, että missä εh), kun h. f x + h ) f x ) = Ah + h εh), x + h, Kuvaus A = Df x ) L R n, R m ) on kuvauksen f derivaatta pisteessä x. Määritelmä 6.: Differentioituva kuvaus. Olkoon R n avoin. Kuvaus f R m on differentioituva, merkitään diffva, jos kuvaus f on differentioituva jokaisessa pisteessä x. Esimerkki 6.3 ) Olkoon R n avoin. Olkoon f R m vakiofunktio, ts. fx) = c R m kaikilla x. Tällöin f on diffva ja Df x ) = L R n, R m ) kaikilla x : f x + h ) = c = f x ) = f x ) + h + h, x + h. ) Olkoon I R n R n, Ix) = x, identtinen kuvaus. Tällöin I on diffva ja DI x ) = I kaikilla x R n. Koska I on lineaarikuvaus, R n R n, niin I x + h ) I x ) = Ih + h. 3) Olkoon A R n R m lineaarikuvaus. Tällöin A on diffva ja DA x ) = A kaikilla x R n : A x + h ) A x ) = Ah + h. Seuraava lause antaa yhteyden differentioituvuuden ja jatkuvuuden välillä; differentioituvuus on voimakkaampi ominaisuus. Lause 6.4: Pisteessä x o differentioituva kuvaus on jatkuva samassa pisteessä. Olkoon f R m vektorifunktio, R n avoin, x. Jos f on differentioituva pisteessä x, niin f on jatkuva pisteessä x. Todistus. Kuten Vektorianalyysi I-kurssilla. Korollaari 6.5. Olkoon f R m, R n avoin, differentioituva. Tällöin f on jatkuva joukossa. Huomautus 6.6 Funktio f R R, on differentioituva pisteessä x R, jos ja vain jos f on derivoituva pisteessä x. Tällöin Df x ) h = f x ) h, h R. Määritelmä 6.7: Affiini kuvaus. Kuvaus T R n R m on affiini, jos T on lineaarikuvauksen A R n R m ja avaruuden R m siirron yhdiste, toisin sanoen, jos Huomautus: T ) = A ) + b = + b = b. T x) = Ax + b, b R m, kaikilla x R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT Esimerkki 6.8 ) Olkoon b =, ) R ja lineaarikuvaus A R 3 R siten, että [ ] mata) =. 3 3 Silloin T R 3 R, T x) = Ax + b on affiinikuvaus, jolle T x) = y = y, y ) = x + x 3 +, 3x + x + 3x 3 + ). ) Affiinikuvaus T = T, T ) R R, { T x) = 3x + T x) = x +, kuvaa reaaliakselin tason R suoraksi, joka kulkee pisteen, ) kautta. Nyt { y = 3x + y = x +, joten suoran yhtälö on y + 3y = 7. 6.9 Kuvausmerkintä εx) ja sanonta ε-funktio: Kuvaus φ n, r) R m, φx) = εx), on ε-funktio, kun φx), kun x. Esimerkki 6. ) Olkoon φ R R, x cos x. Silloin φ on ε-kuvaus, sillä εx) = cos x, kun x. ) Olkoon φ = ) φ, φ, r ) R, φ x) = log x ) φ x) = sin x. Nyt φx) = log x ) ), sin x = εx), sillä εx), ), kun x. Esimerkki 6. Tärkeä! Olkoot f ja f R R derivoituva kuvauksia ja f R R, f ) ) ) x, x = f ) x, f x. Osoita, että f on diffva ja derivaattaa vastava matriisi on mat Df ) ) [ f ) ] x x, x = f ). x Ratkaisuehdotus. Merkitään h = h, h ) R, x = x, x ) R. Koska f ja f ovat derivoituvia, niin fx + h) ) = f ) ) ) ) x + h, x + h = f ) x + h, f x + h 3) ) ) = f x + f x h + h ε ) ) ) h, f x + f x h + h ε ) ) h RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

Vektorianalyysi II 6 VEKTORIFUNKTIOIDEN DERIVAATAT = ) ) ) f x, f x + f ) x h, f ) ) ) ) x h + h ε h, h ) ε h = fx) + Ah + h εh), missä A R R lineaarikuvaus siten, että [ f ) ] x mata) = f ) x ja εh) = h h ε h ), h h ε h ) ), kun h. Siis f on differentioituva ja mat Dfx, x ) ) [ f ) ] x = f ). x Kohdassa ) sijoitetaan merkinnät, kohdassa ) käytetään funktion määritelmää ja kohdassa 3) käytetään sitä, että funktiot f ja f ovat derivoituvia. Lisäksi huomaa, että h = h + h. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ 7 Derivoimissääntöjä Lause 7.: Summafunktion differentioituvuus. Jos f, g R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin kuvaus f + g R m on differentioituva pisteessä x ja x ) ) ) D f + g) = Df x + Dg x. x ) ) ) Siis D f + g) h = Df x h + Dg x h, h R n. Todistus. Suoraan kehitelmällä. Esimerkki 7. Etsi kuvauksen f R R, x, x ) x + sin x, x + x + cos x ) derivaatta Df x, x ). Ratkaisuehdotus. Nyt fx) = x, x + x ) + sin x, cos x ), missä gx) = x, x + x ) on lineaarinen ja hx) = sin x, cos x ) on Esimerkin 6. tyyppiä. Siis ja mat Dgx) ) = [ ] mat Dhx) ) [ ] cos x =. sin x Siis Lauseen 7. nojalla summafunktio f on differentioituva ja Dfx) L R, R ) ja mat Dfx) ) [ ] cos x =. sin x Siis Dfx)h = h cos x + h, h + h h sin x ), h R. Lause 7.3: Tulofunktion differentioituvuus. Jos φ R ja f R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin on differentioituva pisteessä x ja Todistus. Melkein suoraan kehitelmällä. φf R m, φf)x) = φx)fx), Dφf) x ) h = Dφ x ) h )f x ) + φ x ) Df x ) h. Korollaari 7.4: Vakiolla kerrotun funktion differentioituvuus. Olkoon R n avoin. Jos f R m on differentioituva pisteessä x ja λ R, niin λf R m on differentioituva pisteessä x ja Dλf) x ) = λ Df x ). Seuraava esimerkki on Lauseiden 7. ja 7.3 sovellus. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Esimerkki 7.5 Olkoon f R R, f x, x ) = x, x x ). Etsi derivaatta Dfx). Ratkaisuehdotus. Nyt f ) x, x = x, ) +, x ) ) = φx) gx) + hx) ), missä φ R R, x, x ) x lineaarinen g R R, x, x ), ) vakio h R R, x, x ), x ) lineaarinen. Siis mat Dφx) ) = [ ] mat Dhx) ) [ ] =. Olkoon u = u, u ) R. Lauseiden 7. ja 7.3 nojalla Dfx)u Dgx)= = Dφx)u gx) + hx) ) + φx) Dhx)u = u, ) +, x ) ) + x, u ) = ) u, x u + x u [ ] [ ] u. x x u Siis mat Dfx) ) [ ] =. x x Lause 7.6: Sisätulon differentioituvuus. Jos f, g R m, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x, niin kuvaus on differentioituva pisteessä x ja f g R, f g)x) = fx) gx) Df g) x ) h = Df x ) h g x ) + f x ) Dg x ) h. Huomautus merkinnästä: Sisätulo f g R eli f g ) R merkitään f g)x) = f g ) x) fx) gx) = fx) gx) ). Lause 7.7: Ketjusääntö. Tärkeä! Olkoon R n avoin ja R m avoin. Jos kuvaus f on differentioituva pisteessä x ja kuvaus g R l on differentioituva pisteessä y = f x ), niin yhdistetty kuvaus g f R l on differentioituva pisteessä x ja Dg f) x ) = Dg y ) Df x ) L R n, R l), toisin sanoen Dg f) x ) h = Dg f x ) ) Df x ) h, h R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Todistus. ) Kehitelmä, ) funktion f jatkuvuuden hyödyntäminen. f g R l g f Kuva : Lauseen 7.7 yhdistetty kuvaus g f R l. Esimerkki 7.8 Etsi derivaatta Dh x ), kun h = g f, missä f R R 3, x mat Df ) ) x = g L R 3, R ) ja matg) =, x =, sin x, x, x ), [ ] 3. f R 3 g R R h = g f Kuva : Esimerkin 7.8 yhdistetty kuvaus h = g f R R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II 7 DERIVOIMISSÄÄNTÖJÄ Ratkaisuehdotus. Ketjusäännön nojalla yhdistetty kuvaus h = g f R R on diffva pisteessä x = ja Dh ) = Dg f )) Df ) = g Df ) L R, R ) ja mat Dh )) = matg) mat Df )) = Siis k = Dh ) R R, k x) = 3x, x ). [ ] 3 = [ ] 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA 8 Suunnattu derivaatta ja osittaisderivaatta Määritelmä 8.: Suunnattu derivaatta. Olkoon R n avoin, f R m, x ja e R n yksikkövektori, e =. Jos raja-arvo f x + te ) f ) x lim t t t R on olemassa, niin merkitään tätä raja-arvoa e f ) x R m ja sanotaan, että e f ) x R m on kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x suuntaan e. { x ) } Esimerkki 8. Olkoon =, x R x > ja f R, ) x x, x, x + x ). x x Etsi funktion f derivaatta pisteessä x =, ) suuntaan a =, ). Ratkaisuehdotus. Yksikkövektori on nyt e = a a =, ). Joten f x + te ) f ) x lim t t = lim t f = lim t t t, + t ), + t t = lim t f ) t f, ) t + t ), ) ) + t, f, ) = lim t ) = t t + t, + t t ), ) ), ) =,. Lause 8.3. Jos kuvaus f R m, R n avoin, on differentioituva pisteessä x, niin sillä on pisteessä x derivaatta jokaiseen suuntaan e R n, e = ja e f x ) = Df x ) e R m. Todistus. Katso vektorianalyysi -kurssikokeen. tehtävä. Esimerkki 8.4 Olkoon R avoin. Olkoon f R differentioituva kuvaus ja [ ] mat Dfx) ) = x x x x e x, x = x, x ). Etsi funktion f derivaatta pisteessä, ) vektorin,) suuntaan. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA Ratkaisuehdotus., ) e =, ) = 5, ) 5 Lauseen 8.3 nojalla e f, ) = Df, ) e [ = e ] 3 = 5 e 5 5 5 3 5, e 5 ) R. Määritelmä 8.5: Osittaisderivaatat. Olkoon R n avoin. Kuvauksen f R m suunnatut derivaatat pisteessä x kantavektoreiden e i R n, i =,, n, e =, suuntaan ovat jos ne ovat olemassa) kuvauksen f vektori)osittaisderivaatat pisteessä x. Merkitään ei f x ) = i f x ) = f e i x ) = D i fx ), i =,, n. Lause 8.6. Olkoon R n avoin, olkoon x. Kuvauksella f = f,, f m ) R m on olemassa osittaisderivaatta i f x ), jos ja vain jos jokaisella komponenttifunktiolla f j R, j =,, m on olemassa osittaisderivaatta i f j x ), j = i,, m. Tällöin i f x ) = i f x ), i f x ),, i f m x ) ). Huomautus: Kysymys on vain seuraavasta tosiasiasta: lim fx) = y, x x jos ja vain jos missä lim f x x j x) = y j, j =,, m, y = y,, y m ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II 8 SUUNNATTU DERIVAATTA JA OSITTAISDERIVAATTA Esimerkki 8.7 Olkoon f R R, ) ) x, x x + x, x + x. Silloin f R R, f x, x ) = x + x. f R R, f x, x ) = x + x. Siis f x, x ) = f x, x ) = f x, x ) = x f x, x ) = x. Siis f x, x ) = f x, x ), f x, x ) ) =, x ) f x, x ) = f x, x ), f x, x ) ) =, x ). Lauseesta 8.3 seuraa Korollaari 8.8. Olkoon meillä R n avoin, x. Jos kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, niin kuvauksella f on olemassa kaikki osittaisderivaatat pisteessä x ja i f x ) = Df x ) ei, i =,, n. Seurauslause 8.8 ei päde kääntäen. Kuitenkin derivaatta on laskettavissa osittaisderivaattojen avulla. Lause 8.9. Olkoon R n avoin, x. Jos kuvaus f R m on differentioituva pisteessä x, niin Df ) n x h = h i i f ) x, h = h,, h n ) R n. i= RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI 9 Jacobin matriisi Lause 9.. Olkoon R n avoin, x. Jos funktio f = f,, f m ) R m on differentioituva pisteessä x, niin derivaatan Df x ) L R n, R m ) matriisi pisteessä x on ) ) ) f x j f x n f x mat Dfx ) ) ) ) ) = f i x j f i x n f i x. 9.) ) ) ) f m x j f m x n f m x Määritelmä 9.3: Jacobin matriisi. Matriisi 9.) on tällöin kuvauksen f Jacobin matriisi. Huomautus 9.4 Kertausta. Lineaarikuvausta A R n R m vastaa m n - matriisi. a a a n a a a n = [a ij ] a m a m a mn Jokainen m n-matriisi määrittelee lineaarikuvauksen A R n R m siten, että kaikilla x R n y = y,, y m ) = Ax = Ax,, x n ), jos ja vain jos y a a a n x y = a a a n x. y m a m a m a mn x n Merkitsemme ]. A [a ij = mata). a ij = Ae j ) i = e i Ae j sillä a a a + +a j + n +a Ae j = a a a n j + = + = a m a m a mn +a ij + + + +a mj + eli Ae j = A,,,,,, ) = a j, a j,, a ij,, a mj ), joten Ae j ) i = a ij = e i Ae j, missä e i R m, Ae j R m. a j a ij a mj RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI ] Todistus. Olkoon [a ij = matdfx )). Siis Lauseen 8.9, Lauseen 8.6 ja Seurauslauseen 8.8 nojalla a ij = e i Df x ) ej = e i j f x ) = j f i x ). Esimerkki 9.5 Olkoon f R R, x, x ) x x, x ). Tällöin f on differentioituva erityisesti pisteessä,). Silloin f R R, f x, x ) = x x f R R, f x, x ) = x, ja ) ) f x, x = x f x, x = x ) ) f x, x = f x, x = x. Silloin mat Df, ) ) ) [ = f, ) f, )] f, ) = f, [ ]. Määritelmä 9.6: Jacobin determinantti. Pisteessä x differentioituvan kuvauksen f R n, R n avoin, Jacobin determinantti J f x ) pisteessä x on J f x ) = det Dfx ) ). Siis vastaavan Jacobin matriisin determinantti. Esimerkki 9.7 Olkoon f R R, x, x ) x, x sin x ). Tällöin f on differentioituva. Etsi J f ). Ratkaisuehdotus. Nyt f R R, f x, x ) = x, ja siis ja erityisesti Ja f R R, f x, x ) = x sin x, ja siis ja erityisesti f x, x ) = ja f x, x ) = f ) = ja f ) =. f x, x ) = sin x ja f x, x ) = x cos x f ) = ja f ) =. siis J f ) = =. Lause 9.8. Pisteessä x differentioituvan kuvauksen f R n, R n avoin, derivaatta Dfx ) L R n, R n ) on bijektio, jos ja vain jos J f x ). Todistus. Lineaarialgebra. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

Vektorianalyysi II 9 JACOBIN MATRIISI Esimerkki 9.9 Kuvaus f R R, x, x ) x + x, x x ), on differentioituva. f R R, f x, x ) = x + x f R R, f x, x ) = x x f x, x ) = f x, x ) = f x, x ) = x f x, x ) = x. Kuvauksen Jacobin determinantti on J f x) = = x x x x. Siis Dfx) R R on bijektio suoran x x = ulkopuolisissa pisteissä, eli kun x = x, x ) R ja x x. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

Vektorianalyysi II DIFFERENTIOITUVUUDESTA Differentioituvuudesta Lause.. Kuvaus f = f,, f m ) R m, R n avoin joukko, on differentoituva pisteessä x, jos ja vain jos komponenttifunktiot f j R, j =,, m, ovat differentioituvia pisteessä x. Tällöin m ) ) m ) ) Dfx )h = Df j x h e j = f j x h e j. j= Lause.. Kuvaus f R m, R n avoin joukko, on differentioituva pisteessä x, jos jollakin j, j n, j f x ) on olemassa sekä muut n derivaattaa i f, i j, ovat olemassa pisteen x jossain ympäristössä ja jatkuvia pisteessä x. Määritelmä.3: Jatkuvasti differentioituva kuvaus. Differentioituva kuvaus f R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos sen derivaattakuvaus Df L R n, R m), x Dfx) on jatkuva. Lause.4. Tärkeä! Kuvaus f = f,, f m ) R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos kaikki komponenttifunktioiden f j R, j =,, m, osittaisderivaatat i f j, i =,, n ovat olemassa ja jatkuvia avoimessa joukossa. Esimerkki.5 Tärkeä!) x + x x 3, e x + x cos x 3 ). Kuvaus f on jatkuvasti differen- Olkoon f = ) f, f R 3 R, x tioituva, sillä j= f R 3 R f x, x, x 3 ) = x + x x 3, f R 3 R f x, x, x 3 ) = e x + x cos x 3, f x, x, x 3 ) = x f x, x, x 3 ) = x 3 3 f x, x, x 3 ) = x f x, x, x 3 ) = cos x 3 f x, x, x 3 ) = e x 3 f x, x, x 3 ) = x sin x 3 ja siis osittaisderivaatat ovat jatkuvia R 3 R. Edelleen mat Dfx) ) [ ] x x 3 x cos x 3 e x x sin x 3 ja erityisesti Korollaari.6. Df,, π ) [ ] π. Kuvaus f R m, R n avoin joukko, on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos kaikki vektori)osittaisderivaatat i f, i =,, n, ovat olemassa ja jatkuvia joukossa. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

Vektorianalyysi II DIFFERENTIOITUVUUDESTA.7 Yhteenveto f j differentioituva j =,, m f jatkuvasti differentioituva Määritelmä.3 f differentioituva Lause 6.5 f jatkuva Seurauslause.6 Lause 8.3 i f ovat olemassa ja jatkuvia i =,, n Laskuharjoitus. Lause.4 i f j ovat olemassa ja jatkuvia i =,, n j =,, m e f on olemassa e R n, e = i f on olemassa i =,, n Määritelmä 8.5 Lause 8.6 i f j ovat olemassa j =,, m i =,, n Kuva 3: Yhteenveto differentioituvuudesta. Olkoon yllä f = ) f,, f m R m, R n avoin joukko. : Katso Vektorianalyysi I -luennot, siellä on vastaesimerkit. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset f R n R Kuva 4: Yhden muuttujan vektoriarvoinen kuvaus f kuvaa reaaliakselin R tai sen avoimen joukon) vektoriavaruuteen R n. Lause.. Yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio f R m, R avoin joukko, on differentioituva pisteessä t, jos ja vain jos on olemassa raja-arvo ns. derivaattavektori) Tällöin f ) ft) f ) t t = lim R m. t t t t t Df t ) h = hf t ), h R. Lause.. Yhden muuttujan vektoriarvoinen funktion f = f,, f m ) R m, avoin joukko reaaliakselilla, on differentioituva pisteessä t, jos ja vain jos jokaisella komponenttifunktiolla f j R, j =,, m, on derivaatta f j t ) R pisteessä t, jolloin f t ) = f t ), f t ),, f m t ) ). Huomautus: Lause. on hyödyllinen jatkossa. ) Esimerkki.3 Olkoon f R R 3, t e t, t 3, t 3. Silloin f R R, t e t derivoituva koko reaaliakselilla, f R R, t t 3 derivoituva koko reaaliakselilla, f 3 R R, t t 3. Siis f on differentioituva täsmälleen pisteissä t, ja f t) = e t, 3t, 3 t ) 3 R 3..4 Jatkuvasti differentioituvat polut Polku on jatkuva kuvaus γ [ a, b ] R m, [ a, b ] R. Polku γ on polku joukossa A R m, jos γt) A, kaikilla t [ a, b ]. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET a b γ γ[a, b]) A Kuva 5: Polku γ [ a, b ] R m, [ a, b ] R, on polku joukossa A R m, jos γt) A, kaikilla t [ a, b ]. Eli polun jälki γ = γ[a, b]) A. Polun γ jälki on sen kuvajoukko { γt) t [a, b] } ja merkitään usein γ = γ[a, b]). Joukko Γ R m on käyrä pisteestä x pisteeseen y, jos se on jonkun polun γ [a, b] R m jälki ja jos x = γa) ja y = γb). Tällöin γ on käyrän Γ = γ[a, b]) parametriesitys parametrina t [a, b]. Käyrää Γ sanotaan kaareksi, jos x y. Esimerkki.5 Kuvaus γ [, ] R m, γt) = a + tb a), on polku ja sen jälki γ [, ] ) = { x R m x = a + tb a), t [, ] } = a, b) on kaari pisteestä a pisteeseen b; pisteiden a ja b välinen jana. γ a b Kuva 6: Esimerkin.5 polku γ, joka kuvaa välin [, ] janaksi a, b). Polku γ [a, b] R m on jatkuvasti differentioituva, jos on olemassa avoin väli ]c, d[ siten, että [a, b] ]c, d[, ja jatkuvasti dfferentioituva funktio f ]c, d[ R m siten, että γ = f [a,b]. Tällöin merkitään γ t) = f t), t [a, b] ja sanotaan, että γ t) R m on polun γ derivaatta pisteessä t [a, b]. Huomautus: γt) = f [a,b] t = ft), kaikilla t [a, b]. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET f γ c a b d R Kuva 7: Jatkuvasti differentioituva polku. Esimerkki.6 Olkoon γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ). Tällöin γ on polku. Määritellään f R R, t cos t, sin t), jolloin f on jatkuvasti differentioituva, sillä osittais)derivaatat ovat jatkuvia; mat Dft) ) [ ] sin t = sin t, cos t ) = f cos t t), t R. Nyt γ = f [,π]. Siis γ on jatkuvasti differentioituva polku ja Polun γ jälki on yksikköympyrän kehä. γ t) = sin t, cos t ), t [, π]. π R γ R Kuva 8: Esimerkin.6 jatkuvasti differentioituva polku. Huomautus: Käyrällä on monta parametriesitystä. { } Esimerkki Käyrällä Γ = x R x = on muun muassa seuraavat parametriesitykset γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) α [, ] R, αt) = cos πt, sin πt ) β [, π] R, βt) = cos t, sin t ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET a b R γ R m Kuva 9: Muistutuksena, polku on jatkuva kuvaus γ [a, b] R m, jossa [a, b] R. Huomautus.7 Polku γ = γ γ m ) [a, b] R m on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos jokainen γ j [a, b] R, j =,, m on jatkuvasti derivoituva. Päätepisteissä toispuoleiset derivaatat.) Määritelmä.8. Polku γ [a, b] R m on säännöllinen, jos se on jatkuvasti differentioituva ja γ t) > kaikilla t [a, b]. Huomautus Tässä siis γ t) = γ t) + + γ m t). Vektorin γ t) pituus on lineaarikuvauksen Dγt) R R m normi. Esimerkki.9. Esimerkin.6 polku γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) on säännöllinen polku, sillä γ on jatkuvasti differentioituva ja γ t) = sin t) + cos t) = >, t.. Polku γ [, ] R, γt) = t, t 3 ) on jatkuvasti differentioituva, mutta ei säännöllinen, sillä γ ) = R. Määritelmä.. Olkoon γ [a, b] R m jatkuvasti differentioituva polku. Jos γ t ), niin polun tangenttivektori pisteessä γt ) on γ t ) ja polun γ yksikkötangenttivektori pisteessä γt ) on γ t ) γ t ). Joukko { } x R m x = γt ) + sγ t ), s R on polun γ tangenttisuora) pisteessä γt ). Esimerkki. Polulla γ [, π] R, γt) = cos t, sin t ) on jokaisessa pisteessä γt), t [, π], olemassa yksikkö)tangenttivektori ja tangenttisuora) γ t) = sin t, cos t ), γ t) = { x R x = cos t, sin t ) + s sin t, cos t ) }, s R { = x R x = cos t s sin t, sin t + s cos t ) }, s R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET ) ) Jos t = 3π, niin γ 3π =, ) ja γ 3π =, ) ja tangenttisuora) { } x R x = s, ), s R, on pisteen γ ) ) 3π kautta kulkeva suora, jonka suunnan määrää γ 3π., ) ) Kuva : Yksikköympyrä, eli esimerkin. polku. Merkittynä piste γ 3π =, ) ja samassa pisteessä tangenttivektori γ 3π ) =, ).. Paloittain säännöllisistä poluista Monesti käytännössä polut eivät ole säännöllisiä, mutta ne voidaan paloitella säännöllisiin osiin. a) Siistejä eli säännöllisiä polkuja. b) Paloittain säännöllinen polku. Kuva : Esimerkkejä säännöllisistä ja paloittain säännöllisistä poluista. Polku γ [a, b] R m on paloittain säännöllinen, jos on olemassa pisteet a j, j =,,, k siten, että a = a < a < < a k = b ja polku ν j = γ [a j,a j ], j =,, k RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

Vektorianalyysi II YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIARVOISET KUVAUKSET on säännöllinen. Pisteissä a j toispuoleiset derivaatat: katso komponenttifunktioita käyttäen. a = a a a a k a k = b Kuva : Paloittain säännöllinen polku γ [a, b] R m. Väli [a, b] voidaan jakaa paloihin a j, j =,,, k siten, että a = a < a < < a k = b ja kutakin väliä [a j i, a j ] vastaava polku on säännöllinen. Esimerkki.3 Olkoon meillä γ [, ] R. γt) = {, t), kun t [, ] t, ), kun t [, ]. Tällöin γ on paloittain säännöllinen. f R R, f t) =, t), jatkuvasti differentioituva f R R, f t) = t, ), jatkuvasti differentioituva. Merkitään γ = f [,] ja γ = f [,]. Silloin γ =, ), ) ja γ =, ), ). γ γ γ Kuva 3: Esimerkin.3 paloittain säännöllinen polku. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 6

Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Käänteiskuvauslause Tutkimme seuraavassa kuvauksen lokaalia kääntämistä. Lause.: Lokaali injektiivisyys. Olkoon f R n, avoin avaruudessa R n, siten, että. f on jatkuvasti differentioituva,. J f x ) pisteessä x. Silloin pisteellä x on olemassa avoin ympäristö U siten, että f U on injektio eli f on lokaali injektio pisteessä x. Lisäksi J f x) kaikilla x U. Huomautus. Lauseeseen. huomautuksia.. On oleellista, että Lauseessa. lähtö- ja maalijoukko ovat saman dimensioisia.. Ehto Lauseessa. merkitsee, että kuvaus Dfx ) R n R n on bijektio. Koska Dfx ) approksimoi kuvausta x fx) fx ) pisteen x pienessä ympäristössä, niin voidaan tutkia olisiko itse f lokaali injektio. 3. Jos n = niin J f x ) = f x ) ja ehto Lauseessa. merkitsee, että f x ). Silloin Lause. on tavallinen kuvauksen lokaalikääntämislause. Aikaisempi analyysin kurssi.): Jos f x ) niin on olemassa pisteen x ympäristö siten, että f on aidosti monotoninen ja silloin f on lokaali injektio. Huomautus.3 Tärkeä!). Kuvauksen f R n, on avoin avaruudessa R n, n ei tarvitse olla injektio, vaikka J f x) kaikilla x. Esimerkki Jos f R R, x, x ) e x cos x, e x sin x ) niin e J f x, x ) = x cos x e x sin x e x sin x e x = e cos x x aina. Kuitenkin f x, x ) = f x, x + kπ ), k = ±, ±,.. Huomaa tapaus n =. Aikaisemmat analyysin kurssit.) Kuitenkin jos f ] a, b [ R jatkuva ja lokaali injektio kaikilla x ] a, b [, niin f on injektio. 3. Jatkuvasti differentioituva kuvaus f R n, avoin avaruudessa R n, voi olla injektio vaikka J f x) = joillakin x. Esimerkki a) f R R, x x 3, f ) =. b) f R n R n, x x x on jopa bijektio, mutta J f ) =. ) Esimerkki.4 Olkoon f R R, x, x ) x, x. Missä pisteissä f määrittelee lokaalin injektion? Määrää suurin r > siten, että f x,r) on injektio. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 7

Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Ratkaisuehdotus. Koska f on jatkuvasti differentioituva, niin voimme soveltaa Lausetta. x J f x, x ) = = x, joten J f x, x ), kun x. Siis f on lokaali injektio ainakin pisteessä x, x ), x ). Suoran x = pisteet on tutkittava erikseen. Kaikilla t >, fx, x ) = t, x ) = f t, x ), joten f ei ole lokaali injektio. Pisteen, x ) jokaisesta umpäristöstä löytyy kaksi eri pistettä jotka kuvautuvat samaksi pisteeksi, näin ollen f ei ole lokaali injektio piseessä, x ). Erityisesti pisteessä, ) f on lokaali injektio. On olemassa r > siten, että f x,r) on injektio. Määräämme suurimman luvun r >, jolle f x,r) on injektio. Edellä olevasta seuraa, että r. Osoitamme että f x,r) on injektio. Olkoon x, x ), y, y ) x, ) siten, että fx, x ) = fy, y ). Nyt siis x >, y > { x = y x = y, koska y >, x > x = y,. Siis x, x ) = y, y ). x x, x ) x, ) x a) Pisteen, x ) ympäristö. b) Piste x =, ) ja x, ). Kuva 4: Esimerkin.4 erikseen tutkittavat pisteet a) ja piste, ), missä f on lokaali injektio. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 8

Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE Lause.5: Käänteiskuvauslause. Olkoon kuvaus f R n, avoin avaruudessa R n, jatkuvasti differentioituva, jolle J f x ) pisteessä x. Silloin pisteellä x on avoin ympäristö U siten, että. Rajoittumakuvaus f U U V = fu) on bijektio.. V = fu) on avoin. 3. Kuvauksen f U käänteiskuvaus g V U, g = f ) U on jatkuvasti differentioituva ja D gfx) ) = Dfx) ) kaikilla x U. Todistus: Tom Apostol, Mathematical Analysis, nd edition, s. 37 373. ) Esimerkki.6 Olkoon f R R, x, x ) e x cos x, x e x. Osoita, että pisteellä,) on ympäristö siten, että f U U fu) on bijektio. Määrää tämän kuvauksen f U käänteiskuvauksen g = f ) U derivaatta. Ratkaisuehdotus. Kuvaus f on jatkuvasti differentioituva. Nyt Siis e J f x, x ) = x cos x e x sin x e x + x ex. e J f, ) = = e. Käänteiskuvauslauseen nojalla pisteellä, ) on olemassa ympäristö U siten, että f U U fu) = V on bijektio. Lisäksi käänteiskuvaus g = f ) U on jatkuvasti differentioituva ja mat D ge, ) )) = [ ] e = [ ] e. Määritelmä.7: Diffeomorfismi. Bijektio f U V, U R n, V R n avoimia, on diffeomorfismi jos molemmat f U V ja f V U ovat jatkuvasti differentioituvia. Esimerkki.8 Tärkeä!) Napakoordinaattikuvaus tasossa R on jatkuvasti differentioituva injektio ja g, ), π) R gr, ρ) = r cos ρ, r sin ρ ), cos ρ r sin ρ g r, ρ) = = r. sin ρ r cos ρ { } Siis g, ), π) R x, ) R x on diffeomorfismi. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 9

Vektorianalyysi II KÄÄNTEISKUVAUSLAUSE π φ x r g x { } Kuva 5: Esimerkin.8 kuvaus g, ), π) R x, ) R x. Esimerkki.9 Olkoon = {x, x ) R < x + x < 4, x >, x > }. Silloin g ) =, missä = { r, ρ) R < r <, < ρ < π }. ρ x π r g x Kuva 6: Esimerkin.9 kuvaus g ja joukot ja ja. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ 3 Ääriarvotehtävistä Määritelmä 3.. Sidotulla ääriarvotehtävällä tarkoitetaan funktion f A R, A R n, ääriarvopisteiden ja ääriarvojen määräämistä kuvauksen h = h, h p ) A R p, p < n antamien rajotteiden määräämässä joukon A osajoukossa h x) = h = x) = = h p x) = = { x A hx) = }. Esimerkki 3. Määrää funktion f R 3 R, x, x, x 3 ) x x + x 3 ääriarvopisteet ja ääriarvot pallopinnalla, ) = {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x 3 = }. Lause 3.3: Lagrangen kertojien menetelmä. Olkoot f R ja h = h,, h p ) R p, p < n, avoimessa joukossa R n jatkuvasti differentioituvia funktioita. Jos funktiolla f on tasa-arvojoukossa h ) = { x hx) = } { = x } h x) = h x) = = h p x) = lokaali ääriarvopiste x h ) ja jos matriisin mat Dhx ) ) aste on p, niin on olemassa ns. Lagrangen kertojat λ R, λ R,, λ p R siten, että fx ) = λ h x ) + + λ p h p x ) p = λ k h k x ). k= Huomautus 3.4 Lauseen 3.3 oletuksiin funktion f mahdolliset sidotut ääriarvopisteet saadaan selville ratkaisemalla yhtälöryhmä eli yhtälöryhmä { fx) = λ h x) + λ h x) + + λ p h p x) hx) = h x), h x),, h p x)) =,,, ), RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Siis n + p yhtälöä n + p tuntemattomalle: fx) = λ h x) + λ h x) + + λ p h p x) n fx) = λ n h x) + λ n h x) + + λ p n h p x) h x) = h p x) =. x,, x n, λ,, λ p. Huomaa, että yhtälöryhmän ratkaisu ei ole välttämättä ääriarvopiste. 3.5 Geometrista perustelua. Funktio f muuttuu pisteessä x nopeimmin gradientin fx ) suuntaan.. Oletus = h ) = h, W ) = h ) W, x W, W on avoin joukossa, on säännöllinen pinta ja pinnan normaalitaso on vektoreiden h x ),, h p x ) virittämä. 3. Jos funktiolla f on pinnan suhteen lokaali ääriarvo pisteessä x, niin silloin fx ) T x, ts. fx ) on pinnan normaalivektori pisteessä x, joten on olemassa luvut λ R,, λ p R siten, että oli Lauseen 3.3 väite. fx ) = λ h x ) + + λ p h p x ) Esimerkki 3.6 Määrää esimerkin 3. funktion f R 3 R, fx, x, x 3 ) = x x + x 3, ääriarvopisteet pallopinnalla, ) ja ääriarvopisteiden antamat ääriarvot. Ratkaisuehdotus. Rajoitefunktio on h R 3 { } R, h ) x, x, x 3 = x + x + x, ja rajoite-ehto 3 on h ) x, x, x 3 = x + x + x =. Tällöin 3 a) f, h C R 3 { }), R 3 { } on alue eli avoin ja yhtenäinen), b) hx) = ) ) ) x, x, x 3,,, kaikilla x = x, x, x 3 R 3 { }, { c) h ) = x R 3 { } } hx) =. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 3

Vektorianalyysi II 3 ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Mahdolliset sidotut ääriarvokohdat: { fx) = λ hx) hx) =, eli {,, ) = λx, x, x 3 ) x + x + x 3 =, eli = λx = λx x = x = x 3 = = λx λ 3 x + x + x 3 =,, λ joten Siis mahdolliset sidotut ääriarvopisteet: ) 3 3 = eli λ = ± λ. ± 3,, ). Koska, ) on kompakti ja f on jatkuva, niin f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa pinnalla, ) : f f ), ) antaa funktiolle suurimman arvon 3 ja vastaavasti ääriar- 3 Ääriarvopiste,, 3 3 vopiste, 3 ),, = 3 on funktion suurin arvo pinnalla, ) ja 3 3 3 ),, = 3 on funktion pienin arvo pinnalla, ). 3 3 3 3, 3 ), ) antaa funktiolle pienimmän arvon 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 33

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA 4 Avaruuden R n pinnoista Määritelmä 4.. Olkoon m < n. Joukko R n on m-ulotteinen alkeispinta avaruudessa R n, jos se on homeomorfinen avoimen joukon U R m kanssa, ts. on olemassa jatkuva bijektio ρ U siten, että ρ U on myös jatkuva. Homeomorfismi ρ U on pinnan parametriesitys. Huomautus 4.. on varustettu avaruuden R n indusoimalla metriikalla.. Sovitaan merkinnöistä Esimerkki 4.3 Joukko = avaruudessa R 3. Määritetään k x, r) = {x = x,, x k ) R k x x } < r { } k x, r) = x = x,, x k ) R k x x = r {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x3 =, x 3 > } on -ulotteinen alkeispinta ρ, ), ρu, u ) = Tällöin ρ on jatkuva bijektio, jonka käänteisfunktio on myös jatkuva. ) u, u, u u. x 3,, ) Kuva 7: Esimerkin 4.3 joukko =,, ),, ) x x {x, x, x 3 ) R 3 x + x + x3 =, x 3 > }, joka on avaruudessa R 3 oleva -ulotteinen puolipallon muotoinen pinta. Esimerkki 4.4 Jos polku γ [a, b] R n on injektio, niin silloin käyrä Γa, b) on -ulotteinen pinta avaruudessa R n. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 34

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Γa, b) γ a b R Kuva 8: Esimerkin 4.4 käyrä Γa, b) on -ulotteinen pinta avaruudessa R n. Määritelmä 4.5. Avaruuden R n joukko R n on m-ulotteinen pinta, jos jokaisella pisteellä x on avoin ympäristö joukossa ) V x, joka on alkeispinta parametriesityksenä ρ x U x V x, U x R m. Jos m = n, niin tällöin on hyperpinta. Esimerkki 4.6 Ympyrän kehä }, ) = {x, x ) R x + x = on -ulotteinen pinta. x x Kuva 9: Esimerkin 4.6 -ulotteinen pinta, eli yksikköympyrä. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 35

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Huomautus 4.7.) Avaruuden R n m-ulotteinen taso T on m-ulotteinen lineaarinen avaruus tai tällaisen siirto vektorin x R n verran, ns. affiini aliavaruus, joten tason T parametriesitys on affiini kuvaus A R m R n, x x + Lx, missä lineaarista kuvausta L R m R n vastaavan matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos m = n, niin T on hypertaso..) Differentioituvalla kuvauksella φ U R n, U avoin avaruudessa R n, on pisteen x U lähellä pienessä ystössä) affiini approksimaatio ) Tx φ R m R n, T x φ x ) = φx ) + Dφx )x x ). Tässä T x φ on funktion φ. asteen Taylorin polynomi pisteessä x. Määritelmä 4.8. Avaruuden R n m-ulotteinen pinta = φu) on C -pinta jos φ U on C - kuvaus. Esimerkki 4.9 Esimerkin 4.3 puolipallo on C -pinta, sillä = φ, ) ), φ, ) R 3, φ ) ) x, x = x, x, x x on jatkuvasti differentioituva homeomorfismi. Määritelmä 4.. Olkoon = φu), U R m avoin, C -pinta avaruudessa R n. Jos Tx φ R m R n on m-ulotteisen tason parametriesitys, niin tämä taso { T x = x R n } x = Tu φ )u), u R m on pinnan tangettitaso pisteessä x = φu ). Jos pinnalla on pisteessä x tangettitaso T x, niin piste on säännöllinen. Pinta on säännöllinen, jos sen jokainen piste on säännöllinen. Huomautus 4. T x on matriisin mat Dφu ) ) sarakevektoreiden i φu ), i =,, m, virittämä taso, ts. m T x = x R n x = x + α i i φu ), α i R i= = x + φu ), φu ),, m φu ). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 36

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Määritelmä 4.. Olkoon = φ ) R n, R m, säännöllinen pinta. Pinnan ) tangettivektori pisteessä x on jokainen vektori x x, x T x, ) normaalivektori pisteessä x on jokainen tangenttitasoa vastaan pisteessä x kohtisuora vektori ν ν x x ) =, kaikilla x T x, 3) normaalitaso N x pisteessä x on normaalivektoreiden virittämä n m)-ulotteinen taso. x x 3 x T x x x Kuva : Määritelmän 4.. kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3 ja sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x. x x 3 x ν T x x x Kuva : Määritelmän 4.. kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3, sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x ja eräs normaalivektori ν, jolle ν x x ) =. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 37

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA x x 3 N x x ν T x x x Kuva : Määritelmän 4. 3. kohdan tilanne: on C -pinta avaruudessa R 3, sen pisteessä x eräs tangenttivektori x x, x T x ja eräs normaalivektori ν, jolle ν x x ) =, sekä pisteen x normaalivektoreiden virittämä normaalitaso N x. Tässä tapauksessa normaalisuora.) 4.3 Implisiittisesti määritellyistä pinnoista Määritelmä Olkoon F R n m, R n, jatkuva kuvaus. Olkoon α R n m. Merkitään F α) = { x F x) = α } R n. Tällöin jatkuvan kuvauksen F tasa-arvopinta joukossa W, W avoin, on F α; W ) = F α) W mikäli se on pinta. Määritelmä Pinta R n on jatkuvan kuvauksen F R n m, R n, implisiittisesti määrittelemä, jos = F α; W ) jollakin α R n m, W avoin. x 3,, ),, ),, ) x x Kuva 3: Seuraavan esimerkin pallopinta, ) R 3. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 38

Vektorianalyysi II 4 AVARUUDEN R N PINNOISTA Esimerkki Olkoon F α = ) = { } x R 3 F x) =, F R 3 R, F x) = x. Pallopinta, ) R 3 on funktion F R 3 R, F x, x, x 3 ) = x + x + x 3 implisiittisesti määrittelemä -ulotteinen pinta, sillä, ) = F ; R n ). Lause Olkoon F = F,, F n m ) R n m, avoin avaruudessa R n, C -kuvaus ja x sekä F x ) = α R n m. Jos matriisin mat DF x ) ) aste on n m, niin silloin pisteellä x on avoin ympäristö W siten, että = F α; W ) on funktion F implisiittisesti määrämä m-ulotteinen säännöllinen pinta. Lisäksi T x = { x R n DF x )x x ) = } ja N x on vektoreiden F x ),, F n m x ) virittämä. Esimerkki Kuvaukselle F R 3 R, F x) = x + x + x 3 pisteessä x =,, ) F 9), df x) [ x x x 3 ] df x ) 4 4 ), joten on olemassa W R 3 avoin siten, että x W ja F 9; W ) = on säännöllinen -ulotteinen pinta avaruudessa R 3. Lisäksi { } T x = x R 3 DF x )x x ) = { } = x R 3 4x + x + 4x 3 = 8 ja { } N x = x R 3 x x = α F x ), α R { = x R 3 x = 4α +, α +, 4α + ) }, α R = x + F x ) =,, ) +,, ) = { } x R 3 x =,, ) + t,, ) ; t R. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 39

Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ 5 Yleistä ääriarvotehtävistä Olkoon f R, R n avoin, jatkuvasti differentioituva. Tavoitteena on määrätä funktion f ääriarvot annetussa joukossa A, eli määrätä funktion f A A R globaalit ääriarvot. Erotetaan seuraavat tapaukset: 5. A on kompakti joukko Ääriarvot joukossa A löydetään tutkimalla seuraavat kolme joukkoa ja määräämällä ääriarvot niissä: a) { x int A fx) = } = N b) Reunan A se osa L A, johon voidaan soveltaa Lagrangen kertojien menetelmää c) A L A = R A. Funktion f suurin ja pienin arvo löydetään nyt määräämällä funktion arvot joukoissa N, L A, R A. Muistutus: Kompaktissa joukossa A R n jatkuva funktio f A R saavuttaa joukossa A suurimman ja pienimmän arvonsa. Huomautus 5. Joukko R A = A L A sisältää poikkeuspisteet, jotka on aina tutkittava erikseen. Erikoisesti tutki reunan kärkipisteet. Esimerkki 5.3 Määrää funktion f R R, ) x, x x + x 3x 4x, ääriarvot joukossa } A = {x R x + x, x, x. x S S A S 3 x } Kuva 4: Esimerkin 5.3 joukko A = {x R x + x, x, x, joukon reunan A osat S, S ja S 3, sekä poikkeuspisteet kärjet). Ratkaisuehdotus. Funktio on f C R ). Huomaa, että tämä riittäisi: f C R )). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ } a) int A = {x R < x + x <, x >, x > Kriittiset pisteet: ) Koska 3, int A, niin N =. fx) = x 3, x 4 ) = x, x ) = 3, ). b) Lagrangen menetelmää voidaan soveltaa joukossa } b) S = {x R h x) = x + x =. f, h jatkuvasti differentioituvia h x) = ) x, x, ) Saadaan yhtälöt: { fx) = λ h x) h x) =, eli Jos λ =, niin ristiriita, koska 3 = ). Siis kun λ, x 3 = λx x 4 = λx x + x =. 3 x = λ) x = λ λ = ± 5. Siis ) ) x, x = 3 5, 4 tai ) ) x 5, x = 3 5, 4. 5 Joukossa { x S x >, x > } L A on ääriarvopiste- ehdokas ) ) x, x = 3 5, 4. 5 b) Joukossa S = {x R } h x) = x =, funktiolla f on mahdollinen ääriarvopiste, ) A. b3) Joukossa S 3 = { x R } ) h 3x) = x = piste 3, A. c) Joukko R A = A L A: Ääriarvopiste-ehdokkaita ovat kärkipisteet:, ),, ),, ). Yhteenveto: Koska f on jatkuva kompaktissa joukossa A, niin riittää laskea/määrätä funktion f arvot ehdokaspisteissä: 3 f 5, 4 ) = 4 5 RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ f, ) = f, ) = f, ) = 3, joten 3 min fx) = f x A 5, 4 ) = 4 5 max fx) = f, ) =. x A 5.4 A ei ole kompakti joukko ) Jos A on rajoitettu siten, että A, niin voidaan soveltaa kohdan 5. menetelmiä kompaktiin joukkoon A. Näin saatavista ääriarvopisteistä kelpaavat vain ne, jotka kuuluvat joukkoon A. ) Muut tilanteet tutkittava tapaus kerrallaan. Huomautus 5.5 Ääriarvoja ei välttämättä saavuteta. Esimerkki 5.6 Määrää Esimerkin 5.3 funktiolle f ääriarvot joukossa } B = {x R < x + x, x, x. B = A, missä A on Esimerkissä 5.3 annettu. Ratkaisuehdotus. Kuten Esimerkki 5.3 sovellettuna kompaktiin joukkoon B = A: nyt funktio ei saavuta maksimia joukossa B, koska B. x B x Kuva 5: Esimerkin 5.6 ei-kompakti joukko B = ei siis kuulu joukkoon B. {x R < x + x, x, x }. Origo RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 4

Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Jos joukko on rajoittamaton, niin tapaus kerrallaan tutkittava erikseen. Esimerkki 5.7 Olkoon f R {} R, f ) x x, x =. Tutki, onko funktiolla f suurinta tai x +x pienintä arvoa joukossa A, kun { x ) A =, x R {} } ) x, x. x A x { x ) Kuva 6: Esimerkin 5.7 ei-kompakti joukko A =, x R {} } ) x, x, eli kaikki avaruuden R pisteet, jotka ovat vähintään etäisyydellä origosta. Ratkaisuehdotus. Nyt Siis fr, φ) <, kun r >. Rajat ± saavutetaan: x = r cos φ x = r sin φ cos φ fr, φ) = =, sillä r. r r f, ) = f, ) = Suurin arvo Pienin arvo toisin sanoen ja max fx) = x A min fx) =. x A RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 43

Vektorianalyysi II 5 YLEISTÄ ÄÄRIARVOTEHTÄVISTÄ Esimerkki 5.8 Olkoon funktio f määritelty kuten Esimerkissä 5.7. Tutki onko funktiolla f suurinta tai pienintä arvoa joukossa B, { x ) B =, x R {} } < x + x. x B x { x ) Kuva 7: Esimerkin 5.8 ei-kompakti joukko B =, x R {} } < x + x, eli kaikki avaruuden R pisteet, jotka ovat origokeskisen suljetun yksikköympyrän sisällä, poislukien itse origo. Ratkaisuehdotus. Nyt f x, ) = x, kun x, ) B ja lim x + x = + ja lim x joten f ei saavuta suurinta eikä pienintä arvoa joukossa B. x =, RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 44

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA 6 Riemannin integraalista 6. Kertausta Olkoon f rajoitettu reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty suljetulla välillä [ a, b ] R. Välin [ a, b ] jako on äärellinen jono numeroita x, x,, x N siten, että a = x < x < < x N = b. Kun jako on annettu, merkitään osaväliä ] I j = [x j, x j ja merkitään osavälin pituutta I j, I j = x j x j. a = x x x x N x N = b R Kuva 8: Suljetun välin [ a, b ] R jako. Määritellään jakoa vastaavat ylä- ja alasummat ) N U, f) = sup fx) j= x I j I j ) N ja L, f) = inf fx) x I j I j y j= U, f) y = fx) L, f) a = x x x x 3 x 4 = b x Kuva 9: Funktion f R R erästä välin [ a, b ] jakoa vastaavat ylä- ja alasummat. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 45

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA Koska f on rajoitettu, niin supremum ja infimum ovat olemassa. Selvästi U, f) L, f). Funktio f on Riemann-integroituva, jos jokaisella ε > on olemassa jako siten, että U, f) L, f) < ε. Jotta saadaan integraalin arvo, niin tarvitsemme seuraavan havainnon: jako on jaon tihennys eli hienonnus, jos saadaan jaosta lisäämällä pisteitä. a = x p x x x N x N = b R Kuva 3: Suljetun välin [ a, b ] R tihennetty jako. Vertaa kuvaan 8, johon lisätty piste p. Lisäämällä yksi piste kerrallaan, havaitaan U, f ) U, f) ja L, f ) L, f) Siis, jos ja ovat kaksi välin [ a, b ] jakoa ja merkitään yhteistä tihennystä jaolla, niin Koska f on rajoitettu, niin on olemassa U, f ) U, f ) L, f ) L, f ). inf U, f) = U ja sup L, f) = L, missä infimum ja supremum on otettu yli välin [ a, b ] kaikkien jakojen. Lisäksi U L. Jos f on integroituva, niin on oltava U = L ja määritellään, että on tämä yhteinen arvo. a b fx) dx RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 46

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA y y = fx) a b x Kuva 3: Funktion f R R Riemannin integraali b a fx) dx välillä [ a, b ], jolla fx) >. 6. Riemannin integraali avaruudessa R n Riemannin integraalin käsite avaruuden R n suorakaiteelle R n on suora yleistys Riemannin integraalin käsitteestä välillä [ a, b ] R. Joukko = { } a j x j b j ; j n, missä a j R ja b j R, j n, on suljettu suorakaide avaruudessa R n. Toisin sanoen = [ a, b ] [ a, b ] [ an, b n ] on -dimensionaalisten suljettujen välien karteesinen tulo. x b a a b x Kuva 3: Suljettu suorakaide avaruudessa R n. Tässä n =.) RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 47

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA ] Jos j on suljetun välin [a j, b j jako, niin =,,, n ) on suorakaiteen jako. Jos S j on jaon j osaväli, niin = S S S n on jaon osasuorakaide. Osasuorakaiteen tilavuus on sen sivujen pituuksien tulo = S S S n, missä S j on välin S j pituus. x x Kuva 33: Jakojen ja osasuorakaide = S S. Avaruudessa R n, tässä n =.) Nyt olemme valmiit määrittelemään integraalin yli suorakaiteen. Olkoon annettu rajoitettu reaaliarvoinen funktio f, joka on määritelty suorakaiteessa, jolle on annettu jako. Määritellään funktion f ylä- ja alasummat jaon suhteen: ) U, f) = sup fx), x L, f) = ) inf fx), x missä summat on otettu yli jaon kaikkien osajakojen. Nämä määritelmät ovat suoria yleistyksiä vastaavista merkinnöistä -ulotteisissa tapauksissa. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 48

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA x 3 f x, x ) sup x,x ) f x, x ) ) x S x inf x,x ) f x, x ) ) Kuva 34: Funktion f ) x, x yläosasumma sup x,x ) f ) ) x, x ja alaosasumma inf x,x ) f ) ) x, x yksittäisessä osasuorakaiteessa S. Jako = ),,, n on jaon = ),,, n tihennys, jos jokainen j on jaon j tihennys. Vastaavasti, kuten -ulotteisessa tapauksessa, saamme: Jos määrittelemme niin U ja L ovat olemassa äärellisinä ja U L. U = inf U, f) ja L = sup L, f), Funktio f on Riemann-integroituva suorakaiteen yli eli Riemann-integroituva suorakaiteessa, jos jokaisella ε > on olemassa jako siten, että U, f) L, f) < ε. Siis U = L ja tätä yhteistä arvoa, jota merkitsemme joko f x,, x n ) dx dx n tai fx) tai f sanomme funktion f integraaliksi yli suorakaiteen. RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 49

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA x 3 f x, x ) > x x Kuva 35: Funktion f x, x ) integraali f x, x ) yli suorakaiteen. Eli x x -tasolla olevan suorakaiteen ja funktion f x, x ) pinnan välisen avaruuden osan tilavuus. Huomautus Jatkossa olemme kiinnostuneita lähinnä jatkuvista funktioista. Jos f on jatkuva suljetussa suorakaiteessa, niin f on integroituva. Huomautus Jos funktio f on jatkuva suljetussa pallossa, niin voimme määritellä funktion f integraalin yli pallon seuraavasti: Jos g on funktion f laajennus siten, että gx) =, kun x ja g on integroituva missä tahansa suorakaiteessa, joka sisältää pallon, niin fx) dx = R gx) dx. Kuva 36: Suorakaide, joka sisältää pallon, eli. 6.3 Iteroiduista integraaleista Analyysin peruslause antaa meidän laskea monia -ulotteisia integraaleja, koska antiderivaatta on monissa tapauksissa löydettävissä. Olkoon g [ a, b ] R jatkuva suljetulla välillä [ a, b ] ja derivoituva avoimella välillä a, b). Jos g on integroituva välillä [ a, b ], niin b a g = g b) g a). RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5

Vektorianalyysi II 6 RIEMANNIN INTEGRAALISTA Avaruudessa R n tämä antaa mahdollisuuden laskea multi-integraaleja, koska n-dimensionaalinen integraali voidaan palauttaa tietyillä oletuksilla n kappaleeseen -ulotteisia integraaleja. Lause 6.4. Olkoon f jatkuva funktio suljetussa suorakaiteessa R n. Olkoon =, missä R n ja R n ja n + n = n. Jos merkitsemme x = x, x ), missä xj R n j, j =,, niin F x ) = f x, x ) dx on jatkuva joukossa ja fx) dx = f ) ) x, x dx dx. Korollaari 6.5. Jos f on jatkuva suorakaiteessa = [ a, b ] [ a, b ] [ an, b n ] R n, niin b fx) dx = a a b b n a n missä oikealla puolella on n kappaletta -ulotteisia integraaleja. a n b n f ) ) x, x,, x n dxn dx n dx dx, Esimerkki 6.6 Olkoon f [, ] [, ] R, x, y) x 3y, missä = { x, y) x, y } ja f on jatkuva. Etsi/määrää f. y x Kuva 37: Esimerkin 6.6 joukko, jonka ylitse kysytty integraali lasketaan. Ratkaisuehdotus. Korollaarin 6.5 nojalla f = x 3y ) dy dx RHS, versio 4. huhtikuuta 8 Sivu 5