Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden x ja y välillä ja riippuu vielä alkioiden järjestyksestä, niin ominaisuutta/ehtoa R sanotaan binääriseksi relaatioksi joukossa A. Jos alkiopari (x, y) A A toteuttaa ominaisuuden/ehdon R, niin merkitään x R y ja sanotaan, että alkio x on relaatiossa R alkion y kanssa. 1 / 14
Esimerkki 1 Olkoon A = {x x istuu salissa L4}. Olkoot x ja y joukon A alkoita. Seuraavat ominaisuudet /ehdot ovat joukon A alkioiden välisiä binäärisiä relaatioita: x ja y ovat syntyneet samana vuonna, x on pidempi kuin y, x ja y istuvat samalla rivillä, x ja y ovat ystäviä. 2 / 14
Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli 1 x R x aina, kun x A (refleksiivisyys); 2 x R y y R x aina, kun x,y A (symmetrisyys); 3 x R y ja y R z x R z aina, kun x,y,z A (transitiivisuus). Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa [a] = {x A x R a} sanotaan alkion a määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. 3 / 14
Esimerkki 2 Olkoon A = {x x istuu salissa L4}. Olkoot x ja y joukon A alkoita. Mitkä seuraavista joukon A alkioiden välisistä binäärisistä relaatioista ovat ekvivalenssirelaatioita: x ja y ovat syntyneet samana vuonna, x on pidempi kuin y, x ja y istuvat samalla rivillä, x ja y ovat ystäviä? Jos relaatio on ekvivalenssirelaatio, niin mitä eri ekvivalenssiluokkia on olemassa? 4 / 14
Esimerkin 2 ratkaisu x ja y ovat syntyneet samana vuonna on ekvivalenssirelaatio (perustele) ja sen ekvivalenssiluokat ovat syntymävuodet. x on pidempi kuin y ei ole ekvivalenssirelaatio, sillä esimerkiksi kukaan ei voi olla itseään pidempi. x ja y istuvat samalla rivillä on ekvivalenssirelaatio (perustele) ja sen ekvivalenssiluokat ovat rivit. x ja y ovat ystäviä ei ole ekvivalenssirelaatio, sillä jos x on y:n ystävä y on z:n ystävä, niin siitä ei välttämättä seuraa, että x on z:n ystävä. 5 / 14
Esimerkki 3 Määritellään reaalilukujen joukossa R binäärinen relaatio R seuraavasti: x R y x = y. Onko kyseessä ekvivalenssirelaatio? Ratkaisu: 1 Nyt x = x kaikilla x R eli x R x kaikilla x R. 2 Olkoon x R y eli x = y. Tällöin myös y = x eli y R x. 3 Olkoot x R y ja y R z eli x = y ja y = z. Tällöin x = y = z eli x R z. Kohdat 1-3 pitävät paikkansa eli relaatio on ekvivalenssirelaatio. 6 / 14
Esimerkki 3 jatkuu Olkoon x R. Nyt ekvivalenssiluokka [x]= {y R y R x} = {y R y = x } = {y = x tai y = x}= {x, x}. Vastaavasti [ x]= { x,x}. 7 / 14
Lause 1 Olkoon R on ekvivalenssirelaatio. Tällöin a R b jos ja vain jos [a] = [b]. Todistus. Oletus 1: a R b. Väite 1: [a] = [b]. Todistus. Jos x [a], niin x R a. Koska a R b, niin transitiivisuuden nojalla x R b. Siis x [b], joten [a] [b]. Jos y [b], niin y R b. Koska a R b, niin b R a. Täten y R a ja siis y [a]. Siis [b] [a]. Koska [a] [b] ja [b] [a], niin [a] = [b]. Oletus 2: [a] = [b]. Väite 2: a R b. Todistus. Nyt a R a eli a [a]. Näin oletuksen nojalla a [b] eli a R b. 8 / 14
Lause 2 Jos R on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste (unioni) on koko joukko A. Lisäksi, jos [a] [b], niin [a] [b] =. Todistus. Jos a A, niin ara, joten a [a]. Täten a A [a] = A. Jos x [a] [b], niin xra ja xrb. Koska nyt arx, niin arb ja Lauseen 1 nojalla [a] = [b]. Jos siis [a] [b], niin [a] [b] =. 9 / 14
Esimerkki 4 Määritellään kokonaislukujen joukossa Z relaatio R seuraavasti: x R y x y on jaollinen luvulla 3. Osoita, että R on ekvivalenssirelaatio ja määrää ekvivalenssiluokat. Todistus. Kokonaisluku x y on jaollinen luvulla 3, jos on olemassa sellainen k Z, että x y = 3k. 1. Nyt x R x kaikilla x Z, sillä x x = 0 = 3 0. 10 / 14
Todistus. 2. Olkoon x R y eli x y = 3k, jollakin k Z. Kun kerrotaan tämä yhtälö puolittain luvulla 1, saadaan y x = 3 ( k), missä k Z. Näin y R x. 11 / 14
Todistus. 3. Olkoon x R y ja y R z eli x y = 3k ja y z = 3l joillakin k,l Z. Tällöin x z= (x y) + (y z)= 3k + 3l= 3(k + l), missä k + l Z. Näin x R z. 12 / 14
Esimerkki 4 jatkuu Mitkä ovat eri ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: [x]= {y Z y R x} = {y Z y x = 3k, k Z} = {y Z y = x + 3k, k Z}. Näin ollen [0] = {0 + 3k k Z} = {..., 9, 6, 3, 0,3,6,9,...} = [6], [1] = {1 + 3k k Z} = {..., 8, 5, 2, 1,4,7,10,...}= [ 2], [2] = {2 + 3k k Z} = {..., 7, 4, 1, 2,5,8,11,...}= [ 7]. Nyt [0] [1] [2] = Z eli muita ekvivalenssiluokkia ei ole kuin [0],[1] ja [2]. Lisäksi [0] [1] =, [0] [2] = ja [1] [2] =. 13 / 14
Esimerkki 5 Joukon N N relaatio R, jolle on voimassa x R y m + l = k + n, missä x = (m,n) ja y = (k,l), on ekvivalenssirelaatio. Tämä ekvivalenssirelaatio määrittelee kokonaisluvut, sillä ekvivalenssiluokat voidaan samaistaa eri kokonaisluvuiksi. Esimerkki 6 Joukon Z Z + relaatio R, jolle on voimassa x R y ml = kn, missä x = (m,n) ja y = (k,l), on ekvivalenssirelaatio.tämä ekvivalenssirelaatio määrittelee rationaaliluvut, sillä ekvivalenssiluokat voidaan samaistaa eri rationaaliluvuiksi. 14 / 14