Vektorianalyysi I MAT21003

Vektorianalyysi I MAT21003 Ritva Hurri-Syrjänen Helsingin yliopisto 3. syyskuuta 2018

Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n............................... 6 1.1.1 Karteesinen tulo.............................. 6 1.1.3 Vektoriavaruus R n............................. 6 1.1.4 Avaruus R n on n-ulotteinen........................ 6 1.1.5 Avaruuden R n sisätulo........................... 6 1.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys.................. 7 1.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille............. 7 1.1.14 Täydellinen metrinen avaruus....................... 8 1.1.15 Joukon halkaisijan merkintä........................ 9 1.2 Vektorifunktioista.................................. 9 1.2.2 Funktion graafin määritelmä........................ 9 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko......................... 10 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen.................. 11 1.3.1 Suppenemisen määritelmä......................... 11 1.3.3 Cauchy-ehto................................ 11 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 12 2.1 Raja-arvo...................................... 12 2.1.1 Raja-arvon määritelmä........................... 12 2.2 Jatkuvuus...................................... 14 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä.......................... 14 3 Differentiaalilaskentaa avaruudessa R n 16 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista.............. 16 3.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä....... 17 3.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa......................... 19 3.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta................. 19 3.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista.................... 20 Lause 3.1.14: Clairautin lause........................... 20 3.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n................ 21 3.2 Suunnatuista derivaatoista............................. 21 3.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä..................... 21 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio.................... 22 3.3.1 Tangenttitasoista.............................. 22 3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista....................... 24 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä............ 25 3.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä....................... 25 3.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi..................... 25 3.4.3 Avaruuden R n vektorien esityksestä.................... 25 3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori.............. 25 3.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa)....... 26 3.5 Gradientista..................................... 26 3.5.1 Gradientin määritelmä........................... 26 3.6 Derivaatasta..................................... 27 3.6.1 Derivaatan määritelmä........................... 27 3.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä...................... 28 3.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista................. 30 3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle................... 30 3.7 Derivoimissääntöjä................................. 32

Vektorianalyysi I SISÄLTÖ Lause 3.7.1: Summa................................ 32 Lause 3.7.2: Tulo.................................. 32 Lause 3.7.4: Ketjusääntö.............................. 32 3.8 Ketjusääntö I.................................... 33 3.9 Ketjusääntö II.................................... 34 3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi......................... 35 3.11 Gradientin geometrinen merkitys.......................... 36 4 Osittaisderivaatoista ja ääriarvoista 40 4.1 Korkeammat osittaisderivaatat........................... 40 4.1.1 Korkeampien osittaisderivaattojen määritelmä............... 40 4.1.3 C k ja C -funktioiden määritelmät.................... 40 4.2 Korkeammat differentiaalit............................. 41 4.2.1 Korkeampien differentiaalien määritelmä................. 41 4.3 Taylorin kaava.................................... 43 4.3.1 Kertaus yhden muuttujan Taylorin kaavasta................ 43 Lause 4.3.2: Taylorin kaava............................. 43 4.3.4 Taylorin polynomin määritelmä...................... 43 4.3.12 Taylorin polynomin tarkkuus- ja yksikäsitteisyyslause.......... 45 4.4 Kriittiset pisteet ja lokaalit ääriarvot........................ 45 4.4.1 Ääriarvojen määritelmä.......................... 45 4.4.11 Kriittisen pisteen ja satulapisteen määritelmä............... 47 4.4.13 Mahdollisten ääriarvopisteiden laadun etsiminen.............. 49 Viitteet 54 RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 2

Vektorianalyysi I LUENNOT SYYSLUKUKAUDELLA 2017 Luennot syyslukukaudella 2017 Luennot sisältävät euklidisessa avaruudessa R n, n 2, määriteltyjen reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskennan perusteita. Luentojen runkona olen seurannut Olli Martion kirjaa Vektorianalyysi. Luentoja tehdessäni olen käyttänyt Veikko T. Purmosen luentomonistetta Differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa, omia Differentiaalilaskenta luentojani ja James Stewartin kirjaa Calculus. Early Transcendentals. Ilmari Lehmusoksalle, Outi Bomanille ja Saara E. Pesoselle suurkiitos luentojen LATEX:lla kirjoittamisesta. Ilmarille myös suurkiitos kuvien piirtämisestä. Kiitos kaikille luennoille osallistuneille. Helsingissä 20.10.2017 Ritva Hurri-Syrjänen RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 3

Vektorianalyysi I ESIMAKUA Esimakua (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x Kuva 1: Funktioiden f R R kuvaajia analyysin kursseilta. (a) f R 2 R, f u u 2 (b) g R 2 R, g x x Kuva 2: Reaaliarvoisten { vektorifunktioiden kuvaajia. } Vasemmanpuoleinen graafi on tarkemmin joukko S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. (a,b,c) b c a } Kuva 3: Pinta S = {(x, y, z) R 3 z = x 2 y 2 + 12, (x, y) R2 vektoriavaruudessa R 3 ja pinnan piste (a, b, c). RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 4

Vektorianalyysi I KERTAUS Kertaus Kaksiuloitteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja eli: R 2 = { (x 1, x 2 ) x 1, x 2 R } missä R on reaalilukujen joukko. Siellä meillä on kaikilla tason lukupareilla (x 1, x 2 ) ja (u 1, u 2 ) määritelty luonnollinen vektorisumma eli yhteenlasku: (x 1, x 2 ) + (u 1, u 2 ) = (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) ja reaalisella skalaarilla λ R kertominen: λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Muistutus! (R 2, +) on Abelin ryhmä, nolla-alkiona 0 = ( 0, 0 ) ja vasta-alkiona a kun a R 2. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 5

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS 1 Euklidinen avaruus 1.1 Euklidinen avaruus R n 1.1.1 Karteesinen tulo Joukko R n = R R R on R avaruuden n-kertoiminen karteesinen tulo. Euklidinen avaruus R n, n = 1, 2,, n määritellään joukkona: R n = { (x 1,, x n ) x k R, k = 1, 2,, n }, (1.1.2) missä x 1,, x n on reaalilukujono, jossa on n-termiä. Vektori on avaruuden R n alkio, kunhan x 1,, x n R. x = (x 1,, x n ) Luku x k on x-alkion k. koordinaatti eli k. komponentti. 1.1.3 Vektoriavaruus R n Olkoot (x 1,, x n ) R n ja (y 1,, y n ) R n. Tällöin vektroreille määritellään: (a) yhteenlasku (b) skalaarilla kertominen (c) sekä nolla-alkio x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λx = (λx 1,, λx n ) λ R 0 = (0,, 0) R n ; x + 0 = x. 1.1.4 Avaruus R n on n-ulotteinen Avaruus R n on n-uloitteinen eli dim R n = n. Yksikkövektorit e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0), e n = (0, 0,, 1) muodostavat avaruuden R n luonnollisen kannan eli kanonisen kannan. Jokaisella vektorilla x = (x 1, x 2,, x n ) R n on yksikäsitteinen esitys kantavektoreiden avulla: n x = x 1 e 1 + x n e n = x k e k. k=1 1.1.5 Avaruuden R n sisätulo 1. Kuvaus (x, y) x y, R n R n R +, joka määritellään x y = x 1 y 2 + + x n y n = n x k y k, (1.1.6) kun x = (x 1,, x n ) R n ja y = (y 1,, x n ) R n, on sisätulo (eli skalaaritulo eli pistetulo) avaruudessa R n. Merkitään myös (x y). k=1 RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 6

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS 2. Vektoriavaruus R n varustettu edellä mainitulla sisätulolla on euklidinen n-ulotteinen avaruus R n. 3. Euklidinen sisätulo määrää euklidisen normin. Avaruuden R n euklidinen normi on kuvaus: R n R + = {t R t 0}, x = x x, x R n. Huomaa! x x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n ja luku x x määrittelee vektorin x euklidisen pituuden. 4. Kanoninen kanta on ortonormeerattu: { 1, kun i = j e i e j = δ i,j = 0, kun i j, kun i, j = 1, 2, 3,, n. (1.1.7) Jossa δ i,j on Kroneckerin symboli. Lisäksi: x = 5. Cauchyn Schwarzin epäyhtälö n n x k e k = (x e k )e k k=1 k=1 x y x y, kun x, y R n. 1.1.8 Euklidinen normi ja euklidinen etäisyys Avaruuteen R n tulee normin kautta määritellyksi etäisyysfunktio eli metriikka. Avaruuden R n euklidinen metriikka on sellainen kuvaus d, d R n R n R +, että d(x, y) = x y, kun x, y R n. Huomautus 1.1.9. Kaava d(x, y) = x y määrittelee vektoreiden x ja y välisen etäisyyden euklidisen metriikan suhteen. Huomautus 1.1.10. Muitakin normeja voidaan käyttää vektoriavaruudessa R n. x max = max x i 1 i n n x abs = x i i=1 Näille pätee, että x max x x abs n x max. 1.1.11 Topologisista käsitteistä avaruuden R n joukoille Avaruuden R n topologiset käsitteet tulkitaan aina edellä mainitun euklidisen metriikan kautta. 1. Olkoon x 0 R. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = B n (x 0, r) = {x R n x x 0 < r} (1.1.12) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen avoin pallo. Kun r > 0, niin B(x 0, r) = {x R n x x 0 r} (1.1.13) on R n avaruuden x 0 -keskinen, r-säteinen suljettu pallo. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 7

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS r r x 0 x 0 Kuva 4: Avoin pallo B(x 0, r) ja suljettu pallo B(x 0, r). 2. Joukon A R n sisus eli sisäpisteiden joukko int A määritellään: int A = { x A r > 0 siten, että B(x, r) A }. Joukko A on avoin, jos ja vain jos A = int A. Merkitään: A R n. 3. Mitä tahansa avointa joukkoa, johon piste x kuuluu, kutsutaan pisteen x ympäristöksi (ystö). Pallo B n (x, r) on erikoistapaus tästä. 4. Piste x R n on joukon A kasautumispiste, jos jokaisella r > 0 pallo B n (x, r) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. 5. Piste x on joukon A reunapiste, jos jokainen pallo B n (x, r) sisältää sekä joukon A että joukon A kompelementin R n A pisteitä. Reunaa merkitään Joukon A sulkeuma on A = int A A. A = { x R n x on joukon A reunapiste. } A x r A y x 0 Kuva 5: Joukon A reunapiste x 0. Tässä x A B n (x 0, r) ja y (R n A) B n (x 0, r). 1.1.14 Täydellinen metrinen avaruus Avaruus R n on täydellinen metrinen avaruus eli jokainen avaruuden R n Cauchy-jono suppenee. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 8

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS 1.1.15 Joukon halkaisijan merkintä Epätyhjän joukon A R n, A, halkaisija diam (A) määritellään diam (A) = sup d(x, y) = sup x y. (1.1.16) x,y A x,y A Joukko on rajoitettu, jos A = tai jos diam (A) <. 1.2 Vektorifunktioista Kuvaus f R n R p, missä n > 1 tai p > 1, on vektorifunktio. Erityisesti (a) f on vektoriarvoinen funktio, jos p 2, (b) f on reaaliarvoinen funktio, jos p = 1. Esimerkki 1.2.1 Olkoon kuvaus g R 2 R, joka määritellään (x 1, x 2 ) Kuvauksen määrittelyjoukko on D = {(x 1, x 2 ) 9 x 2 1 x2 2 0} = {x2 1 + x2 2 9} = B2 (0, 3). 9 x 2 1 x2 2. Kuvajoukko on { } x 3 x 3 = 9 x 21 x22 ; (x 1, x 2 ) D. Koska x 3 0 ja x 2 1 + x2 2 9, niin 9 x 2 1 x2 2 3. Siis kuvauksen arvojoukko on [ 0, 3 ]. { } Graafi = (x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D. x 3 (0, 0, 3) (3, 0, 0) Kuva 6: Esimerkin 1.2.1 graafi = (0, 3, 0) x 1 x 2 { } x 1, x 2, 9 x 2 1 x2 2 ) (x 1, x 2 ) D. 1.2.2 Funktion graafin määritelmä Jos f on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on D, niin funktion f graafi on joukko { (x1, x 2, x 3 ) R n x 3 = f(x 1, x 2 ) ; (x 1, x 2 ) D }. Esimerkki 1.2.3 Kuvaus f R 2 R, u u 2 määrittelee avaruuteen R 3 pinnan { } S = x R 3 x = (u, u 2), u R 2. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 9

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS Esimerkki 1.2.4 Kuvaus h R 2 R, h(x) x. Kuvauksen h graafi on joukko { (x1, x 2, h(x 1, x 2 ) ) R 3 ( x 1, x 2 ) R 2 } (a) f R 2 R, f u u 2 (b) h R 2 R, h x x Kuva 7: Esimerkkien 1.2.3 ja 1.2.4 kuvauksien graafit. 1.2.5 Funktion tasa-arvojoukko Kuvauksen f A R, A R n, vakiota r f(a) vastaava tasa-arvojoukko on S f (r) = { x A f(x) = r }. Jos f on riittävän siisti (säännöllinen), niin S f (r) on (n 1) ulotteinen pinta avaruudessa R n. Esimerkki 1.2.6 Määritä kuvauksen f R n R, x x 2, tasa-arvojoukko. Tasa-arvojoukko on S f (r 2 ) = { x R n f(x) = x 2 = r 2} = S n 1 (0, r) eli origokeskinen r-säteinen pallopinta avaruudessa R n. Esimerkki 1.2.7 Määritä funktiolle f R 2 R, x x 1 x 2, tasa-arvokäyrät. Tasa-arvokäyrät ovat hyperbelejä. S f (r) = { } x R 2 f(x) = x 1 x 2 = r Huomautus! Tasa-arvokäyrä f(x 1, x 2 ) = k on kaikkien niiden määrittelyjoukon pisteiden joukko, joissa f antaa arvon k. Tasa-arvo käyrä näyttää missä graafilla on korkeus k. x 2 r = 1 r = 1 x 1 r = 1 r = 1 Kuva 8: Esimerkin 1.2.7 tasa-arvokäyrät r = 1 ja r = 1. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 10

Vektorianalyysi I 1 EUKLIDINEN AVARUUS 1.3 Jonot avaruudessa R n ja jonojen suppeneminen Avaruuden R n jono on kuvaus φ N R n. Sen arvoja φ(k) merkitään alaindeksillä φ k eli φ(k) = φ k ja itse jonon merkintä on (φ k ) k=1. Yleensä jonon merkin tilalla on x eli vastaava jono on x k. Jonolle käytetään merkintää: (x k ) = (x k ) k=1, missä x k = φ(k). 1.3.1 Suppenemisen määritelmä Olkoon (x k ) jono avaruudessa R n. Olkoon a R n. Jono (x k ) suppenee kohti pistettä a R n, jos jokaista pisteen a ympäristöä U kohti on olemassa luku k 0 N siten, että x k U kaikilla k k 0. Merkitään x k a, kun k, lim k x k Alkiota a sanotaan jonon x k raja-arvoksi eli raja-alkioksi. Huomautus 1.3.2. Jonoista 1. Suppenevan jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. 2. Jos jono ei suppene, niin se hajaantuu. = a tai lim x k a = 0. k 1.3.3 Cauchy-ehto Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy-jono, jos jokaisella ε > 0 on olemassa k ε N siten, että x j x k < ε aina kun j, k > k ε. Huomautus 1.3.4. Suppeneva jono on Cauchy-jono. Avaruudessa R n on myös käänteinen tulos: Lause 1.3.5. Avaruus R n on täydellinen: Jokainen Cauchy-jono avaruudessa R n on suppeneva. Lisälukemista: Tom Apostol, Mathematical Analysis. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 11

Vektorianalyysi I 2 REAALIARVOISET VEKTORIFUNKTIOT 2 Reaaliarvoiset vektorifunktiot 2.1 Raja-arvo 2.1.1 Raja-arvon määritelmä Olkoon A R n ja piste a joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f A R on pisteessä a raja-arvo b R joukon A suhteen, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ a,ε = δ > 0 siten, että f(y) b < ε, aina kun y A ja 0 < y a < δ. Merkitään lim y a y a lim f(y) = b y A {a} Huomautus 2.1.2. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo, niin raja-arvo on yksikäsitteinen. Huomautus 2.1.3. Olkoon A R n ja f A R ja a joukon A kasautumispiste. Olkoon b R. Funktiolla f on raja-arvo b pisteessä a A, jos jokaisella jonolla (x k ), jolla x k A ja x k a, pätee, että f(x k ) b. Esimerkki 2.1.4 Osoitetaan, että raja-arvoa ei ole olemassa. x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 Ratkaisuehdotus. Olkoon f R 2 { 0 } R, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y2. Ensin lähestytään pistettä (0, 0) pitkin x-akselia, eli y = 0. Tällöin f(x, 0) = x2 = 1 kaikilla x 0. Siis f(x, y) 1, kun x (x, y) 0 pitkin x-akselia. Lähestytään origoa nyt 2 pitkin y-akselia, eli x = 0. Silloin f(0, y) = y 2 y 2 = 1, kaikilla y 0. Siis f(x, y) 1, kun (x, y) (0, 0) pitkin y-akselia. Siis funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa, sillä raja-arvon tulee olla yksikäsitteinen. z x y Kuva 9: Esimerkin 2.1.4 tilanne: funktion z = f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 sekä x- (punainen) että y- (oranssi) akseleita pitkin. Esimerkki 2.1.5 Laskuharjoitustehtävä: Selvitä, onko raja-arvoa ) sin (x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 olemassa. kuvaaja ja origon lähestyminen RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 12

Vektorianalyysi I 2 REAALIARVOISET VEKTORIFUNKTIOT Esimerkki 2.1.6 Selvitä, onko raja-arvoa olemassa. Ratkaisuehdotus. Valitaan y = x 2. Silloin Valitaan x = y 2. Silloin lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 2 3x 2 y x 2 + y = 3x4 2 x 2 + x = x 2 3x 2 4 x ( 0, kun x 0 ja x 0. 2 1 + x2) 3x 2 y x 2 + y = 3y5 2 y 4 + y = y 2 3y 3 2 y ( ) 0, kun y 0 ja x 0. 2 y 2 + 1 Siis raja-arvo voisi ehkä olla olemassa! z y Kuva 10: Esimerkin 2.1.6 tilanne: funktion z = f(x, y) = 3x2 y 2 käyrää x = y 2 pitkin (punaisella). x x 2 +y2 kuvaaja ja origon lähestyminen Olkoon ε > 0 annettu ja kiinnitetty. Etsitään δ > 0 siten, että jos 0 < (x, y) (0, 0) < δ, niin 3x 2 y x 2 + y 2 0 < ε. ( Huomaa: (x, y) (0, 0) = (x, y) = ) x 2 + y 2. Siis etsitään δ ε > 0 siten, että jos 0 < x 2 + y 2 < δ ε, niin 3x2 y x 2 +y2 < ε. Nyt 3x 2 y 3 y = 3 y 2 3 x 2 + y 2, ** sillä 0 < x 2 x 2 + y 2. x 2 + y 2 Jos nyt valitaan δ ε = ε 3, niin Siis määritelmän nojalla lim (x,y) (0,0) 3x 2 y x 2 + y 0 3 x 2 + y 2 < 3δ 2 ε = 3ε 3 = ε. 3x 2 y x 2 +y 2 = 0. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 13

Vektorianalyysi I 2 REAALIARVOISET VEKTORIFUNKTIOT 2.2 Jatkuvuus 2.2.1 Jatkuvuuden määritelmä Olkoon A R n kuvaus. f A R on jatkuva pisteessä x A, jos jokaiselle annetulle ε > 0 on olemassa δ x,ε = δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Kuvaus f on jatkuva joukossa A, jos f on jatkuva jokaisessa joukon A pisteessä. Huomautus 2.2.2. Kuvaus f on jatkuva pisteessä x A R n, jos f(y) saadaan mielivaltaisen lähelle pistettä f(x) kaikilla y, jotka ovat riittävän lähellä pistettä x, eli f(y) f(x), kun y x. Huomautus 2.2.3. Jos x A ei ole erillinen piste, niin kuvaus f A R on jatkuva pisteessä x, jos ja vain jos lim f(y) = f(x). y x y A Kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä. x δ (l 1, l 2 ) Kuva 11: Jatkuvuudesta: kuvaus f on jatkuva pisteessä x, katso määritelmä edellä. Lisäksi kuvaus on aina jatkuva erillisessä pisteessä (l 1, l 2 ). Lause 2.2.4. Olkoon A R n ja olkoon f A R kuvaus. Kuvaus f on jatkuva pisteessä a A, jos ja vain jos f(x k ) f(a), kaikilla jonoilla (x k ), jolla x k a, x k A. Esimerkki 2.2.5 Määrää lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y). Ratkaisuehdotus. Koska voidaan määritellä f(x, y) = x 2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y ja f on polynomi, niin f on jatkuva kaikkialla. Siis raja-arvo saadaan suoraan sijoituksella lim (x,y) (1,2) (x2 y 3 x 3 y 2 + 3x + 2y) = 1 8 1 4 + 3 + 4 = 11. Esimerkki 2.2.6 Olkoon f R 2 { 0 } R, (x, y) x2 y 2 x 2 +y2. Tutki kuvauksen jatkuvuutta. Huomautus. Jatkuvuutta origossa ei voida tutkia, koska f ei ole määritelty origossa! Ratkaisuehdotus. Tutkitaan jatkuvuutta, kun (x, y) (0, 0). Olkoon (x k, y k ) (x, y) ja (x k, y k ) (0, 0). Siis x k x ja y k y, kun k. Siis x 2 k x2 ja y 2 k y2, kun k. Näin ollen x 2 k y2 k x 2 k + y2 k x2 y 2 x 2 + y 2. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 14

Vektorianalyysi I 2 REAALIARVOISET VEKTORIFUNKTIOT Siis f(x k, y k ) f(x, y) = x 2 k y2 k x 2 k + x2 y 2 y2 x 2 + y 2 0, kun k. k Siis f on jatkuva pisteissä (x, y) (0, 0). Huomautus 2.2.7. Jos määritellään funktio f origossa siten, että f(0, 0) = 0, niin lim f(x, y) = 0 = f(0, 0). (x,y) (0,0) Siis funktio f tulee määritellyksi origossa siten, että f on jatkuva kaikkialla. Huomautus. Jos määritellään f(0, 0) = b 0, niin näin määritelty f ei ole jatkuva origossa. Esimerkki 2.2.8 Onko kuvaus f R 2 R jatkuva? x 1 x 2 2, kun (x f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0) Ratkaisuehdotus. Kuvaus f ei ole jatkuva origossa. Lähestymistie x 1 = kx 2, k 0, antaa 2 f(x 1, x 2 ) = f(kx 2 2, x 2 ) = kx 4 2 k k 2 x 4 2 + = x4 1 + k 0. 2 2 x 3 x 2 x 1 Kuva 12: Esimerkin 2.2.8 kuvauksen x 3 = f(x 1, x 2 ) = x 1x 2 2 graafi. x 2 1 +x4 2 Esimerkki 2.2.9 Olkoon funktio g R 2 R, Funktio g on jatkuva origossa. x x g(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x2 2 2, kun (x x 2 1, x 2 ) (0, 0) 1 +x4 2 0, kun (x 1, x 2 ) = (0, 0). Lausutaan funktion g arvot napakoordinaateissa (eli x 1 = r cos φ ja x 2 = r sin φ): g(r, φ) = r 2 cos φ sin φ r2 cos 2φ. r 2 ( ) cos 2 φ sin 2 φ = cos 2φ ja sin 2 φ + cos 2 φ = 1. Siis g(r, φ) r2 0, kun r 0. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 15

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 3 Differentiaalilaskentaa avaruudessa R n Käsittelemme tässä luvussa reaaliarvoisten vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa avaruudessa R n, eli tutkimme kuvauksia f, jotka on määritelty f R n R. 3.1 Reaaliarvoisten vektorifunktioiden osittaisderivaatoista Esimerkki 3.1.1 On kehitetty ns. Humindex (temperature humidity index), joka kuvaa lämpötilan ja kosteuden yhteisvaikutusta. Humidex I on koettu ilman lämpötila, kun T = oikea lämpötila ( C) ja H = kosteus eli I = f(t, H). Suhteellinen ilmankosteus % T ( C ) H 40 45 50 55 60 65 70 26 31 28 35 30 36 37 38 40 32 42 34 47 Taulukko 1: Humidex lämpötilan ja suhteellisen kosteuden funktiona. (Lähde: The Meteorological Service of Canada, James Stewart: Calculus, Early Transcendentals.) Kun H = 60%, niin Humidex iä katsotaan yhden muuttujan eli lämpötilan funktiona [kun siis muuttujan H arvo kiinnitetty]. Merkitään g(t ) = f(t, 60). Silloin g(t ) kertoo, kuinka Humidex kasvaa, kun oikea lämpötila nousee ja suhteellinen kosteus on koko ajan 60%. Funktion g derivaatta, kun T = 30 C on Humidexin (hetkellinen) muutosnopeus lämpötilan suhteen: g g(30 + h) g(30) f(30 + h, 60) f(30, 60) (30) = lim = lim. h 0 h h 0 h Valitaan h = 2 ja tehdään approksimaatio g (30) Valitaan h = 2 ja nyt g (30) g(32) g(30) 2 g(28) g(30) 2 Otetaan keskiarvo, niin voidaan sanoa, että = = f(32, 60) f(30, 60) 2 f(28, 60) f(30, 60) 2 g (30) 1,75. = = 42 38 2 35 38 2 = 2. = 1,5. Tämä tarkoittaa, että kun todellinen lämpötila on 30 C ja ilman suhteellinen kosteus on 60%, niin koettu lämpötila (Humidex) nousee noin 1, 75 C jokaisella asteella, jonka todelinen lämpötila nousee. Katsotaan sitten vaakariviä, joka vastaa kiinnitettyä todellista lämpötilaa T = 30 C. Luvut G(H) = f(30, H) ovat funktion arvot. Funktio G(H) = f(30, H) kuvaa kuinka Humidex kasvaa, kun suhteellinen kosteus kasvaa ja todellinen lämpötila on mittarissa 30 C. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 16

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Tämän funktion derivaatta, kun H = 60% on indexin I hetkellinen muutosnopeus luvun H suhteen: G G(60 + h) G(60) f(30, 60 + h) f(30, 60) (60) = lim = lim. h 0 h h 0 h Otetaan h = 5 ja h = 5 ja approksimoidaan lukua G (60) taulukon avulla. Saadaan G G(65) G(60) f(30, 65) f(30, 60) 40 38 (60) = = = 2 = 0,4 ja 5 5 5 5 G G(55) G(60) f(30, 55) f(30, 60) 37 38 (60) = = = 1 5 5 5 5 = 0,2. Siis G (60) 0,3. Tämä kertoo, että kun lämpötila mittarissa on 30 C ja suhteellinen kosteus on 60%, niin Humidex nousee noin 0,3 C jokaista kosteuden prosentin nousua kohden. Olkoon nyt f kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y). Kiinnitetään y, olkoon y = b ja b on vakio, mutta annetaan vain muuttujan x vaihdella. Silloin meillä on yhden muuttujan funktio g(x) = f(x, b). Jos funktiolla g on olemassa derivaatta pisteessä a, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x suhteen pisteessä (a, b) ja merkitään f x (a, b). Siis Derivaatan määritelmän mukaan f x (a, b) = g (a), kun g(x) = f(x, b). g g(a + h) g(a) f(a + h, b) f(a, b) (a) = lim, siis f h 0 h x (a, b) = lim. h 0 h Vastaavasti funktion f osittaisderivaatta muuttujan y suhteen pisteessä (a, b), merkitään f y (a, b), saadaan pitämällä x kiinni siten, että x = a ja etsimällä tavallinen derivaatta pisteessä b funktiolle G(y) = f(a, y). Jos raja-arvo on olemassa, niin f(a, b + h) f(a, b) f y (a, b) = lim. h 0 h Siis esimerkissämme 3.1.1 näillä merkinnöillä Humidexin I hetkellinen muutosnopeus lämpötilan suhteen kun T = 30 C ja H = 60% on f T (30, 60) 1,75 ja Humidexin I muutosnopeus todellisen kosteuden suhteen, kun T = 30 C ja H = 60% on f H (30, 60) 0,3. Jos nyt annetaan pisteen (a, b) vaihdella, niin f x ja f y ovat kahden muuttujan funktioita. 3.1.2 Kahden muuttujan funktion osittaisderivaattojen määritelmä Jos f on kahden muuttujan funktio, f R 2 R, (x, y) f(x, y), niin sen osittaisderivaatat ovat f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h lim h 0 mikäli raja-arvot ovat olemassa. f(x, y + h) f(x, y) h = f x (x, y) = f y (x, y) Merkinnöistä: Jos z = f(x, y) niin seuraavia merkintöjä käytetään f x (x, y) = f x = f x = z f(x, y) = x x = D 1 f = D x ja vastaavasti f y (x, y) = 2 f. f f = x y = 1 f = x f (3.1.3) RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 17

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Esimerkki 3.1.4 Olkoon f R 2 R, (x, y) x 3 + x 2 y 3 2y 2. Määrää f x (2, 1) ja f y (2, 1). Ratkaisuehdotus. f x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 4y f x (2, 1) = 16 f y (2, 1) = 8 Varoitus. Funktion osittaisderivaattojen olemassaolosta pisteessä a ei seuraa funktion jatkuvuutta pisteessä a. Esimerkki 3.1.5 Laskuharjoitustehtävä. Jos määritellään g R 2 R, { xy g(x, y) = x 2 +y2, kun(x, y) (0, 0) 0, kun(x, y) = (0, 0). Silloin g x (0, 0) ja g y (0, 0) ovat olemassa, mutta g ei ole jatkuva origossa. Huomautus 3.1.6. Nyt h R, x R, y R, e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1); e 1 ja e 2 ovat avaruuden R 2 kanonisen kannan kantavektorit. Nyt ( ) ( ) f (x, y) + h(1, 0) f(x, y) f (x, y) + he1 f(x, y) f x (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(1, 0) = (x, y) + he 1 = (x + h, y + 0) = (x + h, y). Vastaavasti ( ) ( ) f (x, y) + h(0, 1) f(x, y) f (x, y) + he2 f(x, y) f y (x, y) = lim = lim ; h 0 h h 0 h koska (x, y) + h(0, 1) = (x, y) + he 2 = (x + 0, y + h) = (x, y + h). Huomautus 3.1.7 (Sovelluksista). Osittaisderivaatat esiintyvät myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, esimerkiksi jotka ilmaisevat tiettyjä fysikaalisia lakeja. Esimerkki 3.1.8 Laplacen yhtälö 1 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Osoita, että funktio u(x, y) = e x sin y toteuttaa Laplacen yhtälön. Ratkaisuehdotus. u x = e x sin y u xx = e x sin y u y = e x cos y u yy = e sin y. Siis u xx + u yy = 0. Esimerkki 3.1.9 Osoita, että funktio u(x, t) = sin(t at), a > 0, toteuttaa aaltoyhtälön Ratkaisuehdotus. u x = cos(x at) 2 u t = 2 u 2 a2 x. 2 u y = a cos(x at) u xx = sin(x at) u yy = a 2 sin(x at) = a 2 u xx. 1 Pierre Laplace 1749-1827. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 18

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 3.1.10 Osittaisderivaatoista jatkoa Olkoon R 2 avoin. Olkoon f R kuvaus, a. Olkoon e 1 = (1, 0) ja e 2 = (0, 1). Voidaan olettaa, että on avoin pallo. Olkoon k = 1, 2 kiinnitetty. Jos raja-arvo f(a + te lim k ) f(a) t 0 t on olemassa, niin raja-arvo on kuvauksen f osittaisderivaatta pisteessä a muuttujan x k suhteen (eli k. muuttujan suhteen) ja sitä merkitään k f(a). Kun k = 1: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a ensimmäisen muuttujan suhteen, 1 f(a) = k f(a). Kun k = 2: funktion f osittaisderivaatta pisteessä a toisen muuttujan suhteen, 2 f(a) = k f(a). 3.1.11 Osittaisderivaattojen geometrinen tulkinta Joukko {(x, y, z) R 3 z = f(x, y); (x, y) R 2} on funktion graafi ja esittää pintaa S avaruudessa R 3. (Olettaen, että f on siisti.) Jos f(a, b) = c, niin piste P (a, b, c) on pinnalla S. Kun kiinnitämme y = b, niin rajoitamme huomion käyrään C 1, jossa pystysuora taso y = b leikkaa pinnan S. (Siis C 1 on pinnan S jälki tasolla y = b.) Vastaavasti pystysuora taso x = a leikkaa pinnan S käyrällä C 2. Kumpikin käyrä kulkee pisteen P kautta. Käyrä C 1 on funktion g(x) = f(x, b) graafi ja käyrä C 2 on funktion G(y) = f(a, y) graafi. Siis tangentin T 1 kulmakerroin pisteessä P on g (a) = f x (a, b) ja tangentin T 2 kulmakerroin pisteessä P on G (b) = f y (a, b). z P (a, b, c) x y = b x = a Kuva 13: Funktion f graafi ja osittaisderivaatoista. Tasot x = a ja y = b leikkaavat funktion f graafin pisteessä P ( a, b, c = f(a, b) ). Funktion f osittaisderivaatat tässä pisteessä P saadaan laskemalla tasojen ja graafin leikkauskäyrien derivaatat. (Selkeyden vuoksi tasoista on piirretty vain funktion graafin alapuolinen osa.) y Siis osittaisderivaatat f x (a, b) ja f y (a, b) voidaan tulkita vastaavien tangenttisuorien kulmakertoimina, jota pisteessä P (a, b, c) ovat tangenttisuorina pinnan S käyrille C 1 ja C 2, tasoissa y = b ja x = a. Kuten Humindex -esimerkissämme 3.1.1 näimme, voidaan osittaisderivaatat tulkita edustavan RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 19

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N muutosnopeutta. Jos z = f(x, y), niin z esittää funktion f hetkellistä muutosnopeutta muuttujan x suhteen, kun x y on kiinnitetty. Vastaavasti z y. Esimerkki 3.1.12 Olkoon f R 2 R, f(x, y) = 4 x 2 2y 2. Etsi f x (1, 1) ja f y (1, 1), sekä tulkitse nämä luvut. Ratkaisuehdotus. f x (x, y) = 2x f x (1, 1) = 2 f y (x, y) = 4y f y (1, 1) = 4 Funktion f graafi on paraboloidi. Pystysuora taso y = 1 leikkaa sen paraabelilla z = 2 x 2, y = 1 (käyrä C 1 ). Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 1 kulmakerroin on f x (1, 1) = 2. Vastaavasti, käyrä C 2 tasossa x = 1 leikkaa paraboloidin ja C 2 on paraabeli z = 3 2y 2, x = 1. Tälle paraabelille pisteessä (1, 1, 1) olevan tangenttisuoran T 2 kulmakerroin on f y (1, 1) = 4. z T 1 T 2 P (1, 1, 1) x y C 2 C 1 Kuva 14: Esimerkkin 3.1.12 osittaisderivaattojen tangenttisuorat pisteessä x = 1, y = 1. 3.1.13 Korkeammista osittaisderivaatoista Jos f on kahden muuttujan funktio, niin sen osittaisderivaatat f x ja f y ovat myös kahden muuttujan funktioita: ( fx )x = f xx = ( f) x( x) = 2 f x 2 ( fx )y = f xy = ( f) y( x) = 2 f y x missä siis ensin derivoidaan muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen. Lause 3.1.14: Clairautin lause. 2 Olkoon f määritelty avoimessa pallossa B. Olkoon (a, b) B. Jos sekä f xy että f yx ovat olemassa ja jatkuvia pallossa B, niin 2 Alexis Clairaut 1713-1765. f xy (a, b) = f yx (a, b). RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 20

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 3.1.15 Osittaisderivaatoista vektoriavaruudessa R n Olkoon R n avoin ja f R. Kiinnitetään piste a. Koska on avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että B n (a, r). Vektorit e 1 = (1, 0, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0), e k = (0,, 0, 1, 0,, 0), e n = (0, 0,, 0, 1), (jossa e k vektorin k. alkio on 1 ja sen muut alkiot 0) muodostavat avaruuden R n luonnollisen ortonormeeratun kannan. Kiinnitetään k. Jos raja-arvo f(a + he lim k ) f(a) h 0 h on olemassa, niin sitä sanotaan funktion f osittaisderivaataksi muuttujan x k suhteen pisteessä a ja merkitään k f(a) = f x k (a). 3.2 Suunnatuista derivaatoista Jyväskylä +0 C Joensuu +10 C +5 C +15 C Turku +20 C Porvoo Helsinki Kuva 15: Esimerkkin 3.2.1 yksinkertaisettu sääkartta lämpötilan tasa-arvokäyrineen (paikkakunnat ovat tasavälisessä lieriöprojektiossa.) Esimerkki 3.2.1 Sääkartta näyttää lämpötilafunktion T (x, y) tasa-arvokäyrät, jotka aina yhdistävät paikat, joissa on sama lämpötila. Osittaisderivaatta T x Helsingissä on lämpötilan muutos etäisyyden suhteen, kun menemme Helsingistä itään. Osittaisderivaatta T y on lämpötilan muutos, kun menemme pohjoiseen. Mutta, jos haluamme mennä koilliseen, esimerkiksi Joensuuhun, niin kuinka tiedämme lämpötilan muutosnopeuden etäisyyden suhteen? Tähän tarvitaan suunnattua derivaattaa! 3.2.2 Suunnatun derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin, f R, x 0 ja olkoon e R n yksikkövektori, s.e. e = 1. Jos raja-arvo f(x lim 0 + te) f(x 0 ) t 0 t RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 21

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N on olemassa, niin sitä merkitään e f(x 0 ) R ja raja-arvo on kuvauksen f suunnattu derivaatta pisteessä x 0 suuntaan e. Myös merkitään D e f(x 0 ) = e f(x 0 ). Esimerkki 3.2.3 Olkoon f R 2 R, f(x) = x 1 x 2, eli x = (x 1, x 2 ), f(x 1, x 2 ) x 1 x 2 ja e = e 1 + e ( ) ( ) 2 2 2 = 2 2, 1 1 =,. 2 2 2 Määrää e f(1, 1). Ratkaisuehdotus. Koska (1, 1) + te = (1, 1) + t ( ) ( ) 1 1, = 1 + t 1, 1 + t 1, 2 2 2 2 niin lim t 0 ( ) ( ) 1 + t 1 + t 1 2 2 t 2 = lim t 0 t 2 + t2 2 t t 0 = 2 = 2 = e f(1, 1). 2 3.3 Tangenttitasot ja lineaarinen approksimaatio Yksi tärkeimmistä asioista yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskennassa on, että kun zoomaamme derivoituvan funktion graafilla olevaa pistettä, niin graafia ei enää erota selvästi tangenttisuorasta pisteen pienessä ympäristössä. Toisin sanoen graafi näyttää enemmän ja enemmän suoralta ja voimme approksimoida funktiota lineaarisella funktiolla. Kun nyt zoomaamme kohti pistettä kahden muuttujan funktion graafilla (joka on pinta; oletetaan, että f on siisti), niin pinta näyttää enemmän ja enemmän tasolta (pinnan tangenttitasolta) ja voimme approksimoida funktiota kahden muuttujan lineaarifunktiolla. Laajennamme differentiaalin ideaa reaaliarvoisille vektorifunktioille. 3.3.1 Tangenttitasoista Olkoon f R 2 R ja olkoon funktiolla f jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat f x ja f y. Funktion graafi { } (x, y, z) R 3 (x, y) R 2, z = f(x, y) on pinta S. Olkoon P = P (x 0, y 0, z 0 ) pinnalla S. Olkoon nyt C 1 ja C 2 käyrät, jotka saadaan leikkaamalla pinta tasolla y = y 0 ja vastaavasti x = x 0. Olkoot T 1 ja vastaavasti T 2 tangenttisuorat käyrälle C 1 ja vastaavasti käyrälle C 2 samassa pisteessä P. Silloin pinnan S tangenttitaso samassa pisteessä P määritellään tasona, joka sisältää sekä tangenttisuoran T 1 että tangenttisuoran T 2. Jos C on mikä tahansa käyrä, joka on pinnalla S ja kulkee pisteen P kautta, niin sen tangenttisuora pisteessä P on myös tällä tangenttitasolla. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 22

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N z P ( ) 1 2, 1 2, 3 4 { x } Kuva 16: Pinnalla S = (x, y, z) R 3 z = f(x, y) f R 2 R, (x, y) 1 2 x2 1 2 y2 + 1 ( ) olevan pisteen P 1 2, 1 2, 3 kautta kulkeva yhtälön (3.3.3) antama tangenttitaso 4 } T = {(x, y, z) R 3 z = 12 x 12 y + 34, (x, y) R2. y Siis tämä tangenttitaso sisältää kaikki mahdolliset tangenttisuorat, jotka sivuavat pistettä P kaikille käyrille, jotka ovat pinnalla S ja kulkevat pisteen P kautta. Tangenttitaso pisteessä P on taso, joka tarkimmin approksimoi pintaa S pisteen P pienessä ympäristössä. Mikä tahansa taso, joka kulkee pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) kautta on muotoa A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 C 0 A C (x x 0) + B C (y y 0) + z z 0 = 0 z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) ; a = A C, b = B C (3.3.2) Jos tämä yhtälö esittää tangenttitasoa pisteessä P, niin sen leikkaus tason y = y 0 kanssa täytyy olla tangenttisuora T 1 : z z 0 = a(x x 0 ) ; y = y 0. Siis suoran kulmakerroin on tangenttisuoran T 1 kulmakerroin f x (x 0, y 0 ). Siis Vastaavasti, kun x = x 0 saamme z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ). z z 0 = b(y y 0 ), joka esittää tangenttisuoraa T 2 ja b = f y (x 0, y 0 ). Jos funktiolla f on jatkuvat osittaisderivaatat, niin pinnan S tangenttitaso pisteessä P (x 0, y 0, z 0 ) on z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). (3.3.3) Huomautus 3.3.4. Lyhyesti kirjoitettuna gradienttivektorin avulla. Funktion f R 2 R gradientti pisteessä u 0 määritellään f(u 0 ) = ( 1 f(u 0 ), 2 f(u 0 ) ) kunhan osittaisderivaatat 1 f ja 2 f ovat olemassa. Saadaan z z 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ). Huomautus 3.3.5. Vertaa tangenttisuoran yhtälö pisteessä t 0 ; f R R derivoituva f(t) f(t 0 ) = f (t 0 )(t t 0 ). RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 23

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Esimerkki 3.3.6 Etsi tangenttitaso elliptiselle paraboloidille pisteessä (1, 1, 3). Paraboloidin määrää yhtälö z = 2x 2 + y 2. Ratkaisuehdotus. Olkoon f(x, y) = 2x 2 + y 2, f R 2 R. Silloin Silloin f x (x, y) = 4x f y (x, y) = 2y f x (1, 1) = 4 f y (1, 1) = 2 z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) z = 4x + 2y 3 Tangenttitason piste (x, y, z) toteuttaa yllä olevan yhtälön. Esimerkistä 3.3.6 vielä: esimerkin funktio h(x, y) = 4x + 2y 3 on affiinikuvaus. Funktio h on hyvä approksimaatio funktiolle f(x, y), kun (x, y) on pisteen (1, 1) riittävän pienessä avoimessa palloympäristössä. (1, 1) r (x, y) Kuva 17: Piste (x, y) on pisteen (1, 1) pienessä avoimessa palloympäristössä B 2 ((1, 1), r), r > 0. Funktion f, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat, tangenttitaso pisteessä ( a, b, f(a, b) ) on z = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) eli z = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). Siis affiinikuvaus, jonka graafi on tämä tangenttitaso, on h(x, y) = f(a, b) + f(a, b) (x a, y b). 3.3.7 Kuvauksen approksimoinnista Olkoon f R 2 R siten, että funktiolla f on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat. Kuvausta f approksimoidaan affiinilla kuvauksella h(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) ( (x, y) (x 0, y 0 ) ) pienessä pisteen (x 0, y 0 ) avoimessa palloympäristössä. Kuvauksen f graafia { (x, y, f(x, y) ) (x, y) R 2, z = f(x, y)} RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 24

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N approksimoidaan sen tangenttitasolla pisteen u 0 = (x 0, y 0 ) ympäristössä. Approksimoivan affiinikuvauksen graafi { (x, y, h(x, y) ) R 3 (x, y) R 2, z = h(x, y)} on R 3 -avaruudessa 2-ulotteinen tangenttitaso pinnalla S (oletetaan, että f on siisti), jonka määrää yhtälö z = f(x, y), pisteessä ( x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) ). 3.4 Kertaus lineaarikuvauksista ja affiinikuvauksen määritelmä 3.4.1 Lineaarikuvauksen määritelmä Kuvaus L R n R p on lineaarinen, jos a) L(x + y) = Lx + Ly b) L(λx) = λl(x) kaikilla x, y R n, λ R. Toisin sanoen L(αx + βy) = αl(x) + βl(y) kaikilla x, y R n ja α, β R. 3.4.2 Lineaarikuvausta vastaava matriisi Jos vektoriavaruuksien V 1 ja V 2 (dimv 1 = n, dimv 2 = p) kannat on kiinnitetty, niin lineaarikuvausta L V 1 V 2 vastaa yksikäsitteisesti määrätty p n matriisi ja kääntäen. 3.4.3 Avaruuden R n vektorien esityksestä Usein avaruuden R n vektori x = (x 1, x 2,, x n ) samaistetaan n 1 sarakematriisin tai 1 n matriisin kanssa. x = (x 1, x 2,, x n ) [ x 1 x 2 x n ] x 1 x = (x 1, x 2,, x n ) x 2 x n 3.4.4 Reaaliarvoista lineaarikuvausta vastaava vektori Reaaliarvoista lineaarikuvausta L R n R vastaa yksikäsitteinen vektori a R n siten, että Lx = a x, x R n. (3.4.5) Kääntäen jokaisella a R n vastaavuus ( a) a x, x R n määrittelee reaaliarvoisen lineaarikuvauksen L R n R siten, että 3.4.5 on voimassa. Esimerkki 3.4.6 Lineaarikuvausta A R 5 R x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Ax = x 1 + x 2 x 3 x 4 3x 5 vastaa rivimatriisi [ 1 1 1 1 3 ] ( 1, 1, 1, 1, 3 ). RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 25

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 3.4.7 Affiinikuvauksen määritelmä (reaaliarvoisessa tapauksessa) Yhdistämällä lineaarikuvaus A R n R ja avaruuden R siirto vektorin b R verran, y y + b R R, saadaan affiinikuvaus h R n R, h(x) = Ax + b, x Ax + b. 3.5 Gradientista 3.5.1 Gradientin määritelmä Olkoon funktiolla f R, missä on avoin joukko avaruudessa R n, kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0. Funktion f gradientti pisteessä x 0 on f(x 0 ) = gradf(x 0 ) = ( 1 f(x 0 ), 2 f(x 0 ),, n f(x 0 ) ) R n. ε a f R x 0 B n (a, ε) Kuva 18: Funktio f kuvaa pisteen x 0 avoimesta joukosta, joka on tässä avoin pallo B n (a, ε), reaaliluvuksi. Jos funktiolla f on kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0, niin sillä on määritelmän 3.5.1 mukaan gradientti pisteessä x 0. Esimerkki 3.5.2 Olkoon f R 2 R, f(x) = sin(x 1 ) cos(x 2 ). Määrää f(x). Ratkaisuehdotus. Koska 1 f(x) = cos(x 1 ) cos(x 2 ) 2 f(x) = sin(x 1 ) ( sin(x 2 ) ) = sin(x 1 ) sin(x 2 ), siis f(x) = ( cos(x 1 ) cos(x 2 ), sin(x 1 ) sin(x 2 ) ). Esimerkki 3.5.3 Olkoon f R n R, f(x) = x 2. Määrää f(x). Ratkaisuehdotus. Olkoon x = (x 1, x 2,, x n ) R n. Silloin x 2 = x 2 1 + x2 2 + + x2 n f(x) = x 2 1 f(x) = 2x 1, 2 f(x) = 2x 2,, n f(x) = 2x n f(x) = ( 2x 1, 2x 2,, 2x n ) = 2(x1, x 2,, x n ) = 2x R n. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 26

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N x 3 x 2 x 1 Kuva 19: Esimerkin 3.5.3 funktion f R n R, f(x) = x 2 graafi, kun n = 2. 3.6 Derivaatasta 3.6.1 Derivaatan määritelmä Olkoon R n avoin joukko. Lineaarikuvausta L R n R sanotaan reaaliarvoisen vektorifunktion f R n R derivaataksi pisteessä x 0, jos on voimassa esitys f(x 0 + h) = f(x 0 ) + Lh + h ε(h) kaikille h R n, joille x 0 + h, missä ε(h) 0, kun h 0. Merkitään Df(x 0 ) = L. Yhtäpitävästi f(x lim 0 + h) f(x 0 ) Lh = 0. h 0 h r x 0 Kuva 20: Derivaatan määritelmästä: riittävän pienelle r > 0 pätee B n (x 0, r). Huomautus (1): Rajankäynnissä oletetaan, että h 0 ja x + h, eli riittävän pienelle r > 0, pätee B n (x 0, r). Huomautus (2): Määritelmä on hyvin asetettu, sillä derivaattoja voi olla enintään yksi. Jos L 0 L (R n, R) eli L 0 on toinen lineaarikuvaus, joka on myös derivaatta, niin ) L L0 (tu) 0 = lim ( t 0 tu u 0 t 0 = ( L L0 ) (u) u RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 27

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 3.6.2 Derivaattakuvauksen määritelmä Avoimen joukon R n kuvaus f R on 1. differentioituva pisteessä x 0, jos sillä on derivaatta Df(x 0 ) pisteessä x 0. 2. differentioituva, jos funktiolla f on derivaatta jokaisessa pisteessä x 0 ; tällöin Df L ( R n, R ), x Df(x) on derivaattakuvaus. Merkitään myös df = Df. Lause 3.6.3. Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja Lisäksi, Df(x)u = kaikilla u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. e f(x) = Df(x)e. n u i i f(x) = f(x) u i=1 f on jatkuvasti differentioituva funktion f kaikki 1. osittaisderivaatat ovat olemassa ja ne ovat jatkuvia lause 3.6.11 huom. 3.6.12 f on differentioituva lause 3.6.6 huom. 3.6.10 lause 3.6.4 huom. 3.6.5 f on jatkuva suuntaisderivaatat e f ovat olemassa kaikilla e R n, e = 1 määritelmästä esim. 3.6.15 osittaisderivaatat i f ovat olemassa kaikilla j = 1, 2,, n Kuva 21: Päämäärä luennolta torstaina 28.9.2017. Olkoon f B R, B R n on avoin pallo. Riittävä ehto differentioituvuudelle ja differentioituvuuden seurauksia. Numerot viittaavat kunkin tuloksen määritteleviin lauseisiin ja huomaa, että minkään tässä esitettyjen differentioituvuudesta seuraavien ominaisuuksien välillä ei ole (yleisesti) ekvivalenssia (viittaukset vastaesimerkkeihin.) Lause 3.6.4. Olkoon R n avoin joukko. a) Pisteessä x 0 differentioituva kuvaus f R on jatkuva tässä pisteessä. b) Differentioituva kuvaus f R on jatkuva. Lauseen 3.6.4 todistus. Differentioituvuus pisteessä x 0 tarkoittaa, että f(y) f(x 0 ) = Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) kaikille y B n (x 0, r), riittävän pienillä r > 0. Siten kun y x 0 0. f(y) f(x 0 ) Df(x 0 )(y x 0 ) + y x 0 ε(y x 0 ) 0 Huomautus 3.6.5. Varoitus! Tulos 3.6.4 ei käänny. Esimerkiksi f R n R, x x, origossa. Funktio f on jatkuva origossa, mutta f ei ole differentioituva origossa. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 28

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Lause 3.6.6. Olkoon R n avoin. Olkoon f R differentioituva pisteessä x. Silloin suuntaisderivaatta e f(x) on olemassa jokaisen yksikkövektorin e suuntaan ja e f(x) = Df(x)e. (3.6.7) Lisäksi n Df(x)u = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( ) u 1, u 2,, u n = f(x) u (3.6.8) kaikille u = ( u 1, u 2,, u n ) R n. Lauseen 3.6.6 todistus. Koska pisteessä x on olemassa derivaatta Df(x), niin kunhan t on kyllin pieni. Kun t 0: Siis Erityisesti f(x + te) = f(x) + Df(x)(te) + te ε(te) f(x + te) f(x) t t 0 = Df(x)e + t t ε(te) t 0 Df(x)e. f(x + te) f(x) e f(x) = lim = Df(x)e. t 0 t i f(x) = Df(x)e i ; e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) on i. kantavektori. (3.6.9) Jokaiselle u R n u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + + u n e n, koska joukko { e 1, e 2,, e n } on avaruuden R n kanonisen kannan kantavektoreiden joukko. Siis jokaiselle u R n Df(x)u = Df(x)(u 1 e 1 + u 2 e 2 + + u n e n ) lin. = u 1 Df(x)e 1 + u 2 Df(x)e 2 + + u n Df(x)e n 3.6.9 = u 1 1 f(x) + u 2 2 f(x) + + u n n f(x) n = u i i f(x) i=1 = ( 1 f(x), 2 f(x),, n f(x) ) ( u 1, u 2,, u n ) = f(x) u. Huomautus 3.6.10. Varoitus! Suuntaisderivaattojen olemassaolo ei takaa jatkuvuutta, saati sitten differentioituvuutta. Esimerkki: olkoon f R 2 R, x 1 x 2 2, kun x 0 f(x) = x 2 1 +x4 2 0, kun x = 0. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 29

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Olkoon e = (a 1, a 2 ) R 2, e = 1. Silloin Siis f(0 + te) f(0) t = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t t 3 a 1 a 2 2 = ( ) t 3 a 2 1 + (ta2 2 )2 t 0 = a 1 a 2 2 a 2 1 + t2 a 4 2 a 2 2, jos a e f(0) = a 1 0 1 0, jos a 1 = 0. Kuitenkaan f ei ole jatkuva origossa. Jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin 2 Siis f ei ole differentioituva origossa. f(x 1, x 2 ) = 1 2 0 = f(0). Lause 3.6.11. Olkoon R n avoin, f R. Oletataan, että funktiolla f on olemassa kaikki osittaisderivaatat jokaisessa pisteessä x 0 ja osittaisderivaatat ovat jatkuvia koko alueessa. Silloin f on differentioituva koko alueessa. Huomautus 3.6.12. Lauseeen 3.6.11 ehdot eivät ole välttämättömiä! Esimerkki: f R n R ( ) x 2 sin 1, kun x 0 f(x) = x 0, kun x = 0. Silloin f on differentioituva, vaikka mikään sen osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. (Funktion f derivaatta origossa on 0.). 3.6.13 Jatkuvasti differentioituvista kuvauksista Määritelmä. Olkoon R n avoin. Differentioituva kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos derivaattakuvaus Df L ( R n, R ), x df(x) on jatkuva. Keskeinen tulos: Olkoon R n avoin. Olkoon f R. Kuvaus f R on jatkuvasti differentioituva, jos ja vain jos sen kaikki osittaisderivaatat ovat olemassa jatkuvina. 3.6.14 Riittävät ehdot differentioituvuudelle On olemassa tulos, jota emme kuitenkaan todista. Olkoon f R n R. Jos yksi osittaisderivaatta k f(x) on olemassa pisteessä x ja muut osittaisderivaatat j f(x), j = RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 30

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N 1, 2,, n, j k, ovat olemassa pallossa B n (x, r), jollekin r > 0, ja jatkuvia pisteessä x, niin f on differentioituva pisteessä x. r x 0 Kuva 22: Avoin pallo B n (x, r) R n. Huomautus: Tämän tuloksen ehdot ovat riittäviä, mutta eivät välttämättömiä. Esimerkki: f R n R Funktio f on differentioituva origossa, koska ( ) x 2 + x 2 x 1 sin 1, kun x x 1 1 0 x 2, kun x 1 = 0. 1 f(0) = 0, j f(x) = 2x j, j 2. Esimerkki: Kuvaukselle f R n R ( ) x 2 sin 1, kun x 0 x x 0, kun x = 0 osittaisderivaatat ovat olemassa, mutta mikään osittaisderivaatta ei ole jatkuva origossa. Kuitenkin funktio f on differentioituva origossa ja Df(0) = 0. Esimerkki 3.6.15 Olkoon f R 2 R { x f(x) = f(x 1, x 2 ) = 1 + x 2, kun x 1 = 0 tai x 2 = 0 1, kun x 1, x 2 0. Osittaisderivaatat 1 f(0), 2 f(0) ovat olemassa. Funktio f ei ole jatkuva origossa: jos esimerkiksi x 1 = x 2 0, niin f(x 1, x 2 ) = 1 0 = f(0, 0). Mutta e f(0) ei ole aina olemassa: Olkoon e = (a 1, a 2 ), a 1 0, a 2 0, e = 1. Silloin f(0 + te) f(0) t jolla ei ole raja-arvoa, kun t 0. = f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) t 0 = 1 t t RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 31

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N f(x 1, x 2 ) x 2 x 1 Kuva 23: Esimerkin 3.6.15 funktion f kuvaaja. (Hyppyä x 1 ja x 2 -akseleille on levennetty selkeyden vuoksi.) 3.7 Derivoimissääntöjä Lause 3.7.1: Summa. Jos f, g R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin f + g R on differentioituva pisteessä x 0 ja D(f + g)(x 0 )h = Df(x 0 )h + Dg(x o )h, h R n, ts. D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 ) + Dg(x 0 ). Lause 3.7.2: Tulo. Jos φ R ja f R, R n avoin, ovat differentioituvia pisteessä x 0, niin kuvaus on differentioituva pisteessä x 0 ja φf R, x φ(x)f(x), eli (φf)(x) = φ(x)f(x) D(φf)(x 0 )h = ( Dφ(x 0 )h ) f(x 0 ) + φ(x 0 ) Df(x 0 )h, h R n. Korollaari 3.7.3. Jos f R, R n avoin, on differentioituva pisteessä x 0, niin λf R, λ R, on differentioituva pisteessä x 0 ja D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ). Lause 3.7.4: Ketjusääntö. Olkoot R n avoin ja R n avoin. Jos kuvaus f on differentioituva pisteessä x 0 ja kuvaus g R on differentioituva pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty kuvaus g f R on differentioituva pisteessä x 0 ja D(g f)(x 0 )h = Dg ( f(x 0 ) ) Df(x 0 )h, h R n. Lauseiden 3.7.1, 3.7.2 ja 3.7.4, sekä korollaarin 3.7.3 todistukset ohitetaan. Ne ovat johdettavissa suoraan derivaatan määritelmästä 3.6.1. Korollaari 3.7.5. Olkoot f R n R ja g R R differentioituvia. Yhdistetyn kuvauksen g f R n R gradientille pisteessä x pätee: (g f)(x) = g ( f(x) ) f(x), x R n eli (g f)(x) h = g ( f(x) ) f(x) h, x, h R n. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 32

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Korollaarin 3.7.5 todistus. (g f)(x) h = D(g f)(x)h = Dg ( f(x) ) Df(x)h = Dg ( f(x) ) f h = g ( f(x) ) f h. Esimerkki 3.7.6 Olkoon f R n R, f(x) = x. Tällöin f on differentioituva pisteessä x 0. Nyt f = φ g, missä g R n R, x x 2 ja φ R + R, t t, nimittäin Lisäksi φ (t) = 1 2 t 1 2. Ketjusäännön sovelluksena, kun x 0, (φ g)(x) = φ ( g(x) ) = x 2 = x. Df(x)h = D(φ g) (x)h ( = D φ ( g(x) )) Dg(x)h = φ ( g(x) ) Dg(x)h ( x 2) 12 2x h = 1 2 = x h x yllä : g(x) h, on laskettu esimerkissä 3.5.3. Esimerkki 3.7.7 Olkoon f R R differentioituva ja g R n { 0 } R, g(x) = f ( x ). Määrää g(x). Ratkaisuehdotus. g = f h, h R n { 0 } R, h(x) = x differentioituva. g(x) v = Dg(x)v = Df ( h(x) ) Dh(x)v = f ( h(x) ) x v x = f ( x ) x v. x Siis g(x) = f ( x ) x x. 3.8 Ketjusääntö I Lause 3.8.1. Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio. Olkoot { x = g(t) y = h(t) derivoituvia muuttujan t funktioita. Silloin z on differentioituva muuttujan t funktio ja dz dt = f dx x dt + f dy y dt. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 33

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N Esimerkki 3.8.2 Okoon z = x 2 y + 3xy 4, missä { x = sin(2t) y = cos(t). Etsi dz, kun t = 0. dt Ratkaisuehdotus. dz dt = f dx x dt + f dy y dt = (2xy + 3y 4) ( ) ( 2 cos(2t) + x 2 + 12xy 3) ( ) sin(t). Kun t = 0, niin sin(0) = 0 = x(0) ja cos(0) = 1 = y(0). Siis dz dt = (0 + 3) ( 2 cos(0) ) + (0 + 0) ( sin(0) ) = 6. t=0 Huomautus 3.8.3. Esimerkin 3.8.2 derivaatta voidaan tulkita funktion z muutosnopeudeksi muuttujan t suhteen, kun (x, y)-piste kulkee käyrällä Γ, jonka parametriesitys on { x = sin(2t) y = cos(t) y (0, 1) Γ x Kuva 24: Esimerkin 3.8.2 parametrinen käyrä Γ. Jos z = T (x, y) = x 2 y + 3xy 4 esittää lämpötilaa pisteessä (x, y), niin yhdistetty kuvaus z = T ( sin(2t), cos(t) ) antaa lämpötilan käyrän Γ pisteissä. Derivaatta dz edustaa muutosnopeutta, dt millä lämpötila muuttuu pitkin käyrää Γ. 3.9 Ketjusääntö II Lause 3.9.1. Olkoon z = f(x, y) differentioituva muuttujien x ja y funktio, missä x = g(s, t) ja y = h(s, t) ovat muuttujien s ja t differentioituvat funktiot. Tällöin z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 34

Vektorianalyysi I 3 DIFFERENTIAALILASKENTAA AVARUUDESSA R N z x z z y x s x x t y s y y t s t Kuva 25: Lauseen 3.9.1 osittaisderivaattojen ja niiden muuttujien hierarkia. Esimerkki 3.9.2 Olkoon z = e x sin(y), missä { x = st 2 Etsi z s. Ratkaisuehdotus. z s = z x x s + z y y = s 2 t. y s = ( e x sin(y) ) t 2 + ( e x cos(y) ) 2st = t 2 e st2 sin(s 2 t) + 2ste st2 cos(s 2 t). s t 3.10 Suunnatun derivaatan maksimointi Olkoon f(x, y) R 2 R, (x, y) f(x, y); kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan kaikkia mahdollisia suunnattuja derivaattoja annetussa pisteessä. Toisin sanoen otetaan suunnatut derivaatat kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Nämä antavat funktion f muutosnopeuden kaikkiin mahdollisiin suuntiin. Luonnolliset kysymykset: Missä näistä suunnista funktion f muutosnopeus on suurin? Mikä on suurin muutosnopeus? Lause 3.10.1. Olkoon f R 2 R, (x, y) f(x, y) differentioituva. Suunnatun derivaatan u f(x), u = 1, maksimiarvo on f(x) ja se saadaan, kun vektorin u suunta on sama kuin gradienttivektorin f(x). Lauseen 3.10.1 todistus. u f = f u = f u cos(θ), =1 missä θ = ( f, u) vektoreiden f ja u välinen kulma. Funktion θ cos(θ) maksimiarvo on 1 ja se saavutetaan kun θ = 0. Lauseen 3.10.1 todistus kurssin tietojen avulla. Olkoon f R 2 R differentioituva. Funktion f suunnattu derivaatta suuntaan h R n, h = 1, pisteessä x 0 on h f(x 0 ) = Df(x 0 )h, mikä ilmaisee funktion f muutosnopeuden suuntaan h. Olkoon f R, R n avoin, differentioituva kuvaus pisteessä x 0 ja f(x 0 ) 0. Silloin gradienttivektori f(x 0 ) osoittaa suuntaan, johon f kasvaa pisteessä x 0 maksimaalisesti ja f(x 0) on maksimaalisen kasvun nopeus. RHS, versio 3. syyskuuta 2018 Sivu 35