MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa 5 0,5 5 0,5 45 0,75 55. Millä muuttujan arvoilla rationaalifunktio f on määritelty? 4. Millä muuttujan arvoilla rationaalifunktio f on määritelty? 8 4. Sievennä rationaalilauseke a b ab 9y y 6u 0 4. Sievennä rationaalilauseke k k 6k 9 4 6 a b ab ab 5. Sievennä rationaalilauseke 00 0 4 4 4 6. Millä parametrin k arvoilla jako k menee tasan, eli lauseke sievenee polynomiksi? 7. Määritä sellaiset luvut a, että jako 6 a ei mene tasan eli lauseke ei sievene polynomiksi. 8. Sievennä rationaalilauseke 6 5 0 6
9. Sievennä rationaalilauseke a a a a 5 5 5 5 0. Sievennä rationaalilauseke n n n n y : ( y) 5 5 :. Sievennä funktion f ( ) : ( ) lauseke ja laske f.. Sievennä lauseke f ( ) f (), kun.. Ratkaise yhtälö 0 4. Ratkaise funktion nollakohdat. 4 0 5 5. Ratkaise funktion nollakohdat. 8 8 6 9 6 9 6 6. Ratkaise epäyhtälö. 0 0 7. Ratkaise epäyhtälö 8. Ratkaise epäyhtälö 5. 4 4. 7 9. Ratkaise epäyhtälö 4 4. 0. Ratkaise epäyhtälö.
Raja-arvo ja jatkuvuus...
4. Piirrä funktion, kun f ( ), kun, kun kuvaaj 5. Määritä raja-arvo. ( ) lim 0 lim( 5) 4 5 lim 0 4 6. Määritä raja-arvo 9 lim 4 lim 4 lim 7. Määritä raja-arvo 4 lim 4 0 lim 8. Määritä funktion, g ( ), raja-arvo kohdassa 0 kohdassa. 9. Määritä vakio t siten, että funktiolla h ( ) t, 8 t, on raja-arvo kohdassa. 0. Onko funktio jatkuva kohdassa,, 9, kun g ( ) 6, kun. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a, kun f ( ) b, kun a b, kun on jatkuv
Derivaatta. Laske funktion f ( ) derivaatta kohdassa = erotusosamäärän avull. Määritä derivaatan määritelmän avulla f (), kun. 4. Derivoi funktio f ( ) 9( ) f ( ) ( )( 7) f ( ) ( ) 5. Derivoi funktio f a a ( ) ( ) f ( a) a a 6. Määritä f ( ) ja f ( ) kun 4 f ( ). 7. Määritä f ( ), f ( ), f ( ) ja f (4) ( ), kun f ( ) 4 5 8. Millä muuttujan arvoilla funktio derivaatta saa positiivisia arvoja? f ( ) 8 7 f ( ) 9. Määritä vakio a siten, että g( ) 5 g( ) a 6 g( ) a a 40. Määritä funktion 4. Olkoon f ( ) derivaatta kohdassa 0 derivaatan nollakoht g( ). Ratkaise epäyhtälö g ( ) 0 g( ) 0 4. Millä väleillä funktio f ( ) on vähenevä?
4. Olkoon funktio f ( ) 5. Kumpi on suurempi, () f vai f (,000 000 000 000 )? 44. Millä vakion a arvoilla funktio a on aidosti kasvava? f ( ) a 45. Määritä funktion f ( ) 4 ääriarvot. 46. Määritä funktion f ( ) ( 6) ääriarvopisteet. 47. Määritä vakio c siten, että funktion minimipiste? f ( ) c maksimi on 9. Mikä on tällöin funktion 48. Määritä funktion 49. Määritä funktion 50. Määritä funktion f ( ) 4 6 4 suurin ja pienin arvo. f ( ) 6 suurin ja pienin arvo välillä f ( ) 6 0,4. pienin ja suurin arvo välillä 4,8. 5. Määritä funktion f ( ) 6 4 pienin arvo välillä 4,5, 5. Määritä funktion f ( ) 7 kohtaan piirretyn tangentin yhtälö. 5. Määritä käyrän y 7 tangentti, joka kulkee pisteen (0,) kautt 54. Määritä derivaatan avulla paraabelin y 7 huippu. 55. Kuinka suuressa kulmassa käyrät asteen kymmenesosan tarkkuudell y ja y leikkaavat toisensa? Anna vastaus 56. Missä pisteessä käyrät y 5 ja y 5 sivuavat toisiaan? 57. Funktion f ( ) kohtaan piirretään normaali. Laske tämän normaalin ja koordinaattiakselien muodostaman kolmion al 58. Määritä käyrän 8 9 ja sen pisteeseen (4, 6) piirretyn tangentin y leikkauspisteet. Leikkauspisteet saa ratkaista laskimell 59. Määritä ne käyrän y 4 4 7 pisteet, joihin piirretty tangentti on vaakasuor
Rationaalifunktion derivaatta 60. Derivoi funktio 5 4 5 6. Millä muuttujan arvoilla funktion g ( ) derivaatta on positiivinen? 6. Millä väleillä funktio on aidosti vähenevä? 4 6. Määritä funktion 4 ääriarvokohdat. 64. Määritä kohta, jossa funktio 6 saa pienimmän arvons 65. Määritä funktion suurin arvo välillä,. Derivaatan sovelluksia (Laskimen käyttö on sallittu) 66. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 0. Määritä kolmion sivujen pituudet, kun kateettien summa on mahdollisimman pieni. 67. Huvipuistossa myydään popcorneja suoran ympyräkartion muotoisissa pahvitötteröissä. Kartio on muodostettu ympyräsektorista, jonka säde on 5 cm. Mikä on suurin mahdollinen tötterön tilavuus? 68. Akvaarion tueksi rakennetaan alumiinikulmalistasta suorakulmaisen särmiön muotoinen kehikko. Akvaarion syvyys on puolet sen pituudest Mitkä ovat akvaarion mitat, kun sen tilavuus on suurin mahdollinen? Alumiinikulmalistaa on käytössä 9,0 m. 69. Suoran ympyrälieriön korkeuden ja pohjan halkaisijan summa on cm. Laske suurimman tällaisen ympyrälieriön tilavuus. 70. Suorakulmion kärki sijaitsee origossa ja kaksi sivua positiivisilla koordinaattiakseleill Koordinaattiakselien ulkopuolella oleva kärki sijaitsee suoralla y 00. Määritä suorakulmion suurin mahdollinen pinta-al