1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita, mutta myös funktion jatkuvuudelle on olemassa jonkinlaista kansanmiehen määritelmää ainakin sikäli, että funktion tietää heti epäjatkuvaksi, mikäli sen kuvaajaa ei voi yhdellä vedolla piirtää (periaatteessa) kertaakaan kynää paperista nostamatta. Kuvaajassa ei siten saa olla mitään hyppäyksiä. Funktion jatkuvuus jossakin pisteessä määritellään raja-arvon avulla, ja vaikka määritelmä on perin yksinkertaisen näköinen, saa varautua pettymyksiin, ellei asiaan paneudu huolella. MÄÄRITELMÄ 5 x o ympäris- Funktio f, edellyttäen, että on määritelty eräässä pisteen tössä, on jatkuva tässä pisteessä, mikäli lim f (x) = f (x. x x o Raja-arvon avulla ilmaisten; funktio f on jatkuva pisteessä x o, mikäli jokaista positiivilukua p kohti on olemassa positiiviluku d siten, että x o 0 < x < d f (x) f (x ) p. o ) Kun vertaat raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmiä, niin pitäisi huomata, että rajaarvon olemassaolo ei lainkaan edellytä sitä, että funktio f olisi edes määritelty pisteessä x o. Jatkuvuus taas vaatii ehdottomasti, että f( x o ) on olemassa, ja ellei ole, ei funktio ole jatkuvakaan. Ellei funktio ole jossain pisteessä (= epäjatkuvuuskohta) jatkuva, se on epäjatkuva, ja epäjatkuvuus saattaa johtua seuraavista syistä:
f( x o ) ei ole olemassa, eli f ei ole määritelty pisteessä x o ei ole olemassa Raja-arvo kyllä on olemassa, mutta se on eri suuri kuin f( x o ). Mikäli funktio on jossakin pisteessä epäjatkuva, se saattaa silti toteuttaa astetta lievemmän kriteerin: MÄÄRITELMÄ 6 Funktio f on oikealta jatkuva pisteessä a, mikäli funktion arvo f(a) on olemassa ja on yhtä suuri, kuin funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä a, ts. f on pisteessä a oikealta jatkuva, jos lim f (x) = f (a). x a + Funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä b, jos toteutuu ehto lim x b f (x) = f (b), niin f Määritelmät 5 ja 6 käsittelevät jatkuvuutta pisteessä. Kun yksi piste reaalilukujen joukossa ei ole vesipisaran veroinen Atlantissa, niin ymmärretään, ettei jatkuvuusasioita voida käsitellä pisteittäin tilanteessa, missä tarkastellaan reaalifunktiota jollain välillä, joka voi olla koko R. Reaaliakselin suljetun välin [a, b] pisteet toteuttavat ehdon a < x < b ja vastaavan avoimen välin pisteet toteuttavat ehdon a < x < b. Avoin ja suljettu väli eroavat tosistaan siinä, että suljettu väli sisältää reunapisteensä. Saattaa tuntua erikoiselta, että avoimella välillä ei ole suurinta eikä pienintä lukua! Et pysty sanomaan esimerkiksi sitä, mikä on pienin positiivinen luku.
MÄÄRITELMÄ 7 Funktio f on jatkuva avoimella välillä a < x < b, jos se on jatkuva välin jokaisessa pisteessä. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on oikealta jatkuva pisteessä a, vasemmalta jatkuva pisteessä b ja lisäksi jatkuva avoimen välin jokaisessa pisteessä. Seuraava kuvasarja saattaa osaltaan selvittää funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta. Tutustu ja mieti hetki. Kuvissa esiintyvän mustan pisteen koordinaatit ovat ( x o, f( x o )). Tämä piste luonnehtii sitä, että funktio on määritelty ao. pisteessä. x o Ei raja-arvoa pisteessä x o Toispuoleiset raja-arvot olemassa, mutta eri suuret Ei jatkuvuutta oikealta eikä vasemmalta, sillä kumpikaan toispuoleisista raja-arvoista ei yhdy funktion arvoon pisteessä x o
x o Ei raja-arvoa pisteessä x o Toispuoleiset raja-arvot olemassa, mutta eri suuret Funktio on oikealta jatkuva, muttei vasemmalta x o on olemassa, mutta erisuuri kuin f( x o ) Funktio on epäjatkuva pisteessä x o.
x o on olemassa, mutta f( x o ) ei ole olemassa lainkaan. Funktio on epäjatkuva pisteessä x o. x o = f( x o ) Funktio on jatkuva pisteessä x o (ja kaikkialla muuallakin). On yksi asia katsella yllä olevia kuvia, mutta toinen asia on sellaisia piirtää esimerkiksi silloin, kun funktion määrittelevät lausekkeet on annettu. Jatkuvuuteen liittyvät tehtävät ovat vaikeita käsitteen teoreettisuuden takia. Tehtävistä on aina pyrittävä selvittämään, onko niiden ratkaisemisessa kyse jatkuvuuden selvittelystä yhdessä pisteessä vai jollakin reaaliakselin välillä, ehkäpä koko R:ssäkin. Saattaa olla kyseessä molempien asioiden selvittäminen yhdessä ja samassa probleemassa.
Jos jatkuvuus pitää selvittää yhdessä pisteessä, tämä suoritetaan jatkuvuuden määritelmän mukaan. Jatkuvuus jollain välillä selvitetään nojautuen jäljempänä esitettäviin lauseisiin, jolloin yhdellä virkkeellä voidaan hoitaa jatkuvuusselvittely äärettömän monessa pisteessä. LAUSE 8 Oletus: Funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä x o. Väite: Näistä muodostetut funktiot f + g, f g, fg ja g f ovat jatkuvia pisteessä f x o. Rationaalifunktion g että g( x o ) EI OLE NOLLA. tapauksessa on lisäksi oletettava, Tod.: Tulos seuraa suoraan siitä, että kaikilla näillä funktioilla raja-arvo määritetään sijoittamalla x o funktion lausekkeeseen, eli ehto toteutuu ilman muuta. lim F(x) = F(x0) x x0 Tämän lauseen tärkeä seuraus on se, että yhdellä lausekkeella määritelty polynomifunktio on jatkuva kaikkialla R:ssä. Polynomihan on tavallisesti summa, jonka termit ovat muuttujan ei-negatiivisia potensseja kerrottuina tietyillä luvuilla. Lauseen 8 mukaan summa on jatkuva. Koska myös tulo on jatkuva ja kun tulon tekijät voivat olla samoja, niin mikä tahansa x:n potenssi on jatkuva, samoin x:n potenssi vakiolla kerrottuna. Siitä että kahden funktion osamäärä on jatkuva, seuraa, että rationaalifunktiot ovat jatkuvia kaikkialla paitsi pisteissä, joissa niiden nimittäjä tulee nollaksi. Otetaan todistamatta täyttöön tulos, jonka mukaan potenssifunktio (esim. x + x + 1 on jatkuva määrittelyalueellaan. Eksponenttifunktion, logaritmi-
funktion ja trigonometristen funktioiden jatkuvuuteen palataan kurssissa MAA8, joskin voidaan todeta, että ne kaikki ovat määrittelyalueessaan jatkuvia funktioita. Käy tarkkaan ja huolellisesti lävitse seuraava esimerkki. Esim. 1 Tutki, voidaanko vakio a määrittää siten, että funktio f olisi jatkuva kaikkialla R:ssä, kun x 3, kun x f (x) = a x, kun x 4x + 6 x < Funktio f on kahtena paloittain määriteltynä funktiona, joista toinen on polynomi- ja toinen murtofunktio, jatkuva kaikkialla R:ssä, paitsi mahdollisesti lainvaihtumiskohdassa x = taikka sitten murtofunktion nimittäjän nollakohdissa, mikäli näitä kuuluu alueeseen x <. x 4x + 6 = x 4x + 4 + = (x ) + aina, joten murtofunktion nimittäjällä ei ole nollakohtia ollenkaan. Ainoa mahdollinen epäjatkuvuuskohta on siten lainvaihtumiskohta x =, joka tutkitaan erikseen jatkuvuuden määritelmän perusteella. lim f (x) = lim (x 3) = 3 = 1 x + x + a x a a lim f (x) = lim = = x x x 4x + 6 4 + 6 f () = 3 = 1 Raja-arvo lim f (x) on olemassa ja yhtyy funktion arvoon f(), mikäli x a toteutuu yhtälö lim f (x) = lim f (x) = f () 1 = a = 4 x + x Vastaus: f on jatkuva kaikkialla, kun a = 4. Huomaa, että edellisessä on tarkoin selvitetty että raja-arvo pisteessä x = on olemassa ja että se yhtyy funktion arvoon f().