Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa vastaoletus on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun vastaoletus ei ole totta, toisin sanoen väite on tosi vastaoletus on epätosi. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko väite on tosi jos ja vain jos vastaoletus on epätosi tai väite on tosi täsmälleen silloin, kun vastaoletus on epätosi. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P). 1 / 16
Vastaoletuksen muodostaminen Esimerkki 1 Muodostetaan vastaoletukset seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat vastaoletusta muodostettaessa. 1 Väite: tänään on pilvistä. 2 Väite: aurinko paistaa ja tuulee. 3 Väite: sataa tai tuulee. 4 Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. 5 Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. 2 / 16
Ratkaisu esimerkkiin 1 1 Väite: tänään on pilvistä. Vastaoletus: tänään ei ole pilvistä. 2 Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Vastaoletus: aurinko ei paista tai ei tuule. 3 Väite: sataa tai tuulee. Vastaoletus: ei sada ja ei tuule. 4 Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Vastaoletus: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. 5 Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Vastaoletus: kaikki syyspäivät ovat tuulettomia ja sateettomia. 3 / 16
Vastaoletuksen muodostaminen Esimerkki 2 Olkoon x R. Muodostetaan vastaoletukset seuraaville väitteillle. 1 Väite: x 1. 2 Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. 3 Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. 4 Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. 5 Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. 4 / 16
Ratkaisu esimerkkiin 2 1 Väite: x 1. Vastaoletus: x > 1. 2 Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Vastaoletus: x 0 tai x > 1. 3 Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Vastaoletus: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. 4 Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Vastaoletus: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee nm + 1 / N. 5 Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. Vastaoletus: kaikilla n N on olemassa sellainen m N, että n = m tai nm / N. 5 / 16
Vastaoletuksen muodostaminen Huomautus Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). Esimerkiksi: Väite on olemassa sellainen x R, että x 2 = 2 voidaan esittää muodossa x R : x 2 = 2, ja väite kaikille luonnollisille luvuille m ja n pätee, että m + n N voidaan esittää muodossa n,m N pätee: m + n N. 6 / 16
Vastaoletuksen muodostaminen Huomautus Vastaoletusta muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja käyttäytyvät näin: väite ja tai vastaoletus tai ja 7 / 16
Vastaoletuksen muodostaminen Huomautus Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi (iii) P tosi, Q tosi. tai 8 / 16
Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi vastaoletus, toisin sanoen oletetaan, että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Näin ollen väitteen on oltava totta. 9 / 16
Epäsuora todistus Esimerkki 3 Todista väite: jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Vastaoletus: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Vastaoletuksen perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, missä 2k 2 + 2k N. Siis n 2 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n 2 on parillinen. Näin ollen vastaoletus on epätosi ja väite on totta. 10 / 16
Epäsuora todistus Esimerkki 4 Todista väite: Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Vastaoletus: toinen luvuista on parillinen. Olkoon tämä parillinen luku n, ts. n = 2k jollakin k N. Nyt nm = 2km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. Siis vastaoletus on epätosi ja väite on totta. 11 / 16
Epäsuora todistus Huomautus 1 Epäsuorassa päättelyssä vastaoletuksen muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. 2 Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. 12 / 16
Epäsuora todistus Esimerkki 5 Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0. Oletus: x R ja x 2 3x + 2 < 0. Väite: x > 0. Suora todistus Todistus. Koska x 2 3x + 2 < 0, niin 3x > x 2 + 2. Näin ollen Siis x > 0. x = 1 3 (3x) > 1 3 (x 2 + 2) 1 3 (0 + 2) = 2 3 > 0. 13 / 16
Esimerkki 5 Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0. Oletus: x R ja x 2 3x + 2 < 0. Väite: x > 0. Epäsuora todistus Todistus. Vastaoletus: x 0. Tällöin 3x 0, joten x 2 3x + 2 0 + 0 + 2 = 2 > 0. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x 2 3x + 2 < 0. Siis vastaoletus ei ole totta, joten väite on totta. 14 / 16
Epäsuora todistus Esimerkki 6 Osoita, että 2 on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) Todistus. Vastaoletus: 2 ei ole irrationaaliluku, ts. 2 on rationaaliluku. Rationaalilukujen määritelmän perusteella löydetään sellaiset positiiviset kokonaisluvut luvut m ja n, että 2 = m n. Voidaan olettaa, että osamäärää m n ei voida supistaa. (Jos supistaminen on mahdollista, supistetaan niin monta kertaa kuin voidaan, ja valitaan saadut luvut m:ksi ja n:ksi.) Nyt joten m 2 = 2n 2. 2 = ( 2) 2 = ( m n ) 2 = m2 n 2, 15 / 16
Epäsuora todistus Todistus. Näin ollen m 2 on parillinen ja Esimerkin 3 perusteella myös m on parillinen, ts. m = 2k jollakin k N. Koska 2n 2 = m 2 = (2k) 2 = 4k 2, niin n 2 = 2k 2. Siten n 2 on parillinen ja Esimerkin 3 nojalla myös n on parillinen, ts. n = 2l jollakin l N. Nyt saadaan m n = 2k 2l, joten osamäärässä m n voidaan supistaa luvulla 2. Tämä on ristiriita, sillä aiemmin todettiin, että tätä osamäärää ei voida supistaa. Siis vastaoletus on väärä. Näin ollen 2 on irrationaaliluku. 16 / 16