Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018

1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen joukko on joukko N = {0,1,2,3,...} Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, toisin sanoen n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Esimerkki 1. Tiedetään, että 5 N ja 15 Z. Toisin sanoen 5 on luonnollinen luku ja 15 on kokonaisluku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. Määritelmä 1. Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l N, että n = 2l + 1. Esimerkki 2. Koska 14 = 2 7 ja 7 N, niin 14 on parillinen. Luku 25 on pariton, sillä 2 12 + 1 ja 12 N. Huomautus 1. Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa luonnollista lukua, joka on parillinen ja pariton. Määritelmä 2. Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. Tällöin voidaan myös sanoa, että luku n jakaa luvun m. Lukuja k ja n kutsutaan luvun m tekijöiksi. Esimerkki 3. Luku 24 = 1 24 = 2 12 = 3 8 = 4 6, joten se on jaollinen luvuilla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja nämä luvut ovat luvun 24 tekijöitä. Huomautus 2. kuin se itse. Positiivisella luonnollisella luvulla ei voi olla suurempia tekijöitä Kuten luonnollisten lukujen myös kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. Reaalilukuja ei tällä kurssilla määritellä, ne ajatellaan lukusuoran pisteinä. 2

Määritelmä 3. Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa sellaiset m Z ja n Z +, että x = m. n Esimerkki 4. Luku 7 2 on rationaaliluku, sillä 7 2 = 7 2, missä 7 Z ja 2 Z + Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. Määritelmä 4. Esimerkki 5. Irrationaaliluku on reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku. Neperin luku e, luku π ja luku 2 ovat irrationaalilukuja. Määritelmä 5. Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen luonnollisista luvuista ainoastaan luvuilla 1 ja m. 3

2 Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P :tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P :stä seuraa Q tai että P on riittävä ehto Q:lle, ja merkitään P Q. Nuolta kutsutaan impikaationuoleksi. Merkintä P Q luetaan joko P :stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. Esimerkki 6. Kirjoita seuraavien lauseiden oletukset ja väitteet näkyviin: 1. Jos ei sada, kävelen yliopistolle. 2. Jos x 0, niin x 0. 3. Jos n on parillinen luonnollinen luku, niin n 2 on parillinen luonnollinen luku. 4. Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja. Tällöin mn on pariton luonnollinen luku. 5. Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. 4

3 Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 7. Osoita, että alla olevat väitelauseet eivät ole tosia. 1. Jos m on pariton luonnollinen luku, niin se on kolmella jaollinen. 2. Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. 3. Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. 5

4 Suora todistus Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. Esimerkki 8. Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n+k = 2p. Oletuksen perusteella n + k = (2m + 1) + (2l + 1) = 2(m + l + 1), joten n + k = 2p, kun valitaan p = m + l + 1 N. Siis n + k on parillinen. Esimerkki 9. Oletus: Väite: Todistus. Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. 6

Huomautus 3. Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n 2 2 4 4 16 6 36... Huomautus 4. Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia, väitettä ei saa käyttää. Esimerkki 10. Todista seuraavat väitteet: 1. Jos a on luonnollinen luku ja a jakaa luvun yksi, niin a = 1. 2. Jos nollasta eroava luonnollinen luku a jakaa nollasta eroavan luonnollisen luvun b ja b jakaa luvun a, niin a = b. Esimerkki 11. Todista: Jos luonnollinen luku a jakaa luonnolliset luvut b ja c, niin a jakaa luvun b + c. Esimerkki 12. Osoita, että tutkittaessa, onko luonnollinen luku n alkuluku, riittää testata sen jaollisuutta lukua n pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. 7

5 Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa antiteesi on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun vastaoletus ei ole totta, toisin sanoen väite on tosi antiteesi on epätosi. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko väite on tosi jos ja vain jos vastaoletus on epätosi tai väite on tosi täsmälleen silloin, kun vastaoletus on epätosi. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P ). Esimerkki 13. Muodostetaan vastaoletukset seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. 1. Väite: tänään on pilvistä. Vastaoletus: 2. Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Vastaoletus: 3. Väite: sataa tai tuulee. Vastaoletus: 4. Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Vastaoletus: 5. Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Vastaoletus: 8

Esimerkki 14. 1. Väite: x 1. Vastaoletus: Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. 2. Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Vastaoletus: 3. Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Vastaoletus: 4. Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Vastaoletus: 5. Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. Vastaoletus: Huomautus 5. avulla: 1. Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden kaikki (All) on olemassa (Exist). Esimerkiksi: Väite on olemassa sellainen x R, että x 2 = 2 voidaan esittää muodossa x R : x 2 = 2, ja väite kaikille luonnollisille luvuille m ja n pätee, että m + n N voidaan esittää muodossa n,m N pätee: m + n N. 2. Vastaoletusta muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja käyttäytyvät näin: väite ja tai vastaoletus tai ja 3. Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi tai (iii) P tosi, Q tosi. 9

6 Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi vastaoletus, toisin sanoen oletetaan, että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Näin ollen väitteen on oltava totta. Esimerkki 15. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todista väite: jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Todistus. Vastaoletus: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Vastaoletuksen perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, missä 2k 2 + 2k N. Siis n 2 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n 2 on parillinen. Näin ollen vastaoletus on epätosi ja väite on totta. Esimerkki 16. Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: Väite: Todistus. Vastaoletus: Huomautus 6. 1. Epäsuorassa päättelyssä vastaoletuksen muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. 2. Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. 10

Esimerkki 17. Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0. Oletus: Väite: Suora todistus. Epäsuora todistus. Vastaoletus: 11

Esimerkki 18. Osoita, että 2 on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) 12

7 Yhtäpitävyys Esimerkissä 9 osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta Esimerkissä 15 osoitettiin, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen n 2 on parillinen. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on parillinen jos ja vain jos n 2 on parillinen tai n on parillinen, täsmälleen silloin, kun n 2 on parillinen. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P ). Esimerkki 19. Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen jos ja vain jos luonnollinen luku n + 1 on pariton. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta: n on parillinen (oletus) = n + 1 on pariton (väite) ja n + 1 on pariton (oletus) = n on parillinen (väite). Todistetaan nämä erikseen. Oletus 1: luku n on parillinen. Väite 1: luku n + 1 on pariton. Todistus. 13

Oletus 2: luku n + 1 on pariton. Väite 2: luku n on parillinen. Todistus. Koska molemmat väitelauseet ovat totta, on myös alkuperäinen väite totta. Esimerkki 20. Todista väite: luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla 2 että 3. 14

8 Jaollisuus Seuraavan lauseen tulokset ollaan jo todistettu luennoilla tai tullaan todistamaan harjoituksissa. Lause 1. Olkoon a,b,c N. Tällöin 1. 1 jakaa luvun a ja a jakaa luvun a, 2. a jakaa luvun 0, 3. jos 0 jakaa luvun a, niin a = 0, 4. jos a jakaa 1, niin a = 1, 5. jos a jakaa luvun b ja b jakaa luvun a, niin a = b, 6. jos a jakaa luvun b ja b jakaa luvun c, niin a jakaa luvun c, 7. jos a jakaa luvun b ja a jakaa luvun c, niin a jakaa luvun b + c, 8. jos a jakaa luvun b, niin ma jakaa luvun mb kaikilla m N, 9. jos m N \ {0} ja ma jakaa luvun mb, niin a jakaa luvun b. Seuraavaksi laajennetaan alussa luonnollisille luvuille määriteltyjä asioita koskemaan myös kokonaislukuja. Tällöin saadaan kokonaisluvuille vastaavat tulokset kuin luonnollisille luvuille on edellisessä lauseessa. Nämä tulokset pitäisi vielä todistaa. Määritelmä 6. Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l Z, että n = 2l + 1. (Vertaa vastaavat määritelmät luonnollisille luvuille.) Määritelmä 7. Jos a,b Z ja on olemassa sellainen luku k Z, että b = ka, niin a jakaa luvun b. Tästä käytetään merkintää a b. Jos a ei jaa lukua b, niin merkitään a b. Edelleen, jos a b, niin lukua a kutsutaan luvun b tekijäksi. Lause 2. Olkoon a,b,c Z. Tällöin 1. ±1 a ja ±a a, 2. a 0, 3. jos 0 a, niin a = 0, 4. jos a 1, niin a = ±1, 5. jos a b ja b a, niin a = ±b, 6. jos a b ja b c, niin a c, 7. jos a b ja a c, niin a (b + c) ja a (b c), 8. jos a b ja a (b + c), niin a c, 9. jos a b, niin ma mb kaikilla m Z, 10. jos m Z \ {0} ja ma mb, niin a b. 15

Määritelmä 8. jaoton luku. Jos n Z ja luvun n ainoat tekijät ovat ±1 ja ±n, niin n on Määritelmä 9. Jos p Z, p 2 ja luvulla p ei ole muita tekijöitä kuin ±1 ja ±p, niin lukua p sanotaan alkuluvuksi (prime number). Jos luku n Z voidaan esittää muodossa n = ab, missä a,b Z ja a, b 2, niin sanotaan, että n on yhdistetty luku (composite number). 16

9 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k + 1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n = 0,1,2,..., sillä kohdan (i) perusteella väite on totta, kun n = 0, joten kohdan (ii) perusteella väite on totta, kun n = 1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n = 2 jne. Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n = 0: induktion avulla voidaan todistaa myös muotoa oleva väite, kun n 0 N. väite P (n) on totta kaikille n = n 0,n 0 + 1,n 0 + 2,... 17

Esimerkki 21. Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1,2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 = 1. Siis väite pätee kun n = 1. (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ 1 + 3 +... + (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen perusteella väite on tosi kaikille n = 1,2,.... 18

Seuraavaksi otetaan käyttöön tuttu merkintä, jolla summa saadaan merkittyä lyhemmin. Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a 2 +... + a n. j=1 Esimerkki 22. (1) 3 2 i = 2 1 +2 2 +2 3 i=1 (2) l a k = a+a 2 +...+a l k=1 Esimerkki 23. m m (1) a2 k = a 2 k = a(2+4+8+...+2 m ) k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. (2) p p p (αx j +βjy j+1 ) = α x j +β jy j+1 = α(x+x 2 +...+x p )+β(y 2 +2y 3 +...+py p+1 ). j=1 j=1 j=1 (3) n (2j 1) = 1 + 3 +... + (2n 1) j=1 19

Esimerkki 24. Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 0 ja b 1. Merkitään n S n = b j. j=0 Osoita, että kaikilla n = 0,1,2,.... S n = bn+1 1 b 1 Todistus. 20

Esimerkki 25. kaikilla n = 1,2,.... Osoita, että 3 n > 2n Todistus. 21

Esimerkki 26. Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1,q 2,...,q n summa q 1 + q 2 +... + q n on rationaaliluku. Todistus. 22

10 Vahva induktio Vahvaa induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n = n 0,n 0 + 1,n 0 + 2,..., missä n 0 on jokin luonnollinen luku. Vahvassa induktiotodistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = n 0. (ii) Induktio-oletus: väite on totta, kun n < k. Induktioväite: väite on totta, kun n = k. Induktioväitteen todistus Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n = n 0,n 0 +1,n 0 +2,..., sillä kohdan (i) perusteella väite on totta, kun n = n 0, joten kohdan (ii) perusteella väite on totta, kun n = 1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n = 2 jne. 23

11 Alkuluvuista Tässä kappaleessa käsitellään alkulukuihin liittyviä tuloksia, joista ensimmäinen todistetaan vahvalla induktiolla. Lause 3. Jos a N, a 2, niin a voidaan esittää alkulukujen tulona. Todistus. Suoritetaan todistaminen vahvalla induktiolla. Lause 4. Alkulukuja on äärettömän monta. Todistus. 24

Määritelmä 10. Alkulukua, joka on muotoa 2 2n + 1, n = 0,1,2,..., sanotaan Fermat n alkuluvuksi (Fermat prime; Pierre de Fermat 1601 1665). Esimerkki 27. Fermat esitti vuonna 1640 konjektuurin, että jokainen luku muotoa 2 2n + 1, n = 0,1,2,..., on alkuluku. Pitääkö Fermat n konjektuuri paikkansa? Määritelmä 11. Alkulukua, joka on muotoa 2 n 1, n = 0,1,2,... sanotaan Mersennen alkuluvuksi (Mersenne prime; Marim Mersenne 1588 1648). Huomautus 7. Tämän tyyppisiin lukuihin liittyy tulos: Jos 2 n 1 on alkuluku, niin myös n on alkuluku. Käänteinen väite ei kuitenkaan pidä paikkaansa! Lemma 5. Olkoot n Z 2 ja x,y R. Tällöin x n y n = (x y)(x n 1 + x n 2 y +... + xy n 2 + y n 1 ). Todistus. 25

Eräs lukuteorian avoimista ongelmista on ns. Goldbachin konjektuuri (Christian Goldbach 1690 1764): Jos n 4 on parillinen kokonaisluku, niin se voidaan esittää kahden alkuluvun summana. 26

12 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. Merkintä x A y / A {x P (x)} Mitä tarkoittaa? Esimerkki 28. 1. 1 {1,2}, 2 {1,2}, 0 / {1,2} 2. {n N 0 < n < 5} = 3. {0,1} = 4. {1}, sillä 5. { }, sillä 6. {n N n < 3} = 7. Parittomien luonnollisten lukujen määritelmän perusteella {n N n on pariton} = Aikaisempien esimerkkien perusteella {n N n on pariton} = 27

Määritelmä 12. Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x A, niin x B. Tällöin merkitään A B. Määritelmä 13. Joukko A ei ole joukon B osajoukko, jos joukossa A on sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon B, ts. jos on olemassa sellainen a A, että a / B. Tällöin merkitään A B. Määritelmä 14. Joukko A on joukon B aito osajoukko, jos A B ja on olemassa sellainen x B, että x / A. Esimerkki 29. 1. {1,2}, {1} {1,2}, {2} {1,2} ja {1,2} {1,2} 2. {3,7,11,15} 3. {2,3,4} {2,4,6}, sillä Esimerkki 30. 1. N Z Q R 2. N on joukon Z aito osajoukko, sillä Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko, sillä Lisäksi Q on joukon R aito osajoukko, sillä Esimerkki 31. tosi? Ratkaisu. Onko väite jos a A ja A B, niin a / B 28

Määritelmä 15. Olkoot A,B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste A B = {x X x A tai x B}, leikkaus A B = {x X x A ja x B}, erotus A\B = {x X x A ja x / B} komplementti A C = X \ A = {x X x / A}. Esimerkki 32. Olkoot A = {0,2,4,6} ja B = {0,1,2,3}. Tällöin A B = A B = A \ B = (A B) (A \ B) = 29

Esimerkki 33. Olkoot A = {0,1,a,b}, B = {1,2,a} ja C = {2,3,c}. Tällöin A B = A B = A\B = B\A = A C = B C = A (B C) = (A B) (A C) = Esimerkki 34. Olkoot A = {n N n on jaollinen 6:lla}, B = {n N n on jaollinen 3:lla} ja C = {n N n on jaollinen 2:lla}. Tällöin B C = {n N n on jaollinen 2:lla tai 3:lla} = {0,2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,...} ja aikaisemman esimerkin perusteella B C = {n N n on jaollinen 2:lla ja 3:lla} = A = {0,6,12,18,...}. Esimerkki 35. Oletetaan, että A C ja B D. Osoita, että A B C D. Ratkaisu: 30

Määritellään seuraavaksi joukon R avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit. Määritelmä 16. Olkoot a,b R sellaisia, että a < b. Määritellään ]a,b[ = {x R a < x < b} [a,b] = {x R a x b} ]a,b] = {x R a < x b} [a,b[ = {x R a x < b} (avoin väli) (suljettu väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli). Lisäksi ]a, [ = {x R x > a} [a, [ = {x R x a} ],a[ = {x R x < a} ],a] = {x R x a}. Tässä on äärettömän symboli. Esimerkki 36. Olkoot A = [0,1], B = [1,2] ja C = ] 1, [ 3 2 2. Nyt A B = A B = A C = A C = B C = B C = A\B = A\C = B\C = 31

Esimerkki 37. Olkoot A = [ 2,2[ ja B = [1, [. Tällöin A B = A B = R \ A = R \ B = A \ B = B \ A = Määritelmä 17. Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a,b) a A, b B}. Huomaa, että (a,b) = (c,d) a = c ja b = d. Esimerkki 38. Jos A = {a,b,c} ja B = {0,a}, niin A B= Esimerkki 39. Euklidinen avaruus R n : R 2 = R R = {(x,y) x R ja y R} (xy-taso) R 3 = R R R = {(x,y,z) x R, y R ja z R} (xyz-avaruus) R n = R R... R }{{} n-kpl Esimerkki 40. A B = [ 1,1[ ]0,1[ = A C = [ 1,1[ [1, [ = C A = [1, [ [ 1,1[ = (n-ulotteinen euklidinen avaruus). Jos A = [ 1,1[, B = ]0,1[ ja C = [1, [, niin 32

13 Miten joukot osoitetaan samoiksi? Määritelmä 18. merkitään A = B. Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts. jos x A, niin x B, (ii) osoitetaan, että B A, ts. jos x B, niin x A. Esimerkki 41. Osoita, että {0,1} = {x R x 2 = x}. Todistus. On osoitettava kaksi seikkaa: {0,1} {x R x 2 = x} ja {x R x 2 = x} {0,1}. Perustellaan 1. väite: Koska 0 2 = 0 ja 1 2 = 1, niin {0,1} {x R x 2 = x}, joten 1. väite on totta. Perustellaan vielä 2. väite: Jos x R on sellainen, että x 2 = x, niin 0 = x 2 x = x(x 1), mistä nähdään, että x = 0 tai x = 1. Siis 2. väite pätee. Esimerkki 42. Olkoot A = {x R x 2 5x + 6 = 0} ja B = {n N 3 < n 2 < 10}. Osoita, että A = B. Todistus. 33

Esimerkki 43. Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). Todistus. Esimerkki 44. Osoita, että (A B) C = A C B C. Todistus. 34

Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Määritelmä 19. Joukkojen A 1,A 2,...,A k äärellinen yhdiste on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 tai x A 2 tai... tai x A k } i=1 = {x x A i jollakin i = 1,...,k} ja äärellinen leikkaus on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 ja x A 2 ja... ja x A k } i=1 = {x x A i kaikilla i = 1,...,k}. Määritelmä 20. Joukkojen A 1,A 2,... numeroituva yhdiste on ja numeroituva leikkaus on A i = {x x A i jollakin i = 1,2,...} i=1 A i = {x x A i kaikilla i = 1,2,...}. i=1 Esimerkki 45. Tarkastellaan joukkoja A = ] 1,0[, B = ]0,1], C = [ 1 2,2] ja D = {0,3}. Mitä ovat A B, A B D, B C ja A B C D? Ratkaisu: Määritelmien perusteella saadaan A B = A B D = B C = A B C D = 35

Esimerkki 46. Kaikilla k N määritellään A k = [k,k + 1[. Mitä ovat 4 A k, k=1 10 k=1 A k, 10 k=5 A k ja A k? k=1 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 4 k=1 10 k=1 10 k=5 k=1 A k = A k = A k = A k = Esimerkki 47. Kaikilla k = 1,2,... määritellään A k = [0, 1 [. Mitä ovat k 4 A k, k=1 10 k=1 A k, 10 k=5 A k ja A k? k=1 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 4 k=1 10 k=1 10 k=5 k=1 A k = A k = A k = A k = 36

14 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 21. Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden x ja y välillä ja riippuu vielä alkioiden järjestyksestä, niin ominaisuutta/ehtoa R sanotaan binääriseksi relaatioksi joukossa A. Jos alkiopari (x, y) A A toteuttaa ominaisuuden/ehdon R, niin merkitään x R y ja sanotaan, että alkio x on relaatiossa R alkion y kanssa. Esimerkki 48. Olkoon A = {x x istuu salissa L4}. Olkoot x ja y joukon A alkoita. Seuraavat ominaisuudet /ehdot ovat joukon A alkioiden välisiä binäärisiä relaatioita: Määritelmä 22. Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli 1. x R x aina, kun x A (refleksiivisyys); 2. x R y y R x aina, kun x,y A (symmetrisyys); 3. x R y ja y R z x R z aina, kun x,y,z A (transitiivisuus). Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa [a] = {x A x R a} sanotaan alkion a määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. 37

Esimerkki 49. Olkoon A = {x x istuu salissa L4}. Olkoot x ja y joukon A alkoita. Mitkä seuraavista joukon A alkioiden välisistä binäärisistä relaatioista ovat ekvivalenssirelaatioita: x ja y ovat syntyneet samana vuonna, x on pidempi kuin y, x ja y istuvat samalla rivillä, x ja y ovat ystäviä? Jos relaatio on ekvivalenssirelaatio, niin mitä eri ekvivalenssiluokkia on olemassa? Ratkaisu: Esimerkki 50. Määritellään reaalilukujen joukossa R binäärinen relaatio R seuraavasti: x R y x = y. Onko kyseessä ekvivalenssirelaatio? Ratkaisu: 38

Lause 6. Olkoon R on ekvivalenssirelaatio. Tällöin a R b jos ja vain jos [a] = [b]. Todistus. Lause 7. Jos R on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste (unioni) on koko joukko A. Lisäksi, jos [a] [b], niin [a] [b] =. Todistus. 39

Esimerkki 51. Määritellään kokonaislukujen joukossa Z relaatio R seuraavasti: x R y x y on jaollinen luvulla 3. Osoita, että R on ekvivalenssirelaatio ja määrää ekvivalenssiluokat. Ratkaisu: 40

Esimerkki 52. Joukon N N relaatio R, jolle on voimassa x R y m + l = k + n, missä x = (m,n) ja y = (k,l), on ekvivalenssirelaatio. Tämä ekvivalenssirelaatio määrittelee kokonaisluvut, sillä ekvivalenssiluokat voidaan samaistaa eri kokonaisluvuiksi. Esimerkki 53. Joukon Z Z + relaatio R, jolle on voimassa x R y ml = kn, missä x = (m,n) ja y = (k,l), on ekvivalenssirelaatio. Tämä ekvivalenssirelaatio määrittelee rationaaliluvut, sillä ekvivalenssiluokat voidaan samaistaa eri rationaaliluvuiksi. 41

15 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Tässä luvussa tarkastellaan fuktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 23. Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f(a) B, jota kutsutaan funktion f arvoksi pisteessä a tai a:n kuvaksi tai kuvapisteeksi kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittely- tai lähtöjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. Huomautus 8. Kuvaus muodostuu kolmikosta (f,a,b). Kaksi kuvausta f : A B ja g : C D ovat samat, jos A = C, B = D ja f(x) = g(x) kaikilla x A = C. Esimerkki 54. Alla olevat kuviot esittävät relaatioita joukosta {a,b,c} joukkoon {1,2,3}. Mitkä niistä ovat funktioita? Esimerkki 55. Olkoot A = {a,b,c} ja B = {0,2,4,6,8}. Määritellään f : A B seuraavasti f(a) = 0, f(b) = 4, f(c) = 0. Tällöin f on kuvaus. Sekä a:n että c:n kuva on 0. 42

Esimerkki 56. Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän. Tällöin f on kuvaus A N, missä A = {tammi-, helmi-, maalis-, huhti-, touko-, kesä-, heinä-, elo-, syys-, loka-, marras-, joulukuu}. Nyt f(tammikuu) = f(helmikuu) = f(huhtikuu) = Esimerkki 57. Olkoon P = {toisen asteen polynomit}. Määritellään kuvaus f : P R, f(p ) = Esimerkiksi, jos P (x) = x 2 + 1 P, niin f(p ) = 1 0 P (x) dx. Esimerkki 58. Määritellään kuvaus f : R 2 R 2 f(x,y) = (2x y,x + y). Tällöin f(0,1) = 43

Määritellään seuraavaksi kuvajoukko ja alkukuva. Määritelmä 24. Olkoon f : A B kuvaus. Joukon U A kuvajoukko f(u) on joukon U alkioiden kuvapisteiden muodostama joukko: f(u) = {f(a) a U} = {b B on olemassa sellainen a U että b = f(a)} B. Joukon V B alkukuva f 1 (V ) on niiden joukon A alkioiden joukko, jotka kuvautuvat joukkoon V : f 1 (V ) = {a A f(a) V } A. Huomautus 9. Määritelmän perusteella f(a) B ja yleensä f(a) B. Esimerkki 59. Olkoot A = {a,b,c} ja B = {0,2,4,6,8}. Määritellään f : A B kuten Esimerkissä 55: f(a) = 0, f(b) = 4, f(c) = 0. Tällöin f({a,b}) = f({a,c} = f 1 ({6,8}) = f 1 ({0}) = f 1 ({0,4}) = Lisäksi f 1 (f({a})) = f(f 1 ({0,4,6})) = f(a\f 1 ({0})) = f 1 (B f({a,c}) = 44

Esimerkki 60. Olkoon A kuukausien muodostama joukko ja olkoon f : A N kuten Esimerkissä 56, ts. f liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän. Tällöin f(a) = f 1 ({29}) = f 1 ({28}) = f 1 ({30}) = ja f(a\f 1 ({30}))= Esimerkki 61. Tarkastellaan kuvausta f : R R, f(x) = x 2 2. Olkoot U = [0,2[ ja V =] 1,1]. Mitä ovat f(u) ja f 1 (V )? Ratkaisu: f(u) = ja f 1 (V ) = 45

Esimerkki 62. Olkoon A X. Kuvausta χ A : X [0,1], 1, jos x A, χ A (x) = 0, jos x / A, kutsutaan joukon A karakteristiseksi funktioksi. Nyt χ 1 A ({0}) = X \ A, χ 1 A ({1}) = A ja χ 1 A ({y}) = kaikilla 0 < y < 1. Esimerkki 63. Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1 V 2 B. Osoita, että f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Oletus: f : A B on kuvaus ja V 1 V 2 B. Väite: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. 46

Esimerkki 64. että Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1,V 2 B. Osoita, f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. (i) Väite 1: f 1 (V 1 V 2 ) f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 V 2 ), niin x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Väitteen 1 todistus. (ii) Väite 2: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ) f 1 (V 1 V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), niin x f 1 (V 1 V 2 ). Väitteen 2 todistus. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). 47

Määritelmä 25. Olkoot g : A B ja f : B C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus f g : A C määritellään seuraavasti: (f g)(a) = f(g(a)) kaikilla a A. Esimerkki 65. Olkoot f : R R, f(x) = 2x + 3 ja g : R R, g(x) = cos x. Tällöin f g : R R, (f g)(x) = g f : R R, (g f)(x) = Erityisesti f g g f. Esimerkki 66. Olkoot f : R 2 R, f(x,y) = x+y ja g : R R 2, g(t) = (2+t,t 2 ). Tällöin f g : R R, (f g)(t) = g f : R 2 R 2, (g f)(x,y) = Esimerkki 67. Olkoot f : R 2 R, f(x,y) = x + y ja g : R R, g(t) = sin t. Tällöin 48

16 Injektio ja surjektio Injektiivisyys ja surjektiivisuus ovat tärkeitä kuvauksiin liittyviä käsitteitä. Tarkastellaan niitä seuraavaksi: Määritelmä 26. Kuvaus f : A B on injektio, jos lähtöjoukon erisuurten alkioiden kuvapisteet ovat erisuuret, ts. jos a 1,a 2 A ovat sellaisia, että a 1 a 2, niin f(a 1 ) f(a 2 ). Esimerkki 68. Kuvausta f : R R, f(x) = x kutsutaan identtiseksi kuvaukseksi. Se on injektio. Perustelu: Jos x 1 x 2, niin f(x 1 ) = x 1 x 2 = f(x 2 ). Esimerkki 69. Kuvaus f : R R, f(x) = sin x, ei ole injektio, sillä f(0) = 0 = f(2π). Esimerkki 70. Esimerkin 56 kuvaus f, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän, ei ole injektio, sillä f(tammikuu) = 31 = f(maaliskuu). Huomautus 10. Kuvaus f : A B on injektio, jos jokaiseen pisteeseen b B kuvautuu korkeintaan yksi (siis tasan yksi tai ei yhtään) joukon A alkio. 49

Lause 8. Kuvaus f : A B on injektio jos ja vain jos ehdosta f(a 1 ) = f(a 2 ) seuraa, että a 1 = a 2, kun a 1,a 2 A. Todistus. Huomautus 11. Lause 8 on hyödyllinen kuvauksen injektiivisyyttä todistettaessa. Esimerkki 71. Onko kuvaus f : R 2 R, f(x,y) = x y, injektio? Ratkaisu. 50

Esimerkki 72. Onko kuvaus f : R R, f(x) = 3 2 x + 1 4, injektio? Ratkaisu. Esimerkki 73. Onko kuvaus g : R R 2, g(t) = (2t,t 3 ), injektio? Ratkaisu. Esimerkki 74. Onko kuvaus h : R 2 R 2, h(x,y) = (2x,x + y), injektio? Ratkaisu. 51

Määritelmä 27. Kuvaus f : A B on surjektio, jos f(a) = B eli jos jokaisella b B on olemassa ainakin yksi sellainen a A, että f(a) = b. Esimerkki 75. Esimerkin 56 kuvaus f : A N, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän, ei ole surjektio, sillä 100 N, mutta missään kuukaudessa ei ole sataa päivää. Esimerkki 76. Ratkaisu. Onko kuvaus f : N N, f(n) = 2n, surjektio? Esimerkki 77. Onko kuvaus g : R R, g(x) = 2x, surjektio? Ratkaisu. Olkoon y R. Löytyykö sellaista pistettä x R, että g(x) = y, ts. 2x = y? Mikäli löytyy, on kuvaus g surjektio. Ratkaisemalla x yhtälöstä 2x = y saadaan x = 1 2 y R. Tällöin Siis g on surjektio. Esimerkki 78. Ratkaisu. g(x) = g( 1 2 y) = 2 1 2 y = y. Onko kuvaus h : R 2 R, h(x,y) = x y, surjektio? 52

Lause 9. Oletetaan, että kuvaukset f : A B ja g : B C ovat injektioita. Tällöin yhdistetty kuvaus g f : A C on injektio. Todistus. Lause 10. Oletetaan, että kuvaukset f : A B ja g : B C ovat surjektioita. Tällöin yhdistetty kuvaus g f : A C on surjektio. Todistus. 53

Määritelmä 28. surjektio. Kuvaus f : A B on bijektio, jos se on sekä injektio että Esimerkki 79. Identtinen kuvaus f : A A, f(x) = x, on injektio ja surjektio eli se on bijektio. Esimerkki 80. Oletetaan, että kuvaukset f : A B ja g : B C ovat bijektioita. Tällöin edellisten lauseitten nojalla yhdistetty kuvaus g f : A C on bijektio. 54

17 Kompleksiluvut Määritelmä 29. Määritellään imaginaariyksikkö i asettamalla i = 1. Toisin sanoen päätämme, että meillä on luku i, joka ei ole reaaliluku, mutta on ratkaisu yhtälölle x 2 + 1 = 0. Määritelmä 30. Kompleksilukujen joukko on C = {x + iy x,y R}. Jokainen kompleksiluku voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa x + iy (jos siis z C niin on olemassa yksikäsitteiset x ja y, joille z = x + iy). Huomautus 12. R C, sillä jokainen reaaliluku x = x + 0i C Geometrisesti kompleksilukujen joukko C tulkitaan tasoksi. Kompleksilukua z = x + iy vastaa tason piste (x,y). y (x,y) x + iy i 1 i 1 2 i x Kompleksiluvuille pätevät samat yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskusäännöt kuin reaaliluvuille, sillä lisäyksellä että i 2 = 1 (mikä seuraa suoraan i:n määritelmästä). Esimerkki 81. (3 2i) ( 5 + i) = Esimerkki 82. (3 2i)( 5 + i) = 55

Jos a > 0 on reaaliluku, niin a = ( 1) a = 1 a = i a (missä a on tavallinen positiivisen reaaliluvun neliöjuuri). Täten kaikkien reaalilukujen sekä positiivisten että negatiivisten neliöjuuret ovat hyvin määriteltyjä kompleksilukuja. Esimerkki 83. Ratkaistaan yhtälö x 2 2x + 3 = 0. Määritelmä 31. Olkoon z = x + iy kompleksiluku missä x,y R. Reaalilukua x kutsutaan kompleksiluvun z reaaliosaksi ja merkitään Re z. Reaalilukua y kutsutaan kompleksiluvun z imaginaariosaksi ja merkitään Im z. Esimerkki 84. Re(3 + 2i) = ja Im(3 + 2i) = Huomaa että Re z ja Im z ovat reaalilukuja kaikilla z C. Määritelmä 32. on Kompleksiluvun z = x + iy kompleksikonjugaatti eli liittoluku z = x iy. Toisin sanoen Re z = Re z ja Im z = Im z. Geometrisesti kompleksikonjugointi z z on peilaus x-akselin suhteen. 56

1 i2 = 1 + i2 y z = x + iy x z = x iy 1 i2 Yhtälöiden z = Re z + i Im z z = Re z i Im z nojalla Lause 11. 1. z + w = z + w, 2. z w = z w, 3. z = z. Todistus. Re z = z + z 2 Im z = z z. 2i Kompleksiluvuille z ja w pätevät seuraavat laskusäännöt: 57

Määritelmä 33. Kompleksiluvun itseisarvo on z = x 2 + y 2, z = x + iy (x,y R). Huomaa että z on vektorin (x,y) Euklidinen pituus. z = x + iy θ z x y Esimerkki 85. Kompleksiluvun z = 2 3i pituus z = Lause 12. Kompleksiluvuille z ja w on aina voimassa 1. z 2 = z z, 1 2. = z, missä z 0, z z 2 3. zw = z w, 4. Tulon nollasääntö: jos tulo zw = 0, niin z = 0 tai w = 0. Todistus. 58

Huomautus 13. Yleensä kompleksiluku pyritään esittämään muodossa z = Re z + i Im z. Erityisesti murtolauseketta sievennettäessä kannattaa laventaa nimittäjän liittoluvulla. Esimerkki 86. Ratkaisu. Laske 1 + 2i 3 4i. Lause 13 (Algebran peruslause). Olkoon P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 n-asteinen kompleksikertoiminen polynomi eli a 0, a 1,..., a n C ja a n 0. Tällöin polynomilla P (x) on tekijöihin jako P (x) = a n (x z 1 )(x z 2 )... (x z n ) missä z 1,z 2,...,z n ovat P :n juuret (sama luku voi mahdollisesti esiintyä useasti). Huomaa että erityisesti tämä koskee myös reaalikertoimisia polynomeja. Esimerkki 87. x 2 + 1 = Esimerkki 88. x 2 2x + 3 = 59

18 Käänteiskuvaus Määritelmä 34. Olkoon f : A B kuvaus. Kuvaus g : B A on funktion f käänteiskuvaus, jos ja (f g)(b) = f(g(b)) = b kaikilla b B (g f)(a) = g(f(a)) = a kaikilla a A, ts. f g : B B on joukon B identtinen kuvaus ja g f : A A on joukon A identtinen kuvaus. Jos käänteiskuvaus on olemassa, merkitään sitä symbolilla f 1 : B A. Esimerkki 89. Osoita, että kuvauksen f : R \ {2} R \ {3}, f(x) = käänteiskuvaus on g : R \ {3} R \ {2}, Todistus. g(y) = 3x x 2, 2y y 3. 60

Lause 14. Jos käänteiskuvaus on olemassa, se on yksikäsitteinen. Todistus. 61

Lause 15. Olkoon f : A B kuvaus. Kuvauksella f on käänteiskuvaus jos ja vain jos f on bijektio. Todistus. 62

Esimerkki 90. Osoita, että kuvaus f : R R, f(x) = x + 3, on bijektio, ja määritä sen käänteiskuvaus. Todistus. Huomautus 14. Jos f : A B on kuvaus, niin joukon V B alkukuva f 1 (V ) on aina olemassa. Sen sijaan käänteiskuvaus f 1 : B A on olemassa jos ja vain jos f on bijektio. Alkukuva on joukko ja käänteiskuvaus on kuvaus. 63

Lause 16. Oletetaan, että kuvaukset f : A B ja g : B C ovat bijektioita. Tällöin yhdistetty kuvaus g f : A C on bijektio. Sen käänteiskuvaus on (g f) 1 = f 1 g 1. Todistus. 64

Lähteet Järvenpää, Maarit: Johdatus matemaattiseen päättelyyn, 2016. Roberts, Charles E.: Introduction to mathematical proofs: a transition, CRC Press, 2010. 65