Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41
Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41
Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 3 / 41
Aliavaruus Määritelmä 1 Epätyhjä joukko V R n on R n :n (vektori)aliavaruus, jos (a) v, w V v + w V ja (b) λ R, v V λv V. Huomautus 1 Aliavaruus on epätyhjä joukko, joten siellä on vähintään yksi alkio v V. Koska λv V kaikilla λ R, niin 0 = 0 v V. Nolla-alkio kuuluu siis aina aliavaruuteen. Huomautus 2 Joukot V = {0} ja V = R n ovat R n :n triviaalit aliavaruudet. 4 / 41
Aliavaruus Esimerkki 3 Joukko V = {(t, 5t) R 2 t R} on R 2 :n aliavaruus. Todistus. Koska (0, 0) = (0, 5 0) V, niin V. Olkoot v, w V. Tällöin on olemassa sellaiset s, t R, että v = (s, 5s) ja w = (t, 5t). Nyt v + w = (s, 5s) + (t, 5t) = (s + t, 5(s + t)) = (h, 5h) V, sillä h = s + t R. Samoin kaikilla λ R, λv = λ(s, 5s) = (λs, 5λs) = (h, 5h) V, missä h = λs R. Siis V on aliavaruus. 5 / 41
Aliavaruus Esimerkki 4 Joukko H = {(x, y) R 2 x + y = 1} ei ole R 2 :n aliavaruus, sillä 0 / H, koska 0 + 0 1. Huomaa, että (1, 0) H, mutta 2 (1, 0) / H, sillä 2 + 0 1. Samoin (0, 1) H, mutta (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) / H, sillä 1 + 1 1. Esimerkki 5 V 1 on R 2 :n aliavaruus, mutta V 2 ja V 3 eivät ole: 6 / 41
Aliavaruus Esimerkki 6 Joukko V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} on R 3 :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 + 2 0 + 3 0 = 0, niin 0 V, joten V. Olkoot x, y V. Nyt (x + y) 1 + 2(x + y) 2 + 3(x + y) 3 = x 1 + y 1 + 2x 2 + 2y 2 + 3x 3 + 3y 3 = x 1 + 2x 2 + 3x 3 + y 1 + 2y 2 + 3y 3 = 0 + 0 = 0, joten x + y V. Samoin kaikilla λ R (λx) 1 + 2(λx) 2 + 3(λx) 3 = λx 1 + 2λx 2 + 3λx 3 = λ(x 1 + 2x 2 + 3x 3 ) = λ 0 = 0, joten λx V. Siis V on R 3 :n aliavaruus. 7 / 41
Aliavaruus Lause 1 Olkoot V, W R n aliavaruuksia. Tällöin V W on R n :n aliavaruus, mutta V W ei yleensä ole R n :n aliavaruus. Todistus. Koska 0 V ja 0 W, niin 0 V W, joten V W. Olkoot v, w V W ja λ R. Nyt v, w V, joten v + w V, ja v, w W joten v + w W. Siis v + w V W. Lisäksi λv V ja λv W, joten λv V W. Näin ollen V W on R n :n aliavaruus. Tapaus V W harjoitustehtävänä 8 / 41
Aliavaruus Lause 2 Olkoon V R n aliavaruus. Tällöin kaikilla k N pätee: jos v 1,..., v k V ja λ 1,..., λ k R, niin k i=1 λ iv i V. Todistus. Todistus induktiolla (harjoitustehtävä). 9 / 41
Aliavaruus Esimerkissä 6 osoitettiin, että tietyn homogeenisen lineaarisen yhtälön ratkaisut muodostavat aliavaruuden eli tietty origon kautta kulkeva taso on aliavaruus. Tämä yleistetään seuraavan lauseen (a)-kohdassa. Kohdassa (b) osoitetaan, että jos yhtälöllä Ax = b on ratkaisu, niin sen ratkaisujoukko saadaan siirtämällä homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko vektorin x 0 määräämään kohtaan, missä x 0 on jokin yhtälön Ax = b ratkaisu. 10 / 41
Aliavaruus Lause 3 (a) Olkoon A M(k, n). Yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko R 0 on R n :n aliavaruus. (b) Olkoon b R k ja A M(k, n). Oletetaan, että yhtälöryhmällä Ax = b on jokin ratkaisu x 0. Tällöin yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko on R = x 0 + R 0 = {x 0 + y y R 0 }, missä R 0 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko. 11 / 41
Aliavaruus Todistus (a) Koska A0 = 0, niin 0 R 0. Olkoot x, y R 0. Tällöin joten x + y R 0. Samoin kaikilla λ R, joten λx R 0. A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, A(λx) = λax = λ 0 = 0 12 / 41
Aliavaruus Todistus. (b) Olkoon z R. Tällöin z = x 0 + y jollakin y R 0. Nyt Az = A(x 0 + y) = Ax 0 + Ay = b + 0 = b, joten z on yhtälön Ax = b ratkaisu. Jos taas z on yhtälön Ax = b ratkaisu, niin joten z x 0 R 0. Nyt z = x 0 + z x 0 R. A(z x 0 ) = Az Ax 0 = b b = 0, 13 / 41
Aliavaruus 30 20 10 x 3 0 10 20 0 20 40 60 80 100 60 40 80 20 100 0 x 2 x 1 Kuva: Origon kautta kulkeva alempi taso on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko (kun ratkaisujoukossa on kaksi vapaata muuttujaa). Ylempi taso on yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujoukko. 14 / 41
Aliavaruus Lause 4 Epätyhjän joukon S = {v 1,..., v k } R n lineaarinen verho S on R n :n aliavaruus. Se on pienin R n :n aliavaruus, joka sisältää joukon S, toisin sanoen, jos V on R n :n aliavaruus ja S V, niin S V. 15 / 41
Aliavaruus Todistus Osoitetaan, ensin, että S on R n :n aliavaruus. Koska S S ja S, niin S. Olkoot v, w S. Tällöin on olemassa λ 1,..., λ k R ja µ 1,..., µ k R, joille v = k i=1 λ iv i ja w = k i=1 µ iv i. Tällöin v + w = k k λ i v i + µ i v i = i=1 i=1 k (λ i + µ i )v i S. i=1 Samoin, jos λ R, niin k λv = λ λ i v i = i=1 k (λλ i )v i S. i=1 Siis S on R n :n aliavaruus. 16 / 41
Aliavaruus Todistus. Olkoon V R n :n aliavaruus, jolle S V. Osoitetaan, että S V. Olkoon v S. Tällöin löytyy sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Koska v i V kaikilla i = 1,..., k, niin Lauseen 2 nojalla v V.Siis S V. 17 / 41
Aliavaruus Huomautus 3 (a) Joukon S lineaarista verhoa S kutsutaan usein S:n virittämäksi aliavaruudeksi. Jos V on aliavaruus ja V = S, niin S virittää V :n. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n virittävät R n :n, sillä e 1,..., e n = R n. Lisäksi vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti riippumattomia. 18 / 41
19 / 41
Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa tämän vektorijoukon alkioiden lineaarikombinaationa. 20 / 41
Määritelmä 2 Olkoon V R n aliavaruus. Vektorit v 1,..., v k V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) v 1,..., v k = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on V :n kanta. Aliavaruuden V kanta on pienin vektorijoukko, joka virittää V :n eli v 1,..., v k = V pätee. Toisaalta, V :n kanta on suurin mahdollinen lineaarisesti riippumaton V :n osajoukko. 21 / 41
Esimerkki 7 (a) Vektori 1 R muodostaa R:n luonnollisen kannan. Myös 2 R on R:n kanta. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n R n muodostavat R n :n kannan. (c) Aliavaruudella voi olla useita eri kantoja. (d) Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko on lineaarisen verhonsa kanta. (e) Triviaalilla vektoriavaruudella {0} ei ole kantaa, sillä sillä ei ole yhtään lineaarisesti riippumatonta osajoukkoa. 22 / 41
Esimerkki 8 Joukko S = {(π, e), (10, 10 10 )} on R 2 :n kanta. Perustelu: Vektorit (π, e) ja (10, 10 10 ) ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä [ ] π 10 det e 10 10 = π 10 10 10 e 0, sillä π 10 10 > 100 ja 10 e < 30. Koska kahden lineaarisesti riippumattoman R 2 :n vektorin virittämä lineaarinen verho on R 2, niin S = R 2. Täten S on R 2 :n kanta. Esimerkki 9 Joukko S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} R 3 ei ole R 3 :n kanta, vaikka S = R 3, sillä S ei ole lineaarisesti riippumaton (neljä R 3 :n vektoria). 23 / 41
Esimerkki 10 Aikaisemmin todettiin, että V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} on R 3 :n aliavaruus. Etsitään V :lle kanta. Koska x V, jos ja vain jos x 1 = 2x 2 3x 3 on V = {( 2s 3t, s, t) R 3 s, t R}. Siis x V, jos ja vain jos on olemassa sellaiset s, t R, että x = ( 2s 3t, s, t) = ( 2s, s, 0) + ( 3t, 0, t) = s( 2, 1, 0) + t( 3, 0, 1). Näin ollen V = ( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1). Osoitetaan vielä, että ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomia. 24 / 41
Esimerkki 10 jatkuu Olkoot λ, µ R sellaiset, että λ( 2, 1, 0) + µ( 3, 0, 1) = 0 { λ = 0 µ = 0. 2λ 3µ = 0 λ = 0 µ = 0 Siis vektorit ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat. Täten joukko {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta. 25 / 41
Lause 5 Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v v 1,..., v k voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = k λ i v i, i=1 missä λ 1,..., λ k R. 26 / 41
Todistus. Olkoon v v 1,..., v k. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Olkoot µ 1,..., µ k R sellaiset, että v = k i=1 µ iv i. Osoitetaan, että λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. Nyt 0 = v v = k k λ i v i µ i v i = i=1 i=1 k (λ i µ i )v i. i=1 Koska v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on λ i µ i = 0 kaikilla i = 1,..., k eli λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. 27 / 41
Määritelmä 3 Olkoon K = {v 1,..., v k } aliavaruuden V R n kanta. Vektorin v K koordinaatit kannassa K ovat Lauseen 5 antamat yksikäsitteiset kertoimet λ 1,..., λ k, joille v = k i=1 λ iv i. Tällöin merkitään v = (λ 1,..., λ k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x = (x 1,..., x n ). 28 / 41
Huomautus 4 Kun käytetään koordinaattimerkintää (λ 1,..., λ k ) K, on kannan K alkioiden järjestys kiinnitetty. Jos järjestystä vaihdetaan, myös koordinaattien λ 1,..., λ k järjestys vaihtuu vastaavasti. Koordinaattiesityksen yhteydessä kanta on siis järjestetty jono (v 1,..., v k ) eikä joukko {v 1,..., v k }. Kantavektoreiden permutointi antaa siten uuden kannan. 29 / 41
Esimerkki 11 Kuva: Pisteen x koordinaatit kannassa {b 1, b 2} ovat (3, 2). 30 / 41
Esimerkki 12 Vektorin (1, 0) R 2 koordinaatit kannassa K = {(π, e), (10, 10 10 )} 10 ovat 9 10 9 π e ja e 10 10 π 10e, sillä (1, 0) = 10 9 10 9 π e (π, e) e 10 10 π 10e (10, 1010 ). 10 Siis (1, 0) = ( 9 10 9 π e, e 10 10 π 10e ) K. 1 Olkoon v = ( 10 9 π e, π 10 10 π 10e ) K. Tällöin v:n koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 0 ja 1, sillä v = 1 10 9 π e (π, e) + π 10 10 π 10e (10, 1010 ) = (0, 1). 31 / 41
Lause 6 Aliavaruuden V R n jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita. Erityisesti R n :n jokaisessa kannassa on n vektoria. Todistus. Olkoon K V :n kanta, jossa on k vektoria. Olkoon L V :n jokin toinen kanta, jossa on l vektoria. Koska L V = K ja L on lineaarisesti riippumaton, niin l k. Samoin K V = L ja K on lineaarisesti riippumaton, joten k l. Siis k = l. Koska R n :n luonnollisessa kannassa on n vektoria, on siten R n :n jokaisessa kannassa n vektoria. 32 / 41
Määritelmä 4 Jos aliavaruudella V R n on k-alkioinen kanta, niin V :n dimensio eli ulottuvuus on k. Tällöin merkitään dim V = k. Lisäksi sovitaan, että dim{0} = 0. Esimerkki 13 (a) dim R n = n. (b) Olkoon V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0}. Aikaisemman esimerkin perusteella K = {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta, joten dim V = 2. 33 / 41
Mikä tahansa aliavaruuden V R n lineaarisesti riippumaton vektorijoukko {v 1,..., v k } V voidaan aina laajentaa V :n kannaksi. Lisätään vektorijoukkoon sellaisia vektoreita, että uusi joukko pysyy lineaarisesti riippumattomana. Lopetetaan siinä vaiheessa, kun v 1,..., v l = V, l k. Lause 7 Olkoon V R n aliavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen V :n kanta K, että {v 1,..., v k } K. 34 / 41
Todistus. Olkoon S = {v 1,..., v k }. Jos S = V, niin S on V :n kanta, joten K = S. Jos S V, niin on olemassa w 1 V \ S, sillä S V. Tällöin S {w 1 } on lineaarisesti riippumaton. Jos S {w 1 } = V, niin S {w 1 } = K on V :n kanta. Jos S {w 1 } V, niin löytyy w 2 V \ S {w 1 }. Tällöin S {w 1 } {w 2 } on lineaarisesti riippumaton. Jos S {w 1 } {w 2 } V, niin jatketaan näin. Valintaprosessi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, sillä V R n ja jokaisessa R n :n lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaan n alkiota. Täten tuloksena on V :n kanta K = S {w 1,..., w l } jollekin l, jolle k + l n. 35 / 41
Seuraus 1 Olkoon V {0} R n :n aliavaruus. Tällöin V :llä on kanta. Todistus. Koska V {0}, on olemassa v V \{0}. Joukko {v} on lineaarisesti riippumaton. Edellisen lauseen perusteella {v} voidaan laajentaa V :n kannaksi. 36 / 41
Huomautus 5 a) On osoitettu, että jokaisen vektorijoukon S lineaarinen verho S on aliavaruus. b) Seurauksen 1 nojalla aliavaruudella V {0} on kanta eli aliavaruudesta V löytyy aina vektorijoukko K = {v 1,..., v k } niin, että K = V. 37 / 41
Lause 8 Olkoon V R n aliavaruus ja dim V = k > 0. Olkoon K V k-alkioinen joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (a) K on V :n kanta. (b) K on lineaarisesti riippumaton. (c) K = V. 38 / 41
Todistus. Määritelmän perusteella (a) (b). Riittää siis osoittaa, että (b) (c). (b) (c): Lauseen 7 nojalla K voidaan laajentaa V :n kannaksi L K. Lauseen 6 perusteella L:ssä on k alkiota. Täten L = K ja K = V. (c) (b): Jos K on lineaarisesti riippuva, niin k 2, sillä jos K = {v}, niin v 0, sillä V {0}. Täten löytyy v K ja λ 1,..., λ k 1 R, joille v = v i K\{v} λ iv i. Näin V = K = K\{v}, joten jokainen V :n k-alkioinen joukko on lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita, sillä dim V = k. 39 / 41
Seuraus 2 Olkoot v 1,..., v n R n. Tällöin det[v 1 v n ] 0 {v 1,..., v n } on R n :n kanta. Todistus. Kun tarkastellaan n kappaletta R n :n vektoreita v 1,..., v n R n, niin det[v 1 v n ] 0 v 1,..., v n lineaarisesti riippumattomia {v 1,..., v n } on R n :n kanta. 40 / 41
Esimerkki 14 Joukko {(π, 0, e), (0, 1, 75), (2010, 0, 49)} on R 3 :n kanta, sillä siinä on kolme alkiota ja π 0 2010 det 0 1 0 = 49π 2010e 0. e 75 49 Esimerkki 15 Joukko {(1, 2)} R 2 on lineaarisesti riippumaton, joten se voidaan laajentaa R 2 :n kannaksi. Esimerkiksi K = {(1, 2), (1, 1)} on R 2 :n kanta, sillä siinä on kaksi alkiota ja [ ] 1 1 det = 3 0. 2 1 41 / 41