Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 = 3 tai d = 4 1 = 3 b) 10, 13 ja 16 316. Määritä aritmeettisen lukujonon 3, 6, 9, kymmenen ensimmäistä jäsentä. Seuraava lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen kolme. Kymmenen ensimmäistä jäsentä ovat 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ja 30.. 317. Määritä aritmeettisen lukujonon 12, 10, 8, kahdeksan ensimmäistä jäsentä. Aritmeettisen lukujonon 12, 10, 8, kahdeksan ensimmäistä termiä ovat 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 318. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 90, 84 ja 78. a) Mikä on lukujonon ensimmäinen jäsen a1? Entä mikä on peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Muodosta jonon yleisen jäsenen lauseke sijoittamalla a1 ja d kaavaan an = a1 + (n 1) d. c) Laske jonon 16. jäsen sijoittamalla n = 16 b-kohdan kaavaan. d) Sievennä b-kohdassa muodostettu yleisen jäsenen lauseke a) a1 = 90, d = 84 90 = 6 b) an = 90 + (n 1) ( 6) Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
c) a16 = 90 + (16 1) ( 6) = 90 + 15 ( 6) = 0 d) an = 90 6n + 6 = 96 6n 319. Täydennä taulukkoon aritmeettisen lukujonon jäsenet ja puuttuvat järjestysluvut. n an = 32 + 4n 1 2 3 48 72 n a n = 32 + 4n 1 32 + 4 1 = 36 2 32 + 4 2 = 40 3 44 4 48 10 72 320. Määritä aritmeettisen lukujonon 1,1; 2,3; 3,5; 4,7; kymmenes ja 45. jäsen. a1 = 1,1, d = 2,3 1,1 = 1,2 a10 = 1,1 + 9 1,2 = 11,9 a45 = 1,1 + 44 1,2 = 53,9 321. Mikä on aritmeettisen lukujonon 15, 2, 11, a) seitsemäs jäsen b) 50. jäsen c) yleisen jäsenen an lauseke sievennettynä? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2
a) Luettelemalla: 15, 2, 11, 24, 37, 50, 63 Laskemalla: d = 2 15 = 13 a7 = 15 + (7 1) ( 13) = 63 b) a50 = 15 + (50 1) ( 13) = 622 c) a1 = 15, d = 2 15 = 13 an = 15 + (n 1) ( 13) = 15 13n + 13 = 28 13n 322. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 58 ja kolmas jäsen 41. Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus? Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 58 ja kolmas jäsen 41. Jonon peräkkäisten jäsenten erotus on 58 + (3 1) d = 41 58 + 2d = 41 2d = 17 : 2 d = 8,5 323. Personal trainer suunnitteli asiakkaalleen harjoitteluohjelman. Ensimmäisenä päivänä asiakkaan piti uida 50 m, sitten joka päivä 25 m enemmän kuin edellisenä päivänä. Kuinka pitkän matkan asiakas ui a) kahdeksantena harjoittelupäivänä b) 31. harjoittelupäivänä? c) Kirjoita laskusääntö, jonka avulla voit laskea uintimatkan pituuden n. harjoittelupäivänä. a) 25 + 8 25 = 225 b) 25 + 31 25 = 800 c) an = 25 + 25n Vastaus: Asiakas ui a) 225 m, b) 800 m. c) an = 25 + 25n Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
324. Laske aritmeettisen lukujonon an = 25 4n kymmenen ensimmäistä jäsentä ja kuvaa lukujonoa koordinaatistossa. a1 = 21, a2 = 17, a3 =13, a4 = 9, a5 = 5, a6 = 1, a7 = 3, a8 = 7, a9 = 11, a10 = 15 325. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a1 = 16 ja kymmenes jäsen a10 = 97. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mikä on jonon yleisen jäsenen an lauseke sievennettynä? c) Määritä a60. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 16 ja kymmenes 97. a) 16 + (10 1) d = 97 16 + 9d = 97 9d = 81 : 9 d = 9 b) an = 16 + (n 1) 9 = 16 + 9n 9 = 9n + 7 c) a60 = 7 + 9 60 = 547 326. Palokunnan pitkissä tikkaissa ensimmäinen askelma on 35 cm:n korkeudella maanpinnasta. Kahdestoista askelma on 365 cm:n korkeudella. Mikä on askelmien korkeusero ja kuinka korkealla on tikkaiden 50. askelma? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
Tikkaiden askelmat muodostavat aritmeettisen sarjan, jonka ensimmäinen jäsen on a1 = 35 ja kahdestoista jäsen a12 = 365. Askelmien korkeusero vastaa kahden peräkkäisen jäsenen välistä erotusta, joka voidaan laskea yleisen jäsenen kaavan avulla. 35 + (12 1) d = 365 35 + 11d = 365 11d = 330 : 11 d = 30 50. askelma on korkeudella a50 = 35 + (50 1) 30 = 1 505 (cm) 1 505 cm = 15,05 m. Vastaus: Askelmien korkeusero on 30 cm ja 50. askelma on 15,05 m korkeudella. 327. Kauppias rakentaa persikkapurkeista näyteikkunan somisteeksi kolmion, jonka jokaisessa kerroksessa on aina kaksi purkkia vähemmän kuin yhtä alemmassa kerroksessa. Ylimmässä kerroksessa on yksi purkki. Kuinka monta kerrosta purkkeja on kolmiossa, jonka alimmassa kerroksessa on a) 15 b) 61 purkkia? a) Alimmassa kerroksessa on 15 purkkia eli a1 = 15. Lasketaan kerrosten määrä yleisen jäsenen kaavan avulla: an = 15 + (n 1) ( 2) 15 2n + 2 = 1 2n = 16 : ( 2) n = 8 b) Alimmassa kerroksessa on 15 purkkia eli a1 = 15. Lasketaan kerrosten määrä yleisen jäsenen kaavan avulla: an = 61 + (n 1) ( 2) 61 2n + 2 = 1 2n = 62 : ( 2) n = 31 Vastaus: Kolmiossa on a) 8, b) 31 kerrosta. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
328. Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 9, 36 ja 63. Kuuluuko luku a) 414 b) 545 jonoon? Aritmeettinen lukujono alkaa 9, 36, 63, a1 = 9, d = 36 9 = 27 Jonon yleinen jäsen on an = 9 + (n 1) 27 = 9 + 27n 27 = 18 + 27n a) 18 + 27n = 414 27n = 432 : 27 n = 16 Koska n on positiivinen kokonaisluku, luku 414 kuuluu jonoon. b) 18 + 27n = 545 27n = 563 : 27 n = 20,85 Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 545 ei kuulu jonoon. 329. Kuinka moni aritmeettisen lukujonon 211, 224, 237,... jäsenistä on pienempi kuin 7 000? Aritmeettisen jonon alku on 211, 224, 237,... a1 = 211, d = 224 211 = 13 Jonon yleinen jäsen on an = 211 + (n 1) 13 = 211 + 13n 13 = 198 + 13n 198 + 13n = 7 000 13n = 6 802 : 13 n = 523,23 Jonon jäsenistä 523 on pienempiä kuin 7 000. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
330. Aritmeettisessa lukujonossa on a3 = 450 ja a7 = 390. Määritä jonon sadas jäsen. Aritmeettisessa lukujonossa a3 = 450 ja a7 = 390. Kirjoitetaan jonon kolmas ja seitsemäs jäsen yleisen jäsenen kaavan avulla. a3: a1 + 2d = 450 a7: a1 + 6d = 390 Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä a1 ja d. a 1 2d 450 ( 1) a 1 6d 390 a a 1 1 2d 450 6d 390 4d 60 :4 d 15 a 1 2 ( 15) 450 a 1 30 450 a 1 480 a100 = 480 + 99 ( 15) = 1 005 Jonon sadas jäsen on 1 005. 331. Kuinka monta yhdeksällä jaollista lukua on lukujen 2 000 ja 3 000 välillä? Yhdeksällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka yleinen jäsen on an = 9n. Tutkitaan kuinka mones jonon jäsen on luku 2 000 ja luku 3 000. 9n = 2 000 : 9 n = 222,222 Ensimmäinen lukua 2 000 suurempi 9:llä jaollinen luku on jonon 223. jäsen. 9n = 3 000 : 9 n = 333,333 Viimeinen lukua 3 000 pienempi 9:llä jaollinen luku on jonon 333. jäsen. Lukujen 2 000 ja 3 000 välissä on 333 222 = 111 luvulla 9 jaollista lukua. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
332. Aritmeettisessa lukujonossa on a1 = 2x 1, a2 = 2x + 1 ja a3 = 3x. a) Ratkaise x. b) Määritä lukujonon yleinen jäsen an. a) Lukujonon perättäisten jäsenten erotus on d. d = a2 a1 d = 2x + 1 2x + 1 = 2 d = a3 a2 2 = 3x 2x 1 x 2 x = 3 : ( 1) x = 3 b) 2 3 1, 2 3 + 1, 3 3, = 5, 7, 9, an = 5 + 2(n 1) = 3 + 2n 333. Osoita, että lukujono an = 4n + 9 on aritmeettinen. Osoitetaan, että minkä tahansa peräkkäisten lukujonon jäsenten erotus on aina sama. d = an+1 an = 4(n + 1) + 9 (4n + 9) = 4n + 4 + 9 4n 9 = 4 334. Määritä aritmeettisen lukujonon neljä seuraavaa jäsentä. a) 9, 17, 25,. b) 120, 105, 90, a) d = 25 17 = 8 25 + 8, 25 + 2 8, 25 + 3 8, 25 + 4 8 33, 41, 49, 57 b) d = 90 105 = 15 90 + ( 15), 90 + 2 ( 15), 90 + 3 ( 15), 90 + 4 ( 15) 75, 60, 45, 30 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
335. Täydennä taulukkoon aritmeettisen lukujonon jäsenet ja puuttuvat järjestysluvut. n bn 1 11 2 20 3 47 101 n b n 1 11 2 20 3 29 5 47 11 101 b n = 11 + (n 1) ( 9) = 9n 2 336. Mikä on aritmeettisen lukujonon 111, 114, 117, kymmenes jäsen? Entä 40. jäsen? Aritmeettisen jonon alku on 111, 114, 117, Kymmenes jäsen voidaan etsiä luettelemalla: 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, Kymmenes jäsen on 138. 40. jäsen on d = 114 ( 111) = 3 a40 = 111 + (40 1) ( 3) = 228 337. Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 10, 17 ja 24. a) Mikä on jonon 42. jäsen? b) Muodosta ja sievennä jonon yleisen jäsenen an lauseke. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 10, 17, 24, a) a42 = 10 + (42 1) 7 = 297 b) an = 10 + (n 1) 7 = 10 + 7n 7 = 3 + 7n 338. Tutki, voiko lukujono olla aritmeettinen. a) 16, 9, 2, b) 220, 286, 354, a) Lukujonon alku on 16, 9, 2, Lasketaan kahden peräkkäisen jäsenen erotuksia. 9 16 = 7 2 9 = 7 Koska erotukset ovat samat, jono voi olla aritmeettinen. b) Lukujonon alku on 220, 286, 354,. Lasketaan kahden peräkkäisen jäsenen erotuksia. 286 ( 220) = 66 354 ( 286) = 68 Koska erotukset eivät ole samat, jono ei voi olla aritmeettinen. 339. Auditorion ensimmäisellä penkkirivillä on 25 istuinta. Kymmenennellä rivillä on 79 istuinta. Kuinka monella istuinten lukumäärä lisääntyy riveittäin, kun lukumäärä kasvaa tasaisesti? Kuinka monta istuinta on viidennellä rivillä? Auditorion ensimmäisellä penkkirivillä on 25 istuinta. Kymmenennellä rivillä on 79 istuinta. Penkkirivit muodostavat aritmeettisen sarjan, jonka ensimmäinen jäsen on a1 = 25 ja 10. jäsen on a10 = 79. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
Istuinten määrän kasvaminen riveittäin saadaan laskettua yleisen jäsenen kaavan avulla: 25 + (10 1)d = 79 25 + 9d = 79 9d = 54 : 9 d = 6 Viidennellä penkkirivillä on istuimia. a5 = 25 + (5 1) 6 = 49 Vastaus: a) Istuinten määrä lisääntyy kuudella. b) Viidennellä rivillä on 49 istuinta. 340. Aritmeettinen lukujono alkaa luvuilla 120, 79 ja 38. a) Muodosta ja sievennä jonon yleisen jäsenen an lauseke. b) Onko luku 331 jonon jäsen? Aritmeettisen jonon alku on 120, 79, 38, a) a1 = 120 d = 79 120 = 41 an = 120 + (n 1) ( 41) = 120 41n +41 = 161 41n b) 161 41n = 331 41n = 492 : ( 41) n = 12 Luku 331 on jonon jäsen. 341. Sirun setä rakentaa aitaa tasaisesti viettävään rinteeseen. Aidan yläreuna on vaakasuorassa. Sen pituus on 200 m ja tolppia on viiden metrin välein. a) Kuinka monta tolppaa tarvitaan? b) Ensimmäinen tolppa on 1,2 m ja viides 1,4 m. Kuinka paljon toinen tolppa on pidempi kuin ensimmäinen? c) Kuinka pitkä on aidan viimeinen tolppa? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11
a) Tolpan välejä on 200 40 5. Tolppia tarvitaan yksi enemmän eli 41. b) Ensimmäinen tolppa on 1,2 m ja viides 1,4 m. Koska rinne viettää tasaisesti, tolppien pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. a1 = 1,2 a5 = 1,4 1,2 + (5 1) d = 1,4 1,2 + 4d = 1,4 4d = 0,2 : 4 d = 0,05 Toinen tolppa on 0,05 m = 5 cm pitempi kuin ensimmäinen. c) a41 = 1,2 + (41 1) 0,05 = 3,2 (m) Vastaus: a) Tolppia tarvitaan 41. b) Toinen tolppa on 5 cm pidempi kuin ensimmäinen. c) Viimeinen tolppa on 3,2 m. 342. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 242 ja kuudes 242. Kuuluuko luku a) 726 b) 1 597 jonoon? Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 242 ja kuudes 242. a1 = 242 a6 = 242 242 + (6 1) d = 242 5d = 484 : 5 d = 96,8 an = 242 + (n 1) 96,8 = 242 + 96,8n 96,8 = 338,8 + 96,8n Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12
a) 338,8 + 96,8n = 726 96,8n = 1 064,8 : 96,8 n = 11 Luku 726 kuuluu jonoon. b) 338,8 + 96,8n = 1 597 96,8n = 1 935,8 : 96,8 n = 19,997 Luku 1 597 ei kuulu jonoon. 343. Aritmeettisessa lukujonossa on a1 = 738 ja a10 = 783. Kuinka moni jonon jäsenistä on pienempiä kuin 1 000? Aritmeettisessa lukujonossa a1 = 738 ja a10 = 783. a1 + 9d = a10 738 + 9d = 783 9d = 45 : 9 d = 5 an = 738 + (n 1) 5 = 738 + 5n 5 = 733 + 5n 733 + 5n = 1 000 5n = 267 : 5 n = 53,4 Jonon jäsenistä 53 on alle 1 000. 344. Aritmeettisen lukujonon toinen termi on 30 ja viides 23,4. Mikä on jonon viidestoista termi? Ratkaistaan perättäisten jäsenten erotus d. 30 + 3d = 23,4 30 3d = 6,6 : 3 d = 2,2 a15 a5 = 10d + a5 a15 = 10 ( 2,2) + 23,4 = 1,4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 13
345. Kuinka monta nelinumeroista seitsemällä jaollista positiivista lukua on olemassa? Seitsemällä jaolliset positiiviset luvut muodostavat aritmeettisen jonon an = 7n. Pienin nelinumeroinen luku on 1 000. 7n = 1 000 : 7 n = 142,85 Pienin jonoon kuuluva nelinumeroinen luku on jonon 143. jäsen. Suurin nelinumeroinen luku on 9 999. 7n = 9 999 : 7 n = 1 428,42 Suurin seitsemällä jaollinen nelinumeroinen luku on jonon 1 428. jäsen. Nelinumeroisia seitsemällä jaollisia lukuja on 1 428 142 = 1 286. 346. Osoita, että lukujono an = 19 5n on aritmeettinen. Osoitetaan, että minkä tahansa peräkkäisten lukujonon jäsenten erotus on aina sama. d = an+1 an = 19 5(n + 1) 19 + 5n = 19 5n 5 19 + 5n = 5 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 14