Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 1 1 TRIGONOMETRIAA JA VEKTOREITA a1-trigonometriaa Se:la1-TrigFun 1.1 Trigonometriset funktiot 1.1.1 Kulmaksiköistä Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari kiert hden kierroksen, sanomme, että se käänt 360 (360 astetta). Ajatus täden kierroksen jakamisesta 360 asteeseen, juontaa kaldealaiseen astrologiaan. Yhdessä vuorokaudessa aurinko siirt noin hden asteen tähtikuvioiden joukossa. Oikeastaan täsi kierros tulisi jakaa 365 osaan, mutta sekään ei karkausvuosien takia anna täsin oikeata jakoa. 360 jako-osien määränä on kätännöllinen, koska se on helppo jakaa pienempiin osiin. Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 = 60 ). Siis aurinko kiertää hden kulmaminuutin kulman 24 minuutissa, ja hden kulmasekunnin kulman 24 sekunnissa. eli gooni (engl. grad, ransk grade, saks. gon, ruots. gon) on 1/400 tä- Gradiaani, grad, destä kierroksesta. grad, grade [1], gradian, or gon (1 g or gr or grd) is a unit of angle measurement equal to 1/400 irle, 0.01 right angle, 0.9, or 54. This unit was introdued in Frane, where it is alled the grade, in the earl ears of the metri sstem. The grad is the English version, apparentl introdued engineers around 1900. The name gon is used for this unit in German, Swedish, and other northern European languages in whih the word grad means degree. Although man alulators will displa angle measurements in grads as well as degrees or radians, it is diffiult to find atual appliations of the grad toda. 1 Radiaani, rad, on kulman mprästä erottaman kaaren pituuden suhde mprän säteeseen (kun mprän keskipiste on kulman kärjessä). Täsi kierros on silloin 2π radiaania. Suorakulma on π 2 rad. Piiru, Kompassipiiru on 1/32 tädestä kierroksesta. Siis 1 piiru = 11, 25. Kompassipiiru näk edelleen merenkulun säädöksissä. Tkistön piiru on karkeasti se kulma, jossa metrin kokoinen esine näk kilometrin päästä katsottuna. Siis täsi kierros on noin 1000 2π piirua 6283, 2 piirua. Eri armeijat jakavat täden kierroksen piiruiksi hiukan eri tavoin. Täsi kierros on 6000 piirua (venäjä), 6300 piirua (Ruotsi) tai 6400 piirua (Nato). Suomessa ollaan siirtmässä venäläisestä piirusta nato-piiruun. 1 http://www.un.edu/ rowlett/units/ditg.html (la1trigfunktiot.te)
2 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 360 = 400 grad = 2π rad = 6400 piirua Kun tiedämme, mitä täsi kierros on valitussa kulma-asteikossa, niin oikokulma on 1/2 tädestä kierroksesta (180 = 200 grad = π rad = 3200 piirua), ja suorakulma on 1/4 tädestä kierroksesta (90 = 100 grad = π 2 rad = 1600 piirua). 180 90 45 (a) 360 () () (d) Kuva 1.1: (a) täsi kierros 2π, () oikokulma π, () suora kulma π/2, (d) suoran kulman puolikas π/4. Kulma on terävä, jos 0 < 90 (0 < π/2). Kulma on tlppä, jos 90 < < 180 (π/2 < < π). Radiaani-kulmaksikkö rad kirjoitetaan näkviin, jos halutaan lukijan varmasti tietävän missä ksiköissä kulma on ilmaistu. Jos kätett ksikkö on asiahtedestä selvä, niin silloin rad jätetään pois. Tämä ei ole virhe, sillä kulma radiaaneissa on kaaren pituus jaettuna säteen pituudella, ja tämä laskutoimitus antaa tulokseksi paljaan luvun. ϕ r = 1 8 2πr ϕ = r = π 4 Kuva 1.2: Täden kierroksen kahdeksas osa radiaaneina. Tällä kurssilla kätetään kulmaksikkönä joko astetta tai radiaania. (Piiru voi jossakin erikoistilanteessa esiintä, mutta gradia emme kätä koskaan. Opettele omassa laskimessasi tarkistamaan laskimen kulmaksikkö-asetus ja tarvittaessa muuttamaan se. Kokeessa ei nt väärän vastauksen selitkseksi kelpaa, että Tein kllä kaiken oikein, mutta laskimessa olikin grad-asetus päällä. ) (la1trigfunktiot.te)
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 3 1.1.2 Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio on koulusta tuttu kolmio, jonka ksi kulma on suora (90, tai π/2 rad). Kätämme seuraavassa melko laajasti vakiintuneita merkintäperiaatteita: Kolmion kulmia merkitsemme kreikkalaisin kirjaimin, β, γ, jne. Suoraa kulmaa ei aina merkitä kirjaimella, vaan se merkitään kuvaan pienellä neliöllä. Kolmion sivuja ja sivujen pituuksia merkitsemme tavallisin kirjaimin a,,, jne. Ensimmäisessä kuvassa kulmaa vastassa on sivu a, kulmaa β vastassa on sivu jne. Kun ensimmäistä kuvaa analsoidaan jakamalla kolmioita pienempiin osiin, joudutaan tästä periaatteesta leensä luopumaan. Suoran kulman kljet ovat kateetit a ja, ja suoraa kulmaa vastassa on hpotenuusa. β a + β = 90 2 = a 2 + 2 sin = a/ os = / tan = a/ ot = /a Kuva 1.3: Suorakulmainen kolmio. Fig:laSKkolm Suorakulmaisen kolmion terävälle kulmalle määritellään seuraavat trigonometriset funktiot (ks kuva 1.3): Fig:laSKkolmio Sini = vastainen kateetti jaettuna hpotenuusalla sin = a Kosini = viereinen kateetti jaettuna hpotenuusalla os = Tangentti = vastainen kateetti jaettuna viereisellä kateetilla tan = a Kotangentti = viereinen kateetti jaettuna vastaisella kateetilla ot = a Funktioiden arvot eivät riipu kolmion suuruudesta. Pienessä ja suuressa suhteet ovat samat. (la1trigfunktiot.te)
4 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita a 2 = a 2 + 2 Lause 1.1.1. (Pthagoran lause) Suorakulmaisessa kolmiossa hpotenuusan pituuden neliö on kateettien pituuksien neliöiden summa. Seuraavassa lauseessa ja tästä eteenpäin muutenkin merkinnällä sin 2 tarkoitetaan lauseketta (sin ) 2. Merkintätapa on aiemmin ollut välttämätön, kun on käsitelt pitkiä trigonometrisia sarjakehitelmiä. Muussa htedessä merkintä tuntuu aluksi epäloogiselta, mutta siihen tottuu nopeasti, ja sitä on stä osata kättää. Lause 1.1.2. (Seuraus Pthagoran lauseesta) Jos on terävä kulma, niin sin 2 + os 2 = 1. Perustelu: Tarkastellaan mitä tahansa suorakulmaista kolmiota, jossa kulma on terävänä kulmana. Nimetään kolmion sivut ja muut kulmat tavalliseen tapaan. Silloin a = sin ja = os ja Pthagoran lauseen mukaan a 2 + 2 = 2 ( sin ) 2 + ( os ) 2 = 2 sin 2 + os 2 = 1. 1.1.3 Trigonometriset funktiot Edellä kulma oli suorakulmaisen kolmion terävä kulma, joten tähän mennessä sin, os, tan ja ot on määritelt vain, kun 0 < π/2. Seuraavaksi määrittelemme, mitä sin(), os(), tan() ja ot() ovat, kun on mikä tahansa reaaliluku ( R). Tämän kappaleen merkinnät ( ja sulut sen mpärillä) korostavat trigonometristen funktioiden funktio-luonnetta. Möhemmin korvautuu taas muilla kirjaimilla ja sulut jäävät pois. Piirretään (, s)-koordinaatisto ja sen päälle origokeskinen ksikkömprä. -akseli osoittaa vaakasuoraan oikealle ja s-akseli osoittaa löspäin. (Kätämme nt - ja s-akseleita, koska muuttuja on varattu kulmalle.) Piirretään koordinaatistoon ksikkömprä 2 + s 2 = 1 ja piirretään koordinaatistoon 0-kulma niin, että kulman kärki on origossa ja kulman kumpikin klki on positiivisella -akselilla. Avataan kulmaa kääntämällä vasenta klkeä niin, että vasemman kljen ja mprän kehän leikkauspiste, eli kehäpiste, liikkuu kehää pitkin positiiviseen suuntaan matkan. Silloin kulman suuruus on radiaania. (la1trigfunktiot.te)
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 5 s sin() (, s ) = (os(), sin()) os() Kuva 1.4: Kulman kehäpisteen koordinaatit. Kulman vasen klki leikkaa ksikkömprän kehän kehä-pisteessä (, s ). Kehäpisteen s-koordinaattia sanomme kulman siniksi, ja kätämme sille merkintää sin, ja kehäpisteen -koordinaattia sanomme kulman kosiniksi, ja kätämme sille merkintää os. Sinin arvo, eli kehäpisteen s-koordinaatti, ja kosinin arvo, eli kehäpisteen -koordinaatti, riippuvat kulman suuruudesta. Näin saamme funktiot sin(), ja os(). Funktioiden sin() ja os() arvot on nt määritelt kahdella erilaisella tavalla: (1) kättäen suorakulmaista kolmiota ja (2) kättäen ksikkömprää. Kun kulma on terävä, eli 0 π/2, niin kumpikin määritelmä antaa saman arvon sinille, ja kumpikin määritelmä antaa saman arvon kosinille. Yksikkömprän avulla sinille ja kosinille saadaan arvot mös silloin, kun on suurempi kuin suora kulma. Silloin kehäpiste kulkee kehällä enemmän kuin neljänneskierroksen. Kulma voi olla miten suuri tahansa. Tarvittaessa kehäpiste kiertää kehän vaikka useampaan kertaan kulkiessaan matkan. Kulma voi mös olla negatiivinen. Silloin kehäpiste lähtee liikkeelle päinvastaiseen suuntaan, mötäpäivään. Nt voimme sanoa, että sini- ja kosinifunktiot on määritelt kaikilla :n reaaliarvoilla. Kuvassa 1.5 lafig:sincos on funktioiden kuvaajat. Samoin voimme määritellä tangentti- ja kotangenttifunktioiden arvot tan() = sin()/ os(), kun π/2 + n π, ja ot() = os()/ sin(), kun n π. Tangentin ja kotengentin arvoja emme siis määrittele kaikilla :n reaaliarvoilla. Kuvassa lafig:tancot 1.6 on näiden funktioiden kuvaajat. (la1trigfunktiot.te)
6 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita sin() 2π π π 2π os() 2π π π 2π Kuva 1.5: Sini- ja kosini-funktioiden kuvaajat. lafig:sincos tan() ot() π π 2π π π 2π Kuva 1.6: tangentti- ja kotangentti-funktioiden kuvaajat. lafig:tancot Kun kulmaa kasvatetaan arvosta arvoon + 2π, kulmaa vastaava kehäpiste kiertää hden täden kierroksen ja lopussa kehäpiste on samassa paikassa, josta se lähti. Siis sin( + 2π) = sin(), ja os( + 2π) = os(). (1.1) Sanomme, että sini- ja kosinifunktio ovat jaksollisia, perusjaksona 2π. Mös perusjakson kokonaislukumonikerrat ovat jaksoja (sin( + n 2π) = sin()). Tangentti ja kotangentti ovat jaksollisia perusjaksona π. Yksikkömprän avulla on helppo nähdä, että mös seuraavat kaavat ovat tosia kaikilla :n arvoilla: 1 sin() 1, ja 1 os() 1, (1.2) TrigEq02 sin( ) = sin(), ja os( ) = os(), (1.3) TrigEq03 sin(π ) = sin(), ja os(π ) = os(). (1.4) TrigEq04 sin(π/2 ) = os(), ja os(π/2 ) = sin(). (1.5) TrigEq05 Kaavan ( TrigEq03 1.3) kohdalla sanomme usein, että sinifunktio on pariton, 2 ja kosinifunktio on pa- 2 Parittomalle funktiolle on voimassa f( ) = f(). Tämä on tpillistä parittomalle potenssifunktiolle, kuten f() = 3. (la1trigfunktiot.te)
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 7 rillinen. 3 Kaava ( 1.4) TrigEq04 merkitsee samaa, kuin aiemmin tekemämme sopimukset ( 1.8) EqSinTlp ja ( 1.9). EqCosTlp Sopimukset olivat siis viisaasti valitut (ainoat järkevät). Usein tarvitsemme summakulman sinin ja kosinin kaavoja: sin( ± ) = sin() os() ± os() sin() (1.6) os( ± ) = os() os() sin() sin() (1.7) Trigonometrisille funktioille voidaan keksiä paljon kaavoja, joita emme nt rhd luettelemaan. Kaavat lötvät kaava-liitteestä?? Se:Kaavat.Trig sivu??. Se:Kaavat.Trig 1.1.4 Arus-funktiot Sini- ja kosinifunktiot ovat jatkuvia, mutta eivät monotonisia. Siksi niillä ei ole käänteisfunktiota (leisessä merkitksessä). Kun sinifunktion määritteljoukko rajoitetaan väliksi I n = [ π/2 + n π, π/2 + n π], niin sinin käänteisfunktio löt. Kun kosinifunktion määritteljoukko rajoitetaan väliksi J n = [0 + n π, π + n π], niin kosinin käänteisfunktio löt. Tangenttifunktio on epäjatkuva kohdissa = π/2 + n π, mutta se on monotoninen (kasvava) väleillä I n. Kotangenttifunktio on epäjatkuva kohdissa = n π, mutta se on monotoninen (vähenevä) väleillä J n. Määritelmä 1.1.3. Tässä luentosarjassa määrittelemme funktiot arsin, aros, artan ja arot väleille I 0 = [ π 2, π 2 ] ja J 0 = [0, π] rajoitettujen trigonometristen funktioiden käänteisfunktioina seuraavasti: funktio käänteisfunktio sin : [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] arsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] os : [0, π] [ 1, 1] aros : [ 1, 1] [0, π] tan : [ π 2, π 2 ] R artan : R [ π 2, π 2 ] ot : [0, π] R arot : R [0, π] Usein kirjoissa kätetään arus-funktioiden paikalla käänteisfunktio-merkintää (arsin sin 1 ). Tämä on oikein ja perusteltua, jos kirjassa on trigonometriset funktiot määritelt kompleksimuuttujan kompleksiarvoisina funktioina. Silloin funktioteorian ja Riemannin pintojen avulla käänteisfunktio voidaan määritellä hvin. Tässä kurssissa ei käsitellä Riemannin pintoja joten sovimme, että tässä materiaalissa arsin ja artan saavat arvon väliltä [ π 2, π 2 ] ja aros ja arot saavat arvon väliltä [0, π]. Esimerkki 1.1.4. Laske pisteiden P 1 = (2, 1), P 2 = ( 1, 2), P 3 = ( 2, 1) paikkavektoreiden ja -akselin väliset kulmat. 3 Parilliselle funktiolle on voimassa f( ) = f(). Tämä on tpillistä parilliselle potenssifunktiolle, kuten f() = 2. (la1trigfunktiot.te)
8 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita π/2 0 π/2 1 0 1 = sin() = arsin() Kuva 1.7: Sini- ja arus-sini -funktioiden kuvaajat. lafig:sinarsin 0 π/2 π 1 0 1 = os() = aros() Kuva 1.8: Kosini- ja arus-kosini -funktioiden kuvaajat. lafig:cosaros (2, 1) ( 1, 2) 1 2 3 ( 2, 1) Periaatteessa tehtävä on helppo, sillä tan k = k k k = artan ( k k ) + n π. Nt tulee laskijan kuitenkin muistaa, että laskin antaa artan-funktion arvon aina väliltä π/2 π/2, joten laskijan tulee lisätä laskimen antamaan kulmaan π laskiessaan kulmia 2 ja 3 mutta ei tule lisätä laskimen antamaan arvoon mitään laskiessaan kulmaa (la1trigfunktiot.te)
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 9 π/2 0 π/2 = tan() 4 2 0 2 4 = artan() Kuva 1.9: Tangentti- ja arus-tangentti -funktioiden kuvaajat. lafig:tanar 0 π/2 π = ot() 4 2 0 2 4 = arot() Kuva 1.10: Kotangentti- ja arus-kotangentti -funktioiden kuvaajat. lafig:kotana 1. Siis ( ) 1 1 = artan = 0.46365(rad) = 26.565 2 ( ) 2 2 = artan + π = 2.03444(rad) = 116.565 1 ( ) 1 1 = artan + π = 3.60524(rad) = 206.565 2 Johtopäätös esimerkin perusteella { artan(/), kun 0, = artan(/) + π, kun < 0. tiot-harjoituksia 1.1.5 Harjoituksia (3) Tehtävä 1.1 Ratkaise laskimen avulla kulma htälöstä sin() = 0.825. Anna vastaus radiaaneina. (la1trigfunktiot.te)
10 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Tehtävä 1.2 Mikä on se tlppä kulma, ( π 2 π), jolle sin() = 0.825. Anna vastaus sekä radiaaneina, että asteina. Tehtävä 1.3 Piirrä kuvaan fig:trigvektoritharympra1 1.11 se tlppä kulma, jolle sin() = 0.825. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 1.11: Yksikkömprä. fig:trigvektoritha la1-kolmiot 1.2 Kolmiot 1.2.1 Kolmiolauseet Tässä kappaleessa kolmion ei tarvitse olla suorakulmainen, ellei erikseen niin sanota. Koska kolmiossa voi olla tlppä kulma, sovimme tlpän kulman sinille ja kosinille seuraavat (la1kolmiot.te) 1.2. Kolmiot (22.5.17)
Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 11 sopimukset: jos π/2 π, niin sin() = sin(π ), (1.8) EqSinTlp jos π/2 π, niin os() = os(π ). (1.9) EqCosTlp Lause 1.2.1. Kolmion kulmien summa on π (eli 180 ). γ β + β + γ = π β Perustelu: Kuvan mukaisesti kolmion huipun kautta piirretään kannan suuntainen suora. Kun nt kolmion vasen klki leikkaa kahta hdensuuntaista suoraa, ovat sntvät ristikulmat htäsuuret. Kolmion kantakulmaa vastaava ristikulma on mös suuruudeltaan. Vastaavasti kantakulmaa β vastaava ristikulma on mös suuruudeltaan β. Huipun kohdalle sntvä kolmen kulman summa on oikokulma. Lause 1.2.2. (Seuraus edellisestä) Jos kolmiossa on tlppä kulma (> π/2), niin muut kaksi kulmaa ovat teräviä (< π/2). Th:kolmionala Lause 1.2.3. Kolmion ala on puolet kahden sivun pituuksien ja niiden välisen kulman sinin tulosta. (Kaavana: A = 1 2 sin.) h h A = 1 sin 2 Perustelu: Kuvan mukaisesti kolmion huipun kautta piirretään kannan suuntainen suora. Piirretn suoran ja kannan välinen etäiss on kolmion korkeus h. Olkoon kannan ja kljen välinen kulma. Silloin kolmion korkeus on h = sin(). Kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta, eli A = 1 2 h = 1 sin. 2 Lause 1.2.4. Sinilause: a sin = sin β = sin γ. Perustelu: Lauseen Th:kolmionala 1.2.3 mukaan kolmion kaksinkertainen pinta-ala voidaan laskea seuraavilla tavoilla: sin = a sin β = a sin γ. Väite seuraa, kun lausekkeet jaetaan a:lla ja siirrtään käänteislausekkeisiin. (la1kolmiot.te) 1.2. Kolmiot (22.5.17)
12 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Lause 1.2.5. Kosinilause: 2 = a 2 + 2 2a os γ. Perustelu: a h γ u Tapaus: Terävä γ u = a os γ h a s γ Tapaus: Tlppä γ s = a os γ Yllä olevien kuvien merkinnöin: Jos γ on terävä, niin 2 = h 2 + u 2 = a 2 ( u) 2 + u 2 = a 2 2 + 2u = a 2 + 2 2( u) = a 2 + 2 2a os γ Jos γ on tlppä, niin 2 = h 2 + ( + s) 2 = a 2 s 2 + ( + s) 2 = a 2 + 2 + 2s = a 2 + 2 2a os γ a1-vektorit 1.3 Vektorit Opiskelija on jo koulussa käsitellt tason ja avaruuden koordinaatistoja, mutta koulussa asia leensä ksinkertaistetaan äärimmilleen niin, että snt mielikuva siitä, että on olemassa vain ksi koordinaatisto. 1.3.0 Tavallinen tason (, )-koordinaatisto Koordinaatisto asetetaan siten, että -akseli on vaakasuora, asteikko kasvaa oikealle, ja - akseli on pstsuora, asteikko kasvaa löspäin. Akselit ovat siis kohtisuorassa. Akselit leikkaavat asteikkojen nollakohdissa. akselien leikkauspistettä sanomme origoksi. Jos tason pisteen P kautta piirrett pstsuora leikka -akselin kohdassa P, ja pisteen P kautta piirrett vaakasuora leikka -akselin korkeudella P niin sanomme, että piste on (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit (24.5.17)