Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt VASTUSMTTAUKSA Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut Ohmin lakiin ja joihinkin menetelmiin, joiden avulla vastusten resistansseja voidaan mitata. Tarkastelet myös vastusten tehonkulutusta ja opettelet rakentamaan yksinkertaisia tasavirtapiirejä. Työssä tutkittavien vastusten resistanssit vaihtelevat suuresti: Sadoista ohmeista aina kymmeniin miljooniin ohmeihin. Kaikki vastukset ovat kuitenkin lineaarisia eli niiden resistansseja voidaan pitää lämpötilasta riippumattomina, jolloin ne noudattavat Ohmin lakia. Tutustut myös vastuskytkentöihin kytkemällä kaksi tutkittavista vastuksista sarjaan ja kolmannen niiden kanssa rinnan. Suunnittelet ja rakennat kaksi yksinkertaista tasajännitelähteestä, virta- ja jännitemittarista sekä vastuksista muodostuvaa virtapiiriä, joiden avulla määrität kaikkien kytkennän vastuksien resistanssit ja tehonkulutukset. Suuren resistanssin mittauksessa käytät apuna -piiriä, jossa kondensaattori ja vastus on kytketty rinnakkain. Lataat piirin kondensaattorin valittuun jännitteeseen ja annat kondensaattorin purkautua ensin rinnan kytkettyjen vastuksen ja digitaalisen jännitemittarin kautta ja sitten ainoastaan jännitemittarin kautta. Mitatuista jännitteen arvoista piirrät suorat, joiden kulmakertoimista saat selville sekä jännitemittarin sisäisen resistanssin että tutkittavan vastuksen resistanssin. Työssä opettelet käyttämään digitaalista yleismittaria, joka on fysiikan töissä yleisesti käytössä oleva sähköinen perusmittausväline. Digitaalisella yleismittarilla voidaan mitata vastusten resistansseja, tasajännitettä, tasavirtaa, vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa. Useilla mittareilla voidaan lisäksi tutkia diodien ja muiden puolijohdekomponenttien ominaisuuksia sekä mitata esimerkiksi kondensaattoreiden kapasitansseja tai vaihtojännitteiden taajuuksia. Tässä työssä opit, miten mittari kytketään mitattaessa virtaa ja jännitettä sekä harjoittelet resistanssien sekä tasajännitteiden ja -virtojen mittaamista.
VASTUSMTTAUKSA Teoria. Ohmin laki ja vastuksen tehonkulutus Joillakin materiaaleilla, erityisesti metalleilla, virtatiheyden J on havaittu olevan suoraan verrannollinen sähkökentän voimakkuuteen E. Tällaisten materiaalien sanotaan noudattavan mikroskooppista Ohmin lakia, joka voidaan esittää muodossa J E, () missä on aineen resistiivisyys, jonka yksikkö on (V/m)/(A/m )=Vm/A=m. Erilaisten materiaalien resistiivisyydet käyttäytyvät eri tavoin lämpötilan muuttuessa, esimerkiksi metallien resistiivisyydet kasvavat yleensä lämpötilan kasvaessa. Tarkastellaan viereisen kuvan tilannetta, jossa vastuksen poikkipinta-ala on A, pituus on L ja päiden välinen potentiaaliero on V. Oletetaan, että kyseessä on Ohmin lakia noudattava ns. ohminen vastus, jolle vastuksen läpi kulkevan virran tiheys J on vakio ja yhtälön () mukaisesti suoraan verrannollinen sähkökentän voimakkuuteen E = V/L. Tällöin vastuksen kautta kulkeva virta on = JA. Mikroskooppisen Ohmin lain perusteella saadaan nyt E V L J V. () A L A Kuva. Vastus, jonka kautta kulkevan virran tiheys on vakio. Yllä olevasta yhtälöstä huomataan, että jos resistiivisyys on vakio eli ei riipu esimerkiksi lämpötilasta, vastuksen päiden välinen jännite on suoraan verrannollinen sen kautta kulkevaan virtaan. Verrannollisuuskerroin L V () A on vastuksen resistanssi ja sen yksikkö on V/A =. Yhtälö () voidaan esittää muodossa V, (4) jota usein kutsutaan makroskooppiseksi Ohmin laiksi. Yhtälöä (4) noudattavat vastukset ovat vakiovastuksia eli lineaarisia vastuksia, joiden resistanssien ajatellaan olevan lämpötilasta riippumattomia. Tällöin niiden päiden väliset jännitteet ovat suoraan verrannollisia niiden kautta kulkeviin virtoihin. Kuvan tilanteessa vastuksen kautta kulkevat virran kuljettajat törmäilevät vastuksen atomeihin, jolloin vastuksen sisäinen energia kasvaa. Tällöin vastuksen lämpötila kas-
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt vaa ja yleensä lämpöä virtaa ulos vastuksesta. Vastus siis kuluttaa tehoa. Jos vastuksen kautta kulkee ajassa dt varaus dq dt, sen potentiaalienergian muutos on VdQ Vdt dt. Vastuksen tehonkulutus on yhtä kuin se nopeus, jolla energiaa siirtyy vastukseen tai siitä ulos. Tälle tehonkulutukselle P saadaan nyt lauseke VdQ Vdt P V. (5) dt dt. Vastuskytkennät Vastuksia käytetään virran ja/tai jännitteen rajoittamiseen ja jakamiseen hyvin monenlaisissa joka päivä käyttämissämme laitteissa. Tällöin käytössä on harvoin vain yksi ainoa vastus, vaan yleensä useiden vastusten muodostama vastuskytkentä. Kuvassa on esitetty, miten vastukset, ja kytketään sarjaan (a) ja rinnan (b). Huomataan, että jos vastukset ovat sarjassa, kunkin vastuksen kautta kulkee sama virta ja rinnan kytkettäessä kunkin vastuksen päiden välinen jännite on sama kuin pisteiden a ja b välinen potentiaaliero V ab. Kuvan a) tilanteessa tälle potentiaalierolle saadaan lauseke V V V V missä ab ax xy yb eq, eq on koko vastuskytkennän resistanssi. Osoittautuu, että yllä oleva voidaan yleistää kaikkiin tilanteisiin, joissa n kappaletta vastuksia kytketään sarjaan. Koko kytkennän resistanssi saadaan laskemalla sarjaan kytkettyjen vastusten resistanssit yhteen, ts. eq n. (6) a) b) Kuva. Vastusten, ja kytkeminen a) sarjaan b) rinnan. Kun vastukset, ja kytketään rinnan, niiden kautta kulkeville virroille, ja saadaan V ab, V ab ja V ab, jolloin koko vastuskytkennän kautta kulkevaksi virraksi saadaan
4 VASTUSMTTAUKSA V ab V ab eq. Kun yllä oleva yleistetään tilanteeseen, jossa n kappaletta vastuksia on kytketty rinnan, saadaan tulos, jonka mukaan koko vastuskytkennän resistanssin käänteisluku eq on yhtä kuin rinnan kytkettyjen vastusten resistanssien käänteislukujen summa, ts.. (7). -piiri eq n Suuren resistanssin mittauksessa käytettävä -piiri muodostuu kuvan mukaisesti tasajännitelähteestä, valintakytkimestä K sekä rinnan kytketystä kondensaattorista ja vastuksesta. Kytkin on ensin lataus -asennossa, jolloin kondensaattori latautuu jännitteeseen. Kun kytkin käännetään purkaus -asentoon, kondensaattori alkaa purkautua vastuksen kautta. Koska kondensaattori ja vastus on kytketty rinnan, niiden hetkelliset jännitteet v ja v ovat koko ajan yhtä suuret. Kondensaattorin jännite on joka hetki sen varaus q jaettuna sen kapasitanssilla, ts. v q ja vastuksen päiden välinen jännite taas saadaan sen kautta kulkevan virran i ja sen resistanssin tulona eli v i. Näin ollen saadaan yhtälö q v v i. (8) Ottamalla huomioon, että kondensaattorin purkautuessa virta muuttuu ajan funktiona siten, että i dq dt, saadaan yhtälöstä (8) varauksen q aikariippuvuutta kuvaava differentiaaliyhtälö, joka voidaan ratkaista q dq dt dq q dt ln q t A, (9) missä A on vakio. Toisaalta yhtälön (8) perusteella tiedetään, että q v v, jolloin yhtälöstä (9) saadaan vastuksen päiden välisen jännitteen aikariippuvuudeksi - - + + lataus K purkaus Kuva. Suuren resistanssin tutkimisessa käytettävä -piiri.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt 5 ln v ln v ln v ln t A ln v t B, (0) missä B on vakio ja tuloa kutsutaan piirin aikavakioksi. ( Yhtälöstä (0) nähdään, että mittaamalla kuvan -piirissä vastuksen jännitettä ajan funktiona ja esittämällä mitattujen jännitteiden luonnolliset logaritmit t,ln v ) koordinaatistossa, mittauspisteiden tulisi asettua laskevalle suoralle, jonka yhtälö on muotoa ln v Kt B, () missä K on suoran kulmakerroin ja B vakiotermi. Määrittämällä suoran kulmakerroin K voidaan laskea tutkittavan vastuksen resistanssi, kun kondensaattorin kapasitanssi tunnetaan. Työssä käytettävät laitteet ja kytkennät. Digitaalinen yleismittari Digitaalisen yleismittarin keskeinen osa on analogia-digitaalimuunnin (A/D-muunnin), joka muuttaa mitattavan analogisen signaalin sen suuruutta vastaavaksi binääriluvuksi. Näin ollen mittarin näyttöön saadaan mittaustulos numeerisena. Digitaaliset yleismittarit toimivat usein siten, että anturit muuttavat kaikki erilaiset mitattavat suureet jännitteeksi, joka mitataan. Esimerkkinä digitaalisista yleismittareista on kuvassa 4 Escort EDM68A-mittari, jota käytetään tässä työssä virtamittarina. Mittarin yläreunasta löytyvät kytkimet, joista mittari pannaan päälle ja joilla valitaan, mitataanko tasa vai vaihtojännitteitä/virtoja. Mittarin alaosassa ovat johtimien paikat. Miinusnapa on kaikissa tavallisimmissa mittauksissa sama ja se on merkitty symbolilla OM. Plusnapoja on useampia, ja yleensä yksi niistä on käytössä, jos mitataan jännitettä, resistanssia tai taajuutta ja kaksi muuta virtoja mitattaessa. Jos johtimet yhdistetään tasavirtoja ja jännitteitä mitattaessa plus- ja miinusnapoihin väärin päin, näytössä nähdään vastaava jännite- tai virtalukema miinusmerkkisenä, mutta itseisarvo on oikein. Kytkimien ja napojen ohella mittareissa on myös mittausalueen valitsin tai valitsimia. Kuvan mittarissa tämä valitsin on keskellä ja sen ympärillä olevat merkinnät kertovat tutkittavan suureen suurimman mahdollisimman arvon käytössä olevalla valitsimen asennolla. Mittausalueen valinnassa on aina varminta lähteä liikkeelle suurimmasta mahdollisesta, jos emme etukäteen tiedä, kuinka suuri mitattava suure on. Esimerkiksi
6 VASTUSMTTAUKSA pienimpien virtaskaalojen alueella voi mittarissa olla sulake, joka kestää vain pieniä virtoja ja estää mittarin toiminnan, jos liian suuri virta kulkee mittarin läpi tämän mittausalueen ollessa käytössä. Esimerkkejä tässä työssä käytettävistä muista mittareista on kuvassa 5. Päälle/pois A/D-valitsin Mittausalueenvalitsin Miinusnapa Plusnapa: sot virrat Plusnapa: Pienet virrat Plusnapa: Jännite/ resistanssi/taajuus Kuva 4. Escort EDM68A-mittari. Kuva 5. Työssä käytettäviä digitaalisia yleismittareita.
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt 7. Virran ja jännitteen mittaaminen digitaalisella yleismittarilla Tarkastellaan ensin tapausta, jossa haluamme mitata yleismittarilla tutkittavan laitteen kautta kulkevaa virtaa. Tällöin mittari kytketään kuvan 6 a) kytkentäkaavion mukaisesti sarjaan tutkittavan laitteen kanssa. Mittari häiritsee tutkittavaa laitetta sitä vähemmän mitä pienempi sen piiristä ottama teho on. Virtamittarin A tehoksi saadaan sen kautta kulkevan virran ja sen päiden välisen jännitteen VA avulla kuvan tilanteessa P A VA A) ( A, missä A on mittarin sisäinen resistanssi. Tästä huomataan, että virtamittarin sisäisen resistanssin olisi oltava mahdollisimman pieni. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa haluamme saada selville tutkittavan laitteen päiden välisen jännitteen. Tällöin mittari kytketään kuvan 6 b) mukaisesti tutkittavan laitteen rinnalle. Jännitemittarin kuluttama teho on mittarin kautta kulkevan virran V ja sen päiden välisen jännitteen eli mitattavan jännitteen V avulla lausuttuna P V V V V ( ) V V V V, missä V on mittarin sisäinen resistanssi. Nyt huo- maamme, että tässä tilanteessa mittari häiritsee tutkittavaa laitetta sitä vähemmän mitä suurempi mittarin sisäinen resistanssi on eli jännitemittarin sisäisen resistanssin on oltava mahdollisimman suuri. a) A b) V A L V V + - + - Kuva 6. a) Virran ja b) jännitteen mittaaminen digitaalisella yleismittarilla = jännitelähde, = tukittavan laitteen resistanssi, A = virtamittari, A = virtamittarin sisäinen resistanssi, V = jännitemittari, V = jännitemittarin sisäinen resistanssi, = piirissä kulkeva kokonaisvirta, L = laitteen kautta kulkeva virta, V = jännitemittarin kautta kulkeva virta.
8 VASTUSMTTAUKSA. Mittauksissa käytettävät välineet Joitakin työssä käytettäviä vastuksia ja muita mittausvälineitä on näkyvissä kuvissa 7 ja 8. Kuvan 7 kytkentäalustoilla on vastuksia, joiden resistanssit vaihtelevat välillä 00 0 k. Näistä valitaan kolme vastusta käytettäväksi vastuskytkennässä. Määritettäessä resistansseja ja tehonkulutuksia virta- ja jännitemittarien avulla käytetään kahta kuvissa 4 ja 5 esitetyistä digitaalisista yleismittareista. Jännitelähteenä käytetään kuvassa 8 näkyvää tasajännitelähdettä. Kuva 7. Työssä tutkittavia vastuksia. Kuva 8. Suuren resistanssin mittauksessa käytettäviä laitteita. Suuren resistanssin määrityksessä kuvan piiriä käytetään siten, että ensimmäisessä mittauksessa vastuksen paikalle kytketään rinnan tutkittava vastus, jonka resistanssi x on suuri sekä jännitemittari. Toisessa mittauksessa tutkittava vastus poistetaan ja annetaan kondensaattorin purkautua vain jännitemittarin kautta. Tämän mittauksen tuloksista voidaan määrittää jännitemittarin sisäinen resistanssi V. Käyttämällä molempien mittausten tuloksia yhdessä saadaan selville tutkittavan vastuksen resistanssi. Näissä mittauksissa käytettäviä välineitä on kuvassa 8. 4 Mittaukset 4. Vastuskytkennän tutkiminen. Vastuskytkentä sekä jännitteiden ja virtojen mittaaminen: Valitse ohjaajan neuvojen mukaisesti tutkittavaksi kolme vastusta, sekä, ja rakenna toinen ennakkotehtävän kytkennöistä niitä käyttäen. Ohjaajan tarkastettua kytkennän mittaa ja kirjaa ylös virran ja jännitteen arvot. Toista sama toiselle suunnittelemallesi kytkennälle. Piirrä mittauspöytäkirjaan myös käyttämiesi kytkentöjen kytkentä-
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö ja magnetismiopin laboratoriotyöt 9 kaaviot. Laske mitattujen virtojen ja jännitteiden avulla kaikkien vastusten kautta kulkevat virrat ja päiden väliset jännitteet ja kirjaa ne mittauspöytäkirjan taulukkoon. 4. Suuren resistanssin määritys. Valmistelut: Tee kuvan mukainen kytkentä ja aseta tutkittavaksi vastukseksi jännitemittari ja tuntematon vastus rinnan kytkettyinä. Tarkastuta kytkentä ohjaajalla, joka neuvoo sinua myös sopivan jännitteen valinnassa. Aseta katkaisija K ensin lataus -asentoon ja pane vasta sitten jännitelähde päälle.. Kondensaattorin purkautuminen tutkittavan vastuksen ja jännitemittarin kautta: Käännä katkaisija K purkaus -asentoon ja käynnistä kello. Havaitse ja kirjaa kondensaattorin purkautuessa jännitemittarin lukemat 0 s:n välein,5 minuutin ajan. Anna kondensaattorin purkautua lähes kokonaan ennen kuin kosket kytkentään. 4. Kondensaattorin purkautuminen jännitemittarin kautta: Poista kytkennästä tutkittava vastus. Toista sitten kohdan. lataus ja kohdan. toimenpiteet. Kirjaa mittauspöytäkirjaasi myös kondensaattorin kapasitanssi virherajoineen. 5 Mittaustulosten käsittely, lopputulokset ja pohdinta 5. esistanssien ja tehonkulutusten määrittäminen Laske vastusten, ja resistanssit makroskooppista Ohmin lakia (4) soveltaen ja tehonkulutukset yhtälöstä (5). Kokoa tulokset taulukkoon, jossa näkyvät vastusten, ja resistanssit ja tehonkulutukset. 5. Suuren resistanssin määrittäminen -piirin avulla (. -piirien mittauksia esittävät kuvaajat ja pienimmän neliösumman suorat: Tämä tulosten käsittelyn osa tehdään työvuorolla ohjaajan opastamana. Esitä kummankin -piirin mittauksen havainnot t,ln v ) koordinaatistossa ja sovita pisteisiin yhtälön () mukaiset pienimmän neliösumman suorat niin, että saat selville suorien
0 VASTUSMTTAUKSA kulmakertoimet virherajoineen. Tulosta tai talleta kuvaajat, joissa näkyvät mitatut pisteet, suorat sekä tiedot sovituksista niin, että voit liittää ne selostukseesi.. Jännitemittarin sisäisen resistanssin ja suuren vastuksen resistanssin määrittäminen: Laske suorien kulmakertoimista jännitemittarin sisäinen resistanssi V ja tuntemattoman vastuksen resistanssi x ennakkotehtävässä johdettujen yhtälöiden avulla. Määritä sitten suuren vastuksen resistanssin absoluuttisen virheen yläraja ennakkotehtävässä annetusta yhtälöstä. lmoita lopputuloksena suuren vastuksen resistanssi sekä absoluuttisen että suhteellisen virheen avulla. Kiinnitä huomiota tuloksen ilmoitustarkkuuteen, tietoa tästä löytyy tarvittaessa virheen arviointia käsittelevästä Liitteestä.