MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise yhtälö 5 + = 3 4 (1 ratk) 5. Ratkaise yhtälö 5 + = 3 4 (ei ratkaisua ja miksei) 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön < ½. 7. Ratkaise epäyhtälö 3 > ( < 1½) 8. Ratkaise epäyhtälöt a) + 9 3 > 100 b) 3 8 3 0 9. Piirrä yhtälön + y = 4 kuvaaja. 10. Määritä seuraavien pisteiden välinen etäisyys: a) (,0) ja (7,0) b) (0,1) ja (0,7) c) (7,9) ja ( 1, ) d) origo ja (a,1½) e) (a,b) ja (a, b). 11. Janan päätepisteet ovat a) (,3) ja (, 7) b) (7,9) ja ( 1, ½) c) (a, ½b) ja (a,5b). Määritä janan keskipisteen koordinaatit. 1. Piste (1.7,.8) on janan AB keskipiste ja A = ( 5,). Määritä piste B. (8.4, 7.6) 13. Kolmiossa ABC on A = ( 1,0), B = ( 3,1) ja C = (0,4). Laske kolmion keskijanojen pituudet. (yksi on ½ 9 ) 14. Kolmiossa ABC on A = (, 1), B = (1,1) ja C = (3, ). Osoita, että kolmio on tasakylkinen.
15. Tasakylkisessä kolmiossa ABC on A = (0,1) ja B = (,5). Jana AB on kolmion kanta ja kylki = 5. Määritä piste C. ( 3,5) tai (5,1) 16. Ratkaise algebrallisesti yhtälöpari 5 + 6y = 7 7 + 4y = 1 ( =, y = ½) 17. Ratkaise sijoituskeinolla yhtälöpari 3 + y = 1 y = 1 = y =? 18. Ratkaise graafisesti yhtälöpari y = ½ + 6 5y = 15 19. Ratkaisematta seuraavia yhtälöpareja tutki, nojautuen lauseeseen 4.6, kuinka monta ratkaisua niillä on : 4 10y = 6 7 + y = 19 6 + 9y = 3 a ) b) c) (1, 1, 0) 6 + 15y = 9 + 7y = 77 8 1y = 4 0. Määritä vakio a siten, että suorat a + 4y = 1 ja (3 a) + 3y = 9 ovat yhdensuuntaiset. Yhtyvätkö nämä suorat tällöin vai sijaitsevatko vallan erillään? (a = 1/11) a by = c c c 1. Ratkaise yhtälöpari ( =, y = ) b ay = c a + b a + b. Määritä ne kaksi lukua, joiden summa on 10 ja erotus 88. 3. EU-ratkaisu heijastui Suomen oloihin sillä tavoin, että kaupan leipä muuttui niin kalliiksi, että vain rikkailla oli sitä varaa ostaa. Niinpä pieniä peltotilkkujaan viljelevän Antin LUOMU-tuotteilla oli hyvä menekki, kun keskiluokan ihmiset leipoivat leivän kotona. Markku meni kerran Antin luo, ja osti 84 kg rukiita ja 39 kg ohria maksaen ostoksistaan 95.97. Mirkakin pistäytyi kaupalla samana päivänä, osti 45 kg ohria ja 60 kg rukiita ja maksoi niistä 76.05. Laske, paljonko Antti peri rukiista ja ohrasta kilogrammalta. (Ohra oli 43.75 senttiä/kg)
+ y + 3z = 4 4. Ratkaise yhtälöryhmä 3 4y z = 3 5 + 6y z = 5 ( =, y =?, z =? ) 5. Määritä suoran 3 7y + 14 = 0 a) kulmakerroin b) suuntakulma sekä piste, jossa suora kohtaa -akselin. (Suuntakulma vähän yli 3 astetta) 6. Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,6) kautta, ja rajoittaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion, jonka pinta-ala on 36 pinnan yksikköä? (y = 1 ) 7. Lämpötilaa t [ o C] pidetään eräissä olosuhteissa meren pinnasta mitatun korkeuden h [m] funktiona, joka on ensimmäistä astetta oleva polynomi(funktio), siis muotoa t = kh + b. Määritä tämän funktion lauseke (laki), kun 500 metrin korkeudella lämpötila on o 15 o C ja 10000 m korkeudella 80 C. Mikä on tällöin lämpötila meren pinnalla, ja kuinka korkealla merten pinnasta mitaten lämpötila on celsiusasteissa mitattuna nolla? 8. Suora kulkee pisteiden a) (,3) ja (, 5) kautta. Muodosta suoran yhtälö. ( y = 1) 9. Määritä luku t siten, että piste (0,t) on pisteiden (1,1) ja (4,7) kautta kulkevalla suoralla. ( 1) 30. Kolmiossa ABC on A = ( 5,4), B = ( 1, 4) ja C = (3,). a) Muodosta pisteiden A ja B kautta kulkevain keskijanojen yhtälöt. b) Missä pisteessä nämä leikkaavat toisensa. Tarkista tulos piirtämällä. Kolmion keskijana yhdistää kärkipisteen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. 31. Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (, 3) kautta ja on a) yhdensuuntainen suoran 3 y + 4 = 0 kanssa b) kohtisuorassa mainittua suoraa vastaan. (b-kohta: + 3y + 5 = 0) 3. Määritä pisteitä (0,0) ja ( 4,) yhdistävän janan keskinormaalin yhtälö. Tarkista tulos piirtämällä. 33. Kolmiossa ABC on A = (1,), B = (5,6) ja C = ( 1,1) Muodosta sivujen keskinormaalien yhtälöt ja totea laskemalla, että ne leikkaavat samassa pisteessä. Mikä tämä piste on? (Sen y-koordi voipi olla 7)
34. Laske pisteen (,5) etäisyys suorasta a) = 1 b) y + 7 = 0 c) 4y = 5 d) y = 31 30 37 5 ( a) 3 b) 1 c) d) ) 4 41 10 35. Laske suorien 4 + 3y + 6 = 0, 4y + 3 = 0 ja = 3 rajoittaman kolmion korkeusjanojen pituudet (kaikki kolme). ( 33 11 5, ja 3) 10 5 36. Laske suorien 5y = 11, + 3y = 3 ja y = + 1 rajoittaman kolmion ala. (8) 37. Johda sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on ( 3, 4) ja säde 5. Kulkeeko ympyrä origon kautta? Määritä jokin toinen ympyrän kehän piste? 38. Onko yhtälöllä + y + 4y + 1 = 0 geometrista vastinetta. Jos on, se on ilmeisesti ympyrä. Määrää sen keskipiste ja säde. 39. Piirrä yhtälön 4 + 4y + 8y = 8 kuvaaja. 40. Ympyrä kulkee pisteiden (3, ), (1, 4) ja ( 1, ) kautta. Määritä sen yhtälö. Ohje: Ympyrän kehän piste toteuttaa ympyrän yhtälön + y a + by + c = 0. Saat kolmen yhtälön ja kolmen tuntemattoman ryhmän. 41. Ympyrän keskipiste sijaitsee suorien y = 3 ja + y = 0 leikkauspisteessä ja kulkee origon kautta. Määrää sen yhtälö. 4. Millä vakio c arvoilla yhtälö + y + 8 10y + c = 0 a) ei esitä mitään käyrää b) toteutuu vain yhdessä pisteessä? 43. Johda sen paraabelin yhtälö, jonka polttopiste on (1,4) ja johtosuora y =. 44. Määritä paraabelin huipun koordinaatit, kun paraabelin yhtälö on a) y = + 8 + 7 (-4, -9) b) y = 4 + ( 1 9, ). 4 4 45. Määritä paraabelin y = + 4 ja suoran 4 y +1 = 0 leikkauspisteet. (Toinen on luultavasti (6, 18)).
46. Jalkapalloa pelataan tasaisella kentällä. Erään potkun seurauksena pallon lentorata on paraabeli y = 1.1 0.014, missä yksiköt ovat metrejä. Nythän tehtävän koordinaatisto on asetettu niin, että pallo lähtee origosta ja osuu kenttään -akselilla. Kuinka pitkälle pallo lentää ja kuinka korkealla se maksimissaan käy? (lentää noin 78.6 m) 47.Ylöspäin aukeava paraabeli käy pisteiden (1,0), (, 1) ja (4,3) kautta. Määritä paraabelin yhtälö. (y = 4 +3) 48. Määritä vakio b siten, että suora y = b 3 on paraabelin y = 1 5 tangentti (b = ¼). 49. Laske paraabelin y = suorasta y + 1 = 0 erottaman jänteen a) keskipiste 1 5 3 5 b) pituus, ja pituus. Hint: Pohdi, voitko toisen asteen yhtälön 4 8 4 juurien summan lauseketta hyödyntää keskipistettä laskiessasi. 50. Määritä pisteestä ( 1, ) paraabelille y = + 1 piirrettyjen tangenttien yhtälöt. (toinen tangentti kulkee origon kautta) 51. Missä pisteessä seuraavat ympyrät leikkaavat toisensa, toisin sanoen, ratkaise + y + 3y + 1 = 0 yhtälöpari. + y + y = 0 Hint: Vähennä ensin yhtälöt toisistaan ja ota näin saamasi ensiasteen yhtälön kaveriksi jommankumman ympyrän yhtälö. Toinen leikkauspiste pitäisi olla (1,0) ja toisen leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat negatiiviset eivätkä yhtä yksinkertaiset. 5. Määritä ympyrän + y = 5 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö. Kuinka pitkän janan koordinaattiakselit tästä tangentista erottavat? (Se jana on pituudeltaan yli kymmenen,mutta alle 11 pituuden yksikköä).
53. Määritä lausekkeen 40 + 50y suurin arvo alueessa, jossa 5 + y 30 5 + 7y 35 + 5y 0 0 y 0 54. Määritä lausekkeen + 3y pienin arvo alueessa, jossa 3 + y 0 + y 0 + y 14 (olisiko 34) 55. On tullut pula-aika. Kuljetusliikkeellä on yksi auto, johon se saa ostaa polttoainetta viikossa korkeintaan 1800 litraa. Tällä autolla liike pystyy viikossa ajamaan sahan tuotantokapasiteetin puitteissa enintään 4 kuormaa lankkua sahalta satamaan. Tavara on raskasta, ja auto kuluttaa polttoainetta 37 litraa/100 km. Yksi edestakainen matka sahan ja sataman välillä on 0 km, ja kestää 4.5 tuntia (lastauksineen, purkuineen). Toisaalta autolla voi ajaa myös styroia tai eristevillaa enintään 36 kuormaa viikossa. Tavara on kevyttä, ja polttoainetta kuluu vain 6 litraa/100 km edestakaisen matkan tehtaan ja tukkuliikkeen keskusvaraston välillä ollessa 170 km. Yksi keikka tarvitsee aikaa lastauksineen ja purkuineen 3 h 40 minuuttia. Tässä firmassa on tehty paljon ylitöitä ja työsuojelupiiri on ottanut firman silmätikuksen. Hirmuisen uhkasakon velvoittamana on määrätty, ettei auton kuljettajille saa missään tapauksessa tulla enempää kuin yhteensä 10 työtuntia viikossa. Tätä määräystä onkin katsottu olevan syytä noudattaa. Saha ja eristevillatehdas sijaitsevat niin vierekkäin, ettei ole merkitystä ajoaikojen suhteen sillä, kumpaa tavaraa ajetaan. a) Viivoita se y-tason alue, jonka kokonaislukukoordinaattien osoittaman määrän auto pystyy viikossa ajamaan sahatavaraa () ja styroia/eristevillaa (y). b) Kuinka paljon auto pystyy viikossa enintään tuottamaan ajotuloa (brutto), kun kuljetusliikkeelle maksetaan sahatavarakuormasta 40 euroa ja eristevillakuormasta 155 euroa?