TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

Transkriptio

1 TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas

2 NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti jakautunut. Jos muuttuja on normaalisti jakautunut testin p-arvon (Sig.) pitäisi olla suuri, suurempi kuin valittu riskitaso, esim Kolmogorov-Smirnovin testiä käytetään usein kuin n > 50. Huom. Testin merkitsevyyteen vaikuttaa myös otoskoko: Suuremmissa otoksissa pienikin jakauman poikkeavuus aiheuttaa tilastollisesti merkitsevän tuloksen

3 VARIANSSIEN YHTÄ SUURUUS Keskiarvojen ryhmävertailussa oletetaan hajonnan olevan samalla tasolla ryhmissä Oletuksen voimassaoloa voi testata Levenen testillä Kun testataan k kpl ryhmiä: H 0 : Ryhmien varianssit ovat yhtä suuret (s 1 2 = = s k2 ). H 1 : Ryhmien varianssit eivät ole yhtä suuret. Esim. pituusmuuttujan varianssit siviilisäätyryhmissä p = > 0.05, tämän tulkitaan tukevan varianssien yhtä suuruutta riskitasolla 0.05.

4 NORMAALIJAKAUMA A B C D n = 205 Vinous: 0.56 (0.17)* Huip.: (0.39) KS (p-arvo): SW (p-arvo): < n = 29 Vinous: (0.43) Huip.: (0.85) KS (p-arvo): > SW (p-arvo): n = 29 Vinous: 2.03 (0.43)* Huip.: 4.19 (0.85)* KS (p-arvo): < SW (p-arvo): < n = 209 Vinous: 0.92 (0.17)* Huip.: 6.19 (0.34)* KS (p-arvo): SW (p-arvo): < *Tunnusluku on tilastollisesti merkitsevä. Mikä jakaumista on normaalisti jakautunut? Mitä ongelmia löytyy muista jakaumista?

5 PERUSTESTEJÄ

6 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Ongelma: Ovatko kahden ryhmän perusjoukkojen keskiarvot yhtä suuret? Esim. Onko jyväskyläläisten miesten keskimääräinen kehon rasvaprosentti yhtä suuri kuin göteborgilaisten miesten? Riippumattomuus: Jokainen tutkittava on riippumaton mittaus toisista tutkittavista (miten tämä todennetaan?) Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : μ 1 = μ 2 Keskiarvot ovat yhtä suuret (μ 1 - μ 2 = 0) Vastahypoteesit (valitaan vain yksi tutk. kys. perusteella) H 1 : μ 1 μ 2 H 1 : μ 1 < μ 2 H 1 : μ 1 > μ 2 Keskiarvot eri suuret Ensimmäisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin toisen ryhmän Toisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin ensimmäisen ryhmän

7 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset: Muuttuja vähintään välimatka-asteikollinen Otos on riippumaton otos perusjoukosta (ts. se on satunnaisotos) ja tarkasteltavat kaksi ryhmää ovat riippumattomia toisistaan Muuttuja on likimain normaalijakautunut kummassakin perusjoukossa Perusjoukon varianssit ovat yhtä suuret. Jos ovat erisuuret, käytetään erilaista menettelyä kuin tässä esitellään. Riskitaso: Asetetaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)

8 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Johtopäätökset Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), nollahypoteesi hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea Esim. jos riskitasoksi asetetaan α = 0.05, hylätään nollahypoteesi, jos p-arvo on tätä pienempi.

9 Marko: Aineisto: Perusjoukko: Kolme muuttujaa: Tutkimuskysymys: Kaksi ryhmää (koe ja kontrolli), liikuntainterventio Uransa lopettaneet pohjoismaiset kilpaurheilijat Kävelynopeus (metri/sekunti) Polven ojennusvoima (Newton) Bergin tasapainotesti (summapistemäärä) 1) Onko ryhmien keskiarvoissa eroa perusjoukossa? Auttaako liikuntainterventio toimintakyvyn ylläpitämistä? 2) Onko keskiarvoeroja itsearvioidun terveyden suhteen (hyvä / keskinkertainen / huono). Käytetään kahden riippumattoman ryhmän t-testiä tutkimuskysymykseen 1. Polven ojennusvoiman testissä käytetään käytetään kahta muuttujaa; - Vastemuuttuja: polven ojennusvoima - Ryhmäindikaattori (koe- vs. kontrolliryhmä)

10 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Tutkimushypoteesi Interventioryhmässä polvenojennusvoima on keskimäärin korkeammalla tasolla kuin kontrolliryhmässä (μ 1 > μ 2 ) Markolla ei ole tietoa kumpaan suuntaan ero voisi esiintyä intervention seurauksena Aiheuttaako liikuntainterventio odottamattomia haittavaikutuksia? valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi Testaushypoteesit Nollahypoteesi: H 0 : μ 1 = μ 2 Vastahypoteesi: H 1 : μ 1 μ 2

11 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset Muuttuja on suhdeasteikollinen Koeasetelmassa otokset (ryhmät) ovat satunnaisotoksia ja riippumattomia toisistaan Normaalijakautuneisuus: ks. seuraava dia Varianssit oletetaan yhtä suuriksi (testaus myöhemmin) Riskitaso Valitaan testille 0.05, joka on yleisesti käytetty riskitaso tutkimuksessa.

12

13

14 Interventioryhmän keskiarvo (599, SD 106) oli tilastollisesti merkitsevästi korkeampi (t = -2.45, df = 50, p = 0.018) kuin koeryhmällä (518, SD 131). Koe- ja kontrolliryhmän välinen ero oli -81 N (95 % luottamusväli: -146, -15).

15 Taulukko 1. Keskiarvot, keskihajonnat (SD) ja ryhmävertailujen p-arvot koe- ja kontrolliryhmille. Koe (n = 25) Kontrolli (n = 27) Keskiarvo SD Keskiarvo SD p-arvo Polvenojennusvoima Tasapainotesti Kävelynopeus Huom. Jos Markon tarkoitus olisi ollut osoittaa, että interventio aiheuttaa parannuksen kaikissa kolmessa muuttujassa, olisi hän joutunut jakamaan riskitason näille muuttujille. Monitestaus: α Bonferroni = 0.05 / 3 = 1/ Tulosten taulukoinnista lisää: Ehrenberg ASC Rudiments of Numeracy. J R Stat Soc A: 140, Ehrenberg ASC The Problem of Numeracy. Am Stat: 35,

16 Data: järjestysast. Ei Kyllä Jatkuva, normaali Kyllä t-testi Ei Poikkeavia arvoja Kyllä Mediaani testi ks. luentomoniste Ei Mann-Whitney Valintakaavio: Kahden riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan vertailu Jäikö tulos vielä epävarmaksi: Selvitä antavatko eri testit samansuuntaisen tuloksen.

17 VARIANSSIANALYYSI Varianssianalyysillä ei testata varianssien yhtä suuruutta, vaan keskiarvojen yhtä suuruutta Yksisuuntaisessa varianssianalyysissä vertaillaan yhden jatkuvan muuttujan keskiarvoja toisen, luokittelevan muuttujan eri luokissa. Tällöin siis tarkastellaan yhden selitettävän muuttujan keskiarvojen (tasot) vaihtelua luokitteluasteikollisen selittävän muuttujan (käsittelyt) mukaan. Selitettävä muuttuja (esim. pituus, cm) jaetaan luokittelevan muuttujan (esim. koulutustausta, kolmiluokkainen muuttuja) perusteella ryhmiin ja keskiarvojen yhtä suuruutta tarkastellaan näissä ryhmissä

18 VARIANSSIANALYYSIN VAIHEET Olkoon vertailtavia ryhmiä k kpl Hypoteesit H 0 : 1 = 2 = = k (kaikkien ryhmien keskiarvot ovat yhtä suuret) H 1 : Ainakin yhden joukon keskiarvo poikkeaa muiden joukkojen keskiarvoista Oletukset 1) selitettävä muuttuja vähintään välimatkaasteikollinen 2) perusjoukkojen jakaumat normaaliset 3) perusjoukkojen varianssit yhtä suuret 4) perusjoukoista poimittujen otosten täytyy olla toisistaan riippumattomia [5) ryhmät yhtä suuria]

19 VARIANSSIHAJOTELMA Varianssianalyysissä vertaillaan ryhmien välistä vaihtelua ryhmien sisäiseen vaihteluun varianssien kaltaisilla neliösummilla Ryhmien välinen vaihtelu (SS b ) kertoo siitä, kuinka paljon ryhmittelevä muuttuja selittää ryhmien välisiä keskiarvoeroja (ts. miten erilaisia ryhmät ovat). Ryhmien sisäinen vaihtelu (SS w ) kertoo ryhmän sisällä olevan vaihtelun määrää (miten erilaisia ovat ryhmän tutkittavat keskenään). Kokonaisvaihteluksi saadaan: SS TOTAL = SS b + SS w Testisuure F lasketaan neliösummien pohjalta ja se kertoo keskimääräisestä ryhmien välisestä vaihtelusta suhteessa ryhmien sisäiseen vaihteluun

20 VARIANSSIANALYYSI Riskitaso: Riskitaso α asetetaan kuten muissa keskiarvotesteissä. Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea Jos nollahypoteesi hylätään testin tuloksena, voidaan selvittää keskiarvoparien välisten erojen merkitsevyyttä parittaisilla ryhmävertailutestillä

21 PARITTAISET RYHMÄVERTAILUT Varianssianalyysin merkitsevä tulos kertoo, että ainakin yhden ryhmäparin keskiarvoero on merkitsevä Parittaisia vertailuja ei yleensä tehdä t-testeinä, koska todennäköisyys löytää sattumanvarainen merkitsevä ero ainakin yhdessä keskiarvoparissa kasvaa liian suureksi Varianssianalyysin yhteydessä: parittaisia keskiarvovertailuja on sallittua käyttää vasta, kun varianssianalyysin nollahypoteesi hylätään H 0 : μ i = μ j, i =1,, k; j = 1,, k; i j Erilaisia menetelmiä (SPSS: 18 kpl) Varianssit yhtä suuret: LSD, Tukey, Scheffe, Bonferroni Varianssit eivät yhtä suuret: Tamhane T2 Lisää ks. Toothaker, 1991

22 Marko: Aineisto: Perusjoukko: Kolme muuttujaa: Tutkimuskysymys: Kaksi ryhmää (koe ja kontrolli), liikuntainterventio Uransa lopettaneet pohjoismaiset kilpaurheilijat Kävelynopeus (metri/sekunti) Polven ojennusvoima (Newton) Bergin tasapainotesti (summapistemäärä) 1) Onko ryhmien keskiarvoissa eroa perusjoukossa? Auttaako liikuntainterventio toimintakyvyn ylläpitämistä? 2) Onko keskiarvoeroja itsearvioidun terveyden suhteen (hyvä / keskinkertainen / huono). Käytetään varianssianalyysiä tutkimuskysymykseen 2. Polven ojennusvoiman testissä käytetään kahta muuttujaa; - Vastemuuttuja: polven ojennusvoima - Ryhmäindikaattori: itsearvioitu terveys

23 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Tutkimushypoteesi Itsearvioidun terveyden ryhmissä polvenojennusvoima on korkeampi paremman terveyden ryhmissä (μ 1 > μ 2 > μ 3 ) Markolla ei ole tietoa, onko näin Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi Testaushypoteesit Nollahypoteesi: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 Vastahypoteesi: H 1 : Vähintään yhden ryhmäparin keskiarvoissa on eroa μ 1 μ 2 = μ 3 μ 1 = μ 2 μ 3 μ 1 μ 2 μ 3

24 Polven ojennusvoimassa normaalijakautuneisuus. Varianssit yhtä suuria. Ei eroja η 2 = / = Selitysaste Itsearvioitu terveys Selittää noin 5.5 % polven ojennusvoiman vaihtelusta.

25 Kävelynopeudessa normaalijakautuneisuus. Varianssit yhtä suuria. On eroja η 2 = / = Selitysaste Itsearvioitu terveys Selittää noin 17.7 % kävelynopeuden vaihtelusta. Ero näkyy hyvän terveyden keskiarvon osalta suhteessa heikkoon (p = 0.034) ja keskinkertaiseen (p = 0.013).

26 Taulukko 2. Keskiarvot, keskihajonnat (SD) ja ryhmävertailujen p-arvot itse arvioidun terveyden ryhmissä. Heikko Keskinkertainen Hyvä Keskiarvo SD Keskiarvo SD Keskiarvo SD p-arvo (ANOVA) Polvenojennusvoima Kävelynopeus Tasapainotesti Hyvä eroaa tilastollisesti merkitsevästi (p < 0.05) heikosta ja keskinkertasesta.

27 Kyllä Data: järjestysast. Ei Jatkuva, normaali Kyllä Yhtä suuret varianssit Kyllä Varianssianalyysi Ei Suuria poikkeavia arvoja Ei Ei Kruskal- Wallis Ei Brown-Forsythe Welsh Kyllä Mediaani testi Valintakaavio: Kolmen tai useamman riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan vertailu

28 RIIPPUVUUS Korrelaatiokertoimen merkitsevyystestaus Ongelma: Onko korrelaatiokertoimen arvo nollasta poikkeava perusjoukossa? Hypoteesit: Nollahypoteesi H 0 : ρ = 0 Muuttujat ovat riippumattomia Vastahypoteesi (valitaan vain yksi) H 1 : ρ 0 H 1 : ρ < 0 H 1 : ρ > 0 Muuttujat riippuvat toisistaan Muuttujien välillä on negatiivinen korrelaatio Muuttujien välillä on positiivinen korrelaatio

29 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Oletukset: Muuttujat vähintään järjestysasteikollisia Riippumaton otos perusjoukosta (Jatkuvat) muuttujat ovat likimain normaalijakautuneet perusjoukossa Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)

30 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Testisuure: lasketaan korrelaatiokertoimen, r, ja otoskoon, n, avulla: t r r n r / n 2 1 r ~ t(df) Vapausasteet: lasketaan otoskoon avulla: df = n 2

31 KORRELAATIOKERTOIMEN MERKITSEVYYSTESTAUS Johtopäätökset Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), katsotaan testin puoltavan nollahypoteesin hylkäämistä. Tällöin vastahypoteesi selittää tutkittavan ilmiön paremmin ja se astuu voimaan. Muuttujien välillä sanotaan silloin olevan riippuvuutta. Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea. Tällöin muuttujia pidetään toisistaan riippumattomia.

32 ESIMERKKI Sari: Aineisto: Ryhmä naisia, tutkimus on osa geneettistä analyysia Kolme muuttujaa: Kehon painoindeksi (kg/m 2 ) Fyysinen aktiivisuus (MET, energiankulutus suhteessa lepotilaan) Kävelynopeus (m/s) Tutkimuskysymys: Onko painoindeksin, fyysisen aktiivisuuden määrän ja kävelynopeuden välillä riippuvuutta? Käytetään korrelaatiokerrointa kehon painoindeksin ja kävelynopeuden välisen riippuvuuden tarkastelemiseksi. Tarkastelussa käytetään kahta muuttujaa; - Kehon painoindeksi - Kävelynopeus

33 ESIMERKKI Testaushypoteesit: H 0 : ρ = 0 Muuttujat ovat riippumattomia H 1 : ρ 0 Muuttujat riippuvat toisistaan Oletukset: Muuttujat ovat jatkuvia Riippumaton otos perusjoukosta Normaalijakautuneisuus

34 Lineaarisuus Normaalijakautuneisuus Statistic Std.Error Skew: 0.50 (0.13) Kurtosis: 0.99 (0.25) Statistic Std.Error Skew: (0.13) Kurtosis: (0.25) LOESS Regressiosuora Valitaan korrelaatiotarkastelun riskitasoksi 0.05.

35 p < (Tarkka p-arvo: ) Nollahypoteesi hylätään ja kävelynopeuden ja kehon painoindeksin välillä sanotaan olevan kohtalaista negatiivista riippuvuutta. Raportointi: Kävelynopeuden ja kehonpainoindeksin välillä havaittiin kohtalainen negatiivinen riippuvuus (r = -0.30, p < 0.001). Walking speed and body mass index were moderately negatively correlated (r = -0.30, p < 0.001). Useamman muuttujaparien tilanteessa raportoidaan korrelaatiomatriisi.

36 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Ongelma: Onko kahden vähintään luokitusasteikollisen muuttujan välinen riippuvuus tilastollisesti merkitsevää? Nollahypoteesinmukaisessa tilanteessa mm. rivijakaumat ovat samanlaiset. x 1 x 2 x 3 y 1 f 11 f 12 f 13 y 2 f 21 f 22 f 23 Hypoteesit H 0 : f ij = e ij eli muuttujat ovat riippumattomia H 1 : f ij e ij eli muuttujat riippuvat toisistaan

37 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Oletukset Muuttujat ovat vähintään luokitusasteikollisia. Otos on satunnaisotos. Kaikki odotetut frekvenssit ovat suurempia kuin 1. Korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä on arvoltaan pienempiä kuin 5. Riskitaso Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001).

38 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Johtopäätökset Jos p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), niin nollahypoteesi ei saa tukea ja se hylätään. Tällöin sanotaan, että muuttujien välillä on riippuvuutta. Jos p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesia ei voida hylätä ja sanotaan, että muuttujien välillä ei ole riippuvuutta.

39 ESIMERKKI Haluttiin selvittää oliko alkumittauksessa mitattu tutkittavien oma arvio terveydentilastaan yhteydessä seurannan loppuun mennessä havaittuun kuolleisuuteen 75-vuotiailla jyväskyläläisillä Terveydentila: (1 = hyvä, 2 = tyydyttävä, 3 = huono) Kuolleisuus: (0 = kuollut, 1 = elossa) Hypoteesit Kuten edellä esitettiin. Valitaan vastahypoteesi kaksisuuntaiseksi Oletukset Muuttujat ovat luokitusasteikollisia. Kyseessä on satunnaisotos. Tarkastetaan frekvenssioletukset myöhemmin Riskitaso Valitaan riskitasoksi 0.05.

40 Χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI (5) Nähdään, että pienin odotettu frekvenssi on 18.2, joten frekvenssioletukset ovat kunnossa.

41 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI (6) Nollahypoteesi ei saa tukea, koska p < Tulkinta: Seurannan päättyessä elossa olleet arvioivat alkumittauksen terveytensä paremmaksi (p < 0.001).