RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja:

Transkriptio

1 RISKITASO Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Käytettyjä riskitasoja: α= 0.05, jos p< α: melkein merkitsevä (*) α= 0.01, jos p< α: merkitsevä (**) α= 0.001, jos p< α: erittäin merkitsevä (***)

2 P-ARVO Esim. todennäköisyys havaita itseisarvoltaan yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo, joka on otoksesta laskettiin Suuret p-arvot tukevat nollahypoteesia Pienet p-arvot tukevat nollahypoteesin hylkäämistä ja vastahypoteesi saa tukea Yksisuuntaisen testauksen p-arvo on puolet kaksisuuntaisen testauksen p-arvosta P-arvon otsikkona SPSS-tulosteissa on usein Sig (lyhenne sanasta significance)

3 P-ARVON TULKINTA p-arvoa tulkitaan suhteessa riskitasoon (α) Jos p< α, hylätään nollahypoteesi testin tuloksena. Jos p> α, jää nollahypoteesi testin perusteella voimaan.

4 OLETUKSET Tilastollisessa testauksessa hyödynnetään matemaattisesti teoreettisia otantajakaumia Mm. mitta-asteikosta ja aineiston ominaispiirteistä johtuen muuttujat soveltuvat testeille eri tavoin Jotta testauksen tulos olisi mielekkäästi tulkittavissa, tulee aineiston täyttää (pääosin) testin oletukset Esim. keskiarvotesteissä oletetaan yleensä muuttuja normaalijakautuneeksi ja, jos tarkastellaan ryhmiä, ryhmien hajonnan tulisi olla samalla suuruusluokalla Jos testin oletukset eivät täyty, voidaan testausta suorittaa jollain vaihtoehtoisella testillä (epäparametriset testit) tai käyttää sopivaa muunnosfunktiota, jolla aineisto saadaan testin oletuksille sopivaksi

5 NORMAALIJAKAUTUNEISUUS 1. Tarkastele kuvaajia (histogrammi ja kvantiilikuviot) 2. Tarkasta vinous- ja huipukkuusarvot (< 2, normaalijak.) 3. Tee vinouden ja huipukkuudentestit (g / s.e.[g]) 4. Tee tilastollinen testi (Shapiro-Wilk; Kolmogorov- Smirnov) (5. Vertaa epäparametrisen testin tulokseen) (6. Käytä simulaatiota) HUOM. Kun vertaillaan ryhmiä esim. keskiarvotestejä varten, tulisi normaalijakautuneisuus varmistaa kullekin ryhmälle erikseen eikä muuttujan kokonaisjakaumalle

6 Molemmat merkitseviä ja arvoltaan > 2 Molemmat merkitseviä, mutta arvoltaan < 2

7 HISTOGRAMMI Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kuulokynnysmuuttujalle Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kolesterolimuuttujalle

8 HISTOGRAMMI Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kuulokynnysmuuttujalle Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten histogrammi kolesterolimuuttujalle

9 KVANTIILIKUVIO(Q-Q PLOT) Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja

10 DETRENDED Q-Q PLOT Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja

11 BOX PLOT Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kuulokynnysmuuttuja Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolimuuttuja

12 NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti jakautunut. Jos muuttuja on normaalisti jakautunut testin p-arvo (Sig.) on suuri, suurempi kuin valittu riskitaso, esim Kolmogorov-Smirnovin testiä käytetään usein kun n > 50. Huom. Testin merkitsevyyteen vaikuttaa myös otoskoko: Suuremmissa otoksissa pienikin jakauman poikkeavuus aiheuttaa tilastollisesti merkitsevän tuloksen

13 VARIANSSIEN YHTÄ SUURUUS Keskiarvojen ryhmävertailussa oletetaan hajonnan olevan samalla tasolla ryhmissä Oletuksen voimassaoloa voi testata Levenen testillä Kun testataan k kpl ryhmiä: H 0 : Ryhmien varianssit ovat yhtä suuret (s 12 = = s k2 ). H 1 : Ryhmien varianssit eivät ole yhtä suuret. Esim. pituusmuuttujan varianssit siviilisäätyryhmissä p= > 0.05, joten variansseja voi pitää yhtä suurina riskitasolla 0.05.

14 MUUT VAIHEET Riskitason valinta suoritetaan tutkimuskysymyksen perusteella, ei otostiedon pohjalta Tämän jälkeen voidaan laskea testisuureen arvo ja määrittää p-arvo, jonka pohjalta nollahypoteesin hyväksytään tai hylätään testin perusteella Lopuksi tulokset raportoidaan Näitä asioita tarkastellaan lähemmin eri testien yhteydessä

15 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Ongelma: Onko kahden vähintään luokitusasteikollisen muuttujan välinen riippuvuus tilastollisesti merkitsevää? Nollahypoteesinmukaisessa tilanteessa mm. rivijakaumat ovat samanlaiset. x 1 x 2 x 3 y 1 f 11 f 12 f 13 y 2 f 21 f 22 f 23 Hypoteesit H 0 : f ij = e ij H 1 : f ij e ij eli muuttujat ovat riippumattomia eli muuttujat riippuvat toisistaan

16 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Oletukset Muuttujat ovat vähintään luokitusasteikollisia. Otos on satunnaisotos. Kaikki odotetut frekvenssit ovat suurempia kuin 1. Korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä on arvoltaan pienempiä kuin 5. Riskitaso Valitaan sopiva α-taso(0.05 / 0.01 / 0.001). Testisuure Lasketaan kuten aikaisemmin esitettiin (ks. Riippuvuus)

17 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI Johtopäätökset Jos p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), niin nollahypoteesi ei saa tukea ja se hylätään. Tällöin sanotaan, että muuttujien välillä on riippuvuutta. Jos p-arvo on suurempi kuin riskitaso(p> α), nollahypoteesia ei voida hylätä ja sanotaan, että muuttujien välillä ei ole riippuvuutta.

18 ESIMERKKI Haluttiin selvittää oliko alkumittauksessa mitattu tutkittavien oma arvio terveydentilastaan yhteydessä seurannan loppuun mennessä havaittuun kuolleisuuteen 75-vuotiailla jyväskyläläisillä Terveydentila: 1 = hyvä, 2 = tyydyttävä, 3 = huono Kuolleisuus: 0 = kuollut, 1 = elossa Hypoteesit Kuten edellä esitettiin. Valitaan vastahypoteesi kaksisuuntaiseksi Oletukset Muuttujat ovat luokitusasteikollisia. Kyseessä on satunnaisotos. Tarkastetaan frekvenssioletus myöhemmin Riskitaso Valitaan riskitasoksi 0.05.

19 Χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI(5) Nähdään, että pienin odotettu frekvenssi on 18.2, joten frekvenssioletukset ovat kunnossa.

20 χ 2 -RIIPPUMATTOMUUSTESTI(6) Nollahypoteesi ei jää voimaan, koska p< 0.05.

21 JÄÄNNÖKSET Jäännös Usein hankala tulkita Standardoitu jäännös = ( ) = Rivi: i= 1,, g Sarake: j= 1,, h Jos itseisarvo r (S)ij 1.96 ~ 2, merkittävä kontribuutio riippuvuuteen Tällaisia soluja ei aina löydy, vaikka χ 2 olisi merkitsevä Adjustoitu jäännös () = Jos itseisarvo r (A)ij 1.96 ~ 2, merkittävä kontribuutio riippuvuuteen

22 Jäännökset (Residual): suhteellinen tulkinta (suurempi vs. pienempi). Standardoidut jäännökset (Std. Residual): heikon terveyden ryhmässä itseisarvo > 2. Adjustoidut jäännökset (Adjusted Residual): hyvä vs. huono

23 TESTAUKSEN YHTEENVETO Testaushypoteesit: mitä testataan? Nollahypoteesi (ja vastahypoteesi) Oletukset: sopiiko testi aineistolle? Satunnaisotanta, normaalijakautuneisuus jne. Riskitaso: millä tasolla tulkitaan p-arvoa? α= 0.05, 0.01 tai p-arvo: testin tulos nollahypoteesin suhteen Jos p> α, nollahypoteesi jää voimaan Jos p< α, nollahypoteesi hylätään

24 KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen empiirisen jakauman esittäminen Frekvenssijakauma Luokittelu Kuviot Tunnusluvut Kaksiulotteisen jakauman esittäminen ja riippuvuus Ristiintaulukko ja kuviot Riippuvuuden tunnusluvut Vähän todennäköisyydestä Otantajakauma Tilastollinen päätöksenteko Estimointi Hypoteesien testaus Perustestejä Keskiarvotestit, varianssianalyysit Riippuvuuden testit

25 KESKIARVOTESTIT Yhden otoksen keskiarvon testaus Ongelma: Onko perusjoukon keskiarvo sama kuin vertailuarvo? Esim. Poikkeaako jyväskyläläisten miesten kokonaiskolesterolin keskimääräinen arvo merkitsevästi arvosta 5 mmol/l? Hypoteesit: H 0 : µ= µ 0 H 1 : µ µ 0 tai H 1 : µ< µ 0 H 1 : µ> µ 0 Otoksesta laskettu keskiarvo on vertailuarvon suuruinen Keskiarvo poikkeaa vertailuarvosta Keskiarvo on pienempi kuin vertailuarvo Keskiarvo on suurempi kuin vertailuarvo

26 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Oletukset: Muuttuja vähintään välimatka-asteikollinen Otos on riippumaton otos perusjoukosta (ts. se on satunnaisotos) Muuttuja on likimain normaalijakautunut perusjoukossa Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)

27 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Testisuure: perusjoukon keskihajonta tiedetään tai n> 30 standardoitu normaalijakauma, ks. luentomoniste, liite. yleisemmin keskihajontaa ei tiedetä (lasketaan otoksesta) ja / tai n < 30; käytetään Studentin t-jakaumaa: Vapausasteet: t x µ 0 s/ n = ~ t(df) lasketaan otoskoon avulla: df= n-1 x µ 0 s n Otoskeskiarvo Vertailuarvo Otoskeskihajonta Otoskoko

28 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p < α), katsotaan testin puoltavan nollahypoteesin hylkäämistä. Tällöin vastahypoteesi selittää tutkittavan ilmiön paremmin ja se astuu voimaan. Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesia ei hylätä.

29 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Esimerkki Haluttiin tarkastaa yleisen uimarannan bakteeripitoisuus. Bakteerikanta ei saisi ylittää 200 yksikköä. Otettiin satunnaisista paikoista 10 vesinäytettä, joiden bakteeripitoisuuden keskiarvo oli yksikköä ja keskihajonta Onko uimarannan vesi riittävän puhdasta? Hypoteesit Valitaan yksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tämän asian kannalta ei ole merkitystä, jos bakteerikanta on yli 200 yks.: H 0 : µ= 200 H 1 : µ< 200

30 YHDEN OTOKSEN KESKIARVON TESTAUS Oletukset Muuttuja on suhdeasteikollinen Mittauspaikat on valittu satunnaisesti Normaalijakautuneisuus oletetaan voimassa olevaksi (data ei ole saatavilla, joten oletetaan olevan voimassa) Riskitaso Valitaan 0.05, sillä asialla on suhteellisen vakavat seuraukset Testisuure = x s/ µ df= 10 1 = 9 Johtopäätös t p= n 0 = = / Keskiarvo ei ole alle 200, sillä p> 0.05, ja veden bakteeripitoisuutta voidaan siis pitää hälyttävänä.

31 TESTIN JA LUOTTAMUSVÄLIN YHTEYS Aikaisempien tutkimusten perusteella määritettiin painon keskiarvoksi 75-vuotiaiden jyväskyläläisille miehille 74 kg. Uudesta otoksesta lasketaan painon keskiarvoksi vastaavassa otoksessa 80 kg (keskihajonta 10 kg). Jos n= % luottamusväli keskiarvolle [78.04, 81.96]; 74 ei sijaitse välillä, joten merkitsevä ero suhteessa vertailuarvoon riskitasolla 0.05 Testi H 0 : µ= 74, p< 0.001: nollahypoteesi hylätään, joten merkitsevä ero suhteessa vertailuarvoon

32 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Ongelma: Ovatko kahden ryhmän perusjoukkojen keskiarvot yhtä suuret? Esim. Onko jyväskyläläisten miesten keskimääräinen kehon rasvaprosentti yhtä suuri kuin göteborgilaisten miesten? Hypoteesit: H 0 : µ 1 = µ 2 Keskiarvot ovat yhtä suuret (µ 1 -µ 2 = 0) H 1 : µ 1 µ 2 tai H 1 : µ 1 < µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Keskiarvot eri suuret Ensimmäisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin toisen ryhmän Toisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin ensimmäisen ryhmän

33 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset: Muuttuja vähintään välimatka-asteikollinen Otos on riippumaton otos perusjoukosta (ts. se on satunnaisotos) ja tarkasteltavat kaksi ryhmää ovat riippumattomia toisistaan Muuttuja on likimain normaalijakautunut kummassakin perusjoukossa Perusjoukon varianssit ovat yhtä suuret. Jos ovat erisuuret, käytetään erilaista menettelyä kuin tässä esitellään. Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)

34 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Testisuure: Lasketaan yhteinen varianssiestimaatti s 2 s = ( n 1 2 1) s1 + ( n2 1) s n + n Sitten keskiarvojen erotuksen t-testisuure: t 1 2 = ~ t(df) s/ x 1 /n + 1/n 1 x Vapausasteet: lasketaan otoskokojen avulla: df= n 1 + n 2-2 2

35 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p> α), nollahypoteesi saa tukea Esim. jos riskitaso on α= 0.05, hylätään nollahypoteesi, jos p-arvo on tätä pienempi.

36 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Esimerkki Tarkastellaan kehon rasvatonta painoa 75- vuotiailla jyväskyläläisillä ja göteborgilaisilla miehillä. Molemmista perusjoukoista on kerätty satunnaisotos ja havaittiin: Hypoteesit jyväskyläläiset: n 1 = 104, x 1 = (s 1 = 6.35) göteborgilaiset: n 2 = 118, x 2 = (s 2 = 6.43) Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tuloksen suunnasta ei ole tietoa: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2

37 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Oletukset Muuttuja on suhdeasteikollinen Otokset satunnaisotoksia ja riippumattomia toisistaan Normaalijakautuneisuus: KS-testin perusteella havaitaan: Kolmogorov-Smirnov Paikkakunta Statistic df Sig. NC2618 Kehon 1 Jyväskylä, ,101 rasvaton paino 2 Göteborg, ,200* Varianssit oletetaan yhtä suuriksi (testauksesta myöhemmin) Riskitaso Valitaan 0.05, joka on yleisesti käytetty riskitaso tutkimuksessa.

38 Kahden riippumattoman otoksen keskiarvojen vertailu Testisuure s = ( n 2 1) s1 ( n2 1) s n + n 2 2 (104 1)6.35 (118 1) = = t = s/ x x 1/n1 + 1/n / / = = = 2.26 df= = 220 p= Johtopäätös Nollahypoteesi hylätään, koska p< 0.05, ja sanotaan, että kehon rasvattoman painon keskiarvot eroavat toisistaan.

39 Normaalijakautuneisuus ryhmittäin

40 H 0 : Muuttuja on normaalistijakautunut.

41 Esim. suhteellisen tarkka 95 % luottamusväli: ± H 0 : s 12 = s 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 Jyväskyläläisten ja göteborgilaisten miesten ryhmien variansseja voitiin pitää yhtä suurina (p = 0.979). Paikkakuntien välillä keskimääräinen rasvaton kehonpaino oli göteborgilaisilla miehillä n. 2 kg korkeampi kuin jyväskyläläisillä miehillä (t= -2.26, df= 220, p= 0.025).

42 RAPORTOINTI Table 1. Means, standard deviations(sd) and group comparisonp-valuesfor 75-year-old menlivingin Jyväskylä and Göteborg in Jyväskylä (n = 103) Göteborg (n = 116) Mean SD Mean SD p-value Lean body mass Glucose Waist girth Diastolic blood pressure HUOM. Puuttuvien tietojen käsittely: listwise-poisto.

43 VARIANSSIANALYYSI Varianssianalyysillä ei testata varianssien yhtä suuruutta Varianssianalyysillä yleisenä käsitteenä viitataan erityyppisiin keskiarvojenvertailujen analyyseihin Yksisuuntaisessa varianssianalyysissä vertaillaan yhden jatkuvan muuttujan keskiarvoja toisen, luokittelevan muuttujan eri luokissa. Tällöin siis tarkastellaan yhden selitettävän muuttujan keskiarvojen (tasot) vaihtelua luokitteluasteikollisen selittävän muuttujan (käsittelyt) mukaan. Selitettävä muuttuja (esim. pituus, cm) jaetaan luokittelevan muuttujan (esim. koulutustausta, kolmiluokkainen muuttuja) perusteella ryhmiin ja keskiarvojen yhtä suuruutta tarkastellaan näissä ryhmissä

44 VARIANSSIANALYYSIN VAIHEET Olkoon vertailtavia ryhmiä k kpl Hypoteesit: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k (kaikkien ryhmien keskiarvot ovat yhtä suuret) H 1 : Vähintäänyhden ryhmän keskiarvo poikkeaa muiden ryhmien keskiarvoista Oletukset: 1) selitettävä muuttuja vähintään välimatkaasteikollinen 2) perusjoukkojen jakaumat normaaliset 3) perusjoukkojen varianssit yhtä suuret 4) perusjoukoista poimittujen otosten täytyy olla toisistaan riippumattomia [5) ryhmät yhtä suuria]

45 VARIANSSIHAJOTELMA Varianssianalyysissä vertaillaan ryhmien välistä vaihtelua ryhmien sisäiseenvaihteluun varianssien kaltaisilla neliösummilla Ryhmien välinen vaihtelu (Between, SS b ) kertoo siitä, kuinka paljon ryhmittelevä muuttuja selittää ryhmien välisiä keskiarvoeroja. Ryhmien sisäinen vaihtelu (Within, SS w ) kertoo ryhmän sisällä olevan vaihtelun määrää, jota ei pystytä selittämään ryhmittelevällä muuttujalla. Kokonaisvaihteluksi saadaan: SS TOTAL = SS b + SS w Testisuure Flasketaan neliösummien pohjalta keskimääräinen ryhmien välinen vaihtelu suhteessa ryhmien sisäiseen vaihteluun

46 VARIANSSIANALYYSI Riskitaso ja kriittinen alue:riskitaso αvalitaan kuten muissa keskiarvotesteissä. Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p > α), nollahypoteesi saa tukea Jos nollahypoteesi hylätään testin tuloksena, voidaan selvittää keskiarvoparien välisten erojen merkitsevyyttä parittaisilla ryhmävertailutestillä

47 PARITTAISET RYHMÄVERTAILUT Varianssianalyysin merkitsevä tulos kertoo, että ainakin yhden ryhmäparin keskiarvoero on merkitsevä Parittaisiavertailuja ei yleensä tehdä t-testeinä, koska todennäköisyys löytää sattumanvarainen merkitsevä ero ainakin yhdessä keskiarvoparissa kasvaa Varianssianalyysin yhteydessä: parittaisia keskiarvovertailuja on sallittua käyttää vasta, kun varianssianalyysin nollahypoteesi hylätään H 0 : µ i = µ j, i=1,, k; j= 1,, k; i j H 1 :µ i µ j Erilaisia menetelmiä Varianssit yhtä suuret: LSD, Tukey, Scheffe, Bonferroni Varianssit eivät yhtä suuret: TamhaneT2 Lisää ks. Toothaker, 1991

48 ESIMERKKI Tutkija selvittää eri kävelykyvyn suhdetta kehon rasvaprosentin tasoon Rasvaprosentti on jatkuva muuttuja Kävelykykymuuttuja on tutkittavan arvio kyvystä kävellä ulkona huonolla säällä Ei vaikeuksia (1) Kävelee aikaisempaa hitaammin (2) On vaikeuksia tai ei kykene (3) Tarkasteltavina ovat jyväskyläläiset 75-vuotiaat naiset

49

50 Normaalijakautuneisuus oli voimassa ja varianssit voidaan olettaa yhtä suuriksi (p = 0.552). Ryhmien rasvaprosenttikeskiarvoissa on ero / eroja (p= 0.028). η 2 = / = (n. 3.7 %) Kävelykyky selitti rasvaprosentin vaihtelusta n. 3.7 %. Parittaiset vertailut osoittavat vain kävelykyvyn ääripäiden välillä olevan merkitsevää eroa (p= 0.029).

51 Kahden riippuvan otoksen keskiarvojen vertailu Ongelma: Ovatko kahden ryhmän perusjoukkojen keskiarvot yhtä suuret, kun ryhmien välillä on riippuvuutta? Esim. Onko jyväskyläläisten miesten keskimääräinen kehon rasvaprosentti yhtä suuri 75 vuotiaana kuin 80 vuotiaana? Hypoteesit: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 tai H 1 : µ 1 < µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 pienempi Keskiarvot ovat yhtä suuret Keskiarvot eri suuret Ensimmäisen ryhmän keskiarvo on pienempi kuin toisen ryhmän Toisen ryhmän keskiarvo on kuin ensimmäisen ryhmän

52 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Riippuvuus Riippuvuutta voi otosten välillä aiheuttaa seuranta-asetelma (alku-vs. seurantamittaukset), kaksosasetelma (kaksosparien vertailu) Esim. seurantatilanteessa voidaan merkitä esim. kehon rasvaprosenttia alkumittauksessa (X) ja seurantamittauksessa (Y) Oletukset: Muuttuja on vähintään välimatka-asteikollinen Havaintoparit riippumaton otos perusjoukosta Vastinparien erotus (d i = x i y i ) on perusjoukossa normaalisti jakautunut (erotusmuuttujaa D voidaan testata esim. KStestillä) Riskitaso: Valitaan sopiva α-taso (0.05 / 0.01 / 0.001)

53 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Testisuure: Lasketaan erotusten d i keskiarvo ja keskihajonta: d n d i = =1 n i s d = n i= 1 ( di d ) n 1 2 Sitten keskiarvojen erotuksen t-testisuure: t s d d = ~ t(df) / n Vapausasteet: lasketaan otoskoon avulla: df= n 1

54 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Johtopäätökset: Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on pienempi kuin riskitaso (p< α), nollahypoteesin hylätään ja vastahypoteesi astuu voimaan Jos testisuureeseen liittyvä p-arvo on suurempi kuin riskitaso (p> α), nollahypoteesi saa tukea

55 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Esimerkki Lääketehdas on tuottanut kaksi unilääkettä UNI1 ja UNI2. Nyt halutaan tietää kumpi lääke antaa pidemmän unen. Valitaan satunnaisotannallakoehenkilöt, jotka ottavat molempia uni-lääkkeitä ja kertovat unen pituuden. Aineiston perusteella tarkastellaan, onko unilääkkeillä eroa saavutetun nukkumisajan suhteen. Kh UNI1 UNI Yhteensä Keskiarvo

56 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Unimäärä (tuntia) Keskiarvo UNI1 UNI

57 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Hypoteesit Valitaan kaksisuuntainen vastahypoteesi, sillä tuloksen suunnasta ei ole ennakkotietoa: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Oletukset Satunnaisotos ja suhdeasteikollinen muuttuja Erotusten jakauma on normaali KS-testillä Kolmogorov-Smirnov testattuna: Statistic df Sig. Riskitaso D,178 10,200* Valitaan α = 0.05, koska seuraukset eivät ole vakavat.

58 KAHDEN RIIPPUVAN OTOKSEN KESKIARVOJEN VERTAILU Testisuure s d t = = = s/ d ( 5) d n 2 i ( d n n 1 2 = = 1.08/ 10 = 1.46 Johtopäätös: Nollahypoteesi jää voimaan, sillä p> i ) p= Kh UNI1 UNI2 d i d 2 i Yhteensä Keskiarvo

59 H 0 : Muuttuja on normaalistijakautunut.

60 H 0 : ρ= 0 H 0 : µ 1 = µ 2