Pallomaisen epähomogeenisuuden geosähköinen kenttä Kelvinin inversiolla

Transkriptio

1 Pallomaisen epähomogeenisuuden geosähköinen kenttä Kelvinin inversiolla E. Eloranta ja J.J. Hänninen Säteilyturvakeskus, Teknillinen korkeakoulu, sähkömagnetiikan laboratorio Abstract Spherical inhomogeneities form one important class of Earth models because they can in many cases be solved analytically. In the paper the Kelvin inversion (transformation) is revisited in the context of geoelectrical imaging. We present solutions to the perfect electric conductor (PEC) and perfect magnetic conductor (PMC) problems in which there is a point-like current source in the vicinity of the sphere. The PEC solution is the classical one presented in many elementary textbooks on electromagnetics. The PMC solution is, however, not so widely known. The solutions can be yielded by image principle.. JOHDANTO Geosähköisen kuvantamisen kannalta on oleellista pystyä ratkaisemaan erilaisten epähomogeenisuuksien aikaansaamia potentiaali- ja sähkökenttiä. Pallomaiset epähomogeenisuudet muodostavat edelleen tärkeän ryhmän maankamaraa kuvaavien rakenteiden joukossa, koska pallomaiselle geometrialle voidaan usein esittää tarkka analyyttinen ratkaisu. Perusprobleemina on seuraavassa pallomainen epähomogeenisuus pistelähteen kentässä kokoavaruudessa. Tarkastelemme kahta ääritapausta. Ensimmäisessä tapauksessa pallomainen epähomogeenisuus vastaa äärettömän hyvää sähkönjohdetta, ns. täydellistä sähköistä johdetta, perfect electric conductor eli PEC, jonka sähköinen permittiivisyys on ääretön tai jonka magneettinen permeabiliteetti on nolla. Toinen tapaus koskee äärettömän resistiivistä epähomogeenisuutta, ns. täydellistä magneettijohdetta, perfect magnetic conductor eli PMC, jonka sähköinen permittiivisyys on nolla tai magneettinen permeabiliteetti on ääretön. Ratkaisut saadaan kuvalähdeperiaatetta käyttäen.. KELVININ INVERSIORATKAISU Kuvalähdeperiaatteen ideana on korvata rajapinnat sopivilla peili- eli kuvalähteillä, jotka yhdessä alkuperäisen lähteen kanssa tuottavat oikeat reunaehdot toteuttavat kentät. Alkuperäisessä muodossa Kelvinin inversio koskee nollapotentiaalissa olevan johdepallon ulkopuolisen kentän määrittämistä, kun johdepallo sijaitsee tyhjiössä olevan pistemäisen lähteen (varauksen) kentässä. Käyttämällä eri fysikaalisten kenttien välistä duaalisuutta (analogiaa) voidaan pistevaraus 9

2 korvata pistemäisellä virtalähteellä ja tyhjiön permittiivisyys palloa ympäröivän aineen sähkönjohtavuudella. Sijoittamalla vielä pallon keskipisteeseen lisäkuvavirtalähde voidaan ratkaista mielivaltaisessa vakiopotentiaalissa olevan pallon tilanne. Kelvin-kuvalähteen sijainti (c) määräytyy pallon säteen (a) sekä pallon ulkopuolisen pistelähteen ja pallon keskipisteen välisen etäisyyden (b) perusteella. Lisäksi kuvalähteen voimakkuus voidaan ilmaista alkuperäisen virtalähteen voimakkuuden sekä parametrien a ja b avulla (kuva ). Tämä Kelvin-ratkaisu koskee PEC-palloa. Myös äärettömän resistiiviselle pallolle pistelähteen kentässä voidaan konstruoida Kelvinin kuvalähdeperiaatetta käyttäen tarkka ratkaisu. Tällaista palloa kutsutaan PMC-palloksi. Kysymyksessä on äärettömän hyvän sähkönjohteen kanssa analoginen äärettömän hyvä magneettinen johde. Pallon pinnalla on oltava voimassa potentiaalia koskeva homogeeninen Neumannin ehto. Tässä tapauksessa Kelvin-kuvalähteen sijainti on sama kuin PEC-pallon tapauksessa. Kuvalähteen voimakkuuskin on itseisarvoltaan sama kuin PEC-pallon tapauksessa, mutta vastakkaismerkkinen. Lisäksi toisena kuvalähteenä on Kelvin-kuvalähdepisteen ja pallon keskipisteen yhdistävällä janalla oleva homogeeninen viivalähde, jonka voimakkuus saadaan alkuperäisen virtalähteen voimakkuuden ja pallon säteen avulla.. PEC-pallo Kelvin-kuvalähdepisteen (c), pallon säteen (a) ja virtalähteen pallon keskipisteestä mitatun etäisyyden (b) välillä on voimassa yhtälö (Eloranta, ) c = a b. () Tällä relaatiolla on mielenkiintoinen yhteys alkeisgeometriasta tuttuun Apollonioksen ympyrään (Väisälä, 968). Apollonioksen ympyrä on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä mitattujen etäisyyksien suhde on vakio. Valitsemalla kiinteiksi pisteiksi virtalähteen I ja kuvavirtalähteen I sijainnit on oltava voimassa kuvan merkinnöin Sieventämällä tämä verranto saadaan juuri edellä oleva yhtälö (). b a a c = b + a a + c. () Kuva : PEC-pallo pistemäisen virtalähteen kentässä. Kelvin-kuvalähteen voimakkuus määräytyy puolestaan yhtälöstä I = a I. () b 4

3 Pallon vakiopotentiaalin arvo φ voidaan määrittää resiprookkisuusperiaatetta hyödyntävästä ehdosta sijoittamalla lisäkuvavirtalähde I pallon keskipisteeseen φ = I 4πσ a ; I = a I, (4) b missä σ on palloa ympäröivän aineen sähkönjohtavuus ([σ] = S/m). Potentiaaliksi mielivaltaisessa laskentapisteessä pallon ulkopuolella voidaan superpositioperiaatetta käyttäen pallokoordinaatistossa kirjoittaa (Eloranta, ) φ(r) = φ(r, θ, ϕ) = [ ] I + I + I 4πσ r r r = [ I 4πσ r + b rb cos θ + I ] r + c rc cos θ + I. (5) r Edellä käytettiin pallokoordinaatiston tavanomaisia muuttujia: r laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteeseen (origo), θ akseli- eli polaarikulma (kolatitudi) ja ϕ atsimuuttikulma. Probleemi on symmetrinen atsimuuttikulman suhteen, joten se ei esiinny potentiaalin laskukaavassa (5).. PMC-pallo Myös PMC-pallon tapauksessa Kelvin-kuvalähdepisteen sijainti on yhtälön () mukainen. Sen sijaan kuvapistelähteen voimakkuus on I = + a I. (6) b Tämän kuvalähteen lisäksi tarvitaan potentiaalin pallopinnan normaalin suuntaisen derivaatan nollaava eli homogeenisen Neumannin ehdon toteutumisen mahdollistava viivalähde Kelvinkuvalähdepisteen ja pallon keskipisteen välille. Tämän voimakkuus on i = I a. (7) Näiden kuvalähteiden ja superpositioperiaatteen mukaisesti potentiaaliksi pallon ulkopuolella saadaan φ(r) = φ(r, θ, ϕ) = I a + I /b I dα, (8) 4πσ r r a r missä α on integrointimuuttuja sekä etäisyydet r, r ja r origon ollessa pallon keskipisteessä r = x + y + (z b) = r + b rb cos θ, r = x + y + (z a /b) = r = r + (a /b) r(a /b) cos θ, x + y + (z α) = r + α rα cos θ. 4

4 Edellä on jälleen merkitty laskentapisteen etäisyyttä origosta r = x + y + z ja pallokoordinaatiston polaarikulmaa (kolatitudia) θ:lla, jolloin z = r cos θ. Mekaanisella, joskin työläällä, laskulla voi todeta, että tämä esitetty potentiaali toteuttaa vaaditun reunaehdon φ = r r=a pallon pinnalla (r = a).. TULOKSET Kuvassa esitetään PEC-pallon ympäristön totaalivirrantiheyden kenttäviivat pistemäisen virtalähteen ollessa pallon vasemmalla puolella viiden säteen päässä pallon keskipisteestä. Huomaamme, että PEC-pallon tapauksessa virtaviivat taipuvat pallopinnan normaalin suuntaisiksi. Kuvassa on anomaalinen (heijastunut) eli sekundaaripotentiaalikenttä harmaasävyinä. PEC-pallon tapauksessa pallopinnan virtalähteen (plus-merkkinen) puoleiselle pinnan osalle keskittyy negatiivista sekundaarilähdettä. Yhdessä nämä aikaansaavat coulombisen vetovoiman. Kuvassa 4 on PMC-pallon ympäristön totaalivirrantiheyden kenttäviivat. PMC-pallon tapauksessa virtaviivat väistävät pallon, koska kyseessä on täydellinen eristekappale. Kuvassa 5 on PMC-pallon sekundaaripotentiaali. Havaitaan, että PMC-pallon tapauksessa pallon virtalähteen puoleisella osalla on positiivista sekundaarilähdettä, jotka yhdessä aikaansaavat coulombisen poistovoiman. 4. YHTEENVETO Kirjoituksessa esitetään klassillisen vuodelta 845 periytyvän Kelvinin inversion eli muunnoksen käyttö sähköisen virtausstationaarisen potentiaaliprobleemin ratkaisemisessa. Formuloinnit voidaan tehdä sekä äärettömän hyvän johteen että äärettömän hyvän eristeen tapauksille. Kelvinin alkuperäinen johdepalloformulaatio on esitetty useissa sähkömagnetiikan perusoppikirjoissa. Sen sijaan eristeformulaatio, vaikka sekin on tullut tietoisuuteen jo vuosikymmeniä sitten (Sneddon, 957; Lindell & Hänninen, ; Hänninen, 4), on jäänyt vähemmän tunnetuksi. Yhdistämällä useampien pistelähteiden kentät voidaan superpositioperiaatetta hyväksi käyttäen laskea niiden ja pallon yhteisvaikutuksena syntyvä kenttä. Näillä on suoria sovelluksia mm. geosähköisessä kuvantamisongelmassa. Kuvatuilla formuloinneilla ja potentiaaliprobleemiratkaisuilla on tärkeä merkitys myös geofysiikan kenttäteorian opetuksessa, koska niiden avulla voidaan selventää esimerkiksi sekundaarilähteiden luonnetta geosähköisten anomalioitten synnyn kannalta. 4

5 4 PEC sphere total field streamlines 4 6 Kuva : Totaalivirrantiheyden kenttäviivat PEC-pallon tapauksessa. 4 PEC sphere reflected potential (4πσa / I )φ r (r) Kuva : PEC-pallon normitettu sekundaaripotentiaali. LÄHTEET Eloranta, E.,. Geofysiikan kenttäteoria. Säteilyturvakeskus, tutkimusraportti STUK-A98, Helsinki, 44 s. Hänninen, J.J., 4. Solving electromagnetic boundary problems with equivalence methods. Helsinki University of Technology (TKK), Electromagnetics Laboratory Report Series, 44 (väitöskirja), s. ja 7 julkaisua. 4

6 4 PMC sphere total field streamlines 4 6 Kuva 4: PMC-pallon totaalivirrantiheyden kenttäviivat. 4 PMC sphere reflected potential (4πσa / I )φ r (r) Kuva 5: PMC-pallon normitettu sekundaaripotentiaali. Lindell, I.V. and Hänninen, J.J.,. Static image principle for the sphere in isotropic or biisotropic space. Radio Science, 5(), Sneddon, I.N., 957. Elements of Partial Differential Equations. McGraw-Hill Book Company, Inc., 7 s. Väisälä, K., 968. Geometria. WSOY, Porvoo-Helsinki,. painos, 68 s. 44