LTP++ Virtausopin perusteet. Pauli Jaakkola
|
|
- Aki Karvonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LTP++ Virtausopin perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014
2 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 19 1 Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana 25 5 Virtaustyypit 27 6 Käsittelytavat 31 7 Säilymislait 33 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 35 9 Kontrollitilavuus Kenttäteoria Dimensioanalyysi 43 I
3 II SISÄLTÖ LYHYESTI
4 Sisältö Johdanto 1 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Miksi nämä tieteet? Merkinnöistä Suureita 5 1 Perussuureita Avaruus ja aika Avaruus Pituus L Pinta-ala A Tilavuus V Yksiulotteinen sijainti s Kolmiulotteinen sijainti r Aika t Aineen määrä Ainemäärä n Massa m Moolimassa M Yksinkertaisia johdannaissuureita Aikaderivaattasuureet Nopeus v Kiihtyvyys ā Tilavuusvirta V Moolivirta ṅ Massavirta ṁ Ekstensiivi- ja intensiivisuureet III
5 IV SISÄLTÖ Ominaissuureet Molaariset ominaissuureet Monimutkaisempia johdannaissuureita Voima F Paine p Työ W Teho Ẇ Virtausoppi 23 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausaine Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Statiikka ja dynamiikka Nopeuskentän keskeisyys Virtaustyypit Kitkallinen ja kitkaton Laminaari ja turbulentti Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Käsittelytavat Kontrollitilavuus Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys Dimensioanalyysi Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet Säilymislait Noetherin teoreema Massan säilyminen Liikemäärän säilyminen Kulmaliikemäärän säilyminen Energian säilyminen Pintavoimat ja tilavuusvoimat Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys
6 SISÄLTÖ V Nopeuden reunaehto Viskositeetti Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat Kontrollitilavuus Reynoldsin siirtoteoreema Säilymislait kontrollitilavuudelle Nopeita vastauksia CFD Kenttäteoria Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus Dimensioanalyysi Suhteelliset suureet Dimensiottomat luvut
7 Johdanto 1 Lämpötieteet ja lämpötekniikka On helppo ajatella suoraviivaisesti, että tieteet lähtevät liikkeelle kiinnostuksesta johonkin luonnossa tapahtuvaan ilmiöön. Sitten tehdään perustutkimusta laaditaan teorioita ja testataan niitä kokeellisesti. Lopulta kun teoria on riittävän yleispätevä, joku käyttää sitä ja luovuuttaan teknisen tai muun käytännön sovelluksen luomiseen. Ollaan edetty soveltavaan tutkimukseen. Lämpötieteet, kuten tässä kirjassa käsiteltävät Termodynamiikka Virtausoppi Lämmönsiirto ovat kuitenkin suurelta osin ns. teknisiä tieteitä eli insinöörien työkaluja. Ne ovat syntyneet pikemminkin tutkittaessa, miten lämpöteknisiä sovelluksia, kuten Lämpövoimakoneita (voimalaitokset) Lämpöpumppuja (jäähdytys ja lämmitys) Virtauskoneita (pumppuja, puhaltimia, kompressoreja ja turbiineja) Lämmönsiirtimiä (monien prosessien osana) voitaisiin parantaa. Vaikka lämpötieteet ovat sittemmin monin osin kehittyneet maailmaa syleilevän yleispäteviksi, niiden keskeisin tai ainakin hyvödyllisin sovellusalue on edelleen juuri lämpötekniikka. 1
8 2 SISÄLTÖ 2 Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymmärrys ja tulokset Mielikuvamme luonnontieteistä ja teknisistä tieteistä on usein sellainen, että ne koostuvat pääosin kaavoista. Itse asiassa kaavat ovat kuitenkin vain korkealle abstraktiotasolle jalostettuja yhteenvetoja siitä ymmärryksestä, joka on saavutettu teoreettisten mallien ja kokeellisen tutkimuksen vuorovaikutuksessa. Kaavoja suositaan luonnontieteissä myös sen takia, että ne ovat kvantitatiivisia tieteitä, jotka pyrkivät tarkkuuteen ja yksiselitteisyyteen eli eksaktiuteen 1 Useimmiten kaavat kertovat joidenkin suureiden välisen yhteyden matemaattisessa muodossa. Yhteys sinänsä saattaa olla syvällinen ajatus, jopa luonnonlaki monet kaavat kuvaavat esimerkiksi energian säilymistä: Q + Ẇ ṁ ( = h + 1 ) V gz (1) ρc v dt = k 2 T + Q (2) Kuitenkin ehkä suurempi osa luonnontieteen oivalluksista on käsitteellistetty itse suureisiin. Monet kaavatkin ovat itse asiassa vain suureiden määritelmiä: H = U + pv (3) G = H T S (4) Niinpä jos tämän kirjan punainen lanka ovat luonnonlait, niin ehkä suureet ovat toinen yhtälailla tärkeä vihreä lanka 2. Kaavat ovat toki tärkeitä, sillä niillä saadaan tuloksia, mutta vasta niiden taustalla vaikuttavien suureiden ja luonnonlakien ymmärtäminen mahdollistaa luovuuden. Tai edes oikeiden kaavojen käytön oikeassa tilanteessa ja siten tulosten oikeellisuuden. 1 Luonnontieteilijät pitävät joskus tai useinkin itseään jotenkin ihmistieteilijöitä parempina tällä perusteella. Tämä näkyy teekkarien ja humanistien välisessä vastakkainasettelussa mutta myös siinä, että englannin kielen tiedettä tarkoittava sana science voi yksinään tarkoittaa nimenomaan luonnontiedettä, jopa erotuksena ihmistieteistä. Todellisuudessa luonnontieteiden kvantitatiivisuus ja eksaktius johtuu kuitenkin siitä, että tarkasteltavat ilmiöt ovat oikeastaan hyvin yksinkertaisia verrattuna vaikkapa ihmisen käyttäytymiseen. 2 Myös erään puolueen lehti. Tämän alaviitteen tarkoitus on kuitenkin huomauttaa, ettei tässä ole kyse tuotesijoittelusta tai poliittisesta propagandasta.
9 3. MIKSI NÄMÄ TIETEET? 3 3 Miksi nämä tieteet? Lämpötieteellisten ilmiöiden ja -teknisten laitteiden analyysi on käytännössä useimmiten monitieteellistä. Mietitäänpä vaikkapa lämmönsiirrintä, joka siirtää lämpötehoa Q vesivirtauksesta a vesivirtaukseen b. Seuraavassa esiintyviä kaavoja ei tietenkään tarvitse tässä vaiheessa vielä ymmärtää. Ensinnäkin meitä tietenkin kiinnostaa lämmönsiirron suunta. Termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan lämpö siirtyy spontaanisti 3 korkeammasta lämpötilasta matalampaan. Tämä on kokeellinen havainto, mutta klassinen termodynamiikka selittää sen niin, että entropian täytyy kasvaa. Tilastollinen termodynamiikka selittää, miksi näin on. Matemaattisesti: T a > T b (5) Q a < 0 (6) Q b > 0 (7) Kun lämmönsiirron suunta on nyt selvillä, meitä tietenkin kiinnostaa kummankin vesivirran lämpötilan muutos. Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan energia säilyy eli virtausten entalpiat muuttuvat lämmön verran. Oletetaan että kaikki lämpö siirtyy a:sta b:hen (eikä esim. lämmönsiirtimen rakenteisiin): Q b = Q a (8) H a = Q a (9) H b = Q b (10) Käyttämällä entalpiavirran ja ominaisentalpian (Ḣ = ṁh) sekä ominaisentalpian ja lämpötilan ( h = c p T ) välisiä yhteyksiä saadaan virtausten lämpötilojen muutoksen lämmönsiirtimessä: T a = T b = Q a c p ṁ a (11) Q b c p ṁ b (12) Tässä vaiheessa ongelmaksi tulee tietenkin sen määrittäminen, miten suuri siirtyvä lämpöteho on. Tähän tarvitaan lämmönsiirtoa. Lämpö siirtyy 3 itsestään, luonnostaan
10 4 SISÄLTÖ virtauksissa konvektiolla ja johtumalla ja putkien läpi johtumalla. Lämmön johtumisen teoria on melko yksinkertainen ja tarkka. Konvektiivisesta lämmönsiirrosta saadaan kohtuullinen arvio dimensiottomien lukujen avulla ilmaistuilla kokeellisilla korrelaatioilla. Konvektiivisen lämmönsiirron tarkempi määrittäminen vaatisi virtausopin tuntemusta. Sitä tarvitaan myös sen määrittämiseen, miten suuren mekaanisen tehon Ẇ virtauksen pumppaaminen lämmönsiirtimen läpi vaatisi. Nämä kolme ovat siis keskeisimmät lämpötekniikassa tarvittavat tieteet. Tietenkään poikkitieteellisyys ei välttämättä lopu vielä tähän. Esimerkiksi lämmönsiirtimen rakenteiden mitoittamiseen lämpötilaeroista johtuvat mekaaniset rasitukset kestäviksi tarvittaisiin lujuuslaskentaa. Usein voimalaitoksissa lämpö saadaan joko polttoprosessista tai ydinreaktiosta, joiden analysoimiseen tarvitaan fysikaalista kemiaa tai ydinfysiikkaa jne. 4 Merkinnöistä Lämpötieteiden kirjallinen perinne on vanha ja julkaisujen määrä valtava. Tämän seikan valossa on täysin ymmärrettävää, että käytetyt merkinnätkin vaihtelevat melkoisesti: Esimerkiksi q:lla voidaan merkitä ominaislämpöä (J/kg), lämpövirran tiheyttä (W/m 2 ) tai jopa tilavuusvirtaa (m 3 /s). Samaten u, v ja h voivat merkitä sisäenergiaa, ominaistilavuutta ja entalpiaa tai sitten nopeusvektorin x- ja y-komponentteja sekä lämmönsiirtokerrointa. Tämän tilanteen syntyä on edesauttanut myös se, että jo lämpötieteiden sisällä saati sitten fysiikassa yleensä on käytössä niin monta suuretta, että latinalaiset tai kreikkalaisetkaan aakkoset eivät tahdo riittää. Kun teoria on hyvin hallussa, suureet menevät harvoin sekaisin sekalaisista merkinnöistä huolimatta. Laskentatilanteesta, kaavojen muodosta ja yksiköistä näkee, mistä suureista on kyse. Mutta tätä kirjaa lukevat ainakin toivottavasti ne, joilla teoria ei ole vielä juuri ollenkaan hallussa. Niinpä olen pyrkinyt yksiselitteiseen merkintätapaan, jossa eri suureita ei merkitä samalla merkinnällä. Mikäli eri kirjaimen käyttäminen olisi täysin yleisen käytännön vastaista käytän vektorimerkkejä tai aikaderivaattoja suureiden erottelemiseksi: ominaistilavuus v, vauhti eli nopeusvektorin pituus v tilavuus V, tilavuusvirta V
11 Osa 0 Suureita 5
12
13 Ennen kuin alamme varsinaisesti käsitellä termodynamiikkaa tai muitakaan lämpötieteitä on syytä palauttaa mieleen muutama perussuure yksiköineen ja määritelmineen. Luultavasti suureet ovat ennestään tuttuja etkä halua käyttää niihin juurikaan aikaa mutta perusteelliseen ymmärrykseen on hyvä pyrkiä pidemmällä tähtäimellä sitä kautta pääsee vähemmällä. Ja mistäpä muualta perusteellinen ymmärrys lähtisi kuin perusteista, perusasoista. 7
14 8
15 Luku 1 Perussuureita 1.1 Avaruus ja aika Lämpötieteissä ulottuvuuksia käsitellään klassisen fysiikan tapaan eli avaruusulottuvuuksia on kolme ja ne ovat toisistaan sekä ajan yhdestä ulottuvuudesta erillisiä. Syitä tähän on pohjimmiltaan kaksi: 1. Lämpötieteet syntyivät ennen suhteellisuusteoriaa ja muuta modernia fysiikkaa. 2. Käytännön sovelluksissa on harvinaista joutua käsittelemään tilanteita joissa tarvittaisiin suhteellisuusteorian aika-avaruutta 1 tai ylimääräisiä avaruusulottuvuuksia Avaruus Pituus L Pituuden (usein L) yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö metriä: [L] = m (1.1) ( Metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhjiössä aikavälissä 1/ sekuntia (17. CGPM, 1983). ) Pinta-ala A Pinta-alan (usein A) yksikkönä käytetään neliömetriä: 1 Miksi tämä on englanniksi spacetime ja suomeksi aika-avaruus? 9
16 10 LUKU 1. PERUSSUUREITA [A] = m 2 (1.2) (Suorakaiteen pinta-alaa voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen tasokuvion tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä neliöistä, on neliömetri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia pinta-aloja) Tilavuus V Tilavuuden (usein V) yksikkönä käytetään kuutiometriä: [V ] = m 3 (1.3) (Suorakulmaisen särmiön tilavuutta voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska minkä muotoisen avaruuskappaleen tahansa voi ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienistä kuutioista, on kuutiometri pätevä mittaamaan mielivaltaisen muotoisia tilavuuksia) Yksiulotteinen sijainti s Ensimmäisenä on syytä mainita, että jos tilannetta voidaan kuvata yksiulotteisena 2, käytetään joskus ainoana avaruuskoordinaattina sijaintia s Kolmiulotteinen sijainti r Avaruuden ulottuvuuksia on siis kolme ja ne muodostavan kolmiulotteisen avaruuden. Mikä tahansa piste tässä avaruudessa voidaan määrittää kolmen koordinaatin avulla. Ensin koordinaatit täytyy kalibroida määrittämällä niille nollakohdat sekä yksiköt. Kartesiolainen eli suorakulmainen (x, y, z)- koordinaatisto on yleisin, mutta lämpötieteissä eivät ole erityisen harvinaisia tilanteet joissa esimerkiksi sylinterikoordinaatisto (z, r, θ) tai pallokoordinaatisto (r, θ, φ) on kätevämpi. Origo sijaitsee koordinaattien nollakohtien leikkauspisteessä (0, 0, 0). Minkä tahansa pisteen sijainti voidaan ilmoittaa paikkavektorilla r origosta kyseiseen pisteeseen. Kartesiolaisessa koordinaatistossa 2 ajattele vaikkapa raiteillaan pysyvää junaa x r = y (1.4) z
17 1.2. AINEEN MÄÄRÄ Aika t Ajan t yksikkönä käytetään SI-perusyksikkö sekuntia: [t] = s (1.5) ( Sekunti on kertaa sellaisen säteilyn jaksonaika, joka vastaa cesium 133 -atomin siirtymää perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason välillä (13. CGPM, 1967). ) 1.2 Aineen määrä Ainemäärä n Ainemäärä n kertoo kuinka monta kappaletta jotain hiukkasta (yleensä molekyylia) on. Se on siis itse asiassa puhdas luku, mutta koska yleensä käsitellään niin suuria molekyylimääriä, on sille määritetty SI-perusyksikkö mooli: [n] = mol (1.6) Mooli on sellaisen systeemin ainemäärä, joka sisältää yhtä monta keskenään samanlaista perusosasta kuin 0,012 kilogrammassa hiili 12:ta on atomeja. Perusosaset voivat olla atomeja, molekyylejä, ioneja, elektroneja, muita hiukkasia tai sellaisten hiukkasten määriteltyjä ryhmiä. (14. CGPM, 1971) 0,012 kilogrammassa hiili-12:ta eli yhdessä moolissa olevien hiukkasten lukumäärä on Avogadron luku N A : [N A ] (6, ± 0, ) (1.7) Ainemäärä on hyödyllinen yleensä kemiassa (koska reaktioissa väliä on molekyylien määrällä) ja kaasuja käsiteltäessä (koska mm. tilavuudet ja paineet riippuvat molekyylien määristä) Massa m Mekaniikassa meitä kiinnostaa kuitenkin yleensä pikemminkin se, miten painava tai hidas käsiteltävä systeemi on. Tätä mitataan massalla m. Klassisessa fysiikassa esiintyy itse asiassa kahdenlaista massaa: Hidas massa on Newtonin II laissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuri voima tarvitaan kappaleen kiihdyttämiseen.
18 12 LUKU 1. PERUSSUUREITA Painava massa taas on Newtonin gravitaatiolaissa esiintyvä massa. Se mittaa siis sitä miten suuren voiman gravitaatiokenttä aiheuttaa kappaleeseen 3. Hidas ja painava massa ovat kuitenkin saman suuruiset, mikä ei ollut klassisen fysiikan teorioiden perusteella mitenkään itsestään selvää. Kuitenkin jo Galileo Galilei huomasi kokeellisesti, että kaikkien kappaleiden kappaleen putoamiskiihtyvyys g on sama. Näin voi olla vain, mikäli hidas ja painava massa ovat yhtä suuret. Suppea suhteellisuusteoria pätee vain vakionopeudella liikkuville koordinaatistoille (arkisemmin tarkkailijoille ). Se sai alkunsa sähkömagneettisten aaltojen teoriassa tehdystä havainnosta että valon nopeus tyhjiössä on koordinaatiston nopeudesta riippumaton vakio. Yleinen suhteellisuusteoria pätee myös kiihtyvässä liikkeessä oleville koordinaatistoille. Sen perustava oivallus oli nimenomaan se, että hidas ja painava massa tuskin ovat sattumalta täsmälleen yhtä suuret. Putoamiskiihtyvyys on kiihtyvyys, joka aiheutuu aika-avaruuden kaareutumisesta massan ympärillä. Massan SI-perusyksikkö on kilogramma kg: [m] = kg (1.8) Kilogramma on yhtä suuri kuin kansainvälisen kilogramman prototyypin massa (1. ja 3. CGPM, 1889 ja 1901). Kilogramma on ainoa SI-perusyksikkö, joka vielä perustuu tällaiseen prototyyppiin. Tämä on ongelmallista ensinnäkin siksi, että prototyyppi ei ole toistettavissa ja toisekseen siksi että - kauhistus sentään - prototyypin massa ei mittausten mukaan ole vakio. Alun perin kilogramma piti määritellä 1 litra vettä on massaltaan kilogramman 4 C:n lämpötilassa. Vesipohjaiseen määritelmään siirtymistä on myöhemminkin ehdotettu, joskin niin että määritelmä vastaisi nykyistä kilogramman määritelmää paremmalla tarkkuudella Moolimassa M Systeemin massa ja ainemäärä riippuvat toisistaan moolimassan M kautta: M = m n (1.9) Moolimassan SI-yksiköksi tulee 3 Vrt. varaus sähkömagneettisissa kentissä.
19 1.2. AINEEN MÄÄRÄ 13 [ m ] [M] = n = [m] [n] = kg mol (1.10) Tämä on kuitenkin niin suuri yksikkö että helpommin käsiteltäviä lukuja saadaan käyttämällä yksikkönä joko g/mol (yleisin) tai kg/kmol.
20 14 LUKU 1. PERUSSUUREITA
21 Luku 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 2.1 Aikaderivaattasuureet Nopeus v Yksiulotteisen sijainnin muutoksen suhde ajan muutokseen on vauhti v : v = s (2.1) t Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: v = ds (2.2) Kun tämä siirretään kolmiulotteiseen avaruuteen paikkavektorin r derivaataksi saadaan nopeus v joka on siis myös vektorisuure: v = d r Aikaderivaattaa on usein tapana merkitä pisteellä: (2.3) v = d r = r (2.4) Nopeuden yksiköksi tulee sama kuin vauhdinkin eli [ ] ds [ s ] [v] = = = m (2.5) t s 15
22 16 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA Kiihtyvyys ā Vauhdin muutos ajan suhteen on kiihtyvyys a : a = v t (2.6) Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyenä ajanhetkenä tämä lähestyy aikaderivaattaa: a = dv (2.7) Kolmiulotteisessa avaruudessa nopeusvektorin v derivaataksi saadaan kiihtyvyysvektori a: Kiihtyvyyden yksikkö on [a] = a = d v = v = r (2.8) [ ] dv = [ ] d 2 s [ s ] = = m (2.9) 2 t 2 s Tilavuusvirta V Kun halutaan tietää, kuinka suuri tilavuus kulkee jonkin pinnan läpi aikayksikössä voidaan se määrittää vastaavalla menettelyllä kuin nopeus. Keskimääräinen tilavuusvirta V on ja hetkellinen V = V T (2.10) Tilavuusvirran SI-yksikkö on [ V ] = V = dv [ ] [ ] dv V = = m3 t s (2.11) (2.12) Tämänkaltaisista aikaderivoiduista suureista, jotka eivät ole nopeutta, kiihtyvyyttä eivätkä mekaanista tai lämpötehoa on tapana käyttää virtanimitystä.
23 2.2. EKSTENSIIVI- JA INTENSIIVISUUREET Moolivirta ṅ Pinnan läpi aikayksikössä menevä ainemäärä on moolivirta ṅ: ṅ = n t ṅ = dn [ṅ] = [ dn ] [ n ] = t = mol s (2.13) (2.14) (2.15) Massavirta ṁ Pinnan läpi aikayksikössä menevä massa on massavirta ṁ: ṁ = m t ṁ = dm [ ] dm [ m [ṁ] = = t ] = kg s (2.16) (2.17) (2.18) 2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet Ekstensiivisuureet ovat suureita, joiden arvo riippuu systeemin koosta 1 eli massasta tai ainemäärästä. Tyypillinen ekstensiivisuure on tilavuus V. Intensiivisuureiden arvot taas eivät riipu systeemin koosta. Tyypillisiä intensiivisuureita ovat paine p ja lämpötila T Ominaissuureet Intensiivisuureet ovat siinä mielessä toivottavampia, että niiden käyttö ei vaadi systeemin koon selvittämistä tai kiinnittämistä. Niistä saadaan jopa skalaarikenttiä (esim. T ( r, t)). Onneksi ekstensiivisuureet voidaan muuttaa intensiivisuureiksi jakamalla ne systeemin massalla. Näin syntyviä intensiivisuureita kutsutaan ominaissuureiksi ja merkitään vastaavaa ekstensiivisuureen suurta vastaavalla pienellä kirjaimella. Esimerkiksi ominaistilavuus on 1 extent
24 18 LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA v = V m[ ] V [v] = = m3 m kg (2.19) (2.20) ja ominaissisäenergia u = U m[ ] U [u] = = J m kg (2.21) (2.22) Molaariset ominaissuureet Toinen vaihtoehto ekstensiivisuureiden muuntamiseksi intensiivisiksi on niiden jakaminen systeemin ainemäärällä sen massan sijaan. Näin saadaan molaarisia ominaissuureita, joita merkitään alaindeksillä m. Esimerkiksi moolitilavuus on V m = V n [V m ] = [ V n ] = m3 mol (2.23) (2.24) ja molaarinen sisäenergia U m = U n[ ] U [U m ] = n = J mol (2.25) (2.26)
25 Luku 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita 3.1 Voima F Olemme tottuneet ajattelemaan voimaa jonkinlaisena perussuureena, mutta itse asiassa se on vain hyvin kätevä johdannaissuure, joka on määritelty Newtonin II lain 1 perusteella: Niinpä sen yksiköksi tulee: F = d p = d(m v) [ ] [F ] = [ F d(m v ) ] = = Tämä on edelleen nimetty 2 Newtoniksi: [ mv ] = t [ ] ml t 2 (3.1) = kgm s 2 (3.2) [F ] = kgm s 2 = N (3.3) Voimia ei liene todellisuudessa olemassakaan. Ne ovat vain yksi ihmiskunnan historian hyödyllisimmistä abstraktioista. Tämä voiman eksakti muoto kuvaa vain sitä mitä arkikielen voima-sanakin: voimaa tarvitaan sitä enemmän mitä enemmän ja mitä nopeammin materiaa joudutaan kiihdyttämään (tai hidastamaan, a < 0). 1 Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. 2 ilmeisistä syistä 19
26 20 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA 3.2 Paine p Paineella p tarkoitetaan yksinkertaisimmillaan voimaa jaettuna pinta-alalle, jolle se kohdistuu. Paineen SI-yksikkö on Pascal P a. p = F (3.4) A[ F [p] = ] = N A m = P a (3.5) 2 Virtausaineissa tilanne ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen. Paine voidaan nimittäin määrittää mille tahansa virtausaineen reunoilla tai sen sisällä olevalle todelliselle tai kuvitteelliselle pinnalle. Itse asiassa virtausopissa paine voidaan (infinitesimaalisten kontrollitilavuuksien dv avulla) määrittää virtausaineen jokaiselle pisteelle eli p = p( r, t)). 3.3 Työ W Mitä työ on? Mekaniikassa työn W yleinen määritelmä on W = F ds (3.6) S Mitä tämä sitten tarkoittaa? Arkisestikin voimme todeta, että jonkin kappaleen siirtämisen työläys on suoraan verrannollinen 1. Voimaan F, joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseksi 2. Matkaan s, joka kappaletta siirretään Kun voima on vakio ja reitti koko ajan voiman suuntainen, nämä verrannollisuudet voidaan yhdistää tuloksi ja (valitsemalla määritelmässä verrannollisuuskertoimeksi 1) määritellä työ W = F s (3.7) Yleisessä tapauksessa ei päästä näin helpolla, sillä kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruus ja suunta voivat riippua esimerkiksi ajasta ja kappaleen paikasta eikä reittikään ole välttämättä lähelläkään suoraa.
27 3.4. TEHO Ẇ 21 Onneksi mikä tahansa infinitesimaalisen lyhyt reitin pätkä ds voidaan katsoa hyvällä tarkkuudella suoraksi ja voiman reitin suuntainen komponentti saadaan pistetulolla eli dw = F ds (3.8) Kun nämä infinitesimaalisen lyhyet reitin pätkät sitten summataan eli integroidaan saadaan työn yleinen määritelmä 3.6. Työn määritelmä voitaisiin avata sanallisesti vaikka seuraavasti: Kun kappale, johon voima F vaikuttaa, kulkee reitin S tekee voima kaavasta 3.6 laskettavissa olevan määrän työtä. Huomioi, että tämä ei vaadi, että juuri voima F aiheuttaisi kappaleen liikkeen. 3.4 Teho Ẇ Jossain ajassa tehty työ tai hetkellisenä työn aikaderivaatta on teho Ẇ. Tehon SI-yksikkö on Watti W. Ẇ = W t Ẇ = dw [Ẇ ] = [ dw ] = [ W t (3.9) (3.10) ] = J s = W (3.11) Tehosta käytetään useimmiten merkintää P. Itse käytän kuitenkin merkintää Ẇ sekaannusten välttämiseksi paineen kanssa, jota joskus myös merkitään pienen sijaan isolla p:llä 3. Toisaalta näin korostan myös tehon yhteyttä työhön (lämmön sijasta). 3 Erityisesti paine ei ole ominaisteho p P m.
28 22 LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA
29 Osa 1 Virtausoppi 23
30
31 Luku 4 Virtausoppi mekaniikan alana Virtausoppi ( Fluid Mechanics ) on mekaniikan ala, joka käsittelee virtausaineita. 4.1 Virtausaine Virtausaine ( fluid ) on mikä tahansa aine, joka virtaa. Eksaktimmin tämä voidaan ilmaista niin, että virtausaineet deformoituvat jatkuvasti leikkausjännityksen vaikutuksesta. Käytännössä esiintyvistä aineen olomuodoista virtausaineita ovat nesteet ja kaasut. Plasmatkin ovat toki virtausaineita mutta toistaiseksi harvinaisia käytännön sovelluksissa. 4.2 Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka Teknillinen mekaniikka voidaan jakaa partikkeli- ja jatkumomekaniikkaan. Partikkelimekaniikassa oletetaan, että massa 1 on keskittynyt partikkeleiksi eli pistemassoiksi. Nämä pistemassat voivat sitten muodostaa suurempia systeemejä, joista hyödyllisin lienee jäykkä kappale. Kontinuumimekaniikassa taas ajatellaan, että massa on jakautunut avaruuteen jatkuvasti. Tätä voidaan tietenkin kuvata tiheyskentällä ρ( r, t). Tällöin muutkin ominaisuudet kuten esimerkiksi nopeus v( r, t), paine p( r, t) tai lämpötila T ( r, t) ovat jatkuvia vektori- tai skalaarikenttiä, siis paikan (1-3 ulottuvuudessa) ja mahdollisesti ajan funktioita. Niinpä virtausopin teoria nojaa vahvasti differentiaali- ja integraalilaskentaan ja vektorianalyysiin. 1 Tässä tarkoitetaan lähinnä hidasta massaa, ks. Massa m. 25
32 26 LUKU 4. VIRTAUSOPPI MEKANIIKAN ALANA Nykyään tiedämme, että aine ei ole mikrotasolla jatkuvaa. Virtausopin teoria on tätä tietoa vanhempi. Vaikka kontinuumimekaniikka ei nykytietämyksen mukaan olekaan fysikaalisesti oikeellista, sillä saadaan hyviä tuloksia. Aineen epäjatkuvuus nimittäin ilmenee vasta niin pienessä mittakaavassa, että jatkumo-oletus toimii vielä makroskooppisesta näkökulmasta differentiaalisina näyttäytyville tilavuuksille. 4.3 Statiikka ja dynamiikka Virtausoppi voidaan jakaa hydrostatiikkaan ( Hydrostatics ) ja virtausdynamiikkaan ( Fluid Dynamics ). Koska virtausaineet kuitenkin yleensä virtaavat ja niitä käytetään ja niistä ollaan kiinnostuneita juuri sen takia on suurin osa virtausopista käytännössä virtausdynamiikkaa. 2 Käytännössä englanniksi käytetään yleensä termiä Fluid Dynamics ja suomeksi virtauslaskenta Nopeuskentän keskeisyys Yleensä virtausopissa pyritään ratkaisemaan nopeuskenttä v( r, t) eli virtausaineen nopeusvektori jokaisessa tarkasteltavan tilavuuden pisteessä ja tarkasteltavan ajanjakson ajanhetkenä. Nopeuskentän avulla on sitten melko suoraviivaista laskea suureita kuten painekenttä p( r, t) tai tilavuus, massa- tai energiavirta (teho) jonkin pinnan läpi. 2 Hydrostatiikka -termin käyttö johtuu varmaankin siitä, että virtausaineiden statiikkaa tarvitaan lähinnä erilaisten nestealtaiden ja patojen suunnittelussa. Suomeksi virtausstatiikka on myös itseristiriita ( oksymoroni ), mutta Fluid Statics ei olisi ollenkaan niin paha. 3 Virtausoppi on käytännössä hyvin laskennallista, kuten tulet huomaamaan.
33 Luku 5 Virtaustyypit Virtauksia voidaan jaotella eri tavoin. Kaikki nämä jaottelut ovat tietenkin liukuvia (esimerkiksi transitioalue laminaarista turbulenttiin virtaukseen) ja yhdistettävissä (esimerkiksi aluksi on helpointa keskittyä sisäpuolisen laminaarin kokoonpuristumattoman kitkallisen virtauksen tarkasteluun). 5.1 Kitkallinen ja kitkaton Kitkallisessa virtauksessa kitka aiheuttaa virtausta vastustavan leikkausvoiman, joka pitää ohuen kerroksen virtausainetta kiinni virtausaineen tilavuutta rajoittavissa seinämissä. Tämän kerroksen läheisyydessä olevaan virtausaineeseen aiheutuu myös leikkausvoima, jota vastaan virtaus joutuu tekemään työtä. Tämä kuluttaa virtauskentän koordinoitunutta liike-energiaa molekyylien lämpöliikkeen liike-energiaksi eli sisäenergiaksi jolloin virtausaineen nopeus pienenee ja entropia kasvaa. Virtauksen sisäenergiaksi kuluvaa liike-energiaa kutsutaan virtauksen kitkahäviöksi. Kitka aiheutuu tietenkin virtausaineen ja myös sen kanssa tekemisissä olevan kiinteän aineen molekylien voimavuorovaikutuksista. Kitkattomassa virtauksessa ei nimensä mukaisesti ole kitkaa, leikkausvoimaa tai kitkahäviöitä. Varsinkin koska kitka vaikuttaa myös nopeuskentän muotoon ja sitä kautta suunnilleen kaikkiin tuloksiin, kitkaton virtaus on pätevä malli lähinnä vapaalle virtaukselle, joka tapahtuu kaukana kaikista pinnoista. Tähän vaaditaan yleensä ulkopuolinen virtaus, mutta rajakerrosten ohuuden ansiosta kaukana voi tarkoittaa yläilmakehän lisäksi vaikkapa huoneessa yli sentin päässä kiinteistä pinnoista. Ideaalikaasu olisi määritelmällisesti kitkatonta, koska sen molekyylit vuorovaikuttavat vain törmää- 27
34 28 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT mällä kimmoisasti. Sellaista ei kuitenkaan oikeasti ole olemassa Laminaari ja turbulentti Laminaarin eli pyörteettömän virtauksen nopeuskenttä muuttuu loivasti ja sulavasti ajan ja paikan funktiona 2 ja kitkahäviöitä aiheutuu ainoastaan leikkausvoimasta. Turbulentissa eli pyörteisessä virtauksessa sen sijaan nopeuskenttä vaihtelee voimakkaasti ajan ja paikan funktiona moudostaen myös pyörteitä. Tarpeeksi pienten pyörteiden liike-energian voidaan katsoa muuttuvan sisäenergiaksi ja kasvattavan täten entropiaa. Turbulenssi aiheuttaa siis ylimääräisiä kitkahäviöitä mutta toisaalta tehostaa virtausaineiden sekoittumista ja lämmönsiirtoa. Turbulentin virtauksen nopeuskentästä pyritään ratkaisemaan sen aikakeskiarvo. Turbulenssin vaikutusta nopeuskenttään ja turbulenssihäviöitä kuvataan usein näennäisen leikkausvoiman avulla. Turbulenssin mallintaminen eli käytännössä tuon näennäisen leikkausvoiman funktion määrittäminen on hyvin haastavaa. Laminaarin virtauksen muuttuminen turbulentiksi eli transitio ei ole ollenkaan suoraviivaista ja tätä toiminta-aluetta pyritään sen mallinnuksen vaikeuden ja käytännöllisen arvaamattomuuden vuoksi välttämään suunniteltaessa virtausaineita hyödyntäviä laitteita. 5.3 Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton Virtausaineet ovat tietenkin periaatteessa aina kokoonpuristuvia eli niiden tiheys muuttuu paineen funktiona: ρ p 0 (5.1) Käytännössä kuitenkin nesteiden tiheys muuttuu harvoin merkittävästi paineen funktiona eli ρ neste p 0 (5.2) Kaasujen tiheys toisaalta muuttuu voimakkaasti paineen funktiona ja tämä on otettava huomioon: 1 Suprajuoksevat ( superfluid ) virtausaineet, kuten nestemäinen helium sen sijaan virtaavat kitkattomasti. Valitettavasti suprajuoksevuuden saavuttamiseen vaaditaan vielä kylmempiä lämpötiloja kuin suprajohtavuuden. 2 Niinpä tämä on mahdollista.
35 5.4. SISÄPUOLINEN JA ULKOPUOLINEN 29 ρ kaasu p >> 0 (5.3) Nesteiden ja kaasujen tyypillisen käyttäytymisen johdosta oppia kokoonpuristumattomasta virtauksesta kutsutaan hydrauliikaksi 3 ( Hydraulics ) ja kokoonpuristuvasta kaasudynamiikaksi ( Gas Dynamics ). 5.4 Sisäpuolinen ja ulkopuolinen Sisäpuolinen virtaus on virtausaineen liikettä jossakin usealta puolelta rajatussa kanavassa. Tyypillisesti nämä ovat jonkinlaisia putkia. Eksaktimmin ja matemaattisen käsittelyn kannalta sisäpuolinen virtaus on virtausta, jossa kitkan ja mahdollisesti turbulenssin aiheuttama leikkausvoima vaikuttaa suurimpaan osaan virtauksen nopeuskentästä. Ulkopuolisessa virtauksessa virtausaine pääsee liikkumaan enimmäkseen vapaasti. Mikäli seinämiä esiintyy, ne aiheuttavan leikkausvoiman kautta vaikutusta virtauksen nopeuskenttään vain (yleensä hyvin ohuessa) rajakerroksessa. 3 kreikan kielestä hydor = vesi
36 30 LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT
37 Luku 6 Käsittelytavat 6.1 Kontrollitilavuus 6.2 Kenttäteoria Nopeuskentän keskeisyys 6.3 Dimensioanalyysi 6.4 Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet 31
38 32 LUKU 6. KÄSITTELYTAVAT
39 Luku 7 Säilymislait 7.1 Noetherin teoreema 7.2 Massan säilyminen 7.3 Liikemäärän säilyminen 7.4 Kulmaliikemäärän säilyminen 7.5 Energian säilyminen 33
40 34 LUKU 7. SÄILYMISLAIT
41 Luku 8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat 8.1 Pintavoimat Kitka Leikkausjännitys Nopeuden reunaehto Viskositeetti 8.2 Tilavuusvoimat Painovoima Sähköiset voimat 35
42 36 LUKU 8. PINTAVOIMAT JA TILAVUUSVOIMAT
43 Luku 9 Kontrollitilavuus Kontrollitilavuuden menetelmissä tarkastelemme virtauksen suureita äärellisen kokoisessa 1 kontrollitilavuudessa. Yleisessä tapauksessa kontrollitilavuuden koko ja muoto ovat ajasta riippuvia. Eksaktimmin tämä voidaan sanoa niin, että kontrollitilavuus V ja sen kontrollipinta S ovat ajan funktioita: V = V (t) (9.1) S = S(t) (9.2) Kontrollitilavuutta voidaan tietenkin ajatella avoimena systeeminä, jolla on erinäisiä ekstensiivisuureita, esimerkiksi massa m ja entalpia H. Haluamme tietenkin pysyä perillä siitä, mitkä näiden ekstensiivisuureiden ja niitä vastaavien intensiivisuureiden arvot ovat milläkin ajanhetkellä. Olkoon B mielivaltainen kontrollitilavuuden ekstensiivisuure 2 ja b sitä vastaava intensiivisuure ja nämä ajan funktioita: db( r, t) = b( r, t)dm( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.3) Eli differentiaaliselle tilavuuselementille kohdassa r ajanhetkellä t ekstensiivisuureen B arvo on intensiivisuureen b arvo tuossa kohdassa tuolloin kerrottuna tuon differentiaalisen tilavuuselementin massalla. Differentiaalinen massa on vuorostaan tiheys tuossa kohdassa tuolloin kerottuna differentiaalisen tilavuuselementin tilavuudella. Koska meitä kuitenkin kiinnostaa koko kontrollitilavuuden B, laskemme sen integroimalla: 1 siis ei äärettömän suuressa muttei myöskään olemattomassa tai diffrentiaalisen pienessä 2 Kuten pian näemme, B voi olla myös vektori. 37
44 38 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS B(t) = db( r, t) = b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.4) B(t) V (t) Voimme tutkia ekstensiivisuureiden aikariippuvuutta aikaderivoimalla ne: db(t) = d V (t) b( r, t)ρ( r, t)dv ( r, t) (9.5) Tästä on ennen kaikkea se hyöty, että erilaiset säilymislait on helppo ilmaista matemaattisesti aikaderivaattojen avulla. Jatkossa kirjoitan selkeyden vuoksi b( r, t) :n sijaan vain b, mutta pidä mielessäsi suureiden paikkaja aikariipppuvuus Reynoldsin siirtoteoreema Nyt meillä on enää sellainen ongelma, että sekä integroitavat funktiot, että kontrollitilavuus, jonka yli integroidaan ovat ajan funktioita. Olisi sekä käsitteellisesti että laskennallisesti kätevää, jos saisimme kontrollitilavuuden V (t) muodon ja koon sekä intensiivisuureen b( r, t) muutosten vaikutukset intensiivisuureen B(t) arvoon eriytettyä omiksi termeikseen. Tämä onnistuu Reynoldsin siirtoteoreeman avulla. Sen mukaan: db(t) = d V (t) bρdv = V (t) d(bρ) dv + S(t) bρ( v s n)da (9.6) Missä v s ( r, t) on kontrollipinnan nopeus ja n( r, t) siitä ulospäin osoittava yksikkönormaali. Reynoldsin siirtoteoreema on tietenkin matemaattisesti todistettu. Toisaalta se on varsin intuitiivinen tulos; B:n muutos on sen muutoksen kontrollitilavuudessa ja kontrollipinnan ylittävän B:n summa 9.1 Säilymislait kontrollitilavuudelle Makroskooppiselle systeemille massan, liikemäärän, kulmaliikemäärän ja energian säilymislait ovat
45 9.1. SÄILYMISLAIT KONTROLLITILAVUUDELLE 39 dm(t) = 0 (9.7) d p(t) = F (9.8) dl(t) = M (9.9) de(t) = + Ẇ (9.10) Massa m ei siis muutu 3. Liikemäärän p muutoksen aiheuttaa voima F, joka on itse asiassa määritelty liikemäärän aikaderivaatan suuruiseksi. Täysin vastaavasti kulmaliikemäärän L muutos on momentin M suuruinen. Termodynamiikasta tuttu energian säilyminen, E = Q + W eli systeemin energian muutos on työn ja lämmön summa, sulautuu joukkoon aikaderivoidussa muodossaan. Systeemin massa m, liikemäärä p, kulmaliikemäärä L ja energia E ovat kaikki ekstensiivisuureita. Niitä vastaavat intensiivisuureet ovat m m = 1 (9.11) p m = m v = v m (9.12) L r m v = = r v m m (9.13) E m = e (9.14) Yllä intensiivisuureet on heittomerkeissä, koska näin voidaan kyllä matemaattisessa mielessä sanoa, mutta fysikaalisesti emme miellä nopeutta tai varsinkaan ykköstä kovin intensiivisuuremaisiksi siinä mielessä kuin esimerkiksi ominaisenergian e. Joka tapauksessa näiden avulla voimme nyt sijoittaa kunkin neljästä ekstensiivisuureestamme Reynoldsin siirtoteoreemaan 9.6: 3 Oletamme edelleen että ydinreaktioita ei tapahdu.
46 40 LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da (9.15) vρ( v s n)da (9.16) S(t) r vρ( v s n)da (9.17) eρ( v s n)da (9.18) Kun sijoitamme nämä säilymislakeihin , saamme säilymislaeiksi dm(t) d p(t) d L(t) de(t) = V (t) = V (t) = V (t) = V (t) d(ρ) dv + d( vρ) dv + S(t) S(t) d( r vρ) dv + d(eρ) dv + S(t) ρ( v s n)da = 0 (9.19) vρ( v s n)da = F (9.20) S(t) r vρ( v s n)da = M (9.21) eρ( v s n)da = Q + Ẇ (9.22) 9.2 Nopeita vastauksia 9.3 CFD
47 Luku 10 Kenttäteoria 10.1 Säilymislait Navier-Stokesin yhtälöt 10.2 Kitkaton virtaus Potentiaalivirtaus 41
48 42 LUKU 10. KENTTÄTEORIA
49 Luku 11 Dimensioanalyysi 11.1 Suhteelliset suureet 11.2 Dimensiottomat luvut 43
50 44 LUKU 11. DIMENSIOANALYYSI
51 Liitteet 45
52
LTP++ Lämmönsiirron perusteet. Pauli Jaakkola
LTP++ Lämmönsiirron perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita
LisätiedotLTP++ Termodynamiikan perusteet. Pauli Jaakkola
LTP++ Termodynamiikan perusteet Pauli Jaakkola 12. toukokuuta 2014 Sisältö lyhyesti Johdanto 1 0 Suureita 5 1 Perussuureita 9 2 Yksinkertaisia johdannaissuureita 15 3 Monimutkaisempia johdannaissuureita
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotIdeaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua
Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotPuhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotREAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut
Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai :00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 26.5.2017 8:00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
LisätiedotLämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe :00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, pe 16.2.2018 13:00-17:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotClausiuksen epäyhtälö
1 Kuva 1: Clausiuksen epäyhtälön johtaminen. Clausiuksen epäyhtälö otesimme Carnot n koneelle, että syklissä lämpötiloissa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee Q H H oisin ilmaistuna, Carnot
LisätiedotChapter 1. Preliminary concepts
Chapter 1 Preliminary concepts osaa kuvata Reynoldsin luvun vaikutuksia virtaukseen osaa kuvata virtauksen kannalta keskeiset aineominaisuudet ja tietää tai osaa päätellä näiden yksiköt osaa tarvittaessa
Lisätiedot7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
7. Differentiaalimuotoinen jatkuvuusyhtälö KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten lähestymistapaa pitää muuttaa, jos halutaan tarkastella virtausta lokaalisti globaalin tasetarkastelun
LisätiedotENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!
ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä
LisätiedotTermodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka
Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotFysiikan perusteet. SI-järjestelmä. Antti Haarto 21.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet SI-järjestelmä Antti Haarto 21.05.2012 Fysiikka ja muut luonnontieteet Ihminen on aina pyrkinyt selittämään havaitsemansa ilmiöt Kreikkalaiset filosofit pyrkivät selvittämään ilmiöt
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotMuita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotMolaariset ominaislämpökapasiteetit
Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen
LisätiedotLuku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 8 EXERGIA: TYÖPOTENTIAALIN MITTA Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
LisätiedotYksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14
Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
Lisätiedot= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
LisätiedotTermodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita
Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotLuento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit
Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2.
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotKonventionaalisessa lämpövoimaprosessissa muunnetaan polttoaineeseen sitoutunut kemiallinen energia lämpö/sähköenergiaksi höyryprosessin avulla
Termodynamiikkaa Energiatekniikan automaatio TKK 2007 Yrjö Majanne, TTY/ACI Martti Välisuo, Fortum Nuclear Services Automaatio- ja säätötekniikan laitos Termodynamiikan perusteita Konventionaalisessa lämpövoimaprosessissa
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
LisätiedotSuhteellisuusteorian vajavuudesta
Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotLuku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 7.11. ja tiistai 8.11. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan
Lisätiedotln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.
S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotLuvun 12 laskuesimerkit
Luvun 12 laskuesimerkit Esimerkki 12.1 Mikä on huoneen sisältämän ilman paino, kun sen lattian mitat ovat 4.0m 5.0 m ja korkeus 3.0 m? Minkälaisen voiman ilma kohdistaa lattiaan? Oletetaan, että ilmanpaine
LisätiedotKJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet.
KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 1.9.2017 klo 12:00-16:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin.
LisätiedotLuento 16: Fluidien mekaniikka
Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotEsim: Mikä on tarvittava sylinterin halkaisija, jolla voidaan kannattaa 10 KN kuorma (F), kun käytettävissä on 100 bar paine (p).
3. Peruslait 3. PERUSLAIT Hydrauliikan peruslait voidaan jakaa hydrostaattiseen ja hydrodynaamiseen osaan. Hydrostatiikka käsittelee levossa olevia nesteitä ja hydrodynamiikka virtaavia nesteitä. Hydrauliikassa
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin
LisätiedotTyössä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste.
TYÖ 36b. ILMANKOSTEUS Tehtävä Työssä määritetään luokkahuoneen huoneilman vesihöyryn osapaine, osatiheys, huoneessa olevan vesihöyryn massa, absoluuttinen kosteus ja kastepiste. Välineet Taustatietoja
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotS U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä
S U H T E E L L I S U U S T E O R I AN P Ä Ä P I I R T E I T Ä (ks. esim. http://www.kotiposti.net/ajnieminen/sutek.pdf). 1. a) Suppeamman suhteellisuusteorian perusolettamukset (Einsteinin suppeampi suhteellisuusteoria
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotRAK-31000 Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
Lisätiedot13 KALORIMETRI. 13.1 Johdanto. 13.2 Kalorimetrin lämmönvaihto
13 KALORIMETRI 13.1 Johdanto Kalorimetri on ympäristöstään mahdollisimman täydellisesti lämpöeristetty astia. Lämpöeristyksestä huolimatta kalorimetrin ja ympäristön välinen lämpötilaero aiheuttaa lämmönvaihtoa
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 6.11. ja tiistai 7.11. Pohdintaa Mitä tai mikä ominaisuus lämpömittarilla
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
Lisätiedotluku 1.notebook Luku 1 Mooli, ainemäärä ja konsentraatio
Luku 1 Mooli, ainemäärä ja konsentraatio 1 Kemian kvantitatiivisuus = määrällinen t ieto Kemian kaavat ja reaktioyhtälöt sisältävät tietoa aineiden rakenteesta ja aineiden määristä esim. 2 H 2 + O 2 2
LisätiedotKuljetusilmiöt. Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio
Kuljetusilmiöt Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio Johdanto Kuljetusilmiöt on yhteinen nimitys prosesseille, joissa aineen molekyylien liike aiheuttaa energian,
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotIntegrointialgoritmit molekyylidynamiikassa
Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotTeoreetikon kuva. maailmankaikkeudesta
Teoreetikon kuva Teoreetikon kuva hiukkasten hiukkasten maailmasta maailmasta ja ja maailmankaikkeudesta maailmankaikkeudesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Lapua 5. 5. 2012 Miten
LisätiedotVirtaus ruiskutusventtiilin reiästä
Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-
LisätiedotTermodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki
Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Kolmannen luennon aihepiirit ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO. Ilmavirtauksen energia on ilmamolekyylien liike-energiaa.
SMG-4500 Tuulivoima Kolmannen luennon aihepiirit Tuulen teho: Betzin lain johtaminen Tuulen mittaaminen Tuulisuuden mallintaminen Weibull-jakauman hyödyntäminen ILMAVIRTAUKSEN ENERGIA JA TEHO Ilmavirtauksen
LisätiedotRTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op
RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat Osaamistavoitteet
Lisätiedot