Biosfäärimallit radioaktiivisten nuklidien kulkeutumiselle
|
|
- Aki Mikkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Biosfäärimallit radioaktiivisten nuklidien kulkeutumiselle Markus Airila Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto Teknillinen korkeakoulu Espoo Tiivistelmä Radionuklidien biosfäärikulkeutumista kuvataan VTT:n DETRA-lohkomallilla, jossa nuklidit kulkeutuvat biosfäärissä pääasiassa veden ja kiintoaineen virtauksen mukana. Pohjaveden mukana ekosysteemiin joutuvan aktiivisuuden mahdollisia vaikutuksia arvoidaan eri skenaarioilla, jotka vastaavat erilaisia ainevirtoja lohkojen välillä. Havaitaan, että kiintoaineeseen herkästi sitoutuvien nuklidien vaikutus biosfäärissä riippuu voimakkaasti niiden vapautumistiestä. DETRA:n annoslaskumallilla todetaan myös, että kalan syönti on kriittisen henkilön merkittävin annostie pohjaveden mukana kalliosta vesistöön vapautuvalle aktiivisuudelle. 1 Johdanto Käytetyn ydinjätteen loppusijoitustilasta ihmisiin kohdistuva suora säteily vaimenee täysin vaarattomaksi kallioperän läpi kulkiessaan. Loppusijoituksesta aiheutuva säteilyaltistus voi siksi olla merkittävää vain, jos radioaktiivisia nuklideja pääsee ihmisen eliympäristöön. Kallioperässä nuklidit kulkeutuvat yksinomaan pohjaveden mukana ja voivat vapautua biosfääriin eri tavoin. Tässä esityksessä kerrotaan malleista, joilla kulkeutumista biosfäärissä kuvataan VTT:n tekemissä selvityksissä (Suolanen, 1985), (Suolanen, 1988). Myös samassa yhteydessä käytetyistä annoslaskumalleista kerrotaan lyhyesti. 2 Skenaariot Biosfäärikulkeutumiselle on Suomessa julkaistu ainakin kaksi mallia, joista toinen on laadittu merialueille (tarkastelun keskipisteenä Loviisan Hästholmsfjärden) ja toinen sisämaan vesistöille. Mallit eroavat toisistaan siinä, että merialueilla nuklidien kulkeutumista seurataan niin kauas kuin ne ikinä ajautuvatkin, kun taas järvimallissa ulosvirtauksen mukanaan viemien nuklidien katsotaan kadonneen lopullisesti. Toisaalta järvimalli ottaa huomioon kulkeutumisen kasteluveden mukana maaperään. Mallit tehdään tuhansien vuosien aikavälille, ja siksi niitä sovellettaessa tulee ottaa huomioon mahdolliset muutokset ekosysteemissä. Merimallissa odotettavissa olevat tulevaisuudenkuvat on pelkistetty kahdeksi skenaarioksi: Meriskenaario Hästholmsfjärden ympäristöineen säilyy olennaisesti nykyisen kaltaisena. Järviskenaario Maanpinnan kohoamisen myötä veden vaihto Suomenlahden kanssa vähenee huomattavasti tai lakkaa kokonaan. Järvimallille on vastaavasti katsottu seuraavien tapausten kattavan todennäköiset kehityskulut: Normaali eroosio ja sedimentaatio laskuissa käytetään luonnossa havaittuja nopeuksia maanpinnan eroosiolle ja sedimentin kertymiselle järven pohjaan.
2 Voimistunut eroosio ja sedimentaatio käytetään eroosiolle viisin- ja sedimentin kertymiselle kymmenkertaista arvoa havaittuun verrattuna. Heikentynyt eroosio ja sedimentaatio käytetään eroosiolle viidesosaa ja sedimentin kertymiselle kymmenesosaa havaitusta arvosta. 3 Lohkomalli Kulkeutumisen matemaattinen käsittely perustuu systeemin jakamiseen kompartmentteihin tässä esityksessä käytetään sanaa lohko. Kussakin lohkossa i on tietty ainemäärä x i tarkastelun kohteen olevaa nuklidia. Ainemäärien aikakehitys lasketaan olettamalla kustakin lohkosta siirtyvän nuklideja muihin lohkoihin nopeudella, joka on verrannollinen nuklidin ainemäärään lähtölohkossa. Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuotoisena lineaarisena epähomogeenisena differentiaaliyhtälönä &x = Ax + s x(0) = x0 (1) missä vektori x sisältää kaikkien n lohkon ainemäärät, matriisi A siirroskertoimet k ij lohkojen välillä ja systeemistä pois sekä vektori s nuklidin lähteet eri lohkoissa. Radioaktiivinen hajoaminen otetaan huomioon nieluihin rinnastettavana terminä matriisin A diagonaalialkioissa. Esimerkkinä lohkomallista on kuvassa 1 esitetty järvimallin olennaisimmat lohkot ja kulkeutuminen niiden välillä. Lähteet ja nielut on erotettu muista lohkoista kuvioinnilla. Merimalli on hieman yksinkertaisempi; kukin merialue (Hästholmsfjärden, Suomenlahden pohjoisosa, Itämeri, valtameri) sisältää vesilohkon ja kolme sedimenttilohkoa. Merialueiden välillä nuklidit kulkeutuvat veden mukana, ja sedimentaatio käsitellään kuten kuvan 1 mallissa. Lähde Eroosio Ulosvirtaus Järvivesi Viljelysmaa Sedim. 1 Nielu Sedim. 2 Nielu Kuva 1. Esimerkki lohkomallista. Lähteenä on järveen tihkuva radioaktiivinen pohjavesi ja nieluina ulosvirtaus, eroosio sekä sedimentaation myötä syvälle maan sisään joutuva kiintoaine. Itse laskenta on toteutettu DETRA-koodilla (Doses via Environmental Transfer of Radionuclides), joka sisältää myös annoslaskumallin. 4 Kulkeutumistiet
3 Nuklideja kulkeutuu lohkojen välillä pääasiassa veden ja kiintoaineen virtauksen mukana. DETRA mahdollistaa myös muuntyyppisen siirtymisen huomioon ottamisen; tällöin siirroskerroin annetaan suoraan lähtötietona. 5 Lähtötiedot Meri- ja järvialtaista tulee tietää tilavuus, pinta-ala, veden kiintoainepitoisuus, sedimentaationopeus ja poistovirtaukset. Sedimenttikerrosten osalta tarvitaan tiheys, kiintoaineen ja veden osuudet, veden vaihtuvuus ja kiintoaineen resuspensio vesiallaslohkoon. Järvimallissa jossa kulkeutuminen veden ja maaperän välillä otetaan kaksisuuntaisena huomioon ohjelmalle syötetään myös viljelysmaan kastelun, sateen ja eroosion vuotuiset määrät. Isotoopin puoliintumisajan lisäksi hyvin merkittäväksi tekijäksi nuklidien kulkeutumisssa on osoittautunut alkuainekohtainen jakautumiskerroin K d, joka määritellään kiintoaineen ja nestefaasin välillä vallitsevassa tasapainotilassa seuraavasti: K d = A A s w / m / V s w, (2) missä A s ja A w ovat kiintoaineen ja nestefaasin aktiivisuudet, m s kiintoaineen massa ja V w nestefaasin tilavuus. Kertoimen yksikkö on 1 m 3 /kg, ja sen lukuarvo ilmoittaa sen vesitilavuuden (m 3 ), jossa ko. nuklidin aktiivisuus on sama kuin 1 kg:ssa kiintoainetta. Esimerkkejä jakautumiskertoimista on annettu taulukossa 1. Taulukko 1. Esimerkkejä alkuainekohtaisista jakautumiskertoimista Alkuaine K d (m 3 /kg) Sr 0,005 I 0,1 Pu 50 Th Annoslaskenta DETRA-ohjelman annoslaskentaa on käytetty arvioitaessa oletetusta päästölähteestä eniten altistuvalle henkilölle aiheutuvaa annoskertymää. DETRA ottaa huomioon ulkoiset annostiet, suoran säteilyn maasta tai sedimentistä (rannalla oleskelu) ja suoran säteilyn vedestä (uinti, veneily). Vastaavat sisäiset annostiet ovat maataloustuotteet (maito, vilja, liha) kala ja veden juonti. Ulkoisesti saatu annos on aina suoraan verrannollinen altistusaikaan ja radionuklidien pitoisuuksiin siinä lohkossa, josta annos aiheutuu. Annosnopeus maaperästä lasketaan kullekin nuklidille yhtälöstä
4 H& = C ( t) Uρ hrd, (3) s s s missä C s (t) on nuklidin pitoisuus maaperässä (Bq/kg), U on ajallinen altistusosuus, ρ on maaperän tiheys, h on syvyys, jolta pinta-aktiivisuus lasketaan, r on maaperän vaimennustekijä ja d s on annostekijä [(Sv/a)/(Bq/m 2 )]. Vastaava yhtälö vedestä tulevalle annokselle on H& = C ( t) Ud, (4) w w w missä C w (t) on nuklidin pitoisuus vedessä (Bq/m 3 ), ja annostekijän d w yksikkö on 1 (Sv/a)/(Bq/m 3 ). Kalan syönnistä aiheutuva annosnopeus on H& = C ( t) mc & d, (5) f w f missä &m on kalansyöntimäärä aikayksikköä kohti, c f rikastumistekijä kalaan ja d nautinta-annostekijä (Sv/Bq). Analoginen yhtälö voitaisiin kirjoittaa maataloustuotteista saatavalle sisäiselle altistukselle, mutta raportissa (Suolanen, 1988) ei ole esitetty järviympäristön annoslaskentaa. Tuon tässä esille muutamia yhtälöissä (4) (6) käytettyjen kertoimien arvoja, jotka parhaiten kuvaavat laskelmissa tehtyjä oletuksia. Ajalliset altistusosuudet ovat olleet 1000 h/a eli U = 0,12. Kalansyöntimääräksi kriittiselle henkilölle on valittu peräti 75 kg/a, jotta tuloksiin ei tässä suhteessa jäisi spekuloinnin varaa. Rikastumistekijä kalaan vaihtelee melko suuresti nuklideittain, mutta on tyypillisesti suuruusluokkaa 0,1 m 3 /kg, hiilelle kuitenkin 1,8 m 3 /kg. 7 Tulokset Merimallin järviskenaario, joka on mahdollinen noin 3000 vuoden jälkeen, antaa jopa satakertaisia yksilöannoksia nykytilanteen skenaarioon verrattuna. Tämä johtuu siitä, että nuklidit rikastuvat järvialtaaseen ja sedimenttiin. Lisäksi paljastunutta järven pohjaa voidaan käyttää viljelysmaana. Kala on merkittävin annostie kriittisen henkilön tapauksessa. Järvimallissa havaittiin, että vapautumismekanismi vaikuttaa voimakkaasti kiintoaineeseen sitoutuvien nuklidien (kuten Pu, Np ja Th) tapauksessa ratkaisevasti siihen, paljonko aktiivisuutta pääsee ravintoketjuun. Sedimentti sitoo nämä nuklidit tehokkaasti, jos pohjavesi vapautuu sen kautta. Liukoisemmat nuklidit (esim. Sr ja I) päätyvät miltei kokonaan järviveteen joka tapauksessa. 8 Yhteenveto Malli on matemaattisesti helppo, periaatteessa analyyttisesti ratkaistavissa oleva, sillä yhtälön (1) lähdetermi on käytännössä aina joko vakio tai deltafunktio. Tulosten luotettavuuden kannalta onkin tärkeintä paneutua parametrien arvojen oikeellisuuden tarkastamiseen. Merimallissa tämä koskee lähinnä Hästholmsfjärdenin vedenvaihtuvuutta ja alkuainekohtaisia jakautumiskertoimia. Uudemmassa raportissa (Suolanen, 1988) asiaa ei enää mainita, joten arvot lienee saatu tyydyttävän oikeiksi sen julkaisemiseen mennessä. Tšernobylin onnettomuuden seurauksena viimeksi kuluneiden 15 vuoden aikana on ollut poikkeuksellisen hyvät mahdollisuudet testata esitetyn tyyppisiä kulkeutumismalleja käytännössä. Puhtaasti
5 tutkimusmielessä riittävän suuria pitoisuuksia ei voida päästää ympäristöön. On voitu todeta, että kulkeutuminen hallitaan melko hyvin esitetyn kaltaisilla malleilla. Lähdeluettelo [Suolanen, 1985] Suolanen, V., VLJ-loppusijoituksen turvallisuusanalyysin biosfääri- ja annoslaskuosien mallit. Voimayhtiöiden ydinjätetoimikunta, Helsinki, [Suolanen, 1988] Suolanen, V. ja Vieno, T., Modelling of the Biospheric Transfer of Radionuclides Released from the Geosphere into a Lake. Voimayhtiöiden ydinjätetoimikunta, Helsinki, 1988.
Loppusijoituksen turvallisuus pitkällä aikavälillä. Juhani Vira
Loppusijoituksen turvallisuus pitkällä aikavälillä Juhani Vira Loppusijoituksen suunnittelutavoite Loppusijoitus ei saa lisätä ihmisiin eikä elolliseen ympäristöön kohdistuvaa säteilyrasitusta. Vaatimus
LisätiedotKiintoainemenetelmien käyttö turvemaiden alapuolella. Hannu Marttila
Kiintoainemenetelmien käyttö turvemaiden alapuolella Hannu Marttila Motivaatio Orgaaninen kiintoaines ja sedimentti Lisääntynyt kulkeutuminen johtuen maankäytöstä. Ongelmallinen etenkin turvemailla, missä
LisätiedotSoklin radiologinen perustila
Soklin radiologinen perustila Tämä powerpoint esitys on kooste Dina Solatien, Raimo Mustosen ja Ari Pekka Leppäsen Savukoskella 12.1.2010 pitämistä esityksistä. Muutamissa kohdissa 12.1. esitettyjä tutkimustuloksia
LisätiedotSÄTEILEVÄ KALLIOPERÄ OPETUSMATERIAALIN TEORIAPAKETTI
SÄTEILEVÄ KALLIOPERÄ OPETUSMATERIAALIN TEORIAPAKETTI 1 Sisällysluettelo 1. Luonnossa esiintyvä radioaktiivinen säteily... 2 1.1. Alfasäteily... 2 1.2. Beetasäteily... 3 1.3. Gammasäteily... 3 2. Radioaktiivisen
LisätiedotUraanikaivoshankkeiden ympäristövaikutukset
Uraanikaivoshankkeiden ympäristövaikutukset Fil. tri Tarja Laatikainen Eno, Louhitalo 27.02.2009 Ympäristövaikutukset A. Etsinnän yhteydessä B. Koelouhinnan ja koerikastuksen yhteydessä C. Terveysvaikutukset
LisätiedotRadioaktiivisen säteilyn läpitunkevuus. Gammasäteilty.
Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Radioaktiivisen säteilyn läpitunkevuus. Gammasäteilty. 1. Työn tavoite Työn tavoitteena on tutustua ionisoivaan sähkömagneettiseen säteilyyn ja tutkia sen absorboitumista
LisätiedotVäliraportin liitetiedostot
1 (21) Talvivaaran ympäristön Sisältö LIITE 1. Radiologisia suureita ja yksiköitä sekä yleistä tietoa luonnon radioaktiivisuudesta... 2 LIITE 2. Analysoidut näytteet 2010... 5 LIITE 3. Gammaspektrometristen
LisätiedotVastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa.
Valintakoe 2016/FYSIIKKA Vastaa kaikkiin kysymyksiin. Oheisista kaavoista ja lukuarvoista saattaa olla apua laskutehtäviin vastatessa. Boltzmannin vakio 1.3805 x 10-23 J/K Yleinen kaasuvakio 8.315 JK/mol
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
LisätiedotRadioaktiivinen hajoaminen
radahaj2.nb 1 Radioaktiivinen hajoaminen Radioaktiivinen hajoaminen on ilmiö, jossa aktivoitunut, epästabiili atomiydin vapauttaa energiaansa a-, b- tai g-säteilyn kautta. Hiukkassäteilyn eli a- ja b-säteilyn
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotGeoChem. Havainnot uraanin käyttäytymisestä kiteisissä kivissä 2006-2010 Mira Markovaara-Koivisto Teknillinen korkeakoulu, Geoympäristötekniikka
GeoChem Havainnot uraanin käyttäytymisestä kiteisissä kivissä 2006-2010 Mira Markovaara-Koivisto Teknillinen korkeakoulu, Geoympäristötekniikka 15.2.2008 KYT2010 seminaari - Kalliokulkeutuminen Helsingin
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotIonisoiva säteily. Radioaktiiviset aineet ja ionisoiva säteily kuuluvat luonnollisena osana elinympäristöömme.
Ionisoiva säteily Radioaktiiviset aineet ja ionisoiva säteily kuuluvat luonnollisena osana elinympäristöömme. Ionisoivan säteilyn ominaisuuksia ja vaikutuksia on vaikea hahmottaa arkipäivän kokemusten
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotAtomin ydin. Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N
Atomin ydin ytimen rakenneosia, protoneja (p + ) ja neutroneja (n) kutsutaan nukleoneiksi Z = varausluku (järjestysluku) = protonien määrä N = neutroniluku A = massaluku (nukleoniluku) A = Z + N saman
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotHajoamiskaaviot ja niiden tulkinta (PHYS-C0360)
Hajoamiskaaviot ja niiden tulkinta (PHYS-C0360) Jarmo Ala-Heikkilä, VIII/2017 Useissa tämän kurssin laskutehtävissä täytyy ensin muodostaa tilannekuva: minkälaista säteilyä lähteestä tulee, mihin se kohdistuu,
LisätiedotVirtaus ruiskutusventtiilin reiästä
Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotAlkuaineita luokitellaan atomimassojen perusteella
IHMISEN JA ELINYMPÄRISTÖN KEMIAA, KE2 Alkuaineen suhteellinen atomimassa Kertausta: Isotoopin määritelmä: Saman alkuaineen eri atomien ytimissä on sama määrä protoneja (eli sama alkuaine), mutta neutronien
LisätiedotSäteilyturvakeskuksen määräys radioaktiivisista jätteistä ja radioaktiivisten aineiden päästöistä avolähteiden käytössä
MÄÄRÄYS S/2/2019 Säteilyturvakeskuksen määräys radioaktiivisista jätteistä ja radioaktiivisten aineiden päästöistä avolähteiden käytössä Annettu Helsingissä 4.4.2019 Säteilyturvakeskuksen päätöksen mukaisesti
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotIlmastonmuutos ja ilmastomallit
Ilmastonmuutos ja ilmastomallit Jouni Räisänen, Helsingin yliopiston Fysikaalisten tieteiden laitos FORS-iltapäiväseminaari 2.6.2005 Esityksen sisältö Peruskäsitteitä: luonnollinen kasvihuoneilmiö kasvihuoneilmiön
LisätiedotRiskinarviointimenetelmien vertailu kolmessa kohteessa mm. Suvilahdessa, VERIS-hanke
Riskinarviointimenetelmien vertailu kolmessa kohteessa mm. Suvilahdessa, VERIS-hanke 8 Auli Kuusela-Lahtinen 8 8 9 8 8 2 3 5 6 7 7 1 Pilaantunut maa-alue 4 TERVEYS- JA YMPÄRISTÖRISKIEN ARVIOINTIMENETELMIEN
Lisätiedot- Pyri kirjoittamaan kaikki vastauksesi tenttipaperiin. Mikäli vastaustila ei riitä, jatka konseptilla
LUT School of Energy Systems Ydintekniikka BH30A0600 SÄTEILYSUOJELU Tentti 26.1.2016 Nimi: Opiskelijanumero: Rastita haluamasi vaihtoehto/vaihtoehdot: Suoritan pelkän kurssin Tee tehtävät A1 - A4 ja B5
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotSÄTEILYTURVAKESKUS. Säteily kuuluu ympäristöön
Säteily kuuluu ympäristöön Mitä säteily on? Säteilyä on kahdenlaista Ionisoivaa ja ionisoimatonta. Säteily voi toisaalta olla joko sähkömagneettista aaltoliikettä tai hiukkassäteilyä. Kuva: STUK Säteily
LisätiedotTalvivaaran kipsisakka-altaan vuodon pohjavesivaikutusten selvitys
Talvivaaran kipsisakka-altaan vuodon pohjavesivaikutusten selvitys (antti.pasanen@gtk.fi) Anu Eskelinen, Anniina Kittilä, Jouni Lerssi, Heikki Forss, Taija Huotari-Halkosaari, Pekka Forsman, Marja Liisa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotNeliömatriisin adjungaatti, L24
Neliömatriisin adjungaatti, L24 1 2 1 3 Matriisi = A = 7 4 6 5 2 0 ( ) 7 6 Alimatriisi = A 12 = 5 0 Minori = det(a 12 ) = 7 6 5 0 = 30 Kofaktori = ( 1) 1+2 det(a 12 ) = 30 2 Määritelmä n n neliö-matriisin
LisätiedotSÄTEILY- JA YDINTURVALLISUUSKATSAUKSIA. Ihmisen radioaktiivisuus. Säteilyturvakeskus Strålsäkerhetscentralen Radiation and Nuclear Safety Authority
SÄTEILY- JA YDINTURVALLISUUSKATSAUKSIA Ihmisen radioaktiivisuus Säteilyturvakeskus Strålsäkerhetscentralen Radiation and Nuclear Safety Authority Ihmisen radioaktiivisuus Jokaisessa ihmisessä on radioaktiivisia
LisätiedotTasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä
REAKTIOT JA TASAPAINO, KE5 Tasapainotilaan vaikuttavia tekijöitä Fritz Haber huomasi ammoniakkisynteesiä kehitellessään, että olosuhteet vaikuttavat ammoniakin määrään tasapainoseoksessa. Hän huomasi,
LisätiedotVesistöjen tila ja kuormituksen kestokyky
Vesistöjen tila ja kuormituksen kestokyky Antton Keto ja Ilkka Sammalkorpi Suomen ympäristökeskus Vesikeskus Maankuivatus- ja vesiensuojeluseminaari Salaojakeskus & BSAG 26.5.2016 Suitian linna Esityksen
LisätiedotKäytetyn ydinpolttoaineen loppusijoitus Olkiluodossa
Käytetyn ydinpolttoaineen loppusijoitus Olkiluodossa Viestintäseminaari 28.2.2012 Timo Seppälä Posiva Oy Posivan tehtävä VÄLIVARASTOINTI LOPPUSIJOITUS LOVIISA 1-2 POLTTOAINENIPPU OLKILUOTO 1-2 POLTTOAINENIPPU
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotIonisoiva säteily. Tapio Hansson. 20. lokakuuta 2016
Tapio Hansson 20. lokakuuta 2016 Milloin säteily on ionisoivaa? Milloin säteily on ionisoivaa? Kun säteilyllä on tarpeeksi energiaa irrottaakseen aineesta elektroneja tai rikkoakseen molekyylejä. Milloin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotYdinjätteet ja niiden valvonta
Ydinjätteet ja niiden valvonta Jussi Heinonen 1 Säteilyturvakeskus - STUK Toiminta-ajatus: Ihmisten, yhteiskunnan, ympäristön ja tulevien sukupolvien suojelu säteilyn haitallisilta vaikutuksilta 2 STUKin
LisätiedotSäteilytoiminnan turvallisuusarvio Johtamisjärjestelmä
Säteilytoiminnan turvallisuusarvio Johtamisjärjestelmä Mika Markkanen Säteilytoiminnan turvallisuusarvio (26 ) Tehtävä turvallisuuslupaa edellyttävästä toiminnasta Laadittava kirjallisesti Pidettävä ajan
LisätiedotBOREAL BIOREF OY KEMIJÄRVEN BIOJALOSTAMON YMPÄRISTÖVAIKUTUSTEN ARVIOINTISELOSTUS LIITE 7
BOREAL BIOREF OY KEMIJÄRVEN BIOJALOSTAMON YMPÄRISTÖVAIKUTUSTEN ARVIOINTISELOSTUS LIITE 7 Kemijärven suunnitellun biotuotetehtaan jätevesien kulkeutuminen kuormituspisteeltä P8 Raportti 1.3.217 Arto Inkala,
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotHumuksen vaikutukset järvien hiilenkiertoon ja ravintoverkostoihin. Paula Kankaala FT, dos. Itä Suomen yliopisto Biologian laitos
Humuksen vaikutukset järvien hiilenkiertoon ja ravintoverkostoihin Paula Kankaala FT, dos. Itä Suomen yliopisto Biologian laitos Hiilenkierto järvessä Valuma alueelta peräisin oleva orgaaninen aine (humus)
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotANNOSKAKKU - SUOMALAISTEN KESKIMÄÄRÄINEN EFEKTIIVINEN ANNOS
ANNOSKAKKU - SUOMALAISTEN KESKIMÄÄRÄINEN EFEKTIIVINEN ANNOS Maarit Muikku Suomen atomiteknillisen seuran vuosikokous 14.2.2008 RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Suomalaisten keskimääräinen säteilyannos
LisätiedotYMPÄRISTÖN LUONNOLLINEN RADIOAKTIIVISUUS SUOMESSA professori Jukka Lehto Radiokemian laboratorio Helsingin yliopisto SISÄLTÖ Säteilyn lähteet Radioaktiivisuuden lähteet Suomessa Säteilyn terveysvaikutukset
LisätiedotOptimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotFL, sairaalafyysikko, Eero Hippeläinen Keskiviikko , klo 10-11, LS1
FL, sairaalafyysikko, Eero Hippeläinen Keskiviikko 19.12.2012, klo 10-11, LS1 Isotooppilääketiede Radioaktiivisuus Radioaktiivisuuden yksiköt Radiolääkkeet Isotooppien ja radiolääkkeiden valmistus 99m
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotLiuenneen orgaanisen hiilen huuhtoutuminen ja kulkeutuminen - bayesilainen arviointi HENVI SCIENCE DAYS
Liuenneen orgaanisen hiilen huuhtoutuminen ja kulkeutuminen - bayesilainen arviointi HENVI SCIENCE DAYS 14.5.2014 Biotieteellinen tiedekunta / Mika Rahikainen www.helsinki.fi/yliopisto 15.5.2014 1 Esityksen
LisätiedotBentoniittipuskurin jääkauden jälkeinen eroosio
Bentoniittipuskurin jääkauden jälkeinen eroosio Matti Liukkonen & Markus Olin # # Nykyinen osoite: Science consulting cheq&diff BENTONIITTIPUSKURIN JÄÄKAUSIEROOSIO Jääkausi- eli glasiaalieroosio voi heikentää
LisätiedotUudenkaupungin väylän meriläjitysten sedimentaatiotutkimus
Uudenkaupungin väylän meriläjitysten sedimentaatiotutkimus Vesiväyläpäivä Sito Parhaan ympäristön tekijät Tutkimuksen tausta ja tavoitteet Läjitysmassojen pysyvyys avainasemassa tutkittaessa meriläjitysten
LisätiedotPILAANTUNEEN MAAPERÄN JA POHJAVEDEN KUNNOSTUS MIKKELIN PURSIALASSA. Timo Massinen
PILAANTUNEEN MAAPERÄN JA POHJAVEDEN KUNNOSTUS MIKKELIN Timo Massinen HISTORIAA / TAUSTAA Kreosoottikyllästämö PAH- yhdisteet Lisäksi pursialan alueella pienteollista toimintaa, puunjalostusta, korjaamoja
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotRavinteisuuden vaikutus kasvupotentiaaliin muuttuvassa ilmastossa Annikki Mäkelä Mikko Peltoniemi, Tuomo Kalliokoski
Ravinteisuuden vaikutus kasvupotentiaaliin muuttuvassa ilmastossa Annikki Mäkelä Mikko Peltoniemi, Tuomo Kalliokoski LIFE09 ENV/FI/000571 Climate change induced drought effects on forest growth and vulnerability
LisätiedotSäteily- ja ydinturvallisuus -kirjasarjan toimituskunta: Sisko Salomaa, Roy Pöllänen, Anne Weltner, Tarja K. Ikäheimonen, Olavi Pukkila, Wendla Paile, Jorma Sandberg, Heidi Nyberg, Olli J. Marttila, Jarmo
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotSISÄISESTÄ SÄTEILYSTÄ AIHEUTUVAN ANNOKSEN LASKEMINEN
OHJE ST 7.3 / 23.9.2007 SISÄISESTÄ SÄTEILYSTÄ AIHEUTUVAN ANNOKSEN LASKEMINEN 1 YLEISTÄ 3 2 EFEKTIIVISEN ANNOKSEN KERTYMÄN LASKEMINEN 3 3 ANNOSMUUNTOKERTOIMET 3 4 JALOKAASUJEN AIHEUTTAMA ALTISTUS 5 4.1
LisätiedotMeidän ympäristömme Loviisan voimalaitos
Meidän ympäristömme 2018 Loviisan voimalaitos Loviisan voimalaitos - puhtaan energian tuottaja Vuonna 2018 voimalaitos tuotti sähköä ilman hiilidioksidipäästöjä yhteensä 7,79 TWh (netto). Se vastaa reilua
LisätiedotIteratiiviset ratkaisumenetelmät
Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n
LisätiedotKehittyneet polttoainekierrot Laskennallinen polttoainekiertoanalyysi. KYT2014 puoliväliseminaari Tuomas Viitanen, VTT KEPLA-projekti
Kehittyneet polttoainekierrot Laskennallinen polttoainekiertoanalyysi KYT2014 puoliväliseminaari 2013-04-17 Tuomas Viitanen, VTT KEPLA-projekti 2 Kehittyneet Polttoainekierrot (KEPLA-projekti) Kehittyneissä
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotTehtävänä on tutkia gammasäteilyn vaimenemista ilmassa ja esittää graafisesti siihen liittyvä lainalaisuus (etäisyyslaki).
TYÖ 68. GAMMASÄTEILYN VAIMENEMINEN ILMASSA Tehtävä Välineet Tehtävänä on tutkia gammasäteilyn vaimenemista ilmassa ja esittää graafisesti siihen liittyvä lainalaisuus (etäisyyslaki). Radioaktiivinen mineraalinäyte
LisätiedotLOHKO-hanke. Viljelijäaineisto
LOHKO-hanke Viljelijäaineisto Nitrogen loading from forested catchments Markus Huttunen ja Inese Huttunen SYKE/Vesikeskus 8/12/2016 Marie Korppoo VEMALA catchment meeting, 25/09/2012 Hankkeen päämäärät
LisätiedotYdinjätteen riskien arviointiin soveltuvan radioekologisen mallintamisen kehittäminen maa- ja vesiekosysteemissä (YRMA)
Ydinjätteen riskien arviointiin soveltuvan radioekologisen mallintamisen kehittäminen maa- ja vesiekosysteemissä (YRMA) Radioekologiaa loppusijoituksen näkökulmasta: makean veden ekosysteemit Picture modified
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotYleistä. Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos MS-E2129 Systeemien identifiointi 3. Harjoitustyö Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotDeterminantti. Määritelmä
Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)
LisätiedotTyö 55, Säteilysuojelu
Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja
LisätiedotKertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?
LisätiedotEsko Rossi Oy 20.10.1999
PILAANTUNEIDEN MAA-ALUEIDEN AIHEUTTAMIEN RISKIEN ARVIOINTI RISKINARVIOINTIPROSESSIN KULKU JA SISÄLTÖ Riskien arvioinnin tavoitteena on tuottaa tietoa alueen kunnostustarpeen, kunnostuksen kiireellisyyden
LisätiedotJohtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun
Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008
Lisätiedot