Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a

Transkriptio

1 Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y = 2. T allaisen ratkaisee vaikka uudella maolilla tai suurimman yhteisen tekij an avulla. Kun yht al oss a on muuttujien potensseja ja tuloja, ei yleisp atev a a ratkaisusysteemi a voi esitt a a. Erilaisia ratkaisutapoja n aihin tilanteisiin ovat:. Tulomuotoon saattaminen 2. Suuruusj arjestysten hyv aksik aytt o 3. Erikoistapausten tarkastelu 4. Jaollisuuden hy odynt aminen 5. Fermat'n a aret on laskeutuminen

2 2 Teht avi a 2. Tulomuoto M a arit a x, y Z, kun (x 2 + )(y 2 + ) + 2(x y)( xy) = 4( + xy) 2.. Ratkaisu (x 2 + )(y 2 + ) + 2(x y)( xy) = 4( + xy) 2xy 2xy x 2 y 2 + x 2 + y 2 + 2xy 2xy + 2(x y)( xy) = 4 Koska x 2 2xy + y 2 = (x y) 2 ja x 2 y 2 2xy + = ( xy) 2, saadaan muoto (x y) 2 + ( xy) 2 + 2(x y)( xy) = 4 ( (x y) + ( xy)) 2 = 4 ( (x + )(y )) 2 = 4 (x + )(y ) = ±2 On siis oltava x + = 2 ja y = tai x + = 2 ja y = jne... Ratkaisuja saadaan n ain aika monta (8 kai) Vastaus Esim. x = ja y = 2. 2

3 2.2 Tulomuoto 2 M a arit a x, y N, kun p, q P ja x + y = pq 2.2. Ratkaisu x + y = pq x + y xy = pq pq(x + y) = xy xy xpq ypq + p 2 q 2 = p 2 q 2 (x pq)(y pq) = p 2 q 2 J alleen saadaan monta ratkaisua, joiden py orittely yll a olevasta yht al ost a on tyls a a, mekaanista ty ot a. Esim. jos x pq = p 2 q 2 x = pq + p 2 q 2 ja y pq = y = pq + 3

4 2.3 Tulomuoto 3 M a ari lukuparit (x, y) N 2 siten, ett a (xy 7) 2 = x 2 + y Ratkaisu (xy 7) 2 = x 2 + y 2 + 2x (xy 7) 2 + 2xy = x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2 x 2 y 2 4xy xy = (x + y) 2 Kokeillaan erilaisia polynomeja jotka sopisivat yht al on vasemmalle puolelle (onhan t am a kilpailuteht av a, kaikki ei saa olla liian helppoa). Huomataan, ett a (xy 6) 2 = x 2 y 2 2xy + 36 sopii aika hyvin. (xy 6) = (x + y) 2 (x + y) 2 (xy 6) 2 = 3 Neli oiden eruskaavalla a 2 b 2 = (a + b)(a b) (x + y + xy 6)(x + y xy + 6) = 3 J alleen saatiin tyls a a mekaanista laskentaa vaativa tilanne, esimerkiksi er as ratkaisuparion, kun { xy 6 + x + y = xy x + y = 3 2x + 2y = 4 x + y = 7 My os muita ratkaisuja toki on, mutta yksi siis on x = 7 y. 4

5 2.4 Summa M a arit a x, y Z. x 3 + y 3 = (x + y) Ratkaisu Triviaaliratkaisu x + y = 0 eli x = y. Toisaalta jos x + y 0, niin x 3 + y 3 = (x + y) 3 (x + y)(x 2 xy + y 2 ) = (x + y) 2 2, : (x + y) x 2 2xy + y 2 + x 2 + y 2 2x 2y = 0 (x y) 2 + (x ) 2 + (y ) 2 = 2 Saadaan monia eri ratkaisuja raa-alla ty oll a, mm. lukuparit (2, ), (, 2), (0, ) ja (, 0). 5

6 2.5 Suuruusj arjestys M a arit a x, y, z N, kun x + y + z = Ratkaisu Koska yhteenlaskun laskuj arjestyst a voidaan muuttaa, voidaan sopia, ett a x < y < z, eli. T all oin oltava x y z 3 x 3 5 x 5 x 5 Toisaalta on oltava x >. On siis k ayt av a erikseen l api tapaukset x = 2, x = 3, x = 4 ja x = 5. Jos x = 2: y + z = = 0 Jolloin on oltava Lis aksi on oltava. Jolloin 2 y 0 y 20 y 0 y > 0 z = 0 y z = 0y y 0 Vastaavasti k ayd a an l api tapaukset x = 3, x = 4 ja x = 5. 6

7 2.6 Erikoistapauksen tarkastelu Osoita, ett a on a arett om an monta lukukolmikkoa (x, y, z) inz 3 siten, ett a x 3 + y 3 + z 3 = x 2 + y 2 + z Ratkaisu Riitt a a osoittaa, ett a lukukolmikoita, joissa y = z, on a arett om asti (mist a t am a keksit a an? no, kilpateht aviss a pit a a v ah an p a atell a...). T all oin x 3 = x 2 + 2y 2 Edelleen riitt a a osoittaa, ett a yht al oin toteuttavia lukukolmikoita, joissa y = m x, m Z on a arett om asti. x 3 = 2m 2 x 2 + x 2 x = 2m 2 + y = m( + 2m 2 ) z = m( + 2m 2 ) Siis n aiss a erikoistapauksissakin yht al on toteuttavia lukukolmikoita on arett om asti. Siis yleisestikin yht al on toteuttavia lukukolmikoita (x, y, z) on a arett om asti. 7

8 2.7 Jaollisuus Osoita, ett a yht al oll a (x + ) 2 + (x + 2) (x ) 2 = y 2, kun x, y Z (eli tuo lauseke on jonkin kokonaisluvun neli o) Ratkaisu Yritet a an saada lauseke sellaiseksi, ett a symmetrian avulla saataisiin helposti kerrottua se auki. Jos tehd a an sijoitus x = z, niin x + = z 003 x + 2 = z x = z Jolloin (z 003) 2 + (z 002) (z + 003) 2 = y 2 Koska a 2 + 2ab + b 2 + a 2 2ab + b 2 = 2a 2 + 2b 2, saadaan aukikertomalla 2007z 2 + 2( ) Neli olukujen summa n 2 = n(n+)(n+2) 6. Siis 2007z z Tutkitaan, voiko lauseke olla jonkun kokonaisluvun neli o hy odynt am all a kongruenssia. Kilpailuteht av alle tyypillisesti nyt pit a a ovelasti keksi a, mill a luvulla jaollisuus on tutkittava, t ass a tapauksessa kokeilemalla voidaan huomata ett a 9 on sopiva luku. 2007z (mod 9) 60 6 (mod 9) Tutkitaan, voiko mink a an kokonaisluvun neli o olla kongruentti luvun 6 kanssa (mod 9). Jokainen luku voidaan sanoa muodossa 9k + m, jolloin neli on a se on (9k + m) 2 = 8k 2 + 8km + m 2 8

9 T am an jakoj a annos yhdeks all a jaettaessa riippuu siis vain m:n arvosta, joten riitt a a tutkia lukujen 8 neli oiden jakoj a ann os jaettaessa yhdeks all a: 2 = (mod 9) 2 2 = 4 (mod 9) 3 2 = 9 0 (mod 9) 4 2 = 6 7 (mod 9) 5 2 = 25 7 (mod 9) 6 2 = 36 0 (mod 9) 7 2 = 49 4 (mod 9) 8 2 = 64 (mod 9) Havaitaan siis, ett a mink a an luvun neli o ei voi olla kongruentti luvun 6 kanssa (mod 9), eli v aite on todistettu. 9

10 2.8 A aret on laskeutuminen M a arit a x, y, z N siten, ett a x 3 + 2y 3 = 4z Ratkaisu Kilpateht av alle tyypillisesti hoksaamme tehd a arvauksen, jonka mukaan yht al oll a on ratkaisukolmikko (x, y, z ), x, y, z > 0. T all oin x 3 + 2y 3 = 4z 3 Vain parillisen luvun kuutio on parillinen ((2n + ) 3 = 8n 3 + 2n 2 + 6n + ). Siis x :n on oltava parillinen, eli se voidaan ilmaista muodossa x = 2x 2. 8x y 3 = 4z 3 4x y 3 = 2z 3 Samalla perusteella voimme nyt vaatia, ett a y = 2y 2. 4x y 3 2 = 2z 3 Nyt z = 2z 2, joten 2x y 3 2 = z 3 2x y 3 2 = 8z 3 2 x y 3 2 = 4z 3 2 Havaitaan siis, ett a jos (x, y, z ) toteuttaa yht al on, niin t all oin my os (x 2, y 2, z 2 ), miss a x 2 = 2 x, y 2 = 2 y ja z 2 = 2 z. Siis yht al on toteuttavat lukukolmikot (x, y, z ), ( 2 x, 2 y, 2 z ), ( 4 x, 4 y, 4 z ) jne. T am a ei kuitenkaan ole mahdollista, sill a jossain vaiheessa p a adytt aisiin lukuun, joka ei ole kokonaisluku mik a on oletuksen vastainen. Ratkaisun olemassaolon olettaminen johtaa siis ristiriitaan, joten ratkaisua ei ole olemassa. 0