Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva"

Transkriptio

1 Timo Tossavainen Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva Johdanto Matematiikka (tieteenä) on osoittautunut mahdottomaksi asiaksi määritellä: kaikki yritykset ovat jääneet joko liian kapea-alaisiksi tai ylimalkaisiksi (esim. Spengler 1961; Vala 1979). Matematiikan monisäikeisyys näkyy myös siten, ettei sen merkitystä ja luonnetta voida kuvata yksikäsitteisellä tavalla edes oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. Muun muassa Grigutsch, Raatz ja Törner (1995) sekä Pehkonen (1998) ovat todenneet, että matematiikkaa lähestytään oppimistilanteissa ainakin neljästä eri aspektista. Nämä ovat laskenta-aspekti, jossa matematiikka nähdään lähinnä laskennoksi; systeemiaspekti, jossa matematiikka nähdään systeeminä, jonka merkitys löytyy todistuksista; prosessiaspekti, jossa matematiikan merkitys seuraa sen jatkuvasta kehityksestä; sovellettavuusaspekti, jossa matematiikalla nähdään olevan merkitystä sen sovellettavuuden takia. Mainittujen aspektien lisäksi varsinkin viime vuosina matematiikkaa ja sen oppimista on enenevästi tarkasteltu kielen ja sen oppimisen näkökulmasta. Downs ja Mamona-Downs (2005) viittaavat käsitteellä todistuskieli (proof language) sen kielen piirteisiin, jolla varsinaisessa matematiikassa matemaattiset todistukset usein esitetään, ja pyrkivät selittämään sen avulla syitä useissa eri tutkimuksissa havaittuun mm. Moore (1994), Weber (2002), Tossavainen ja Luostarinen (2004) opiskelijoiden heikkoon taitoon tuottaa matemaattisia todistuksia yksinkertaisillekin väitteille. Matematiikan ja kielentutkimuksen välinen vuorovaikutus ei ole uusi asia. Kielitiedettä 1950-luvulta asti hallinnut generatiivinen kielioppi (Chomsky 1957 ja 1965) on tehokkaasti käyttänyt hyväkseen joukko-opin ja matemaattisen logiikan menetelmiä. Myös matematiikka, esimerkiksi automaattien teorian ja sen sovellusten kautta, on hyötynyt lingvistisestä tutkimuksesta. Toisaalta, vaikka matematiikan symbolikielen semiotiikkaa onkin jonkin verran tutkittu (esim. Thiel 1975), ei laaja-alaisia tutkimuksia matemaattisen yhteisön kielestä (langue) liene juuri tehty sen jälkeen, kun Peanon kuuluisa yritys luoda universaali muodollinen kieli kaiken matemaattisen ajattelun kommunikoinnin välineeksi haudattiin Peanon mukana hänen kuoltuaan (ks. esim. Kennedy 1980). Ainakaan Google Scholar -haku sanoilla langue ja mathematics ei tuo esiin tällaisia tutkimuksia (ks. myös Gouthier 2002). Sen sijaan matematiikan oppimista ja opettamista diskursiona on tutkittu myös viime aikoina. Educational Studies in Mathematics -lehti 233

2 Timo Tossavainen julkaisi tästä aiheesta jopa erikoisnumeron vuonna Lyhyehkö mutta varsin kattava kuvaus tästä lähetysmistavasta löytyy esimerkiksi Sierpinskan (2002) artikkelista. Tässä kirjoituksessa tarkastellaan aluksi esimerkkien avulla, missä mielessä matematiikkaa voidaan pitää kielen kaltaisena objektina. Jo näiden havaintojen ja edellä mainittujen tutkimusten valossa näyttää tarpeelliselta kytkeä matematiikan kielelliset piirteet osaksi suurempaa matematiikan oppimisteoreettista käsitettä, matematiikkakuvaa (esim. Pehkonen 1995), jonka avulla pyritään muodostamaan kokonaiskuva niistä tekijöistä, jotka vaikuttavat yksilön menestymiseen matematiikan oppijana. Tätä varten artikkelissa määritellään käsite matematiikan kieliaspekti, jonka keskeisyyttä yksilön suhteessa matematiikkaan voidaan siis pitää laajemman matematiikkakuvakäsitteen eräänä muuttujana. Kirjoituksen lopuksi tarkastellaan vielä, mitä vaikutuksia opetuksen järjestämiseen matematiikan kielellisten piirteiden korostamisella voi olla matematiikan aineenopettajien koulutuksessa, ja sitä, millaista mainittuja piirteitä korostava matematiikan opetus voisi olla. Käytännössä tätä ei ole vielä juurikaan testattu. Lukuun ottamatta pieniä Savonlinnassa tehtyjä opetuskokeiluja aiheesta ei ole ainakaan Suomessa tehty vielä yhtään laaja-alaista empiiristä tutkimusta. Matematiikan kielellisiä piirteitä Matematiikalla on oma sanastonsa, ja siihen liittyy suuri joukko vakiintuneita, vain sille tyypillisiä ilmaisuja ja kielellisiä rakenteita. Toisaalta matematiikassa käytetään runsaasti arkisessakin kielenkäytössä esiintyviä sanoja. Usein näillä sanoilla on kuitenkin konkreettiseen ja havainnolliseen sanojen tulkintaan nähden erilainen merkitys. Esimerkiksi sana diskreetti ei viittaa matematiikassa hienotunteisuuteen eikä sileä funktio ole rypistyneen funktion vastakohta. Matemaattinen teksti sisältää yleensä myös tavallisen aakkoston ulkopuolisia symboleja. Näitä voidaan käyttää sekä matemaattisten objektien niminä ja ilmaisemaan niiden välisiä suhteita että myös välittämään tietoa muun muassa siitä, kuinka kaavojen ja merkkijonojen välittämää päättelyä tulisi seurata. Erityisesti viimeksi mainittu seikka mahdollistaa sen, että matematiikassa käytetään lähinnä luonnollisten kielten virkkeisiin verrattavissa olevalla tasolla sellaisiakin argumentaatiomuotoja, joissa päättely voi edetä yhtä aikaa moneen suuntaan. Lisäksi traditio voi ohjata varsin yksityiskohtaisesti matemaattisen esityksen laatimista. Esimerkiksi geometrisen probleeman ratkaisun on perinteisesti odotettu sisältävän seuraavat osiot: annettujen esitietojen yhteenveto, ratkaistavan ongelman muotoilu, sen ratkaisu, perustelu ja tarkastelu. 234

3 Vaikka matematiikkaa yleisesti pidetään mahdollisuutena esittää monimutkaisiakin ajatusrakennelmia erityisen täsmällisellä tavalla, siihen ei kuitenkaan sisälly mitään luonnollisen kielen kielioppiin verrattavissa olevaa sääntökokoelmaa siitä, millä tavalla mikäkin asia pitäisi sanoa (kaikissa mahdollisissa asiayhteyksissä). On vain olemassa perinteen kaltaisena välittyviä tapoja ilmaista vakiintuneita käsitteitä ja niistä koostuvia rakenteita, jotka kuitenkin eri asiayhteyksissa voivat korvautua uusilla merkinnöillä. Esimerkiksi funktion derivaattaan viitataan eri yhteyksissä funktion nimeen liitetyllä pilkulla, pisteellä tai seuraavalla ilmaisulla: x y Tämäkin havainto kuitenkin tukee sitä käsitystä, että matematiikka on kieleen verrattavissa: se kehittyy kuten kieli tuottaen uusia ilmaisutapoja myös entuudestaan tutuille käsitteille ja rakenteille. Toisaalta on todettava, että useimpien matematiikan osa-alueiden sisällä merkintöjen käyttöä ja ilmaisujen tuottamista yleisesti ohjaavat hyvinkin vakiintuneet käytännöt. Matematiikan kehittyminen kielenä paljastuu myös tutkimalla yksittäisten käsitteiden merkitysten syvenemistä ja laajenemista. Esimerkiksi se, että potenssin tavanomaiset laskusäännöt saadaan säilymään invariantteina, kun alkuperäinen potenssin määritelmä (a n on luku, joka saadaan kertomalla n kappaletta lukuja a keskenään) yleistetään tapaukseen, jossa eksponenttina voi olla mikä tahansa reaali- tai jopa kompleksiluku, on edellyttänyt radikaalia näkökulman laajentamista laskukaavojen näennäisestä yksinkertaisuudesta huolimatta. Vielä yhden näkökulman matematiikan kielenkaltaisuuteen voi saada tarkastelemalla, kuinka yhteisö ja asiayhteys vaikuttavat yksilön tapaan ilmaista matemaattisia ajatuksiaan. Weberiä (2003) lainaten oletetaan, että henkilön matemaattinen esitys perustuu siihen tosiasiaan, että funktion ƒ(x) = x derivaatta on ƒ (x) = 2x. Jos esitys pidetään lukion pitkän matematiikan polynomifunktioiden kurssilla, tämä fakta voidaan käsitellä lähinnä vetoamalla kuvaajasta saatavaan havaintoon. Derivaattakurssilla se voidaan jo perustella soveltamalla valmiina annettuja polynomifunktioiden derivoimissääntöjä. Yliopistossa analyysin peruskurssilla väite todennäköisimmin todettaisiin oikeaksi derivaatan määritelmän nojalla, kun taas jatkokurssilla kyseinen detalji yleensä sivuutetaan triviaalina. Tällaiselle kenties tarkkaan määriteltävissä olemattomalle mutta selvästi havaittavissa olevalle matemaattista kielenkäyttöä ohjaavalle säännöstölle Yackel ja Cobb (1996) ovat antaneet nimen sosiomatemaattinen normi (sociomathematical norm). 235

4 Timo Tossavainen Matematiikkakuva ja matematiikan kieliaspekti Matematiikkakuvan käsite ilmestyi matematiikan didaktiikan kielenkäyttöön todennäköisesti artikkelin Törner & Grigutsch (1994) myötä. Myös Pehkonen (1995) tarkastelee tätä käsitettä yksityiskohtaisesti. Se sisältää käsityksen itsestä matematiikan oppijana ja opettajana sekä käsityksen matematiikasta, sen opettamisesta ja oppimisesta. Erot yksilöiden matematiikkakuvien välillä johtuvat esimerkiksi matematiikan oppimiseen ja opettamiseen liittyvistä uskomuksista ja kokemuksista (mm. Pietilä 2002) ja ilmenevät muun muassa matematiikan aspektien erilaisina korostumisina. Jos matematiikan kielellisiin piirteisiin liittyviä käsityksiä halutaan tarkastella osana yksilön matematiikkakuvaa samalla tavalla kuin johdannossa mainittuja matematiikan muita aspekteja, on näiden käsitysten kirjo jotenkin projisoitava yksidimensioiselle asteikolle. Tällöin asteikon toiseksi ääripääksi pitänee asettaa näkemys, jonka mukaan matematiikka on elävään ja kehittyvään kulttuuriin liittyvä kieli samalla tavalla kuin suomi, saksa, englanti jne. (jatkossa positiivinen ääripää), ja sen vastakohdaksi näkemys, jonka mukaan matematiikka on objekti, johon luonnollisilla kielillä vain viitataan ja joka on olemassa näistä riippumattomasti ja näiden ulkopuolella (negatiivinen ääripää). Näiden matematiikan aspektien muotoilua jäljitellen matematiikan kieliaspekti voidaan kiteyttää mainitun asteikon dimensiota luonnehtivaksi propositioksi, jonka mukaan matematiikka on oma kielensä, jota käytetään erityisesti matemaattisten ajatusten välittämiseen. On heti huomautettava, että matematiikan kaikkien kielellisten elementtien (syntaksin, semantiikan jne.) välisten suhteiden kuvaaminen yksiulotteisen muuttujan avulla on mahdotonta. Annettu kieliaspektin määritelmä pitääkin ymmärtää muuttujaksi, jonka avulla voidaan kuvata lähinnä vain matematiikan kielellisten piirteiden tiedostamisen suhteellista määrää yksilön matematiikkakuvassa. Tämä on yhteensopivaa muiden mainittujen matematiikan aspektien määrittelemisen kanssa. Jos tavoitteena on tutkia yksilön harjoittamaa matematiikkaa kielenä, siihen tämä matematiikan kieliaspekti ei ilmeisestikään sovellu. Matematiikan kieliaspektin positiivisesti äärimmäisen näkemyksen voidaan katsoa sisältävän myös käsityksen, että matematiikka on olemassa eli matemaattisella tekstillä tai puheella on merkitystä vain silloin, kun on olemassa yksilöitä, jotka osallistuvat (tai ainakin voisivat osallistua) tekstin tai puheen välittämään kommunikaatiotapahtumaan. Huomattakoon vielä, että matematiikan kieliaspektin positiivinen ilmentymä on hyvin yhteensopiva vygotskylaisen sosiokonstruktivistisen oppimiskäsityksen kanssa muttei ole ristiriidassa myöskään kognitiivisen tai situationaalisen konstruktivismin kanssa. Kieliaspektimuuttujan niin kuin minkä hyvänsä teoreettisen mallin variaabelin mittaaminen empiirisissä tutkimuksissa lienee aina haasteellinen 236

5 tehtävä. Haastattelututkimuksissa sen arvoa voidaan tietysti määrittää muun muassa analogioita käyttäen. (Esimerkiksi Muistuttaako matematiikan opiskelu vieraiden kielten opiskelua? ) Kieliaspektin orientaatio yksilön matematiikkakuvassa paljastunee myös tutkimalla, millaista kieltä hän ylipäätänsä käyttää matemaattisissa tuotoksissaan. Esimerkiksi se, missä määrin yksilö kiinnittää huomiota matemaattisen logiikan ja arkikielen välisiin eroihin tai -sanan ja jos niin -rakenteen käytössä tai matemaattisten määritelmien ja käsitteiden täsmälliseen käyttöön, paljastaa paljon hänen kielellisestä suuntautumisestaan matematiikassa. Matematiikan kielellisiä piirteitä vähättelevät opiskelijat näyttäisivät usein syyllistyvän siihen, että nojautuvat analyyttisen geometrian määritelmiin ja menetelmiin euklidisen geometrian kurssilla ja päinvastoin. Myös pii on irrationaaliluku ja sen arvo on 3,14 -tyyppiset virheet ovat paljastavia. Huolellisen kielenkäytön lisäksi myös taitavuus käyttää jopa omia vaihtoehtoisia ilmaisutapoja matemaattisille käsitteille ja niiden välisille suhteille puolestaan viitannee positiviisen kieliaspektin korostumiseen yksilön matematiikkakuvassa. Matematiikan oppimisongelmat ja kieliaspekti Millaiset matematiikan oppimiseen liittyvät ongelmat saattavat johtua matematiikan kieliaspektin negatiivisesta korostumisesta yksilön matematiikkakuvassa? Tarkastellaan tätä kysymystä muutaman esimerkin avulla. On selvää, ettei matematiikan oikeakielisyyttä tai edes sosiomatemaattisen normin alkeita opita pelkän matemaattisen substanssin läpikäynnin ohessa. Esimerkiksi Weber (2002) huomauttaa, että myös matematiikkaa pidemmälle opiskelleilla on yleisesti vaikeuksia hahmottaa, millainen matemaattisten faktojen yhteenkokoaminen konstruoi matemaattisen todistuksen. Toiseksi, lukiolaisten ja jopa matematiikan aineenopettajaksi opiskelevien lukukäsitteen hallinnassa on pahoja puutteita (mm. Merenluoto 2001; Tossavainen & Luostarinen 2004). Tämä voi liittyä kieliaspektin negatiiviseen ilmentymään matematiikkakuvassa sikäli, ettei oppija kykene hahmottamaan, mitä matemaattisia käsitteitä on sisäistettävä samalla tavalla kuin perussanasto ja lauseiden tuottamisen perussäännöt minkä tahansa (muun) kielen opiskelussa. Ongelmanratkaisu on viimeisten kahdenkymmenen vuoden aikana muodostunut merkittäväksi osaksi valtakunnallisia opetussuunnitelmien perusteita (esim. Törnroos 2004), ja sitä on tarjottu kaikilla tasoilla keinoksi parantaa matematiikan opetuksen laatua. Yliopistollisen matematiikan oppimisen edistämisen kannalta ongelmanratkaisun lisääminen saattaa kuitenkin osoittautua toivottua tehottomammaksi keinoksi. Ongelmana nimittäin on se, että ongelmanratkaisussa käytetty mielikuvien ja representaatioiden kieli voi olla hyvin toisenlaista kuin kieli, jolla varsinaisen matematiikan tulokset tulisi 237

6 Timo Tossavainen esittää. Monet opiskelijoiden todistamistaitojen heikkoutta käsittelevät tutkimukset (mm. Moore 1994; Weber 2002) viittaavat siihen, että opiskelijoiden vakavimmat vaikeudet matematiikan oppimisessa liittyvät enemmän representaatioiden tasolla tapahtuvan ajattelun kääntämiseen matematiikan kielelle ja päinvastoin kuin varsinaisen ongelman ratkaisemiseen (esimerkiksi representaatioiden tasolla). Analyysin opintojensa kanssa kamppailevien opiskelijoiden silloin tällöin esittämät väitteet kuten x x 2x + = eivät ole osoitus siitä, että nämä opiskelijat kuvittelisivat leivän puolikkaan ja kolmanneksen olevan yhteensä kaksi viidesosaa (eli alle puolet leivästä), vaan pikemminkin siitä, ettei yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella oleva lauseke edusta heille mitään käsitettävää ilmaisua, ja siksi he arvaavat omalla tavallaan johdonmukaisesti yhteenlaskun lopputulokseksi osoittajina olevien x:ien summan ja nimittäjien summan osamäärää. Tällaisten opiskelijoiden polynomialgebran taidot eivät kohene polynomilausekkeisiin liittyviä mielikuvia muokkaamalla vaan löytämällä oikea tapa yhdistää heidän representaatioiden tasolla tapahtuva, useimmiten oikeita johtopäätöksiä tuottava, ajattelunsa matematiikan kielellä tapahtuvaan ilmaisuun. Downs ja Mamona-Downs (2005) ovat huomanneet formaalin matematiikan ja representaatioiden tasojen välisen kielenkääntämisongelman näkyvän jopa siten, että opiskelijat joutuessaan ratkaisemaan tehtävää, jonka antamisen yhteydessä on annettu myös vihjeitä ratkaisun löytämiseksi, käyttävät ratkaisuansa konstruoidessaan vihjeitä varsin harvoin. Tämän he olettavat johtuvan siitä, että vihjeet on yleensä annettu formaalin matematiikan kielellä, joten kääntämisongelmasta kärsivät opiskelijat kokevat vihjeen pikemminkin tehtävää vaikeuttavaksi ylimääräiseksi taakaksi kuin tehtävän muotoilijan tarkoittamalla tavalla! Kielenkääntämiseen liittyvänä ongelmana on nähtävä sekin varsin yleinen ilmiö, että monella opiskelijalla on vielä yliopistossa vaikeuksia erottaa, mikä todistamistehtävän osa on todistettava väite ja mitkä propositiot kuuluvat oletuksiin (Downs & Mamona-Downs 2006). Myös Selden ja Selden (1995) ovat raportoineet vakavista puutteista opiskelijoiden taidoissa ilmaista kuvailevia väitteitä matematiikan kielellä tai kääntää sanallinen ilmaisu predikaattilogiikan symboleja sisältäviksi ilmaisuiksi. Kielenkääntämisongelma näyttää siis olevan hyvin yleismaailmallinen. Toisaalta voidaan havaita myönteisiäkin syitä kiinnittää huomiota oppijoiden käsityksiin matematiikan kielellisistä piirteistä. Tossavaisen ja Luostarisen (2004) tutkimukseen osallistuneiden peruskoulun matematiikanopettajaksi valmistuvien opiskelijoiden todistamistaitojen hyvyys korreloi selke- 238

7 än positiivisesti sen kanssa, missä määrin heidän käsityksensä matematiikasta sisälsivät kielellisiä piirteitä. Matematiikan kielellisten piirteiden ottaminen huomioon opetuksessa Kielenopetuksen yleisenä tavoitteena voidaan pitää sellaista kielitaitoa, jota opiskelija voi autonomisesti ylläpitää ja täydentää. Tähän tavoitteeseen pääsy edellyttää jonkinlaisen sanavaraston ja lauseiden tuottamisen perussääntöjen omaksumisen lisäksi perehtymistä siihen kulttuuriin, jossa kieltä käytetään, sekä tulemista tietoiseksi niistä informaaleista ja tilanneriippuvaisista normeista, jotka ohjaavat ilmaisun tyylin valitsemista. Jos myönnämme, että matematiikka on (myös) kieli, nämä asiat tulisi ottaa huomioon kaikessa matematiikan opetuksessa. Ihmisten kokemukset ja muistikuvat koulumatematiikasta viittavat siihen, ettei keskustelevan ja oppijan oman matemaattisen kielitaidon kehittymistä tukevan opetustyylin mahdollisuuksia ole läheskään aina osattu hyödyntää matematiikan opetuksessa (esim. Kaasila 2000). Jos matematiikan oppimisongelmia pyritään opetuksessa ratkaisemaan matematiikan kielellisiä piirteitä korostamalla, voidaan erityisesti matematiikan opettajankoulutuksessa joutua tarkastelemaan opintokokonaisuuksien sisältöjä uudella tavalla. Tämä johtuu siitä, että kielellisiin kysymyksiin ei välttämättä voida kiinnittää halutulla tavalla huomiota kursseilla, joilla opiskelijoiden on keskityttävä erityisesti laskutekniikkaansa parantamiseen. Esimerkiksi diskreetin matematiikan ja geometrian kurssien voidaan olettaa soveltuvan matematiikan kielellisten taitojen kehittämiseen paremmin kuin analyysin kurssien, sillä analyysin alkeidenkin omaksuminen edellyttää ensin mainittuihin nähden monimutkaisempien laskentamenetelmien sisäistämistä. Onkin syytä pohtia laajasti ja monelta näkökannalta, missä määrin on mielekästä sisällyttää analyysia pelkästään peruskoulussa toimivien matematiikanopettajien koulutukseen. Yleisemmin matematiikan kielellisiin piirteisiin huomionkiinnittämisen tärkeyttä korkeamman matematiikan opetuksessa voidaan perustella ainakin seuraavilla kolmella seikalla. Ensiksi, varsinaisen yliopistollisen matematiikan opetuksen haasteet eivät liity niinkään yksittäisten käsitteiden omaksumiseen vaan pikemminkin huomattavasti laajemman ja monikerroksisemman käsitteellisen informaation uudelleen jäsentämiseen ja täydentämiseen. Korkeamman matematiikan oppiminen on oleellisesti yksilöllä jo olemassa olevan konseptuaalisen ja proseduraalisen tietämyksen kielellistä työstämistä. Toiseksi, analyysin oppiminen edellyttää käytännössä sitä, että oppija pystyy operoimaan sekä havainnollisten mielikuviensa tasolla että varsinaisen matematiikan kielen tasolla ja ennen kaikkea liikkumaan joustavasti näiden tasojen välillä. Tällainen liikkuminen tapahtuu oleellisesti kielen vaih- 239

8 Timo Tossavainen tamisen avulla. Esimerkiksi havainnollisten mielikuvien tasolla kelvollinen käyrän ja koordinaattiakselin leikkaamiseen perustuva argumentti on käännettävä pienimmän ylärajan ominaisuuteen perustuvaksi argumentiksi ennen kuin se on hyväksyttävä perustelu varsinaisen matematiikan kielellä. Toisaalta muun muassa raja-arvoja tarkasteltaessa mielikuvien tasolla on luonnollista käyttää ilmaisuja, joita ei voida sanasta sanaan kääntää epsilon-delta - kielelle. Matematiikan oppijan on siis tiedostettava todellinen tarve opetella matematiikan eri osa-alueiden tyypillisiä ilmaisurakenteita eikä pelkästään fraaseja. Kolmanneksi, myös yksittäisten käsitteiden sisäistäminen yleensä edellyttää varsinaisessa matematiikassa luonnollisten kielten tavanomaisen käytön rajojen ylittämistä. Jo matematiikan kaikkein keskeisimmän käsitteen eli luvun käsittäminen vaatii tätä. Millainen kielellisen abstraktion harppaus onkaan otettava, ennen kuin yksilö pääsee esimerkiksi kolmen omenan tai sormen määrällisen samuuden hahmottamisen tasolta tasolle, jolla hän ymmärtää käsitteen kolme ilman omenoita, sormia tai mitään muutakaan kosketeltavissa tai edes kuviteltavissa olevia objekteja puhumattakaan reaalilukujen perimmäisistä ominaisuuksista? Mooren metodi Millaista matematiikan kielellisiä piirteitä korostava opetus voisi sitten käytännössä olla? Amerikkalaiselta matemaatikolta R. L. Moorelta nimen saanut opetusparadigma tarjoaa tästä esimerkin. Mooren metodin mukaisessa opetuksessa kouluttajan rooli on lähinnä esitellä kunkin opetettavan kokonaisuuden lähtökohta ja joukko hypoteeseja sekä keskustelemalla ohjata opiskelijoita itse löytämään hypoteesien kannalta keskeiset matemaattiset ilmiöt ja ominaisuudet sekä perustelemaan ne tosiksi tai epätosiksi (esim. Mahavier 1999; Weber 2003). Tässä menetelmässä opiskelijat ovat sen materiaalin ensisijaisia tuottajia, joka kustakin kurssista jää kirjalliseksi dokumentiksi, vaikka kouluttaja vastaakin määritelmien asettamisesta sekä keskeisten lauseiden ja tutkimusongelmien valitsemisesta. Se siis eroaa oleellisesti perinteisestä luentomaisesta matematiikan opetuksesta. Mooren metodia voidaan pitää hyvänä esimerkkinä sosiokonstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaisesta matematiikan opetuksesta, ja keskustelua korostavan luonteensa takia se tarjoaa erinomaiset edellytykset matematiikan kielellisten piirteiden esillä pitämiseksi. Kouluttaja voi tällaisessa opetuksessa kysymysten avulla luontevasti ohjata opiskelijoita kehittämään ilmaisuansa matemaattisesti moitteettomaksi. Toisaalta erityisesti opiskelijoiden keskinäinen kommunikointi kannustaa, ellei suorastaan pakota, opiskelijoita täsmentämään ns. brainstorming-vaiheessa käytetyn kuvailevan kielen keskeisiä käsitteitä. Tällöin opiskelijoiden ongelmanratkaisukieli saa jo täsmällisen sa- 240

9 naston kertymisen kautta enemmän matemaattisia piirteitä, mikä helpottaa edellä mainittujen kielenkääntämiseen liittyvien ongelmien selvittämistä. Ilmeisesti Moore oli hyvin tietoinen näistä seikoista, sillä Mahavierin (1999) mukaan hän kiinnitti erityisesti huomiota siihen, millaista englannin kieltä hän käytti opetustilanteissa ja -keskusteluissaan. Mooren metodi edellyttää kouluttajalta kykyä arvioida ennakoivasti opiskelijoiden erilaisia ja eri tavalla eteneviä oppimisprosesseja ja reagoida nopeasti tilanteisiin, joissa koko opiskelijaryhmää voi luontevasti ja huomiota herättämättä ohjata oppimistavoitteiden kannalta oikeaan suuntaan, sekä taitoa keskustella matematiikasta sen kielen monella eri tasolla. Lisäksi kouluttajan on oltava hyvin kärsivällinen. Metodia sovellettaessa yleensä käy niin, että alussa opiskelijoiden edistyminen on hidasta, koska menetelmä vaatii heiltä perinteiseen kouluopetukseen nähden toisenlaisten työskentelytapojen omaksumista. Mahavier (1999) huomauttaakin, että useimmat metodin käyttöönottoon liittyneet epäonnistumiset selittyvät sillä, ettei kouluttaja ole ollut riittävän kärsivällinen ja on sen takia halunnut tehostaa opetusta esittämällä itse lyhyempiä ja täsmällisempiä todistuksia tarkasteltaville väitteille sen sijaan että olisi antanut opiskelijoiden konstruoida vähemmän suoraviivaisesti eteneviä mutta sinänsä oikeita päättelyjä. Toisaalta Mooren metodin mukaisen opetuksen onnistuminen edellyttää myös opiskelijoilta aktiivista ja avointa osallistumista. Heidän tehtävänään on tuottaa riittävästi erilaisia näkökulmia ja tulkintoja tarkasteltavasta aiheesta, joita työstämällä koko ryhmä edistyy. Tämä onnistunee helpoiten pienryhmissä. Mooren metodi on jo yli puoli vuosisataa vanha mutta herättää edelleen innostusta lukuisista viime vuosinakin julkaistuista raporteista päätellen. Aineopintotasoisen analyysin peruskurssin järjestämistä Mooren metodin mukaisesti on kuvailtu yksityiskohtaisesti mm. artikkelissa Mahavier (1999). Tämän kuvauksen perusteella vaikuttaa siltä, että menetelmää voidaan hyvin soveltaa matematiikan aineenopettajakoulutuksen lisäksi myös motivoituneiden oppilaiden opetukseen ainakin lukiossa ja kenties jopa peruskoulussa. Matematiikan kielellisten piirteiden korostaminen Mooren metodia käyttäen voi siis pakottaa vähentämään matematiikan aineenopettajien koulutuksen opintojaksoissa läpikäytävän oppiaineksen määrää. Toisaalta tällainen ratkaisu voi edistää sellaisen matemaattisen kielitaidon kehittymistä, että esimerkiksi aineopinnot suorittanut henkilö kykenee entistä itsenäisemmin täydentämään matematiikan tietojaan ja taitojaan (ks. Mahavier 1999). Kielellisten piirteiden korostaminen ei tarkoita mielikuvien tasolla tapahtuvien ajatteluprosessien vähättelyä vaan sitä, että oppijoita kannustetaan kehittämään näiden prosessien kielentämistä siihen suuntaan, että he voisivat tehokkaammin käyttää hyväkseen olemassa olevaa kirjallisuutta. Kieliaspektin korostaminen Mooren metodin mukaisessa opetuksessa ei siis lopulta edellytä opetuksen matemaattisesta laadusta tinkimistä, vaikka oppiaineksen karsimi- 241

10 Timo Tossavainen nen matematiikan aineenopettajakoulutuksessa on jo herättänyt huolestuneisuutta kotimaisissa matemaatikkopiireissä (esim. Martio 2005). Lähteet Chomsky, N Syntactic structures. Haag: Mouton & Co. Chomsky, N Aspects of the theory of syntax. Cambridge: The M.I.T. Press. Downs, M. & Mamona-Downs, J The proof language as a regulator of rigor in proof, and its effect on student behaviour. CERME 4 Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, February 2005 in Sant Feliu de Guíxols, Spain. <http:// cerme4.crm.es/> (Luettu ) Gouthier, D Language and terms to communicate mathematics. Jekyll. comm International Journal on Science Communication 1 (2). <http:// jekyll.comm.sissa.it/>. (Luettu ) Grigutsch, S., Raatz, U. & Törner, G Mathematische Weltbilder bei Lehrern. Schriftreihe des Fachbereichs Mathematik. Preprint. Nr Duisburg: Gerhard-Mercator-Universität. Kaasila, R Eläydyin oppilaan asemaan Luokanopettajaksi opiskelevien kouluaikaisten muistikuvien merkitys matematiikkaa koskevien käsityksien ja opetuskäytäntöjen muotoutumisessa. Acta Universitatis Lapponiensis 32. Rovaniemi: Lapin yliopisto. Kennedy, H. C Peano. Life and works of Giuseppe Peano. Studies in the history of modern science, 4. Dordrecht-Boston, Mass: D. Reidel Publishing. Mahavier, W. S What is the Moore method? Primus 9, Martio, O Pisa-tutkimus: matematiikan oppisisällöt ja opettajat. Solmun erikoisnumero 1/ , Merenluoto, K Lukiolaisen reaaliluku. Lukualueen laajentaminen käsitteellisenä muutoksena matematiikassa. Annales Universitatis Turkuensis C 176. Turku: Turun yliopisto. Moore, R. C Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics 27, Pehkonen, E Pupils View of Mathematics Initial report for an international comparison project. Tutkimuksia 152. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos. Pehkonen, E Teachers conceptions on mathematics teaching. Teoksessa M. Hannula, (toim.) Current state of research on mathematical beliefs V. Tutkimuksia 184. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos,

11 Pietilä, A Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva: matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Tutkimuksia 238. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos. Selden, J. & Selden, A Unpacking the logic of mathematical statements. Educational Studies in Mathematics 29 (2), Sierpinska, A Language and communication in mathematics education: Discoursing mathematics away. Esitelmä Luleån teknillisessä yliopistossa <http://alcor.concordia.ca/~sierp/discourse.pdf> (Luettu ) Spengler, O Länsimaiden perikato (lyhennetty laitos, 5. painos 2002), Helsinki: Tammi. Thiel, R Mathematik Sprache Dialektik. Berlin: Akademie-Verlag. Tossavainen, T. & Luostarinen, K Peruskoulun matematiikanopettajaksi opiskelevien todistamistaidot ja matematiikkakuva. Teoksessa K. Merenluoto & M. Mikkilä Erdmann (toim.) Learning research challenges the domain specific approaches in teaching A symposium for research on teaching and learning Turku Turku: University of Turku, Department of Teacher Education, Törner, G. & Grigutsch, S Mathematische Weltbilder bei Studienanfängern eine Erhebung. Journal für Mathematik-Didaktik 15 (3/4), Törnroos, J Opetussuunnitelma, oppikirjat ja oppimistulokset 7. luokan matematiikan osaaminen arvioitavana. Jyväskylä: Koulutuksen tutkimuslaitos. Vala, K Matematiikka. Teoksessa Otavan suuri ensyklopedia. Keuruu: Otava, Weber, K Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics 48 (1), Weber, K Students difficulties with proof. MAA Online: Research Sampler. <http://www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_8.html> (Luettu ) Yackel, E. & Cobb, P Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27 (4),

MATEMATIIKKA. Elina Mantere Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi. Elina Mantere

MATEMATIIKKA. Elina Mantere Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi. Elina Mantere MATEMATIIKKA Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi OPPIAINEEN TEHTÄVÄ Kehittää loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Luoda pohja matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJANKOULUTUS HELSINGIN YLIOPISTOSSA

MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJANKOULUTUS HELSINGIN YLIOPISTOSSA LUMAT 3(6), 2015 MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJANKOULUTUS HELSINGIN YLIOPISTOSSA Terhi Hautala & Juha Oikkonen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tiivistelmä Kirjoituksessa kuvaillaan

Lisätiedot

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla ASKELEITA LUOVUUTEEN - Euroopan luovuuden ja innovoinnin teemavuoden 2009 päätösseminaari Anni Lampinen konsultoiva opettaja, Espoon Matikkamaa www.espoonmatikkamaa.fi

Lisätiedot

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1

Lisätiedot

Perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Kauniainen 2016

Perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Kauniainen 2016 Perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Kauniainen 2016 1. Perusopetukseen valmistavan opetuksen lähtökohdat Kauniaisissa 2. Toimintakulttuuri 3. Opetuksen tavoitteet ja keskeiset sisällöt

Lisätiedot

- ja tänä elinikäisen oppimisen aikakautena myös aikuiset..

- ja tänä elinikäisen oppimisen aikakautena myös aikuiset.. 1 - ja tänä elinikäisen oppimisen aikakautena myös aikuiset.. 2 - koulutus = - kasvatuksen osa-alue; - tapa järjestää opetus; - prosessi hankkia tutkinto; - se, jokin, johon hakeudutaan oppimaan ja opiskelemaan;

Lisätiedot

DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI

DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI TIMO TOSSAVAINEN DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJA- KOULUTUKSEEN TIMO TOSSAVAINEN MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJAKOULUTUKSEN ONGELMIA MATEMATIIKKA, KOULUMATEMATIIKKA

Lisätiedot

Kuvataide. Vuosiluokat 7-9

Kuvataide. Vuosiluokat 7-9 Kuvataide Vuosiluokat 7-9 Kuvataiteen tehtävänä on kulttuurisesti moniaistisen todellisuuden tutkiminen ja tulkitseminen. Kuvataide tukee eri oppiaineiden tiedon kehittymistä eheäksi käsitykseksi maailmasta.

Lisätiedot

Jorma Joutsenlahti / 2008

Jorma Joutsenlahti / 2008 Jorma Joutsenlahti opettajankoulutuslaitos, Hämeenlinna Latinan communicare tehdä yleiseksi, jakaa Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma prosessi, vaan luokan

Lisätiedot

OPS2016. Uudistuvat oppiaineet ja vuosiluokkakohtaisten osuuksien valmistelu 21.10.2015. Eija Kauppinen OPETUSHALLITUS

OPS2016. Uudistuvat oppiaineet ja vuosiluokkakohtaisten osuuksien valmistelu 21.10.2015. Eija Kauppinen OPETUSHALLITUS OPS2016 Uudistuvat oppiaineet ja vuosiluokkakohtaisten osuuksien valmistelu 21.10.2015 Eija Kauppinen OPETUSHALLITUS 1 Paikallinen opetussuunnitelma Luku 1.2 Paikallisen opetussuunnitelman laatimista ohjaavat

Lisätiedot

Juliet-ohjelma: monipuolisia osaajia alaluokkien englannin opetukseen

Juliet-ohjelma: monipuolisia osaajia alaluokkien englannin opetukseen Juliet-ohjelma: monipuolisia osaajia alaluokkien englannin opetukseen Marja-Kaisa Pihko, Virpi Bursiewicz Varhennettua kielenopetusta, kielisuihkuttelua, CLIL-opetusta Alakoulun luokkien 1 6 vieraiden

Lisätiedot

Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma

Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Sisällys 1 Perusopetukseen valmistavan opetuksen lähtökohdat... 1 3 Perusopetukseen valmistavan opetuksen tavoitteet ja keskeiset

Lisätiedot

Kielten oppiminen ja muuttuva maailma

Kielten oppiminen ja muuttuva maailma Kielten oppiminen ja muuttuva maailma Tarja Nikula (Soveltavan kielentutkimuksen keskus) Anne Pitkänen-Huhta (Kielten laitos) Peppi Taalas (Kielikeskus) Esityksen rakenne Muuttuvan maailman seuraamuksia

Lisätiedot

LIITE 8 Toiminnan aloittain etenevän opiskelun opetussuunnitelmaan

LIITE 8 Toiminnan aloittain etenevän opiskelun opetussuunnitelmaan LIITE 8 Toiminnan aloittain etenevän opiskelun opetussuunnitelmaan 1. Motoriset taidot Kehon hahmotus Kehon hallinta Kokonaismotoriikka Silmän ja jalan liikkeen koordinaatio Hienomotoriikka Silmän ja käden

Lisätiedot

OPS 2016 Keskustelupohja vanhempainiltoihin VESILAHDEN KOULUTOIMI

OPS 2016 Keskustelupohja vanhempainiltoihin VESILAHDEN KOULUTOIMI OPS 2016 Keskustelupohja vanhempainiltoihin VESILAHDEN KOULUTOIMI Valtioneuvoston vuonna 2012 antaman asetuksen pohjalta käynnistynyt koulun opetussuunnitelman uudistamistyö jatkuu. 15.4.-15.5.2014 on

Lisätiedot

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi

Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi Matematiikan olemus Juha Oikkonen juha.oikkonen@helsinki.fi 1 Eri näkökulmia A Matematiikka välineenä B Matematiikka formaalina järjestelmänä C Matematiikka kulttuurina Matemaattinen ajattelu ja matematiikan

Lisätiedot

Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi

Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi 1. Milloin lapsenne otti ensiaskeleensa? 2. Minkä ikäisenä lapsenne sanoi ensisanansa? Esimerkkejä ensisanoista (käännöksineen):

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1.8.2008. Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. 4.8.2008 Jyväskylän Kesäkongressi. JoJo / TaY 2

1.8.2008. Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. 4.8.2008 Jyväskylän Kesäkongressi. JoJo / TaY 2 Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 2 Tv-maailma nro 30, s. 2-3 1 4 Matematiikkakuva (View of Mathematics) koostuu kolmesta komponentista: 1) Uskomukset itsestä matematiikan

Lisätiedot

Suomi toisena kielenä -opettajat ry./ Hallitus 10.3.2010 TUNTIJAKOTYÖRYHMÄLLE

Suomi toisena kielenä -opettajat ry./ Hallitus 10.3.2010 TUNTIJAKOTYÖRYHMÄLLE 1 Suomi toisena kielenä -opettajat ry./ KANNANOTTO Hallitus 10.3.2010 TUNTIJAKOTYÖRYHMÄLLE Suomi toisena kielenä (S2) on perusopetuksessa yksi oppiaineen äidinkieli ja kirjallisuus oppimääristä. Perusopetuksen

Lisätiedot

Vaikeat tilanteet esimiestyössä

Vaikeat tilanteet esimiestyössä Vaikeat tilanteet esimiestyössä Workshop esimiehille ja tiiminvetäjille 1.-3.10.2014 Suomen Yhteisöakatemia Oy Saarijärventie 5 B 14, Taitoniekantie 8 D 35 40200 Jyväskylä 40740 Jyväskylä www.sya.fi www.sya.fi

Lisätiedot

CHERMUG-pelien käyttö opiskelijoiden keskuudessa vaihtoehtoisen tutkimustavan oppimiseksi

CHERMUG-pelien käyttö opiskelijoiden keskuudessa vaihtoehtoisen tutkimustavan oppimiseksi Tiivistelmä CHERMUG-projekti on kansainvälinen konsortio, jossa on kumppaneita usealta eri alalta. Yksi tärkeimmistä asioista on luoda yhteinen lähtökohta, jotta voimme kommunikoida ja auttaa projektin

Lisätiedot

MOT-hanke. Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 2. MOT-hanke

MOT-hanke. Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 2. MOT-hanke Dia 1 MOT-hanke Mat ematiikan Oppimat eriaalin Tutkimuksen hanke 2005-2006 Hämeenlinnan OKL:ssa Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 1 MOT-hanke Osallistujat:13 gradun tekijää (8 gradua)

Lisätiedot

Arvioinnin monipuolistaminen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) mukaan

Arvioinnin monipuolistaminen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) mukaan Arvioinnin monipuolistaminen lukion opetussuunnitelman perusteiden (2015) mukaan OPS-koulutus Joensuu 16.1.2016 Marja Tamm Matematiikan ja kemian lehtori, FM, Helsingin kielilukio 3.vpj. ja OPS-vastaava,

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Yrittäjyyskasvatuksen oppimisympäristöt ja oppimisen kaikkiallisuus

Yrittäjyyskasvatuksen oppimisympäristöt ja oppimisen kaikkiallisuus Yrittäjyyskasvatuksen oppimisympäristöt ja oppimisen kaikkiallisuus Yrittäjyysskasvatuspäivät 7.10.2011 Minna Riikka Järvinen Toiminnanjohtaja, KT, FM, MBA Kerhokeskus Kerhokeskus Edistää lasten ja nuorten

Lisätiedot

VIERAAT KIELET PERUSOPETUKSESSA. Perusopetuksen yleisten tavoitteiden ja tuntijaon uudistustyöryhmä 20.1.2010 Anna-Kaisa Mustaparta

VIERAAT KIELET PERUSOPETUKSESSA. Perusopetuksen yleisten tavoitteiden ja tuntijaon uudistustyöryhmä 20.1.2010 Anna-Kaisa Mustaparta VIERAAT KIELET PERUSOPETUKSESSA Perusopetuksen yleisten tavoitteiden ja tuntijaon uudistustyöryhmä 20.1.2010 Anna-Kaisa Mustaparta Kieliympäristössä tapahtuneita muutoksia Englannin asema on vahvistunut,

Lisätiedot

Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin

Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin Opetussuunnitelmasta oppimisprosessiin Johdanto Opetussuunnitelman avaamiseen antavat hyviä, perusteltuja ja selkeitä ohjeita Pasi Silander ja Hanne Koli teoksessaan Verkko-opetuksen työkalupakki oppimisaihioista

Lisätiedot

Lukivaikeus. ttömällä kouluopetuksella

Lukivaikeus. ttömällä kouluopetuksella LUKIVAIKEUS Lukivaikeus Lukemiseen ja/tai kirjoittamiseen liittyvät erityisvaikeudet, jotka ovat ristiriidassa oppijan muuhun lahjakkuustasoon ja oppimiskykyyn eli lukivaikeus ei selity - alhaisella älykkyydellä

Lisätiedot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Totuudesta väitellään Perinteinen käsitys Tutkimuksella tavoitellaan a. On kuitenkin erilaisia käsityksiä. Klassinen tiedon määritelmä esitetään Platonin

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Tarja Nikula tarja.nikula@jyu.fi Soveltavan kielentutkimuksen keskus. kehittämisverkosto

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Tarja Nikula tarja.nikula@jyu.fi Soveltavan kielentutkimuksen keskus. kehittämisverkosto Kielikoulutuksen haasteet Tarja Nikula tarja.nikula@jyu.fi Soveltavan kielentutkimuksen keskus Kielikoulutuspolitiikan tutkimus- ja kehittämisverkosto Kielikoulutuksen haasteita (1) Suomen kielivarannon

Lisätiedot

Eurooppalainen viitekehys kielitaidon kriteeriperustaisen arvioinnin tukena

Eurooppalainen viitekehys kielitaidon kriteeriperustaisen arvioinnin tukena Eurooppalainen viitekehys kielitaidon kriteeriperustaisen arvioinnin tukena Forum Criteriorum seminaari Ari Huhta Soveltavan kielentutkimuksen keskus Jyväskylän yliopisto ari.huhta@jyu.fi Esityksen runko

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Aikuisten perusopetus

Aikuisten perusopetus Aikuisten perusopetus Laaja-alainen osaaminen ja sen integrointi oppiaineiden opetukseen ja koulun muuhun toimintaan 23.1.2015 Irmeli Halinen Opetussuunnitelmatyön päällikkö OPETUSHALLITUS Uudet opetussuunnitelman

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Oman äidinkielen opetus valtakunnallinen ajankohtaiskatsaus. FT Leena Nissilä Opetusneuvos, yksikön päällikkö Opetushallitus

Oman äidinkielen opetus valtakunnallinen ajankohtaiskatsaus. FT Leena Nissilä Opetusneuvos, yksikön päällikkö Opetushallitus Oman äidinkielen opetus valtakunnallinen ajankohtaiskatsaus FT Leena Nissilä Opetusneuvos, yksikön päällikkö Opetushallitus Oman äidinkielen opetus Tiedote 13/2015 www.oph.fi valtionavustusta enintään

Lisätiedot

Oppiminen, osaaminen, kestävä hyvinvointi ja johtaminen. Anneli Rautiainen 1.11.2013 Esi- ja perusopetuksen yksikön päällikkö

Oppiminen, osaaminen, kestävä hyvinvointi ja johtaminen. Anneli Rautiainen 1.11.2013 Esi- ja perusopetuksen yksikön päällikkö Oppiminen, osaaminen, kestävä hyvinvointi ja johtaminen Anneli Rautiainen 1.11.2013 Esi- ja perusopetuksen yksikön päällikkö TAVOITTEENA MAAILMAN OSAAVIN KANSA 2020 OPPIMINEN OSAAMINEN KESTÄVÄ HYVINVOINTI

Lisätiedot

Kriteeri 1: Oppija on aktiivinen ja ottaa vastuun oppimistuloksista (aktiivisuus)

Kriteeri 1: Oppija on aktiivinen ja ottaa vastuun oppimistuloksista (aktiivisuus) Kriteeri 1: Oppija on aktiivinen ja ottaa vastuun oppimistuloksista (aktiivisuus) Oppimistehtävät ovat mielekkäitä ja sopivan haasteellisia (mm. suhteessa opittavaan asiaan ja oppijan aikaisempaan tietotasoon).

Lisätiedot

Kuudesluokkalaisten maahanmuuttajaoppilaiden suomen kielen tason vaihtelut. Annukka Muuri 18.11.2014

Kuudesluokkalaisten maahanmuuttajaoppilaiden suomen kielen tason vaihtelut. Annukka Muuri 18.11.2014 Kuudesluokkalaisten maahanmuuttajaoppilaiden suomen kielen tason vaihtelut Annukka Muuri 18.11.2014 Maahanmuuttajataustaiset oppilaat Maahanmuuttajaoppilaiden määrä on kasvanut seitsemässä vuodessa noin

Lisätiedot

Case-opetusmenetelm. opetusmenetelmä. Mirja Anttila, Elina Kettunen, Kristiina Naski, Kaija Ojanperä 31.3.2010

Case-opetusmenetelm. opetusmenetelmä. Mirja Anttila, Elina Kettunen, Kristiina Naski, Kaija Ojanperä 31.3.2010 Case-opetusmenetelm opetusmenetelmä Mirja Anttila, Elina Kettunen, Kristiina Naski, Kaija Ojanperä 31.3.2010 Opetusmenetelmä Oppijat käsittelevät jotain esimerkkitapausta ja soveltavat siihen aikaisempia

Lisätiedot

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus 1 Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus Peda-Forum 21.8.2013 Seppo Pohjolainen Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 2 Esityksen sisältö Taustaa Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

Lisätiedot

Fakta- ja näytenäkökulmat. Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto

Fakta- ja näytenäkökulmat. Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Fakta- ja näytenäkökulmat Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Mikä on faktanäkökulma? sosiaalitutkimuksen historia: väestötilastot, kuolleisuus- ja syntyvyystaulut. Myöhemmin kysyttiin ihmisiltä tietoa

Lisätiedot

Monilukutaito. Marja Tuomi 23.9.2014

Monilukutaito. Marja Tuomi 23.9.2014 Monilukutaito Marja Tuomi 23.9.2014 l i t e r a c y m u l t i l i t e r a c y luku- ja kirjoitustaito tekstitaidot laaja-alaiset luku- ja kirjoitustaidot monilukutaito Mitä on monilukutaito? tekstien tulkinnan,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

TIETO- JA VIESTINTÄTEKNIIKAN OPETUSKÄYTÖN OSAAMINEN (1-6 lk.) OSAAMISEN KEHITTÄMISTARVEKARTOITUS

TIETO- JA VIESTINTÄTEKNIIKAN OPETUSKÄYTÖN OSAAMINEN (1-6 lk.) OSAAMISEN KEHITTÄMISTARVEKARTOITUS 1/4 Koulu: Yhteisön osaamisen kehittäminen Tämä kysely on työyhteisön työkalu osaamisen kehittämistarpeiden yksilöimiseen työyhteisön tasolla ja kouluttautumisen yhteisölliseen suunnitteluun. Valtakunnallisen

Lisätiedot

9.2.3. Englanti. 3. luokan keskeiset tavoitteet

9.2.3. Englanti. 3. luokan keskeiset tavoitteet 9.2.3. Englanti Koulussamme aloitetaan A1 kielen (englanti) opiskelu kolmannelta luokalta. Jos oppilas on valinnut omassa koulussaan jonkin toisen kielen, opiskelu tapahtuu oman koulun opetussuunnitelman

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Kieliä Jyväskylän yliopistossa

Kieliä Jyväskylän yliopistossa ieliä Jyväskylässä Kieliä Jyväskylän yliopistossa Pääainevalikoimaamme kuuluvat seuraavat kielet: englanti ranska ( romaaninen filologia ) ruotsi saksa suomi suomalainen viittomakieli venäjä Sivuaineena

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Ohjevihko on tuotettu YVI- hankkeessa.

Ohjevihko on tuotettu YVI- hankkeessa. Kuvat ClipArt Yrittäjyyskasvatus oppimisen perustana -ohjevihkonen on tarkoitettu yleissivistävän opettajankoulutuksen opiskelijoiden ja ohjaajien käyttöön. Materiaali on mahdollista saada myös PowerPoint

Lisätiedot

Ylöjärven opetussuunnitelma 2004. Valinnainen kieli (B2)

Ylöjärven opetussuunnitelma 2004. Valinnainen kieli (B2) Ylöjärven opetussuunnitelma 2004 Valinnainen kieli (B2) B 2 -SAKSA Valinnaisen kielen opiskelun tulee painottua puheviestintään kaikkein tavanomaisimmissa arkipäivän tilanteissa ja toimia samalla johdantona

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Prosentti Prosentti on arkielämän matematiikkaa. Kuitenkin prosenttilaskut ovat oppilaiden mielestä

Lisätiedot

Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena

Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena Matematiikka tai tilastotiede sivuaineena Matematiikan sivuainekokonaisuudet Matematiikasta voi suorittaa 25, 60 ja 120 opintopisteen opintokokonaisuudet. Matematiikan 25 op:n opintokokonaisuus Pakolliset

Lisätiedot

Oppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin

Oppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin Luennon teemat Oppiminen verkossa - teoriasta toimiviin käytäntöihin Hanna Salovaara, tutkija Kasvatustieteiden tiedekunta Koulutusteknologian tutkimusyksikkö Oulun Yliopisto Pedagogiset mallit ja skriptaus

Lisätiedot

Kieli ja työelämä Marjut Johansson & Riitta Pyykkö

Kieli ja työelämä Marjut Johansson & Riitta Pyykkö Kieli ja työelämä Marjut Johansson & Riitta Pyykkö Kieliparlamentti, Helsinki Missä, missä se kieli (työelämässä) on? Työn murros työpaikat ovat vähentyneet alkutuotannossa ja teollisuudessa niiden määrä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE Toiminnallista matematiikkaa opettajille hanke Lapin yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan Opetus ja kasvatusalan täydennyskoulutusyksikkö järjestää opetustoimen

Lisätiedot

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Tietotekniikka oppiaineeksi peruskouluun Ralph-Johan Back Imped Åbo Akademi & Turun yliopisto 18. maaliskuuta 2010 Taustaa Tietojenkäsittelytieteen professori, Åbo

Lisätiedot

Monilukutaitoon kielitietoisella opetuksella. Minna Harmanen, Opetushallitus Kansalliset peruskoulupäivät 20. 21.11.2014 Marina Congress Center

Monilukutaitoon kielitietoisella opetuksella. Minna Harmanen, Opetushallitus Kansalliset peruskoulupäivät 20. 21.11.2014 Marina Congress Center Monilukutaitoon kielitietoisella opetuksella Minna Harmanen, Opetushallitus Kansalliset peruskoulupäivät 20. 21.11.2014 Marina Congress Center Monilukutaito ja kielitietoisuus - kysymyksiä Mitä on monilukutaito

Lisätiedot

Pia Vataja Pohjoismainen erityiskasvatuksen konferenssi Turku 21.9.2013. Pia Vataja 2013

Pia Vataja Pohjoismainen erityiskasvatuksen konferenssi Turku 21.9.2013. Pia Vataja 2013 Pia Vataja Pohjoismainen erityiskasvatuksen konferenssi Turku 21.9.2013 On yhteinen koulu kaikille Hyväksyy että kaikki ovat erilaisia ja että kaikilla on erilaisia tarpeita ja erilaisia edellytyksiä Tarjoaa

Lisätiedot

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan

Lisätiedot

Kiinnostaako. koodaus ja robotiikka? 2014 Innokas www.innokas.fi All Rights Reserved Copying and reproduction prohibited

Kiinnostaako. koodaus ja robotiikka? 2014 Innokas www.innokas.fi All Rights Reserved Copying and reproduction prohibited Kiinnostaako koodaus ja robotiikka? Innokas-verkosto Innovatiivisen koulun toiminnan kehittäminen ja levittäminen Suomi Yli 30 000 osallistujaa vuosien 2011-2014 aikana Kouluja, kirjastoja, päiväkoteja,

Lisätiedot

Itse- ja vertaisarviointi metataitoja kehittämässä. Jyväskylän yliopisto Opettajankoulutuslaitos mirja.tarnanen@jyu.fi

Itse- ja vertaisarviointi metataitoja kehittämässä. Jyväskylän yliopisto Opettajankoulutuslaitos mirja.tarnanen@jyu.fi Itse- ja vertaisarviointi metataitoja kehittämässä Jyväskylän yliopisto Opettajankoulutuslaitos mirja.tarnanen@jyu.fi Kurkistus oppimis- sekä taito- ja osaamiskäsityksiimme Millaisessa kontekstissa opetamme?

Lisätiedot

Itseorganisoituvat hermoverkot: Viitekehys mielen ja kielen, aivokuoren ja käsitteiden tarkasteluun

Itseorganisoituvat hermoverkot: Viitekehys mielen ja kielen, aivokuoren ja käsitteiden tarkasteluun Itseorganisoituvat hermoverkot: Viitekehys mielen ja kielen, aivokuoren ja käsitteiden tarkasteluun Timo Honkela Kognitiivisten järjestelmien tutkimusryhmä Adaptiivisen informatiikan tutkimuskeskus Tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot

Toiminnallinen oppiminen -Sari Koskenkari

Toiminnallinen oppiminen -Sari Koskenkari Toiminnallinen oppiminen -Sari Koskenkari Toiminnallinen oppiminen Perusopetuksen opetussuunnitelmassa painotetaan työtapojen toiminnallisuutta. Toiminnallisuudella tarkoitetaan oppilaan toiminnan ja ajatuksen

Lisätiedot

Perusopetukseen valmistavan opetuksen. opetussuunnitelma. Outokummun kaupunki

Perusopetukseen valmistavan opetuksen. opetussuunnitelma. Outokummun kaupunki Perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Outokummun kaupunki 2 Sisältö 1 Perusopetuksen valmistavan opetuksen lähtökohdat... 3 2 Perusopetuksen valmistavan opetuksen tavoitteet ja keskeiset

Lisätiedot

YLIOPISTO- OPETTAJANA KEHITTYMINEN

YLIOPISTO- OPETTAJANA KEHITTYMINEN YLIOPISTO- OPETTAJANA KEHITTYMINEN SARI LINDBLOM-YLÄNNE PROFESSOR I UNIVERSITETSPEDAGOGIK UNIVERSITETSPEDAGOGISTA FORSKINS- OCH UTVECKLINGSENHETEN (YTY) HELSINGFORS UNIVERSITET MUUTOKSEN VAIKEUS JA HITAUS

Lisätiedot

Matkalla maailmankansalaiseksi kansainvälinen toimintakyky osaamistavoitteena

Matkalla maailmankansalaiseksi kansainvälinen toimintakyky osaamistavoitteena Matkalla maailmankansalaiseksi kansainvälinen toimintakyky osaamistavoitteena Kaisa Kurki Kansainväliset asiat, Tampereen yliopisto Korkeakoulujen kansainvälisten asioiden hallinnon kevätpäivät, Lahti

Lisätiedot

Say it again, kid! - peli ja puheteknologia lasten vieraan kielen oppimisessa

Say it again, kid! - peli ja puheteknologia lasten vieraan kielen oppimisessa Say it again, kid! - peli ja puheteknologia lasten vieraan kielen oppimisessa Sari Ylinen, Kognitiivisen aivotutkimuksen yksikkö, käyttäytymistieteiden laitos, Helsingin yliopisto & Mikko Kurimo, signaalinkäsittelyn

Lisätiedot

SUOMEN KIELI 1 Vuosiluokkien 5-10 saamelainen luokanopettajakoulutus

SUOMEN KIELI 1 Vuosiluokkien 5-10 saamelainen luokanopettajakoulutus OPETUSSUUNNITELMA SUOMEN KIELI 1 Vuosiluokkien 5-10 saamelainen luokanopettajakoulutus 30 opintopistettä Dutkan- ja oahppostivra dohkkehan 21.6.2013 áššis 72/13 1. OPPIAINEEN YLEISET TIEDOT... 3 1.1. OPPIAINEEN

Lisätiedot

Mitä on laadullinen tutkimus? Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto

Mitä on laadullinen tutkimus? Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Mitä on laadullinen tutkimus? Pertti Alasuutari Tampereen yliopisto Määritelmiä Laadullinen tutkimus voidaan määritellä eri tavoin eri lähtökohdista Voidaan esimerkiksi korostaa sen juuria antropologiasta

Lisätiedot

Opinnäytetyöhankkeen työseminaarin avauspuhe 20.4.2006 Stadiassa Hoitotyön koulutusjohtaja Elina Eriksson

Opinnäytetyöhankkeen työseminaarin avauspuhe 20.4.2006 Stadiassa Hoitotyön koulutusjohtaja Elina Eriksson 1 Opinnäytetyöhankkeen työseminaarin avauspuhe 20.4.2006 Stadiassa Hoitotyön koulutusjohtaja Elina Eriksson Arvoisa ohjausryhmän puheenjohtaja rehtori Lauri Lantto, hyvä työseminaarin puheenjohtaja suomen

Lisätiedot

Matemaattiset oppimisvaikeudet

Matemaattiset oppimisvaikeudet Matemaattiset oppimisvaikeudet Matemaattiset taidot Lukumäärien ja suuruusluokkien hahmottaminen synnynnäinen kyky, tarkkuus (erottelukyky) lisääntyy lapsen kasvaessa yksilöllinen tarkkuus vaikuttaa siihen,

Lisätiedot

Kemia. Perusteluonnoksen 15.4.2014 pohjalta. Hannes Vieth Helsingin normaalilyseo

Kemia. Perusteluonnoksen 15.4.2014 pohjalta. Hannes Vieth Helsingin normaalilyseo Kemia Perusteluonnoksen 15.4.2014 pohjalta Hannes Vieth Helsingin normaalilyseo OPPIAINEEN TEHTÄVÄ Kemian opetus tukee oppilaan luonnontieteellisen ajattelun sekä maailmankuvan kehittymistä. auttaa ymmärtämään

Lisätiedot

Ajattelu ja oppimaan oppiminen (L1)

Ajattelu ja oppimaan oppiminen (L1) Ajattelu ja oppimaan oppiminen (L1) Mitä on oppimaan oppiminen? Kirjoita 3-5 sanaa, jotka sinulle tulevat mieleen käsitteestä. Vertailkaa sanoja ryhmässä. Montako samaa sanaa esiintyy? 1 Oppimaan oppiminen

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Autenttinen oppiminen vieraan kielen opetuksessa. Pia Bärlund 29.10.2009 Jyväskylän yliopisto, Opettajankoulutuslaitos

Autenttinen oppiminen vieraan kielen opetuksessa. Pia Bärlund 29.10.2009 Jyväskylän yliopisto, Opettajankoulutuslaitos Autenttinen oppiminen vieraan kielen opetuksessa Pia Bärlund 29.10.2009 Jyväskylän yliopisto, Miksi tärkeää kielten opetuksessa? Oppimisen ilo sitoo sitoo oppilaan oppimisprosessiin (Rantala, 2006) Ainoa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Martti Raevaara 24.5.2007 Virta III. OPETUSSUUNNITELMA lukuvuosille 2007-2010. Kuvataidekasvatuksen koulutusohjelma Virta@ -koulutus (TaM)

Martti Raevaara 24.5.2007 Virta III. OPETUSSUUNNITELMA lukuvuosille 2007-2010. Kuvataidekasvatuksen koulutusohjelma Virta@ -koulutus (TaM) Martti Raevaara 24.5.2007 Virta III OPETUSSUUNNITELMA lukuvuosille 2007-2010 Kuvataidekasvatuksen koulutusohjelma Virta@ -koulutus (TaM) Virt@ -koulutuksen opinnot johtavat taiteen maisterin tutkintoon

Lisätiedot

Savonlinnan ammatti- ja aikuisopiston vieraiden kielten opetusta verkossa ja integroituna ammattiaineisiin. Johanna Venäläinen

Savonlinnan ammatti- ja aikuisopiston vieraiden kielten opetusta verkossa ja integroituna ammattiaineisiin. Johanna Venäläinen Savonlinnan ammatti- ja aikuisopiston vieraiden kielten opetusta verkossa ja integroituna ammattiaineisiin Johanna Venäläinen Kenelle ja miksi? Lähtökohtana ja tavoitteena on - tarjota opiskelijoille vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Saksan sanastopainotteinen kurssi. Helsingin yliopiston kielikeskus, syksy 2007, Seppo Sainio

Saksan sanastopainotteinen kurssi. Helsingin yliopiston kielikeskus, syksy 2007, Seppo Sainio Oppimispäiväkirja. Nimi: Saksan sanastopainotteinen kurssi. Helsingin yliopiston kielikeskus, syksy 2007, Seppo Sainio Huomaa että oppimispäiväkirjan tekeminen on huomioitu kurssin mitoituksessa osaksi

Lisätiedot

FT Henna Makkonen-Craig Äidinkielen ja kirjallisuuden opetuksen foorumi 2. 3.8.2011

FT Henna Makkonen-Craig Äidinkielen ja kirjallisuuden opetuksen foorumi 2. 3.8.2011 FT Henna Makkonen-Craig Äidinkielen ja kirjallisuuden opetuksen foorumi 2. 3.8.2011 Esityksen rakenne Johdannoksi Tekstilajin eli genren määrittelyä Millaisin eri tavoin tekstilajia voidaan tutkia? Millaisista

Lisätiedot

Psykologitiimi Päämäärä Oy

Psykologitiimi Päämäärä Oy Psykologitiimi Päämäärä Oy Perustettu 1994 Turussa Päätoimiala soveltuvuustutkimukset ja opiskelijavalintojen tutkimukset Valintakoeyhteistyötä 14 toisen asteen oppilaitoksen ja 5 ammattikorkeakoulun kanssa

Lisätiedot

Maailma muuttuu - miten koulun pitäisi muuttua? Minkälaista osaamista lapset/ nuoret tarvitsevat tulevaisuudessa?

Maailma muuttuu - miten koulun pitäisi muuttua? Minkälaista osaamista lapset/ nuoret tarvitsevat tulevaisuudessa? Perusopetuksen kehittäminen/ kysely huoltajille ja henkilökunnalle Maailma muuttuu - miten koulun pitäisi muuttua? Minkälaista osaamista lapset/ nuoret tarvitsevat tulevaisuudessa? Valtioneuvosto on päättänyt

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

Sanalliset tehtävät ja niiden ratkaisut

Sanalliset tehtävät ja niiden ratkaisut Sanalliset tehtävät ja niiden ratkaisut Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos 1 2 1 Jaakkola etc. (2001) KOLMIO Matematiikan harjoituskirja 2, Tammi, s.102 Sanallinen tehtävä

Lisätiedot

LAAJAVUOREN KOULUN. SAKSANKIELINEN OPETUS CLIL-OPETUS (Content and Language Integrated. Learning=SISÄLLÖN JA KIELEN YHDISTÄVÄ OPETUS Sirpa Rönkä

LAAJAVUOREN KOULUN. SAKSANKIELINEN OPETUS CLIL-OPETUS (Content and Language Integrated. Learning=SISÄLLÖN JA KIELEN YHDISTÄVÄ OPETUS Sirpa Rönkä LAAJAVUOREN KOULUN SAKSANKIELINEN OPETUS CLIL-OPETUS (Content and Language Integrated Learning=SISÄLLÖN JA KIELEN YHDISTÄVÄ OPETUS Sirpa Rönkä EUROOPPALAINEN VIITEKEHYS LÄHTÖKOHTANA Kieli on ajattelun,

Lisätiedot

Oppijakeskeisen mielekkään oppimisen seitsemän ominaisuutta

Oppijakeskeisen mielekkään oppimisen seitsemän ominaisuutta Oppijakeskeisen mielekkään oppimisen seitsemän ominaisuutta professori David. H. Jonassenin (PennState Un.), (1995) esittämät universaalit elinikäisen oppimisen ominaisuudet : lisäyksenä ( ETÄKAMU-hanke

Lisätiedot

Ympäristöoppia opettamaan

Ympäristöoppia opettamaan Ympäristöoppia opettamaan Kalle Juuti Ympäristöoppi palaa vuonna 2016 voimaan tulevan opetussuunnitelman myötä peruskoulun alaluokkien oppiaineeksi. Vuoden 2004 opetussuunnitelmassa biologia ja maantiede

Lisätiedot

Normaalikoulun kielivalintailta 20.1. Welcome! Willkommen! Bienvenue!

Normaalikoulun kielivalintailta 20.1. Welcome! Willkommen! Bienvenue! Normaalikoulun kielivalintailta 20.1. Welcome! Willkommen! Bienvenue! Kielivalinta Tulevaisuuden valinta: pääomaa tulevaa varten. Nykypäivänä englannin osaaminen on lähtökohta mitä kieliä valitaan sen

Lisätiedot

PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO

PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO 7.4.2013 PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO HARRY SILFVERBERG: Matematiikka kouluaineena yläkoulun oppilaiden tekemien oppiainevertailujen paljastamia matematiikkakäsityksiä Juho Oikarinen 7.4.2013 PÄIVI PORTAANKORVA-KOIVISTO

Lisätiedot

Liikunnan integroiminen, erilaiset oppijat ja vuorovaikutus 30.1.2013. Virpi Louhela Sari Koskenkari

Liikunnan integroiminen, erilaiset oppijat ja vuorovaikutus 30.1.2013. Virpi Louhela Sari Koskenkari Liikunnan integroiminen, erilaiset oppijat ja vuorovaikutus 30.1.2013 Virpi Louhela Sari Koskenkari Miksi lisätä liikuntaa? Liikunta edistää koululaisten hyvinvointia ja viihtymistä lapsen hermoverkosto

Lisätiedot

Opetussuunnitelmauudistus etenee globaaleja haasteita koulutuksessa

Opetussuunnitelmauudistus etenee globaaleja haasteita koulutuksessa Opetussuunnitelmauudistus etenee globaaleja haasteita koulutuksessa Johtaja Jorma Kauppinen Peruskoulujen ja lukioiden kansainvälisyyspäivät 21.11.2013 Kuopio Osaamisen ja sivistyksen parhaaksi Suitsutusta

Lisätiedot

Arkistot ja kouluopetus

Arkistot ja kouluopetus Arkistot ja kouluopetus Arkistopedagoginen seminaari 4.5.2015 Heljä Järnefelt Erityisasiantuntija Opetushallitus Koulun toimintakulttuuri on kokonaisuus, jonka osia ovat Lait, asetukset, opetussuunnitelman

Lisätiedot