Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva

Transkriptio

1 Timo Tossavainen Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva Johdanto Matematiikka (tieteenä) on osoittautunut mahdottomaksi asiaksi määritellä: kaikki yritykset ovat jääneet joko liian kapea-alaisiksi tai ylimalkaisiksi (esim. Spengler 1961; Vala 1979). Matematiikan monisäikeisyys näkyy myös siten, ettei sen merkitystä ja luonnetta voida kuvata yksikäsitteisellä tavalla edes oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. Muun muassa Grigutsch, Raatz ja Törner (1995) sekä Pehkonen (1998) ovat todenneet, että matematiikkaa lähestytään oppimistilanteissa ainakin neljästä eri aspektista. Nämä ovat laskenta-aspekti, jossa matematiikka nähdään lähinnä laskennoksi; systeemiaspekti, jossa matematiikka nähdään systeeminä, jonka merkitys löytyy todistuksista; prosessiaspekti, jossa matematiikan merkitys seuraa sen jatkuvasta kehityksestä; sovellettavuusaspekti, jossa matematiikalla nähdään olevan merkitystä sen sovellettavuuden takia. Mainittujen aspektien lisäksi varsinkin viime vuosina matematiikkaa ja sen oppimista on enenevästi tarkasteltu kielen ja sen oppimisen näkökulmasta. Downs ja Mamona-Downs (2005) viittaavat käsitteellä todistuskieli (proof language) sen kielen piirteisiin, jolla varsinaisessa matematiikassa matemaattiset todistukset usein esitetään, ja pyrkivät selittämään sen avulla syitä useissa eri tutkimuksissa havaittuun mm. Moore (1994), Weber (2002), Tossavainen ja Luostarinen (2004) opiskelijoiden heikkoon taitoon tuottaa matemaattisia todistuksia yksinkertaisillekin väitteille. Matematiikan ja kielentutkimuksen välinen vuorovaikutus ei ole uusi asia. Kielitiedettä 1950-luvulta asti hallinnut generatiivinen kielioppi (Chomsky 1957 ja 1965) on tehokkaasti käyttänyt hyväkseen joukko-opin ja matemaattisen logiikan menetelmiä. Myös matematiikka, esimerkiksi automaattien teorian ja sen sovellusten kautta, on hyötynyt lingvistisestä tutkimuksesta. Toisaalta, vaikka matematiikan symbolikielen semiotiikkaa onkin jonkin verran tutkittu (esim. Thiel 1975), ei laaja-alaisia tutkimuksia matemaattisen yhteisön kielestä (langue) liene juuri tehty sen jälkeen, kun Peanon kuuluisa yritys luoda universaali muodollinen kieli kaiken matemaattisen ajattelun kommunikoinnin välineeksi haudattiin Peanon mukana hänen kuoltuaan (ks. esim. Kennedy 1980). Ainakaan Google Scholar -haku sanoilla langue ja mathematics ei tuo esiin tällaisia tutkimuksia (ks. myös Gouthier 2002). Sen sijaan matematiikan oppimista ja opettamista diskursiona on tutkittu myös viime aikoina. Educational Studies in Mathematics -lehti 233

2 Timo Tossavainen julkaisi tästä aiheesta jopa erikoisnumeron vuonna Lyhyehkö mutta varsin kattava kuvaus tästä lähetysmistavasta löytyy esimerkiksi Sierpinskan (2002) artikkelista. Tässä kirjoituksessa tarkastellaan aluksi esimerkkien avulla, missä mielessä matematiikkaa voidaan pitää kielen kaltaisena objektina. Jo näiden havaintojen ja edellä mainittujen tutkimusten valossa näyttää tarpeelliselta kytkeä matematiikan kielelliset piirteet osaksi suurempaa matematiikan oppimisteoreettista käsitettä, matematiikkakuvaa (esim. Pehkonen 1995), jonka avulla pyritään muodostamaan kokonaiskuva niistä tekijöistä, jotka vaikuttavat yksilön menestymiseen matematiikan oppijana. Tätä varten artikkelissa määritellään käsite matematiikan kieliaspekti, jonka keskeisyyttä yksilön suhteessa matematiikkaan voidaan siis pitää laajemman matematiikkakuvakäsitteen eräänä muuttujana. Kirjoituksen lopuksi tarkastellaan vielä, mitä vaikutuksia opetuksen järjestämiseen matematiikan kielellisten piirteiden korostamisella voi olla matematiikan aineenopettajien koulutuksessa, ja sitä, millaista mainittuja piirteitä korostava matematiikan opetus voisi olla. Käytännössä tätä ei ole vielä juurikaan testattu. Lukuun ottamatta pieniä Savonlinnassa tehtyjä opetuskokeiluja aiheesta ei ole ainakaan Suomessa tehty vielä yhtään laaja-alaista empiiristä tutkimusta. Matematiikan kielellisiä piirteitä Matematiikalla on oma sanastonsa, ja siihen liittyy suuri joukko vakiintuneita, vain sille tyypillisiä ilmaisuja ja kielellisiä rakenteita. Toisaalta matematiikassa käytetään runsaasti arkisessakin kielenkäytössä esiintyviä sanoja. Usein näillä sanoilla on kuitenkin konkreettiseen ja havainnolliseen sanojen tulkintaan nähden erilainen merkitys. Esimerkiksi sana diskreetti ei viittaa matematiikassa hienotunteisuuteen eikä sileä funktio ole rypistyneen funktion vastakohta. Matemaattinen teksti sisältää yleensä myös tavallisen aakkoston ulkopuolisia symboleja. Näitä voidaan käyttää sekä matemaattisten objektien niminä ja ilmaisemaan niiden välisiä suhteita että myös välittämään tietoa muun muassa siitä, kuinka kaavojen ja merkkijonojen välittämää päättelyä tulisi seurata. Erityisesti viimeksi mainittu seikka mahdollistaa sen, että matematiikassa käytetään lähinnä luonnollisten kielten virkkeisiin verrattavissa olevalla tasolla sellaisiakin argumentaatiomuotoja, joissa päättely voi edetä yhtä aikaa moneen suuntaan. Lisäksi traditio voi ohjata varsin yksityiskohtaisesti matemaattisen esityksen laatimista. Esimerkiksi geometrisen probleeman ratkaisun on perinteisesti odotettu sisältävän seuraavat osiot: annettujen esitietojen yhteenveto, ratkaistavan ongelman muotoilu, sen ratkaisu, perustelu ja tarkastelu. 234

3 Vaikka matematiikkaa yleisesti pidetään mahdollisuutena esittää monimutkaisiakin ajatusrakennelmia erityisen täsmällisellä tavalla, siihen ei kuitenkaan sisälly mitään luonnollisen kielen kielioppiin verrattavissa olevaa sääntökokoelmaa siitä, millä tavalla mikäkin asia pitäisi sanoa (kaikissa mahdollisissa asiayhteyksissä). On vain olemassa perinteen kaltaisena välittyviä tapoja ilmaista vakiintuneita käsitteitä ja niistä koostuvia rakenteita, jotka kuitenkin eri asiayhteyksissa voivat korvautua uusilla merkinnöillä. Esimerkiksi funktion derivaattaan viitataan eri yhteyksissä funktion nimeen liitetyllä pilkulla, pisteellä tai seuraavalla ilmaisulla: x y Tämäkin havainto kuitenkin tukee sitä käsitystä, että matematiikka on kieleen verrattavissa: se kehittyy kuten kieli tuottaen uusia ilmaisutapoja myös entuudestaan tutuille käsitteille ja rakenteille. Toisaalta on todettava, että useimpien matematiikan osa-alueiden sisällä merkintöjen käyttöä ja ilmaisujen tuottamista yleisesti ohjaavat hyvinkin vakiintuneet käytännöt. Matematiikan kehittyminen kielenä paljastuu myös tutkimalla yksittäisten käsitteiden merkitysten syvenemistä ja laajenemista. Esimerkiksi se, että potenssin tavanomaiset laskusäännöt saadaan säilymään invariantteina, kun alkuperäinen potenssin määritelmä (a n on luku, joka saadaan kertomalla n kappaletta lukuja a keskenään) yleistetään tapaukseen, jossa eksponenttina voi olla mikä tahansa reaali- tai jopa kompleksiluku, on edellyttänyt radikaalia näkökulman laajentamista laskukaavojen näennäisestä yksinkertaisuudesta huolimatta. Vielä yhden näkökulman matematiikan kielenkaltaisuuteen voi saada tarkastelemalla, kuinka yhteisö ja asiayhteys vaikuttavat yksilön tapaan ilmaista matemaattisia ajatuksiaan. Weberiä (2003) lainaten oletetaan, että henkilön matemaattinen esitys perustuu siihen tosiasiaan, että funktion ƒ(x) = x derivaatta on ƒ (x) = 2x. Jos esitys pidetään lukion pitkän matematiikan polynomifunktioiden kurssilla, tämä fakta voidaan käsitellä lähinnä vetoamalla kuvaajasta saatavaan havaintoon. Derivaattakurssilla se voidaan jo perustella soveltamalla valmiina annettuja polynomifunktioiden derivoimissääntöjä. Yliopistossa analyysin peruskurssilla väite todennäköisimmin todettaisiin oikeaksi derivaatan määritelmän nojalla, kun taas jatkokurssilla kyseinen detalji yleensä sivuutetaan triviaalina. Tällaiselle kenties tarkkaan määriteltävissä olemattomalle mutta selvästi havaittavissa olevalle matemaattista kielenkäyttöä ohjaavalle säännöstölle Yackel ja Cobb (1996) ovat antaneet nimen sosiomatemaattinen normi (sociomathematical norm). 235

4 Timo Tossavainen Matematiikkakuva ja matematiikan kieliaspekti Matematiikkakuvan käsite ilmestyi matematiikan didaktiikan kielenkäyttöön todennäköisesti artikkelin Törner & Grigutsch (1994) myötä. Myös Pehkonen (1995) tarkastelee tätä käsitettä yksityiskohtaisesti. Se sisältää käsityksen itsestä matematiikan oppijana ja opettajana sekä käsityksen matematiikasta, sen opettamisesta ja oppimisesta. Erot yksilöiden matematiikkakuvien välillä johtuvat esimerkiksi matematiikan oppimiseen ja opettamiseen liittyvistä uskomuksista ja kokemuksista (mm. Pietilä 2002) ja ilmenevät muun muassa matematiikan aspektien erilaisina korostumisina. Jos matematiikan kielellisiin piirteisiin liittyviä käsityksiä halutaan tarkastella osana yksilön matematiikkakuvaa samalla tavalla kuin johdannossa mainittuja matematiikan muita aspekteja, on näiden käsitysten kirjo jotenkin projisoitava yksidimensioiselle asteikolle. Tällöin asteikon toiseksi ääripääksi pitänee asettaa näkemys, jonka mukaan matematiikka on elävään ja kehittyvään kulttuuriin liittyvä kieli samalla tavalla kuin suomi, saksa, englanti jne. (jatkossa positiivinen ääripää), ja sen vastakohdaksi näkemys, jonka mukaan matematiikka on objekti, johon luonnollisilla kielillä vain viitataan ja joka on olemassa näistä riippumattomasti ja näiden ulkopuolella (negatiivinen ääripää). Näiden matematiikan aspektien muotoilua jäljitellen matematiikan kieliaspekti voidaan kiteyttää mainitun asteikon dimensiota luonnehtivaksi propositioksi, jonka mukaan matematiikka on oma kielensä, jota käytetään erityisesti matemaattisten ajatusten välittämiseen. On heti huomautettava, että matematiikan kaikkien kielellisten elementtien (syntaksin, semantiikan jne.) välisten suhteiden kuvaaminen yksiulotteisen muuttujan avulla on mahdotonta. Annettu kieliaspektin määritelmä pitääkin ymmärtää muuttujaksi, jonka avulla voidaan kuvata lähinnä vain matematiikan kielellisten piirteiden tiedostamisen suhteellista määrää yksilön matematiikkakuvassa. Tämä on yhteensopivaa muiden mainittujen matematiikan aspektien määrittelemisen kanssa. Jos tavoitteena on tutkia yksilön harjoittamaa matematiikkaa kielenä, siihen tämä matematiikan kieliaspekti ei ilmeisestikään sovellu. Matematiikan kieliaspektin positiivisesti äärimmäisen näkemyksen voidaan katsoa sisältävän myös käsityksen, että matematiikka on olemassa eli matemaattisella tekstillä tai puheella on merkitystä vain silloin, kun on olemassa yksilöitä, jotka osallistuvat (tai ainakin voisivat osallistua) tekstin tai puheen välittämään kommunikaatiotapahtumaan. Huomattakoon vielä, että matematiikan kieliaspektin positiivinen ilmentymä on hyvin yhteensopiva vygotskylaisen sosiokonstruktivistisen oppimiskäsityksen kanssa muttei ole ristiriidassa myöskään kognitiivisen tai situationaalisen konstruktivismin kanssa. Kieliaspektimuuttujan niin kuin minkä hyvänsä teoreettisen mallin variaabelin mittaaminen empiirisissä tutkimuksissa lienee aina haasteellinen 236

5 tehtävä. Haastattelututkimuksissa sen arvoa voidaan tietysti määrittää muun muassa analogioita käyttäen. (Esimerkiksi Muistuttaako matematiikan opiskelu vieraiden kielten opiskelua? ) Kieliaspektin orientaatio yksilön matematiikkakuvassa paljastunee myös tutkimalla, millaista kieltä hän ylipäätänsä käyttää matemaattisissa tuotoksissaan. Esimerkiksi se, missä määrin yksilö kiinnittää huomiota matemaattisen logiikan ja arkikielen välisiin eroihin tai -sanan ja jos niin -rakenteen käytössä tai matemaattisten määritelmien ja käsitteiden täsmälliseen käyttöön, paljastaa paljon hänen kielellisestä suuntautumisestaan matematiikassa. Matematiikan kielellisiä piirteitä vähättelevät opiskelijat näyttäisivät usein syyllistyvän siihen, että nojautuvat analyyttisen geometrian määritelmiin ja menetelmiin euklidisen geometrian kurssilla ja päinvastoin. Myös pii on irrationaaliluku ja sen arvo on 3,14 -tyyppiset virheet ovat paljastavia. Huolellisen kielenkäytön lisäksi myös taitavuus käyttää jopa omia vaihtoehtoisia ilmaisutapoja matemaattisille käsitteille ja niiden välisille suhteille puolestaan viitannee positiviisen kieliaspektin korostumiseen yksilön matematiikkakuvassa. Matematiikan oppimisongelmat ja kieliaspekti Millaiset matematiikan oppimiseen liittyvät ongelmat saattavat johtua matematiikan kieliaspektin negatiivisesta korostumisesta yksilön matematiikkakuvassa? Tarkastellaan tätä kysymystä muutaman esimerkin avulla. On selvää, ettei matematiikan oikeakielisyyttä tai edes sosiomatemaattisen normin alkeita opita pelkän matemaattisen substanssin läpikäynnin ohessa. Esimerkiksi Weber (2002) huomauttaa, että myös matematiikkaa pidemmälle opiskelleilla on yleisesti vaikeuksia hahmottaa, millainen matemaattisten faktojen yhteenkokoaminen konstruoi matemaattisen todistuksen. Toiseksi, lukiolaisten ja jopa matematiikan aineenopettajaksi opiskelevien lukukäsitteen hallinnassa on pahoja puutteita (mm. Merenluoto 2001; Tossavainen & Luostarinen 2004). Tämä voi liittyä kieliaspektin negatiiviseen ilmentymään matematiikkakuvassa sikäli, ettei oppija kykene hahmottamaan, mitä matemaattisia käsitteitä on sisäistettävä samalla tavalla kuin perussanasto ja lauseiden tuottamisen perussäännöt minkä tahansa (muun) kielen opiskelussa. Ongelmanratkaisu on viimeisten kahdenkymmenen vuoden aikana muodostunut merkittäväksi osaksi valtakunnallisia opetussuunnitelmien perusteita (esim. Törnroos 2004), ja sitä on tarjottu kaikilla tasoilla keinoksi parantaa matematiikan opetuksen laatua. Yliopistollisen matematiikan oppimisen edistämisen kannalta ongelmanratkaisun lisääminen saattaa kuitenkin osoittautua toivottua tehottomammaksi keinoksi. Ongelmana nimittäin on se, että ongelmanratkaisussa käytetty mielikuvien ja representaatioiden kieli voi olla hyvin toisenlaista kuin kieli, jolla varsinaisen matematiikan tulokset tulisi 237

6 Timo Tossavainen esittää. Monet opiskelijoiden todistamistaitojen heikkoutta käsittelevät tutkimukset (mm. Moore 1994; Weber 2002) viittaavat siihen, että opiskelijoiden vakavimmat vaikeudet matematiikan oppimisessa liittyvät enemmän representaatioiden tasolla tapahtuvan ajattelun kääntämiseen matematiikan kielelle ja päinvastoin kuin varsinaisen ongelman ratkaisemiseen (esimerkiksi representaatioiden tasolla). Analyysin opintojensa kanssa kamppailevien opiskelijoiden silloin tällöin esittämät väitteet kuten x x 2x + = eivät ole osoitus siitä, että nämä opiskelijat kuvittelisivat leivän puolikkaan ja kolmanneksen olevan yhteensä kaksi viidesosaa (eli alle puolet leivästä), vaan pikemminkin siitä, ettei yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella oleva lauseke edusta heille mitään käsitettävää ilmaisua, ja siksi he arvaavat omalla tavallaan johdonmukaisesti yhteenlaskun lopputulokseksi osoittajina olevien x:ien summan ja nimittäjien summan osamäärää. Tällaisten opiskelijoiden polynomialgebran taidot eivät kohene polynomilausekkeisiin liittyviä mielikuvia muokkaamalla vaan löytämällä oikea tapa yhdistää heidän representaatioiden tasolla tapahtuva, useimmiten oikeita johtopäätöksiä tuottava, ajattelunsa matematiikan kielellä tapahtuvaan ilmaisuun. Downs ja Mamona-Downs (2005) ovat huomanneet formaalin matematiikan ja representaatioiden tasojen välisen kielenkääntämisongelman näkyvän jopa siten, että opiskelijat joutuessaan ratkaisemaan tehtävää, jonka antamisen yhteydessä on annettu myös vihjeitä ratkaisun löytämiseksi, käyttävät ratkaisuansa konstruoidessaan vihjeitä varsin harvoin. Tämän he olettavat johtuvan siitä, että vihjeet on yleensä annettu formaalin matematiikan kielellä, joten kääntämisongelmasta kärsivät opiskelijat kokevat vihjeen pikemminkin tehtävää vaikeuttavaksi ylimääräiseksi taakaksi kuin tehtävän muotoilijan tarkoittamalla tavalla! Kielenkääntämiseen liittyvänä ongelmana on nähtävä sekin varsin yleinen ilmiö, että monella opiskelijalla on vielä yliopistossa vaikeuksia erottaa, mikä todistamistehtävän osa on todistettava väite ja mitkä propositiot kuuluvat oletuksiin (Downs & Mamona-Downs 2006). Myös Selden ja Selden (1995) ovat raportoineet vakavista puutteista opiskelijoiden taidoissa ilmaista kuvailevia väitteitä matematiikan kielellä tai kääntää sanallinen ilmaisu predikaattilogiikan symboleja sisältäviksi ilmaisuiksi. Kielenkääntämisongelma näyttää siis olevan hyvin yleismaailmallinen. Toisaalta voidaan havaita myönteisiäkin syitä kiinnittää huomiota oppijoiden käsityksiin matematiikan kielellisistä piirteistä. Tossavaisen ja Luostarisen (2004) tutkimukseen osallistuneiden peruskoulun matematiikanopettajaksi valmistuvien opiskelijoiden todistamistaitojen hyvyys korreloi selke- 238

7 än positiivisesti sen kanssa, missä määrin heidän käsityksensä matematiikasta sisälsivät kielellisiä piirteitä. Matematiikan kielellisten piirteiden ottaminen huomioon opetuksessa Kielenopetuksen yleisenä tavoitteena voidaan pitää sellaista kielitaitoa, jota opiskelija voi autonomisesti ylläpitää ja täydentää. Tähän tavoitteeseen pääsy edellyttää jonkinlaisen sanavaraston ja lauseiden tuottamisen perussääntöjen omaksumisen lisäksi perehtymistä siihen kulttuuriin, jossa kieltä käytetään, sekä tulemista tietoiseksi niistä informaaleista ja tilanneriippuvaisista normeista, jotka ohjaavat ilmaisun tyylin valitsemista. Jos myönnämme, että matematiikka on (myös) kieli, nämä asiat tulisi ottaa huomioon kaikessa matematiikan opetuksessa. Ihmisten kokemukset ja muistikuvat koulumatematiikasta viittavat siihen, ettei keskustelevan ja oppijan oman matemaattisen kielitaidon kehittymistä tukevan opetustyylin mahdollisuuksia ole läheskään aina osattu hyödyntää matematiikan opetuksessa (esim. Kaasila 2000). Jos matematiikan oppimisongelmia pyritään opetuksessa ratkaisemaan matematiikan kielellisiä piirteitä korostamalla, voidaan erityisesti matematiikan opettajankoulutuksessa joutua tarkastelemaan opintokokonaisuuksien sisältöjä uudella tavalla. Tämä johtuu siitä, että kielellisiin kysymyksiin ei välttämättä voida kiinnittää halutulla tavalla huomiota kursseilla, joilla opiskelijoiden on keskityttävä erityisesti laskutekniikkaansa parantamiseen. Esimerkiksi diskreetin matematiikan ja geometrian kurssien voidaan olettaa soveltuvan matematiikan kielellisten taitojen kehittämiseen paremmin kuin analyysin kurssien, sillä analyysin alkeidenkin omaksuminen edellyttää ensin mainittuihin nähden monimutkaisempien laskentamenetelmien sisäistämistä. Onkin syytä pohtia laajasti ja monelta näkökannalta, missä määrin on mielekästä sisällyttää analyysia pelkästään peruskoulussa toimivien matematiikanopettajien koulutukseen. Yleisemmin matematiikan kielellisiin piirteisiin huomionkiinnittämisen tärkeyttä korkeamman matematiikan opetuksessa voidaan perustella ainakin seuraavilla kolmella seikalla. Ensiksi, varsinaisen yliopistollisen matematiikan opetuksen haasteet eivät liity niinkään yksittäisten käsitteiden omaksumiseen vaan pikemminkin huomattavasti laajemman ja monikerroksisemman käsitteellisen informaation uudelleen jäsentämiseen ja täydentämiseen. Korkeamman matematiikan oppiminen on oleellisesti yksilöllä jo olemassa olevan konseptuaalisen ja proseduraalisen tietämyksen kielellistä työstämistä. Toiseksi, analyysin oppiminen edellyttää käytännössä sitä, että oppija pystyy operoimaan sekä havainnollisten mielikuviensa tasolla että varsinaisen matematiikan kielen tasolla ja ennen kaikkea liikkumaan joustavasti näiden tasojen välillä. Tällainen liikkuminen tapahtuu oleellisesti kielen vaih- 239

8 Timo Tossavainen tamisen avulla. Esimerkiksi havainnollisten mielikuvien tasolla kelvollinen käyrän ja koordinaattiakselin leikkaamiseen perustuva argumentti on käännettävä pienimmän ylärajan ominaisuuteen perustuvaksi argumentiksi ennen kuin se on hyväksyttävä perustelu varsinaisen matematiikan kielellä. Toisaalta muun muassa raja-arvoja tarkasteltaessa mielikuvien tasolla on luonnollista käyttää ilmaisuja, joita ei voida sanasta sanaan kääntää epsilon-delta - kielelle. Matematiikan oppijan on siis tiedostettava todellinen tarve opetella matematiikan eri osa-alueiden tyypillisiä ilmaisurakenteita eikä pelkästään fraaseja. Kolmanneksi, myös yksittäisten käsitteiden sisäistäminen yleensä edellyttää varsinaisessa matematiikassa luonnollisten kielten tavanomaisen käytön rajojen ylittämistä. Jo matematiikan kaikkein keskeisimmän käsitteen eli luvun käsittäminen vaatii tätä. Millainen kielellisen abstraktion harppaus onkaan otettava, ennen kuin yksilö pääsee esimerkiksi kolmen omenan tai sormen määrällisen samuuden hahmottamisen tasolta tasolle, jolla hän ymmärtää käsitteen kolme ilman omenoita, sormia tai mitään muutakaan kosketeltavissa tai edes kuviteltavissa olevia objekteja puhumattakaan reaalilukujen perimmäisistä ominaisuuksista? Mooren metodi Millaista matematiikan kielellisiä piirteitä korostava opetus voisi sitten käytännössä olla? Amerikkalaiselta matemaatikolta R. L. Moorelta nimen saanut opetusparadigma tarjoaa tästä esimerkin. Mooren metodin mukaisessa opetuksessa kouluttajan rooli on lähinnä esitellä kunkin opetettavan kokonaisuuden lähtökohta ja joukko hypoteeseja sekä keskustelemalla ohjata opiskelijoita itse löytämään hypoteesien kannalta keskeiset matemaattiset ilmiöt ja ominaisuudet sekä perustelemaan ne tosiksi tai epätosiksi (esim. Mahavier 1999; Weber 2003). Tässä menetelmässä opiskelijat ovat sen materiaalin ensisijaisia tuottajia, joka kustakin kurssista jää kirjalliseksi dokumentiksi, vaikka kouluttaja vastaakin määritelmien asettamisesta sekä keskeisten lauseiden ja tutkimusongelmien valitsemisesta. Se siis eroaa oleellisesti perinteisestä luentomaisesta matematiikan opetuksesta. Mooren metodia voidaan pitää hyvänä esimerkkinä sosiokonstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaisesta matematiikan opetuksesta, ja keskustelua korostavan luonteensa takia se tarjoaa erinomaiset edellytykset matematiikan kielellisten piirteiden esillä pitämiseksi. Kouluttaja voi tällaisessa opetuksessa kysymysten avulla luontevasti ohjata opiskelijoita kehittämään ilmaisuansa matemaattisesti moitteettomaksi. Toisaalta erityisesti opiskelijoiden keskinäinen kommunikointi kannustaa, ellei suorastaan pakota, opiskelijoita täsmentämään ns. brainstorming-vaiheessa käytetyn kuvailevan kielen keskeisiä käsitteitä. Tällöin opiskelijoiden ongelmanratkaisukieli saa jo täsmällisen sa- 240

9 naston kertymisen kautta enemmän matemaattisia piirteitä, mikä helpottaa edellä mainittujen kielenkääntämiseen liittyvien ongelmien selvittämistä. Ilmeisesti Moore oli hyvin tietoinen näistä seikoista, sillä Mahavierin (1999) mukaan hän kiinnitti erityisesti huomiota siihen, millaista englannin kieltä hän käytti opetustilanteissa ja -keskusteluissaan. Mooren metodi edellyttää kouluttajalta kykyä arvioida ennakoivasti opiskelijoiden erilaisia ja eri tavalla eteneviä oppimisprosesseja ja reagoida nopeasti tilanteisiin, joissa koko opiskelijaryhmää voi luontevasti ja huomiota herättämättä ohjata oppimistavoitteiden kannalta oikeaan suuntaan, sekä taitoa keskustella matematiikasta sen kielen monella eri tasolla. Lisäksi kouluttajan on oltava hyvin kärsivällinen. Metodia sovellettaessa yleensä käy niin, että alussa opiskelijoiden edistyminen on hidasta, koska menetelmä vaatii heiltä perinteiseen kouluopetukseen nähden toisenlaisten työskentelytapojen omaksumista. Mahavier (1999) huomauttaakin, että useimmat metodin käyttöönottoon liittyneet epäonnistumiset selittyvät sillä, ettei kouluttaja ole ollut riittävän kärsivällinen ja on sen takia halunnut tehostaa opetusta esittämällä itse lyhyempiä ja täsmällisempiä todistuksia tarkasteltaville väitteille sen sijaan että olisi antanut opiskelijoiden konstruoida vähemmän suoraviivaisesti eteneviä mutta sinänsä oikeita päättelyjä. Toisaalta Mooren metodin mukaisen opetuksen onnistuminen edellyttää myös opiskelijoilta aktiivista ja avointa osallistumista. Heidän tehtävänään on tuottaa riittävästi erilaisia näkökulmia ja tulkintoja tarkasteltavasta aiheesta, joita työstämällä koko ryhmä edistyy. Tämä onnistunee helpoiten pienryhmissä. Mooren metodi on jo yli puoli vuosisataa vanha mutta herättää edelleen innostusta lukuisista viime vuosinakin julkaistuista raporteista päätellen. Aineopintotasoisen analyysin peruskurssin järjestämistä Mooren metodin mukaisesti on kuvailtu yksityiskohtaisesti mm. artikkelissa Mahavier (1999). Tämän kuvauksen perusteella vaikuttaa siltä, että menetelmää voidaan hyvin soveltaa matematiikan aineenopettajakoulutuksen lisäksi myös motivoituneiden oppilaiden opetukseen ainakin lukiossa ja kenties jopa peruskoulussa. Matematiikan kielellisten piirteiden korostaminen Mooren metodia käyttäen voi siis pakottaa vähentämään matematiikan aineenopettajien koulutuksen opintojaksoissa läpikäytävän oppiaineksen määrää. Toisaalta tällainen ratkaisu voi edistää sellaisen matemaattisen kielitaidon kehittymistä, että esimerkiksi aineopinnot suorittanut henkilö kykenee entistä itsenäisemmin täydentämään matematiikan tietojaan ja taitojaan (ks. Mahavier 1999). Kielellisten piirteiden korostaminen ei tarkoita mielikuvien tasolla tapahtuvien ajatteluprosessien vähättelyä vaan sitä, että oppijoita kannustetaan kehittämään näiden prosessien kielentämistä siihen suuntaan, että he voisivat tehokkaammin käyttää hyväkseen olemassa olevaa kirjallisuutta. Kieliaspektin korostaminen Mooren metodin mukaisessa opetuksessa ei siis lopulta edellytä opetuksen matemaattisesta laadusta tinkimistä, vaikka oppiaineksen karsimi- 241

10 Timo Tossavainen nen matematiikan aineenopettajakoulutuksessa on jo herättänyt huolestuneisuutta kotimaisissa matemaatikkopiireissä (esim. Martio 2005). Lähteet Chomsky, N Syntactic structures. Haag: Mouton & Co. Chomsky, N Aspects of the theory of syntax. Cambridge: The M.I.T. Press. Downs, M. & Mamona-Downs, J The proof language as a regulator of rigor in proof, and its effect on student behaviour. CERME 4 Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, February 2005 in Sant Feliu de Guíxols, Spain. < cerme4.crm.es/> (Luettu ) Gouthier, D Language and terms to communicate mathematics. Jekyll. comm International Journal on Science Communication 1 (2). < jekyll.comm.sissa.it/>. (Luettu ) Grigutsch, S., Raatz, U. & Törner, G Mathematische Weltbilder bei Lehrern. Schriftreihe des Fachbereichs Mathematik. Preprint. Nr Duisburg: Gerhard-Mercator-Universität. Kaasila, R Eläydyin oppilaan asemaan Luokanopettajaksi opiskelevien kouluaikaisten muistikuvien merkitys matematiikkaa koskevien käsityksien ja opetuskäytäntöjen muotoutumisessa. Acta Universitatis Lapponiensis 32. Rovaniemi: Lapin yliopisto. Kennedy, H. C Peano. Life and works of Giuseppe Peano. Studies in the history of modern science, 4. Dordrecht-Boston, Mass: D. Reidel Publishing. Mahavier, W. S What is the Moore method? Primus 9, Martio, O Pisa-tutkimus: matematiikan oppisisällöt ja opettajat. Solmun erikoisnumero 1/ , Merenluoto, K Lukiolaisen reaaliluku. Lukualueen laajentaminen käsitteellisenä muutoksena matematiikassa. Annales Universitatis Turkuensis C 176. Turku: Turun yliopisto. Moore, R. C Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics 27, Pehkonen, E Pupils View of Mathematics Initial report for an international comparison project. Tutkimuksia 152. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos. Pehkonen, E Teachers conceptions on mathematics teaching. Teoksessa M. Hannula, (toim.) Current state of research on mathematical beliefs V. Tutkimuksia 184. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos,

11 Pietilä, A Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva: matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Tutkimuksia 238. Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos. Selden, J. & Selden, A Unpacking the logic of mathematical statements. Educational Studies in Mathematics 29 (2), Sierpinska, A Language and communication in mathematics education: Discoursing mathematics away. Esitelmä Luleån teknillisessä yliopistossa < (Luettu ) Spengler, O Länsimaiden perikato (lyhennetty laitos, 5. painos 2002), Helsinki: Tammi. Thiel, R Mathematik Sprache Dialektik. Berlin: Akademie-Verlag. Tossavainen, T. & Luostarinen, K Peruskoulun matematiikanopettajaksi opiskelevien todistamistaidot ja matematiikkakuva. Teoksessa K. Merenluoto & M. Mikkilä Erdmann (toim.) Learning research challenges the domain specific approaches in teaching A symposium for research on teaching and learning Turku Turku: University of Turku, Department of Teacher Education, Törner, G. & Grigutsch, S Mathematische Weltbilder bei Studienanfängern eine Erhebung. Journal für Mathematik-Didaktik 15 (3/4), Törnroos, J Opetussuunnitelma, oppikirjat ja oppimistulokset 7. luokan matematiikan osaaminen arvioitavana. Jyväskylä: Koulutuksen tutkimuslaitos. Vala, K Matematiikka. Teoksessa Otavan suuri ensyklopedia. Keuruu: Otava, Weber, K Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics 48 (1), Weber, K Students difficulties with proof. MAA Online: Research Sampler. < (Luettu ) Yackel, E. & Cobb, P Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27 (4),