Asiantuntija-arvioiden tarve

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Asiantuntija-arvioiden tarve"

Transkriptio

1 Asiantuntija-arvioiden tarve Asiantuntija-arviot hyödyllisiä epävarmuuksien arvioinnissa kun riittävää dataa tai hyviä malleja ei ole käytettävissä tai niiden käyttö liian kallista tai aikaa vievää

2 Arvioista Ihmiset tekevät arvioita päivittäin Uskon että tänään sataa. En usko, että demokraatit voittavat USA:n seuraavat presidentinvaalit. Muodollisen arviointiprosessin hyödyt Eksplisiittinen Systemaattinen Epävarmuudet kuvataan todennäköisyyksillä Arvioiden harhat pyritään poistamaan => Tarkemmat ja luotettavammat arviot

3 Osapuolet Tilaaja, päätöksentekijä Käyttää tuloksia omiin tarpeisiinsa Normatiiviset asiantuntijat Todennäköisyyslaskennan, tilastotieteen, kognitiivisen psykologian ja päätösanalyysin tuntijoita Johtavat asiantuntija-arvioprosessia Substanssiasiantuntijat Tuntevat tarkasteltavan aihepiirin Analysoivat ongelman, arvioivat tarkasteltavien muuttujien arvot ja niiden epävarmuudet

4 Todennäköisyystulkinnat ja -jakaumat

5 Satunnaisilmiöt ja toistokokeet Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka tuloksen määrää sattuma. esim. nopanheitto, rahan heitto, kortin vetäminen pakasta Koe on tapahtumasarja, joka tuottaa käsiteltävää aineistoa. Kun koetta toistetaan samoissa olosuhteissa, puhutaan toistokokeesta. Jos tulosmahdollisuuksia vain kaksi, toistokoe on Bernoullin koe

6 Tapahtuman todennäköisyys Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Varman tapahtuman todennäköisyys on yksi. Tapahtuman A todennäköisyys saa siis arvoja väliltä 0 P(A) 1. A:n vastatapahtuman todennäköisyys P( A ei tapahdu ) = 1 - P( A tapahtuu ).

7 Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet: Yhteenlaskusääntö Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu on: P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B) Esimerkki:Tehtaan valmistamissa tuotteissa havaittiin valmistusvikoja 2 %:ssa ja värivikoja 4 %:ssa tuotteista. 1%:ssa tuotteista esiintyi sekä valmistus- että värivikoja. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitussa tuotteessa on jompikumpi tai molemmat vioista? P(A tai B) = 0,02 + 0,04 0,01 = 0,05

8 Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet: Yhteenlaskusääntö Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia P(A ja B) = 0. Tällöin P(A tai B) = P(A) + P(B) Esimerkki: Mikä on todennäköisyys, että heitettäessä yhtä tikkaa saadaan tulokseksi 9 tai 10? P(9 tai 10) = P(9) + P(10)

9 Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet: Ehdollinen todennäköisyys Tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuman B tiedetään esiintyneen sitä ennen on A:n ehdollinen todennäköisyys: P ( A B) = P( A& B) P( B)

10 Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet: Ehdollinen todennäköisyys Esimerkki: Korttipakasta nostetaan kortti, joka osoittautuu kuvakortiksi. Millä todennäköisyydellä nostettu kortti on kuningas? P( kuningas & kuvakortti) 4 / 52 4 P( kuningas kuvakortti) = = = = P( kuvakortti) 12 /

11 Yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet: Kertolaskusääntö Ratkaisemalla P(A ja B) ehdollisen todennäköisyyden kaavasta saadaan P( A & B) = P( B) P( A B) Jos P(A B) = P(A), ei ehto B vaikuta mitenkään tapahtuman A todennäköisyyteen. Tällöin P( A & B) = P( B) P( A)

12 Todennäköisyyden tulkinnat Klassinen tulkinta Todennäköisyys on suotuisten tapausten lukumäärän suhde kaikkien mahdolliset tapausten lukumäärään. Soveltuu ilmiöihin, joissa kaikkien alkeistapausten todennäköisyys on sama Ongelmia syntyy, kun symmetrisiä vaihtoehtoja ei ole, esim. toispuoleisesti painotettu raha Tulkinnan mukaan ei voida analysoida esim. seuraavantyyppisiä lauseita: Suhteellisuusteoria on todennäköisesti tosi. Todennäköisyys, että umpimähkään valittu suomalainen on vasenkätinen, on 0,12.

13 Todennäköisyyden tulkinnat Klassinen tulkinta Esimerkki, jossa klassista todennäköisyystulkintaa voidaan soveltaa: Maljassa on 3 valkoista, 5 keltaista ja 4 sinistä palloa, jotka eroavat toisistaan vain värinsä puolesta. Jokaisen pallon esiintymistodennäköisyys on siis 1/12. Millä todennäköisyydellä maljasta satunnaisesti nostettu pallo on valkoinen? Suotuisia alkeistapahtumia on 3. Tällöin P(valkoinen) = 3/12 = 1/4. valkoinen tai sininen? Suotuisia alkeistapahtumia on = 7 ja P(valkoinen tai sininen) = 7/12. ei ole keltainen? P(ei keltainen) = 1 P(keltainen) = 1 5/12 = 7/12.

14 Todennäköisyyden tulkinnat Frekvenssitulkinta Aristoteles: Todennäköistä on se, mikä tavallisesti tapahtuu. Tarkastellaan tapahtuman A suhteellista frekvenssiä pitkissä koesarjoissa. P(A) on luku, jota A:n tuottaneiden kokeiden lukumäärän suhde suoritettujen kokeiden lukumäärään lähestyy toistojen määrän kasvaessa. Kutsutaan myös todennäköisyyden tilastolliseksi, empiiriseksi tai objektiiviseksi tulkinnaksi.

15 Todennäköisyyden tulkinnat Frekvenssitulkinta Sulkee pois monia todennäköisyyden käsitteen luonnollisia käyttötapoja Esim. seuraavat lauseet ovat tulkinnan mukaan mielettömiä: Todennäköisesti en ehdi päivälliselle. On erittäin epätodennäköistä, että Marsissa on elämää. Todennäköisyys saada ykkönen seuraavassa heitossa tällä nopalla on 1/6.

16 Todennäköisyyden tulkinnat Propensiteettitulkinta Todennäköisyys on jonkin koejärjestelyn taipumus tuottaa koesarjoja, joissa tapahtuman suhteellinen frekvenssi on tietyn suuruinen. Ongelmana yksittäisten tapahtumien todennäköisyyksien käsittely.

17 Todennäköisyyden tulkinnat Looginen tulkinta Todennäköisyys ilmaisee loogisen suhteen kahden lauseen, hypoteesin ja evidenssin välillä. Todennäköisyys on uskomuksen aste hypoteesin totuuteen evidenssin nojalla

18 Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (1/3) Kaikkia epävarmuuksia ei ole mielekästä kuvata klassisen tai frekvenssitodennäköisyystulkinnan avulla, esim: Millä todennäköisyydellä Saimaan norppa on kuollut sukupuuttoon vuoteen 2020 mennessä? Millä todennäköisyydellä tapahtuu suuri ydinvoimalaonnettomuus Suomessa seuraavan kymmenen vuoden sisällä? Toistokoe? Suotuisten tapahtumien osuus?

19 Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (2/3) Tapahtuma on jo sattunut, mutta tuloksesta ei olla varmoja, esim.: 1. Kolikkoa on heitetty, mutta tulosta ei ole vielä katsottu. Millä todennäköisyydellä tuli kruunu? 2. Millä todennäköisyydellä TPS voitti Jokerit jääkiekkojoukkueiden ensimmäisessä SM-liigaottelussa vuonna 1998? 3. Millä todennäköisyydellä Pariisin asukasluku oli suurempi kuin Lontoon ? Tapahtumat eivät enää satunnaisia Jos oikeita vastauksia ei tiedetä, arviot ovat epävarmoja

20 Todennäköisyyden tulkinnat Subjektiivinen tulkinta (3/3) Ilmaisee havaitsijan epävarmuutta tai käsitystä tietyn tapahtuman tuloksesta Havaitsijasta riippuvainen Saatavilla olevasta tiedosta riippuvainen subj. tn muuttuu, kun saadaan uutta tietoa

21 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Normaalijakauma Esimerkki: Suomalaisten poikalasten syntymäpituus noudattaa normaalijakaumaa keskiarvona 52,0 cm ja keskihajontana 3,5 cm Normaalijakauman tiheysfunktion kuvaaja

22 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Normaalijakauma Kertymäfunktion kuvaajasta nähdään, että syntymäpituuden mediaani on sama kuin keskiarvo, eli 52 cm. Fraktiilit kertovat, että 10 % poikalapsista on syntyessään alle 47,5 cm pitkiä ja 10 % yli 56,5 cm pitkiä. 100 % N orm aalijakaum an kertym äfunktion kuvaaja 90 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 10 %

23 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Tasajakauma Esimerkki: Tarkastellaan 15 m pitkää kaapelia, jossa todetaan yksi vika. Tasajakauman tiheysfunktion kuvaaja 1/

24 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Tasajakauma Kertymäfunktion kuvaajaan piirretyistä fraktiileista nähdään, että vika löytyy 25 %:n todennäköisyydellä ensimmäisen 3,8 m:n matkalta ja 50 %:n todennäköisyydellä ennen 7,5 metrin kohtaa. Todennäköisyydellä 25 % kaapelia joudutaan tutkimaan yli 11,2 metrin matkalta ennen kuin vika löytyy. Tasajakauman kertymäfunktion kuvaaja % % %

25 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Eksponentiaalijakauma Esimerkki: Satunnaisessa liikennevirrassa ajoneuvojen aikavälit noudattavat eksponentiaalijakaumaa. Liikennemäärä on 800 ajon/h. Eksponentiaalijakauman tiheysfunktion kuvaaja

26 Tavallisimmat todennäköisyysjakaumat Eksponentiaalijakauma Kertymäfunktion kuvaajaan piirretystä mediaanista nähdään, että lähes puolella ajoneuvoista aikaväli edelliseen ajoneuvoon on alle 3 sekuntia. 20 % ajoneuvoista ajaa alle sekunnin ja 80 % alle 7,2 sekunnin päässä edellä ajavasta ajoneuvosta. Eksponentiaalijakauman kertymäfunktion kuvaaja % % %

27 Arvioiden antaminen 1. Muuttujan X minimija maksimipisteet 2. Mediaani f 50 : Asiantuntijan mielestä X < f 50 on yhtä todennäköinen kuin X > f Fraktiileja f 5, f 25, f 75, f kertymätodennäköisyys Fraktiilit ja sovitettu kertymäfunktio 1 0,8 0,6 0,4 0, muuttujan arvo esim. f 5 : P(X<f 5 ) = 0,05; X < f 5 yhtä varma kuin, että 20 arvan joukosta nostetaan määrätty arpalippu

28 Muuttujien dekomponointi Usein alkuperäinen ongelma voidaan jakaa osiin ja arvioida niitä näitä yleensä helpompi arvioida arviot yhdistetään todennäköisyyslaskun sääntöjä käyttäen => Saadaan parempi arvio alkuperäisestä ongelmasta

29 Esimerkki dekomponoinnista Alkuperäinen kysymys: Millä todennäköisyydellä osakkeen X arvo nousee huomenna? p 1-p X nousee X laskee Tehtävänä arvioida p:n suuruus

30 Esimerkki dekomponoinnista (2) Jaetaan alkuperäinen kysymys kahteen tapaukseen: Hex-indeksi nousee Hex-indeksi laskee p H Hex nousee p u X nousee 1-p u X laskee 1-p H Hex laskee Arvioidaan p H, p u, p d p d 1-p d X nousee X laskee

31 Esimerkki dekomponoinnista (3) Alkuperäisen kysymyksen todennäköisyys p saadaan seuraavalla laskutoimituksella: p = = = P( X nousee) P( Hex nousee) P( X nousee Hex nousee) + P( Hex laskee) P( X nousee Hex laskee) p H p u + (1 p H ) p d

32 Heuristiikat ja harhat

33 Heuristiikka = Nyrkkisääntö, jonka avulla ihminen arvioi monimutkaisten epävarmojen tapahtumien todennäköisyyttä Heuristiikat monesti hyödyllisiä, mutta voivat myös johtaa systemaattiseen virhearviointiin eli harhoihin, joita seuraavassa esitellään

34 Linda on 31-vuotias, naimaton, sanavalmis ja älykäs nainen. Opiskeluaikoinaan hän oli kiinnostunut syrjinnästä ja sosiaalisesta tasaarvosta sekä osallistui myös ydinvoiman vastaisiin mielenosoituksiin. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista on mielestäsi todennäköisempi: a) Linda on pankkivirkailija. b) Linda on pankkivirkailija ja toimii aktiivisesti feministisessä kansalaisjärjestössä.

35 Psykologiryhmä on haastatellut 30 insinööriä ja 70 asianajajaa ja tehnyt kaikista heistä lyhyen kuvauksen. Millä todennäköisyydellä henkilö on insinööri jos a) Hänet valitaan satunnaisesti koko 100 haastatellun joukosta. b) Hänen kuvauksensa on seuraava: "Hän on 30-vuotias lapseton mies. Hän on omalla alallaan kyvykäs ja erittäin motivoitunut. Hänen kollegansa arvostavat häntä." c) Hänen kuvauksensa on seuraava: "Hän on 45-vuotias mies, jolla on neljä lasta. Hän on yleisesti ottaen konservatiivinen, huolellinen ja kunnianhimoinen. Hän ei ole kiinnostunut politiikasta tai sosiaalisista asioista ja viettää vapaa-aikaansa monien harrastustensa parissa, joita ovat mm. purjehtiminen ja matemaattisten "pähkinöiden ratkaiseminen.

36 Kahdeksasluokkalaisten keskimääräinen älykkyysosamäärä tietyssä kaupungissa on 100. Oppilaiden joukosta on valittu 50 lapsen otos, jonka älykkyyttä tutkitaan. Ensimmäisen testattavan oppilaan älykkyysosamäärä on 150. Minkä oletat olevan koko otoksen keskimääräinen älykkyysosamäärä?

37 Edustavuusheuristiikka (1/3) Ajatellaan, että jos x edustaa hyvin joukkoa A, niin todennäköisyys, että x kuuluu A:han on suuri. Usein unohdetaan eri joukkojen suhteelliset frekvenssit eli yleisyydet. Esim. ammattijalkapalloilijoita vähemmän kuin hoitajia

38 Edustavuusheuristiikka (2/3) Kahden tapahtuman leikkaus ei voi olla todennäköisempi kuin toinen tapahtumista yksinään Leikkaus A B

39 Edustavuusheuristiikka (3/3) Otoskoko täytyy huomioida Pienemmässä otoksessa sattuu helpommin keskimääräisestä poikkeavia tapahtumia Satunnaiset ilmiöt eivät ole itseään korjaavia Esim. kumpi todennäköisempi: HTTHTH vai HHHTTT

40 Valitse kustakin parista se, jonka arvelet olevan yleisempi kuolinsyy USA:ssa: Diabetes / Murha Pyörremyrsky / Salamanisku Auto-onnettomuudet / Mahasyöpä

41 Vertaa kahta eri rakennetta A ja B, jotka on esitetty ohessa. Polku on sellainen viiva, joka yhdistää merkin X ylärivillä merkkiin X alarivillä kulkien kullakin rivillä täsmälleen yhden X-merkin kautta. Toisin sanoen rakenteessa A polkuun kuuluu kolme X:ää ja B:ssä yhdeksän X:ää (yksi joka riviltä). Kuvaan on piirretty yhdet mahdolliset polut. Kummassa rakenteessa on enemmän mahdollisia polkuja? A: X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X B: X X X X X X X X X X X X X X X X X X

42 Saavutettavuusheuristiikka Helposti muistettavat ja miellettävät asiat vaikuttavat todennäköisemmiltä Harhaa synnyttää mm. sensaatioarvo, asioiden kuvitteleminen sekä se, miten elävästi jokin asia on esitetty Esim. ilmailusta jäävät mieleen onnettomuudet, eivät onnistuneet lennot

43 Paperi taitetaan kahtia. Sitten se taitetaan uudestaan kahtia ja taas uudestaan. Kuinka paksu se on 100 taitoksen jälkeen? Anna pikainen arvio seuraavalle tulolle (laskematta sitä oikeasti) =

44 Kaksi uurnaa on täytetty miljoonilla pokerin pelimerkeillä. Toisessa uurnassa on 70 % punaisia ja 30 % sinisiä pelimerkkejä. Toisessa puolestaan on 70 % sinisiä ja 30 % punaisia pelimerkkejä. Toisesta uurnasta nostetaan kaksitoista pelimerkkiä, joista kahdeksan on punaista ja neljä on sinistä. Mikä on todennäköisyys, että pelimerkit nostettiin uurnasta, jossa oli 70 % punaisia merkkejä?

45 Ankkuroituminen Ihminen arvioi todennäköisyyksiä tai esiintymistiheyksiä jonkin alkuarvon perusteella Yleensä alkuarvoa ei muuteta tarpeeksi ja arvio jää liian pieneksi Esim. Arvioi vuotuinen kuolleisuus, kun liikenneonnettomuuksissa kuolee vuosittain 400 ihmistä.

46 Absintti on a) likööri b) jalokivi Kuinka varma olet vastauksestasi

47 Ajattele seuraavaa historiallista tapahtumasarjaa: Supervalta A:n läheisen valtion hallitus alkoi laajentaa kaupankäyntiään supervalta B:n kanssa käytyään keskusteluja puolue-järjestelmästään. Estääkseen nämä muutokset hallinnossa ja kauppasuhteissa supervalta A lähetti joukkonsa maahan ja palautti vanhan hallituksen valtaan. Onko supervalta A a) Neuvostoliitto vain b) USA? Kuinka varma olet vastauksestasi? En ollenkaan varma Täysin varma

48 Yliluottamus Ihmiset pitävät omia arvioitaan varmempina kuin ne todellisuudessa ovat Täysin varmoista ihmisistä vain noin 80 % on oikeassa Tietomäärä lisää luottamusta vaikka ei välttämättä paranna arviota

49 Tutkimuksessa, johon osallistui 250 potilasta saatiin oheiset tulokset aivokasvaimen ja huimauksen esiintymisestä. a) Mitkä taulukon solut tarvitaan, kun halutaan tutkia, onko huimauksella yhteys aivokasvaimeen? b) Voidaanko havaintoaineiston perusteella sanoa, että huimauksella olisi yhteys aivokasvaimeen? HUIMAUS AIVOKASVAIN on ei on ei 40 10

50 Korrelaatio Kuviteltu korrelaatio = Kuvitellaan, että asiat korreloivat, vaikka oikeasti ne eivät korreloi. Stereotypiat ja asioiden mieltäminen yhteenkuuluviksi vaikuttavat asiaan. Näkymätön korrelaatio = Korrelaatiota ei huomata, vaikka sitä olisikin

51 Kumpi on mielestäsi todennäköisempää a) Isossa-Britanniassa tullaan säännöstelemään yksityisten kuluttajien energiankäyttöä, jos oletetaan, että talojen lämmittämiseen tullaan käyttämään nykyistä paljon enemmän aurinkoenergiaa. b) Isossa-Britanniassa tullaan säännöstelemään yksityisten kuluttajien energiankäyttöä, jos oletetaan, että talojen lämmittämiseen ei tulla käyttämään nykyistä enemmän aurinkoenergiaa.

52 Syy-seuraussuhde Vaikka kaksi asiaa korreloisivat, niin se ei tarkoita, että toinen olisi seurausta toisesta. Muitakin selittäjiä voi olla. Usein ajatellaan, että syystä voidaan päätellä seuraus, mutta seurauksesta ei syytä

53 Mikä on todennäköisyys, että voitat pelissä, jossa sinun tulee arvata kolikon heiton tulos (kruunu / klaava) oikein viidessä peräkkäisessä heitossa? Millä todennäköisyydellä voitat pelissä, jossa sinun tulee arvata oikein ainakin yksi kolikon heiton tulos (kruunu / klaava) viidestä?

54 Yhdistetyt tapahtumat Leikkaus = A ja B Unioni = A tai B Leikkauksen todennäköisyys usein yliarvioidaan ja unionin aliarvioidaan A B

55 Jälkiviisaus Jälkikäteen ihminen kuvittelee ennustaneensa tapahtuman ( mitä minä sanoin ) Harhaa voi välttää ajattelemalla, miksi jokin muukin lopputulos olisi voinut olla mahdollinen

56 Kontrolli Kuvitellaan, että sattumaan voidaan jotenkin vaikuttaa. Esim. lottonumerot halutaan valita itse. Positiiviset tapahtumat Mikäli muut tekijät pysyvät samoina positiivinen tapahtuma nähdään todennäköisempänä

57 Fraktiilit 5 % 50 % 95 % 1. Matin Luther Kingin ikä kuollessa 2. Niilin pituus 3. OPECin jäsenmaiden määrä 4. Vanhan testamentin kirjojen määrä 5. Kuun halkaisija 6. Tyhjän Boeing 747:n paino 7. Wolfgang Amadeus Mozartin syntymävuosi 8. Aasian norsun tiineysaika päivissä 9. Matka Lontoosta Tokioon linnuntietä 10. Syvimmän merenkohdan syvyys

58 1. 39 vuotta km 3.13 maata kirjaa km kg 7. Vuonna päivää km m Vastaukset

59 ASIANTUNTIJA-ARVIOIDEN PERIAATTEITA Asiantuntijuus Rationaalinen konsensus

60 Asiantuntijuus NUREG -1150: Asiantuntija on henkilö jolla on kolleegoiden ja tutkimuksen tilaajien tunnustamaa erikoisosaamista, koulutusta ja kokemusta tarkasteltavasta asiasta An expert is a person who has special skills, training and experience in the subject area and is recognized by his/her peers or those conducting the study asiantuntijoiden kokemus tulisi olla osoitettu - julkaisuilla - konsultointikokemuksella - tutkimuksella ja sen johtamisella

61 Asiantuntijuus (jatkoa) asiantuntijoiden tulisi edustaa laajaa kokemusta, joka on hankittu - yliopistoissa - konsulttifirmoissa - tutkimuslaitoksissa - teollisuudess

62 Asiantuntijuus (jatkoa) asiantuntijoiden tulisi tuntea aihealueen state of the art asiantuntijoilla tulisi olla laaja ja monipuolinen näkemys aiheesta asiantuntijoiden tulisi olla halukkaita antamaan asinatuntemuksensa käyttöön ja hyväksyä asuantuntijaarvioinnin prosessi asiantuntija-arvioprosessissa tulisi olla mukana mahdollisimman laaja joukko erilaisia näkemyksiä ja erilaisia asiantuntijoita

63 Rationaalinen konsensus yleensä asiantuntijoita on useita asiantuntija-arviointiprosessi pyrkii konsensukseen RATIONAALINEN KONSENSUS: - toistettavuus - jäljitettävyys - empiirinen kontrolli - puolueettomuus - tasapuolisuus

64 Rationaalinen konsensus (jatkoa) TOISTETTAVUUS: mahdollisuus toistaa ja tarkistaa kaikki laskelmat laskentamallien tulisi olla täydellisesti määriteltyjä toistettavuus on tieteellisen menetelmän keskeinen vaatimus

65 Rationaalinen konsensus (jatkoa).) JÄLJITETTÄVYYS: asiantuntijoiden arvioiden (ja subjektiivisten todennäköisyyksien) taustan ja lähteiden tulisi olla tunnistettavissa päätöksentekijän pitää pystyä jäljittämään kunkin arvion tekijä ja hänen työpaikkansa tieteellisen menetelmän keskeinen vaatimus

66 Rationaalinen konsensus (jatkoa) EMPIIRINEN KONTROLLI arvioiden tulisi voida asettaa empiirisesti testattavaksi ainakin periaatteessa tai hypoteettisesti arvioit tulisi voida falsifioida periaatteessa (l. arvioiden tulisi olla sellaisia, että ne voidaan periaatteessa osoittaa vääriksi) tieteellisen menetelmän keskeinen vaatimus

67 Rationaalinen konsensus (jatkoa) PUOLUEETTOMUUS arvioiden yhdistämismenetelmän tulisi rohkaista asiantuntijoita ilmaisemaan todelliset mielipiteensä - jotkut menetelmät voivat kannustaa asiantuntijoita esittämään keskenään samanlaisia arvioita prosessin tulisi estää arvioilla pelaamisen mahdollisuus arvoasetelmien vaikutus tuloksiin tulisi estää

68 Rationaalinen konsensus (jatkoa) TASAPUOLISUUS kaikkia asiantuntiojoita ja heidän arvioitaan tulisi kohdella samojen periaatteiden mukaan (ennen mahdollisia empiirisiä havaintoja) monesti arvioiden yhdistämismenetelmissä painotetaan asiantuntijoita eri tavalla, mikäli todetaan esim. selvästi harhaisia arvioita, tai jos asiantuntijat itse kykenevät ilmaisemaan arvioidensa virheet

69 MALLEJA JA LÄHESTYMISTAPOJA DELPHI-menetelmä - ryhmätyömenetelmä - useita eri versioita muita työryöhmätekniikoita NUREG-1150 menetelmä - eräs monipuolisimmista menelemistä - arvioiden yhdistäminen perustuu jakaumien suoriin sekoituksiin

70 MALLEJA JA LÄHESTYMISTAPOJA (jatkoa) parittaisvertailut haastattelutekniikkana (Bradley-Terry-malli, Bayesilainen parittaisvertailu) suorat arviot na Bayesilainen yhdistäminen (additiivinen/multiplikatiivinen virhemalli, Mosleh & Apostolakis) VTT-menetelmä - yksinkertaistettu NUREG-1150 menetelmä - Bayesilainen arvioiden yhdistäminen - monenlaiset elisitointitekniikat periaatteessa mahdollisia

71 NUREG-1150-menetelmä 1. Aiheiden identifiointi ja valinta Aiheet joiden arvioista on hyötyä Riittävää dataa tai malleja ei käytettävissä 2. Asiantuntijoiden identifiointi ja valinta Substanssiasiantuntijat edustavat alan huippuosaamista riippumattomia laaja-alaisuus; mahdolliset eriävät mielipiteet edustettuna Normatiiviset asiantuntijat

72 NUREG-1150-menetelmä 3. Aiheista keskustelu ja muuttujien tarkempi määrittely - yksikäsitteinen muuttujien määrittely 4. Asiantuntijoiden koulutus Käsitellään todennäköisyyskäsitteitä, arvioiden antamista, harhoja ym. 5. Arvioiden antamiseen valmistautuminen Esim. kirjallisuuskatsauksia, analyyseja, simulointeja

73 NUREG-1150-menetelmä 6. Arvioiden antaminen Asiantuntijoiden haastattelu, ajatustapojen dokumentointi ja validointi 7. Yhdistäminen ja erimielisyyksien ratkaisu Asiantuntijoiden arviot yhdistetään Erimielisyyksien tarkempi tarkastelu asioiden huomioimatta jättäminen virhearvioinnit oikeasti eriävät näkemykset 8. Dokumentointi ja kommunikaatio

ASIANTUNTIJA-ARVIOIDEN PERIAATTEITA. Asiantuntijuus Rationaalinen konsensus

ASIANTUNTIJA-ARVIOIDEN PERIAATTEITA. Asiantuntijuus Rationaalinen konsensus ASIANTUNTIJA-ARVIOIDEN PERIAATTEITA Asiantuntijuus Rationaalinen konsensus Asiantuntijuus NUREG -1150: Asiantuntija on henkilö jolla on kolleegoiden ja tutkimuksen tilaajien tunnustamaa erikoisosaamista,

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys

Lisätiedot

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Jatkossa ratkaisuehdotukset ovat tyypillisesti paljon lakonisempia.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Jatkossa ratkaisuehdotukset ovat tyypillisesti paljon lakonisempia. ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia ja selittelyjä Tämänkertaiset ratkaisuehdotukset ovat pitkähköjä, ja ne sisältävät paljon selittelyjä. Jatkossa

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa? 21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

30A02000 Tilastotieteen perusteet

30A02000 Tilastotieteen perusteet 30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Tehtävät 1/10. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät 1/10. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Tehtävien

Lisätiedot

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin?

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että kolikonheitossa saadaan lopulta

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)=

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)= JÄRJESTYSKORRELAATIO 1. Hannu ja Kerttu pitävät karamelleista, mutta heidän mieltymyksensä poikkeavat hieman. Hannun mielestä punaiset karkit ovat parhaita ja keltaiset miellyttävät häntä vähiten. Kerttu

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

H0: otos peräisin normaalijakaumasta H0: otos peräisin tasajakaumasta

H0: otos peräisin normaalijakaumasta H0: otos peräisin tasajakaumasta 22.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento 22.1.2019 Luku 3 2 -yhteensopivuus- ja riippumattomuustestit 3.1 2 -yhteensopivuustesti H0: otos peräisin tietystä jakaumasta H1: otos ei peräisin

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot