Jorma Joutsenlahti, Kaisu Rättyä. Kasvatustieteen tieteenalayksikkö, Tampereen yliopisto, Hämeenlinna

Transkriptio

1 Joutsenlahti, J. & Rättyä, K. (2011) Matematiikan kielentämisen tutkimuksen lähtökohtia kielen näkökulmasta Sanan lasku projektissa. Teoksessa H. Silfverberg & J. Joutsenlahti (toim.) Tutkimus suuntaamassa 2010-luvun matemaattisten aineiden opetusta. Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuksen päivät Tampereella Kasvatustieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto. Tampere: Juvenes?, Matematiikan kielentämisen tutkimuksen lähtökohtia kielen näkökulmasta Sanan lasku - projektissa Abstrakti: Jorma Joutsenlahti, Kaisu Rättyä Kasvatustieteen tieteenalayksikkö, Tampereen yliopisto, Hämeenlinna Tässä artikkelissa pohdimme kielen prosessiluonnetta ja matematiikan opetuksen kielisysteemiä. Tarkastelemme kielen näkökulmaa kielentämiseen liittyvissä tutkimuksissa, jotka on tehty Sanan lasku -projektissa. Laajennamme ja sovellamme Guillermo Solano-Floresin viitekehysmallia kielen funktionaalisista ja formaaleista näkökulmista erityisesti kielisysteemin osalta matematiikan kielentämisen teoreettiseen viitekehykseen ja tutkimuksiin. Matematiikan kielentämisessä matematiikan symbolikielen, kuviokielen ja luonnollisen kielen sekä sen eri rekisterien välillä tapahtuvaa kielten vaihtoa voidaan tarkastella koodinvaihtona. Asiasanat: matematiikka, kielentäminen, kieli, koodinvaihto 1. Johdanto Kielen ja matematiikan yhteydestä on toisistaan poikkeavia näkemyksiä. Yksi käsitys on, että matematiikka on oma universaali kielensä. Toisen vastakkaisen käsityksen mukaan matematiikka on täysin vapaa kielen ominaisuuksista. (Solano-Flores 2010, 114.) David Pimm (1987) on esittänyt, että matematiikalla on toisaalta ominaisuuksia, joita voi tutkia kielitieteen näkökulmasta, mutta kuitenkaan matematiikkaa ei voi oppia samalla tavalla kuin vieraita kieliä. Kun tulkitaan ja rakennetaan merkityksiä matematiikan käsitteille, voi luonnollista kieltä käyttää muun muassa luokkahuonetyöskentelyssä kommunikatiivisena työkaluna (Solano-Flores 2010). Mainitut kielen luokkahuonekäytön mahdollisuudet on nähty tärkeiksi matematiikan opetusta säätävissä asiakirjoissa kuten Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa(opetushallitus 2004) ja Lukion opetussuunnitelman perusteissa (Opetushallitus 2003). Matematiikan osalta todetaan esimerkiksi (Opetushallitus 2003 ja 2004) todetaan: käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat puhuttu ja kirjoitettu kieli (peruskoulun luokat 1-2), oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja päätelmiään

2 konkreettisin mallein ja välinein, kuvin, kirjallisesti tai suullisesti (peruskoulun luokat 1-2), oppilas oppii perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään sekä esittämään ratkaisujaan muille (peruskoulun luokat 3-5), ilmaisemaan ajatuksensa yksiselitteisesti ja perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään (peruskoulun luokat 6-9) ja oppii käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä (lukio). Matematiikan kielentämiseen liittyvissä artikkeleissa (mm. Joutsenlahti 2009, 2010[tätä en huomannut lähteissä] ja Joutsenlahti & Kulju 2010) on eritelty kolme kieltä, jotka on nähty merkityksellisinä matematiikan kouluopiskelussa. Nämä kielet ovat matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli, jotka eivät ole toisistaan erillisiä (ks. tarkemmin Joutsenlahti & Kulju 2010, Meaney 2005). Matematiikan opettamisen ja oppimisen kannalta mielenkiintoisia ovat matematiikan symbolikieli ja matematiikkaan liittyvä luonnollinen kieli sekä kuviokieli. Pedagogisesta näkökulmasta luonnollisen kielen kautta voidaan koulussa rakentaa matematiikan käsitteiden merkityksiä ja siten auttaa opiskelijoita ymmärtävään oppimiseen. Tässä artikkelissa matematiikan kielentämisellä tarkoitamme matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen avulla suullisesti tai kirjallisesti (Joutsenlahti 2003, 2005, 2009). Matemaattisella ajattelulla tarkoitamme matemaattisen tiedon (konseptuaalisen, proseduraalisen tai strategisen) prosessointia, jota ohjaavat ajattelijan metakognitiot (Joutsenlahti 2005). Artikkelissamme esittelemme Solano-Floresin (2010) teoreettisen viitekehyksen kielen näkökulmista kielen ja matematiikan tutkimuksessa. Tämän jälkeen esittelemme Sanan lasku -projektin tutkimuksia ja tarkastelemme Solano-Floresin viitekehyksen valossa. Sanan lasku -projekti on Tampereen yliopiston Kasvatustieteen tieteenalayksikön poikkitieteellinen matematiikan ja äidinkielen didaktiikan tutkimusprojekti, jossa tutkitaan matemaattisen ajattelun kielentämistä ja äidinkielen kielioppisisältöjen opiskelua ongelmanratkaisuna kannalta käyttämällä oppilaan strategista kompetenssia. Tarkoituksena on myös tutkia ja kehittää matematiikan ja äidinkielen luokkaopetukseen uudenlaisia opiskelu- ja opetuskäytänteitä jo olemassa olevien rinnalle. 2. Teoreettiset lähtökohdat Solano-Flores (2010, 115) identifioi kaksi laajaa näkökulmaa kieleen matematiikan oppimisen tutkimuksessa: funktionaalisen ja formaalin näkökulman. Funktionaalisessa näkökulmassa kieli käsitetään prosessina tai systeeminä. Formaalissa näkökulmassa kieli käsitetään struktuurina tai faktorina. Nämä muodostavat neljä näkökulmaa kielen ja matematiikan tutkimukseen. Taulukoissa 2.1 ja 2.2 on vertailtu mainittuja neljää näkökulmaa Solano-Floresin mielestä seitsemän keskeisimmän dimension suhteen. Ensiksikin Solano-Flores (2010) näkee, että kieli avainroolissa matematiikan oppimisessa. Toiseksi keskeiseksi dimensioksi hän nostaa tutkijoiden toimien perustana olevat teemat tai ideat. Merkittäviä ovat myös analyysin yksiköt ja useimmin esiintyneet kielen ilmenemismuodot tiedon lähteenä. Viides dimensio on avainkäsitteet, kuudes tutkimuskonteksti ja lopuksi myös useimmiten käytetyt teoriat ja tieteenalat (mt., ). Taulukossa 2.1 on funktionaalinen näkökulma ja taulukossa 2.2 formaali näkökulma.

3 2.1 Kielen funktionaaliset näkökulmat Kielen funktionaaliset näkökulmat keskittyvät opiskelijan kielen merkitykseen opiskelijan matemaattisen tiedon rakentumisessa sekä itsenäisessä toiminnassa että toiminnassa vertaisryhmässä. Tarkastelemme seuraavassa kieltä prosessina ja systeeminä (ks. taulukko 2.1). Kieli prosessina Kielen prosessiluonne tulee esille, kun tutkitaan kielen roolia opiskelijan matemaattisen tiedon kehityksessä. Opiskelijan matemaattista ymmärrystä voidaan tutkia valituilla matematiikan osa-alueilla tarkastelemalla opiskelijan suullista tai kirjallista luonnollista kieltä. (Solano-Flores 2010, 117). Matemaattinen ymmärrys heijastuu opiskelijan luonnollisen kielen käyttöön, ja kielen avulla opiskelija ilmaisee matemaattisille käsitteille antamiaan merkityksiä. Kielen merkitys tulee keskeiseksi tutkittaessa sosiaalisia prosesseja matematiikan oppimisessa esimerkiksi luokkahuoneessa. Vygotsky (1982) yhdisti kielen ja ajattelun sekä yksilön että ryhmän oppimisprosesseissa. Käsitteiden opiskelussa luonnollisen kielen avulla kiinnitetään uudet käsitteet opiskelijan olemassa olevaan tietorakenteeseen, ja mitä useampaan tietoyksikköön uusi tieto kiinnittyy, sen monipuolisemmin se on opiskelijan käytössä jatkossa (Joutsenlahti 2005, Bereiter 2002). Opiskelija on tällöin ymmärtänyt käsitteen sisällön. Matemaattisen ajattelun tärkeä väline erityisesti koulussa on luonnollinen kieli, sillä ilmaistun (puhutun tai kirjoitetun) kielen avulla opiskelija jäsentää ajatteluaan itselleen ja esimerkiksi luokkahuoneessa pyrkii esittämään ajatteluaan muille mahdollisimman selkeästi ja yksikäsitteisesti (Joutsenlahti 2003, 2009). Kielen prosessiluonteessa voidaan tarkastella kielen käsitteiden sisältöä säilyttävää merkitystä eli sitä, miten luonnollinen kieli muotoilee käsitteiden sisältöjen merkityksiä, kun opiskelija siirtyy opiskeluprosessissaan luonnollisen kielen ja matematiikan kielen välillä eri suuntiin etsiessään käsitteiden sisältöjen ymmärrystä (Solano-Flores 2010, ). Matematiikan kielen ja luonnollisen kielen (ks. Joutsenlahti & Kulju 2010) välillä siirtymiset auttavat opiskelijaa rakentamaan tiedoista konseptuaalista tietoa (ks. Joutsenlahti 2005, 103). Toinen näkökulma kielen prosessiluonteeseen on se, kuinka ryhmässä (esimerkiksi vertaisryhmä luokkahuoneessa) rakennetaan yhdessä matemaattista tietoa sosiaalisen interaktion kautta. Luonnollisen kielen avulla käydyt epäformaalit vertaisryhmän sisäiset keskustelut kiinnittävät matemaattiset käsitteet opiskelijoiden arkielämän kokemuksiin ja luovat niille siten merkityksiä. Opiskelijat ymmärtävät paremmin matemaattisten käsitteiden sisällön ja käytön, kun heidän ei tarvitse rajoittua käyttämään vain tiukkaa oikeata matemaattista termistöä ja merkintätapoja. (Mt., 119).

4 Kieliteorian keskeinen käsite on rekisteri, joka viittaa siihen tosiasiaan, että kieli vaihtelee käyttötilanteen mukaan. Kielenkäyttötilanteet voivat poiketa toisistaan systeemis-funktionaalisen kieliteorian mukaan kolmen muuttujan suhteen, joita voi kuvata kysymyksillä: Mitä tilanteessa tapahtuu? Ketkä osallistuvat? Mikä on kielen rooli? Nämä kolme muuttujaa määrittelevät yhdessä rekisterin toisin sanoen alueen, mistä merkitykset valitaan, ja muodot, joita merkitysten ilmaisemiseen käytetään. (Halliday 1978, 31 Heikkisen ym. 2000, 38 mukaan). Rekisteri viittaa myös erilaisiin ilmaisutapoihin, joilla esimerkiksi matematiikan opettajat ohjaavat opiskelijoita erilaisten sosiaalisten prosessien tuloksena uusien käsitteiden ja taitojen oppimiseen. Mainitut prosessit sisältävät erikoistumisen rajattuun sisältöalueeseen, tietyt kontekstit ja ennalta suunnitellut lähestymistavat opiskeltavaan sisältöön. (Solano-Flores 2010, 118). Matematiikan kielentämisen tutkimuksissa Suomessa (mm. Joutsenlahti 2003, 2010) kielen prosessiluonne matematiikan oppimisessa on keskeinen tutkimuksen kohde. Kieli systeeminä Kun kieltä tarkastellaan systeeminä, kiinnitetään huomio siihen, että säännöt ja konventiot ohjaavat eri kielimuotoja. Yksilöllä on kuitenkin mahdollisuus valita kielimuoto kielenkäytön sosiaalisen tilanteen ja kontekstin mukaan. Kun puhuja voi vaihtaa kieltä, murretta tai muuta kielimuotoa oman valintansa mukaan, puhutaan koodinvaihdosta (vrt. Solano-Flores 2010, 121). Kaksikielisyys näyttäytyy Solano-Floresin (2010, 122) viitekehyksen kieli systeeminä - ajattelussa siten, että kaksikielisen yksilön kielisysteemiin kuuluu kaksi kieltä ei niin, että hänellä olisi kaksi eri kielisysteemiä. Tämän näkökulman mukaisesti koodinvaihto tapahtuu yksilön kielisysteemin sisällä (ks. kuva 1). Koodinvaihtoa voidaan pitää monimuotoisena taitona, joka vaatii kehittynyttä tietoa kielen syntaktisista ja morfologisista rakenteista. Esimerkiksi tietoa tavoista, joilla eri kielissä muodostetaan lukusanat (vrt. luku 84 eri kielillä kuten suomi, ruotsi, englanti: 80+4, saksa: 4+80 ja ranska: 4x20+4).

5 Kuva 1. Koodinvaihto (KV) luonnollisen kielen, matematiikan kielen ja kuviokielen välillä. Koodinvaihto voi tapahtua myös luonnollisen kielen sisällä A:n ja B:n välillä, missä A ja B voivat olla eri kielisysteemejä tai kielen rekistereitä (MSK on matematiikan symbolikieli, MLK on matematiikkaan liittyvä luonnollinen kieli ja MKK on matematiikkaan liittyvä kuviokieli). (Joutsenlahti & Kulju 2010 perusteella.) Koodinvaihto voi tapahtua matematiikan kielentämisen teoreettisessa viitekehyksessä (Joutsenlahti 2009, Joutsenlahti & Kulju 2010) luonnollisen kielen, matematiikan kielen ja kuviokielen välillä (kuva 1). Aikaisemmissa kielentämiseen liittyvissä tutkimuksissa (ks. Joutsenlahti 2009, Joutsenlahti & Kulju 2010) on tarkasteltu matematiikan symbolikielen ja luonnollisen kielen vaihtelua esimerkiksi sanallisten tehtävien ratkaisun etenemisessä. Perusopetuksen matematiikan oppikirjoissa sanallisiksi tehtäviksi kutsutaan useimmiten sellaisia tehtäviä, joissa on kuvattu ratkaistava matemaattinen ongelma usein oppilaalle tutussa arkielämän kontekstissa luonnollisen kielen avulla. Kun rekisterikäsitteen lisäksi kielentämiseen liitetään kieliteorian termi koodinvaihto, päästään tarkastelemaan myös kielen rekisterin vaihtoon liittyvien tapahtumien funktioita (ks. myös Rättyä 2011). Luonnollisen kielen sisällä koodinvaihto voi tapahtua kielten tai murteiden välillä (Solano-Flores 2010; Kalliokoski 2009), mutta myös rekisterien välillä.

6 Opiskelija voi koodinvaihdolla muuttaa ratkaistavaa ongelmaa hänelle paremmin sopivaan kieleen (vrt. kuva 1 tai toiseen luonnolliseen kieleen) tai rekisteriin. Kaikissa tapauksissa tehtävän käsitteiden merkitykset pysyvät samoina vain ilmenemismuoto muuttuu opiskelijan kannalta tarkoituksenmukaisemmaksi. Matematiikan kielentämisessä opiskelijaa usein auttaa ratkaisuprosessin siirtäminen koodinvaihdolla luonnollisen kielen alueelle tai kuviokieleen. Sanan lasku -projektiin liittyvissä tutkimuksissa kieli systeeminä -ajattelu näkyy erityisesti tutkimuksissa, joissa koodinvaihto liittyy puhekieleen ja tieteelliseen kieleen. Arkikäsitteiden ja tieteellisten käsitteiden (vrt. Vygotsky) välisen koodinvaihdon ydin on ymmärrys rakenteista, joiden pohjalle käsitteet muodostuvat ovatpa käsitteet matemaattisen tai kielitiedollisen ajattelun saralta. Taulukko 2.1 Kielen funktionaaliset näkökulmat kieleen matematiikan oppimisen tutkimuksessa (Solano-Flores 2010, 116). Dimensiot Kieli prosessina Kieli systeeminä 1. Kielen rooli Keino ymmärtää Tiedon rakentumisen lähde 2. Teemat tai ideat Kehitys ja tieto Sosiaalinen vuorovaikutus ja kommunikaatio 3. Analyysin yksiköt Yksilöllinen oppija, Luokkahuone, yhteisö 4. Kielen ilmenemismuodot 5. Avainkäsitteet luokkahuone Puhuminen ja kirjoittaminen Merkitys, rekisteri 6. Tutkimuskontekstit Kielen vaikutukset matemaattisen tiedon kehitykseen Luokkahuonekeskustelu Kieli, murre, diskurssi, kaksi- ja monikielisyys, kielen valinta, kielikontakti Kielellinen monipuolisuus matematiikkakasvatuksessa 7. Teoriat ja tieteenalat Sosiokulturaalinen teoria, konstruktivismi, kulttuuri-historiallinen toiminnan teoria, diskurssiteoria, kognitiivinen psykologia, kognitiivinen antropologia, sosiolingvistiikka 2.2 Kielen formaalit näkökulmat Kielen formaaleissa näkökulmissa matematiikan opiskelussa korostuvat luonnollisen kielen ilmaisut matematiikan oppimateriaaleissa ja testeissä. Erityisesti painetun luonnollisen kielen ilmaisun kompleksisuus ja semanttinen rakenne vaikuttavat opiskelijoiden osaamiseen ratkaista mm. ongelmaratkaisutehtäviä (Solano-Flores 2010). Tarkastelemme seuraavassa kieltä struktuurina ja faktorina (ks. taulukko 2.2). Kieli struktuurina Tarkasteltaessa kieltä struktuurina (rakenteena) matematiikan opiskelussa sen merkitys tulee esille opettajan ja oppimateriaalien käyttämissä luonnollisen kielen ilmaisuissa sekä puhuttuna että kirjoitettuna. Käytettyjen lauserakenteiden kompleksisuus, valitut käsitteet

7 ja ilmaisun semanttinen rakenne ovat keskeisiä matematiikan sanallisissa tehtävissä tehtävänannon ymmärtämisen kannalta (Solano-Flores 2010, ). Opiskelija ei pääse käyttämään matemaattista ajatteluaan, jos tehtävänannon kielellinen ilmaisu ei ole hänelle ymmärrettävä toisin sanoen hän ei pysty tulkitsemaan luonnollisen kielen avulla hänelle liian vaikeasti ilmaistuja ehtoja, jotka ovat tehtävän ratkaisun kannalta keskeisiä. Perinteisesti peruskoulun matematiikan oppikirjojen ja kokeiden sanalliset tehtävät ovat kielelliseltä ilmaisultaan hyvin pelkistettyjä ja mahdollisimman yksikäsitteisiä. Näin on pyritty ilmeisesti minimoimaan luonnollisen kielen ymmärtämisen ongelmat, jotta opiskelija voisi keskittyä harjoittamaan matemaattisia taitojaan. Peruskoulun matematiikan opetuksessa (vrt. Peruskoulun opetussuunnitelman perusteet 2004) pidetään yleisesti tärkeänä lähtökohtana sitä, että oppilaalle tutut arkipäivän toiminnot ja ilmiöt ovat opetuksen lähtökohta ja että opiskeltavat matemaattiset käsitteet ja proseduurit liitetään niihin. Tämä on johtanut kuitenkin siihen, että oppimateriaalin sanallisten tehtävien ilmaisun niukkuus tekee tehtävistä usein opiskelijalle keinotekoisia ja epäuskottavia suhteessa omaan kokemusmaailmaan. Suomalaisten matematiikan oppikirjojen sanalliset tehtävät ovat pääsääntöisesti suljettuja tehtäviä, joissa ei ole ratkaisun kannalta ylimääräistä tietoa. Tehtävistä puuttuvat usein muun muassa syy- ja seuraussuhteet, joita ei tehtävän ratkaisuun tarvita mutta jotka auttavat opiskelijaa ymmärtämään tehtävässä kuvattua tilannetta. (Joutsenlahti & Vainionpää 2008, Smith,G. G., Gerretson, H., Olkun S. & Joutsenlahti, J ) Matematiikan sanallisten koetehtävien laadinta erityisesti peruskoulun alaluokille ja opiskelijoille, joilla on ongelmia käytetyn luonnollisen kielen kanssa (esimerkiksi lukivaikeuksiset ja maahanmuuttajat), tuo esille kielen ilmaisumahdollisuuksien merkityksen matematiikan tehtävien ratkaisuun vaikuttavana tekijänä. Lyhyt ja täsmällinen ilmaisu helpottaa opiskelijaa ymmärtämään tehtävän rakenteen, mutta toisaalta tällainen ilmaisu saattaa tehdä tehtävänannosta epätodellisen ja haasteettoman. Ilmeisesti matematiikan sanallisia tehtäviä pitäisi monipuolistaa luonnollisen kielen ilmaisujen suhteen. Kieli faktorina Kun kieltä tarkastellaan faktorina (osatekijänä) kieltä ja matematiikkakasvatusta käsittelevissä tutkimuksissa, painottuvat toiminnallisuuden eli funktionaalisuuden sijaan kielen muodot eli formaaliset piirteet. Solano-Floresin jaottelun mukaan tämä näkökulma tulee esiin silloin, kun tarkastellaan ja arvioidaan oppilaiden matemaattisia saavutuksia. Kuvaava esimerkki löytyy kansainvälisistä testeistä kuten PISA-tutkimuksista, joissa kielen osaaminen saattaa aiheuttaa eroja suorituksiin. Solano-Floresin mukaan oppilaiden suorituksia tarkasteltaessa tulee siis huomioida, millaiset taidot oppilaalla on siinä kielessä, jolla matemaattiset tehtävät on kuvattu/annettu. Sama koskee muitakin oppiaineita; Suomessa muun muassa Elina Harjunen (2007) on tarkastellut käännöskielen vaikutusta suomalaisnuorten mahdollisuuteen suoriutua lukutaitotehtävissä, joiden tekstiaineistot ovat käännettyjä.

8 Sanan lasku -projektin hankkeissa formaaliset näkökulmat ovat mukana harvoin. Faktorinäkökulma tarkoittaisi lähinnä mahdollista mainintaa siitä, onko tutkimukseen osallistunut oppilas maahanmuuttajataustainen tai suomi toisena kielenä -oppija. Taulukko 2.2 Kielen formaalit näkökulmat kieleen matematiikan oppimisen tutkimuksessa (Solano-Flores 2010, 116). Dimensiot Kieli struktuurina Kieli faktorina 1. Kielen rooli Ongelman kompleksisuuden Asiaankuulumaton muuttuja ilmentäjä 2. Teemat tai ideat Rakenne ja vaikeustaso Edellytys ja kontrolli 3. Analyysin yksiköt Ongelman tyyppi Ryhmä 4. Kielen ilmenemismuodot Lukeminen (painettu teksti) Lukeminen ja kirjoittaminen 5. Avainkäsitteet Kieliopin lauseenjäsenet, Kielen osaaminen, semanttinen rakenne 6. Tutkimuskontekstit Matemaattisten ongelmien kielellisten piirteiden vaikutus opiskelijan esitykseen ja ongelmanratkaisustrategioihin testiolosuhteet, testiharhat Kielellisten ilmaisujen erojen vaikutus matematiikan osaamisen mittauksiin 7. Teoriat ja säännöt Psykometriikka, osioanalyysi, kognitiivinen psykologia, strukturalistinen lingvistiikka 3. Sanan lasku -projektin tutkimuksista Sanan lasku -projekti alkoi syksyllä 2009 Hämeenlinnassa. Opiskelijoiden kandidaattityöt valmistuivat keväällä 2010 ja syksyllä 2010 käynnistyivät pro gradu -työt, joista pääosa valmistunee vuoden 2011 aikana. Tutkimusryhmään kuuluvat matematiikan sekä äidinkielen ja kirjallisuuden didaktiikan lehtorit sekä opinnäytetöitä tekeviä luokanopettajaopiskelijoita (16 opiskelijaa). Seuraavassa esittelemme lyhyesti joidenkin ryhmän opiskelijoiden matematiikkakasvatuksen alueelta valmistuneita tutkimuksia ja tarkastelemme niitä matematiikan kielentämisen kolmen näkökulman suhteen (Joutsenlahti 2009) sekä edellä esitetyn Solano-Floresin (2010) teoreettisen viitekehyksen suhteen. Opinnäytetöiden tutkimusaiheina olivat matematiikan kielentämiseen liittyvät ilmiöt esiopetuksessa, alkuopetuksessa, erityisopetuksessa, parityöskentelyssä peruskoulun 5. luokalla ja kirjallisen kielentämisen kokemukset peruskoulun 3., 5. ja 7. luokalla. Matematiikan suullisesta kielentämisestä oli apua päiväkodin esiopetusryhmässä kaikille lapsille, sillä he huomasivat ääneen puhuessaan helpommin tekemänsä laskuvirheet kuin hiljaisessa työskentelyssä. Kielentämisen perusteiden oppiminen esiopetuksessa helpottaa

9 lapsen siirtymistä kouluun ja matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä. Matematiikan suullista kielentämistä voidaan alkaa harjoittella jo päiväkodissa. (Niittumäki 2010). Matematiikan suullista kielentämistä tutkittiin osana Matematiikkaa luonnossa - hankkeessa, jonka toteutuksesta vastasi Hämeenlinnan Kulttuurikeskus ARX. Tarkoituksena oli perehdyttää peruskoulun alaluokkien oppilaat matematiikan keskeisiin käsitteisiin (mm. lukukäsite) toiminnallisesti hyödyntäen luonnosta löytyviä materiaaleja. Samalla lapset tutustuvat lähiympäristöstä löytyvään luontoon ja oppivat tuntemaan sen monimuotoisuutta. Tutkimukseen kuuluvissa interventioissa integroitiin ympäristökasvatusta ja matematiikkaa. Toiminnallinen opiskelu haastaa luontevasti oppilaat kielentämään matematiikkaa suullisesti ja sen avulla he jäsentävät matemaattista ajatteluaan. (Keskinen 2010). Matematiikan suullista kielentämistä tutkittiin peruskoulun 5. luokalla parityöskentelyssä. Tutkimustuloksina todettiin, että suullisen kielentämisen avulla oppilaat voivat päästä yhdessä pohtien ja reflektoiden oikeaan ratkaisuun. Tytöt ja pojat kielentävät ajatuksiaan suullisesti suunnilleen yhtä paljon, mutta tyttöjen yhteistyö tehtävien ratkaisemiseksi on tiiviimpää. Suullinen kielentäminen onnistuu yleensä parhaiten sellaisilta pareilta, joiden matematiikan taitotaso on lähellä toisiaan. Myös opettaja hyötyy paljon oppilaiden suullisesta kielentämisestä ja voi sen avulla suunnitella ja eriyttää opetustaan. (Mansikkaaho & Sirén 2010.) Oppilaiden kokemuksia matematiikan kirjallisesta kielentämisestä tutkittiin peruskoulun 3., 5. ja 7. luokilla. Tulokset antavat viitteitä siitä, että erityisesti keskitasoiset matematiikan osaajat kokisivat hyötyvänsä matemaattisen ajattelun kirjallisesta kielentämisestä. Kirjoittamisen mieluisuus on merkitsevästi yhteydessä kirjallisen kielentämisen hyödylliseksi kokemiseen matematiikassa. Suurimmaksi hyödyksi kirjallisessa kielentämisessä matematiikassa nähtiin ajattelun jäsentäminen ja parempi matematiikan tehtävän ymmärtäminen. Opettajien kannalta kirjallinen kielentäminen matematiikassa koettiin hyödylliseksi työvälineeksi oppilaita arvioitaessa. Lisäksi se mahdollistaa opettajille muun muassa kaikkien oppilaiden matemaattisen ajattelun tarkastelun. (Mäcklin & Nikula 2010.) Matematiikan suullisen kielentämisen käyttöä tutkittiin myös erityisopetuksessa. Erityisopetuksessa olleiden oppilaiden matemaattinen ajattelu jäsentyi ainakin matemaattisten käsitteiden käytössä. Toimintamateriaalin käytön kautta käyty keskustelu toi parhaiten esille matemaattista ajattelua. Soveltavat käytännön tehtävät olivat ryhmän oppilaille parhaimpia. Tietokoneen käyttö tunneilla sen sijaan ei soveltunut hyvin matematiikan kielentämiseen. (Ruuska 2010.) Taulukkoon 2.3 on koottu edellä esitellyt tutkimukset, joita on jaoteltu sisältönsä perusteella. Pystyakselilla on matematiikan kielentämisessä löydettyjä (Joutsenlahti 2003, 2009) ulottuvaisuuksia: oman ajattelun jäsentyminen, vertaisryhmälle ymmärrettävä esittäminen ja opettajan arvioinnin kohde.

10 Taulukko 2.3 Sanan lasku -projektin tutkimukset jaoteltuna suulliseen ja kirjalliseen kielentämiseen sekä kolmen kielentämisen näkökulman suhteen. Opiskelijan matemaattisen ajattelun jäsentyminen Suullinen kielentäminen Esiopetus, erityisopetus, luonto-opetus (alkuopetus), 5. lk parityöskentelyssä Kirjallinen kielentäminen 3., 5. ja 7. lk Muiden opiskelijoiden ymmärtävä seuraaminen 5. lk parityöskentelyssä 3., 5. ja 7. lk Opettaja arvioijana ja opetuksen suunnittelijana esiopetus, erityisopetus 3., 5. ja 7. lk 4. Sanan lasku -projektin tutkimukset kieliteoreettisessa viitekehyksessä Tämänhetkinen kiinnostus konstruktivistiseen ja erityisesti sosiokonstruktivistiseen oppimiskäsitykseen näkyy matematiikkakasvatusta käsittelevissä tutkimuksissa. Sanan lasku -projektiin osallistuneet opiskelijat, jotka ovat koonneet aineistonsa opetustilanteista, ovat pohtineet tutkimuskysymyksissään tiedon rakentumista konstruktiivisesti. Solano-Floresin viitekehyksen näkökulmista juuri kielen funktionaaliset näkökulmat (kieli prosessina ja kieli systeeminä) pohjaavat sosiokulturaaliseen teoriaan ja konstruktivismiin. Kun tarkastelemme Sanan lasku - projektissa valmistuneita opinnäytteitä, ne edustavat varsin tasapuolisesti molempia funktionaalisia näkökulmia. Saana Niittumäen kielentämistä varhaiskasvatuksessa käsittelevä kandidaatintutkielma sekä Joanna Mäcklinin ja Marjo Nikulan kirjallista kielentämistä eri luokka-asteilla tutkiva pro gradu -työ keskittyvät yksittäisten oppilaiden oppimiseen. Niittumäen aineisto on yksittäishaastatteluita ja Mäcklinin ja Nikulan oppilasaineisto puolestaan kyselylomakkeella kerätty. Molemmissa tutkimuksissa painopiste on siinä, kuinka kieli ja erityisesti kielentämisessä käytetty kieli vaikuttavat matemaattisen tiedon kehitykseen. Nämä kaksi opinnäytettä sijoittuvat Solano-Floresin mallissa Kieli prosessina - näkökulmaan. Suullinen kielentäminen parityöskentelyssä oli Jaana Mansikka-ahon ja Saara Sirénin kandidaatintutkielman aiheena. Tutkimuskysymyksissään he pohtivat kielentämisen hyötyä, kielentämistä pareittain ja matemaattisen ajattelun ilmaisua. Heidän tutkimuksessaan näkyy edellisten töiden tavoin se, miten kieli vaikuttaa matemaattisen

11 tiedon kehitykseen mutta yhtä lailla sosiaalisen vuorovaikutuksen ja kommunikaation merkitys. Jälkimmäinen osa-alue sijoittuu Solano-Floresin mallissa Kieli systeeminä - näkökulmaan, jossa lisäksi nousevat esiin kielet ja kielen valinta. Kielen valinta -kysymys korostuu Kieli systeeminä -näkökulmassa erityisesti luonnollisen kielen ja matemaattisen kielen käytön välillä. Arkikäsitteiden ja tieteellisten käsitteiden käytön valintaan pureutuvat opinnäytteissään Ville Keskinen ja Anne-Mari Ruuska. Keskisen aineisto on kerätty alkuopetuksen oppilailta ja Ruuskan erityisopetuksesta. Molempien opetustilanteisiin liittyi parityöskentelyä, jossa huomio kiinnittyi yhteiseen oppimisprosessiin mutta myös siihen, miten runsaasti opettaja saa kielennystehtävien aikana informaatiota oppilaiden osaamisesta ja sosiaalisesta vuorovaikutuksesta. Projektiin osallistuneiden didaktikkojen artikkeleissa kielentämisestä on löydettävissä myös Solano-Floresin mallin näkökulma Kieli struktuurina. Pirjo Kulju ja Jorma Joutsenlahti tarkastelivat artikkelissaan (2010,77 90), kuinka koulumatematiikan sanallisia tehtäviä ja niiden kielennettyjä ratkaisuja voidaan analysoida kielen rakenteellisten ominaisuuksien avulla (esimerkiksi tarkastelemalla tekstin sanaluokkajakaumia ja leksikaalista tiheyttä). 5. Pohdintaa Olemme artikkelissamme esitelleet Guillermo Solano-Floresin (2010) teoreettisen viitekehyksen kielen näkökulmista matematiikan tutkimuksessa ja tarkastelleet Sanan lasku -projektin tutkimuksia kyseisen viitekehyksen valossa sekä matematiikan kielentämisen kolmen näkökulman suhteen. Lopuksi pohdimme esitetyn viitekehyksen avauksia/merkitystä kielentämisen teoreettiselle pohjalle. Merkittävin ja antoisin Solano-Floresin viitekehyksen aspekteista on kielentämismenetelmän kehittämisen ja tutkimuksen kannalta Kieli systeeminä - näkökulma. Näkökulman sisältämä koodinvaihdon käsite laajentaa aikaisemmissa kielentämistä käsittelevissä artikkeleissa tarkasteltua rekisteripohdintaa ja sen merkitystä, mitä rekisterien vaihtaminen merkitsee suullisessa tai kirjallisessa kielentämisessä ja erilaisissa malleissa. Kirjallisen kielentämisen ratkaisumalleja (standardi-, kertomus-, tiekartta- ja päiväkirjamalli) tarkasteltaessa koodinvaihdon näkökulmasta (ks. Joutsenlahti 2009, 2010) matemaattisten kielten monipuolisen käytön merkitys vahvistuu. Esimerkiksi koodinvaihtojen määrä standardimallissa on nolla, kun taas päiväkirjamallissa vaihtojen määrä on rajaamaton. Tiekarttamallissa ratkaisuprosessin idea etenee ja esitetään kokonaisuudessaan yhden kielen (luonnollinen kieli ja/tai kuviokieli) avulla ja koodinvaihdolla vastaava prosessi toteutetaan matematiikan kielellä. Kertomusmallissa ratkaisuprosessi etenee ja esitetään vuorotellen mainittujen kielten kautta siten, että koodinvaihdon jälkeen ratkaisuprosessi etenee aina siitä, mihin se jäi edellisen käytetyn kielen jälkeen. Näin ollen tiekarttamallissa ratkaisuprosessi tulee esitetyksi kahteen

12 kertaan eri kielillä, jolloin ensin valittu kieli tukee ratkaisijan ajattelua ja helpottaa hänen ratkaisuyritystään. Kertomusmallissa ratkaisu etenee vaihe vaiheelta koodinvaihtojen kautta mainittuja kieliä tarkoituksenmukaisesti käyttäen. Koodinvaihtoja tulisikin tarkastella seuraavissa tutkimuksissa niiden funktion ja merkityksen kannalta. Artikkelissamme olemme esitelleet uutta kieliteoreettista näkökulmaa matematiikan kielentämisen tutkimukseen. Kielen funktionaaliset ja formaalit näkökulmat (ks. taulukot 2.1 ja 2.2) kielen ja matematiikan oppimisen tutkimukseen tuovat uuden jäsennellyn teoreettisen lisäyksen edellä esitettyyn kolmen kielen malliin (ks. kuvio 1). Koulumatematiikan opiskelussa luonnollisen kielen tutkiminen prosessina on keskiössä tarkasteltaessa, miten opiskelija rakentaa ja jäsentää matemaattista ajatteluaan. Matematiikan kirjallinen kielentäminen koulun matematiikan opetuksen työtapana tuovat esille opiskelijan ajatteluprosessit ja auttaa ulkopuolisten arviointia prosessin korrektiudesta. Kielen formaalin rakenteen merkitys tulee esille oppimateriaalien sanallisten harjoitustehtävien ja koetehtävien ilmaisutapojen valinnoissa (ilmaisujen kompleksisuus ja semanttiset valinnat). Erityisesti monikulttuurisissa kouluyhteisöissä kieleen liittyvät valinnat matematiikan opiskelussa saattavat tuoda esteitä opiskelijan matemaattisen ajattelun kehittymiselle, sillä puutteellinen luokkahuoneessa käytetyn luonnollisen kielen hallinta tuo ongelmia koodinvaihdolle ja siten ajatteluprosessien kehittymiselle. Lähteet: Bereiter, C Education and mind in the knowledge age. Mahwah (NJ): Erlbaum. Halliday, M. A. K Some aspects of sosiolinguistics, in Interactions between linguistics and mathematical education, UNESCO, Copenhagen, Halliday, M. (1978). Language as social semiotic. London: Edward Arnold. Harjunen, Elina 2007 "Kurkistus kansainväliseen lukutaitotutkimukseen Aidon oloisia lukutehtäviä käännöksen käännöksistä". Teoksessa Satu Grünthal & Elina Harjunen (toim.) Näköaloja äidinkieleen ja kirjallisuuteen. Helsinki: SKS Heikkinen, V., Hiidenmaa, P. & Tiililä, U Teksti työnä, virka kielenä. Helsinki: Gaudeamus. Joutsenlahti, J Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa A. Virta & O. Marttila (toim.) Opettaja, asiantuntijuus ja yhteiskunta. Ainedidaktinen symposium Turun yliopisto. Kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisusarja B:72, Joutsenlahti, J Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä: 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten

13 ilmentämänä. Acta Universitatis Tamperensis Joutsenlahti, J Matematiikan kielentäminen kirjallisessa työssä. Teoksessa Raimo Kaasila (toim.) Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Rovaniemellä Rovaniemi: Lapin yliopisto, (Lapin yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja 9). Joutsenlahti J Matematiikan kirjallinen kielentäminen lukiomatematiikassa. Teoksessa Mervi Asikainen, Pekka E. Hirvonen ja Kari Sormunen (toim.) Ajankohtaista matemaattisten aineiden opetuksen ja oppimisen tutkimuksessa. Joensuu: University of Eastern Finland, (Reports and Studies in Education, Humanities, and Theology 1). Joutsenlahti J. & Kulju, P Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan sanallisiin tehtäviin ja niiden kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa Eero Ropo, Harry Silfverberg & Tiina Soini (toim.) Toisensa kohtaavat ainedidaktiikat. Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella Tampere: Tampereen yliopisto, (Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja. A 31). Joutsenlahti,J. & Vainionpää, J Oppikirja vai harjoituskirja? Perusopetuksen luokkien 1-6 matematiikan oppimateriaalin tarkastelua MOT-projektissa. Teoksessa Arto Kallioniemi (toim.) Uudistuva ja kehittyvä ainedidaktiikka. Ainedidaktinen symposiumi Helsingissä. Helsinki: Helsingin yliopisto, (Tutkimuksia. Helsingin yliopisto. Käyttäytymistieteellinen tiedekunta. Soveltavan kasvatustieteen laitos 299). Kalliokoski, J Tutkimuskohteena monikielisyys ja kielten kohtaaminen. Teoksessa Jyrki Kalliokoski, Lari Kotilainen & Päivi Pahta (toim.) Kielet kohtaavat. Helsinki. SKS. Keskinen, V Pelaten ja leikkien yhdessä kohti haluttua päämäärää. Toimintatutkimus matematiikan toiminnallisesta opetuksesta alkuopetuksessa. Julkaisematon kasvatustieteen kandidaatin tutkielma. Luokanopettajakoulutuksen yksikkö, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. Mansikka-aho, J. & Sirén, S Mieti uudelleen ja sano!. Julkaisematon kasvatustieteen kandidaatin tutkielma. Luokanopettajakoulutuksen yksikkö, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. Mäcklin, J. & Nikula, M. 2010: Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä. Pro gradu tutkielma.. Luokanopettajakoulutuksen yksikkö, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos.

14 (luettu ) Meaney, T Mathematics as text. Teoksessa A. Chronaki & I. Christiansen (toim.) Challenging perspectives on mathematics classroom communication. Greenwich, Connecticut : IAP-Information Age, Niittumäki, S Matematiikan kielentäminen varhaiskasvatuksessa. Julkaisematon kasvatustieteen kandidaatin tutkielma. Varhaiskasvatuksen yksikkö, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. Opetushallitus Lukion opetussuunnitelman perusteet ( ) Opetushallitus Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet ( ) Pimm, D Speaking mathematically: communication in mathematics classrooms. London : Routledge & Kegan Paul. Ruuska, A.-M. 2010, Matematiikan kielentäminen erityisopetuksessa. Julkaisematon kasvatustieteen kandidaatin tutkielma. Luokanopettajakoulutuksen yksikkö, Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos. Rättyä, K Kielentäminen ja käsitteiden oppiminen äidinkielen opetuksessa. Käsikirjoitus Ainedidaktiikan symposiumin (Turku 2011) julkaisuun. Smith, G. G., Gerretson, H., Olkun S. & Joutsenlahti, J Effect of Causal Stories in Solving Mathematical Story Problems. Haceteppe University Journal of Education 39, Solano-Flores, G Function and form in research on language and mathematics education. Teoksessa Judit N. Moschkovich (toim.) Language and mathematics education multiple perspectives and directions for research. Charlotte, NC: IAP-Information Age, Vygotsky, L Ajattelu ja kieli. Vuonna 1931 ilmestyneen venäjänkielisestä teoksesta suomentaneet K. Helkama ja A. Koski-Jännes. Prisma-tietokirjasto. Espoo: Weilin&Göös.

15