Me ollaa niin lähel mut sit ei kuitenkaan tajuu sitä

Transkriptio

1 Me ollaa niin lähel mut sit ei kuitenkaan tajuu sitä Viidesluokkalaisten ratkaisuja avoimeen ongelmanratkaisutehtävään Helsingin yliopisto Käyttäytymistieteellinen tiedekunta Opettajankoulutuslaitos Luokanopettajan koulutus Pro gradu -tutkielma Kasvatustiede Huhtikuu 2015 Varpu Harju Ohjaaja: Anu Laine

2 Tiedekunta - Fakultet - Faculty Käyttäytymistieteellinen Tekijä - Författare - Author Varpu Harju Laitos - Institution - Department Opettajankoulutuslaitos Työn nimi - Arbetets titel Me ollaa niin lähel mut sit ei kuitenkaan tajuu sitä Viidesluokkalaisten ratkaisuja avoimeen ongelmanratkaisutehtävään Title We are so close but we still can t get it Fifth-graders solutions to an open-ended problem Oppiaine - Läroämne - Subject Kasvatustiede Työn laji/ Ohjaaja - Arbetets art/handledare - Level/Instructor Pro gradu -tutkielma / Anu Laine Tiivistelmä - Referat - Abstract Aika - Datum - Month and year Huhtikuu 2015 Sivumäärä - Sidoantal - Number of pages 71 s Tavoitteet. Tutkielma on osa Suomen Akatemian rahoittamaa tutkimusprojektia, jossa suomalaiset ja chileläiset matematiikan opettajat ovat pitäneet ongelmanratkaisuun keskittyviä oppitunteja kolmen vuoden ajan. Tutkielman tavoitteena on kuvata, analysoida ja tulkita ratkaisuja, joita oppilaat esittävät avoimeen ongelmanratkaisutehtävään sekä selvittää, millaisia ongelmanratkaisustrategioita oppilaat käyttävät päästäkseen ratkaisuun. Lisäksi tutkielman tavoite on analysoida oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin kulkua opettajan ohjaamana. Tutkielman teoreettinen viitekehys rakentuu matemaattisen ongelmanratkaisun yleisestä määrittelystä ja ongelmanratkaisuprosessin kuvaamisesta. Lisäksi teoriaosuudessa eritellään ongelmanratkaisustrategioita LeBlancin (1977) mukaan. Menetelmät. Tutkielman aineistoksi valittiin kuuden suomalaisen luokan vastauspaperit samaan ongelmanratkaisutehtävään sekä neljän luokan ongelmanratkaisutunneista kuvatut oppilasvideot. Vastauspaperit analysoitiin ensin aineistolähtöisen sisällönanalyysin menetelmin, minkä jälkeen toiseen tutkimuskysymykseen etsittiin vastausta teorialähtöisen sisällönanalyysin avulla. Videomateriaali analysoitiin teorialähtöisen sisällönanalyysin avulla. Tulokset ja johtopäätökset. Oppilaiden esittämät ratkaisut avoimeen ongelmanratkaisutehtävään vaihtelivat hyvin paljon. Eroja oli piirrettyjen suorakulmioiden määrässä, kun taas suorakulmiot 10 cm x 5 cm ja 1 cm x 14 cm löytyivät lähes kaikista ratkaisupapereista. Huomionarvoista oli, että oikea ratkaisu löytyi 58 vastauspaperista vain viidestä. Viidesluokkalaisten välillä on suuria eroja siinä, mitä ongelmanratkaisustrategioita he osaavat käyttää. Oppilaiden käyttämistä ongelmanratkaisustrategioista kokeilu ja yritys erehdys-menetelmä oli selvästi yleisin. Toiseksi yleisin strategia oli eri ratkaisumahdollisuuksien järjestelmällinen listaaminen. Vain yhden luokan oppilaat olivat käyttäneet strategiana säännönmukaisuuden etsimistä ongelmasta. Oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin kulkuun vaikutti selvästi se, mitä ongelmanratkaisustrategiaa he hyödynsivät päästäkseen ratkaisuun. Oppilaiden ongelmanratkaisuprosessi eteni syklisesti, ja opettaja vaikutti merkittävästi prosessin etenemiseen koko oppitunnin ajan. Avainsanat - Nyckelord Avoin ongelmanratkaisutehtävä, ongelmanratkaisustrategiat, ongelmanratkaisuprosessi Keywords Open-ended problem, problem-solving strategies, problem-solving process Säilytyspaikka - Förvaringsställe - Where deposited Helsingin yliopiston kirjasto, keskustakampuksen kirjasto, käyttäytymistieteet / Minerva Muita tietoja - Övriga uppgifter - Additional information

3 Tiedekunta - Fakultet - Faculty Behavioural Sciences Tekijä - Författare - Author Varpu Harju Laitos - Institution - Department Teacher Education Työn nimi - Arbetets titel Me ollaa niin lähel mut sit ei kuitenkaan tajuu sitä Viidesluokkalaisten ratkaisuja avoimeen ongelmanratkaisutehtävään Title We are so close but we still can t get it Fifth-graders solutions to an open-ended problem Oppiaine - Läroämne - Subject Education Työn laji/ Ohjaaja - Arbetets art/handledare - Level/Instructor Master s Thesis / Anu Laine Tiivistelmä - Referat - Abstract Aika - Datum - Month and year April 2015 Sivumäärä - Sidoantal - Number of pages 71 pp. Goals. This thesis is part of a broad research project funded by Academy of Finland, in which the Finnish and Chilean mathematics teachers have given lessons focusing on problem solving for three years. The aim of the study is to describe, analyse and interpret the students solutions to an open-ended problem and to find out what kinds of problem-solving strategies students use to reach the solution. In addition, the aim of this thesis is to analyse the students problem-solving process under the guidance of the teacher. The theoretical frame of this study is based on defining mathematical problem solving and describing the problem-solving process. The theory also consists of the definition of problem-solving strategies based on LeBlanc s (1977) research. Methods. The research material of this study consists of the answer sheets of six Finnish classes and the videotapes of four of these classes problem solving lessons. Firstly, the answer sheets were analysed using data-driven content analysis. Then, to find answers to the second research question, data was analysed using theory-driven content analysis. The videos were analysed using theory-driven content analysis. Results and conclusions. The pupils solutions to the open-ended problem varied very much, especially the amount of rectangles students had drawn to find the solution. On the other hand, almost all the answer sheets included rectangles 10 cm x 5 cm and 1 cm x 14 cm. In addition, it is noteworthy that the right solution was found in just five answer sheets. Among the fifth-graders, there are big differences in what kind of problem-solving strategies they can use. The pupils used three different problem-solving strategies. Experimentation was clearly the most common, and systematic listing of possible solutions the second most common strategy. Only one class of students had tried to find patterns in the problem. The problemsolving process of the students was clearly affected by the problem-solving strategy they decided to use. The pupils problem solving process was cyclical and the teacher influenced the process significantly the whole lesson. Avainsanat - Nyckelord Avoin ongelmanratkaisutehtävä, ongelmanratkaisustrategiat, ongelmanratkaisuprosessi Keywords Open-ended problem, problem-solving strategies, problem-solving process Säilytyspaikka - Förvaringsställe - Where deposited City Centre Campus Library/Behavioural Sciences/Minerva Muita tietoja - Övriga uppgifter - Additional information

4 Sisällys 1 JOHDANTO MATEMAATTINEN ONGELMANRATKAISU Ongelman määrittelyä Ongelmanratkaisuprosessi Pólyan ongelmanratkaisumalli Masonin ongelmanratkaisumalli Schoenfeldin ongelmanratkaisumalli Yhteenveto ongelmanratkaisumalleista Ongelmanratkaisustrategiat Yhteenveto: Ongelmanratkaisustrategiat osana ongelmanratkaisuprosessia OPETTAJA ONGELMANRATKAISUPROSESSIN OHJAAJANA Ongelmanratkaisu opetuksessa Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet opettajan ohjaamana Ongelmaan tutustuminen ja sen hahmottaminen Ratkaisustrategian valinta omien pohjatietojen avulla Ratkaisun toteutus Ratkaisun tarkastelu ja analysointi TUTKIMUSTEHTÄVÄ JA TUTKIMUSKYSYMYKSET TUTKIMUKSEN TOTEUTUS Aineiston kuvaus Aineiston analyysi Videomateriaalin analyysi Vastauspapereiden analyysi TUTKIMUSTULOKSET Ratkaisuille tyypillisiä piirteitä Suorakulmioiden määrä Tyypillisimmät ratkaisut Oikean ratkaisun vaikeus Oppilaiden käyttämiä ongelmanratkaisustrategioita Kokeilu- ja yritys erehdys-menetelmä... 37

5 6.2.2 Järjestelmällinen lista eri mahdollisuuksista Säännönmukaisuuden etsiminen ongelmasta Oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin eteneminen Ongelmaan tutustuminen sekä ratkaisustrategian valinta Ratkaisun toteutus Ratkaisun tarkastelu ja analysointi Yhteenveto LUOTETTAVUUS POHDINTAA LÄHTEET... 67

6 TAULUKOT Taulukko 1. Ongelmien jako avoimiin ja suljettuihin ongelmiin (Pehkonen 1997, 9; Vaulamo & Pehkonen 1999, 14) Taulukko 2. Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet Pólyan (1945), Masonin (1982) ja Schoenfeldin (1985) mukaan Taulukko 3. Ongelmanratkaisustrategiat LeBlancin (1977) mukaan (vrt. Leppäaho 2007, 46; Leung 1997; Pehkonen, Pekama & Seppälä 1991, 29 40; Sovchik 1997, 259) Taulukko 4. Videomateriaalin teorialähtöinen analyysirunko Taulukko 5. Vastauspapereiden teorialähtöinen analyysirunko KUVIOT Kuvio 1. Masonin ongelmanratkaisumalli (Mason 1982, 129) Kuvio 2. Schoenfeldin ongelmanratkaisumalli (Schoenfeld 1982, ).... 9

7 1 Johdanto Mihin me niinku tätä elämässä sit tarvitaan? Tämä kysymys on varmasti tuttu jokaiselle, joka on joskus opettanut matematiikkaa. Oppilaiden pohdinta on aiheellista, sillä koulumatematiikassa korostuu vahvasti laskutaidon ja erityisesti mekaanisten laskujen harjoittelu (Vaulamo & Pehkonen 1999, 16). On totta, että arkielämässä harvemmin tulee sellaisenaan vastaan tilannetta, jossa tulee ratkaista yhtälö x + 5 = 7. Sen sijaan arjessa ihminen joutuu ratkaisemaan ongelmia, joihin ei välttämättä ole yhtä oikeaa vastausta. Tällaisten avoimien ongelmien sisällyttäminen matematiikan opetukseen harjaannuttaa oppilasta sekä johdonmukaiseen ja täsmälliseen että toisaalta myös kokeilevaan ja luovaan ajatteluun. Ajattelemisen taito ja sen kehittäminen ovat tarpeen, eletäänpä millaisessa yhteiskunnassa tahansa. (Vaulamo & Pehkonen 1999, ) Peruskoulun opetussuunnitelmat perusteissa (POPS 2004) ongelmanratkaisun käsite esiintyy sekä kaikkia oppiaineita koskevana yleistavoitteena että erityisesti matematiikan opetuksen tavoitteena. Ongelmanratkaisutaidot luetaan osaksi kognitiivisia taitoja, joiden oppimisen myötä oppilas aktivoituu käyttämään aistejaan ympäröivän todellisuuden hahmottamiseen (POPS 2004, 31). Opetussuunnitelman mukaan opetuksen tulee kehittää oppilaan luovaa ja täsmällistä ajattelua, ja sen tulee ohjata oppilasta löytämään ja muokkaamaan ongelmia sekä etsimään ratkaisuja niihin. Lisäksi opetuksessa kehotetaan käyttämään hyväksi arkielämän ongelmia, joita voidaan ratkoa matemaattisen ajattelun tai toiminnan avulla (POPS 2004, 158). Ongelmanratkaisu onkin matematiikan opetuksen keskeinen periaate ja työkalu, ja laajemmat matemaattiset aktiviteetit edesauttavat oppilasta tuottamaan ongelmia ja erottelemaan ajatteluaan (Pehkonen 2001, 15; Vaulamo & Pehkonen 1999, 17 18). On todettu, että ongelmanratkaisu kehittää muun muassa oppilaan luovuutta, huomiokykyä, sinnikkyyttä ja hellittämättömyyttä (Haapasalo 2011, 35; Vaulamo & Pehkonen 1999, 18). Tutkimukseni on osa Suomen Akatemian rahoittamaa tutkimusprojektia, jossa suomalaiset ja chileläiset matematiikan opettajat ovat pitäneet ongelmanratkai-

8 2 suun keskittyviä oppitunteja kolmen vuoden ajan. Näillä tunneilla sekä Suomessa että Chilessä opettajat opettavat luokalleen samoja avoimia ongelmanratkaisutehtäviä. Oppitunnit videoidaan ja oppilaiden ratkaisupaperit kerätään osaksi tutkimusaineistoa. Tähän tutkimukseen tutkimusaineistoksi valittiin kuuden eri suomalaisen luokan ratkaisupaperit samaan ongelmanratkaisutehtävään, sekä neljän luokan ongelmanratkaisutunneista kuvatut oppilasvideot. Käsitellyssä ongelmassa oppilaiden tehtävä oli piirtää suorakulmioita, joiden piiri on 30 cm ja tutkia, millä näistä suorakulmioista on suurin pinta-ala ja mahdollisesti etsiä tehtävästä säännönmukaisuuksia. Tässä tutkielmassa analysoin ja tulkitsen oppilaiden esittämiä ratkaisuja avoimeen ongelmanratkaisutehtävään. Lisäksi erittelen oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin kulkua. Koska aineistoni on suhteellisen pieni ja kyseessä on laadullinen tutkimus, tarkoituksenani ei ole muodostaa ratkaisustrategioista tai ongelmanratkaisuprosessin kulusta yleispäteviä luokkia. Ennemminkin tavoitteenani on peilata oppilaiden esittämiä ratkaisuja aiempaan tutkimukseen (ks. esim. Pólya 1945; Mason 1982; Schoenfeld 1985; LeBlanc 1977; Malloy & Jones 1998) ratkaisustrategioista ja ongelmanratkaisuprosessista, jota esittelen tutkielmani teoriaosuudessa. Tutkimuksen tarkoitus on paitsi kuvata oppilaiden ratkaisuja ja ongelmanratkaisuprosessia, mutta myös tutkia, löytyykö ratkaisuista jotakin systematiikkaa, josta voisi päätellä, mitä ongelmanratkaisustrategiaa oppilas on käyttänyt ratkaisussaan.

9 3 2 Matemaattinen ongelmanratkaisu Tässä luvussa keskityn matemaattiseen ongelmanratkaisuun ja määrittelen siihen liittyviä käsitteitä. Erityisen keskeistä tutkielmani kannalta ovat Pólyan (1945), Masonin (1982) ja Schoenfeldin (1985) mallit ongelmanratkaisuprosessin kulusta, joita esittelen luvussa 2.2. Lisäksi tutkimukseni kannalta tärkeitä ovat ongelmanratkaisustrategiat, joita käsittelen luvussa 2.3. Niiden pohjalta erittelen myöhemmin oppilaiden tuottamia ratkaisuja tässä tutkimuksessa käytettyyn ongelmanratkaisutehtävään. 2.1 Ongelman määrittelyä Pólyan (1962, 117) mukaan ongelmanratkaisu tarkoittaa, että henkilö tietoisesti etsii tapoja saavuttaa ehkä kirkkaasti mielessä oleva mutta ei heti saavutettavissa oleva päämäärä. Ongelmanratkaisu on käytännön taito, joka rinnastuu esimerkiksi pianonsoittoon: taidon voi oppia vain harjoittelun avulla eli ratkaisemalla ongelmia (Pólya 1962). Ongelmanratkaisu sanana sisältää sekä ongelman varsinaisen ratkaisun että toimenpiteet, joiden kautta ratkaisuun päästään (Haapasalo 2011; Vaulamo & Pehkonen 1999). Ongelman käsite on kuitenkin vaikea, sillä sitä käytetään useassa eri merkityksessä ja eri tasoisten pulmien yhteydessä: toiselle se, minkä kokoisen karkkipussin viikkorahoilla saa ostettua, on ongelma, ja toinen taas ratkaisee vaativia yhtälöitä vaivatta. Ongelman käsite onkin aina sidoksissa henkilöön ja aikaan. (Frobisher 1994, ; Schoenfeld 1985, 74; Sovchik 1996, 254; Vaulamo & Pehkonen 1999, 13.) Tehtävää, jonka ratkaisemiseksi henkilöllä on valmis ratkaisuprosessi, sanotaan rutiinitehtäväksi (Haapasalo 2011, 17). Tällöin henkilö tunnistaa heti ratkaisuun vaaditut menetelmät. Tilanteesta tulee ongelma vasta silloin, kun ratkaisija joutuu järjestämään tai rakentamaan aiemmin oppimaansa tietoa uudella tavalla. Ratkaisuun tarvittavat pohjatiedot on siis jo omaksuttu, mutta ratkaisumenetelmää ei vielä tunneta. Ongelmasta voi myöhemmin muodostua harjoittelun myötä rutiinitehtävä. (Vaulamo & Pehkonen 1999, 13.)

10 4 Ongelmia voidaan luokitella esimerkiksi ongelmien syntymisen ja esiintymisen, ongelmien laadun ja muodon tai ongelman ratkaisemiseksi tarvittavien menetelmien mukaan (Haapasalo 2011, 37). Pólyan (1962, 118) mukaan ongelmien luokittelu on perusteltua, sillä ongelman tyyppi voi antaa vinkkejä myös siitä, miten ongelma mahdollisesti ratkaistaan. Ongelmat ovat luonteeltaan erilaisia riippuen siitä, millaisia niiden alku- ja lopputilanteet ovat (ks. esim. Frobisher 1994; Haapasalo 2011, Pehkonen 1999, Pehkonen & Zimmermann 1990). Tämän perusteella ongelmat voidaan jakaa avoimiin ja suljettuihin ongelmiin (Taulukko 1). Taulukko 1. Ongelmien jako avoimiin ja suljettuihin ongelmiin (Pehkonen 1997, 9; Vaulamo & Pehkonen 1999, 14). Lopputilanne Alkutilanne SULJETTU (ts. tarkasti määritelty) SULJETTU (ts. tarkasti määritelty) Suljettu ongelma - sekä alku- että lopputilanne tarkasti määritelty. Esim. mekaaniset laskut AVOIN (ts. useita vaihtoehtoja) Avoin ongelma alkutilanne suljettu, lopputilanne avoin. Esim. todellisen elämän tilanteet ja tutkimustehtävät AVOIN (ts. useita vaihtoehtoja) Avoin ongelma alkutilanne avoin, lopputilanne suljettu. Esim. todellisen elämän tilanteet, ongelmien variointi Avoin ongelma sekä alkuettä lopputilanne avoimia. Esim. todellisen elämän tilanteet, ongelmien asettaminen, ongelmien variointi, projektit Ongelma on suljettu, jos sekä sen alku- että lopputilanne on tehtävänannossa tarkasti määritelty. Tehtävät eivät sisällä juurikaan ylimääräistä tietoa, ja ongelman ratkaisu on usein etukäteen tiedossa. Koulumatematiikan tehtävät ovat yleensä juuri tällaisia suljettuja ongelmia, jotka yleensä ratkaistaan yksin ja jotka eivät jätä juurikaan mahdollisuuksia luovalle ajattelulle. Oppilaan pitää tietää, mitä sääntöä tai toimenpidettä käyttämällä ratkaisuun päästään, ja ratkaisu etenee systemaattisesti. (Haapasalo 2011, 45; Pehkonen 1997, 8; Pehkonen 2001, 13; Vaulamo & Pehkonen 1999, 14.)

11 5 Avoimiksi ongelmiksi kutsutaan tehtäviä, joissa alkutilanne, lopputilanne tai molemmat ovat avoimia. Ongelman alku- tai lopputilanne jättää ratkaisijalle mahdollisuuden tehdä valintoja ja käyttää luovuuttaan (Pehkonen 2001, 13; Shimada 1997, 1). Pehkosen (1997, 8) mukaan termi avoin ongelma käsittää useita erilaisia tehtävätyyppejä: tutkimuksia, ongelmien asettamista, tosielämän tilanteita, projekteja, ongelmakenttiä, ongelmien variointia ja ongelmia ilman kysymystä. Avoimia tehtäviä saadaan esimerkiksi oppikirjojen sanallisista rutiinitehtävistä jättämällä osa informaatiota pois (Vaulamo & Pehkonen 1999, 15). Avoimet tehtävät voivat sisältää liikaa tai epäolennaista tietoa, ne mahdollistavat tiimi- tai projektityön ja ratkaisut ovat oppilaan tai tiimien vapaita tuotoksia (Haapasalo 2011, 45). 2.2 Ongelmanratkaisuprosessi Ongelmanratkaisu on prosessi, jossa aikaisemmin hankittua tietoa käytetään uudessa ja ratkaisijalle tuntemattomassa tilanteessa (Vaulamo & Pehkonen 1999, 18). Erityisesti matemaattinen ongelmanratkaisu voidaan nähdä ajatteluprosessina, jossa ratkaisija pyrkii ymmärtämään ongelmatilannetta ja ratkaisemaan sen toisaalta käyttämällä hyväksi jo olemassa olevaa matemaattista tietoaan, toisaalta hankkien uutta tietoa tästä tilanteesta (Lester & Kehle 2003, 510). Ongelmanratkaisuun voi liittää myös motivaation käsitteen: ongelmanratkaisun määritelmän mukaan tehtävän alkutilasta halutaan siirtyä ratkaisuun. Ratkaisu vaatii siis yksilön päämäärähakuista toimintaa ja jos yksilö ei esimerkiksi jostakin emotionaalisesta syystä halua ongelmaan reagoida, ratkaisua ei voi syntyä. Ratkaisijalla tulee olla tiedollisten valmiuksien lisäksi kyky ponnistella päämäärän saavuttamiseksi. (Haapasalo 2011, 17; Leppäaho 2007, 41; Pólya 1965, 63; Vaulamo & Pehkonen 1999, 18.) Ongelmanratkaisuprosessi sisältää Haapasalon (2011, 17) mukaan aina ongelmaan orientoitumisen, ongelman työstämisen, ongelman ratkaisemisen ja ratkaisun tulkinnan. Tässä luvussa esittelen Pólyan, Masonin ja Schoenfeldin ongelmanratkaisumallit, joissa kaikissa esiintyy Haapasalon mainitsemia osa-

12 6 alueita vastaavat vaiheet. Eroja malleissa löytyy erityisesti siinä, miten näiden vaiheiden välillä liikutaan Pólyan ongelmanratkaisumalli George Pólyan (1945) neliportainen ongelmanratkaisumalli kuvaa ongelmanratkaisuprosessia ja antaa tämän lisäksi selkeät ohjeet ratkaisussa etenemiseen sopivien kysymysten avulla. Malli etenee hyvin lineaarisesti alkuoletuksista ratkaisuun ja sen tulkintaan. Pólya jakaa ongelmanratkaisun vaiheet 1. ongelman ymmärtämiseen, 2. ratkaisun suunnittelemiseen, 3. ratkaisun toteutukseen ja 4. ratkaisun tarkasteluun ja ratkaisuprosessin tulkintaan. Ensimmäisessä vaiheessa ratkaisija tutustuu ongelmaan ja sen alkuasetelmaan. Ratkaisija yrittää esimerkiksi piirtämällä tai kirjoittamalla selvittää mikä on ongelman ydin, mitä tietoja ja ehtoja on annettu, ja onko näiden perusteella ylipäätänsä mahdollista ratkaista ongelma. Pólya painottaa, että sen lisäksi, että ratkaisijan on tärkeää ymmärtää ongelma, hänellä on oltava halu ratkaista se. Tämän jälkeen ratkaisija siirtyy toiseen vaiheeseen eli ratkaisun suunnitteluun. Suunnitelman kehittely voi olla vähitellen etenevä, pitkäkestoinen, epäonnistuneita kokeiluja sisältävä ja tuskainen prosessi. Joskus idean voi saada myös yhtäkkiä. Ratkaisija yrittää löytää yhteyden omien pohjatietojensa, annettujen tietojen ja tuntemattoman ratkaisun välille. Tässä vaiheessa ratkaisija myös pohtii, onko hän ratkaissut samantapaisia ongelmia aikaisemmin ja voisiko hän hyödyntää niitä ratkaisussaan. (Pólya 1945, 6 12.) Kolmannessa vaiheessa ratkaisija toteuttaa suunnitelmansa. Jokainen päättelyn askel tulee tarkastella kärsivällisesti, ja ratkaisun lopussa ratkaisijan tulee olla vakuuttunut siitä, että jokainen tehty päätelmä on virheetön. Neljännessä vaiheessa on Pólyan mukaan mahdollisuus lujittaa tietouttaan ja kehittää kykyä ratkaista ongelmia. Tässä vaiheessa ratkaisija kehittää ratkaisuaan sekä ymmärrystään siitä pohtimalla, voiko ratkaisun tarkistaa tai olisiko siihen voinut päästä jollakin muulla tavalla. Ratkaisija liittää ratkaisunsa osaksi laajempaa matemaattista kontekstia ja pohtii, voisiko ratkaisua hyödyntää jatkossa jonkin

13 7 toisen ongelman ratkaisussa. Viimeinen vaihe voi kuitenkin usein jäädä ratkaisijalta kokonaan välistä. (Pólya 1945, ) Masonin ongelmanratkaisumalli John Masonin (1982) ongelmanratkaisumalli (Kuvio 1) ei etene yhtä suoraviivaisesti kuin Pólyan (1945) malli, vaan se kuvaa tarkemmin ongelmanratkaisuprosessille tyypillistä syklisyyttä. Mason jakaa ongelmanratkaisuprosessin kolmeen vaiheeseen: sisäänpääsy (Entry), hyökkäys (Attack) ja tarkastelu (Review). Prosessit Vaiheet Iskusanat Prosessit 1. Sisäänpääsy (Entry) TIEDÄN HALUAN TUTUSTUN Erikoistapaukset JUMISSA! AHAA! YRITÄ 2. Hyökkäys (Attack) EHKÄ MUTTA MIKSI? Olettaminen Perusteleminen Yleistykset TARKISTA POHDI 3. Tarkastelu (Review) YLEISTÄ Kuvio 1. Masonin ongelmanratkaisumalli (Mason 1982, 129). Sisäänpääsyvaiheessa ratkaisija tutustuu kysymykseen, miettii mitä pohjatietoja hänellä on ja onko hän nähnyt mitään vastaavaa aikaisemmin (What do I know?). Tämän jälkeen ratkaisija suuntaa katseensa siihen, mitä hänen täytyy

14 8 tehdä löytääkseen vastauksen (What do I want?). Lopuksi hän miettii, tarvitaanko hyökkäyksessä apuna esimerkiksi diagrammeja tai muita keinoja havainnollistaa ongelmaa (What can I introduce?). Ratkaisija on valmis siirtymään hyökkäysvaiheeseen, kun hän ymmärtää ongelman ja on motivoitunut ratkaisemaan sen keräämiensä pohjatietojen avulla. (Mason 1982, ) Hyökkäysvaiheessa ratkaisija kokeilee useita erilaisia lähestymistapoja ja ratkaisusuunnitelmia. Ongelmaa tutkitaan ja se pyritään ymmärtämään erikoistapausten avulla. Näitä tapauksia tutkitaan, ja tutkimusten onnistumisesta riippuen siirrytään joko ratkaisussa eteenpäin tai kokeillaan uusia ideoita. Vaihe sisältää myös pitkiä odotteluaikoja, kun vanhat ideat on jo testattu ja uusia ideoita ei ole vielä syntynyt. Tärkeää ratkaisun etenemisessä ovat juuri jumissa olemisen vaihe (STUCK!) ja oivallusvaihe (AHA!). Masonin mukaan ainoastaan jumissa olemalla ja sen hyväksymällä on mahdollista oppia löytämään uusia oivalluksia. Hyökkäysvaihe päättyy, kun ongelmaan löydetään tyydyttävä ratkaisu tai ratkaisu hylätään. (Mason 1982, ) Tarkasteluvaiheessa on myös Masonin mukaan kolme eri vaihetta: ratkaisun tarkistaminen, sen reflektointi ja ratkaisun laajentaminen osaksi suurempaa kontekstia. Ensin ratkaisija tarkistaa ratkaisunsa ja tutkii sisältääkö se virheitä, vastaako ratkaisu annettuun kysymykseen ja olisiko tehtävän voinut ratkaista helpommalla tavalla. Tämän jälkeen ratkaisija reflektoi ratkaisuprosessiaan ja sen avainkohtia, ja laajentaa näin omia ajattelun taitojaan. Lopuksi ratkaisu yhdistetään vielä osaksi laajempaa kontekstia, eli erikoistapauksista muodostetaan yleistyksiä. Masonin mukaan vasta tällöin ratkaisun voi todella ymmärtää. (Mason 1982, ) Schoenfeldin ongelmanratkaisumalli Alan Schoenfeld (1985) tarjosi edellisistä vielä hieman poikkeavan mallin ongelmanratkaisuprosessin jäsentämiseksi. Malli muistuttaa hieman Pólyan (1945) mallia, mutta eroaa siitä suunnitteluvaiheen osalta. Schoenfeld jakaa Pólyan esittelemän suunnitteluvaiheen kahteen osaan, suunnittelu- ja tutkimisvaiheisiin, jotka vuorottelevat ja tuovat näin Masonin (1982) tapaan malliin mu-

15 9 kaan ajatuksen ongelmanratkaisuprosessin syklisyydestä. Schoenfeldin mallin vaiheet ovat analyysi-, suunnittelu-, tutkimis-, toteutus- ja tarkistamisvaihe. Schoenfeldin ongelmanratkaisumalli on esitelty kuviossa 2. Annettu ongelma ANALYYSI (Analysis) Väitteen ymmärtäminen Ongelman yksinkertaistaminen Ongelman uudelleenmuotoilu Uudet lähestymistavat Uusi informaatio SUUNNITTELU (Design) Perusteiden rakentaminen Suunnitelman muotoilu Yleisen tason suunnitelmat Pieniä vaikeuksia Suuria vaikeuksia TUTKIMINEN (Exploration) Strategian testaus Suunnitelman tarkennus Ratkaisun hahmotelma TOTEUTUS (Implementation) Suunnitelman toteutus vaihe vaiheelta Alustava ratkaisu TARKISTAMINEN (Verification) Ratkaisun testaaminen: yleiset ja erityiset testit Ratkaisun tarkastelu Tarkistettu ratkaisu Kuvio 2. Schoenfeldin ongelmanratkaisumalli (Schoenfeld 1982, ). Analyysivaiheessa ratkaisija tutustuu ongelmaan: mitä kysytään, mitä tietoja tehtävässä on annettu, miksi annetut tiedot on annettu, mihin matemaattiseen kontekstiin ongelma sopii, millä mekanismilla ongelmaa voisi yrittää ratkaista ja

16 10 niin edelleen. Suunnitteluvaihe kulkee Schoenfeldin mukaan läpi koko ongelmanratkaisuprosessin siinä pohditaan erilaisia vaihtoehtoja, ja tehdään suunnitelmia yleisellä tasolla. Nämä suunnitelmat sitten tarkentuvat ratkaisun edetessä. Tutkimisvaihe on ratkaisun yksi tärkeimmistä vaiheista: se määrittää, voidaanko ratkaisussa edetä vai joudutaanko siinä palata takaisin päin. Jos ratkaisija kokee suuria vaikeuksia eli testattava strategia osoittautuu riittämättömäksi eikä edistystä tapahdu, siirrytään takaisin analyysivaiheeseen. Tutkimusvaiheesta voidaan tässäkin tapauksessa saada hyödyllistä informaatiota tai uusia lähestymistapoja, joita voi hyödyntää analyysivaiheessa. Jos tutkimusvaiheessa havaitaan, että strategiassa on vain pieniä vaikeuksia tai ongelmia, palataan takaisin suunnitteluvaiheeseen ja yritetään korjata ne. Kun strategiaan ollaan tyytyväisiä, siirrytään varsinaiseen toteutusvaiheeseen. (Schoenfeld 1985, ) Toteutusvaiheen pitäisi olla Schoenfeldin mukaan viimeinen ongelman varsinaisen ratkaisun vaihe, jossa ratkaisija käyttää valitsemaansa strategiaa ongelman ratkaisun löytämiseksi. Tarkistamisvaihetta ei Schoenfeldin mukaan saa silti unohtaa: ratkaisua tarkastelemalla voi löytää siitä huolimattomuusvirheitä, keksiä jonkun toisen tavan ratkaista ongelma ja löytää yhteyksiä muihin aihealueisiin. Mikä tärkeintä, ratkaisua tarkastellessa voi huomata hyödyllisiä ongelmanratkaisustrategioita, joita voi hyödyntää jatkossa, ja näin ollen kehittyä ongelmanratkaisijana. (Schoenfeld 1985, ) Yhteenveto ongelmanratkaisumalleista Eri tutkijoiden näkemyksissä ongelmanratkaisuprosessin kulusta on paljon samankaltaisuuksia. Nämä yhtäläisyydet on koottu taulukkoon 2.

17 11 Taulukko 2. Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet Pólyan (1945), Masonin (1982) ja Schoenfeldin (1985) mukaan. Vaiheiden yhteiset piirteet Pólya Mason Schoenfeld Ongelmaan tutustuminen ja sen hahmottaminen Ratkaisustrategian valinta omien pohjatietojen avulla Ongelman ymmärtäminen Sisäänpääsy Analyysi Ratkaisun suunnittelu Suunnittelu Tutkiminen Ratkaisun toteutus Ratkaisun toteutus Hyökkäys Toteutus Ratkaisun tarkastelu ja analysointi Ratkaisun tarkastelu ja ratkaisuprosessin tulkinta Tarkastelu Tarkistaminen Kaikissa kolmessa ongelmanratkaisumallissa prosessi alkaa ongelmaan tutustumisella ja sen hahmottamisella. Seuraavaksi ratkaisija pohtii, mitä hänen täytyy tehdä päästäkseen ratkaisuun. Pohjatietojensa avulla hän valitsee ratkaisustrategian ja suunnittelee ratkaisuaan. Tämän jälkeen on vuorossa varsinainen ratkaisun toteutusvaihe. Lopuksi ratkaisu tarkistetaan, ja ratkaisija usein myös reflektoi ajatteluprosessinsa vaiheita. Vaikka ongelmanratkaisuprosessin vaiheissa on paljon samankaltaisuuksia, löytyy malleista myös eroja. Pólyan (1945) mallissa ratkaisu etenee hyvin lineaarisesti ongelman ymmärtämisestä ratkaisuun. Sen sijaan Masonin (1982) ja Schoenfeldin (1985) malleissa korostuu ongelmanratkaisuprosessille tyypillinen syklisyys vaiheiden välillä tapahtuu edestakaista liikkumista, ja joskus ratkaisija joutuu palaamaan aivan ratkaisun alkuun. 2.3 Ongelmanratkaisustrategiat Ongelmanratkaisuprosessia kuvaava malli ei tuo yksinään ratkaisua tehtävään, vaan ratkaisijan on valittava, millä keinolla hän yrittää ratkaista ongelman. Valintapäätös tehdään ratkaisijan ennalta oppimista ongelmanratkaisustrategioista. Ongelmanratkaisustrategia on siis ennalta opittu keino, joka sisältää ne työskentelytavat, joita ongelmanratkaisussa voidaan käyttää. (Leppäaho 2007, 45.) Ongelmatilanteessa tarvitaan ajatuksia liikkeelle panevia ja niitä ylläpitäviä prosesseja. Näistä voidaan käyttää yleisnimitystä heuristiset prosessit tai heuristii-

18 12 kat. Käsite sisältää sekä strategiat ongelman ratkaisemiseksi sekä näiden valintaa säätelevät metakognitiot. (Haapasalo 2011, 17.) Schoenfeld (1985, 108) määrittelee heuristisen strategian tekniikaksi, jonka tarkoituksena on auttaa ratkaisijaa ymmärtämään ongelma paremmin, jolloin parhaimmillaan lopputuloksena on ongelman ratkaisu. Heuristiset strategiat sisältävät kaikki ratkaisijan soveltamat ja hänen itse keksimänsä menetelmät, joilla hän pyrkii ratkaisun saavuttamiseen (Leppäaho 2007, 45). Seuraavassa esiteltävät ongelmanratkaisustrategiat ovat juuri osa näitä heuristisia strategioita. LeBlanc (1977, 17) on jakanut ongelmanratkaisustrategiat yleisiin ja auttaviin strategioihin. Tämä jako esitellään taulukossa 3. Taulukon esimerkit on muodostettu tässä tutkimuksessa käytettyyn ongelmanratkaisutehtävään liittyen. Käsitellyssä ongelmassa oppilaiden tehtävä oli piirtää suorakulmioita, joiden piiri on 30 cm ja tutkia, millä näistä suorakulmioista on suurin pinta-ala ja mahdollisesti etsiä tehtävästä säännönmukaisuuksia. Taulukko 3. Ongelmanratkaisustrategiat LeBlancin (1977) mukaan (vrt. Leppäaho 2007, 46; Leung 1997; Pehkonen, Pekama & Seppälä 1991, 29 40; Sovchik 1997, 259). Yleiset strategiat Auttavat strategiat Strategia Yritys ja erehdys Järjestelmällinen lista eri mahdollisuuksista Ongelman yksinkertaistaminen Säännönmukaisuuden etsiminen ongelmasta Kokeilu Esimerkki Oppilas piirtää ensin yhden tai useamman suorakulmion ja niiden perusteella miettii, millainen suorakulmio kannattaisi piirtää seuraavaksi Oppilas listaa järjestyksessä keksimänsä suorakulmiot (1x14, 2x13 jne.) Oppilas yrittää hahmottaa ensin, minkä muotoisia suorakulmioita on olemassa, ja pohtii pinta-aloja vasta myöhemmin Oppilas esimerkiksi taulukoi keksimänsä ratkaisut, ja yrittää löytää niistä säännönmukaisuutta Oppilas piirtää eri kokoisia suorakulmioita ilman, että hän tekee päätelmiä edellisistä piirtämistään suorakulmioista (vrt. yritys ja erehdys) Diagrammit Taulukot Piirrokset Luettelot Yhtälöt

19 13 Päättely Yleistys Takaperin työskentely Oppilas käyttää ratkaisun edetessä hyväkseen jo aiemmin piirtämiään suorakulmioita ja miettii, kannattaako sivujen pituuksien suhdetta kasvattaa vai pienentää Oppilas käyttää pohjatietojaan samantyyppisistä ongelmista, ja yleistää ne koskemaan uutta ongelmaa Oppilas yrittää keksiä ensin pintaalaltaan pienimmän mahdollisen suorakulmion ja etenee ratkaisussaan sen avulla Yleiset strategiat ovat eräänlaisia päälinjoja, jonka mukaan edetä. Ratkaisija valitsee näistä päälinjoista yhden ja pyrkii sen avulla ratkaisuun, ja jos ratkaisua ei saavuteta, voi kokeilla jotakin toista päälinjaa. Auttavat strategiat taas ovat eräänlaisia välivaiheita yleisten strategioiden toteuttamisessa. Ne soveltuvat käytettäväksi apuvälineenä kaikissa yleisissä ongelmanratkaisustrategioissa. (LeBlanc 1977, 17.) Yleisiksi strategioiksi LeBlanc (1977) nimeää yrityksen ja erehdyksen, eri mahdollisuuksien järjestelmällisen listaamisen, ongelman yksinkertaistamisen, säännönmukaisuuden etsimisen ongelmasta, kokeilun, päättelyn, yleistyksen ja takaperin työskentelyn. Näiden yleisten strategioiden apuna ratkaisija voi käyttää diagrammeja, taulukoita, piirroksia, luetteloita tai yhtälöitä. Niiden teolla ratkaisija siis tuskin saavuttaa varsinaista ratkaisua, mutta ne ovat hyviä apukeinoja esimerkiksi oman ajatusprosessin selkiyttämiseen. On tärkeää huomata, että ongelmanratkaisu on opeteltava taito, ja siten myös ongelmanratkaisustrategioita voidaan opetella ja harjoitella esimerkkitehtävien avulla. Kun strategia on opittu, sitä voidaan soveltaa uuteen ongelmatehtävään. (Leppäaho 2007, 45.) Strategiapankin laajentuessa ratkaisijan ongelmanratkaisutaidot kehittyvät. Kun hänellä on käytössään useita erilaisia strategioita ongelman ratkaisemiseksi, niistä todennäköisemmin löytyy tapa ratkaista myös täysin uusi eteen sattuva ongelma.

20 14 Ongelmanratkaisustrategioita ovat tutkineet esimerkiksi Malloy & Jones (1998), jotka tutkivat 24:n afrikanamerikkalaisen kahdeksasluokkalaisen nuoren ongelmanratkaisutaitoja viiden erilaisen ongelmanratkaisutehtävän avulla. Heidän tutkimuksensa osoitti, että kun oppilaat ratkaisivat tehtävän oikein, he käyttivät ratkaisussaan vähintään yhtä ongelmanratkaisustrategiaa. Näitä strategioita olivat kuvan tai kuvion piirtäminen, mallin etsiminen, listan tai kaavion tekeminen, arvaus tarkistus-menetelmä, takaperin työskentely, looginen päättely ja ylimääräisten tietojen ohittaminen. Kun oppilaat tarkistivat valmiita tehtäviä, he käyttivät strategioina ongelman uudelleen lukemista, laskujen tarkistamista, suunnitelman tarkistamista, toisen menetelmän käyttämistä ja ongelman uudelleen muotoilua. Tehtävissä menestyneimmät nuoret osasivat usein yhdistää useita eri ongelmanratkaisustrategioita, kun taas heikommat oppilaat suosivat lähinnä arvaamista, ja yhdistelivät eri strategioita hyvin harvoin. (Malloy & Jones 1998, ) Malloyn & Jonesin (1998) tutkimuksessa ilmenneet ongelmanratkaisustrategiat ovat siis hyvin samankaltaisia kuin LeBlancin (1977) kaksikymmentä vuotta aikaisemmin esittelemät strategiat. Tästä syystä käytän tässä tutkimuksessa juuri LeBlancin jaottelua aineiston analyysin pohjana. 2.4 Yhteenveto: Ongelmanratkaisustrategiat osana ongelmanratkaisuprosessia Ongelmanratkaisustrategiat kuvaavat siis ennalta opittuja työskentelytapoja, joita ongelmanratkaisussa voidaan käyttää. Ongelmanratkaisu on kuitenkin aina tehtävä-, ratkaisija-, ja tilannesidonnaista. (Leppäaho 2007, ) Siksi ongelmanratkaisustrategiat eivät esiinny koskaan yksinään, vaan ne ovat aina osa laajempaa ongelmanratkaisuprosessia. Prosessin aikana ratkaisija voi kokeilla useita eri strategioita, ja ratkaisusta muodostuu laajempi, usein syklinen kokonaisuus. Ongelmanratkaisustrategioita ja niiden kontrolloimista ei voi siis käytännössä erottaa toisistaan, eli strategioita ei voi täysin ymmärtää ilman käsitystä ratkaisun prosessimaisesta luonteesta (Haapasalo 2011, 177).

21 15 Pólyan (1945) mallissa ratkaisustrategiat painottuvat pitkälti toiseen vaiheeseen, ratkaisun suunnitteluun. Pólya mainitsee, että ratkaisun keksiminen sisältää paljon kokeiluja, yrityksiä ja erehdyksiä. Tavoitteena on löytää yhteys uuden ongelman ja aiemmin opitun välille. Pólyan mallissa on selkeät ratkaisun toteuttamisohjeet, joissa erilaisia ratkaisustrategioita hyödyntämällä ja tarkalla työskentelyllä päästään tyydyttävään lopputulokseen, eli ongelman ratkaisuun. (Pólya 1945, 5 18.) Masonin (1982) ongelmanratkaisumallissa ratkaisustrategiat kulkevat mukana sekä sisäänpääsy-, hyökkäys-, että tarkasteluvaiheessa. Jo sisäänpääsyvaiheessa Mason mainitsee sen, että ratkaisijan on tiedostettava omat pohjatietonsa ja -taitonsa eli tuntemansa ratkaisustrategiat. Lisäksi Mason erikseen ohjeistaa ratkaisijaa käyttämään auttavia strategioita (ks. LeBlanc 1977, 17), kuten tekemään diagrammeja tai muita havainnollistavia kuvia. Hyökkäysvaiheessa Mason selkeästi ilmaisee, että ratkaisun löytämiseksi on usein kokeiltava useita erilaisia ratkaisustrategioita, jotka yrityksen jälkeen joko hyväksytään tai hylätään. Lopuksi tarkasteluvaiheessa, ratkaisun jo löydyttyä, Mason painottaa, että mahdollinen uusi ratkaisukeino on yleistettävä osaksi laajempaa kontekstia, jotta sitä voidaan käyttää hyväksi jatkossa. (Mason 1982, ) Myös Schoenfeld (1985, 109) listaa erilaisia ongelmanratkaisustrategioita, joita ratkaisija voi käyttää eri vaiheissa. Analyysivaiheessa näitä ovat diagrammien piirtäminen, yksittäistapausten tutkimisen kautta yleistyksien löytäminen ja ongelman yksinkertaistaminen. Tutkimisvaiheessa Schoenfeld esittelee esimerkiksi ongelman uudelleenmuotoilun ja yksinkertaisten mutta samankaltaisten ongelmien hyödyntämisen ratkaisua etsittäessä. Lopuksi tarkistamisvaiheessa Schoenfeldkin puhuu ratkaisun yleistämisestä. (Schoenfeld 1985, ) Jokainen esittelemäni malli ongelmanratkaisuprosessin kulusta sisältää siis merkittävänä osana erilaiset ongelmanratkaisustrategiat. Vaikka tässä tutkimuksessa käsitelläänkin ongelmanratkaisuprosessin kulun lisäksi oppilaiden ratkaisuja erikseen lähinnä ratkaisustrategioiden näkökulmasta, on tärkeää muistaa, että strategiat ovat aina osa laajempaa kontekstia. Ratkaisuun on harvoin päästy suoraviivaisesti tai vain yhtä strategiaa käyttämällä.

22 16 3 Opettaja ongelmanratkaisuprosessin ohjaajana Edellä esitetyt ongelmanratkaisumallit ja -strategiat käsittelevät ongelmanratkaisua lähinnä oppilaan näkökulmasta. Ne tarjoavat oppilaalle keinoja ja työskentelytapoja, joiden avulla selvitä ongelmatilanteesta. Kuitenkin opettajan toiminta vaikuttaa paljon siihen, miten ratkaisuprosessi etenee ja oppilaan ongelmanratkaisutaidot kehittyvät (Leppäaho 2007, 63; Pehkonen 1991, 25). Siksi tarkastelen tässä luvussa opettajan roolia ongelmanratkaisuprosessin ohjaajana. 3.1 Ongelmanratkaisu opetuksessa Ongelmanratkaisu on monipuolinen käytännön taito, mikä tulee ottaa huomioon opetuksessa (Leppäaho 2007, 66). Se on olennainen osa matematiikan oppimista ja siksi myös tärkeänä osana opetussuunnitelmaa (POPS 2004; Sovchik 1996, 254). Matematiikan käyttämistaitoa ja ongelmanratkaisua tulisi opettaa rinnan matemaattisten tietojen ja taitojen oppimisen kanssa (Frobisher 1994, ; Pehkonen ym. 1991, 17). Matematiikan tunneilla opettaja kuitenkin ratkaisee, kuinka keskeinen osa opetusta ongelmanratkaisu on (Leppäaho 2007, 16). Näverin, Ahteen, Laineen, Pehkosen ja Hannulan (2012, 84) mukaan jokaisella opettajalla on oma käsityksensä matematiikasta ja sen opettamisesta. Opettajan toimintaan vaikuttavat hänen taustatekijänsä, kuten opettamis- ja oppimiskokemuksensa, matemaattinen tietoutensa ja matemaattiset uskomuksensa (Frobisher 1994, 167; Näveri ym. 2012, 84; Pehkonen 1991, 25). Matematiikan oppikirjasarjat eivät juurikaan korosta ongelmanratkaisun opettamista, vaan ongelmatehtävät sijoitetaan yleensä opetettavan jakson loppuun lisätehtäviksi tai opettajan oppaaseen monisteiksi. Jää siis opettajan päätettäväksi, käsitelläänkö ongelmanratkaisutehtäviä vai ei. Koulun arjessa ongelmanratkaisun opettaminen jääkin usein rutiinitehtävien varjoon ja vain nopeimmat ja lahjakkaimmat ehtivät tutustua ongelmanratkaisuun. (Leppäaho 2007, 16.)

23 17 Olisi tärkeää, että opettaja valitsisi harkiten oppitunneilla käytettävät tehtävät monisanaisten tehtävien lukeminen ja hahmottaminen saattavat tuottaa osalle oppilaista vaikeuksia, joten opettajan on tärkeää valita alkuun tasoltaan sopivia, mahdollisesti karsittua ja vain oleellisia tietoja sisältäviä tehtäviä. Yksinkertaisten ongelmien käsittelyllä tähdätään pääasiallisesti oppilaiden ongelmanratkaisusitkeyden kehittämiseen, positiivisen asenteen luomiseen ja itseluottamuksen kohentamiseen. Sen sijaan monimutkaisten ongelmien käsittely on mielekästä vasta sellaisten oppilaiden kanssa, joilla on tiedolliset ja taidolliset valmiudet suoriutua annetusta tehtävästä. (Pehkonen ym. 1991, 19; Leino, Kalla & Paasonen 1978, 78, Vaulamo & Pehkonen 1999, 25.) Tehtävien tarkoituksenmukaisen valinnan lisäksi matemaattisen ajattelun optimaalisen kehittymisen kannalta on hyvin merkittävää, millä tavoin ongelmanratkaisua opetetaan. Ratkaistavien ongelmien tarjoaminen ei riitä keskeistä on miten ongelmatehtäviä oppilaille tarjotaan eli miten heidät motivoidaan ratkaisemaan tehtävää, miten heidän annetaan työskennellä ongelmien parissa ja miten ratkaisun jälkeen keskustellaan tilanteet läpi. (Pehkonen ym. 1991, 72.) Käsiteltäessä ongelmanratkaisutehtäviä keskeistä on erityisesti oppilaiden ongelmanratkaisusitkeyden kehittäminen. Tämä tarkoittaa sitä, että oppilaat jaksavat sitkeästi yrittää ongelman ratkaisemista, vaikka oikea ratkaisumenetelmä ei heti löytyisikään. Ongelmanratkaisusitkeyden kehittämiseksi opettajan tehtävä on luoda luokkaan myönteinen ilmapiiri, kehittää oppilaiden luovuutta ja tiedollisia valmiuksia sekä parantaa oppilaiden ongelmanratkaisuasenteita. Työtavoista erityisesti pari- ja ryhmätyö ovat hyödyllisiä, sillä oppilaat oppivat näin puhumaan ongelmanratkaisusta sekä omista ajattelumalleistaan. (Näveri ym. 2012, 84.) 3.2 Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet opettajan ohjaamana Hähkiöniemen, Leppäahon ja Viholaisen (2012, 42) mukaan opettajan ohjauksella on erittäin tärkeä merkitys oppilaiden työskentelyn ohjauksessa, kun käytetään avoimia ongelmanratkaisutehtäviä matematiikan oppitunnilla. Opettaja

24 18 voi ohjata oppilaiden työskentelyä kaikissa ongelmanratkaisuprosessin vaiheissa sekä siirtymissä vaiheesta toiseen. Esittelen seuraavaksi opettajan osallisuutta ongelmanratkaisuprosessin eri vaiheissa. Käytän jaotteluun aikaisemmin muodostamaani yhteenvetoa Pólyan (1945), Masonin (1982) ja Schoenfeldin (1985) ongelmanratkaisumalleista (Taulukko 2). Tämän jaottelun pohjalta analysoin myöhemmin oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin etenemistä Ongelmaan tutustuminen ja sen hahmottaminen Ensimmäisenä vaiheena ongelmaa ratkaistaessa on siis ongelmaan tutustuminen, jolloin sitä tarkastellaan mahdollisimman monipuolisesti (Pehkonen ym. 1991, 25). Tutustumisvaiheessa opettaja esittelee tehtävät, mutta ei tarjoa valmiita ratkaisumenetelmiä. Opettaja huolehtii, että oppilaat ymmärtävät tehtävät tarvittaessa voidaan myös kerrata aiemmin opittuja asioita. Kuitenkin, jos esimerkkejä tai pohjatietoja käsitellään liikaa, vaarana on, että tehtävä muuttuu mekaaniseksi laskemiseksi. (Hähkiöniemi 2011, 5.) Tutustumisvaihe luo pohjan koko ongelmanratkaisuprosessille. Oppilaita on tärkeää heti alussa motivoida työskentelyyn ja rohkaista heitä keksimään luovasti erilaisia ratkaisumenetelmiä sekä keskustelemaan keskenään (Hähkiöniemi 2011, 5). Opettajan on hyvä totuttaa oppilaat lukemaan tehtävä useaan kertaan, mahdollisesti alleviivaten oleelliset tiedot ja avainsanat (Leino ym. 1978, 77 78). Opettaja myös tarjoaa ratkaisuun tarvittavat konkreettiset välineet ja muut apukeinot (Sawada 1997, 33) Ratkaisustrategian valinta omien pohjatietojen avulla Toinen ongelmanratkaisuprosessin vaihe on ratkaisustrategian valinta omien pohjatietojen avulla, hyödyntäen ongelman tutustumisvaihetta. Opettaja voi ohjata oppilaita pohtimaan, miten mikäkin ratkaisukeino voisi auttaa ratkaisuun pääsemisessä. On tärkeää antaa oppilaille vihjeitä, jotka eivät kuitenkaan kahlitse oppilaiden omaa ajattelua. Koko ongelmanratkaisuprosessin ajan on tärkeää, että opettaja on kysyjä ja kuuntelija, ei kertoja. (Frobisher 1994, 172; Sawada 1997, 33; Sutherland 2007, 42.)

25 19 Tässä vaiheessa voidaan kehittää oppilaiden suunnitelmallisuutta, kun heitä pyydetään luomaan tarkka suunnitelma ennen ongelman varsinaiseen ratkaisemiseen ryhtymistä (Vaulamo & Pehkonen 1999, 26). On kuitenkin hyvä huomioida, että opettaja ei voi olettaa, että oppilaat keksisivät päästään erilaisia ratkaisustrategioita tuosta vain. Sen sijaan ongelmanratkaisussa tarvittavien strategioiden oppiminen voi tapahtua vain käytännön harjoittelun kautta. Kyse ei välttämättä kuitenkaan ole järjestelmällisestä strategioiden opettamisesta, vaan opettaja toimii enemmänkin oppilaiden ideoiden jäsentäjänä. Ongelmanratkaisussa tarvitaan luovuutta, ja mekaaninen määrättyihin strategioihin nojautuminen saattaa ehkäistä luovuuden käyttöä erityisesti ongelmanratkaisun harjoittelun alkuvaiheessa. (Pehkonen ym. 1991, ) Ratkaisun toteutus Ratkaisustrategian valinnan jälkeen alkaa varsinainen ratkaisun toteutusvaihe. Siihen sisältyy kaikki matemaattinen työskentely tehtävään liittyen ennen ratkaisuehdotuksen tai hypoteesin muodostamista (Hähkiöniemi, Leppäaho & Viholainen 2012, 35). Toteutusvaiheessa oppilaat ratkaisevat tehtävää opettajan kierrellessä ohjaamassa heidän työskentelyään. Opettajan on tärkeää kuunnella oppilaita ja olla aidosti kiinnostunut heidän ajattelustaan. Tässä vaiheessa tärkeintä on ratkaisuprosessi, ei välttämättä oikean ratkaisun löytäminen. Opettaja voi painottaa ajattelun merkitystä pyytämällä oppilaita perustelemaan ratkaisujaan. (Hähkiöniemi 2011, 5.) Ongelmanratkaisukyvyn kehittymiseksi on välttämätöntä, että oppilailla on mahdollisuus kokeilla, arvata ja tehdä virheitä ilman aikarajoitusta. Usein pienissä ryhmissä työskentelystä on hyötyä, sillä silloin syntyy luovalle tapahtumalle tarpeellista ajatusten vaihtoa. Alkuvaiheessa, kun ongelmanratkaisua ja erilaisia ratkaisustrategioita vielä harjoitellaan, opettajan rooli on usein mallin näyttäjä, mutta ongelmanratkaisun opettamisen edetessä roolin olisi muututtava neuvonantajaksi. Keskustelu luokassa opettajan ja oppilaiden välillä on oleellista muistiin varastoituvien tietorakenteiden kehittymisen kannalta. Opettajan ohjaavat kysymykset suuntaavat oppilaiden ajattelua paljastamatta kuitenkaan ratkaisun kulusta liikaa. Väärän ratkaisun osoittamisen sijaan opettaja voi siis kehua niitä

26 20 osia päättelystä, jotka ohjaavat ratkaisua toivottuun suuntaan ja kiinnittää oppilaiden huomion johonkin tarkennusta kaipaavaan kohtaan. Päämääränä on, että oppilas kehittäisi vähitellen myös itsenäisesti matemaattista ajatteluaan. (Frobisher 1994, 166; Hashimoto 1997, 13; Hähkiöniemi 2011, 5 6; Pehkonen ym. 1991, 18, 21 22; Sawada 1997, 34.) Kun oppilaat löytävät tehtävästä säännönmukaisuuksia, opettajan tärkeä tehtävä on auttaa heitä käsitteellistämään löytämänsä loogiset syy-seuraussuhteet. Jos sääntöjä löytyy useita, opettaja rohkaisee oppilaita pohtimaan, pätevätkö kaikki löydetyt säännöt vai ovatko jotkut niistä ristiriidassa keskenään, jolloin sääntöjä voisi karsia. (Hashimoto 1997, ) Usein ongelmanratkaisu etenee pieninä paloina, ja tiedollisten valmiuksien lisäksi ratkaisijalla on oltava kyky ponnistella päämäärän saavuttamiseksi. Hähkiöniemen (2011, 5) mukaan koko toteutusvaiheen ajan opettajan on tärkeää motivoida, kannustaa, aktivoida ja kehua oppilaita. Ongelmanratkaisun opetuksen tulisikin tukea myös niitä tunnetason- ja motivaatio-ominaisuuksia, jotka auttavat oppilasta siinä henkisessä ponnistelussa, joka ratkaisuun pääsyyn vaaditaan. Tavoitteena olisi, että oppilaat oppisivat yrittämään sitkeästi ongelman ratkaisemista, vaikka he eivät heti keksisikään oikeaa ratkaisumenetelmää. (Pehkonen ym. 1991, 13, 18.) Ratkaisun tarkastelu ja analysointi Tarkasteluvaiheessa voidaan oppia jotakin suoritetusta ongelmanratkaisusta. Löydetystä ratkaisusta ja ratkaisumenetelmistä keskustellaan, jolloin oppilailla on tilaisuus selittää ajattelukulkuaan ja opettaja voi auttaa jäsentämään sitä. Tässä vaiheessa voidaan tuoda esille erilaisia ajattelutapoja ja mahdollisia virhekäsityksiä sekä pohtia perustelujen syvällisyyttä. Tavoitteena on, että oppilas oppisi ymmärtämään, että kyse ei ole vain oikeasta vastauksesta vaan erityisesti siitä, millä tavoin ratkaisuun päästään. Samalla tavoitteena on kehittää oppilaan kykyä tarkkailla kriittisesti omaa toimintaansa. Tarkasteluvaiheessa on tärkeää, että oppilaat oppivat sekä selittämään omia ratkaisujaan että ottamaan kantaa muiden esittämiin ratkaisuideoihin. Opettajan tehtävä on nostaa ratkai-

27 21 suista olennaiset ideat esille ja korostaa, mitä niistä opitaan. Tarkasteluvaiheen tavoitteena on, että oppilaille jää selkeä kuva siitä, mikä tunnin opittava asia oli. (Hähkiöniemi 2011, 6 7; Pehkonen ym. 1991, 23, 27, 47.) Tarkasteluvaiheessa on tärkeää, että oppilaiden innostus ongelmanratkaisutehtävien ratkaisemiseen säilyy. Kaikkien oppilaiden ratkaisut tulisi tuoda jollakin tapaa esille, vaikka joukossa olisi samankaltaisia ratkaisuja. Myös mahdolliset virheelliset tai keskeneräiset ratkaisut on hyvä käsitellä, kuitenkin positiiviseen sävyyn esimerkiksi niin, että niitä muokataan tai kehitetään eteenpäin muiden oppilaiden ideoiden avulla. Näin jokainen oppilas kokee, että hänen ratkaisunsa on tärkeä. Huomattavaa kuitenkin on, että koska oppilaiden ratkaisut voivat varioida paljonkin, opettajan vastuulla on käsittelyn edetessä muodostaa niistä järkevä kokonaisuus. (Sawada 1997, 34.)

28 22 4 Tutkimustehtävä ja tutkimuskysymykset Tämän tutkimuksen tutkimustehtävänä on kuvata, analysoida ja tulkita ratkaisutapoja, joita oppilaat esittävät avoimeen ongelmanratkaisutehtävään. Pyrin sekä tarkastelemaan oppilaiden ratkaisuja että kuvaamaan mahdollisia ratkaisustrategioita, joita vastauspapereista on havaittavissa. Lisäksi pyrin analysoimaan oppilaiden ongelmanratkaisuprosessin kulkua opettajan ohjaamana. Tavoitteenani on vastata seuraaviin tutkimuskysymyksiin: 1. Millaisia ratkaisuja viidesluokkalaiset esittävät avoimeen ongelmanratkaisutehtävään? 2. Millaisia ongelmanratkaisustrategioita oppilaat käyttävät päästäkseen ratkaisuun? 3. Miten oppilaiden ongelmanratkaisuprosessi etenee opettajan ohjaamana? Etsin tutkimuskysymyksiin vastauksia tarkastelemalla kuuden eri luokan oppilaiden vastauspapereita samaan ongelmanratkaisutehtävään sekä neljän luokan ongelmanratkaisutunneista kuvattuja videoita.

29 23 5 Tutkimuksen toteutus Tutkimukseni on luonteeltaan laadullinen tapaustutkimus, eli siinä pyritään tilastollisten yleistysten sijaan kuvaamaan jotain ilmiötä tai tapahtumaa, ymmärtämään tiettyä toimintaa tai antamaan teoreettisesti mielekäs tulkinta jollekin ilmiölle (Tuomi & Sarajärvi 2002, 87). Tutkimus keskittyy siis yhteen tiettyyn tutkimusyksikköön, jota pyritään analysoimaan mahdollisimman intensiivisesti unohtamatta ympäristön vaikutusta tutkittavaan ilmiöön. Tapaustutkimuksen ehdottomia hyötyjä on se, että tutkittavassa ilmiössä päästään usein syvemmälle tasolle ja ymmärrys siitä, mikä tutkittavan ilmiön aiheuttaa ja mitä siitä seuraa, selkiytyy. (Flyvbjerg 2011, 301, 314.) Laadulliselle tutkimukselle on ominaista hypoteesittomuus: tutkijalla ei ole lukkoonlyötyjä ennakko-oletuksia tutkimuksen tuloksista (Eskola & Suoranta 2005, 19). Tosin Flyvbjergin (2011, ) mukaan tapaustutkimusta syytetään usein siitä, että sen tavoitteena on vahvistaa tutkijan ennalta määrittämät hypoteesit, mutta todellisuudessa mahdolliset ennakko-oletukset useammin kumoutuvat kuin vahvistuvat tästä syystä minullakaan ei ollut selkeää oletusta saatavista tuloksista. Tavoitteenani ei ollut saada yleistettäviä vastauksia oppilaiden käyttämistä ongelmanratkaisutavoista, vaan kuvailla mahdollisimman kattavasti ongelmanratkaisuprosessin kulkua sekä niitä ongelmanratkaisustrategioita, joita he ratkaisuissaan hyödynsivät. 5.1 Aineiston kuvaus Päädyin tutkimuksessa käyttämään valmiiksi kerättyä aineistoa, joka oli osa laajaa Suomen Akatemian rahoittamaa tutkimusprojektia. On perusteltua, että tutkijan ei välttämättä tarvitse kerätä aineistoaan itse: jokaisen ongelman ratkaisemiseksi ei tarvitse kerätä aineistoa alusta alkaen, eikä tutkielman arvo nouse tai laske sen mukaan, miten aineisto on hankittu (Hirsjärvi, Remes & Sajavaara 2005, 175). Uuden tutkimusaineiston kerääminen on usein kallista, ja olemassa olevien materiaalien käyttö säästää rahan lisäksi aikaa, kun samaa työtä ei tarvitse tehdä useaan kertaan eri tutkijoiden toimesta. Samasta tutkimusaineistosta löytyy usein uusia teemoja tai näkökulmia, kun tutkimusryhmän keräämää