Geneettinen analyysi. Tilastotieteen kertausta
|
|
- Eeva-Liisa Aro
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertaus: Luento 1 Todennäköisyyksien perusperiaatteita Testille suotuisten tapauksien joukko Toisensa poissulkevat tapaukset Leikkaus Yhdiste Komplementti Riippumattomat tapahtumat, niiden kertolasku Ehdollinen todennäköisyys Venn-diagrammit Permutaatiot ja kombinaatiot Binomitodennäköisyys Yhteistodennäköisyys
2 Geneettinen analyysi Tilastotieteen kertausta
3 Tilastotieteen rooli biologiassa / genetiikassa Esim. näytteet Tvärminnen kalliolammikoiden vesikirppupopulaatioista, vertaillaan kirppujen kokoa lammikoittain tai vaikkapa muuntogeeninen hiirilinja jonka perusteella pitäisi arvioida tuodun geenin vaikutus hiiren muiden geenien ekspressoitumiseen Miten analysoida tätä informaatiota? Mitä menetelmiä voi käyttää missäkin tilanteessa?
4 Tilastotieteen rooli biologiassa / genetiikassa Tilastotieteen menetelmiä käyttämällä haluamme päätellä jotakin yleistä, koko vesikirppupopulaatiota tai hiiren geeniekspressiotasoa tätä tarkoitusta varten poimitun otoksen/tehdyn kokeen avulla: haluamme selvittää, ovatko eri otokset peräisin samanlaisista populaatioista (esim. ovatko eri lammikoiden vesikirppupopulaatiot keskenään saman vai erikokoisia?) verrata havaittua jakaumaa teoreettisesti ennustettuun
5 Deskriptiivinen eli kuvaileva tilastotiede Aineiston tiivistäminen Hyvin oleellinen osa tilastollista analyysiä on tiivistää ja kuvata datan antamaa informaatiota selkeällä ja ymmärrettävällä tavalla. Esimerkiksi, tutkija on hankkinut kaikkiaan 250 vesikirppua kalliolammikoista. Miten kuvailla aineistoa? Numeerinen ja graafinen lähestymistapa: Vesikirppujen koon keskiarvo ja keskihajonta eri lammikoissa. Piirretään scatter plot, jossa x-akselilla on vesikirpun koko ja y- akselilla asuinlammikon lämpötila. Graafiset menetelmät soveltuvat numeerisia paremmin erilaisten systemaattisuuksien havaitsemiseen aineistossa. Numeeriset ovat taas tarkempia ja objektiivisempia. Koskapa graafiset ja numeeriset lähestymistavat täydentävät toisiaan, on viisasta käyttää aina molempia.
6 Numeerinen vs Graafinen tapa Sama aineisto kuvattuna eri tavoin: Numeerisesti 200 havaintoa joiden keskiarvo on 0.04 ja keskihajonta on havaintoa joiden mediaani on 0, minimi on -4.0 ja maksimi on 2.7 Graafisesti histogrammina sirontakuvana
7 Luokka- ja määrämuuttujat Tilastollista aineistoa käsiteltäessä aineiston muuttujat voidaan laadun perusteella jakaa kahteen ryhmään: Luokkamuuttujat ja määrämuuttujat Luokkamuuttujia ovat esim. väri, sukupuoli määrämuuttujat voidaan edelleen jakaa kahteen alaryhmään: diskreetit muuttujat (esim. raajojen määrä, jälkeläisten määrä) jatkuvat muuttujat (esim. pituus, paino, ikä) Jos tutkittava muuttuja on ainakin intervalliasteikkoinen, voidaan oleellisin tieto tiivistää muutamaan tunnuslukuun, kuten keskiarvoon ja hajontaan. Tilastollista aineistoa voidaan helposti kuvata joillakin melko yksinkertaisilla arvoilla Jos aineisto järjestetään luokkiin, sitä luokkaa, jolla on suurin frekvenssi kutsutaan tyyppiluokaksi tai arvoksi eli moodiksi.
8 Numeerinen aineiston tiivistys Tilastollista aineistoa voidaan helposti kuvata joillakin melko yksinkertaisilla arvoilla Jos tutkittava muuttuja on ainakin intervalliasteikkoinen, voidaan oleellisin tieto tiivistää muutamaan tunnuslukuun, kuten keskiarvoon ja hajontaan. Jos aineisto järjestetään luokkiin, sitä luokkaa, jolla on suurin frekvenssi kutsutaan tyyppiluokaksi tai arvoksi eli moodiksi. Sitä arvoa, joka jakaa aineiston kahteen yhtä suureen osaan, sanotaan mediaaniksi. Jos aineistossa on parillinen määrä muuttujia, mediaani on kahden keskimmäisen arvon puolivälissä
9 Numeerinen aineiston tiivistys Kvartiilit ovat ne arvot, jotka jakavat aineiston neljään yhtä suureen osaan. keskimmäinen kvartiili on sama kuin mediaani yläkvartiilin arvon alle jää kolme neljäsosaa aineistosta, vastaavasti alakvartiilin arvon yläpuolelle jää kolme neljäsosaa aineistosta kvartiilien arvot määräytyvät samalla tavalla kuin mediaaninkin Vaihteluväli on aineiston suurimman ja pienimmän luvun erotus
10 Numeerinen aineiston tiivistys Eri lukuja jotka tiivistävät esimerkkiaineiston Keskiarvo: ja keskihajonta 1.04 Kvartiilit: -4.01, -0.75, 0.00, 0.64, 2.74 Vaihteluväli: 6.8 Huomioita: Keskiarvo ja mediaani eroavat vähän toisistaan. Kvartiilien rajat ja 0.64 ovat lähempänä mediaania ja keskiarvoa kuin mitä keskihajonnan (1.04) perusteella kuvittelisi
11 Esimerkki 20. Alla on esitetty 50 opiskelijan sykkeet Aineiston vaihteluväli on 34 (96-62) ja mediaaniarvo (25.s arvo) on 79 ja 80 puolivälissä, eli 79,5. Vastaavasti 12. ja 13. arvot ovat 74 ja 74, joten alakvartiili on 74. Yläkvartiiliksi saadaan 84, sillä se on 37:nnen (83) ja 38:nnen arvon (85) välissä. Tässä aineistossa vaikuttaisi olevan kaksi moodiarvoa, 80 ja 81. Moodi on helpompi selvittää, jos arvoja yhdistetään luokiksi esim. seuraavan taulukon mukaisesti:
12 Syke-aineisto Syke määrä Nyt moodiluokaksi saadaan yht. 50
13 Keskiarvo Määrämuuttujista koostuvaa aineistoa kuvataan yleisimmin keskiarvolla Aritmeettinen keskiarvo lasketaan summaamalla kaikki arvot ja jakamalla aineiston alkioiden kokonaislukumäärällä x n i1 n x i
14 Huom! Keskiarvo ja mediaani eivät välttämättä ole samansuuruisia Esim. Edellisestä aineistosta saadaan keskiarvoksi 79,1 lyöntiä minuutissa (huomaa ero mediaaniin).
15 Hajonta Keskihajonta, s, kuvaa aineiston keskimääräistä etäisyyttä keskiarvosta (positiivista tai negatiivista) Otetaan havainnon ja keskiarvon erotuksen neliö Keskihajonnan neliö s 2 on varianssi käsiteltäessä otosvarianssia ja -keskihajontaa, nimittäjänä käytetään n-1 pelkän aineistokoon (n) sijaan. s n i1 x i n x 2
16 Keskiarvon keskivirhe Kun halutaan arvioida, kuinka paljon samasta perusjoukosta peräisin olevien otosten keskiarvot vaihtelevat, käytetään keskiarvon keskivirhettä (SE) keskiarvon keskivirhe saadaan jakamalla otoksen keskihajonta otoskoon neliöjuurella Keskiarvon keskivirhe ilmaisee otoksen keskiarvon tarkkuuden, ts. eri toistokerroilla poimittujen otosten keskiarvojen hajonnan S x s n
17 Esimerkki 21. Alla on kahdessa eri kokeessa saadut aineistot. Mitkä ovat niiden keskiarvot ja keskihajonnat? Vastaus: aineistolle a) x s 2 (6 36) 2 (12 36) 2 (37 36) 5 2 (49 36) 2 (64 36) ,6 s s 2 399,6 20
18 Vastaavasti aineistolle b) arvot ovat x=116, s 2 = 10 ja s = 3,16
19 Esimerkki kvartiilien käytöstä tulosanalyysissä Tutkimuksessa testattiin menetelmää oikealla datalla (musta viiva) ja sotketulla datalla (Mishra et al. in review) Tavoitteena oli esittää miten varsinainen ja sotkettu analyysi eroavat toisistaan Datan sotkeminen toistettiin tuhat kertaa Tuhatta viivaa esittävä kuvaaja on sekava Kvartiilien käytöllä kuvaajasta tulee selkeämpi (mukana myös 10% ja 90 % rajat)
20 Inferentiaalinen tilastotiede Tilastollinen päättely Tilastotiedettä käytetään usein apuna päätöksen teossa Onko lääkeyhdiste aiheuttama parannus ollut merkittävä? Onko geenin X aktiivisuus muuttunut selkeästi kahden koeeläinryhmän välillä Tilastotieteitä käytetään myös arvioitaessa parametreja, kuten muutoksia aineistoista Kuinka paljon geenin X aktiivisuus on muuttunut? Kuinka paljon on haitallisia bakteereita järven vedessä? Näihin kysymyksiin pyritään vastaamaan tilastollisen päättelyn avulla. TAI kevyemmin
21 Tilastollinen päättely Tilastollinen päättely tekee usein johtopäätöksiä koko populaatiosta tutkitun otoksen (=näytteen) perusteella. Otos esimerkiksi: satunnaisesti valittu joukko väestöstä Testattava joukko voi olla myös koko populaatio Vaikkapa kaikki tutkittavan eliön geenit Esimerkiksi, eräässä kokeessa 10 koehenkilöä suorittaa tehtävän 24 h valvomisen jälkeen. Koehenkilöiden keskimääräinen tulostaso oli 12 pistettä alempi kuin 10:llä verrokkihenkilöllä, jotka suorittivat kokeen normaalien yöunien jälkeen. Onko ero todellinen, vai voisiko se johtua sattumasta?
22 Tilastollisessa päättelyssä on kaksi päälähestymistapaa: parametrien estimointi ja hypoteesin testaus. Estimoinnissa otosta käytetään jonkin parametrin ja sen luottamusvälien estimointiin. Hypoteesin testauksessa asetetaan nollahypoteesi ja päätellään testin avulla, onko aineisto riittävän erikoinen jotta nollahypoteesi voidaan hylätä. Valvomiskokeessa nollahypoteesi olisi valvomisella ei ole vaikutusta kokeen tulokseen. Käsittelemme tilastollista päättelyä tarkemmin seuraavalla luennolla, jossa tutustumme tilastolliseen testaamiseen.
23 Todennäköisyysjakaumat Esimerkki 22. Mendel risteytti siemenen muodon suhteen eroavia (sileä- ja kurttusiemenisiä herneitä), sukusiitettyjä hernelinjoja keskenään. F1-polvessa kaikki herneet olivat sileitä. F1-polven kasvit risteytettiin jälleen keskenään, ja tulokseksi saatiin jälleen molempia tyyppejä. Mendel esitti hypoteesin, että ominaisuutta kontrolloi yksi geeni, jossa on kaksi alleelia: dominoiva sileän siemenen aiheuttava geeni ja resessiivinen kurttuisen pinnan muodostava.
24 Käsitteitä Määritellään genotyyppi satunnaismuuttujaksi. F2-polvessa mahdollisia genotyyppejä eli satunnaismuuttujan tulosmahdollisuuksia on neljä: AA, Aa, aa, ja aa. Nämä tulosmahdollisuudet määrittävät perusjoukon (tässä F2-polven) otosavaruuden. Otosavaruuden osajoukot voivat määrittää tapahtuman. Tapahtuma koostuu yhdestä tai useammasta arvosta otosavaruudessa. Tässä esimerkissä tapahtuma voisi olla vaikkapa yhden satunnaisesti valitun siemenen genotyyppi.
25 Jos taas tarkastelisimme dominanttien alleelien (A) määrää satunnaisesti valitun herneensiemenen genotyypissä, niin X on satunnaismuuttuja, jonka otosavaruus on = {0, 1, 2}. X jos jos jos aa Aa,aA AA Satunnaismuuttuja: muuttuja, joka kuvaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtoja numeerisesti. Jos satunnaismuuttujaksi otetaan siemenen muoto, tulosmahdollisuuksia on kaksi, sileä tai kurttuinen.
26 Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma on sääntö, joka kertoo, millä todennäköisyyksillä satunnaismuuttuja saa arvonsa. Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma on täysin määrätty, jos tunnetaan satunnaismuuttujan saamat arvot ja niiden todennäköisyydet. Huomaa, että kaikkien muuttujan arvojen todennäköisyyksien on oltava nollia tai suurempia, ja niiden summan on oltava yksi.
27 Esimerkissä, mikäli Mendelin käsitys herneen siemenen muodon periytymisestä oli oikea, todennäköisyys syntyä sileä herneensiemen on 3/4, kurttuinen 1/4. Summa on yksi. Diskreetillä satunnaismuuttujalla tarkoitetaan satunnaismuuttujaa, joka saa erillisiä arvoja, tai eksaktimmin ilmaistuna, jonka otosavaruus on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Vastaava todennäköisyysjakauma on tällöin diskreetti todennäköisyysjakauma. (Teoreettisen diskreetin jakauman määrittelevää lauseketta kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioksi)
28 Jatkuva satunnaismuuttuja on sellainen, joka voi saada arvoja jatkuvasti tietyltä väliltä, kuten esim. pituus tai paino saavat Vastaavaa todennäköisyysjakaumaa kutsutaan jatkuvaksi jakaumaksi. Teoreettisen jatkuvan todennäköisyysjakauman määrittelevää lauseketta kutsutaan tiheysfunktioksi. Tiheysfunktiossa yksittäisen pisteen arvon todennäköisyys on 0, mutta todennäköisyys, että muuttuja saa arvoja joltain väliltä on positiivinen.
29 Teoreettinen jakauma on matemaattinen lauseke, joka kuvaa muuttujan arvojen jakaumaa perusjoukossa. Kertymäfunktio F(x)=P(Xx) niin jatkuville kuin diskreeteillekin satunnaismuuttujille.
30 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja varianssi Odotusarvo: Jos satunnaisilmiön numeerisina tulosvaihtoehtoina ovat luvut x 1,x 2,,x n ja niiden todennäköisyydet ovat p 1, p 2,,p n, satunnaismuuttujan odotusarvo kuvaa tuloksen odotettavissa olevaa arvoa. Se määritellään E n ( X ) pi xi p1x1 i1... Tilastotieteen ja matematiikan oppikirjoissa (hiukan matemaattisemmin ilmaistuna) diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille E( X ) x x xf p ( x ) ( x) dx p diskreetti jatkuva jossa p x (x i ) tarkoittaa samaa kuin p i ylempänä, ja f x on jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio. i x x i n x n
31 Varianssi on jakauman vaihtelevuuden mitta. Se määritellään Var( X ) x xi x E( X ) E( X ) 2 2 p f x x ( x i ) ( x) dx diskreetti jatkuva Esimerkki 22, jatkoa: Mendelin hernekokeessa määriteltiin satunnaismuuttuja Z, joka sai arvon 0 jos siemen oli kurttuinen ja arvon 1 jos sileä. Niiden todennäköisyydet olivat siis P(Z=0)= ¼ ja P(Z=1)=¾.
32 Odotusarvo yksittäiselle siemenelle on 13/4+01/4=3/4. Se on selvästi lähempänä ykköstä (sileä) kuin nollaa (kurttuinen), kuten odotettavissa onkin sileyden aiheuttavan alleelin dominoivuuden vuoksi. Z:n teoreettinen varianssi on Var ( Z) z E( Z) p( ) i 2 i z i =(0-3/4) 2 1/4+(1-3/4) 2 3/4=3/16
33 Standardijakaumia Kun mikä tahansa aineisto asetetaan järjestykseen se muodostaa (empiirisen) jakauman Teoreettiset jakaumat ovat hyvin tärkeitä tilastotieteessä: esim. binomi- ja Poisson-jakaumat ovat teoreettisia diskreettejä jakaumia Normaalijakauma on tyypillinen esimerkki jatkuvasta jakaumasta, missä periaatteessa on mahdollista saada kaikki arvot negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömään.
34 Binomijakauma Binomijakauma on tärkeä diskreetti todennäköisyysjakauma. Jos satunnaiskoetta A toistetaan riippumattomasti n kertaa ja tarkastellaan tapahtumaa A, jonka todennäköisyys yksittäisessä kokeessa on P(A)=p sanotaan A:n esiintymisten lukumäärän n:ssä kokeessa olevan binomiaalisesti jakautunut. Todennäköisyys sille, että A tapahtuu n-kertaisessa toistokokeessa täsmälleen x kertaa, on f ( x) n p x x nx (1 ) p Esimerkiksi tyttöjen lukumäärä vaikkapa nelilapsisessa perheessä on binomijakautunut, samoin resessiivisesti periytyvään sairauteen sairastuneiden lasten lukumäärä sisarussarjassa, joiden vanhemmat ovat heterotsygootteja. Teoreettisesti voidaan osoittaa, että binomijakauman odotusarvo on np, ja varianssi np(1-p).
35 Bin(10,0.3) Binomijakautuneisuuden edellytykset: tapahtumalla on kaksi tulosvaihtoehtoa (tai kategoriaa) tapahtumat ovat toisensa poissulkevat (vain jompikumpi tapahtuu kerrallaan) toistojen tulokset ovat toisistaan riippumattomat
36 Poisson -jakauma Kun n on hyvin suuri, binomitodennäköisyyksien laskemisesta tulee hankalaa: esim. mikä on todennäköisyys että 3000 yksilön populaatiossa on täsmälleen 18 harvinaista fenotyyppiä ilmentävää yksilöä, jos tiedetään fenotyypin esiintymisfrekvenssiksi 0.005? joudutaan laskemaan sekä Onkin hyödyllistä tietää, että binomijakauma lähestyy Poisson-jakaumaa, kun n ja p on pieni. Tällöin np pysyy samana. Jos np merkitään :lla,
37 n x p x (1 p) nx e x x! jossa e on Neperin luku, e 2,718 Jälkimmäinen lauseke on Poisson-jakauman tiheysfunktio Poisson-jakauma approksimoi hyvin binomijakaumaa, kun n20 ja p0,05 Poisson-jakauman odotusarvo ja varianssi ovat keskenään yhtä suuret ().
38 Poisson-jakaumaa noudattavia asioita: Esim. harvinaisen sairauden ilmaantuvuus väestössä Tietyn ajan kuluessa petrimaljalle ilmestyvien bakteerien lukumäärä noudattaa suhteellisen tarkasti Poissonjakaumaa. Tällöin maljan pohja ajatellaan jaetuksi hyvin pieniin alueisiin, joissa kussakin bakteerin esiintymistodennäköisyys on pieni, mutta alueita eli toistoja on paljon. Crossing-overia kuvataan tavallisesti Poisson-prosessilla, jossa niiden lukumäärä kromosomissa on Poissonjakautunut ja sijainnit jakautuvat tasaisesti yli kromosomin.
Tilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMatemaatikot ja tilastotieteilijät
Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMiten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.
Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotTeema 7: Todennäköisyyksien laskentaa
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot52746 Geneettinen analyysi
52746 Geneettinen analyysi Päivi Onkamo Sampo Sammalisto Jack Leo Pekka Uimari Perinnöllisyystieteen oppiaine, Biotieteiden laitos, Helsingin yliopisto 2011 Sisällysluettelo Johdanto... 3 Luennot... 4
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
LisätiedotGeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus
GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotGeenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto
Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotPylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotTilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut
TILASTO-OPPIA Tilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut Diskreetit jakaumat ja niiden esittäminen frekvenssitauluna ja kaaviona Jakauma on diskreetti jos tilastomuuttuja voi saada vain
Lisätiedot