Matematiikka. Mathematics

Transkriptio

1 Mathematics Matematiikassa on seuraavat linjat: yleinen linja opettajalinja. Matematiikassa voi suorittaa seuraavat tutkinnot: Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto (LuK) (Bachelor of Science (B.Sc.), kandidat i naturvetenskaper (NaK)) Filosofian maisterin tutkinto (FM) (Master of Science (M.Sc.), filosofie magister (FM)) Uuden voimaan astuneen tutkintojärjestelmän tutkinnot ovat erillisiä. Vanhassa järjestelmässä luonnontieteiden kandidaatin tutkinto sisältyi filosofian maisterin tutkintoon. Filosofian maisterin tutkinnon suorittamisen jälkeen opiskelija voi jatkotutkintona suorittaa filosofian lisensiaatin ja filosofian tohtorin tutkinnot. Jatkotutkintoja on esitelty tarkemmin tämän oppaan kohdassa Jatkotutkinnot. Opintojen luonne Matematiikan opintojaksot pyritään esittämään kokonaisuudessaan luentokursseilla, joiden seuraamiseen on varattava riittävästi aikaa. Luennoitaviin kursseihin liittyvät olennaisena osana harjoitukset. Aktiiviseen matematiikan taitoon kuuluu harjoitustehtävien käsittelytekniikka, johon voi riittävästi perehtyä ainoastaan omakohtaisella työskentelyllä. Harjoitustehtävien ratkaiseminen valaisee opetettuja teorioita ja luo harjaannusta matemaattiseen ajattelutapaan, jonka oppimiseen koko opiskelu tähtää. Jokaisen opiskelijan on etsittävä oma, henkilökohtainen opiskelutapansa. Esitettyihin asioihin on tarkoin tutustuttava ja selvitettävä itselleen kaikki vaikeatkin kohdat. Jos jokin seikka tuntuu erityisen vaikealta, on siihen perehdyttävä sitäkin huolellisemmin. Hyvän oppimistuloksen saavuttamiseksi kannattaa käyttää kirjallisuutta luentojen tukena. Matematiikan opintojen suorittamista koskevat ohjeet Matematiikan opintosuoritusten arvostelussa käytetään asteikkoa hyväksytty, hylätty tai asteikkoa 0-5 (5=erinomainen, 4=kiitettävä, 3=hyvä, 2=tyydyttävä, 1=välttävä, 0=hylätty). Tutkintotodistukseen merkittävä matematiikan kokonaisarvosana määräytyy opintosuorituksista saatujen arvosanojen opintopisteillä painotettuna keskiarvona. Rajatapauksissa tutkielman arvosana tai pakollisissa opinnoissa keskiarvoa parempi opintomenestys voidaan huomioida arvosanaa korottavasti. Tutkielman aiheesta voi sopia matematiikan professorin kanssa, jolta saa myös tarkemmat ohjeet näiden töiden tekemistä varten. Matematiikan opintojaksot suoritetaan yleensä välikokeilla tai loppukokeella; suoritetut viikkoharjoitukset voivat vaikuttaa arvosteluun. Joillakin opintojaksoilla edellytetään myös harjoitustyön tekemistä. Jotkut opintojaksot voidaan suorittaa myös pelkillä harjoitustöillä. Loppukokeet pidetään matematiikan omina tenttipäivinä, joiden ajankohdat selviävät laitoksen kotisivuilta ja 61

2 Perustutkinnot matematiikan ilmoitustaululta. Tentteihin on ilmoittauduttava vähintään 7 päivää aikaisemmin NettiOpsun kautta, Näissä tenteissä voi osallistua pääsääntöisesti vain yhden kurssin kuulusteluun kerrallaan. Opintojakso tentitään yleensä sille opettajalle, joka sen on viimeksi luennoinut. Muiden kuin ilmoitettujen opintojaksojen suorittamisesta on sovittava asianomaisen opettajan kanssa hyvissä ajoin. Matematiikan kokonaismerkintöjen antaminen tutkintotodistukseen Matematiikan opinnot on ryhmitetty kolmeksi opintokokonaisuudeksi: perusopinnot, aineopinnot ja syventävät opinnot. Kokonaismerkinnän 25 opintopisteen (15 opintoviikon) matematiikan opinnoista saa, kun on suorittanut perusopinnot ja kokonaismerkinnän vähintään 60 opintopisteen (35 opintoviikon) matematiikan opinnoista saa suoritettuaan aineopinnot. Vähintään 60 opintopisteen syventävistä opinnoista saa myös kokonaismerkinnän. Mikäli opiskelijalla on suoritettuna matematiikan opintojaksoja, joiden voidaan katsoa olevan epätarkoituksenmukaisia matematiikan hallinnan syventämisen kannalta, sijoitetaan ne tutkintotodistuksessa otsakkeen Muut opinnot alle. Epäselvissä tapauksissa opinnoista on syytä neuvotella etukäteen matematiikan professorin kanssa. Siirtymävaiheen säännöt Tutkintovaatimukset ovat samat syksyllä 2005 aloittaneille. Ennen syksyä 2005 opiskelunsa aloittaneet opiskelijat saavat halutessaan noudattaa jotakin opiskeluaikanaan voimassa ollutta opetussuunnitelmaa. Tämä mahdollisuus on olemassa kuitenkin vain asti, jonka jälkeen opiskelija siirtyy jatkamaan opintojaan uuden tutkintojärjestelmän mukaan. Epäselvissä tapauksissa on syytä sopia kokonaissuunnitelmasta matematiikan professorin kanssa. 62

3 Yleinen linja Matematiikka on yliopistollisena oppiaineena luonteeltaan itsenäinen, mutta se on myös välttämätön tukiaine monille muille tieteille. Matematiikan merkitys on viime vuosikymmenien aikana ratkaisevasti laajentunut eri tieteiden piirissä, ja kehittyneessä tietoyhteiskunnassa matemaattisen tiedon tarve on suuri. Matemaattisen tiedon hankkiminen edellyttää keskimääräistä suurempaa keskittymiskykyä ja kärsivällisyyttä tehdä itselleen selviksi uudet käsitteet, suoritetut päättelyt ja saavutetut tulokset. Matematiikan opiskelussa ei riitä, että suuri joukko asioita osataan ulkoa, vaan on tajuttava asioiden keskinäiset suhteet ja tätä kautta pystyttävä käyttämään niitä hyväkseen eri tilanteissa. Kerran hyvin ymmärrettynä asia ei myöskään ole samalla tavalla muistin varassa kuin monissa muissa aineissa. Työtehtävät ja sijoittumismahdollisuudet Filosofian maisterilla matematiikka pääaineenaan on mahdollisuus sijoittua esimerkiksi tutkimuksen, elinkeinoelämän tai korkeakouluopetuksen palvelukseen. Yliopistosektorin ulkopuolella sijoittuminen ja työtehtävät riippuvat usein myös valituista sivuaineista, sillä matematiikan antamat valmiudet ovat hyödyllisiä lähes kaikkien alojen tutkimus- ja suunnittelutyössä. Lisäksi tulevat kysymykseen eri oppilaitosten matematiikan lehtorin virat. Opettajalinjan lisäksi voidaan myös yleisellä linjalla pätevöityä aineenopettajan tehtäviin suorittamalla erilliset pedagogiset opinnot. Aineenopettajan erillisiin kasvatustieteellisiin opintoihin valittavien henkilöiden lukumäärä saattaa riippua kulloinkin vallitsevasta työmarkkinatilanteesta. Matematiikan pääaineopiskelijat ovat löytäneet yleensä hyvin työpaikan viime aikoina usein aloilta, joissa on edellytetty tietotekniikan hallintaa. Tälläkin hetkellä matematiikan opettajien työmarkkinatilanne on hyvä ja lähitulevaisuudessa on ennustettu muodostuvan suoranaista työvoimapulaa matematiikan opettajista. Sivuaineopinnoista Matematiikan opiskelijalle sopivia sivuaineita ovat esimerkiksi tietojenkäsittelyoppi ja tilastotiede sekä filosofia, hypermedia, informaatiotutkimus, taloustieteet (esim. kansantaloustiede ja laskentatoimi), vakuutustiede ja vuorovaikutteinen teknologia. Opettajalle aikovaksi suositellaan myös sivuaineeksi fysiikkaa ja/tai kemiaa, jotka voi suorittaa Tampereen teknillisessä yliopistossa. Jälkimmäiset sivuaineet on esitelty tarkemmin myös tässä opinto-oppaassa. Sivuaineeksi voi valita myös muita TTY:n oppiaineita, esim. signaalinkäsittelyn. Opiskelijan, joka aikoo suorittaa opintojaksoja TTY:ssä, tulee hakea ns. vierailevaksi opiskelijaksi JOO-sopimuksen puitteissa. 63

4 Perustutkinnot Yleisen linjan opintosuoritukset Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto 180 op Pääaineopinnot vähintään 80 op Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 Lineaarialgebra 2A Analyysin teoria A Kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma (kypsyysnäyte) 2 op 6 op 4+4 op 4 op 4 op 4 op 10 op Vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 80 op. Kyseeseen tulevat mm. Muodolliset kielet Logiikka 1B Logiikka 2 Differentiaali- ja differenssiyhtälöt Graafiteoria Johdatus modaalilogiikkaan Geometria 1 Matemaattiset ohjelmistot Matemaattinen tilastotiede (tilastotieteen järjestämä) 1 op 2-4 op 1-4 op 9 op Joidenkin maisterin tutkintoon kuuluvien syventävien opintojen suorittaminen ennen LuK tutkinnon valmistumista on mahdollista. Sivuaineopinnot vähintään 1 60 op (1 35 ov) tai 2 25 op (2 15 ov) Sivuaineopintoja joko yhdestä sivuaineesta vähintään 60 opintopisteen laajuiset opinnot (aineopinnot) tai kahdesta sivuaineesta molemmista vähintään 25 opintopisteen laajuiset opinnot (perusopinnot). Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot (5 ov) (ks. s ) Kieli- ja viestintäopinnot 11 op (7 ov) (ks. s ) Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 180 op. Filosofian maisterin tutkinto 120 op Huom. Jos ei ole suorittanut yleisen linjan luonnontieteiden kandidaatin tutkintoa, on opintoja täydennettävä sen vaatimuksia vastaaviksi. Opettajalinjan luonnontieteiden kandidaatin tut- 64

5 kinnon suorittaneella on tällä edellytyksellä oikeus suorittaa yleisen linjan filosofian maisterin tutkinto. Pääaineopinnot vähintään 80 op Analyysin teoria B Lineaarialgebra 2B Seminaari (korvaavuudesta voi sopia) Pro gradu tutkielma (kypsyysnäyte) 6 op 4 op 40 op Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 80 op. Tällaisia matematiikan erikoiskursseja ovat mm. Algebra 2 Geometria 2 Hilateoria Joukko-oppi Kompleksianalyysi Laskettavuuden teoria Lineaarialgebra 3 Lukuteoria 5 op Osan vaihtoehtoisista aineopintokursseista voi täydentää syventäviksi. Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 120 op. Opettajalinja Opettajalinjan tavoitteena on kouluttaa matematiikan ja tietotekniikan/fysiikan/kemian opettajia. Tällöin tutkinnon pääaineena (ensimmäisenä opetettavana aineena) on matematiikka. Sivuaineeksi (toiseksi opetettavaksi aineeksi) voi valita tietojenkäsittelyopin (tietotekniikan), fysiikan, kemian, filosofian, elämänkatsomustiedon tai muun opetettavan aineen. Näiden lisäksi suoritetaan opettajan pedagogiset opinnot. Opetettavalla aineella tarkoitetaan peruskoulun, lukion tai muun oppilaitoksen opetukseen kuuluvaa ainetta. Filosofian maisterilla, joka on suorittanut opettajalinjan, on mahdollisuus sijoittua mm. peruskoulun ja lukion lehtorin tehtäviin sekä ammatillisten ja muiden oppilaitosten vastaavien yleisten aineiden opettajan tehtäviin. Opettajalinja muodostuu pääasiassa matematiikan, tietotekniikan/fysiikan/kemian ja kasvatustieteen opinnoista. Tietotekniikka sisältyy Tampereen yliopistossa tietojenkäsittelyoppiin. Eri oppiaineiden ja niiden opiskelun luonteen selville saamiseksi opiskelijaa kehotetaan lukemaan myös yleisen linjan, tietojenkäsittelytieteiden koulutusohjelman, fysiikan ja kemian oppiaineiden sekä aineenopettajan pedagogisten opintojen (ks. kasvatustieteiden tiedekunnan opintoopas) esittelyt. 65

6 Perustutkinnot Fysiikan ja kemian opinnot suoritetaan Tampereen teknillisessä yliopistossa (TTY) Tampereen yliopiston informaatiotieteiden tiedekunnan tutkintovaatimusten mukaisesti (ks. fysiikan ja kemian oppiaineet sivut ). Haku aineenopettajan pedagogisiin opintoihin Ks. erillinen ilmoitus laitoksen www-sivuilla. Opettajalinjan opintosuoritukset Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto 180 op Pääaineopinnot vähintään 70 op Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 Analyysin teoria A Kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma (kypsyysnäyte) 2 op 6 op 4+4 op 4 op 4 op 10 op Vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 70 op. Kyseeseen tulevat mm. Muodolliset kielet Logiikka 1B Logiikka 2 Differentiaali- ja differenssiyhtälöt Graafiteoria Johdatus modaalilogiikkaan Lineaarialgebra 2A Geometria 1 Matemaattiset ohjelmistot Matemaattinen tilastotiede (tilastotieteen järjestämä) 1 op 2-4 op 4 op 1-4 op 9 op Joidenkin maisterin tutkintoon kuuluvien syventävien opintojen suorittaminen ennen LuK tutkinnon valmistumista on mahdollista. Toinen opetettava aine (tietojenkäsittelyoppi, fysiikka, kemia, filosofia, elämänkatsomustieto tai muu) (perus- ja aineopinnot) vähintään 25 op (15 ov), ks. myös maisterin tutkinnon vaatimukset. Opettajan pedagogiset opinnot (perusopinnot) 25 op (15 ov) Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot (5 ov) (ks. s ) Kieli- ja viestintäopinnot 11 op (7 ov) (ks. s ) 66

7 Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 180 op. Filosofian maisterin tutkinto 120 op Huom. Jos ei ole suorittanut opettajalinjan luonnontieteiden kandidaatin tutkintoa, on opintoja täydennettävä sen vaatimuksia vastaaviksi. Yleisen linjan luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon suorittaneella on tällä edellytyksellä oikeus suorittaa opettajalinjan filosofian maisterin tutkinto. Pääaineopinnot vähintään 60 op Analyysin teoria B 6 op Seminaari Pro gradu tutkielma (kypsyysnäyte) 25 op 40 op:n laajuinen tutkielma on mahdollinen, mutta ylimenevä 15 op ei korvaa muita syventäviä opintoja. Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 60 op. Tällaisia matematiikan erikoiskursseja ovat mm lineaarialgebra 2B ja kaikki yleisellä linjalla vastaavassa kohdin mainitut kurssit. Osan vaihtoehtoisista aineopintokursseista voi täydentää syventäviksi. Opintoja tietojenkäsittelyopissa, fysiikassa, kemiassa, filosofiassa, elämänkatsomustiedossa tai muussa toisessa opetettavassa aineessa niin paljon että kandidaatin ja maisterin tutkintoon sisältyy yhteensä opintoja tästä aineesta 60 op. Opettajan pedagogiset opinnot (aineopinnot, opetusharjoittelu) 35 op Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 120 op. Koska useissa peruskoulun ja lukion lehtorin viroissa on edellytyksenä kolmenkin opetettavan aineen hallinta, suositellaan vapaasti valittavien opintojen käyttämistä jonkin kolmannen opetettavan aineen opintoihin. Tällöin kyseeseen tulee lähinnä tietojenkäsittelyoppi, fysiikka, kemia, mahdollisesti myös filosofia. Muita mahdollisia vapaasti valittavien opintojen käyttökohteita ovat esimerkiksi matematiikan, tietojenkäsittelyopin, tilastotieteen tai kasvatustieteen opintojen laajentaminen tai jonkin kokonaan uuden oppiaineen opiskelu. 67

8 Perustutkinnot Matematiikan opintokokonaisuudet P Matematiikan perusopinnot 25 op Yhteensä seuraavista 25 op: Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Muodolliset kielet Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 2 op 6 op 1 op 4+4 op 4 op Sivuaineopiskelija voi sisällyttää matematiikan perusopintoihin myös opintojakson Analyysin alkeiskurssi (). A Matematiikan aineopinnot, yhdessä perusopintojen kanssa op Perusopintojen lisäksi vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että opintojen kokonaismäärä on sivuaineopiskelijalla 60 op, opettajalinjan opiskelijalla 70 op ja yleisen linjan opiskelijalla 80 op (ks. ao. linja, luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon vaatimukset). Erityisesti kahdella viimeksi mainitulla tähän on sisällyttävä kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma. S Matematiikan syventävät opinnot op Sivuaineopiskelijat: Analyysin teoria B (A suoritettuna) 6 op Sivuainetutkielma 25 op Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 60 op. Pääaineopiskelijat: ks. ao. linja, filosofian maisterin tutkinnon vaatimukset. Diskreetistä matematiikasta kiinnostuneille opiskelijoille suositellaan TTY:n matematiikan laitoksella järjestettäviä alueeseen liittyviä erikoiskursseja (ks. opintojaksokuvaukset s. 77). Erityisesti logiikkaan suuntautuville suositellaan kurssia Matemaattinen logiikka. Myös muita vaihtoehtoisia aine- ja syventäviä opintoja on mahdollista suorittaa TTY:ssä, mutta näiden kelpoisuudesta on syytä neuvotella oman laitoksen matematiikan professorin kanssa. Opiskelijan, joka aikoo suorittaa opintojaksoja TTY: ssä, tulee hakea ns. vierailevaksi opiskelijaksi JOOsopimuksen puitteissa. 68

9 Opintojaksokuvaukset Kuvauksissa mainitut kirjallisuusviitteet on pääsääntöisesti tarkoitettu oheislukemistoksi. Kuulusteluissa vaadittavat tiedot saa selville opintojakson vastuuhenkilöltä (yleensä kurssin viimeksi luennoineelta opettajalta). Opintojaksosta vastaava laitos on matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos/matematiikka, ellei toisin ole ilmoitettu. Ajankohta viittaa ohjeelliseen etenemiseen kandidaatin tutkinnossa. Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot Y1 Orientoivat opinnot 1 op (1 ov) Y2 Opintojen ohjattu suunnittelu (sis. henkilökohtainen opintosuunnitelma hops) 2 op (1 ov) ks. Y3 Tiedonhankinnan perusteet 2 op (1 ov) Y4 Tietotekniikan peruskurssi 3 op ( 2 ov) Kieli- ja viestintäopinnot (Tieteellinen kirjoittaminen) 3 op (2 ov) Suullinen viestintä 2 op (1 ov) Ruotsin kielen kirjallinen ja suullinen viestintä 3 op (2 ov) Vieraan kielen taito 3 op (2 ov) (Ks. kielikeskuksen opinto-opas, informaatiotieteiden tiedekunnan kieliopinnot.) Matematiikan opintojaksot Perusopinnot MATEA15A LOGIIKKA 1A 2 op (1.5 ov) LOGIC 1A Tavoitteet: Perehtyä logiikan peruskäsitteisiin. Sisältö: Lause- ja predikaattilogiikan peruskäsitteitä. Ajankohta: 1. vuosi slk. Luento-opetusta 12 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) 6 1. Merikoski, Virtanen, Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan. WSOY luku 1 2. Rosen: Discrete Mathematics and its Applications. Vastuuhenkilö: Matematiikan professori. MATEP0 DISKREETTI MATEMATIIKKA 6 op (3.5 ov) DISCRETE MATHEMATICS Tavoitteet: Perehtyä alan peruskäsitteisiin ja -menetelmiin kiinnittäen erityistä huomiota matematiikan ja tietojenkäsittelyopin myöhemmän opiskelun vaatimuksiin. Sisältö: Joukot ja funktiot, relaatiot, induktio, rekursio, kombinatoriikkaa. Ajankohta: 1. vuosi slk. Luento-opetusta 40 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Merikoski, Virtanen, Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan. WSOY Rosen: Discrete Mathematics and its Applications. Edeltävät opinnot: A15A Logiikka 1A. Vastuuhenkilö: Matematiikan professori. 69

10 Perustutkinnot MATEP9 MUODOLLISET KIELET 1 op (1.0 ov) FORMAL LANGUAGES Tavoitteet: Perehtyä muodollisten kielten teorian perusteisiin. Sisältö: Säännölliset lausekkeet ja säännölliset kielet, automaatit, muodolliset kieliopit. Ajankohta: 1. vuosi slk. Luento-opetusta 6 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) 6 Vaadittavat opintosuoritukset: Kirjalliset harjoitukset tai loppukoe. 1. Merikoski, Virtanen, Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan. WSOY luku 8 Vastuuhenkilö: Matematiikan professori. MATEP2A LINEAARIALGEBRA 1A 4 op (2.0 ov) LINEAR ALGEBRA 1A Sisältö: Matriisit ja niiden laskutoimitukset, lineaariset yhtälöryhmät, vektoriavaruudet ja ominaisarvoprobleema. Ajankohta: 1. vuosi klk. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Merikoski, Väänänen, Laurinolli, Sankilampi: Matematiikan taito 15 Lineaarialgebra. WSOY Vastuuhenkilö: Matematiikan lehtori. MATEP2B LINEAARIALGEBRA 1B 4 op (3.0 ov) LINEAR ALGEBRA 1B Sisältö: Determinantti, diagonalisointi, lineaarikuvaukset, neliömuodot. Ajankohta: 1. vuosi klk. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Edwards, Penney: Elementary Linear Algebra. 2. Nicholson: Elementary Linear Algebra. 70 Edeltävät opinnot: P2A Lineaarialgebra 1A. Vastuuhenkilö: Matematiikan lehtori. MATEP3 ANALYYSI 1 (5.0 ov) ANALYSIS 1 Tavoitteet: Analyysin kurssien 1, 2 ja 3 päätarkoituksena on tutustuttaa opiskelija reaalija vektorifunktioiden teoriaan sekä analyysin sovelluksissa tarvittavaan laskutekniikkaan. Sisältö: Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, ns. tavalliset alkeisfunktiot, differentiaalilaskentaa, integraalilaskentaa, lukujonoista, sarjateorian alkeet, potenssisarjoista. Ajankohta: 1. vuosi slk. Luento-opetusta 56 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Salas, Hille, Etgen: Calculus: One and Several Variables. 2. Apostol: Calculus vol. I. 3. Strang: Calculus. 4. Frennemo, Löfström, Obiasson: Elementär analys i flera dimensioner. Edeltävät opinnot: Lukion pitkä matematiikka. Vastuuhenkilö: Matematiikan lehtori. MATEP4 ANALYYSI 2 (5.0 ov) ANALYSIS 2 Tavoitteet: Analyysin kurssien 1, 2 ja 3 päätarkoituksena on tutustuttaa opiskelija reaalija vektorifunktioiden teoriaan sekä analyysin sovelluksissa tarvittavaan laskutekniikkaan. Sisältö: Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, ns. tavalliset alkeisfunktiot, differentiaalilaskentaa, integraalilaskentaa, lukujonoista, sarjateorian alkeet, potenssisarjoista. Ajankohta: 1. vuosi klk. Luento-opetusta 56 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Salas, Hille, Etgen: Calculus: One and Several Variables. 2. Apostol: Calculus vol. I. 3. Strang: Calculus.

11 4. Frennemo, Löfström, Obiasson: Elementär analys i flera dimensioner. Edeltävät opinnot: P3 Analyysi 1. Vastuuhenkilö: Matematiikan lehtori. MATEY8 ANALYYSIN ALKEISKURSSI (4.0 ov) PRELIMINARY COURSE IN ANALYSIS Yleiskuvaus: Opintojakson voi sisällyttää matematiikan tavalliseen sivuaineapprobaturiin ja didaktisen matematiikan approbaturiin. Sisältö: Lukion pitkän matematiikan analyysin kurssien keskeisiä kohtia. Yhden muuttujan funktion differentiaali- ja integraalilaskentaa. Sovelluksia geometriaan, fysiikkaan ja taloustieteisiin. Luento-opetusta 40 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) 20 Opintojakson suorittamisesta: Opintojaksoa ei suositella niille pääaineopiskelijoille, joilla on kunnolliset pohjatiedot lukiosta. Aineopinnot MATEA1 ANALYYSI 3 (5.0 ov) ANALYSIS 3 Tavoitteet: Analyysin kurssien 1, 2 ja 3 päätarkoituksena on tutustuttaa opiskelija reaalija vektorifunktioiden teoriaan sekä analyysin sovelluksissa tarvittavaan laskutekniikkaan. Sisältö: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa. Ajankohta: 2. vuosi slk. Luento-opetusta 56 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Salas, Hille, Etgen: Calculus: One and Several Variables. 2. Apostol: Calculus vol. I. 3. Strang: Calculus. 4. Frennemo, Löfström, Obiasson: Elementär analys i flera dimensioner. Edeltävät opinnot: P4 Analyysi 2, P2A Lineaarialgebra 1A, P2B Lineaarialgebra 1B. MATEA7A ALGEBRA 1 5 op (3.0 ov) ALGEBRA 1 Sisältö: Lukuteoriaa, ryhmäteoriaa, renkaat ja kunnat. Ajankohta: vuosi. Luento-opetusta 32 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Malik, Mordeson, Sen: Fundamentals of Abstract Algebra. 2. Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications. 3. Metsänkylä, Näätänen: Algebra. Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka, P2A Lineaarialgebra 1A. MATEA34 ANALYYSIN TEORIA A 4 op (2.0 ov) THEORY OF ANALYSIS A Sisältö: Reaaliluvut, lukujonon raja-arvo, monotonisen jonon suppenemislause, sisäkkäisten välien lause, Bolzanon-Weierstrassin lau- 71

12 Perustutkinnot se, funktion raja-arvo ja jatkuvuus, jatkuvien funktioiden kolme peruslausetta. Ajankohta: 2. tai 3. vuosi klk. Luento-opetusta 24 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Merikoski, Halmetoja, Tossavainen: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan. WSOY Edeltävät opinnot: P3 Analyysi 1. MATEA4A LINEAARIALGEBRA 2A 4 op (2.0 ov) LINEAR ALGEBRA 2A Sisältö: Yleiset vektoriavaruudet, lineaarikuvaukset ja näiden matriisiesitykset. Ajankohta: 2. vuosi slk. Luento-opetusta 24 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Friedberg, Insel, Spence: Linear Algebra. Edeltävät opinnot: P2A Lineaarialgebra 1A ja P2B Lineaarialgebra 1B. MATEA15B LOGIIKKA 1B 3 op (1.5 ov) LOGIC 1B Tavoitteet: Antaa yhdessä opintojaksojen Logiikka 1A ja P0 Diskreetti matematiikka (vastaavat yhdessä vanhojen vaatimusten opintojaksoa P1 Diskreetti matematiikka 1) kanssa tarvittavat valmiudet matematiikan aineopintojen logiikan opintojaksoille. Sisältö: Lause- ja predikaattilogiikkaa. Ajankohta: vuosi slk. Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) 20 Vaadittavat opintosuoritukset: Kirjalliset harjoitukset sekä loppukuulustelu. 1. Rantala, Virtanen: Logiikan peruskurssi Merikoski, Virtanen, Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan. WSOY soveltuvin osin 3. Suppes: Introduction to Logic. 72 Edeltävät opinnot: Vanhojen tutkintovaatimusten P1 Diskreetti matematiikka 1 tai uusien Logiikka 1A ja opintojakson P0 Diskreetti matematiikka seuraaminen. MATEA12 KANDIDAATTISEMINAARI 0 op (0.0 ov) BACHELOR S THESIS SEMINAR Tavoitteet: Antaa perusvalmiuksia matematiikan kirjalliseen esittämiseen sekä kandidaatintutkielman tekemiseen. Sisältö: Kandidaattiseminaarissa laaditaan kandidaatintutkielma. Kandidaattiseminaari sisältää myös LaTeX-kurssin. LaTeX on lähinnä matemaattiseen tekstinkäsittelyyn tarkoitettu tietokoneohjelma. Ajankohta: 3. vuosi slk. Luento-opetusta 14 Yksilö-opetusta (esim. graduohjausta) 6 Harjoituksia ja kandidaatintutkielman ohjausta. Vaadittavat opintosuoritukset: 1) LaTeXkurssi (läsnäolopakko ja lyhyt työnäyte), 2) kandidaatintutkielma tai harjoitusaine, 3) kirjoituskoe eli kypsyysnäyte (kandidaatintutkielman kirjoittaneille), 4) osallistuminen opetukseen ts. läsnäolopakko. Kandidaattiseminaari katsotaan osasuoritukseksi kandidaatintutkielmassa. Siksi kandidaattiseminaarista ei anneta erikseen opintoviikkoja. Edeltävät opinnot: Kandidaattiseminaariin osallistumisen edellytyksenä on lähes kaikkien pakollisten matematiikan perus- ja aineopintojen suoritus. MATEA3 KANDIDAATINTUTKIELMA (MATEMATIIKKA) 10 op (5.0 ov) BACHELOR S THESIS Tavoitteet: Antaa opiskelijalle valmiutta matemaattisen tiedon hallintaan ja kirjalliseen esittämiseen. Sisältö: Jokin täsmällisesti rajattu matemaattinen aihe. Ajankohta: 3. vuosi Vaadittavat opintosuoritukset: Osallistuminen kandidaattiseminaariin, tutkielma ja kypsyysnäyte. Arviointiasteikko: suoritusmerkintä (hyväksytty) Edeltävät opinnot: Lähes kaikki matematiikan perus- ja aineopinnot.

13 Seuraavia opintojaksoja ei luennoida säännöllisesti joka vuosi. MATEA32 GEOMETRIA ( ov) GEOMETRY 1 Tavoitteet: Kerrata ja täydentää lukion geometrian oppimäärää. Kehittää geometristen ongelmien ratkaisukykyä, avaruudellista hahmotuskykyä ja piirtotekniikkaa. Sisältö: Keskitytään kolmiulotteisen avaruuden käyriin, pintoihin ja kappaleisiin liittyviin geometrisiin ongelmiin, ja paneudutaan erityisesti niiden avaruudelliseen hahmottamiseen yhtälöiden ratkaisemisen jäädessä vähemmälle. Kurssilla piirretään käsin. Opintojakso koostuu luennoista, viikkoharjoituksista ja harjoitustöistä. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. Vaadittavat opintosuoritukset: Kurssin voi suorittaa kahdella tavalla: 1) olemalla aktiivisesti harjoituksissa läsnä ja tekemällä harjoitustyöt hyväksytysti tai 2) tenttimällä kurssi yleisenä tenttipäivänä. 1. Rosenberg: Geometria. Limes ry Pimiä: Projektio-oppi. Otava Tammi: Deskriptiivinen geometria. Kirjayhtymä Edeltävät opinnot: Lukion pitkä matematiikka. MATEY7 MATEMAATTISET OHJELMISTOT 1-4 op ( ov) MATHEMATICAL SOFTWARE Tavoitteet: Tutustuttaa erilaisten valmisohjelmistojen käyttöön ja kehittää valmiuksia ratkaista matematiikan eri alueisiin liittyviä tehtäviä tietokonetta ja ohjelmistoja käyttäen. Vaadittavat opintosuoritukset: Osallistuminen ohjattuun opetukseen ja harjoitustyöt. 1. Marcus: Matrices and Matlab. Edeltävät opinnot: Analyysin ja lineaarialgebran perusteiden tuntemus, tietokoneen käytön perusvalmiudet. MATEA6 DIFFERENTIAALI- JA DIFFERENSSIYHTÄLÖT 4 - ( ov) DIFFERENTIAL AND DIFFERENCE EQUATIONS Sisältö: Differentiaaliyhtälön käsite ja perusominaisuuksia, eräiden 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen, lineaariset differentiaaliyhtälöt, 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden yleistä teoriaa, differenssilaskentaa, lineaariset, differenssiyhtälöt. Ajankohta: vuosi. Opintojakso koostuu luennoista ja viikkoharjoituksista. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Andrews: Ordinary Differential Equations. 2. Spiegel: Finite Differences and Difference Equations. Edeltävät opinnot: P3 Analyysi 1, P4 Analyysi 2, P2A Lineaarialgebra 1A, P2B Lineaarialgebra 1B. MATEA16 LOGIIKKA ( ov) LOGIC 2 Sisältö: Totuusfunktiot, mallit ja Tarskin totuusmääritelmä, semanttiset puut, luonnollinen päättely, predikaattilogiikan täydellisyyslause. Ajankohta: vuosi. Opintojakso koostuu luennoista ja viikkoharjoituksista. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Ebbinghaus, Flum, Thomas: Mathematical Logic. 2. Salminen, Väänänen: Johdatus logiikkaan. Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka, A15A Logiikka 1A, A15B Logiikka 1B. MATEA20 JOHDATUS MODAALILOGIIKKAAN 5 - ( ov) INTRODUCTION TO MODAL LOGIC Sisältö: Lyhyt lauselogiikan kertaus, relaatioista, induktio kaavan pituuden suhteen, todistusteoriaa, modaalista lauselogiikkaa, Kripke-semantiikkaa, täydellisyystuloksia. Ajankohta: vuosi. 73

14 Perustutkinnot Opintojakso koostuu luennoista ja viikkoharjoituksista. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Rantala, Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan. Gaudeamus Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka, A15A Logiikka 1A, A15B Logiikka 1B. MATEA33 JOHDATUS ÄÄRELLISTEN MALLIEN TEORIAAN 4 - ( ov) INTRODUCTION TO FINITE MODEL THEORY Sisältö: Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli ja helmipeli, ensimmäisen kertaluvun logiikka FO, äärellisen monen muuttujan logiikka, FO: n ja FV:n pelikarakterisoinnit, määrittelemättömyystuloksia monadinen toisen kertaluvun logiikka ja Büchin lause. Ajankohta: vuosi. 1. Ebbinghaus, Flum: Finite Model Theory. 2. Libkin: Elements of Finite Model Theory. Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka, A16 Logiikka 2. Syventävät opinnot MATES1B ANALYYSIN TEORIA B 6 op (3.0 ov) THEORY OF ANALYSIS B Sisältö: Cauchyn yleinen suppenemisehto. Lukujonon raja-arvo ylhäältä ja alhaalta. Funktiojonon ja sarjan tasainen suppeneminen. Potenssisarjat: Abelin lause, potenssisarjan derivointi termeittäin. Differentiaalilaskennan teoriaa. Alkeisfunktioiden määritelmät. Funktion tasainen jatkuvuus. Suljetulla välillä jatkuvan funktion tasaista jatkuvuutta koskeva lause. Tämän lauseen merkitys todistettaessa, että jatkuva funktio on Riemann-integroituva. Integraalilaskennan teoriaa. Ajankohta: 2. tai 3. vuosi klk. Luento-opetusta 32 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Browder: Mathematical Analysis: An Introduction. 2. Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta I-II. 3. Rudin: Principles of Mathmatical Analysis. Edeltävät opinnot: P3 Analyysi 1, P4 Analyysi 2, A1 Analyysi 3, S1A Analyysin teoria A. MATES42 LINEAARIALGEBRA 2B 4 op (3.0 ov) LINEAR ALGEBRA 2B Sisältö: Yleiset sisätulo- ja normiavaruudet, lineaarikuvauksen ominaisarvoprobleema, sovelluksia. Ajankohta: 2. vuosi slk. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Friedberg, Insel, Spence: Linear Algebra. Edeltävät opinnot: A4A Lineaarialgebra 2A. 74

15 MATES2 SEMINAARI (MATEMATIIKKA) 5-10 op (2.0 ov) SEMINAR Tavoitteet: Antaa opiskelijalle valmiutta matematiikan esittämiseen sekä tutkielman tekemiseen. Sisältö: Jokin keskeinen alue matematiikassa. Ajankohta: 4. vuosi. Suullisia ja kirjallisia harjoituksia, seminaarityöskentelyä. Vaadittavat opintosuoritukset: Aktiivinen osallistuminen seminaarityöskentelyyn sekä kirjallisia töitä. Arviointiasteikko: suoritusmerkintä (hyväksytty) Edeltävät opinnot: A12 Kandidaattiseminaari. MATES3 TUTKIELMA (MATEMATIIKKA) op ( ov) MASTER S THESIS Tavoitteet: Antaa valmius matemaattisen tiedon itsenäiseen hallintaan ja kirjalliseen esittämiseen. Sisältö: Jokin täsmällisesti rajattu matemaattinen aihe. Ajankohta: vuosi. Vaadittavat opintosuoritukset: Tutkielma ja kypsyysnäyte. Arviointiasteikko: approbatur - laudatur Edeltävät opinnot: Seminaari ja lähes kaikki muut matematiikan syventävät opinnot. Vastuuhenkilö: Matematiikan professori. Seuraavia opintojaksoja ei luennoida säännöllisesti joka vuosi: Näillä opintojaksoilla vaadittavista edeltävistä opinnoista ilmoitetaan kurssi-ilmoituksen yhteydessä. Myös muita kuin tässä mainittuja erikoiskursseja voidaan järjestää; niistä ilmoitetaan ilmoitustaululla. MATES5 FUNKTIONAALIANALYYSI 5-10 op ( ov) FUNCTIONAL ANALYSIS Sisältö: Ääretönulotteista lineaarialgebraa, kompaktit, operaattorit, spektraaliteoriaa. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. DeVito: Functional Analysis and Linear Operator Theory. MATES6B GEOMETRIA 2 (4.0 ov) GEOMETRY 2 Sisältö: Geometrian historiaa, analyyttista geometriaa, aksiomaattista geometriaa. Ajankohta: vuosi. Luento-opetusta 40 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Ryan: Euclidean and non-euclidean geometry: an analytic approach. 2. Nevanlinna: Geometrian perusteet. WSOY Rosenberg: Geometria. Limes ry Edeltävät opinnot: A7A Algebra 1, P2A Lineaarialgebra 1A, P2B Lineaarialgebra 1B. MATES7A LINEAARIALGEBRA 3A 4 op (2.0 ov) LINEAR ALGEBRA 3A Sisältö: Schurin kolmiointilause. Hamiltonin- Cayleyn lause. Jordanin perusmuoto. Variaatioperiaatteet. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) 12 75

16 Perustutkinnot 1. Horn, Johnson: Matrix Analysis. Cambridge Univ. Pr luvut 2-4 Edeltävät opinnot: A4A Lineaarialgebra 2A, A4B Lineaarialgebra 2B. MATES7B LINEAARIALGEBRA 3B 6 op (3.0 ov) LINEAR ALGEBRA 3B Sisältö: Normit. Singulaariarvot. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Horn, Johnson: Matrix Analysis. Cambridge Univ. Pr luvut 5 ja 7 Edeltävät opinnot: S7A Lineaarialgebra 3A. MATES8A KOMPLEKSIANALYYSI A 4 op (2.0 ov) COMPLEX ANALYSIS A Sisältö: Kompleksitason algebraa, geometriaa ja topologiaa. Holomorfiset funktiot. Konformikuvaukset. Monifunktitiot. Kompleksisen integroinnin alkeita. Luento-opetusta 24 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Priestley: Introduction to Complex Analysis. Oxford Univ. Pr luvut 1-10 MATES8B KOMPLEKSIANALYYSI B 6 op (3.0 ov) COMPLEX ANALYSIS B Sisältö: Cauchyn integraalilause. Cauchyn integraalikaava. Taylorin lause. Holomorfisen funktion nollakohdat. Maksimiperiaate ja sen seurauksia. Laurentin lause. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Priestley: Complex Analysis, Second Edition. Oxford Univ. Pr luvut Edeltävät opinnot: S8A Kompleksianalyysi A. MATES9 HILATEORIA 5-10 op ( ov) LATTICE THEORY Sisältö: Osittain järjestetyt joukot, hilat, modulaariset ja distributiiviset hilat, hilojen ideaalit. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Grätzer: General lattice theory. 2. Eronen: Hilateoriaa. MATES10 LUKUTEORIA (4.0 ov) NUMBER THEORY Sisältö: Kongruensseista, primitiiviset juuret ja diskreetti logaritmi, neliönjäännökset, aritmeettiset funktiot. Opintojakso koostuu luennoista ja viikkoharjoituksista. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. 2. Rosen: Elementary Number Theory. Edeltävät opinnot: A7A Algebra 1. MATES16 LASKETTAVUUDEN TEORIA 5-10 op ( ov) COMPUTABILITY THEORY Sisältö: URM-laskettavuus, rekursio ja minimalisaatio, Churchin teesi, universaalifunktio, ratkeavuus ja osittainen ratkeavuus, lukuteorian epätäydellisyys, vaativuusteoriaa. Opetuksen määrä riippuu kurssin laajuudesta. 1. Cutland: Computability. An introduction to recursive function theory. Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka. 76

17 MATES17 JOUKKO-OPPI 10 op (5.0 ov) SET THEORY Sisältö: Joukko-opin aksioomat ja kumulatiivinen hierarkia, luonnolliset luvut, kardinaaliluvut, ordinaaliluvut, transfiniittinen rekursio. Luento-opetusta 52 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Enderton: Elements of Set Theory. Academic Press Edeltävät opinnot: P0 Diskreetti matematiikka, A15A Logiikka 1A. MATES39 ALGEBRA 2 5 op (3.0 ov) ALGEBRA 2 Sisältö: Ryhmäteoriaa, polynomirenkaat, tekijästruktuurit. Luento-opetusta 28 Pienryhmäopetusta (esim. harjoituksia) Malik, Mordeson, Sen: Fundamentals of Abstract Algebra. Edeltävät opinnot: A7A Algebra 1. Suositeltavia Tampereen teknillisessä yliopistossa järjestettäviä täydentäviä erikoiskursseja Ks. tarkemmin MAT Numeerinen analyysi 1 Numerical Analysis 1 (5 op) MAT Matemaattinen optimointiteoria 1 Optimization Theory 1 (5 op) MAT Operaatiotutkimus Operation Research (3 op) MAT Automaattiteoria Theory of Automata (5 op) MAT Formaalit kielet Formal Languages (6 op) MAT Informaatioteoria Information Theory (4 op) MAT Johdatusta geometrisiin algebroihin ja niiden sovellutuksiin (5 op) MAT Koodausteoria Coding Theory (5 op) MAT Matemaattinen kryptologia Mathematical Cryptology (6 op) MAT Matemaattinen logiikka Mathematical Logic (7 op) MAT Matemaattinen optimointiteoria 2 Optimization Theory 2 (4 op) MAT Soft Computing Soft Computing (4 op) MAT Sovellettu logiikka Applied Logic (5 op) MAT Symbolinen laskenta Symbolic Calculation (7 op) 77