OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA"

Transkriptio

1 1 OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

2 2 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA 1.1. Ongelmanratkaisun tärkeys eri näkökulmista Koulussa käsiteltävä matemaattinen tieto on suurimmaksi osaksi satoja, jopa tuhansia vuosia vanhaa. Se on oppikirjoissa ja opetuksessa yleensä valmiiksi siloiteltua ja esitetään lähes yksinomaan matemaattisin symbolein. Tämän vuoksi monet eivät tiedä, että kaikki tämä tieto on syntynyt ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Ehkäpä sinulle ei koskaan ole edes esitelty tällaisia ongelmanratkaisuprosesseja, saati että sinulla olisi niistä omakohtaisia kokemuksia. Ehkäpä juuri tämän vuoksi sinulla on voinut olla vaikeuksia ymmärtää suurta määrää matemaattisia käsitteitä ja malleja ja osata soveltaa niitä. Ongelmanratkaisutaitoa tarvitset kuitenkin jokapäiväisessä elämässä ja erityisesti työssäsi. Kaikkein tärkeintä on ymmärtää ongelmanratkaisun merkitys uuden tiedon hankkimisessa ja omaksumisessa - siis oppimisessa! Uuden tiedon opit nimittäin luontevimmin ja pysyvimmin ongelmanratkaisun kautta. Ongelmalla tarkoitetaan tilannetta, joka aiheuttaa sinussa - ristiriitaisia tunteita tilanteen vaatimusten ja ajatusmalliesi välillä - päämäärähakuista ajattelutoimintaa, jolla pyrit ratkaisuun. Ongelmatilanteessa joudut siis pyrkimään ratkaisuun ilman, että ainakaan välittömästi näet ratkaisukeinoja. Sinun olisi syytä oppia - suhtautumaan rauhallisesti ongelmatilanteeseen - käynnistämään mahdollisimman aktiivinen ajattelutoiminta, jopa tietynlainen positiivinen aggressiivisuus ratkaisun etsimiseksi - joustavuutta muuttaa tätä toimintaa, ellei se näytä johtavan ratkaisuun - sitkeyttä ajattelutoiminnan ylläpitämiseksi - kommunikointi- ja yhteistyökykyä toisten kanssa - kykyä hankkia tietoa tai apua oikeasta paikasta Erityisesti työelämässä kaikki nämä valmiudet tulevat

3 yhä tärkeimmiksi, mutta niitä olisi arvokasta pyrkiä kehittämään myös muun arkielämän ongelmia varten. Matematiikka tarjoaa luontevia ja monipuolisia tilanteita ongelmanratkaisu-taitojen kehittämiseksi. Koulumatematiikan tiedot olisi voitu oppia ongelmanratkaisuprosessien kautta, ellei niitä olisi pyritty "syöttämään" oppikirjoihin ripoteltuina sirpaletietoina. Nyt ammattikoulussa ei kuitenkaan ole mahdollista käydä läpi kaikkia peruskoulun matematiikan asioita uudella tavalla, joten keskitymme tässä kirjassa ammattisi kannalta kaikkein tärkeimpiin matemaattisiin tietoihin ja taitoihin. Kirjan osassa 2 käsittelemme ammattisi tärkeimpiä ongelmia. Näitä ratkaistessasi sinulla on samalla mahdollisuus opetella käyttämään ja etsimään erilaista matemaattista tietoa, jota on koottu kirjan osaan Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet Kun ratkaiset ongelmaa, saatat joutua tilanteeseen, jossa loogisesti hyvänä ja oikeana pitämäsi päättely tai ratkaisu näyttää johtavan umpikujaan. Tällöin sinulta vaaditaan sekä joustavuutta että sitkeyttä. Ei ole aina helppoa sanoa itselleen: kokeile jotain aivan muuta! On vaikeaa samanaikaisesti sekä ajatella että kontrolloida ja muuttaa omaa ajattelemistaan. Siksi esimerkiksi joukkuepeleissä valmentajan rooli on keskeinen. Kun puhumme ongelman ratkaisusta (huomaa erikseen kirjoitettuna!), tarkoitamme jonkin yksittäisen ongelman löydettyä ratkaisua. Kun taas puhumme ongelmanratkaisusta, tarkoitamme aina koko ongelmanratkaisuprosessia, johon kuuluvat seuraavan aukeaman kaavioissa esitetyt vaiheet! Vasemmanpuoleisella sivulla olevat ohjeet pätevät mille tahansa ongelmalle ja oikeanpuoleisella sivulla näitä ohjeita on sovellettu tyypillisessä ongelmatilanteessa. Sivulla 6 olevan ongelman ratkaiseminen auttanee sinua ymmärtämään ja kokemaan joustavuuden ja sitkeyden merkityksen ongelmatilanteessa. Mutta ennen kuin lähdet ratkaisemaan ongelmaa, menettele seuraavasti: 1. Yritä ratkaista itsenäisesti tämä ongelma. 2. Jos et ole onnistunut minuutissa, niin keskeytä työskentelysi. 3. Keskustele oppilastoveriesi ja opettajasi kanssa ja erittele avoimesti ja rehellisesti kaikkia niitä tuntemuksiasi, joita koit epäonnistuessasi ratkaisemisessa. 4. Yritä ilmaista sanallisesti se yleinen periaate tai strategia, jolla olet yrittänyt ratkaista ongelmaa. Toteat ehkä, että olet käyttänyt koko ajan samaa startegiaa! 4. Kun olet keskustellut asiasta tarpeeksi kauan, yritä ongelman ratkaisemista täysin uudella strategialla. Kirjoita tällaisia täysin erilaisia ratkaisuperiaatteita ensin omin sanoin paperille. Sovella niitä sitten yksityiskohtaisemmin! 5. Jos et vieläkään onnistu, niin palaa kohtaan 2 ja jatka samalla tavoin. Yritä ratkaisemista noin 1-2 tunnin ajan. Jos ongelma ei ratkea, niin jätä se hautumaan ja palaa siihen joskus toiste. Älä utele valmista ratkaisua! 3

4 4 ONGELMANRATKAISUPROSESSIN VAIHEET Ongelman analyysi tiedosta ongelmatilanne! ymmärrätkö ongelman? onko ongelma oikeutettu? täsmennä ongelma! analysoi ongelman osat! erota osaongelmiksi! ideoi ratkaisumalleja! tee malli! kokeile! muuntele ehtoja! poista osia! lisää osia! tutut osat? ota erikoistapaus? yhtäläisyyksiä? Ongelman ratkaiseminen toteuta ratkaisuideasi! ratkaise osaongelmat! esitä ratkaisusi! täsmennä ideasi! suorita rutiinit! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö kokeile ja tarkista! onko muita ratkaisuja? ratkaisitko koko ongelman? opitko jotain uutta? missä voisit hyödyntää? tarkista! perustele! tee koe! vertaile tuttuun! mitä seurauksia? onko uusia ongelmia?

5 5 ONGELMANRATKAISUESIMERKKI ONGELMA: Kaksi neliötä sijaitsevat siten, että toisen kärki on toisen keskipisteessä. Kuinka suuren yhteisen pinta-alan ne rajoittavat? Ongelman analyysi Ongelman ratkaiseminen Teen pahvimallin, pyörittelen ja kokeilen. Ymmärrän ongelman: Huomaan erikoistapaukset: lmeisesti kysytty ala on aina A/4. Miten perustelisin? Millainen kuvio muuttuu pyöritettäessä?täsmennys? Kolmiot ovat yhtenevät! Kolmioissa on suora kulma ja sama terävä kulma (kiertokulma) sekä näiden välinen yhtäpitkä sivu (neliön sivun puolikas). Kolmiot ovat siis yhtenevät lauseen "ksk" nojalla (ks. kirjasta luku "yhtenevyys"!) Voisinko perustella asian muuten? Päteekö tulos kaikkiin neliöihin? Entä muihin säännöllisiin kuvioihin? Entä voinko yleistää sen esimerkiksi kuutioiden tilavuuksiin? teen mallin! kokeilen! muuntelen ehtoja! poistan osia! lisään osia! erotan tutut osat! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö erikoistapaus! yhtäläisyyksiä? täsmennän ideani! suoritan rutiinit! tarkistan! perustelen! testaan! vertailen tuttuun! mietin seurauksia! mietin uusia ongelmia!

6 6 ONGELMA 1. Andy, Bill, Carl ja David ovat samassa päässä pimeää, kapeaa ja äärimmäisen vaarallista tunnelia. Heidän tulee päästä tunnelin toiseen päähän turvallisesti. He tietävät, että tunneliin mahtuu samanaikaisesti vain kaksi henkilöä ja että matkalla tarvitaan ehdottomasti koko ajan taskulamppu. Andy kulkee tunnelin läpi 5 :ssä, Bill 4:ssä, Carl 2 :ssa ja David 1 minuutissa. Miten heidän on meneteltävä, kun taskulampussa riittää virtaa korkeintaan 12 minuutiksi? Harjoitusongelmia Ongelma 2. Ajat tietyn matkan keskinopeudella 50 km/h. Millaista nopeutta sinun olisi ajettava takaisin, jotta keskinopeutesi olisi koko edestakaisella matkalla 100 km/h? (Vihje: tarkastele ensin erikoistapausta valitsemalla mahdollisimman sopiva matka). Ongelma 3. Miten saat roskan pois "rikkalapiosta" (roskaa siirtämättä) vain kahta tikkua siirtämällä. Ongelma 4. Monellako eri tavalla voit jakaa neliön kahteen yhtäsuureen osaan? (Opastus: älä uraudu ajattelemaan vain yhdellä tavalla!) Ongelma 5. Pöydässä on kahdeksan henkilöä, jotka kilistävät lasejaan pareittain siten, että jokainen kilistää kerran jokaisen muun kanssa. Montako kilahdusta pöydän äärestä kuuluu? (Vihje: yksinkertaista ensin ongelmaa ratkaisemalla ongelma yhden, kahden, kolmen jne. tapauksessa. Voit piirtää oheisen tapaisen kuvan ja ratkaista ongelman myös piirtämällä). Ongelma 6. Suorakulmion muotoisessa erittäin arvokkaassa taidelasissa oli sodan jäljiltä kymmenen luodinreikää. Lasiseppä halusi tehdä samasta lasista samoihin raameihin mosaiikkilasin siten, että hän leikkasi särkyneen lasin kolmioiksi seuraavasti: hän käytti reikiä sekä lasin nurkkia kolmioiden kärkinä, mutta ei lisännyt muita kärkipisteitä. Montako kolmiota syntyi? (Vihje: Tutki ensin erikoistapauksia, joissa reikien määrä on yksi, kaksi, kolme jne. Taulukoi ja keksi sääntö! Miten tulos voitaisin päätellä kolmion kulmien summaa määräävästä lauseesta?

7 7 Ongelma 7. Miten irjoitetaan numerot 1, 2, 3,..., 9 alla olevaan taikaneliöön ("magi square") siten, että kaikki kolme vaakasummaa, kolme pystysummaa ja kaksi vinosummaa ovat yhtä suuret? Sama numero voi esiintyä vain kerran. Ongelma 8. Alla oleva kuvio esittää pöytien sijaintia ravintolasalissa. Montako erilaista lyhintä reittiä tarjoilija voi kulkea lähtöpisteestä L pisteisiin A, S, K, U jne. Kuvassa oleva merkki $ ilmoittaa paitsi lyhimpien reittien määrän tähän kohtaan, niin myös asiakkaan laskun suuruuden dollareina. Kuinka suuri tämä lasku on? Entä vastaavasti punnilla ( ) maksavilla asiakkailla? Mikä asiakkaan toivomus kätkeytyy tehtävään?! L A A A A A A S K U H E A A A U H K T T E I T Ä T Ä M P O A E P O $

8 Esimerkkejä arkielämän ongelmatilanteista. Pohdi ainakin yhtä seuraavista kolmesta arkielämän ongelmista. ONGELMA 9. Tarvitset kesämökille puutarhakaluston. Miten menettelet? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. OSAONGELMA millainen on käyttötarkoitus? millainen rakenteen on oltava? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitset? millaisen kaluston haluat? onko kalusto ostettavissa? kannattaako kalusto ostaa? teetätkö kaluston vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko tehdä sen itse? teetkö sen osaksi itse? minkä materiaalin valitset? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työ osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisi t koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Olenko huomioinut kaikki olennaiset tekijät? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voinko hyödyntää samoja menettelytapoja muissa käytännön tilanteissa?

9 9 ONGELMA 10. Tarvitset henkilöauton peräkärryyn katteen. Miten menettelet? OSAONGELMA millainen käyttötarkoitus on? millainen rakenteen on oltava? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitaan? millaisen katteen haluat? onko kate ostettavissa? kannattaako kate ostaa? teetetäätkö se vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko valmistaa sen itse? valmistatko sen osaksi itse? mistä materiaalista valmistat sen? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työn osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisit koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Onko kaikki olennaiset tekijät otettu huomioon? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voidaanko samoja menettelytapoja hyödyntää muissakin käytännön tilanteissa?

10 10 ONGELMA 11. Oletetaan, että rakennat omakotitalon. Millaisen kattorakenteen ja -materiaalin valitset? Ongelman analyysi: Pohdi mm. seuraavia osaongelmia. OSAONGELMA onko rakennuskaavamääräyksiä? omat toivomuksesi ja mieltymyksesi maaston ja ympäristön vaatimukset millainen on talon muoto ja rakenne? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset kattorakennelmat ovat? millaisen materiaalin valitset? ostatko katon valmiiksi asennettuna? ostatko materiaalin ja teet itse työn? miten lasket materiaalikulut? miten lasket työn osuuden? mikä on pintakäsittelyn osuus? kenellä teetät työn vai teetkö itse? millaisia työvälineitä tarvitaan? millaista ammattitaitoa tarvitaan? mitä muuta on otettava huomioon? Ratkaisuidea: Esitä suurpiirteinen kaavio koko ongelman ratkaisemiseksi. Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Millaisiin muihin ongelmatilanteisiin tätä ratkaisuprosessai voi soveltaa? Miten yksiselitteinen ratkaisusi on? Muita kommenttejasi?

11 Harjoitusongelmia 11 Ongelma 12. Aiot hankkia "menopelin". Laadi oppilastoveriesi kanssa luettelo osaongelmista ja suurpiirteittäinen koko ongelman ratkaisumalli, jossa otat huomioon mahdollisimman hyvin kaikki ratkaisuun vaikuttavat osatekijät. Voit vaihtoehtoisesti tarkastella myös stereoiden tai videoiden hankintaa. Ongelma 13. Olet saanut kesätöitä 2 kuukaudeksi ja haluat ostaa mopon. Laadi vanhemmillesi laskelma, jolla perustelet hankinnan kannattavuutta ja vanhempien rahoitusosuutta. Työmatkasi pituus on 15 km ja koulumatkasi pituus 4 km. Ongelma 14. Tennispallot pakataan yleensä tyhjiöpurkkeihin viereisen kuvan osoittamalla tavalla. Ideoi kuvion avulla mahdollisimman monta eri tyyppistä ongelmaa ja muo- toile niitä eri tarkoituksiin! (Vihje: erilaisia näkökohtia on luke- mattomia: pallojen valmistaja, pallojen käyttäjä, valmistuskustan- nukset, optimaalinen muoto, esteettisyys, käytännöllisyys, pallo- purkin jatkokäyttö, jäteongelmat, matemaattiset ongelmat, jne...). Esitä lopuksi perusteltu mielipiteesi siitä, miksi pakkauksessa on yleensä neljä palloa. Ongelma 15. Oletetaan, että 16- vuotias tyttö (tai vastaavasti poika) haluaa laatia seuraavaksi kymmeneksi vuodeksi huolellisen suunnitelman, joka liittyy koulutukseen, (asevelvollisuuteen), työhön sijoittumiseen, kotoa pois muuttamiseen ja perheen perustamiseen. Pohdi edellisen tehtävän tavoin eri osaongelmia ja koko ongelman ratkaisumalleja. Ongelma 16. Hanki vakuutusyhtiöltä taulukko, joka kuvaa liikennevakuutuksen bonusluokan alenemista kolaritapauksessa sekä sen nousemista takaisin ennalleen. Laske ja arvioi, mikä on pienin kolari, joka kannattaa alla mainittujen autojen tapauksessa korjauttaa ns. "kaikenvaravakuutuksella"(kaskolla). Voit ottaa aluksi huomioon vain bonuksen alenemisen, mutta ei maksujen yleisiä korotuksia eikä korkomenoja: a) Isän auto Opel Vetra, jonka perusvuosimaksu on 1930 mk ja bonukset 60 %. b) Oma auto Ford Esort, jossa on uusi vakuutus ja jonka perusvuosimaksu on 1380 mk. korotusten ja korkomeno- Arvioi lopuksi maksujen jen vaikutusta laskelmaasi.

12 12 Ongelma 17. Seuraavassa taulukossa on esitetty erään perheen kuukausitulot ja keskimääräinen verotusprosentti normaaliverotuksen ja marginaaliverotuksen (so. "ylitöiden" ) osalta. Perhe omistaa vanhan asunnon ja juuri rakentamansa omakotitalon, joista heillä on taulukossa esitetyt kuukausimenot. Perheellä on vaikeuksia selvitä menoistaan, jolloin pankki ehdottaa, että perhe hankkisi mk maksavaa yksiön kolmanneksi asunnoksi. Pankki perustelee ehdotustaan sillä, että yksiöstä saisi vuokratuloja 1600 mk/kk. Lisäksi tällöin verottaja katsoisi perheen harjoittavan liiketoimintaa, jolloin kaikki asuntokulut ovat verovähennyskelpoisia. Normaalitapauksessa perhe voi vähentää korkomenoja verotuksessa enintään mk. Laske, paljonko perheelle jää elämiseen ennen, jos he hyväksyvät pankin ehdotuksen tai eivät. Mieti sitten ehdotuksen eettistä puolta. A. Tulot normaalit bruttotulot ennen yksiön hankkimista isä äiti yksiön hankkimisen jälkeen verotus 33% 20% ylimääräiset bruttotulot marginaalivero (mk) 50% 35% käteen jäävä palkka korkovähennys asuntolainoista vähennys ammatin harjoittamisesta vuokratulot Kaikki tulot yhteensä B. Menot vanha asunto uusi talo yksiö lainan määrä ja korko 30000; 11% ; 15% ;16% korkomenot yhtiövastike 400 (elantomenot) 300 yhteensä menot ennen yksiön hankk. menot yks. hankk. jälkeen

13 1.4. Esimerkkejä ongelmista omassa työssä 13 Oman työn tärkeimpiä ongelmia on ryhmitelty ja luokiteltu kirjan osassa 2, joten käsittelemme tässä vain yhden hieman laajemman esimerkin. ONGELMA 15. Koneen tuntiveloitus on 500 mk. Kannattaako yritykseen hankkia siihen markan hintainen robotti lisälaitteeksi, kun se nopeuttaa työtä keskimäärin 1 h/vrk? (*) Ongelman analyysi: Menetelläänkö samoin kuin yleensä auton, asunnon, videon tms. hankkimisessa? Tarvitaanko laitetta? Onko sen hankkimiseen varaa? Minkä tyyppinen ja merkkinen laite hankitaan? Onko kilpailijoilla vastaavaa? Järjestyykö rahoitus? Kannattaako hankinta? Ammattijohdon on perusteltava hankinta tarkoin ylemmälle johdolle, omistajille sekä työntekijöiden luottamusmiehille. Tämä vaatii laskelmia, joilla voi todistaa, että robotin hankkiminen kannattaa. Robotin on maksettava hintansa, siis lisäksi mm. asennuksesta aiheutuvat muutoskulut ja korkotappiot yleensä n. 1-3 vuodessa. Pitempiaikainen käyttö voidaan laskea satunnaiseksi voitoksi. Ratkaisu: Täydennä seuraavan sivun taulukko ja totea, että laskelmien mukaan tuottoa kertyy kahden vuoden aikana n mk. Pohdi sitten vielä ratkaisun tulkintaa ja hyväksikäyttöä: Päälaskelma näyttää siis osoittavan robotin hankkimisen kannattavaksi, mutta kustannuksia arvioitaessa on vielä otettava huomioon, (i) mitkä ovat koekäyttökustannukset? (ii) mikä on tarvittavan lisätilan hinta? (iii) vähentääkö vai lisääkö robotti virheitä? (iv) mitä lisälaitteita on hankittava? (v) kuinka suuret huoltokustannukset ovat? (vi) voidaanko tuotantoa ylläpitää jatkuvasti? (vii) voidaanko vapautuva työntekijöiden aika hyödyntää? Voidaanko laatia kaavake, jonka avulla tällaisten investointien kannattavuus voitaisiin monipuolisesti ja luotettavasti tutkia? Voitaisiinko laatia tietokoneohjelma, jolla säästettäisiin kaavake- ja laskemistyö? (*) Esim. metallialalla kappaleenvaihtorobotti työstökoneessa on yleinen

14 VÄLITTÖMÄT KUSTANNUKSET robotin hinta kuljetin muutostyöt Yhteensä MISTÄ TUOTTO SAADAAN? työn nopeutuminen mk mk mk MK mk vuorokaudessa 2 vuodessa 1 h 300 h robotti vapauttaa työntekijän muihin tehtäviin päivisin: 4 h yövuorossa: 8 h 1200 h 2400 h tuotto työn nopeutumisesta (500 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta päivisin ( 90 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta yövuorosta (100 mk/h) Yhteensä

15 1.5. Tiedon eri esitysmuotojen ymmärtäminen 15 Kolme neljästä 3 34 Kouluopetuksesta ja oppikirjoista saa yleensä sellaisen kuvan, että matematiikka on lähes yksinomaan luvuilla ja symboleilla temppuilua ja että tätä varten tarvittavat säännöt on opeteltava ulkoa. Jos näin tapahtuu, käy matemaattisten tietojen soveltaminen ja käyttäminen ongelmanratkaisussa hyvin vaikeaksi. Matemaattinen tieto voidaan aina esittää (ainakin) kolmessa eri esitysmuodossa: verbaalisessa (V), symbolisessa (S) ja kuvallisessa (K) muodossa. Tiedon ymmärtäminen ja varsinkin soveltaminen yleensä edellyttää, että hallitset kaikki nämä kolme esitysmuotoa. Toisaalta nämä eri esitysmuodot helpottavat tiedon ymmärtämistä. Ottakaamme tyypillinen esimerkki: Tehtävä 1. Ilmoita murtoluku 4/7 sanallisesti niin monella eri tavalla kuin osaat! Sanoit luultavasti neljä seitsemäsosaa tai neljä jaettuna seitsemällä. Molemmat ilmaukset ovat oikeita, mutta katsotaanpa, mitä näistä ilmauksista on hyötyä. Tehtävä 2. Miten lasket 1/7 + 4/7? yhteensä SYMBO- LINEN MUOTO VERBAA- LINEN MUOTO Jos muistat peruskoulussa opetetun laskusäännön, on tehtävä sinulle pelkkää rutiinia. Mutta mitä jos et muistakaan? Kumpikaan edellä mainituista sanallisista ilmauksista ei auta laskutoimitukse ratkaisun keksimisessä. Mikäli osaat murtoluvulle erilaisia verbaalisia (sanallisia) ilmauksia, ei mitään laskusääntöä tarvita. Tarvitsee ainoastaan osata muuntaa tietoa esitysmuodosta toiseen: = yksi kpl 7-sosia neljä kpl 7-osia 5 7 viisi kpl 7-osia

16 16 Tästä laskutoimituksesta selvitään myös kuvan avulla ilman laskusääntöä: Sinun olisi hyvä oppia eri esitysmuotoja ainakin tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä ja apuvälineistä. Tämän kirjan osassa 3 on pyritty tarjoamaan tähän mahdollisuuksia, jotta samalla oppisit soveltamaan näitä tietoja. Katsokaamme vielä esimerkkiä prosenttilaskennasta: Kuinka suuri osa luku 3 on luvusta 4? verbaalisesti kuvallisesti kolme neljäsosaa symbolisesti 3 4 sadasosina prosentteina 75 %

17 1.6. Geometrian taitojen tärkeys 17 Geometria on yksi tärkeimpiä matematiikan osa-alueita. Lähes kaikki koulumatematiikan tiedot ovatkin syntyneet erilaisten geometristen ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Geometria tarjoaakin loistavia mahdollisuuksia opetella erityisesti luokittelemisen, jäsentelemisen, mallintamisen ja päättelyn taitoja. Koska työssä ja muussakin arkielämässä joudutaan jatkuvasti tekemisiin erilaisten kappaleiden ja pintojen arvioimisen, mittaamisen, laskemisen ja piirtämisen kanssa, ovat geometrian perustaidot erityisen tärkeitä. Tässä kirjassa käsitellään geometriaa melko runsaasti myös siksi, että geometriset ongelmat kehittävät erityisen monipuolisesti matemaattisia taitoja. Voit itse vakuuttua tästä tekemällä seuraavan tehtävän: 1. Ratkaise ongelma 1 yksini tai yhdessä oppilastoverisi kanssa. 2. Keskustele sitten oppilastoverisi ja opettajasi kanssa siitä, mitä kaikkia taulukossa # esitettyjä osataitoja mielestäsi tarvitsit ratkaistessasi ongelmaa. Rastita vastaava kohta taulukosta. 3. Kokoa opettajasi kanssa kaikkien oppilaiden rastit samaan taulukkoon esim. piirtoheitinkalvolle. 4. Onko ongelma mielestäsi kehittävä? 5. Ratkaise tämän jälkeen ongelma 2 ja menettele samalla tavoin kuin edellä. Ongelma 1. Kun Kallelta ja Villeltä kysyttiin, monenko neliön läpi lävistäjä kulkee kuviossa A, niin Kalle vastasi neljän ja Ville kuuden. Mitä arvelet heidän vastanneen kuvion B tapauksessa? A B

18 18 Geometrian kehittämät taidot visuaaliset taidot verbaaliset taidot Osien tunnistaminen päättelyketjujen tekeminen piirtämistaidot päättelytaidot tunnistaa kuvio jostakin kokonaisuudesta liittää tilanteeseen oikeat sanalliset ilmaisut hahmottaa tilanne piirtämällä liittää tilanteeseen syyja seuraussuhteita kuvata osat sanallisesti osata piirtää eri tunnusmerkit liittää eri osien välille syyyhteyksiä nähdä yhteydet eri käsitteiden välillä kuvata sanallisesti käsitteiden välisiä yhteyksiä erottaa olennaiset tunnusmerkit piirtää käsitesuhteista kaavio päätellä yhteiset ja erilliset ominaisuudet päätellä havaintoon perustuen päätellä sanallisten ilmaisujen perusteella päätellä piirrosten avulla oppia päätelmien yleiset perusteet Osien analysoiminen käsitteiden järjestäminen päätelmien tekeminen tehdä peräkkäisiä päätelmiä visuaalisesti tehdä peräkkäisiä sanallisten ilmausten päättelyjä tehdä peräkkäisiä päättelyjä kuvien avulla oppia peräkkäisten päättelyiden tekemistä Ongelma 2. Oheisesta kuviosta tiedetään, että kuviot A-H ovat neliöitä. Lisäksi C:n sivun pituus on 8 ja D:n sivun pituus 9. Voiko koko iso kuvio mielestäsi olla neliö? Perustele tarkoin vastauksesi! Pohdi sen jälkeen, mitä yllä olevan taulukon taitoja tämän ongelman ratkaiseminen mielestäsi kehitti. Piirrä pieni ympyrä vastaavaan taulukon kohtaan! F A G I E H B C D

19 1.7. Algoritminen ajattelu sovellustehtävien ratkaisemisessa 19 Työssäsi tulee varsinaisten ongelmatilanteiden lisäksi myös toistuvasti samantyyppisiä rutiinitehtäviä. Tällaisten tehtävien ratkaisukeinot ovat usein algoritmeja. Algoritmilla tarkoitetaan jonoa peräkkäisiä työvaiheita, joiden järjestys ja merkitys on täysin määrätty. Jos taas työvaiheet ovat epämääräisempiä, puhutaan ns. kvasialgoritmista (joka on suurin piirtein sama kuin ns. vuokaavio). Esimerkkinä mainittakoon vaikkapa yhtälön tai epäyhtälön ratkaiseminen, janan puolittaminen, tai jakolaskualgoritmi: jakolaskualgoritmi KYSY KERRO PUDOTA VÄHENNÄ kvasialgoritmi jakolaskun suorittamiseksi Työssä täytyy usein laskea jokin suure tunnetusta kaavasta (esim. neliön sivun laskeminen, kun pinta-ala tunnetaan). Tällaisissa tilanteissa edetään algoritmisesti seuraavalla sivulla olevan kaavion mukaan. Todellinen ongelmatilannne vaatii ennen kaikkea ideointia ja oikeiden strategioiden valintaa, kuten aikaisemmin korostettiin. Tämä toiminta tapahtuu oikeakätisillä lähinnä oikeassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisillä vastaavasti vasemmassa). Kun ongelma on saatu hajoitetuksi osaongelmiksi, ne ratkeavat usein rutiininomaisella algoritmisella ajattelutoiminnalla. Tämä tapahtuu oikeakätisillä lähes kokonaan vasemmassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisellä opäinvastoin). Jos harjoitetaan pelkästään algoritmisia toimintoja (kuten kouluopetuksessa lähinnä tehdään), aktivoituu vain toinen aivopuolisko. Tämä taas heikentää ongelmien ratkaisukyvyn kehittymistä.

20 20 Muokkaa tehtävä sopivaan muotoon Esimerkki: avaruuslävistäjä x y Ei Voiko tuntemattoman löytää jonkin kaavan avulla? Kyllä x b Etsi yhteys annettujen suureiden ja tuntemattoman välille Tarvitaanko vielä apusuureita? Kirjoita sopiva kaava ja järjestä tuntematon yhtälöön Tunnetaanko kaavan toisella puolella olevat suureet? Ei Kyllä Ei Kyllä x = y = a a y + b 2 2 Muodosta yhtälö apusuureiden laskemiseksi tai merkitse ne annetun suureen avulla Esitä ja toteuta ratkaisusuunnitelmasi! x = a +b + Harjoitustehtäviä 2,4 m 1. Kuinka pitkä suora rima mahtuu viereiseen pakettiautoon kokonaan sen sisäpuolelle? (Vihje: ks.yllä olevan kaavion esimerkkiä!) 2. Miten muuttaisit näitä auton mittoja siten, että sisään mahtuisi 4,0 m pitkä rima? 2. Pallon sisään on piirretty lieriö oheisen kuvan mukaisesti. Mikä on lieriön korkeus, kun sen pohjan halkaisija on 40 mm ja pallon säde 100 mm? 4. Mitkä ovat pallon ympäri piirretyn lieriön mitat (kuvassa isompi lieriö)? leveys 2,0 m 40 mm 100 mm 1,8 m

21 1.8. Tietokone ongelmanratkaisun välineenä 21 Jotta tietokonetta voitaisiin käyttää matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, on yleensä ymmärrettävä muuttujan käsite. Se on ohjelmoinnin ja valmiin ohjelman ymmärtämisen perusta. Useissa ammateissa käytetään yhä enemmän prosessiohjattuja koneita, jotka joudutaan ohjelmoimaan. Käyttäjältä edellytetään ainakin sitä, että hän ymmärtää, mitä mikin ohjelma tekee ja että hän lisäksi osaa tehdä joitain pieniä muutoksia näihin ohjelmiin. Olisi suotavaa, että totuttelisit työtäsi varten - tulkitsemaan eri tyyppisten prosessorien (esim. metallialalla polttoleikkaajan) peruskäskyjä ja tekemään niihin muutoksia - ohjelmoimaan sellaisia laitteita, joiden valvomisesta päivittäin vastaat - tulkitsemaan yksinkertaisia BASIC-, PASCAL- tai LOGO-ohjelmia ja tekemään niihin pieniä muutoksia - laatimaan jollakin ohjelmointikielellä yksinkertaisia perusohjelmia, joilla voidaan laskea lausekkeiden arvoja tarpeettoman toistamisen välttämiseksi - ymmärtämään, että yksinkertaisellakin ohjelmalla voidaan ratkaista mutkikkaita matemaattisia ongelmia (esimerkiksi kokeilun avulla tehty optimointi tai ääriarvotarkastelu) Esimerkki 1. Seuraavat ohjelmat laskevat suorakulmaisen särmiön pinta-alan P ja tilavuuden V, kun annetaan särmät A,B ja C. B C BASIC-ohjelma 10 PRINT "Anna särmät" 20 INPUT A,B,C 30 V=A*B*C 40 P=2*A*B+2*B*C+2*A*C 50 PRINT "Ala on: ", P 60 PRINT "Tilavuus on:",v 60 END Esimerkki: LOGO -ohjelma LAATIKKO :A :B :C MAKE "V :A* :B* :C MAKE "P :2* :A* :B+2* :A* :C+2* :B* :C PRINT SE [Ala on], :P PRINT SE [Tilavuus on:], :V END Esimerkki: A RUN Anna särmät 20,30,50 Ala on: 6200 Tilavuus on: LAATIKKO Ala on 6200 Tilavuus on 30000

22 22 Esimerkki 2. Minkä muotoinen suorakulmio on pinta-alaltaan suurin? b Ratkaisu: Merkitsemme sivuja a:lla ja b:llä ja annamme molempien vaeltaa nollasta aina 100 mm:iin 1 mm:n välein. Viereisen ohjelman printtauksesta valitsemme rivin, jossa pinta-ala on suurin. Tulos: neliö! Esimerkki 3. Haluamme valmistaa suorakulmaisen särmiön muotoisen suljetun laatikon, jonka tilavuus on 1 (kuutiometri). Jossärmät ovat a, b ja, saamme yhtälön ab = 1. Voimme valita vapaasti näistä särmistä kaksi ( esimerkiksi pituuden a a BASIC-ohjelma LET S=5 FOR A=0 TO 100 STEP S FOR B=0 TO 100 STEP S P=A*B LPRINT P NEXT B NEXT A END ja leveyden ), jolloin korkeus saadaan ratkaistuksi tästä yhtälöstä. Jos kuitenkin haluamme tutkia, minkä muotoisen laatikkon valmistamiseen tarvitsisimme vähiten peltiä, niin ongelman käsittely vaatisi lukion matematiikan tietoja. Voimme kuitenkin antaa tietokoneen kokeilla eri a:n, b:n ja :n arvoilla! Ainoa ehto on tilavuuden kiinnittävä yhtälö ab=1. Oheinen ohjelma antaa printtauksen eri särmien arvoista 5 m:n välein (step.05) sekä vastaavista pinta-aloista (tilavuushan on koko ajan 1). Tarvitset ainoastaan valita näistä rivin, jossa pinta-ala on pienin. Jos haluat, voit muuttaa askelväliä vaikkapa 1 mm:n suuruiseksi (step.001). Ohjelman suorittamasta listauksesta voit helposti todeta, että pinta-ala (2ab+2b+2a) on pienin silloin, kun a, b ja ovat yhtäsuuret. Siis kuutiolla! Ohjelmaan voidaan lisätä ehtolause, jolloin ohjelma pysähtyy automaattisesti ja ilmoittaa kysytyn tuloksen! Ohessa on esimerkki tällaisesta ohjelmasta ja alla sen suorittama printtaus: PIENIN ALA ON: 6 Särmillä BASIC-ohjelma 30 S= FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "ALA ON : ",P 170 END BASIC-ohjelma 10 REM T on pienin ala 20 T= S= FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 60 LET Q=T 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 90 IF P=<Q THEN LET T=P 100 IF P=<Q THEN LET K=A 110 IF P=<Q THEN LET L=B 120 IF P=<Q THEN LET M=C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "Pienin ala : ",T 160 LPRINT "Särmillä: ",K,L,M 170 END

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Rubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Rubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Rubikin kuutio ja ryhmät Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kehittäjä unkarilainen Erno Rubik kuvanveistäjä ja arkkitehtuurin professori 1974 Halusi leikkiä geometrisilla

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet

Henkilötunnus Sukunimi Etunimet Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Tehtävä 1.Tarkastellaan opiskelijaa, jolla opiskelun ohella jää 8 tuntia päivässä käytettäväksi työntekoon ja vapaa-aikaan. Olkoot hänen

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin.

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Hyväksymismerkinnät 1 (6) OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Viestintä- ja vuorovaikutusosaaminen

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty )

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty ) MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty 16.12.2015) Merkitys, arvot ja asenteet T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Lisätiedot

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä Turun MATIKKAKAHVILA 22.09.2016 Teija Laine 1. OTTEITA UUDESTA OPETUSSUUNNITELMASTA: "Vuosiluokkien 3 6 matematiikan opetuksessa tarjotaan kokemuksia, joita oppilaat hyödyntävät matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

EI MIKÄÄN NÄISTÄ. KUVITETTU MINI-MENTAL STATE EXAMINATION Ohjeet viimeisellä sivulla. 1. Mikä vuosi nyt on? 2. Mikä vuodenaika nyt on?

EI MIKÄÄN NÄISTÄ. KUVITETTU MINI-MENTAL STATE EXAMINATION Ohjeet viimeisellä sivulla. 1. Mikä vuosi nyt on? 2. Mikä vuodenaika nyt on? POTILAS: SYNTYMÄAIKA: TUTKIJA: PÄIVÄMÄÄRÄ: 1. Mikä vuosi nyt on? 2000 2017 2020 1917 EI MIKÄÄN NÄISTÄ 2. Mikä vuodenaika nyt on? KEVÄT KESÄ SYKSY TALVI 3. Monesko päivä tänään on? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut.

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. LUKUJONOT 2 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. 2, 4,, 8,, 12,,, 7,, 3, 1 3) Keksi oma lukujono ja kerro

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut

Kenguru 2006 sivu 1 Cadet-ratkaisut Kenguru 2006 sivu 1 3 pistettä 1. Kenguru astuu sisään sokkeloon. Se saa käydä vain kolmion muotoisissa huoneissa. Mistä se pääsee ulos? A) a B) b C) c D) d E) e 2. Kengurukilpailu on pidetty Euroopassa

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua

Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua 4.1. Yhtälönratkaisu tehtäviä Tehtävä 4.1.1 Ratkaise yhtälöistä tuntematon muuttuja käyttäen oppimiasi muunnoksia. Valitse sarja. Sarja 1) 6 5 37 = 0 Kun eräs luku

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Cadets Sivu 1

Cadets Sivu 1 Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta sitä on kierrettävä kunnes

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä 14.4.4 MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

Kenguru 2016 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2016 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5 Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) ratkaisut sivu 1/5 3 pisteen tehtävät 1) Miettisen perhe syö 3 ateriaa päivässä. Kuinka monta ateriaa he syövät viikon aikana? A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37 2) Aikuisten

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot