OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA"

Transkriptio

1 1 OSA 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA

2 2 1. ONGELMANRATKAISU -KAIKEN PERUSTA 1.1. Ongelmanratkaisun tärkeys eri näkökulmista Koulussa käsiteltävä matemaattinen tieto on suurimmaksi osaksi satoja, jopa tuhansia vuosia vanhaa. Se on oppikirjoissa ja opetuksessa yleensä valmiiksi siloiteltua ja esitetään lähes yksinomaan matemaattisin symbolein. Tämän vuoksi monet eivät tiedä, että kaikki tämä tieto on syntynyt ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Ehkäpä sinulle ei koskaan ole edes esitelty tällaisia ongelmanratkaisuprosesseja, saati että sinulla olisi niistä omakohtaisia kokemuksia. Ehkäpä juuri tämän vuoksi sinulla on voinut olla vaikeuksia ymmärtää suurta määrää matemaattisia käsitteitä ja malleja ja osata soveltaa niitä. Ongelmanratkaisutaitoa tarvitset kuitenkin jokapäiväisessä elämässä ja erityisesti työssäsi. Kaikkein tärkeintä on ymmärtää ongelmanratkaisun merkitys uuden tiedon hankkimisessa ja omaksumisessa - siis oppimisessa! Uuden tiedon opit nimittäin luontevimmin ja pysyvimmin ongelmanratkaisun kautta. Ongelmalla tarkoitetaan tilannetta, joka aiheuttaa sinussa - ristiriitaisia tunteita tilanteen vaatimusten ja ajatusmalliesi välillä - päämäärähakuista ajattelutoimintaa, jolla pyrit ratkaisuun. Ongelmatilanteessa joudut siis pyrkimään ratkaisuun ilman, että ainakaan välittömästi näet ratkaisukeinoja. Sinun olisi syytä oppia - suhtautumaan rauhallisesti ongelmatilanteeseen - käynnistämään mahdollisimman aktiivinen ajattelutoiminta, jopa tietynlainen positiivinen aggressiivisuus ratkaisun etsimiseksi - joustavuutta muuttaa tätä toimintaa, ellei se näytä johtavan ratkaisuun - sitkeyttä ajattelutoiminnan ylläpitämiseksi - kommunikointi- ja yhteistyökykyä toisten kanssa - kykyä hankkia tietoa tai apua oikeasta paikasta Erityisesti työelämässä kaikki nämä valmiudet tulevat

3 yhä tärkeimmiksi, mutta niitä olisi arvokasta pyrkiä kehittämään myös muun arkielämän ongelmia varten. Matematiikka tarjoaa luontevia ja monipuolisia tilanteita ongelmanratkaisu-taitojen kehittämiseksi. Koulumatematiikan tiedot olisi voitu oppia ongelmanratkaisuprosessien kautta, ellei niitä olisi pyritty "syöttämään" oppikirjoihin ripoteltuina sirpaletietoina. Nyt ammattikoulussa ei kuitenkaan ole mahdollista käydä läpi kaikkia peruskoulun matematiikan asioita uudella tavalla, joten keskitymme tässä kirjassa ammattisi kannalta kaikkein tärkeimpiin matemaattisiin tietoihin ja taitoihin. Kirjan osassa 2 käsittelemme ammattisi tärkeimpiä ongelmia. Näitä ratkaistessasi sinulla on samalla mahdollisuus opetella käyttämään ja etsimään erilaista matemaattista tietoa, jota on koottu kirjan osaan Ongelmanratkaisuprosessin vaiheet Kun ratkaiset ongelmaa, saatat joutua tilanteeseen, jossa loogisesti hyvänä ja oikeana pitämäsi päättely tai ratkaisu näyttää johtavan umpikujaan. Tällöin sinulta vaaditaan sekä joustavuutta että sitkeyttä. Ei ole aina helppoa sanoa itselleen: kokeile jotain aivan muuta! On vaikeaa samanaikaisesti sekä ajatella että kontrolloida ja muuttaa omaa ajattelemistaan. Siksi esimerkiksi joukkuepeleissä valmentajan rooli on keskeinen. Kun puhumme ongelman ratkaisusta (huomaa erikseen kirjoitettuna!), tarkoitamme jonkin yksittäisen ongelman löydettyä ratkaisua. Kun taas puhumme ongelmanratkaisusta, tarkoitamme aina koko ongelmanratkaisuprosessia, johon kuuluvat seuraavan aukeaman kaavioissa esitetyt vaiheet! Vasemmanpuoleisella sivulla olevat ohjeet pätevät mille tahansa ongelmalle ja oikeanpuoleisella sivulla näitä ohjeita on sovellettu tyypillisessä ongelmatilanteessa. Sivulla 6 olevan ongelman ratkaiseminen auttanee sinua ymmärtämään ja kokemaan joustavuuden ja sitkeyden merkityksen ongelmatilanteessa. Mutta ennen kuin lähdet ratkaisemaan ongelmaa, menettele seuraavasti: 1. Yritä ratkaista itsenäisesti tämä ongelma. 2. Jos et ole onnistunut minuutissa, niin keskeytä työskentelysi. 3. Keskustele oppilastoveriesi ja opettajasi kanssa ja erittele avoimesti ja rehellisesti kaikkia niitä tuntemuksiasi, joita koit epäonnistuessasi ratkaisemisessa. 4. Yritä ilmaista sanallisesti se yleinen periaate tai strategia, jolla olet yrittänyt ratkaista ongelmaa. Toteat ehkä, että olet käyttänyt koko ajan samaa startegiaa! 4. Kun olet keskustellut asiasta tarpeeksi kauan, yritä ongelman ratkaisemista täysin uudella strategialla. Kirjoita tällaisia täysin erilaisia ratkaisuperiaatteita ensin omin sanoin paperille. Sovella niitä sitten yksityiskohtaisemmin! 5. Jos et vieläkään onnistu, niin palaa kohtaan 2 ja jatka samalla tavoin. Yritä ratkaisemista noin 1-2 tunnin ajan. Jos ongelma ei ratkea, niin jätä se hautumaan ja palaa siihen joskus toiste. Älä utele valmista ratkaisua! 3

4 4 ONGELMANRATKAISUPROSESSIN VAIHEET Ongelman analyysi tiedosta ongelmatilanne! ymmärrätkö ongelman? onko ongelma oikeutettu? täsmennä ongelma! analysoi ongelman osat! erota osaongelmiksi! ideoi ratkaisumalleja! tee malli! kokeile! muuntele ehtoja! poista osia! lisää osia! tutut osat? ota erikoistapaus? yhtäläisyyksiä? Ongelman ratkaiseminen toteuta ratkaisuideasi! ratkaise osaongelmat! esitä ratkaisusi! täsmennä ideasi! suorita rutiinit! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö kokeile ja tarkista! onko muita ratkaisuja? ratkaisitko koko ongelman? opitko jotain uutta? missä voisit hyödyntää? tarkista! perustele! tee koe! vertaile tuttuun! mitä seurauksia? onko uusia ongelmia?

5 5 ONGELMANRATKAISUESIMERKKI ONGELMA: Kaksi neliötä sijaitsevat siten, että toisen kärki on toisen keskipisteessä. Kuinka suuren yhteisen pinta-alan ne rajoittavat? Ongelman analyysi Ongelman ratkaiseminen Teen pahvimallin, pyörittelen ja kokeilen. Ymmärrän ongelman: Huomaan erikoistapaukset: lmeisesti kysytty ala on aina A/4. Miten perustelisin? Millainen kuvio muuttuu pyöritettäessä?täsmennys? Kolmiot ovat yhtenevät! Kolmioissa on suora kulma ja sama terävä kulma (kiertokulma) sekä näiden välinen yhtäpitkä sivu (neliön sivun puolikas). Kolmiot ovat siis yhtenevät lauseen "ksk" nojalla (ks. kirjasta luku "yhtenevyys"!) Voisinko perustella asian muuten? Päteekö tulos kaikkiin neliöihin? Entä muihin säännöllisiin kuvioihin? Entä voinko yleistää sen esimerkiksi kuutioiden tilavuuksiin? teen mallin! kokeilen! muuntelen ehtoja! poistan osia! lisään osia! erotan tutut osat! Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö erikoistapaus! yhtäläisyyksiä? täsmennän ideani! suoritan rutiinit! tarkistan! perustelen! testaan! vertailen tuttuun! mietin seurauksia! mietin uusia ongelmia!

6 6 ONGELMA 1. Andy, Bill, Carl ja David ovat samassa päässä pimeää, kapeaa ja äärimmäisen vaarallista tunnelia. Heidän tulee päästä tunnelin toiseen päähän turvallisesti. He tietävät, että tunneliin mahtuu samanaikaisesti vain kaksi henkilöä ja että matkalla tarvitaan ehdottomasti koko ajan taskulamppu. Andy kulkee tunnelin läpi 5 :ssä, Bill 4:ssä, Carl 2 :ssa ja David 1 minuutissa. Miten heidän on meneteltävä, kun taskulampussa riittää virtaa korkeintaan 12 minuutiksi? Harjoitusongelmia Ongelma 2. Ajat tietyn matkan keskinopeudella 50 km/h. Millaista nopeutta sinun olisi ajettava takaisin, jotta keskinopeutesi olisi koko edestakaisella matkalla 100 km/h? (Vihje: tarkastele ensin erikoistapausta valitsemalla mahdollisimman sopiva matka). Ongelma 3. Miten saat roskan pois "rikkalapiosta" (roskaa siirtämättä) vain kahta tikkua siirtämällä. Ongelma 4. Monellako eri tavalla voit jakaa neliön kahteen yhtäsuureen osaan? (Opastus: älä uraudu ajattelemaan vain yhdellä tavalla!) Ongelma 5. Pöydässä on kahdeksan henkilöä, jotka kilistävät lasejaan pareittain siten, että jokainen kilistää kerran jokaisen muun kanssa. Montako kilahdusta pöydän äärestä kuuluu? (Vihje: yksinkertaista ensin ongelmaa ratkaisemalla ongelma yhden, kahden, kolmen jne. tapauksessa. Voit piirtää oheisen tapaisen kuvan ja ratkaista ongelman myös piirtämällä). Ongelma 6. Suorakulmion muotoisessa erittäin arvokkaassa taidelasissa oli sodan jäljiltä kymmenen luodinreikää. Lasiseppä halusi tehdä samasta lasista samoihin raameihin mosaiikkilasin siten, että hän leikkasi särkyneen lasin kolmioiksi seuraavasti: hän käytti reikiä sekä lasin nurkkia kolmioiden kärkinä, mutta ei lisännyt muita kärkipisteitä. Montako kolmiota syntyi? (Vihje: Tutki ensin erikoistapauksia, joissa reikien määrä on yksi, kaksi, kolme jne. Taulukoi ja keksi sääntö! Miten tulos voitaisin päätellä kolmion kulmien summaa määräävästä lauseesta?

7 7 Ongelma 7. Miten irjoitetaan numerot 1, 2, 3,..., 9 alla olevaan taikaneliöön ("magi square") siten, että kaikki kolme vaakasummaa, kolme pystysummaa ja kaksi vinosummaa ovat yhtä suuret? Sama numero voi esiintyä vain kerran. Ongelma 8. Alla oleva kuvio esittää pöytien sijaintia ravintolasalissa. Montako erilaista lyhintä reittiä tarjoilija voi kulkea lähtöpisteestä L pisteisiin A, S, K, U jne. Kuvassa oleva merkki $ ilmoittaa paitsi lyhimpien reittien määrän tähän kohtaan, niin myös asiakkaan laskun suuruuden dollareina. Kuinka suuri tämä lasku on? Entä vastaavasti punnilla ( ) maksavilla asiakkailla? Mikä asiakkaan toivomus kätkeytyy tehtävään?! L A A A A A A S K U H E A A A U H K T T E I T Ä T Ä M P O A E P O $

8 Esimerkkejä arkielämän ongelmatilanteista. Pohdi ainakin yhtä seuraavista kolmesta arkielämän ongelmista. ONGELMA 9. Tarvitset kesämökille puutarhakaluston. Miten menettelet? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. OSAONGELMA millainen on käyttötarkoitus? millainen rakenteen on oltava? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitset? millaisen kaluston haluat? onko kalusto ostettavissa? kannattaako kalusto ostaa? teetätkö kaluston vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko tehdä sen itse? teetkö sen osaksi itse? minkä materiaalin valitset? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työ osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisi t koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Olenko huomioinut kaikki olennaiset tekijät? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voinko hyödyntää samoja menettelytapoja muissa käytännön tilanteissa?

9 9 ONGELMA 10. Tarvitset henkilöauton peräkärryyn katteen. Miten menettelet? OSAONGELMA millainen käyttötarkoitus on? millainen rakenteen on oltava? Ongelman analyysi: Pohdi seuraavia osaongelmia ja täydennä taulukkoon omat ehdotuksesi. RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset varusteet tarvitaan? millaisen katteen haluat? onko kate ostettavissa? kannattaako kate ostaa? teetetäätkö se vieraalla? missä se kannattaisi teettää? haluatko valmistaa sen itse? valmistatko sen osaksi itse? mistä materiaalista valmistat sen? onko materiaalia saatavilla? mistä materiaalikulut koostuvat? mikä on työn osuus? millaisen pintakäsittelyn haluat? Ratkaisu: Pohdi koko ongelman ratkaisua. Millaisia vuokaavioita piirtäisit koko ongelman ratkaisuprosessista? Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Onko kaikki olennaiset tekijät otettu huomioon? Onko ratkaisuvaihtoehtoja useampia? Voidaanko samoja menettelytapoja hyödyntää muissakin käytännön tilanteissa?

10 10 ONGELMA 11. Oletetaan, että rakennat omakotitalon. Millaisen kattorakenteen ja -materiaalin valitset? Ongelman analyysi: Pohdi mm. seuraavia osaongelmia. OSAONGELMA onko rakennuskaavamääräyksiä? omat toivomuksesi ja mieltymyksesi maaston ja ympäristön vaatimukset millainen on talon muoto ja rakenne? RATKAISUEHDOTUKSESI millaiset kattorakennelmat ovat? millaisen materiaalin valitset? ostatko katon valmiiksi asennettuna? ostatko materiaalin ja teet itse työn? miten lasket materiaalikulut? miten lasket työn osuuden? mikä on pintakäsittelyn osuus? kenellä teetät työn vai teetkö itse? millaisia työvälineitä tarvitaan? millaista ammattitaitoa tarvitaan? mitä muuta on otettava huomioon? Ratkaisuidea: Esitä suurpiirteinen kaavio koko ongelman ratkaisemiseksi. Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Millaisiin muihin ongelmatilanteisiin tätä ratkaisuprosessai voi soveltaa? Miten yksiselitteinen ratkaisusi on? Muita kommenttejasi?

11 Harjoitusongelmia 11 Ongelma 12. Aiot hankkia "menopelin". Laadi oppilastoveriesi kanssa luettelo osaongelmista ja suurpiirteittäinen koko ongelman ratkaisumalli, jossa otat huomioon mahdollisimman hyvin kaikki ratkaisuun vaikuttavat osatekijät. Voit vaihtoehtoisesti tarkastella myös stereoiden tai videoiden hankintaa. Ongelma 13. Olet saanut kesätöitä 2 kuukaudeksi ja haluat ostaa mopon. Laadi vanhemmillesi laskelma, jolla perustelet hankinnan kannattavuutta ja vanhempien rahoitusosuutta. Työmatkasi pituus on 15 km ja koulumatkasi pituus 4 km. Ongelma 14. Tennispallot pakataan yleensä tyhjiöpurkkeihin viereisen kuvan osoittamalla tavalla. Ideoi kuvion avulla mahdollisimman monta eri tyyppistä ongelmaa ja muo- toile niitä eri tarkoituksiin! (Vihje: erilaisia näkökohtia on luke- mattomia: pallojen valmistaja, pallojen käyttäjä, valmistuskustan- nukset, optimaalinen muoto, esteettisyys, käytännöllisyys, pallo- purkin jatkokäyttö, jäteongelmat, matemaattiset ongelmat, jne...). Esitä lopuksi perusteltu mielipiteesi siitä, miksi pakkauksessa on yleensä neljä palloa. Ongelma 15. Oletetaan, että 16- vuotias tyttö (tai vastaavasti poika) haluaa laatia seuraavaksi kymmeneksi vuodeksi huolellisen suunnitelman, joka liittyy koulutukseen, (asevelvollisuuteen), työhön sijoittumiseen, kotoa pois muuttamiseen ja perheen perustamiseen. Pohdi edellisen tehtävän tavoin eri osaongelmia ja koko ongelman ratkaisumalleja. Ongelma 16. Hanki vakuutusyhtiöltä taulukko, joka kuvaa liikennevakuutuksen bonusluokan alenemista kolaritapauksessa sekä sen nousemista takaisin ennalleen. Laske ja arvioi, mikä on pienin kolari, joka kannattaa alla mainittujen autojen tapauksessa korjauttaa ns. "kaikenvaravakuutuksella"(kaskolla). Voit ottaa aluksi huomioon vain bonuksen alenemisen, mutta ei maksujen yleisiä korotuksia eikä korkomenoja: a) Isän auto Opel Vetra, jonka perusvuosimaksu on 1930 mk ja bonukset 60 %. b) Oma auto Ford Esort, jossa on uusi vakuutus ja jonka perusvuosimaksu on 1380 mk. korotusten ja korkomeno- Arvioi lopuksi maksujen jen vaikutusta laskelmaasi.

12 12 Ongelma 17. Seuraavassa taulukossa on esitetty erään perheen kuukausitulot ja keskimääräinen verotusprosentti normaaliverotuksen ja marginaaliverotuksen (so. "ylitöiden" ) osalta. Perhe omistaa vanhan asunnon ja juuri rakentamansa omakotitalon, joista heillä on taulukossa esitetyt kuukausimenot. Perheellä on vaikeuksia selvitä menoistaan, jolloin pankki ehdottaa, että perhe hankkisi mk maksavaa yksiön kolmanneksi asunnoksi. Pankki perustelee ehdotustaan sillä, että yksiöstä saisi vuokratuloja 1600 mk/kk. Lisäksi tällöin verottaja katsoisi perheen harjoittavan liiketoimintaa, jolloin kaikki asuntokulut ovat verovähennyskelpoisia. Normaalitapauksessa perhe voi vähentää korkomenoja verotuksessa enintään mk. Laske, paljonko perheelle jää elämiseen ennen, jos he hyväksyvät pankin ehdotuksen tai eivät. Mieti sitten ehdotuksen eettistä puolta. A. Tulot normaalit bruttotulot ennen yksiön hankkimista isä äiti yksiön hankkimisen jälkeen verotus 33% 20% ylimääräiset bruttotulot marginaalivero (mk) 50% 35% käteen jäävä palkka korkovähennys asuntolainoista vähennys ammatin harjoittamisesta vuokratulot Kaikki tulot yhteensä B. Menot vanha asunto uusi talo yksiö lainan määrä ja korko 30000; 11% ; 15% ;16% korkomenot yhtiövastike 400 (elantomenot) 300 yhteensä menot ennen yksiön hankk. menot yks. hankk. jälkeen

13 1.4. Esimerkkejä ongelmista omassa työssä 13 Oman työn tärkeimpiä ongelmia on ryhmitelty ja luokiteltu kirjan osassa 2, joten käsittelemme tässä vain yhden hieman laajemman esimerkin. ONGELMA 15. Koneen tuntiveloitus on 500 mk. Kannattaako yritykseen hankkia siihen markan hintainen robotti lisälaitteeksi, kun se nopeuttaa työtä keskimäärin 1 h/vrk? (*) Ongelman analyysi: Menetelläänkö samoin kuin yleensä auton, asunnon, videon tms. hankkimisessa? Tarvitaanko laitetta? Onko sen hankkimiseen varaa? Minkä tyyppinen ja merkkinen laite hankitaan? Onko kilpailijoilla vastaavaa? Järjestyykö rahoitus? Kannattaako hankinta? Ammattijohdon on perusteltava hankinta tarkoin ylemmälle johdolle, omistajille sekä työntekijöiden luottamusmiehille. Tämä vaatii laskelmia, joilla voi todistaa, että robotin hankkiminen kannattaa. Robotin on maksettava hintansa, siis lisäksi mm. asennuksesta aiheutuvat muutoskulut ja korkotappiot yleensä n. 1-3 vuodessa. Pitempiaikainen käyttö voidaan laskea satunnaiseksi voitoksi. Ratkaisu: Täydennä seuraavan sivun taulukko ja totea, että laskelmien mukaan tuottoa kertyy kahden vuoden aikana n mk. Pohdi sitten vielä ratkaisun tulkintaa ja hyväksikäyttöä: Päälaskelma näyttää siis osoittavan robotin hankkimisen kannattavaksi, mutta kustannuksia arvioitaessa on vielä otettava huomioon, (i) mitkä ovat koekäyttökustannukset? (ii) mikä on tarvittavan lisätilan hinta? (iii) vähentääkö vai lisääkö robotti virheitä? (iv) mitä lisälaitteita on hankittava? (v) kuinka suuret huoltokustannukset ovat? (vi) voidaanko tuotantoa ylläpitää jatkuvasti? (vii) voidaanko vapautuva työntekijöiden aika hyödyntää? Voidaanko laatia kaavake, jonka avulla tällaisten investointien kannattavuus voitaisiin monipuolisesti ja luotettavasti tutkia? Voitaisiinko laatia tietokoneohjelma, jolla säästettäisiin kaavake- ja laskemistyö? (*) Esim. metallialalla kappaleenvaihtorobotti työstökoneessa on yleinen

14 VÄLITTÖMÄT KUSTANNUKSET robotin hinta kuljetin muutostyöt Yhteensä MISTÄ TUOTTO SAADAAN? työn nopeutuminen mk mk mk MK mk vuorokaudessa 2 vuodessa 1 h 300 h robotti vapauttaa työntekijän muihin tehtäviin päivisin: 4 h yövuorossa: 8 h 1200 h 2400 h tuotto työn nopeutumisesta (500 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta päivisin ( 90 mk/h) tuotto työajan vapautumisesta yövuorosta (100 mk/h) Yhteensä

15 1.5. Tiedon eri esitysmuotojen ymmärtäminen 15 Kolme neljästä 3 34 Kouluopetuksesta ja oppikirjoista saa yleensä sellaisen kuvan, että matematiikka on lähes yksinomaan luvuilla ja symboleilla temppuilua ja että tätä varten tarvittavat säännöt on opeteltava ulkoa. Jos näin tapahtuu, käy matemaattisten tietojen soveltaminen ja käyttäminen ongelmanratkaisussa hyvin vaikeaksi. Matemaattinen tieto voidaan aina esittää (ainakin) kolmessa eri esitysmuodossa: verbaalisessa (V), symbolisessa (S) ja kuvallisessa (K) muodossa. Tiedon ymmärtäminen ja varsinkin soveltaminen yleensä edellyttää, että hallitset kaikki nämä kolme esitysmuotoa. Toisaalta nämä eri esitysmuodot helpottavat tiedon ymmärtämistä. Ottakaamme tyypillinen esimerkki: Tehtävä 1. Ilmoita murtoluku 4/7 sanallisesti niin monella eri tavalla kuin osaat! Sanoit luultavasti neljä seitsemäsosaa tai neljä jaettuna seitsemällä. Molemmat ilmaukset ovat oikeita, mutta katsotaanpa, mitä näistä ilmauksista on hyötyä. Tehtävä 2. Miten lasket 1/7 + 4/7? yhteensä SYMBO- LINEN MUOTO VERBAA- LINEN MUOTO Jos muistat peruskoulussa opetetun laskusäännön, on tehtävä sinulle pelkkää rutiinia. Mutta mitä jos et muistakaan? Kumpikaan edellä mainituista sanallisista ilmauksista ei auta laskutoimitukse ratkaisun keksimisessä. Mikäli osaat murtoluvulle erilaisia verbaalisia (sanallisia) ilmauksia, ei mitään laskusääntöä tarvita. Tarvitsee ainoastaan osata muuntaa tietoa esitysmuodosta toiseen: = yksi kpl 7-sosia neljä kpl 7-osia 5 7 viisi kpl 7-osia

16 16 Tästä laskutoimituksesta selvitään myös kuvan avulla ilman laskusääntöä: Sinun olisi hyvä oppia eri esitysmuotoja ainakin tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä ja apuvälineistä. Tämän kirjan osassa 3 on pyritty tarjoamaan tähän mahdollisuuksia, jotta samalla oppisit soveltamaan näitä tietoja. Katsokaamme vielä esimerkkiä prosenttilaskennasta: Kuinka suuri osa luku 3 on luvusta 4? verbaalisesti kuvallisesti kolme neljäsosaa symbolisesti 3 4 sadasosina prosentteina 75 %

17 1.6. Geometrian taitojen tärkeys 17 Geometria on yksi tärkeimpiä matematiikan osa-alueita. Lähes kaikki koulumatematiikan tiedot ovatkin syntyneet erilaisten geometristen ongelmanratkaisuprosessien seurauksena. Geometria tarjoaakin loistavia mahdollisuuksia opetella erityisesti luokittelemisen, jäsentelemisen, mallintamisen ja päättelyn taitoja. Koska työssä ja muussakin arkielämässä joudutaan jatkuvasti tekemisiin erilaisten kappaleiden ja pintojen arvioimisen, mittaamisen, laskemisen ja piirtämisen kanssa, ovat geometrian perustaidot erityisen tärkeitä. Tässä kirjassa käsitellään geometriaa melko runsaasti myös siksi, että geometriset ongelmat kehittävät erityisen monipuolisesti matemaattisia taitoja. Voit itse vakuuttua tästä tekemällä seuraavan tehtävän: 1. Ratkaise ongelma 1 yksini tai yhdessä oppilastoverisi kanssa. 2. Keskustele sitten oppilastoverisi ja opettajasi kanssa siitä, mitä kaikkia taulukossa # esitettyjä osataitoja mielestäsi tarvitsit ratkaistessasi ongelmaa. Rastita vastaava kohta taulukosta. 3. Kokoa opettajasi kanssa kaikkien oppilaiden rastit samaan taulukkoon esim. piirtoheitinkalvolle. 4. Onko ongelma mielestäsi kehittävä? 5. Ratkaise tämän jälkeen ongelma 2 ja menettele samalla tavoin kuin edellä. Ongelma 1. Kun Kallelta ja Villeltä kysyttiin, monenko neliön läpi lävistäjä kulkee kuviossa A, niin Kalle vastasi neljän ja Ville kuuden. Mitä arvelet heidän vastanneen kuvion B tapauksessa? A B

18 18 Geometrian kehittämät taidot visuaaliset taidot verbaaliset taidot Osien tunnistaminen päättelyketjujen tekeminen piirtämistaidot päättelytaidot tunnistaa kuvio jostakin kokonaisuudesta liittää tilanteeseen oikeat sanalliset ilmaisut hahmottaa tilanne piirtämällä liittää tilanteeseen syyja seuraussuhteita kuvata osat sanallisesti osata piirtää eri tunnusmerkit liittää eri osien välille syyyhteyksiä nähdä yhteydet eri käsitteiden välillä kuvata sanallisesti käsitteiden välisiä yhteyksiä erottaa olennaiset tunnusmerkit piirtää käsitesuhteista kaavio päätellä yhteiset ja erilliset ominaisuudet päätellä havaintoon perustuen päätellä sanallisten ilmaisujen perusteella päätellä piirrosten avulla oppia päätelmien yleiset perusteet Osien analysoiminen käsitteiden järjestäminen päätelmien tekeminen tehdä peräkkäisiä päätelmiä visuaalisesti tehdä peräkkäisiä sanallisten ilmausten päättelyjä tehdä peräkkäisiä päättelyjä kuvien avulla oppia peräkkäisten päättelyiden tekemistä Ongelma 2. Oheisesta kuviosta tiedetään, että kuviot A-H ovat neliöitä. Lisäksi C:n sivun pituus on 8 ja D:n sivun pituus 9. Voiko koko iso kuvio mielestäsi olla neliö? Perustele tarkoin vastauksesi! Pohdi sen jälkeen, mitä yllä olevan taulukon taitoja tämän ongelman ratkaiseminen mielestäsi kehitti. Piirrä pieni ympyrä vastaavaan taulukon kohtaan! F A G I E H B C D

19 1.7. Algoritminen ajattelu sovellustehtävien ratkaisemisessa 19 Työssäsi tulee varsinaisten ongelmatilanteiden lisäksi myös toistuvasti samantyyppisiä rutiinitehtäviä. Tällaisten tehtävien ratkaisukeinot ovat usein algoritmeja. Algoritmilla tarkoitetaan jonoa peräkkäisiä työvaiheita, joiden järjestys ja merkitys on täysin määrätty. Jos taas työvaiheet ovat epämääräisempiä, puhutaan ns. kvasialgoritmista (joka on suurin piirtein sama kuin ns. vuokaavio). Esimerkkinä mainittakoon vaikkapa yhtälön tai epäyhtälön ratkaiseminen, janan puolittaminen, tai jakolaskualgoritmi: jakolaskualgoritmi KYSY KERRO PUDOTA VÄHENNÄ kvasialgoritmi jakolaskun suorittamiseksi Työssä täytyy usein laskea jokin suure tunnetusta kaavasta (esim. neliön sivun laskeminen, kun pinta-ala tunnetaan). Tällaisissa tilanteissa edetään algoritmisesti seuraavalla sivulla olevan kaavion mukaan. Todellinen ongelmatilannne vaatii ennen kaikkea ideointia ja oikeiden strategioiden valintaa, kuten aikaisemmin korostettiin. Tämä toiminta tapahtuu oikeakätisillä lähinnä oikeassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisillä vastaavasti vasemmassa). Kun ongelma on saatu hajoitetuksi osaongelmiksi, ne ratkeavat usein rutiininomaisella algoritmisella ajattelutoiminnalla. Tämä tapahtuu oikeakätisillä lähes kokonaan vasemmassa aivopuoliskossa (ja vasenkätisellä opäinvastoin). Jos harjoitetaan pelkästään algoritmisia toimintoja (kuten kouluopetuksessa lähinnä tehdään), aktivoituu vain toinen aivopuolisko. Tämä taas heikentää ongelmien ratkaisukyvyn kehittymistä.

20 20 Muokkaa tehtävä sopivaan muotoon Esimerkki: avaruuslävistäjä x y Ei Voiko tuntemattoman löytää jonkin kaavan avulla? Kyllä x b Etsi yhteys annettujen suureiden ja tuntemattoman välille Tarvitaanko vielä apusuureita? Kirjoita sopiva kaava ja järjestä tuntematon yhtälöön Tunnetaanko kaavan toisella puolella olevat suureet? Ei Kyllä Ei Kyllä x = y = a a y + b 2 2 Muodosta yhtälö apusuureiden laskemiseksi tai merkitse ne annetun suureen avulla Esitä ja toteuta ratkaisusuunnitelmasi! x = a +b + Harjoitustehtäviä 2,4 m 1. Kuinka pitkä suora rima mahtuu viereiseen pakettiautoon kokonaan sen sisäpuolelle? (Vihje: ks.yllä olevan kaavion esimerkkiä!) 2. Miten muuttaisit näitä auton mittoja siten, että sisään mahtuisi 4,0 m pitkä rima? 2. Pallon sisään on piirretty lieriö oheisen kuvan mukaisesti. Mikä on lieriön korkeus, kun sen pohjan halkaisija on 40 mm ja pallon säde 100 mm? 4. Mitkä ovat pallon ympäri piirretyn lieriön mitat (kuvassa isompi lieriö)? leveys 2,0 m 40 mm 100 mm 1,8 m

21 1.8. Tietokone ongelmanratkaisun välineenä 21 Jotta tietokonetta voitaisiin käyttää matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, on yleensä ymmärrettävä muuttujan käsite. Se on ohjelmoinnin ja valmiin ohjelman ymmärtämisen perusta. Useissa ammateissa käytetään yhä enemmän prosessiohjattuja koneita, jotka joudutaan ohjelmoimaan. Käyttäjältä edellytetään ainakin sitä, että hän ymmärtää, mitä mikin ohjelma tekee ja että hän lisäksi osaa tehdä joitain pieniä muutoksia näihin ohjelmiin. Olisi suotavaa, että totuttelisit työtäsi varten - tulkitsemaan eri tyyppisten prosessorien (esim. metallialalla polttoleikkaajan) peruskäskyjä ja tekemään niihin muutoksia - ohjelmoimaan sellaisia laitteita, joiden valvomisesta päivittäin vastaat - tulkitsemaan yksinkertaisia BASIC-, PASCAL- tai LOGO-ohjelmia ja tekemään niihin pieniä muutoksia - laatimaan jollakin ohjelmointikielellä yksinkertaisia perusohjelmia, joilla voidaan laskea lausekkeiden arvoja tarpeettoman toistamisen välttämiseksi - ymmärtämään, että yksinkertaisellakin ohjelmalla voidaan ratkaista mutkikkaita matemaattisia ongelmia (esimerkiksi kokeilun avulla tehty optimointi tai ääriarvotarkastelu) Esimerkki 1. Seuraavat ohjelmat laskevat suorakulmaisen särmiön pinta-alan P ja tilavuuden V, kun annetaan särmät A,B ja C. B C BASIC-ohjelma 10 PRINT "Anna särmät" 20 INPUT A,B,C 30 V=A*B*C 40 P=2*A*B+2*B*C+2*A*C 50 PRINT "Ala on: ", P 60 PRINT "Tilavuus on:",v 60 END Esimerkki: LOGO -ohjelma LAATIKKO :A :B :C MAKE "V :A* :B* :C MAKE "P :2* :A* :B+2* :A* :C+2* :B* :C PRINT SE [Ala on], :P PRINT SE [Tilavuus on:], :V END Esimerkki: A RUN Anna särmät 20,30,50 Ala on: 6200 Tilavuus on: LAATIKKO Ala on 6200 Tilavuus on 30000

22 22 Esimerkki 2. Minkä muotoinen suorakulmio on pinta-alaltaan suurin? b Ratkaisu: Merkitsemme sivuja a:lla ja b:llä ja annamme molempien vaeltaa nollasta aina 100 mm:iin 1 mm:n välein. Viereisen ohjelman printtauksesta valitsemme rivin, jossa pinta-ala on suurin. Tulos: neliö! Esimerkki 3. Haluamme valmistaa suorakulmaisen särmiön muotoisen suljetun laatikon, jonka tilavuus on 1 (kuutiometri). Jossärmät ovat a, b ja, saamme yhtälön ab = 1. Voimme valita vapaasti näistä särmistä kaksi ( esimerkiksi pituuden a a BASIC-ohjelma LET S=5 FOR A=0 TO 100 STEP S FOR B=0 TO 100 STEP S P=A*B LPRINT P NEXT B NEXT A END ja leveyden ), jolloin korkeus saadaan ratkaistuksi tästä yhtälöstä. Jos kuitenkin haluamme tutkia, minkä muotoisen laatikkon valmistamiseen tarvitsisimme vähiten peltiä, niin ongelman käsittely vaatisi lukion matematiikan tietoja. Voimme kuitenkin antaa tietokoneen kokeilla eri a:n, b:n ja :n arvoilla! Ainoa ehto on tilavuuden kiinnittävä yhtälö ab=1. Oheinen ohjelma antaa printtauksen eri särmien arvoista 5 m:n välein (step.05) sekä vastaavista pinta-aloista (tilavuushan on koko ajan 1). Tarvitset ainoastaan valita näistä rivin, jossa pinta-ala on pienin. Jos haluat, voit muuttaa askelväliä vaikkapa 1 mm:n suuruiseksi (step.001). Ohjelman suorittamasta listauksesta voit helposti todeta, että pinta-ala (2ab+2b+2a) on pienin silloin, kun a, b ja ovat yhtäsuuret. Siis kuutiolla! Ohjelmaan voidaan lisätä ehtolause, jolloin ohjelma pysähtyy automaattisesti ja ilmoittaa kysytyn tuloksen! Ohessa on esimerkki tällaisesta ohjelmasta ja alla sen suorittama printtaus: PIENIN ALA ON: 6 Särmillä BASIC-ohjelma 30 S= FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "ALA ON : ",P 170 END BASIC-ohjelma 10 REM T on pienin ala 20 T= S= FOR A=S TO 10 STEP S 50 FOR B=S TO 10 STEP S 60 LET Q=T 70 C=1/(A*B) 80 P=2*A*B+2*A*C+2*B*C 90 IF P=<Q THEN LET T=P 100 IF P=<Q THEN LET K=A 110 IF P=<Q THEN LET L=B 120 IF P=<Q THEN LET M=C 130 NEXT B 140 NEXT A 150 LPRINT "Pienin ala : ",T 160 LPRINT "Särmillä: ",K,L,M 170 END

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela

Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela Olipa kerran köyhä maanviljelijä Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela 1 1 Johdanto Tässä raportissa esittelemme ratkaisukeinon ongelmalle, joka on suunnattu 7 12-vuotiaille oppilaille

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Rubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Rubikin kuutio ja ryhmät. Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Rubikin kuutio ja ryhmät Johanna Rämö Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kehittäjä unkarilainen Erno Rubik kuvanveistäjä ja arkkitehtuurin professori 1974 Halusi leikkiä geometrisilla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet

1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet MATEMATIIKKA Matematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimiseen.

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 15.11.2012 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet

454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet Ohje Tevellan tuotteelle Viinikankatu 49 A, 33800 Tampere Puh (03) 380 5300, Fax (03) 380 5353 E-mail: myynti@tevella.fi, www.tevella.fi Pieni kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(2,5x2,5)x2,5 V=15,6 cm 3 Suuri kuutio

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka) Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 3 pistettä 1. Missä kuviossa mustia kenguruita on enemmän kuin valkoisia kenguruita? Kuvassa D on 5 mustaa kengurua ja 4 valkoista. 2. Nelli haluaa rakentaa samanlaisen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 3 pisteen tehtävät 1. Miettisen perhe syö 3 ateriaa päivässä. Kuinka monta ateriaa he syövät viikon aikana? A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37 2. Aikuisten pääsylippu

Lisätiedot

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut.

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. LUKUJONOT 2 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. 2, 4,, 8,, 12,,, 7,, 3, 1 3) Keksi oma lukujono ja kerro

Lisätiedot

PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET

PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET Yläkoulun matematiikan oppimateriaali Pii noudattaa uuden opetussuunnitelman perusteita. Sarja tarjoaa kaikille oppijoille oman taitotasonsa mukaisia haasteita ja myönteisiä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 Oppiaineen tehtävä vuosiluokilla 7-9 Vuosiluokkien 7 9 matema ikan opetuksen tehtävänä on vahvistaa matemaa sta yleissivistystä. Opetuksessa syvennetään matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

OPS2016 ja ohjelmointi

OPS2016 ja ohjelmointi 1 OPS2016 ja ohjelmointi - johdattelu ohjelmointiin alakoulussa MIKKO HORILA & TUOMO TAMMI OPS2016 ja ohjelmointi 2 Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet päivittyvät syksyllä 2016. Koodaustaidot

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi esiopetus kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista, että

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Elina Mantere Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi. Elina Mantere

MATEMATIIKKA. Elina Mantere Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi. Elina Mantere MATEMATIIKKA Helsingin normaalilyseo elina.mantere@helsinki.fi OPPIAINEEN TEHTÄVÄ Kehittää loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Luoda pohja matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä 1 MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

1. Ohjaustyylit. Esimerkkejä tyylin käyttötilanteista. Tavoite. Työpaikkaohjaajan toiminta. Tulokset

1. Ohjaustyylit. Esimerkkejä tyylin käyttötilanteista. Tavoite. Työpaikkaohjaajan toiminta. Tulokset 1. Ohjaustyylit on hyvä tunnistaa itselleen ominaiset tavat ohjata opiskelijoita. on hyvä osata joustavasti muuttaa ohjaustyyliään erilaisiin tilanteisiin ja erilaisille opiskelijoille sopivaksi. Seuraavaksi

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi ensimmäinen luokka syksy Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lukualue 1-10 - laskusauvat

Lukualue 1-10 - laskusauvat Matematiikka Montessoripedagogiassa lapsi aloittaa matematiikkaan tutustumisen kolmevuotiaana. Oman kiinnostuksensa mukaan hän rakentaa montessorivälineiden avulla tietouttaan numeroista ja määristä. Niiden

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi ensimmäinen luokka kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti

Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti Tehtävä 1. Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti a) 1 4 b) 1 4 a) - kuvio, annetaan 1,5 p - ympyrä täyttyy neljänneksen kerrallaan, annetaan 1,5 p b) -

Lisätiedot