PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 2016

Transkriptio

1 PSYKOLOGIAN VALINTAKOE TILASTOMATEMATIIKAN LISÄMATERIAALI 06 HELSINGIN YLIOPISTO

2 PSYKOLOGIAN VALINTAKOE 06 Tilastomatematiikan lisämateriaali Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos Materiaalin tai sen osien luvaton kopiointi ja muuntelu on kielletty.

3 Aluksi Tässä lisämateriaalissa esitetään muutamia täydennyksiä valintakoekirjaan, mutta keskeisemmän osan saavat psykologian valintakoetehtävät vuosien takaa. Vanhat koetehtävät on pyritty valitsemaan sopivan kattavasti niin, että niiden ratkaisemisesta voisi olla aidosti hyötyä valintakokeeseen valmistautumisessa. Tehtäviin esitetään myös ratkaisumallit, jotka eivät kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole ainoat oikeat, sillä kuten usein tilastomatematiikan tehtävissä, oikeaan ratkaisuun voi päätyä monella tavalla. Lisämateriaalin sisältöä kirjoitettaessa on pyritty sopivaan tasapainoon ytimekkään ja perinpohjaisen ilmaisun välillä. Tästä johtuen lisämateriaalista saanee parhaimman hyödyn kun sitä lukee yhdessä valintakoekirjan Nummenmaa, Holopainen ja Pulkkinen: Tilastollisten menetelmien perusteet kanssa. Koska tähän lisämateriaaliin on otettu tehtäviä psykologian vanhojen valintakokeiden originaaliversioista, ei taitto ikävä kyllä ole aina paras mahdollinen. Ulkoasun puutteista huolimatta asiat toivottavasti selviävät lukijalle. Tässä esitettyjen vanhojen koetehtävien lisäksi kannattaa opiskella Helsingin yliopiston käyttäytymistieteellisen tiedekunnan opiskelijavalintojen verkkosivulta löytyvät muutaman viime vuoden kokeet. Valintakoekirjan ja tämän lisämateriaalin mahdollisia virheitä tullaan korjaamaan kevään 06 aikana Helsingin yliopiston käyttäytymistieteellisen tiedekunnan opiskelijavalintojen verkkosivulla Korjausten osalta verkkosivua päivitetään tarvittaessa torstaina 8..06, ja kello Tätä lisämateriaalia saavat käyttää ainoastaan yksityishenkilöt Helsingin, Tampereen ja Turun yliopistojen psykologian opiskelijavalinnan valintakoetta 06 varten. Kaikki muu käyttö on kielletty.

4 VALINTAKOEKIRJASTA Valintakoekirjasta Tässä osassa on täydennyksiä ja huomioita kirjaan Nummenmaa, L., Holopainen, M. ja Pulkkinen, P.: Tilastollisten menetelmien perusteet. Valintakoekirjan alussa mainitaan, että koska tilastollinen analyysi tehdään nykyään useimmiten tietokoneohjelmilla, ei laskukaavojen opetteleminen ole itsetarkoitus. Kuitenkin monien kaavojen ymmärtäminen on tärkeää analyysien perusteiden ymmärtämiseksi ja oikeiden analyysien valitseminen ja niiden tulosten tulkitseminen oikein perustuu tällaiseen ymmärtämiseen. Siksi tässä lisämateriaalissa esitellään muutamia käsin laskemisen tapoja, joita kirjassa ei ole. Lisäksi muutamiin asioihin esitetään tarkennuksia ja huomioita. Jotkin huomiot ovat asioista, joissa tämä lisämateriaali ja valintakoekirja ovat ristiriidassa. Näissä kohtaa tulee luottaa lisämateriaaliin. Valintakokeessa on siis syytä muistaa, että jos tämän lisämateriaalin ja valintakoekirjan välillä on jostakin asiasta ristiriita, niin lisämateriaalin mukainen vastaus on oikea. Valintakoekirjassa ei esitetä vastauksia kaikkiin tehtäviin. Yleensä vastaukset puuttuvat, jos vastauksen esittäminen olisi vienyt melko paljon tilaa. Esimerkiksi luvusta 3 ei vastauksia ole lainkaan. Tässäkään ei näitä vastauksia tilan rajallisuuden vuoksi esitetä, mutta on silti syytä tutkia nämäkin tehtävät valintakoekirjasta tarkasti. Lukua 3 on hyvä kuvata esimerkkinä. Luvussa käsitellään muun muassa graafista esittämistä ja vaikka nykyään tilastolliset kuviot tehdään yleensä tietokoneohjelmalla, on kuvien käsin piirtäminen tarpeen harjoitella. Käsin piirtämisen harjoittelu ei kuitenkaan ole kovin vaikeaa, minkä vuoksi sitä tässä lisämateriaalissa käsitellään vain vähän. Lisämateriaalissa käytetään kahta tapaa summamerkinnän indekseissä. Ne kuvataan alla ja tarkoittavat siis täysin samaa. Joskus kun indeksointi on selvä ja yksikäsitteinen indeksointi on jätetty kokonaan merkitsemättä. ja jos indeksointi on selvä, niin yksinkertaisesti tai jopa on käytössä. Valintakoekirjan luvusta ja 0 ei ole tässä lisämateriaalissa huomioita, täydennyksiä tai korjauksia. Yksittäisistä valintakoekirjan huomioista, täydennyksistä ja korjauksista tullaan ilmoittamaan aikaisemmin mainitulla tavalla siis verkkosivulla kolme kertaa kevään 06 aikana. Valintakoekirjassa kuvatut aineistot ASIAKAS ja KYSELY löytyvät Helsingin yliopiston käyttäytymistieteellisen tiedekunnan opiskelijavalintojen verkkosivulta tekstitiedostoina.

5 VALINTAKOEKIRJASTA Tieteellinen tutkimus ja tilastollinen ajattelu Osassa.5 Mittaaminen, validiteetti ja reliabiliteetti käsitellään mitta-asteikkoja. Psykologiassa ja käyttäytymistieteissä yleensä erityisesti sen asian selvittämiseen, onko jokin muuttuja järjestys- vai välimatka-asteikollinen, liittyy tärkeitä ja olennaisia kysymyksiä. Esimerkiksi kyselytutkimuksissa ja joissakin psykologisissa testeissä kysymyksiin vastaamiseen käytetään Likert-asteikkoa. Likert-asteikolla vastaaja ilmaisee käsityksensä tai mielipiteensä esitettyyn väitteeseen tai kysymykseen valitsemalla yhden vastausvaihtoehdoista, jotka tutkija on etukäteen laatinut. Vastausvaihtoehdot voivat olla esimerkiksi täysin samaa mieltä, osin samaa mieltä, ei samaa eikä eri mieltä, osin eri mieltä ja täysin eri mieltä. Kun näitä vastausvaihtoehtoja merkitään peräkkäisillä kokonaisluvuilla (esim. 5: = täysin eri mieltä, 5 = täysin samaa mieltä), tutkittava muuttuja on vähintään järjestysasteikollinen. Kirjassa esiteltävän ASIAKAS-aineiston muuttujat tyytyväisyys liikkeen tuotevalikoimaan ja tyytyväisyys liikkeen hintatasoon ovat esimerkkejä Likert-asteikollisista muuttujista. Usein oletetaan, että vaihtoehtojen välit ovat ainakin likimain yhtä suuret, jolloin muuttujaa voidaan käsitellä välimatka-asteikollisena. Vaikka tämä oletus ei ole ongelmaton, monissa tutkimustilanteissa toimitaan niin, että jotain psykologista ilmiötä (esim. persoonallisuudenpiirrettä) arvioidaan usealla kysymyksellä tai väitteellä (väitteet Olen yleensä seurallinen, Minulla on paljon ystäviä ja Nautin muiden ihmisten seurasta voisivat kaikki mitata ulospäinsuuntautuneisuutta). Jos kaikkiin näihin vastattaisiin edellä kuvatuilla vaihtoehdoilla 5 ja jokaisen vastaajan vastausten arvot laskettaisiin yhteen, saataisiin tälle summamuuttujalle, joka olisi siis havainnon ulospäinsuuntautuneisuuden arvio, mahdolliseksi vaihteluväliksi 3 5. Kun usein tutkittavaa ilmiötä tai ominaisuutta selvitetään suuremmalla kysymysmäärällä, voidaan näistä laskettuja summamuuttujia käsitellä välimatka-asteikollisina. Tässä ei ole kuitenkaan mahdollista eikä tarpeellistakaan käsitellä asiaa tämän enempää tai tarkemmin. Riittää toistaiseksi todeta, että kun jonkin psykologisen ominaisuuden (esim. persoonallisuuspiirteen tai älykkyyden) mittaus tehdään hyvin (esim. luotettava ja tarkka persoonallisuus- tai älykkyystesti), niin mittauksen taso on vähintään välimatka-asteikollinen. Tehtävässä.3 (s. 3 ja vastaukset s. 37) tuli ratkaista, millä mitta-asteikolla muuttujia on mitattu. Vastauksissa älykkyysosamäärän mittaamisen tasoksi on mainittu suhdeasteikko. Älykkyysosamäärä on kuitenkin välimatka-asteikollinen muuttuja. Vaikka nykyaikana pankkitilin saldo voi mennä miinukselle, niin tilillä käytettävissä olevan rahan suhteen saldo on suhdeasteikollinen muuttuja miinuksella oleva saldo kun on velkaa. 3

6 VALINTAKOEKIRJASTA 3 Tutkimusaineiston valmistelu ja graafinen kuvaileminen Osassa 3. Tutkimusaineiston graafinen kuvaileminen käydään läpi havainnollistavien kuvien teon periaatteita. Vaikka nykyaikana tilastokuvat tehdään yleensä tietokoneohjelmalla, on niiden piirtämistä käsinkin hyvä harjoitella. Suurimmaksi osaksi kuvien piirtäminen käsin onnistuu kirjassa kerrottujen periaatteiden pohjalta, mutta histogrammin laatimista on tarpeen käsitellä jonkin verran. Näin erityisesti siksi että kirjassa sivun 50 esimerkin 7 histogrammi on piirretty kovin pienenä, sen tekemiseen annetut ohjeet ovat puutteelliset eikä se anna parasta mahdollista kuvaa muuttujan jakaumasta. Kirjan kuvassa luokkaväliksi on valittu 700 kirjan ss. 4 4 ohjeiden ja esimerkkien pohjalta ja X-akselilla luvut on merkitty pylväiden keskikohdille. ASIAKAS-aineiston kotitalouksien nettotulojen kohdalla kannattaa valita luokkaväliksi 500. Niin sanotut pyöreät luvut ovat monesti käytännöllisempiä ja ymmärrettävämpiä kuvassa eikä luokkien lukumäärä tulojen kohdalla kuitenkaan kasva liian suureksi. X-akselien merkintöjen on paras olla luokkien alarajojen kohdalla, koska histogrammia käytetään vain kvantitatiivisille muuttujille. Kaikkia lukuja ei tarvitse välttämättä kirjoittaa, kunhan luokkarajat käyvät yksiselitteisesti ilmi. Alla on frekvenssitaulukko ja histogrammi, josta x-akselilta on jätetty viidet sadat merkitsemättä, mutta asteikko käy silti selvästi ilmi, kun käytetään erimittaisia asteikkomerkkejä (pitkät viivat asteikon ulkopuolella tuhansille ja lyhyet viisille sadoille). Kun vertaat kuvaa kirjan sivun 50 kuvaan, huomaa myös y-akselin muutos. Kirjassa sanotaan, että histogrammia käytetään jatkuvien muuttujien jakauman kuvaamiseen. Se sopii myös sellaisten diskreettien kvantitatiivisten muuttujien kohdalla, jotka saavat useita erisuuruisia arvoja (esimerkiksi kuukauden aikana tehtyjen bussimatkojen lukumäärä). Jos histogrammissa käytetään epätasavälistä luokittelua, niin pylväiden pinta-alojen tulee olla verrannollisia luokkien prosenttiosuuksiin. Näin on myös tasavälisessä luokittelussa, mutta koska tällöin pylväiden kannat ovat saman levyisiä, niin pylväiden korkeudet kuvaavat luokkien kokoa oikein. Epätasavälisesti luokitellun muuttujan histogrammin piirtämistä ei käsitellä tässä. Kotitalouksien nettotulot ( /kk) Alaraja Yläraja Luokkakeskus Luokkaväli Frekvenssi %-osuus Kumulatiivinen frekvenssi Kumulatiivinen %-osuus 500 < ,0 3 3,0 000 < ,0,0 500 < ,0 3 3,0 000 < , ,0 500 < , , < ,0 8 8, < , , < , , < , , , ,0 4

7 VALINTAKOEKIRJASTA (%) Kotitalouden nettotulot ( /kk) Euroa kuukaudessa 5

8 VALINTAKOEKIRJASTA 4 Tutkimusaineiston kuvaileminen numeerisesti Osassa 4. Sijaintiluvut esitetään, että jos järjestysasteikollisen muuttujan havaintoarvoja on parillinen määrä, niin mediaaniksi valitaan jompikumpi keskimmäisistä arvoista (tai jos nämä ovat hyvin kaukana toisistaan, niin ilmoitetaan joko molemmat tai jätetään mediaani kokonaan ilmoittamatta). Jos havaintoja on parillinen määrä, niin myös järjestysasteikollisen muuttujan kohdalla ilmoitetaan mediaanina kahden keskimmäisen havainnon aritmeettinen keskiarvo. Sivun 7 esimerkin b mediaani on siis (4+7) / = 5.5. Mediaanin tulkinnassa tulee luonnollisesti muistaa muuttujan mittauksen taso. Sivulla 73 esimerkin 3 polarisoitunutta aineistoa on parasta kuvata frekvenssitaulukolla tai pylväsdiagrammilla. Sivulla 74 esimerkissä 4 Md = 388. Seuraavassa lasketaan sivun 7 esimerkin a aineiston keskiarvo. Nyt lukuja ei ajatella järjestysluvuiksi, vaan välimatka-asteikollisen muuttujan arvoiksi tai Osassa 4. Hajontaluvut kerrotaan otoksesta laskettavan keskihajonnan laskemisesta. Keskihajonta kuvaa havaintoarvojen keskimääräistä poikkeamista keskiarvosta ja se on sopiva tunnusluku kertomaan arvojen vaihtelusta välimatka- ja suhdeasteikollisilla muuttujilla. Kirjassa esitetään otoskeskihajonnalle kaava, jossa keskihajonnan merkitys keskimääräisenä poikkeamana keskiarvosta käy ilmi selkeästi. Joskus keskihajonta on kuitenkin kätevämpi laskea siitä johdetulla alla esitetyllä kaavalla. Tätä kaavaa voidaan soveltaa, myös kun lasketaan keskihajontaa luokitellusta aineistosta. 6

9 VALINTAKOEKIRJASTA k = luokkien lukumäärä, f i = luokan i frekvenssi, x i = luokan i luokkakeskus Seuraavassa esitetään kummallakin tavalla laskien kirjan ss oleva esimerkki 8 (jossa hajonnan laskemisessa on pieni virhe kirjassa). Käsin laskemisessa käytetään apuna taulukkoon laskettuja välivaiheita. nettopaino Σ Pieni ero neliöjuurilausekkeen osoittajassa johtuu siitä, että ensin lasketulla tavalla keskiarvo oli pyöristetty yhteen desimaaliin. 7

10 VALINTAKOEKIRJASTA Laskemista voi vielä helpottaa vähentämällä ensin kaikista luvuista 900. nettopaino Σ Kun ilmoitetaan alkuperäisen muuttujan keskiarvo, tulee lukuun 87. muistaa lisätä 900. Tässä huomataan samalla, mitä vakion lisääminen (tai vähentäminen) kaikkien havaintoarvojen kohdalla vaikuttaa: Keskiarvo muuttuu lisätyn (tai vähennetyn) vakion suuruudella, mutta keskihajonta ei muutu. Kun hajonta lasketaan perusjoukon arvoista, kaavoissa on jakajana (n-) sijasta n. 8

11 VALINTAKOEKIRJASTA Sivuilla käsitellään variaatiokerrointa. Esimerkissä 9 päätellään, että palkat on ilmeisesti sidottu myynnin määrään. Pelkän variaatiokertoimen avulla tätä ei voi päätellä, vaan päätelmä vaatii muuttujien välisen yhteyden tarkastelua, mihin kirjan tekstissä viitataan (yhteyden tarkastelua käsitellään luvuissa 8 ja 9). Variaatiokertoimen perusteella voidaan tehdä päätelmä, että palkkojen ja myynnin määrän suhteellinen vaihtelu on likimain samansuuruista. Päätelmien ero käy selväksi, jos tarkastellaan esimerkin alkuperäistä aineistoa ja seuraavia aineistoja. Alkuperäinen aineisto Myynti ( /kk) Palkka ( /kk) Myynti: /kk /kk 0,0 Palkka: /kk 578 /kk 0,93 palkka ( 000 /kk) 4,0 3,5 3,0,5,0,5, Myynti ( 000 /kk) Myynnin ja palkkojen välinen hajontakuvio, r 0,996. Vaihtoehtoinen aineisto A. Myynnin määrät ovat samat kuin alkuperäisessä aineistossa. Palkkojen jakauma on sama, mutta myynnin ja palkkojen yhteisjakauma on erilainen. Eli yritys maksaa samat palkkasummat, mutta eri myyntimiehille kuin alkuperäisessä aineistossa. (Tässä vaihtoehdossa hyvin epäkannustavasti!) Myynti ( /kk) Palkka ( /kk)

12 VALINTAKOEKIRJASTA Myynti: /kk /kk 0,0 Palkka: /kk 578 /kk 0,93 palkka ( 000 /kk) 4,0 3,5 3,0,5,0,5, Myynti ( 000 /kk) Myynnin ja palkkojen välinen hajontakuvio, r -0,98. Vaihtoehtoinen aineisto B. Myynnin määrät ovat samat kuin alkuperäisessä aineistossa. Palkkojen jakauma on sama, mutta myynnin ja palkkojen yhteisjakauma on erilainen. Eli yritys maksaa samat palkkasummat, mutta eri myyntimiehille kuin alkuperäisessä aineistossa tai aineistossa A. Myynti ( /kk) Palkka ( /kk) Myynti: /kk /kk 0,0 Palkka: /kk 578 /kk 0,93 palkka ( 000 /kk) 4,0 3,5 3,0,5,0,5, Myynti ( 000 /kk) Myynnin ja palkkojen välinen hajontakuvio, r 0,00. 0

13 VALINTAKOEKIRJASTA Vaihtoehtoinen aineisto C. Myynnin määrät ovat samat kuin alkuperäisessä aineistossa. Palkkojen jakauma on erilainen, mutta myynnin ja palkkojen välillä on samansuuntainen yhteys kuin alkuperäisessä aineistossa eli suurempi myynti on yhteydessä suurempiin palkkoihin. Tässä aineistossa yrityksen maksamissa palkoissa on vähemmän vaihtelua kuin alkuperäisessä aineistossa tai aineistoissa A ja B. Myynti ( /kk) Palkka ( /kk) Myynti: /kk /kk 0,0 Palkka: /kk /kk, palkka ( 000 /kk) 4,0 3,5 3,0,5,0,5, Myynti ( 000 /kk) Myynnin ja palkkojen välinen hajontakuvio, r 0,996. Variaatiokertoimen käyttäminen sellaisen muuttujan kohdalla, jonka keskiarvo on nolla, on mahdotonta. Myös hyvin lähellä nollaa olevat keskiarvot tekevät variaatiokertoimen käytöstä ongelmallista, koska pienikin muutos keskiarvossa vaikuttaa variaatiokertoimeen voimakkaasti. Pääasiassa variaatiokerrointa tulisi käyttää ainoastaan suhdeasteikollisten muuttujien kohdalla, jolloin edellä mainittua ongelmaa ei yleensä tule. Välimatkaasteikollisten muuttujien kohdalla keskiarvo voi olla myös negatiivinen, jolloin variaatiokertoimelle ei voi antaa mielekästä tulkintaa. Välimatka-asteikollisten muuttujien kohdalla onkin lähes aina parempi ilmoittaa keskiarvo ja keskihajonta.

14 VALINTAKOEKIRJASTA Viisilukuinen yhteenveto ja laatikkokuvio Muuttujan viisilukuinen yhteenveto on muuttujan pienimmän arvon, alakvartiilin, mediaanin, yläkvartiilin ja suurimman arvon järjestetty joukko (min, Q, Md, Q 3, max). Nämä viisi lukua jakavat siis aineiston neljään yhtä suureen osaan: havainnoista 5 % on välillä min Q, 5 % välillä Q Md, 5 % välillä Md Q 3 ja 5 % välillä Q 3 max. Laatikkokuvio on viisilukuisen yhteenvedon kuvallinen esitys. Siitä on alla esimerkki ASIAKAS-aineiston muuttujasta kotitalouksien nettotulot ( /kk). Laatikkokuvio on käyttökelpoinen myös ryhmäerojen kuvailussa. Alla ss esimerkissä 0 käsitellyn miesten ja naisten palkkojen kuvailu, josta on helppo havaita erojen olevan erityisesti suurten palkkojen kohdalla.

15 VALINTAKOEKIRJASTA 5 Todennäköisyyslaskennan perusteet Valintakoekirjassa käsitellään todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Tässä tarkastellaan ensin hieman lisää tapahtumien erillisyyttä, riippumattomuutta ja ehdollista todennäköisyyttä sekä esitellään lisäksi kokonaistodennäköisyyden laskeminen ja Bayesin teoreema. Alkuun on syytä tarkentaa kirjan sivulla 5 olevaa lausetta: Kuten tapahtumien yhteenlaskusäännön tapauksessa myös kertolaskusääntöä täytyy muuttaa silloin, jos tapahtumat eivät olekaan toisistaan riippumattomia. Yhteislaskusäännön kohdalla vaikuttaa kuitenkin se, ovatko tapahtumat erillisiä (eli toisensa pois sulkevia) vai eivät. Yleistä yhteenlaskusääntöä voi käyttää aina. Erillisten tapausten kohdalla sääntö yksinkertaistuu, kun termin, joka on nolla, voi jättää pois. Jos tapahtumia on enemmän kuin kaksi ja ne kaikki ovat erillisiä, erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntöä voi käyttää. Useamman kuin kahden tapahtuman yleinen yhteenlaskusääntö on hieman monimutkaisempi eikä sitä esitellä kirjassa tai tässäkään materiaalissa. Riittää todeta, että ratkaisuissa voi käyttää apuna liitäntälakia.. Tähdennetään vielä, että tapahtumien erillisyys ja riippumattomuus ovat siis eri asioita. Tapahtumat A ja B ovat erillisiä, jos, jolloin 0. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos. Jos 0 ja 0, niin 0. Tapahtumat eivät voi siis olla sekä erillisiä että riippumattomia. Ei-erilliset tapahtumat voivat olla joko riippumattomia tai riippuvaisia. Kirjassa esitellään yleinen kertolaskusääntö:, jonka voi myös esittää. Siis, josta voidaan johtaa ja. Riippumattomuus voidaan ilmaista siis myös seuraavasti. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos. Kun molemmat puolet supistetaan P(A):lla saadaan. Vastaavasti tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos. Eli tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos A:n tapahtuminen ei vaikuta B:n tapahtumisen todennäköisyyteen eikä vastaavasti B:n tapahtuminen vaikuta A:n tapahtumisen todennäköisyyteen. Kokonaistodennäköisyyttä tarvitaan tilanteissa, joissa jokin tapahtuma voi toteutua usealla eri tavalla (ehdolla). Tarkastellaan seuraavaa kirjan s. esimerkistä muokattua esimerkkiä. Kutsuille on varattu kolme korillista limonadia. Yhdessä korissa on 6 kolajuomaa, toisessa korissa on 8 kolajuomaa ja kolmannessa korissa on kolajuomaa. Liisan isä hakee kellarista 3

16 VALINTAKOEKIRJASTA sattumanvaraisesti yhden korin ja näkemättä koria ja pulloja Liisa valitsee korista yhden pullon. Mikä on todennäköisyys, että Liisa saa kolajuoman? Merkitään P(A ) = {isä valitsee korin } =, P(A ) = {isä valitsee korin } =, P(A 3) = {isä valitsee korin 3} = ja P(B) = {Liisa saa kolajuoman} Tässä tapauksessa tämä on luonnollisesti sama kuin kolajuomien kokonaismäärä jaettuna kaikkien limonadipullojen määrällä. Toisissa tilanteissa, joissa P(A ), P(A ), P(A 3 ),, P(A n ) eivät kaikki ole yhtä suuria, vastaavuus ei ole näin suoraviivainen. Bayesin teoreeman avulla voidaan esimerkin tilanteessa vastata seuraavaan kysymykseen. Kun tiedetään, että Liisa sai kolajuoman, niin millä todennäköisyydellä isä toi kellarista korin?

17 VALINTAKOEKIRJASTA Esimerkin voi havainnollistaa seuraavalla puurakenteella. Kokonaistodennäköisyys on kaikkien alusta loppuun kulkevien polkujen yhdistelmä. Kun tiedetään, että jokin tapahtuma on tapahtunut, niin Bayesin teoreeman avulla voidaan selvittää, mikä on tapahtumaan johtaneiden eri vaihtoehtojen todennäköisyys. Bayesin teoreemaa voidaan käyttää vastaavissa tilanteissa monissa yhteyksissä. Kuvataan asiaa vielä kahden esimerkin avulla. Tiedetään, että tiettyä virustautia sairastaa 5 % perusjoukosta. Viruksen toteamiseksi on olemassa laboratoriotesti, joka antaa joko positiivisen tai negatiivisen tuloksen (positiivinen tulos tarkoittaa, että testin mukaan henkilöllä on tautia aiheuttava virus ja negatiivinen testitulos, että henkilöllä ei ole virusta). Niiden henkilöiden kohdalla, joilla on virus, testi antaa oikean (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä Terveiden henkilöiden kohdalla testi antaa oikean (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä Satunnaisesti valittu perusjoukon henkilö menee testiin ja testin tulos on positiivinen. Millä todennäköisyydellä tällä henkilöllä on virus? Kootaan annetut tiedot yhteen. Merkitään V = henkilöllä on virus, T = henkilöllä ei ole virusta eli henkilö on terve, P = testin tulos on positiivinen ja N = testin tulos on negatiivinen. Huomioidaan, että ja. On ehkä kuitenkin helpompi käyttää ensin mainittuja merkintöjä. 0.05, , 0.95 ja Ratkaistava todennäköisyys on puolestaan. Lasketaan ensin kokonaistodennäköisyys sille, että testi antaa positiivisen tuloksen Bayesin teoreeman avulla Eli testatuista henkilöistä, joiden testitulos on positiivinen joka kolmannella on virus. 5

18 VALINTAKOEKIRJASTA Tarkastellaan vielä yhtä esimerkkiä. Kokeessa on yksi monivalintatehtävä, jossa on viisi vastausvaihtoehtoa. Vaihtoehdoista yksi on oikea ja neljä ovat vääriä. Tehtävään vastanneet henkilöt ovat joko hyvin valmistautuneita, melko hyvin valmistautuneita tai täysin valmistautumattomia. Hyvin valmistautuneita on 40 %, melko hyvin valmistautuneita samoin 40 % ja valmistautumattomia on 0 %. Hyvin valmistautuneet valitsevat oikean vaihtoehdon todennäköisyydellä 0.90, melko hyvin valmistautuneet todennäköisyydellä 0.50 ja valmistautumattomat arvaavat satunnaisesti. a) Kuinka iso osa monivalintatehtävän vastauksista on oikein? b) Jos hakija on vastannut oikein, millä todennäköisyydellä hän on hyvin valmistautunut? Kohdassa a) on selvitettävä kokonaistodennäköisyys Kohta b) ratkeaa Bayesin teoreeman avulla. Tehtäviä (vastaukset ovat seuraavalla sivulla) Eräässä käräjäoikeudessa niistä syytetyistä, jotka ovat syyllistyneet rikokseen, vapautetaan 8 % ja niistä syytetyistä, jotka eivät ole syyllistyneet rikokseen, tuomitaan 6 %. Kaikista syytetyistä 80 % on syyllisiä. a) Mikä on todennäköisyys, että tuomittu henkilö on syyllistynyt rikokseen? b) Mikä on todennäköisyys, että tuomittu henkilö ei ole syyllistynyt rikokseen? c) Mikä on todennäköisyys, että vapautettu henkilö on syyllistynyt rikokseen?. Syventävälle kurssille osallistumisen vaatimuksena on, että opiskelijalla on peruskurssilla saatavat tiedot. Nämä voi saavuttaa joko avoimen yliopiston kurssilla tai kirjatentissä tai yliopiston kurssilla tai kirjatentissä. Oletetaan, että edellä mainitut neljä tapaa ovat toisensa poissulkevia. Syventävälle kurssille osallistuvista 30 % on suorittanut avoimen yliopiston peruskurssin ja 0 % kirjatentin, 40 % on suorittanut yliopiston peruskurssin ja 0 % kirjatentin. Syventävän kurssin hyväksytyn suorituksen on saanut 80 % avoimessa yliopistossa peruskurssin suorittaneista ja 90 % yliopistossa peruskurssin suorittaneista. a) Mikä on todennäköisyys, että syventävästä kurssista hylätyn suorituksen saanut on käynyt avoimen yliopiston peruskurssin? b) Mikä on todennäköisyys, että syventävästä kurssista hylätyn suorituksen saanut on suorittanut yliopiston peruskurssin kirjatentillä? 3. Kaupassa myynnissä olevista tomaateista /3 tulee puutarhalta A, /4 puutarhalta B ja loput puutarhalta C. Puutarhan A tomaateista 94 % on myyntikelpoisia, puutarhan B tomaateista 90 % on myyntikelpoisia ja puutarhan C tomaateista vain 88 % on myyntikelpoisia. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tomaatti on myyntiin kelpaamaton? b) Millä todennäköisyydellä myyntiin kelpaamaton tomaatti on peräisin puutarhalta A? 6

19 VALINTAKOEKIRJASTA Tehtävien vastaukset. a) b) c) a) b) a) b)

20 VALINTAKOEKIRJASTA 6 Todennäköisyysjakaumat Kirjan sivulla 54 on lause, joka alkaa: Voidaan siis ajatella, että χ -jakauma muodostuu yhteenlasketuista normaalijakaumista,. Edellisellä sivulla on esitetty satunnaismuuttujan χ lauseke, josta nähdään, että normaalijakautuneet satunnaismuuttujat neliöidään. Sivun 54 lauseen oikea ilmaisu on siis: Voidaan siis ajatella, että χ -jakauma muodostuu neliöidyistä yhteenlasketuista normaalijakaumista,. Osaan 6.3 Jatkuvat todennäköisyysjakaumat liittyen käydään tässä lyhyesti läpi normitetun normaalijakauman kertymäfunktion arvojen taulukon lukeminen. Kirjan liitteen taulukossa on z välillä Z-arvon kokonaisosa ja kymmenesosa luetaan. sarakkeesta ja sadasosa. riviltä (z). Taulukosta sarakkeen ja rivin leikkauskohdasta löytyy kertymäfunktion arvo. Siis esimerkiksi jos tarvitsee selvittää P(Z <.75) = Φ(.75), niin taulukon kolmannelta sivulta etsitään sarakkeesta z luku.7 ja riviltä z luku.05. Näiden leikkauskohdasta löytyy kertymäfunktion arvo Arvojen - ja.75 väliin jää siis % normitetun normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin rajoittamasta alasta. Kannattaa myös huomata, että koska normaalijakauma on symmetrinen, niin Φ(-z) = - Φ(z) Siis esimerkiksi Φ(-.75) = ja Φ(.75) = = Koska näin on, niin jos normaalijakauman taulukko on annettu vain välille tai välille , voi toisen välin arvot laskea komplementtitapahtuman säännöllä. 8

21 VALINTAKOEKIRJASTA Studentin t-jakauma on symmetrinen, mutta sen muoto määräytyy vapausasteiden mukaan. Studentin t-jakauman taulukossa esitetään tiettyihin merkitsevyystasoihin liittyvät testisuureen kriittiset arvot. Taulukon vasemmasta reunasta valitaan vapausasteluku. Vapausasteiden riviltä nähdään testisuureen kriittiset arvot. Jos esimerkiksi t-jakauman vapausasteluku on 0, niin todennäköisyys, että t < -.8 on 0.05 (likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella) ja todennäköisyys että t >.764 on 0.0 (likiarvo tämäkin). χ -jakauma ei ole symmetrinen ja sen muoto määräytyy vapausasteiden mukaan. χ -jakauman kriittiset arvot on taulukoitu vapausasteiden ja merkitsevyystason mukaan. Jos esimerkiksi χ -jakauman vapausasteluku on 5, niin todennäköisyys että χ < 5.9 on 0.0 (siis likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella) ja todennäköisyys että χ > on 0.05 (likiarvo). 9

22 VALINTAKOEKIRJASTA 7 Tilastollinen päätöksenteko ja hypoteesien testaaminen Sivulla 75 mainitaan, että Saatu p-arvo osoittaa, kuinka suuri on väärän johtopäätöksen todennäköisyys, jos nollahypoteesi hylätään. Tämän voidaan tavallaan ajatella olevan myös todennäköisyys sille, että vaihtoehtoinen hypoteesi on väärä. Ensimmäisen lauseen voi ymmärtää oikein, mutta toisesta voi saada sellaisen väärän käsityksen, että p-arvo olisi todennäköisyys sille, että H on väärä. Näin ei ole. P-arvo on todennäköisyys sille, että saadaan otoksesta lasketun arvon verran poikkeava tai sitä vielä poikkeavampi tulos nollahypoteesin mukaisesta arvosta olettaen että nollahypoteesi on tosi. P-arvon tulkinnassa saattaa tulla vastaan muutamia muitakin väärinymmärryksiä, joita tässä pyritään ennalta ehkäisemään. P-arvo ei ole todennäköisyys sille, että nollahypoteesi on tosi, p-arvo ei ole todennäköisyys hylätä väärä nollahypoteesi eikä p-arvo ole todennäköisyys sille, että havaittu tulos olisi saatu sattumalta. Kirjan lauseella pyrittäneen kuvaamaan seikkaa, että mitä pienempi p-arvo on, sitä vahvempi todiste otoksesta laskettu testisuure on nollahypoteesia vastaan. Tähän liittyen kirjan sivun 75 taulukko olisi parempi esittää seuraavassa muodossa. Todellisuus Päätös H0 epätosi H0 tosi H0 hylätään. Oikea päätös. Hylkäämisvirhe (tyypin virhe eli väärä positiivinen päätös) H0 jää voimaan 3. Hyväksymisvirhe (tyypin virhe eli väärä negatiivinen päätös) 4. Oikea päätös Kirjan sivulla 86 käsitellään riippumattomien otosten t-testiä. Sivulla kerrottu t-testisuureen kaava soveltuu käytettäväksi tilanteissa, joissa n = n. Yleisesti t-testisuureen kaava on:, jossa ja siis Kirjassa sivulla 87 olevan esimerkin vastaus pyöristettynä 3 desimaalin tarkkuuteen on kirjassa esitetyllä kaavalla laskettuna ja yllä esitetyllä Jos otoshajontojen ja otoskokojen erot ovat pieniä, molemmat kaavat antavat likimain saman tuloksen. Otoskokojen ollessa eri suuret tulee kuitenkin käyttää yllä olevaa kaavaa. 0

23 VALINTAKOEKIRJASTA 8 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatiokertoimet Osassa 8. Korrelaatio esitetään Pearsonin korrelaatiokerroin kahden muuttujan välisen yhteyden mittana. Kertoimen laskemiseen esitetään seuraava kaava, mutta kertoimen voi laskea muillakin tavoin., jossa z x on x-muuttujan normitettu arvo ( ), z y on y-muuttujan normitettu arvo ( ) Kun korrelaatiokerroin lasketaan otoksesta, oikea jakaja on n-. Hajontojen ja kovarianssin avulla korrelaatiokertoimen voi laskea kaavalla s xy on muuttujien x ja y välinen kovarianssikerroin, s x on muuttujan x keskihajonta ja s y on muuttujan y keskihajonta Kovarianssikerroin on kahden muuttujan yhteisvaihtelun estimaatti, jota ei ole normitettu välille [-, ]. Kovarianssi lasketaan kaavalla Siis jokaisen havainnon kohdalla lasketaan havainnon x-muuttujan arvon ja x-muuttujan keskiarvon erotus sekä havainnon y-muuttujan arvon ja y-muuttujan keskiarvon erotus ja nämä arvot kerrotaan. Näin saadut tulot lasketaan yhteen otoksen kaikilta havainnoilta ja tämä summa jaetaan luvulla n-. Korrelaatiokertoimen voi laskea myös seuraavalla kaavalla, jota käytettäessä ei ole välttämätöntä laskea muuttujien hajontoja. Joskus korrelaatiokertoimen voi laskea helpoiten käsin seuraavien kaavojen avulla.

24 VALINTAKOEKIRJASTA Seuraavassa taulukossa on pieni kymmenen havainnon aineisto, jonka avulla eri kaavojen mukaisia laskuja on helppo harjoitella, sillä välivaiheissa saatavat luvut ovat pyöreitä. Kummankin muuttujan keskiarvo on 4 ja hajonta. Kovarianssikertoimen arvo on 3 ja korrelaatiokertoimen arvo on nro x y

25 VALINTAKOEKIRJASTA 9 Regressioanalyysi Luvun tekstiä on jonkin verran muutettu verrattuna kirjan pohjana olleeseen edellisten vuosien valintakoekirjaan. Tekstistä on korjattu maininnat syy-yhteydestä, mutta sellainen on jäänyt sivun 6 vuokaavioon, josta voi saada virheellisen käsityksen. Regressioanalyysi ei edellytä eikä sen tuloksista yksistään voida päätellä kausaaliyhteyttä. Mahdollisen kausaalisuuden selvittäminen voi tapahtua koeasetelman ja teoreettisen mekanismin elaboraation perusteella, esimerkiksi sulkemalla pois muita selitysmahdollisuuksia. Regressiomallin arvioimista käsitellään kirjan luvussa 9.4. Tässä tuodaan esiin muutama näkökohta lisää tarkastelemalla esimerkkejä 4 ja 5. Regressiomallin tilastollisen merkitsevyyden selvittäminen aloitetaan tutkimalla koko mallin tilastollista merkitsevyyttä selityskertoimen lisäksi. Mallin tilastollinen testaaminen tapahtuu F-testisuureen avulla. F-jakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jolla on kaksi vapausastelukua, jotka vaikuttavat jakauman muotoon. F-jakauman käyttöä ei käydä läpi tarkemmin ja valintakoetta ajatellen jakaumasta ei tarvitse tietää enempää. Regressioanalyysin yhteydessä F-testisuuretta käytetään testaamaan nollahypoteesia H 0 : R = 0 eli mallin yhteiskorrelaatiokerroin on nolla. H -hypoteesi on puolestaan R > 0. Yhtä hyvin nollahypoteesin voi esittää muodossa R = 0 eli mallin selitysaste on nolla. Jos tämä nollahypoteesi jää voimaan, niin silloin ei voida sanoa, että mallin selittävät muuttujat ennustaisivat tai selittäisivät selitettävää muuttujaa tilastollisesti merkitsevästi. Yhteiskorrelaatiokerroin on regressiomallin ennustearvojen ja selitettävän muuttujan havaittujen arvojen välinen korrelaatiokerroin. Tämän tarkempaan yhteiskorrelaatiokertoimen tarkasteluun ei tässä mennä. Alle on koottu esimerkin 5 malleista taulukkoja. Taulukko. Esimerkin 5 mallien yhteenvetotietoja. Selitettävä muuttuja on elinajanodote. Malli R R R a F df df p-arvo <.00 Huomataan, että kaikki mallit selittävät elinajanodotetta tilastollisesti merkitsevästi (p-arvot ovat pieniä). Yhteiskorrelaatiokerroin ja selityskerroin ovat lähes yhtä suuria malleissa 3, mutta muuttujien jättäminen pois parantaa suhteutettua selityskerrointa. Kun tarkastellaan yhdessä edellä olevan taulukon kanssa mallien regressiokertoimia, voidaan malleja verrata tarkemmin. Seuraavan sivun taulukossa on esimerkin 5 taulukko muutamin lisäyksin ja korjauksin. Mukaan on lisätty muun muassa VIF-arvot ja mallin 3 BKT:n t- ja p-arvot on korjattu. 3

26 VALINTAKOEKIRJASTA Taulukko. Esimerkin 5 mallien regressiokertoimet, niiden tilastollinen merkitsevyys ja VIF-arvot. Selitettävä muuttuja on elinajanodote. Regressiokerroin Malli Selittäjät t-arvo p-arvo VIF Vakiotermi <.00 3 Henkilöä/lääkäri Imeväiskuolleisuus Hedelmällisyysluku BKT/henkilö (000 USD) Vakiotermi <.00 Imeväiskuolleisuus Hedelmällisyysluku BKT/henkilö (000 USD) Vakiotermi <.00 Imeväiskuolleisuus BKT/henkilö (000 USD) Mallissa huomataan, että vaikka koko malli selitti elinajanodotetta tilastollisesti merkitsevästi, niin yhdenkään muuttujan t-arvo ei ole tilastollisesti merkitsevä. Tämä ristiriitaiselta tuntuva tulos johtuu siitä, että selittävillä muuttujilla on paljon päällekkäistä selitysosuutta. Huomataan, että imeväiskuolleisuus korreloi (katso kirjan s. 55 korrelaatiomatriisi) voimakkaasti muiden selittävien muuttujien (erityisesti henkilöä/lääkäri -muuttujan) kanssa. Kirjassa esitettyjen nyrkkisääntöjen perusteella joudutaan nyt päättämään poistetaanko mallista imeväisyyskuolleisuus (korkea VIF-arvo, mutta voimakas korrelaatio elinajanodotteen kanssa) vai henkilöä/lääkäri (suuri p-arvo mallissa ja matalampi korrelaatio selitettävän muuttujan kanssa). Imeväiskuolleisuuden korkea VIF-arvo johtuu siitä, että mallissa mukana oleva, mutta elinajanodotetta huonommin selittävä henkilöä/lääkäri -muuttuja korreloi sen kanssa voimakkaasti. Jos ei ole teoreettisia perusteita muuttujien valinnalle, kannattaa poistaa henkilöä/lääkäri -muuttuja ja tutkia, mitä imeväiskuolleisuuden VIF-arvolle tapahtuu. Mallissa imeväiskuolleisuuden VIF-arvo on selvästi pienempi ja sen p-arvo lähestyy perinteistä tilastollisen merkitsevyyden rajaa (.05). Hedelmällisyysluvun p-arvo on suuri (mitä se oli myös mallissa ), joten sen mukana olo mallissa ei ole tilastollisen merkitsevyyden valossa kovin hyödyllistä. Mallissa 3 imeväiskuolleisuus on tilastollisesti merkitsevä ja BKT:kin lähestyy perinteistä tilastollisen merkitsevyyden rajaa (.05). Jos BKT jätettäisiin pois ja selitettäisiin elinajanodotetta ainoastaan imeväiskuolleisuudella, niin mallin selityskerroin olisi (-0.89) 0.67, mikä on selvästi pienempi kuin malleissa 3. Tämän esimerkin tapauksessa olisi järkevää pitää myös BKT selittäjänä. Kannattaa myös pitää mielessä, että esimerkin aineisto on kovin pieni. Taulukon merkinnöistä on hyvä huomata, että on oikeampaa ilmoittaa p-arvon merkintä p <.00, vaikka tietokoneohjelmien tulostus olisikin esimerkiksi.00 (kirjan esimerkissä vakiotermien p-arvot) ja ettei VIF-arvoa lasketa vakiotermille. 4

27 VALINTAKOEKIRJASTA Kirjan sivulla 334, luvun 9 tehtävän 7 (itse tehtävä on sivulla 66 ja siinä olevassa taulukossa lienee painovirhe m 3, kun luultavasti tarkoitetaan m ) kohdan b vastauksessa on regressioyhtälö Koko = 5,44 + 0,33 Hinta Tämän yhtälön perusteella on sitten laadittu ennuste hinnalle kun asunnon koko on 50 m :,,,, Joka siis kerrottuna tuhannella eurolla on B-kohdan kysymykseen vastaamiseksi voitaisiin laatia regressiomalli, jossa hintaa selitetään/ennustetaan asunnon koolla. Tällöin saadaan regressioyhtälö Hinta = 3,49 + 3,5 Koko.,, Ennuste olisi siis Tämä on oikea vastaus, kun tehtävässä puhutaan koon vaikutuksesta hintaan. On pienimmän neliösumman menetelmän ominaisuus, että kahden muuttujan väliselle regressiolle saadaan kaksi eri yhtälöä riippuen siitä, kumpi muuttujista on selitettävä ja kumpi selittävä muuttuja. Asian tarkempi selostus ohitetaan tässä, koska se on valintakokeeseen valmistautumista ajatellen melko vaativa. Tämän tehtävän osalta seuraavan sivun kuvat valaisevat asiaa hieman. 5

28 VALINTAKOEKIRJASTA 6

29 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Vanhoja valintakoetehtäviä Tässä osassa on joitakin vanhoja valintakoetehtäviä. Ratkaisut niihin löytyvät lisämateriaalin viimeisestä osasta. Vuosi 989, tehtävä 4 Sankari oli päässyt tutkimusapulaiseksi erään lääkärin tutkimusprojektiin. Lääkäri oli kiinnostunut siitä, kuinka suuri vaikutus lämpötilan muutoksilla on päähineen käyttöön. Sankarimme oli saanut seuraavat ohjeet tutkimuksen tekoon: Mene kaupungille johonkin baariin, istu siellä rauhallisessa nurkkapöydässä, josta on näköala vilkasliikenteiselle kadulle ja tutki päähineen käyttöä. Kirjaa seuraavat tiedot tutkimustilanteesta: Päivämäärä, ulkolämpötila. kadulla kulkevista jalankulkijoista kirjaa seuraavat tiedot: päähineen käyttö, sukupuoli, arvioitu ikä, kellonaika. Sankari teki työtä käskettyä (pienen palkkion toivossa) ja seuraavalla sivulla on hänen tilastonsa. Rinnakkain esiintyvät kahtena eri päivänä tehdyt mittaukset. Ensimmäisen päivänä pakkasta ei ollut lainkaan. Toisella mittauskerralla lämpötila oli -0 C. Aikaisemmissa tutkimuksissa oli todettu, että kylmemmällä säällä useammat käyttävät päähinettä, mikä kuulostaakin ihan luontevalta. Jos lasket päähineen käyttäjien lukumäärät 0 C ja -0 C huomaat, että päähineen käyttäjiä on lähes yhtä paljon. a) Mistä johtuu, ettei Sankari saanut yllä mainitulla aineistolla aikaisempien tutkimustulosten mukaista tulosta? Perustele vastauksesi graafisin kuvin. Tilastollisia testejä tuloksen vahvistamiseen ei tämän tehtävän ratkaisuissa edellytetä. b) Jos sinun pitäisi tutkia lämpötilan vaikutusta päähineen käyttöön, miten voisit ottaa huomioon kokeen järjestämisessä Sankarin saamia tuloksia? Taulukossa esiintyvät muuttujat: päähine: Päähine on päässä =, ei päähinettä päässä = 0 sukup: Sukupuoli, nainen = N, mies = M ikä: Arvioitu ikä 0 vuoden tarkkuudella kellonaika: Kellonaika, jolloin tutkittavan henkilön päähineen käyttö kirjattu 7

30 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Mittauskerta, Mittauskerta, Ulkolämpötila 0 C Ulkolämpötila 0 C päähine sukup ikä kellonaika ulkolämpötila päähine sukup ikä kellonaika ulkolämpötila M 0 9:0 0 N 50 9:5 0 0 M 40 9:0 0 M 0 9:5 0 0 M 0 9:0 0 0 N 0 9:5 0 0 N 0 9:0 0 M 0 9:5 0 N 50 9:0 0 0 N 0 9:5 0 N 50 9:0 0 N 0 9:5 0 N 60 9:0 0 N 60 9:5 0 0 M 60 9:0 0 0 M 0 9:5 0 M 50 9:0 0 M 0 9:5 0 0 M 50 9:0 0 0 M 0 9:5 0 N 60 9:0 0 M 60 9:5 0 0 M 0 9:03 0 N 0 9:5 0 N 40 9: N 0 9:5 0 0 N 0 9: N 0 9:53 0 M 40 9:03 0 N 0 9:53 0 M 40 9: M 0 9:53 0 M 50 9:03 0 M 50 9: M 0 9: M 0 9:54 0 N 50 9: M 0 9: N 0 9: N 0 9:54 0 N 40 9:04 0 N 40 9: N 50 9: N 0 9:54 0 M 60 9:04 0 M 0 9:54 0 N 60 9: M 0 9: N 0 9:04 0 N 0 9:54 0 M 50 9:04 0 N 50 9:55 0 Vuosi 990, tehtävä Tutkija on kiinnostunut siitä, ehtiikö aamun lehti tulla kello viiteen mennessä, jolloin hän ehtisi lukea lehden. Tutkijalla on seuraavaa tietoa postinkannosta: Postin kanto tapahtuu päivän periodeissa. Yhden periodin aikana varsinainen postinkantaja tuo postin 0 kertaa ja sijainen kahtena satunnaisena päivänä. Kun varsinainen postinkantaja tuo postin, niin 9 kertana 0:stä postin saapuminen noudattaa normaalijakaumaa parametrein: odotusarvo kello 4 aamulla, hajonta tunti. Keskimäärin kerran yhden periodin aikana postinkantajamme unohtuu juhlimaan liian pitkään (silloin, kun hänellä on oma kantovuoro) ja tällöin postin saapuminen noudattaa normaalijakaumaa parametrein: odotusarvo kello 6 aamulla, hajonta 90 minuuttia. 8

31 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Kun sijainen kantaa postia, postin saapuminen noudattaa tasaista jakaumaa kello puoli neljän ja kello 6 välillä (näiden aikojen ulkopuolella postin saapumisen todennäköisyys on 0). Millä todennäköisyydellä lehti saapuu kello viiteen mennessä jonakin satunnaisena aamuna, jos: a) Varsinainen postinkantaja tuo lehden ja hän ei ole ollut juhlimassa. b) Varsinainen postinkantaja tuo lehden ja hän on ollut juhlimassa. c) Sijainen tuo postin. d) Millä todennäköisyydellä jonakin satunnaisena aamuna lehti on tipahtanut postiluukusta kello viiteen mennessä? Vuosi 990, tehtävä 3 Tutkija on kiinnostunut polkupyöräkypärän käytöstä. 00 pyöräilijän otoksesta 0 käyttää kypärää. Edellisenä vuonna on todettu, että kypärän käyttäjiä on 0 % polkupyöräilijöistä. Voiko tutkija väittää, että kypärän käyttö on lisääntynyt 5 % riskitasolla. a) Aseta H 0 ja H hypoteesit. b) Ratkaise tehtävä. Miten tämän esimerkin tapauksessa määrittelet hypoteesin testauksessa: c) I lajin virhe. d) II lajin virhe. 9

32 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Vuosi 99, tehtävä Seuraavassa on piirretty kolme jakaumaa. Määrittele yksikäsitteisesti mistä todennäköisyys- tai tiheysfunktiosta on kysymys. Piirrä pyydetyt kertymäfunktiot. Kaikkiin piirrettäviin kuvioihin on myös merkittävä asianmukaiset asteikot. a) Mikä on seuraava jakauma ja mitkä ovat jakauman tunnusluvut? Kuvioon on piirretty jakauman kaikkien mahdollisten arvojen todennäköisyydet. 0,8 0,4 pistemäärä pistemäärän todennäköisyys , 0,6 0, 0,08 0, b) Kuviossa on erään jakauman tiheysfunktio. Mikä todennäköisyysjakauma on kyseessä? pistemäärä osuus pintaalasta pistemäärä osuus pintaalasta ,5 0,5 0 c) Mikä jakauma kuvaan on piirretty? Mitkä ovat jakauman tunnusluvut? Tarkennukseksi ohessa pistemäärien väliin jäävän pinta-alan osuus jakauman kokonaispinta-alasta (kun kokonaispinta-alaa kuvataan luvulla ). pistemäärä osuus pinta-alasta pistemäärä osuus pinta-alasta

33 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Vuosi 99, tehtävä Tutkija halusi tietää, kumpia pareja on Helsingin puhelinyhdistyksen (HPY) 99 puhelinluettelossa (kotipuhelimet) enemmän: sellaisia pareja, joissa miehen nimi on ensimmäisenä (esim. Virtanen Ahti ja Liisa) vai pareja, joissa naisen nimi on ensimmäisenä (esim. Virtanen Aili ja Pentti). Mukaan otetaan myös sellaiset pariskunnat, joilla on eri sukunimi, mutta yhteinen puhelinnumero (esim. Virtanen Antero ja Turunen Leena). Sellaisista nimistä, joissa oli vain pelkästään miehen nimi (esim. Virtanen Aarre), pelkästään naisen nimi (esim. Virtanen Agnes), enemmän kuin kaksi nimeä tai jonkun yhdistyksen nimi, ei oltu kiinnostuneita. Kyseisessä puhelinluettelon osassa on varsinaisia puhelinnumeroita sivulta 57 sivulle 3. Nimet ovat aakkosjärjestyksessä. jokaisella sivulla on kolme palstaa, jokaisella täydellä palstalla on noin 30 puhelinnumeroa. Seuraavassa on näyte puhelinluettelosta sivulta 080. Näytteessä on sivulta 080 ensimmäiset 0 nimeä jokaiselta palstalta, kolme nimeä keskeltä sivua jokaiselta palstalta ja kolme nimeä sivun alalaidasta jokaiselta palstalta. osoitteet ja puhelinnumerot on jätetty pois. Alleviivattuna ovat tutkimusotokseen hyväksyttävät nimiparit. Vir Virtanen Aarre 080 (palsta ) (palsta ) (palsta 3) Virtanen Aarre Virtanen Anne ja Markku Virtanen Eero ja Tarja Virtanen Aarre ja Glory Virtanen Anne-Leena Virtanen Eero Virtanen Aarre A ja Sylvia Virtanen Anneli Virtanen Eeva Virtanen Aatos Viljo Virtanen Anneli Virtanen Eeva Virtanen Agnes Virtanen Anneli Virtanen Eeva Virtanen Agnes ja Kalle Virtanen Anneli Virtanen Eeva Virtanen Ahti Virtanen Anneli ja kalle Virtanen Eeva Virtanen Ahti Virtanen Anneli ja Olavi Virtanen Eeva ja Juhani Virtanen Ahti Virtanen Anni Virtanen Eeva ja Olavi Virtanen Ahti ja Liisa Virtanen Anni Virtanen Eeva ja Soini Virtanen Ahti ja Sally Virtanen Anni ja Jukka Virtanen Eeva ja Veikko Virtanen Ahti ja Senja Virtanen Anniina ja Risto Virtanen Eeva, Jouko ja Heikki Virtanen Aija ja Tuija Virtanen Annikki Virtanen Eeva Kaarina Virtanen Aila Virtanen Annikki Virtanen Eeva-Liisa Virtanen Aila Virtanen Annikki Virtanen Eeva-Liisa Virtanen Aila Virtanen Annikki ja Iippo Virtanen Eeva-Liisa ja Matti Virtanen Aila Virtanen Annikki ja Rauno Virtanen Eevi ja Kalevi Virtanen Aila Virtanen Annikki ja Tauno Virtanen Eigil Virtanen Aila Virtanen Annukka Virtanen Eija Virtanen Aila Virtanen Ansa Virtanen Eija Virtanen Aino ja Rainer Virtanen Arto ja Anja Virtanen Elsa Virtanen Aino ja Toini Virtanen Arto ja Marja-Leena Virtanen Elsa Virtanen Aino ja vilho Virtanen Avo Virtanen Else Virtanen Anne ja Esa Virtanen Eero Virtanen Eva Virtanen Anne ja Juha Virtanen Eero ja Pirkko Virtanen Eva ja Voitto Virtanen Anne ja Markku Virtanen Eero ja Raila Virtanen Eva-Lisa ja Kari Tutkija otti otoksen kolmella tavalla: Otos. Ensimmäiseen otokseen valittiin kokonaisina sivut 57, 57, 57 ja 357. Jokaiselta sivulta laskettiin kaikkien otokseen hyväksyttävien parien määrät palstoittain. Otosyksikkönä on siis yhden sivun yksi palsta. 3

34 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ Otos. Virtanen on Helsingin puhelinluettelon yleisin nimi. Mukaan otettiin kaikki Virtaset. Otosyksikkönä on yhden sivun yksi palsta. (Mukaan otettiin vain ne palstat, joissa oli koko palstan mitan Virtasia.) Otos 3a ja 3b. Otoksen 3a ensimmäinen otantayksikkö muodostui seuraavasti: Otettiin sivuilta jokaisen palstan ensimmäinen pariskunta. Täten otokseen tuli 30 pariskuntaa. Toiseen otantayksikköön otettiin vastaavasti sivuilta jokaiselta palstalta ensimmäinen pariskunta. Näin tehtiin edeten aina 00 sivua eteenpäin, niin että viimeisenä otettiin sivuilta jokaisen palstan ensimmäiset parit. Otos 3b otettiin vastaavalla tavalla kuin otos 3a, mutta aloitettiin sivulta ja edettiin aina 00 sivua eteenpäin. Taulukko. Taulukossa on esitetty edellä mainituilla tavoilla poimitut otokset. Taulukossa on ensiksi poimintasivu (sivu) (otoksissa 3a ja 3b sivut), palstan numero sivulla (palsta), otantayksikön järjestysnumero (otantayksikön numero), Niiden parien lukumäärät, joissa naisen nimi on ensimmäisenä (nainen ensin), kaikkien otantayksikköön hyväksyttyjen parien lukumäärät (kaikki parit) ja niiden parien suhteellinen osuus, joissa naisen nimi on ensin (nainen ensin/kaikki). Otos Otos sivu palsta otantayksikön numero nainen ensin kaikki parit nainen ensin / kaikki nainen ensin kaikki parit nainen ensin / kaikki , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 yht: ,35 yht: ,35 Otos 3a Otos 3b sivut nainen ensin kaikki parit nainen ensin / kaikki sivut sivu palsta otantayksikön numero otantayksikön numero otantayksikön numero nainen ensin kaikki parit , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,33 yht: ,4 yht: ,39 nainen ensin / kaikki 3

35 VANHOJA VALINTAKOETEHTÄVIÄ a) Piirrä naisten suhteellista osuutta kuvaavat frekvenssikäyrät otantayksiköittäin kahteen kuvioon seuraavasti: toiseen kuvioon otos yhtenäisellä viivalla ja otos katkoviivalla, toiseen kuvioon otos 3a yhtenäisellä viivalla ja otos 3b katkoviivalla. X-akselille tulee otantayksikön numero, Y-akselille suhteellinen osuus. b) Laske otoksille 3a ja 3b nainen ensin -pariskuntien suhteellisten osuuksien luottamusväli yhdelle otantayksikölle (N=30). Käytä suhteellisten osuuksien testiä, p:n arvona voit käyttää 0.4. Piirrä tämä luottamusväli molempien kuvioiden reunaan. c) Mikä käytetyistä otantamenetelmistä vaikuttaa parhaalta? Perustele vastauksesi. d) Tutki voitko tehtyjen otosten perusteella prosentin riskitasolla osoittaa, että joko miehen tai naisen nimi on yleisempi ensimmäisenä nimenä ja jos voit niin kumpi on yleisempi. Vuosi 99, tehtävä 3 Tutkija osallistuu tv:n Kymppitonni-nimiseen kilpailuun. Kilpailussa on viisi osallistujaa, joista yksi aina vuorollaan tekee kysymyksen ja neljä muuta yrittävät arvata, mikä on oikea vastaus. Jos arvaajista ei kukaan tai kaikki neljä arvaavat oikein, tulee kysyjälle 500 mk:n tappio. Jos kolme vastaa oikein saa kysyjä ja jokainen oikein vastannut 00 mk, jos kaksi vastaa oikein saa kysyjä ja oikein vastanneet 300 mk ja jos vain yksi vastaa oikein saavat kysyjä ja vastaaja molemmat 000 mk. Tutkija aikoo ilmoittaa kilpailijoille vastauksen vaihtoehdot. Hän kysyy esim. ajattelen jotain numeroista,, 3, 4 tai 5, arvaa mitä numeroa ajattelen. (Täten tässä tapauksessa vaihtoehtoja on viisi). a) Millä vaihtoehtojen määrällä tutkija minimoi sen mahdollisuuden, että hän joutuisi maksamaan 500 mk (eli joko ei kukaan tai kaikki neljä henkilöä vastaavat oikein)? b) Jos vaihtoehtoja on neljä (siis esim. numerot,, 3 ja 4), niin mikä on todennäköisyys, että täsmälleen kaksi henkilöä vastaa oikein? c) Montako vaihtoehtoa kannattaa antaa arvattavaksi, jos haluaa maksimoida todennäköisyyden, että vain yksi henkilö arvaa oikein (eikä välitetä ollenkaan siitä mahdollisuudesta, että kaikki arvaisivat väärin tai kaikki arvaisivat oikein)? Vuosi 993, tehtävä 3 Tutkija on pitkällä junamatkalla pääsiäisen ruuhkajunassa ravintolavaunun viereisessä vaunussa. Juna on hyvin pitkä ja väkeä kulkee jatkuvasti edestakaisin. Matkan virkistykseksi lapset haluavat pelata lehdestä löytynyttä peliä, jossa tarvitaan normaalia kuusitahoista arpakuutiota, jossa jokaisella numerolla -6 on yhtä suuri todennäköisyys tulla valituksi. Koko pelin läpi pelaamiseen jokainen heittäjä tarvitsee korkeintaan 50 heittoa, pelaajia on kolme. Arpakuutiota ei kuitenkaan ollut ja niinpä tutkija joutuu käyttämään muita keinoja vastaavien numeroiden arpomiseen. Miten arpominen suoritettaisiin, jos: 33