Matematiikka kesyttää myrskyt

Transkriptio

1 26. elokuuta 2010 Hanna Parviainen Vesa Leppänen & Jarno Hämäläinen Matematiikka kesyttää myrskyt 1 Tuomo Kauranne Lappeenrannan teknillinen yliopisto ja

2 26. elokuuta 2010 Hanna Parviainen Vesa Leppänen & Jarno Hämäläinen 2 Myrskytuhojen estäminen laserkeilauksella Metsien Laserkeilauksen tekniikkaa Bayesilainen tilastotiede metsämallin rakentamisessa Voimajohtojen dynamiikan FEMmallinnus Myrskytuhojen ennakointi laskennalla Myrskytuhojen operatiivinen ennalta ehkäisy

3 26. elokuuta 2010 Vesa Leppänen Laserkeilaus (LiDAR) 3 Laserkeilauksen perusteet Light Detection And Ranging LiDAR-laitteiston kolme komponenttia 1. Laseretäisyysmittaus 2.Inertiamittaus 3.GPS Tuloksena 3D-pistepilvi (x,y,z koordinaatit) Havaintojen määrä on 0,5-50/m²

4 4 ArboLiDAR Yleistä Arbonautin ArboLiDAR metsien inventointi on kehitetty kuviotason tulosten tuottamiseen talousmetsissä ArboLiDAR on kehitetty läheisessä yhteistyössä monien asiakkaiden kanssa: UPM, Metsähallitus, Metsäkeskukset ja Tapio Inventointi Boreaaliset metsät ja plantaasit REDD inventointi Kehitysmaiden luonnonmetsät 26. elokuuta 2010 Hanna Parviainen Vesa Leppänen & Jarno Hämäläinen

5 Data analysis in forest measurements Virpi Junttila May 25, 2009 Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

6 Forest measurements: Stand parameters Forest contains upper and lower level vegetation - lower level vegetation (young trees and bushes, lower development class) is difficult to estimate. Upper level contains trees of higher development class - economically most valuable trees in forest industry. The value of a plot/stand in the forest is evaluated with stand parameters: Diameter of the trees, the median diameter Dgm (cm) Estimated height of the median tree Hgm (m) Estimated total volume of the trees V (m 3 /ha) Estimated total basal area of the trees G (m 2 /ha) Total number of stems (diameter over 5cm) in the plot N (no/ha) The best estimates for stand parameters are gained by field work - costs of the field work are relatively high. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

7 Forest measurements: Lidar-data Laser-pulse transmitted from an airplane bounces back when hitting some object - the top or branch of the tree or ground. The height of the hitting point and the intensity of the bounced pulse is estimated. The first pulse and the last pulse are assumed to be bounced from the tip of the tree and from the ground. A set of first- and last-pulse measurements represent the stand of trees, in this case 0.5 pulses per square meter. Costs of the Lidar-measurements are relatively cheap. No straight construction of the stand parameters can be made from the Lidar-measurements. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

8 From Lidar-measurements to stand parameters: Statistical estimates from the Lidar-pulses The shape of the height (and intensity) distribution of Lidar-measurements in the plot-area is transformed to plot-dependend statistical estimates. Possible estimates for height (intensity) distribution are e.g.: mean of the heights standart deviation of heights percentual hits of the height distribution points on a histogram with constant centers percentual height-points of the cumulative ordered height distribution percentual part of the heights that are under certain limit (percentual part of the points with no tree) Several statistical variables can be extracted from the distribution. The correlation between different variables can be high. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

9 From Lidar-measurements to stand parameters: Statistical estimates from the Lidar-pulses The correlation between the variable-candidates and the stand parameters vary, none of the variables define any of the stand parameters completely as themselves. Number of the variable-candidates is relatively large (in this case 27+constant=28 variables), the best variables for each stand parameter need to be defined. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

10 From Lidar-measurements to stand parameters: Statistical estimates from the Lidar-pulses Figure: Plots of V and N with respect to some of the variables. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

11 Sparse Bayesian regression for one response Model introduced by M. Tipping. The aim in SBR is to obtain sparse solutions utilising models linear in parameters such that the model complexity is kept as simple as possible. n measurements of response t, which each depend on m different, possibly correlated variables X in the model. m may be large compared to n and majority of the candidate variables X are possibly not needed in the model. Response is assumed to be linearly dependent on the independent variables, t = Xw, where w is a m 1 vector. Regression model is based on the linear approximation t = Xw + ε, where ε is a n 1 vector of the normal distribution with zero mean and unknown variance σ 2, ε N(0, σ 2 ). Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

12 Sparse Bayesian regression for one response The m weights of the model have a conjugacy a priori distribution, with zero mean and independent variance α 1 i, i = 1,..., m, which, in case α i forces the weight w i to go to zero. P(w) = m i=1 N(w i 0, α 1 i ) = N(w 0, A 1 ) α i is a hyperparameter that must be defined. Mode of Σ w and µ of the posterior of w are analytically solved by defining: N(t Xw, σ 2 I n )N(w 0, A 1 ) = N(w µ, Σ w )N(t 0, C) where (β = σ 2 ) Σ w = (X T βx + A) 1 µ = Σ w X T βt. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

13 Sparse Bayesian regression for one response Parameters and hyperparameters analytically estimated with type-ii maximum likelihood method: integrate first over the parameters w and then maximize evidence p(x, t α, β) over the hyperparameters. In this case, p(x, t α, β) = N(t Xw, βi n )N(w 0, A 1 )dw = N(t 0, C), where the (n n) covariance C is C = β 1 I n + XA 1 X T Thus the loglikelihood without constants is L = ln C + t T C 1 t. After some manipulation, the function to be optimized is L = n ln β ln Σ w ln A + (t Xµ) T β(t Xµ) + µ T Aµ. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

14 Sparse Bayesian regression for one response Differentiation of the loglikelihood function L with respect to ln α i gives L lnα i = (Σ w ) ii α i 1 + µ i µ i α i = 0. where (Σ w ) ii is the i:th diagonal element of matrix Σ w and µ i the i:th element of vector µ. With a new variable, γ i = 1 (Σ w ) ii α i the estimate of the inverse of the variance of weight w i is α i,mp = γ i µ 2. i Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

15 Sparse Bayesian regression for one response Differentiation of the loglikelihood function L with respect to lnβ, which gives L ( ) ( ) lnβ = n + tr Σ w X T X β + tr (t Xµ) T (t Xµ) β = 0. After some manupulation σ 2 MP = n tr (I Σ w A) tr ( (t Xµ) T (t Xµ) ) = n γi tr ( (t Xµ) T (t Xµ) ). This equals to OLS estimates when α i = 0 i, which means infinite variances for weight priors, that is, there is no a priori limitation for the weights. Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

16 Results in forest stand parameter estimation n = 185 plots measured in Matalansalo area. q = 5 forest stand parameters to be estimated. 27 variables + constant Stand-level (5-9 plots in a stand) average measurements added to the database. Leave-one-out results for Partial Least Squares (PLS), Sparse Bayesian regression (SB) and Sparse Bayesian Seemingly Unrelated regression (SBSUR). Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

17 Results in forest stand parameter estimation Plot-level results: RMSE(%) Dgm Hgm N G V average PLS SB SBSUR Bias(%) PLS SB SUR Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

18 Error covariances (SB=blue, SBSUR=red) Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

19 Error correlation matrix C = Virpi Junttila Data analysis in forest measurements

20 5 Inventointihankkeet Suomessa Arbonautin hankkeiden asiakkaat: MK Pohjois-Pohjanmaa MK Etelä-Pohjanmaa MK Rannikko MK Pirkanmaa MK Lounais-Suomi MK Pohjois-Savo Metsähallitus UPM Ahlström Lukuisia MHY:tä kuvaus asiakkaana (Länsi-Suomi) 26. elokuuta 2010 Vesa Leppänen

21 Vesa Leppänen Inventointihankkeet Ruotsissa

22 26. elokuuta 2010 Vesa Leppänen 7 Automaattikuviointi Automaattikuviointi muodostetaan joko LiDAR:iin perustuvalta rasterilta tai LiDAR:n ja ilmakuvien yhdisteeltä. Automaattikuviointi muodostaa ns. mikrokuvioita, joiden kokoa voidaan säätää asiakkaan tarpeiden mukaan.

23 8 Inventointitulokset Inventoitulokset ennustetaan käyttäen eiparametrisia ennustusmenetelmiä. Inventointimalli, joka yhdistää selittävät ja selitettävät muuttujat, muodostetaan alueelle sopivaksi. Tulokset voidaan ennustaa Automaattisesti tuotetuille kuvioille Asiakkaan omille kuvioille Hilalle 26. elokuuta 2010 Vesa Leppänen

24 Vesa Leppänen 9 Sähkölinjojen dynamiikan mallinnus elementtimenetelmällä

25 Vesa Leppänen 10

29 Vesa Leppänen Sähkölinjojen kasvillisuusanalyysi Arbonaut Oy

30 Vesa Leppänen LiDAR-pistepilvi Tulkinnassa käytetty tyypillinen LiDAR-pistetiheys LiDAR-pistepilvi, jossa 28 havaintoa/m²

31 Vesa Leppänen Tulkintaprosessi 1.vaihe Esiprosessoitua LiDAR-dataa Kaikki pisteet default-luokassa

32 Vesa Leppänen Tulkintaprosessi 2.vaihe LiDAR-pisteet analysoitu ja luokiteltu lopullisiin pisteluokkiin

33 Vesa Leppänen Tulkintaprosessi 3.vaihe Analysoidun ja luokitellun LiDARdatan avulla muodostetaan linjoista 3D-malli

34 Vesa Leppänen Tulkintaprosessi 4a.vaihe 3D-mallin avulla löytyneet vaarakasvillisuuspisteet muunnetaan GIS-formaattiin FEA_ID Vaara-analyysi johdinten kuvaushetken asennossa

35 Vesa Leppänen Tulkintaprosessi 4b.vaihe 3D-mallin avulla voidaan mallintaa johdinten liike ääriolosuhteissa äärimmäiset sääolosuhteet virtakuormitus FEA_ID Vaara-analyysi johdinten ääriasennoissa

36 Vesa Leppänen Kasvillisuustiedon hyödyntäminen Huolellisesti analysoidun kasvillisuusyksikön tiedot viedään tietokantaan Kasvillisuustieto haetaan tietokannasta FEA_ID kyselyiden avulla eräajoina tai reaaliaikaisesti DATABASE verkon yli Raivaustoimienpiteet voidaan kuitata ja muuttuneet Analysoitu tiedot Vienti tallentaa keskitettyyn reaaliaikaisesti kasvillisuusyksikkö maastossa tietokantaan Tiedonhaku maastoon raivauksen avuksi

37 Vesa Leppänen Sähkölinja-analyysi Kartta tehdyistä projekteista km analysoitua sähkölinjaa USA:ssa

38 Vesa Leppänen Myrskytuhojen ehkäisy rautateillä Arbonaut Oy

39 Vesa Leppänen -yksittäisten ongelmapuiden paikantaminen -puiden tarkka mittaaminen hyödyntäen laserkeilaindataa ja ilmakuvia 24,6 m 24,6 m

40 Vesa Leppänen 30 m - lunastettavan puuston määrä tiedossa - toimenpiteet voidaan kohdistaa vain tarvittaville tiloille - puuston raivaus tarveperusteista (vrt. kiinteäsäteinen raivausvyöhyke) - oikeat kohteet löytyvät helposti

41 Vesa Leppänen Paljon kiitoksia! Oy Arbonaut Ltd Koskikatu 5B, FIN Joensuu Tel Fax