Sädehoidon varmentaminen simuloiduista portal-kuvista inversiolaskennan avulla

Transkriptio

1 Sädehoidon varmentaminen simuloiduista portal-kuvista inversiolaskennan avulla Petteri Uutela Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Sovelletun fysiikan koulutusohjelma tä-suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos

2 TÄ-SUOMEN YLOPSTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Sovelletun fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen fysiikka Uutela Simo Paavo Petteri: Sädehoidon varmentaminen simuloiduista portal-kuvista inversiolaskennan avulla Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma, 68 sivua. Tutkielman ohjaajat: FT Ossi Lehtikangas, FT professori Marko Vauhkonen ja FT sairaalafyysikko Janne Heikkilä 15. toukokuuta 2018 Avainsanat: Boltzmannin siirtoyhtälöt, epäjatkuva Galerkin, EPD Tiivistelmä Teknologian kehittyminen on mahdollistanut ulkoisessa sädehoidossa entistä monimutkaisempien hoitosuunnitelmien toteuttamisen. Dynaamisesti moduloidut sädehoitokentät mahdollistavat entistä jyrkemmät annosgradientit, mutta samalla hoitojen tekninen laadunvarmistus on muuttunut monimutkaisemmaksi. Koska amorfisesta piistä valmistetut elektroniset portal-kuvausjärjestelmät pystyvät mittaamaan sädehoidossa potilaan läpi kulkeneen fotonivuon, kiinnostus niiden avulla suoritettuun sädehoidon annossuunnitelman varmentamiseen on lisääntynyt. Tutkielman tavoitteena oli kehittää ohjelmisto, joka pystyy ratkaisemaan kohteeseen aiheutuneen säteilyannoksen, sekä estimoimaan annetun säteilykentän koon simuloiduista portal-kuvista. Tutkielmassa kehitettiin MATLAB-ohjelmisto, joka ratkaisee homogeenisessa kohteessa ajasta riippumattomat lineaariset Boltzmannin siirtoyhtälöt epäjatkuvalla Galerkinin menetelmällä, kun reunalähde vastasi lineaarikiihdyttimen tuottamaa 6 megavoltin fotonisäteilyä. Ratkaistujen hiukkasvoiden avulla kohteen sisälle aiheutunut säteilyannos selvitettiin. Kun ratkaistua annosjakaumaa verrattiin Kuopion yliopistollisessa sairaalassa mitattuun syväannoskäyrään ja annosprofiiliin, tulokset olivat lähes samanlaiset. Tutkimuksessa simuloitiin myös elektroninen portal-kuvausjärjestelmä detektorisolmujen avulla. Solmuihin simuloitiin signaali suorittamalla säteenseuranta ratkaistulle fotonivuolle. Simuloituihin signaaleihin lisättiin Gaussista kohinaa ja säteilykentän koko estimoitiin inversiolaskennan avulla. Simuloitujen signaalien avulla tarkasteltiin kuinka hyvin ohjelmisto pystyi havaitsemaan kohteen geometrian muuttumista ja vikatilan, jossa annetun säteilykentän koko oli hoitosuunnitelmaa suurempi. Estimoidun säteilylähteen avulla rekonstruoiduista säteilyannoksista huomattiin, että ohjelmisto pystyy havaitsemaan geometrian muutoksen kohtuullisesti ja vikatilan hyvin.

3 Abstract Advances in technology have made more complex treatment plans possible in external radiotherapy. Dynamic modulation of radiotherapy fields enable larger gradients in the dose distribution, but at the same time the quality assurance has become more difficult. Because electronic portal imaging devices made out of amorphous silicon can measure the photon flux, that has passed through the patient, the interest to use them in the quality assurance has increased. The aim of this study is to develop a program, that can solve the dose distribution caused to a target and estimate the radiotherapy field size from simulated portal-images. n this study, a MATLAB-program was created, that is able to solve the time independent linear Boltzmann transport equations in a homogeneous target with discontinuous Galerkin method. The boundary source was similar to the 6 megavolt photon radiation produced by a linear accelerator. From the solved particle fluxes, the dose distribution within the target was calculated. When the dose distribution was compared with the percentage depth dose curve and dose profile, that were measured in Kuopio university hospital, the distributions were almost similar. n this study, a electronic portal imaging device was simulated with detector nodes. A signal was simulated to the nodes by ray-tracing the solved photon flux. Gaussian noise was added to the signal and the field size was estimated with inverse calculation. With the simulated signals, it was tested how well the program was able to detect geometry change and a fault situation, where the field size was larger than expected. From the reconstructed dose distributions, it could be concluded, that the program was able to detect the geometry change fairly and the fault situation well.

4 Lista käytetyistä symboleista ( ) p Fotoniin viittaava alaindeksi. ( ) e Elektroniin viittaava alaindeksi. ( ) 1, ( ) 2, ( ) 3 Fotonien, elektronien ja positronien hiukkasvuohon viittaavat alaindeksit. ( ) pr Primaariseen elektroniin viittaava alaindeksi. ( ) s Sekundaariseen elektroniin ja siroamisvaikutusalaan viittaava alaindeksi. ( ) a Absorptiovaikutusalaan viittaava alaindeksi. ( ) Funktion negatiiviseen osaan viittaava alaindeksi. ( ) + Funktion positiiviseen osaan viittaava alaindeksi. ( ) unc Siroamattomaan hiukkasvuohon viittaava alaindeksi. ( ) col Sironneeseen hiukkasvuohon viittaava alaindeksi. ( ) T Transpoosi. ( ) C Comptonin sirontaan viittaava yläindeksi. ( ) Br Jarrutussäteilyyn viittaava yläindeksi. ( ) R Rutherfordin sirontaan viittaava yläindeksi. ( ) e Møllerin sirontaan viittaava yläindeksi. ( ) r Rajoitettuihin elektronin energioihin viittaava yläindeksi. ( ) Saapuvaan hiukkaseen viittaava yläindeksi. A, A e Fotonien ja elektronien matriisiyhtälö. b, be Fotonien ja elektronien reunalähdevektori. B Matriisi, joka kuvaa ulkoisen säteilyn spatiaaliosan reunalähteeksi. C c Estimaatin kovarianssimatriisi. C e Kohinan kovarianssimatriisi. δ(x), δ a (x) Deltafunktio ja deltafunktion numeerinen approksimaatio. δ(e) Tiheyskorjausfunktio. D(x) Annosjakauma (Gy). η(e) Seulontafunktio. η e Kohinan odotusarvo. η c Estimaatin odotusarvo. E, E Saapuvan ja sironneen hiukkasen energia (MeV). E 0 Elektronin lepoenergia (E 0 = 0, 511 MeV). E a, E b Atomiin aiheutunut rekyylienergia ja elektronin sidosenergia (MeV). E cut Pienin energian muutos (MeV). E max Maksimi energia (MeV). E min Minimi energia (MeV). Γ Reunan V osa, joka saa ulkoista säteilyä. Γ k,n Spatiaalielementtien k ja n yhteinen reuna. H Havaintomatriisi. Energia-avaruus. av Materiaalin viritysenergian keskiarvo (MeV). i dentiteettimatriisi. J a Säteenseurantamatriisi. J e Energiaintegraalimatriisi detektorille. κ Reunan ja detektorisolmun välinen kulma (rad). K Siroamisoperaattori. Kineettinen energia (MeV). K E

5 µ lman vaimennuskerroin (1/cm). µ e Elektronin sirontakulman kosini. M Moolimassa (g/mol). M Matriisi, joka keskiarvoistaa ratkaisun spatiaalisolmuihin. ˆn(x) Spatiaalielementin ulospäin suunnattu yksikkönormaali. N Spatiaalielementtien määrä. N a Kulmasolmujen määrä. N A Avogadron luku (N A = 6, mol 1 ). N d Detektorisolmujen määrä. N e Elektronitiheys. N E Energiasolmujen määrä. N g Spatiaalireunojen määrä. N s Spatiaalisolmujen määrä. N s,k Spatiaalielementin solmujen määrä. N tot Ratkaistavien tuntemattomien määrä. ω p,e Saapuneen fotonin ja sironneen elektronin välinen kulma (rad). ω p,p Fotonin siroamiskulma (rad). Ω, Ω Saapuvan ja sironneen hiukkasen suunta. φ(x) Paikan kantafunktio. φ(e) Energian kantafunktio. φ(ω) Suunnan kantafunktio. ψ(x, E, Ω) Hiukkasvuo (cm 2 MeV 1 sr 1 ). Ψ 0 Reunalähde. q u (E, Ω) Ulkoinen pistelähde. Q(x, E, Ω) Lähdetermi (cm 3 MeV 1 sr 1 ). ρ Tiheys (g/cm 3 ). r 0 Elektronin klassinen säde (r 0 = 2, cm). s Detektoriin simuloitu signaali. σ, σ t Kokonaisvaikutusala (cm 1 ). σ a, σ s Absorptio- ja sirontavaikutusala (cm 1 ). σ i i Differentiaalinen vaikutusala (cm 1 MeV 1 sr 1 ). S Suunta-avaruus S Matriisi, joka tarkastaa detektorisolmuihin vaikuttavat reunat. t Aika (s). τ Jarrutuskyky (MeV/cm). τ e Törmäysjarrutuskyky (MeV/cm). θ Kulma x-akselin suhteen (rad). v(x, E, Ω) Testifunktio. v Hiukkasen nopeusvektori. V, V Tarkasteltava alue ja sen reuna. x Hiukkasen paikkakoordinaatti (x = (x 1, x 2, x 3 )). Z Elektronien määrä molekyylissä (mol 1 ).

6 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Sädehoitoprosessi Annossuunnittelu Sädehoidon toteuttaminen Laadunvalvonta Säteilyn ja aineen välinen vuorovaikutus Differentiaalinen vaikutusala ja kokonaisvaikutusala Sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutukset Elastinen sironta Valosähköinen ilmiö Parinmuodostus Fotoydinreaktio Comptonin sironta Elektronien vuorovaikutukset Rutherfordin sironta Jarrutussäteily Annihilaatio Møllerin sironta Jarrutuskyky ja säteilyannos Ulkoisen sädehoidon mallintaminen Fotoneihin liittyvä siirtoyhtälö Elektroneihin liittyvä siirtoyhtälö Epäjatkuva Galerkinin numeriikka Fotonien matriisiyhtälö Elektronien matriisiyhtälö Superpositioperiaatteen hyödyntäminen siirtoyhtälössä Fotonien mallinnus Elektronien mallinnus Lähteen mallintaminen Säteilyn havaitseminen detektorilla Reunalähteen estimointi inversiolaskennalla Lähteen estimointi MAP-estimointi Tulokset Suoran ongelman ratkaiseminen Käänteisongelman ratkaiseminen Pohdinta 58 Viitteet 60

7 1 Johdanto Elintason parantuminen ja suurten ikäluokkien vanheneminen on johtanut Suomessa syöpätapausten kasvuun. Vuoteen 2030 mennessä syöpädiagnoosien vuosittaiseksi määräksi on arvioitu yli tapausta [1]. Syöpä aiheuttaa Suomessa verenkiertoelinsairauksien jälkeen eniten kuolemantapauksia ja on siten yksi vakavimmista sairauksista. Syövän yleisimmät hoitomuodot ovat leikkaus, solunsalpaajahoidot ja sädehoito. Jokaisella hoitomuodolla on omat hyötynsä ja haittansa. Tässä tutkielmassa tarkastellaan erityisesti ulkoista sädehoitoa. Sädehoitoa kokeiltiin syövän hoidossa pian röntgensäteiden löytämisen jälkeen luvun lopulla [3]. Suomessa ensimmäinen säteilyllä hoidettu syöpätapaus oli Helsingin kirurgisessa sairaalassa vuonna 1903 [5]. Nykyään ulkoisessa sädehoidossa käytetään lineaarikiihdyttimiä, jotka pystyvät tuottamaan korkeaenergistä säteilyä ja tarkkoja sädehoitokenttiä. Syöpäpotilaista noin puolet hyötyy sädehoidosta [2]. Vaikka sädehoito on yksi turvallisimmista syövän hoitomuodoista, hoitovirheen sattuessa potilaalle voi aiheutua pysyviä vaurioita. Tästä syystä sädehoito on prosessinomainen tapahtuma, jossa vaaditaan monen eri ammattilaisen osaamista. Sosiaali- ja terveysministeriön asetus (423/2000) vaatii sairaalafyysikon osallisuuden sädehoitoprosessiin [6]. Kyseisen ammattilaisen tehtävä on valvoa, että säteilyyn liittyvä annossuunnittelu, laadunvarmistus ja säteilysuojelu noudattavat tarvittavia vaatimuksia. Sädehoitoprosessista voi lukea lähteistä [3 5]. Teknologian kehittyminen on mahdollistanut uusien, entistä monimutkaisempien hoitosuunnitelmien toteuttamisen. Säteilykentän kokoa voidaan muokata dynaamisesti moniliuskarajaimien avulla, jolloin kriittisten elinten saamat säteilyannokset voidaan minimoida. Toisaalta annetut säteilykentät eivät ole enää intuitiivisesti pääteltävissä ja tarkan dosimetrian tarve on kasvanut. Elektroninen portal-kuvausjärjestelmä (engl. Electronic Portal maging Device, EPD) ja perinteiset röntgenfilmit mahdollistavat sädehoidon annossuunnitelman varmentamisen. Erityisesti amorfisesta piistä kehitetty EPD mahdollistaa joustavamman ja nopeamman työskentelyn kuin röntgenfilmit, sillä digitaalista kuvaa ei tarvitse röntgenfilmin tavoin kehittää [12]. Digitaalinen kuva muodostuu, kun potilaan läpi kulkenut korkeaenerginen säteily aiheuttaa laitteistossa mitattavan virran. Annosjakaumien selvittäminen EPD-kuvista on käänteisongelma. Lähteissä [14, 15] on esitetty ensimmäisiä algoritmeja, joiden avulla EPD-kuvista on rekonstruoitu kohteelle annettu säteilyannos hyödyntäen takaisinprojisointia (engl. backprojection). Tietokoneiden laskentatehokkuuden kehittyminen mahdollistaa entistä tarkempien matemaattisten mallien hyödyntämisen sädehoidossa. Vuonna 1872 Ludvig Boltzmannin johtamat siirtoyhtälöt (engl. Boltzmann Transport Equations, BTE) oli alustavasti kehitetty kaasujen kineettisen teorian tarkasteluun [24]. Kyseisiä yhtälöitä voidaan hyödyntää myös sädehoidossa tuotettujen hiukkasten kulun mallintamiseksi [21, 22]. Siirtoyhtälöissä tarkastellaan hiukkasten tasapainoa tilavuuselementissä. Kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka sisältää integraalitermin (engl. integro-partial differential equation). BTE:n ratkaisuna saadaan hiukkasvuo, joka riippuu ajasta, paikasta, energiasta ja suunnasta. Tässä tutkielmassa ulkoisella sädehoidolla tarkoitetaan lineaarikiihdyttimellä annettua ulkoista fotonisäteilyä. Fotonisäteily muodostetaan kiihdyttämällä elektroneja korkeaan nopeuteen ja törmäyttämällä ne esimerkiksi lineaarikiihdyttimen päässä olevan volframikappaleen kanssa. Elektronien hidastuminen kappaleessa luo fotoneita jarrutussäteilyn 1

8 avulla. Koska ulkoisessa sädehoidossa käytetyt energiat ovat megaelektronivolttien (MeV) luokkaa, hiukkaset kulkevat lähes valonnopeudella. Tästä syystä sädehoidossa käytetään monesti ajasta riippumatonta lineaarista BTE:tä (engl. linear stationary BTE) [21, 32]. Tällöin ratkaistava hiukkasvuo riippuu paikasta, energiasta ja suunnasta. Sädehoidossa BTE mahdollistaa hiukkasen muuttumisen myös toiseksi hiukkaseksi. Tässä tutkielmassa käytetään lähteiden [21, 22, 32] tavoin oletusta, että fotonit voivat sirota fotoneiksi ja elektroneiksi, mutta elektronit voivat sirota vain elektroneiksi. Tällöin fotonivuon ratkaisemisen jälkeen sitä voidaan käyttää kiinteänä lähteenä elektronien ratkaisemisessa. Ratkaistun elektronivuon avulla voidaan selvittää kohteelle annettu säteilyannos. Jos BTE halutaan ratkaista analyyttisesti, tarkasteltava geometria tulisi käytännössä muuttaa niin yksinkertaiseksi, ettei ratkaisusta olisi varsinaista hyötyä [21]. Tästä syystä yhtälöryhmien ratkaisemisessa hyödynnetään numeerisia menetelmiä. Kyseiset menetelmät voivat olla esimerkiksi tilastollisia tai deterministisiä. Hyödyntäessä numeerisia menetelmiä ratkaisun yksikäsitteisyyttä ja olemassaoloa tulee tarkastella. Tämä on esitetty esimerkiksi lähteessä [21]. Tällä hetkellä tilastollinen Monte Carlo -menetelmä (MC) on yleisimmin käytetty numeerinen menetelmä sädehoitoon liittyvien BTE:n ratkaisemisessa [25]. MC:ssä ratkaisun tarkkuus riippuu seurattujen hiukkasten lukumäärästä [32]. Näin ollen tarkempi ratkaisu vaatii enemmän laskenta-aikaa. Deterministisissä menetelmissä tarkasteltava alue, energia ja suunta diskretisoidaan elementtien avulla. Lähteissä [21, 22] on hyödynnetty äärellisten elementtien menetelmää (engl. Finite Element Method, FEM) ja ratkaisuja on verrattu MC:n avulla laskettujen tulosten kanssa. Diskretisointi voidaan suorittaa esimerkiksi jatkuvalla tai epäjatkuvalla Galerkinin menetelmällä (engl. Discontinuous Galerkin, DG). Elementtien välistä epäjatkuvuutta on hyödynnetty sädehoidossa esimerkiksi lähteissä [25, 32]. Tutkielmassa käytettävä reunalähde vastaa lineaarikiihdyttimen tuottamaa 6 megavoltin (MV) fotonisäteilyä. Fotonivuon oletetaan siroavan ainoastaan fotoneiksi tai elektroneiksi ja säteilyn kulkua mallinnetaan ajasta riippumattomalla lineaarisella BTE:llä. Elektroneihin liittyvässä yhtälössä käytetään lähteissä [21, 29] esitettyä tasaisen hidastumisen approksimaatiota (engl. Continuous Slowing Down Approximation, CSDA). Ratkaistun elektronivuon avulla lasketaan säteilyannos hyödyntäen törmäysjarrutuskykyä. Spatiaalinen alue diskretisoidaan DG:n avulla ja energia-, sekä suunta-avaruus diskretisoidaan jatkuvalla Galerkinin menetelmällä. Tämän lisäksi ratkaistun fotonivuon avulla simuloidaan energiasta ja suunnasta riippumaton EPD-signaali säteenseurannan avulla. Säteilykentän koko estimoidaan inversiolaskennan avulla, kun mittauksena käytetään simuloitua EPD-signaalia, johon on lisätty Gaussista kohinaa. Kappaleessa 2 tutkitaan sädehoitoa kliinisestä näkökulmasta ja esitellään sädehoidossa käytetty laitteisto. Kappaleessa 3 esitellään säteilyn ja aineen välinen vuorovaikutus vaikutusalojen avulla fotoneille ja elektroneille. Kappaleessa 4 johdetaan suoraan ongelmaan liittyvät matriisiyhtälöt hyödyntämällä DG-numeriikkaa. Kappaleessa 5 johdetaan käänteisongelmassa käytettävä MAP-estimaatti (engl. Maximum A Posteriori, MAP) ja esitellään estimoitavan reunalähteen diskretisointi. Kappaleessa 6 esitetään suoran ongelman ja käänteisongelman tuloksia. Kappaleessa 7 pohditaan tuloksia ja esitellään mahdollisia parannuksia. 2

9 2 Sädehoitoprosessi hmisen elimistössä tapahtuu jatkuvaa solujen jakautumista ja uusiutumista. Kyseisessä prosessissa perimäaineksen vaurioituminen on yleistä, mutta kehon puolustusmekanismit pystyvät korjaamaan ne lähes aina. Jos vioittuneiden solujen korjaaminen ei onnistu, vaurioituneet solut pääsevät jakautumaan. Kun näissä soluissa tapahtuu uusia geenivirheitä, voivat vaikutukset johtaa solun hallitsemattomaan jakautumiseen. Riippuen geenivirheistä, jakautumisen seurauksena voi olla joko syöpäkasvain tai hyvänlaatuinen kasvain. Syöpäkasvain voi tunkeutua viereisiin kudoksiin, kasvaa rajatta ja lähettää etäpesäkkeitä. Lopulta hoitamaton syöpä johtaa kuolemaan [3]. Kun ihminen ikääntyy, hänen kehossaan olevat solujen korjausmekanismit heikkenevät. Tämän lisäksi vanhemmilla on enemmän valmiiksi vioittuneita soluja kuin nuoremmilla henkilöillä. Näin ollen syöpä on erityisesti vanhempien ihmisten sairaus, ja syöpätapausten kasvu Suomessa on selitettävissä suurten ikäluokkien vanhenemisella ja eliniän pidentymisellä. Kun soluihin aiheutunut vaurio on tarpeeksi suuri, vioittumisen sijasta kyseinen solu kuolee. Koska tämä pätee myös syöpäsoluihin, säteilyn avulla aiheutettu vahinko voi hillitä kasvaimen kasvua tai parhaassa tapauksessa tuhota sen kokonaan. Syövän hoidossa kokeiltiin säteilyn käyttöä pian röntgensäteiden löytämisen jälkeen 1800-luvun lopulla [3]. Suomessa ensimmäinen säteilyllä hoidettu syöpätapaus oli vuonna 1903 Helsingin kirurgisessa sairaalassa ja sen esitteli professori A. Krogious. Röntgenhoidon negatiiviset vaikutukset tervekudokseen havaittiin nopeasti säteilyn käyttöönottamisen jälkeen [5]. Nykyään sädehoito on yksi turvallisimmista syövän hoitomuodoista ja sitä voidaan hyödyntää niin kirurgian kuin lääkehoidon yhteydessä. Jopa puolet syöpäpotilaista hyötyy sädehoidosta jossain vaiheessa [2]. Säteilyyn liittyvä fysiikka ja sen vaikutukset biologisen materian kanssa on laajasti tutkittu alue. Säteilylähteen paikka määrittää, onko kyseessä ulkoinen vai sisäinen sädehoito (engl. brachytherapy). Sisäisessä sädehoidossa säteilylähde asetetaan potilaan sisällä olevan syöpäkasvaimen viereen. Vastaavasti ulkoisessa sädehoidossa lähde on potilaan ulkopuolella ja säteilyannos aiheutuu potilaan läpi kulkevasta säteilystä. Tässä tutkielmassa sädehoidolla tarkoitetaan ulkoista sädehoitoa. Sädehoitojakso on prosessinomainen, useasta vaiheesta koostuva tapahtuma, jossa vaaditaan eri ammattiryhmien välistä yhteistyötä. Tässä työssä tarkastellaan sädehoitoprosessia erityisesti lääketieteellisen fysiikan ammattilaisen näkökulmasta. Kyseisen ammattilaisen osallisuus sädehoitoprosessiin on vaadittu säteilylain (423/2000) 15 :n 1. momentissa: "Sädehoidon annossuunnittelussa, laadunvarmistuksessa ja säteilysuojeluun liittyvissä toiminnoissa on oltava mukana lääketieteellisen fysiikan asiantuntija." Prosessin ensimmäisessä vaiheessa lääkäri on diagnosoinut potilaan ja antanut hoitopäätöksen sädehoidon aloittamisesta [3]. Tämän jälkeen lääketieteellisen fysiikan asiantuntija valvoo, että säteilyyn liittyvä annossuunnittelu, laadunvarmistus ja säteilysuojelu noudattaa tarvittuja vaatimuksia. Jokainen sädehoitoprosessin vaihe riippuu syövän tyypistä ja sijainnista [4]. Tässä kappaleessa tarkastellaan ulkoisen sädehoidon annossuunnittelua, sädehoidon toteuttamista ja laadunvalvontaa, kun säteilylähteenä on lineaarikiihdyttimen tuottamat fotonit. 3

10 2.1 Annossuunnittelu Sädehoidon suunnittelu on ryhmätyötä, jossa toteutettavan hoidon kokonaisvastuu on lääkärillä [4]. Lääketieteellisen fysiikan ammattilaisen tehtävä on varmistaa, että hoitosuunnitelmassa määrätty säteilyannos saadaan toimitettua potilaalle. Varsinainen hoitotekniikka valitaan diagnoosin, resurssien, sijainnin, hoitokohteen koon, potilaan iän ja kunnon perusteella [3, 4]. Kuratiivisessa hoidossa potilaalle pyritään antamaan sädehoitoa, jonka avulla kaikki potilaan syöpäsolut tuhotaan. Palliatiivisessa hoidossa sen sijaan pyritään vain lievittämään syöpään liittyviä oireita [3]. Annossuunnittelulla pyritään varmistamaan mahdollisimman hyvä lopputulos sädehoidolle. Tämä tarkoittaa, että lääkärin määräämälle kohdealueelle pitää saada haluttu annos mahdollisimman tasaisesti ja samanaikaisesti kriittisten elinten saama säteilyannos tulisi olla niin alhainen kuin mahdollista. Koska eri kudostyypit kestävät eri määrän säteilyä, kriittisten elinten säteilyannoksien tarkastelu on erityisen tärkeää. Kriittisten elinten lisäksi myös muulle tervekudokselle pyritään aiheuttamaan mahdollisimman pieni säteilyannos, jotta tervekudokseen aiheutuneet komplikaatiot saataisiin minimoitua. Valitettavasti tervekudoksen saama säteilyannos voi joissain tapauksissa aiheuttaa myöhäisvaikutuksena uuden syövän potilaalle [3]. Jotta tervekudoksien saamia suuria annoksia voitaisiin välttää, säteilyä annetaan useista eri suunnista. Tämän lisäksi suuntia, joissa säteilyn pitää läpäistä pitkiä matkoja tervekudosta ennen kohdealuetta, tulisi käyttää mahdollisimman vähän. Joskus kasvain on sädehoidon kannalta huonossa paikassa ja halutun annoksen antaminen aiheuttaa kriittisen elimen annosrajoituksen ylittymisen. Kyseinen tilanne vaatii kompromissiratkaisun, jossa tarkastellaan hoidon hyödyt ja haitat [4]. Annossuunnittelu jaetaan monesti biologiseen ja fysikaaliseen annossuunnitteluun. Biologisessa annossuunnittelussa tarkastellaan esimerkiksi sädehoitoon liittyviä päätöksiä fraktioinnin ja kriittisten elinten annosrajojen kautta. Fysikaalisessa annossuunnittelussa sen sijaan tarkastellaan kyseiseen biologiseen annossuunnitteluun parhaiten sopivat tekniset ratkaisut [3, 4]. Biologisessa annossuunnittelussa kohdealueen jakaminen on tärkeässä roolissa. Alueet voidaan määritellä kansainvälisten järjestöjen CRU (engl. nternational Commission on Radiation Units & Measurements) ja NAPC (engl. Nordic Association of Clinical Physics) avulla. Makroskooppiseksi kasvaimen alueeksi (engl. Gross Tumor Volume, GTV) kutsutaan aluetta, jossa kasvainkudos voidaan havaita jollakin kuvantamisemenetelmällä. Kliininen kohdealue (engl. Clinical Target Volume, CTV) sisältää GTV:n ja kasvainkudoksen mahdollisen mikroskooppisen leviämisen. Kyseisellä alueella olevat kudokset pyritään tuhoamaan säteilyn avulla. Kun CTV:hen lisätään laitteistoon liittyvät epätarkkuudet, saadaan suunnittelualue (engl. Planning Target Volume, PTV). Kun PTV:hen lisätään vielä potilaassa tapahtuvien liikkeiden ja kudosten koon muutoksien aiheuttama marginaali, saadaan sisäinen kohdealue (engl. nternal Target Volume, TV) [3]. hanteellisessa tilanteessa TV saa tasan 100 % halutusta annoksesta. Vaikka todellisuudessa 100 % tasaisuus ei ole mahdollista, annos pyritään pitämään vähintään CRU:n suositteleman % tasaisuuden välillä [3]. Eri alueiden annosten esiintymisjakaumaa voidaan tarkastella annostilavuushistogrammien avulla (engl. Dose-Volume Histogram, DVH). Niitä käyttämällä voidaan helposti tarkastella esimerkiksi kriittisten elinten ja hoitoalueen saamia minimi- ja maksimiannoksia. DVH:sta kuitenkin puuttuu paikkainformaatio, joten minimi- ja maksimiannoksien sijaintia ei voida selvittää pelkästään DVH:n avulla. Paikat voidaan saada selville esimerkiksi potilaasta otettujen leikekuvien annosjakaumista. 4

11 Kuva 1: Kuopion yliopistollisen sairaalan sädehoitoyksikön moderni Elekta lineaarikiihdytin. Biologisessa annossuunnittelussa on useita eri tapoja tarkastella soluihin aiheutunutta vauriota. Yksi tapa on jakaa vauriot letaaleihin ja subletaaleihin vaurioihin. Letaaleissa vaurioissa solun molemmat DNA-kaksoiskierteet katkeavat säteilytyksen seurauksesta ja solu kuolee. Vastaavasti subletaaleissa vaurioissa vain toinen kierteistä katkeaa ja solu selviää vaurioituneena. Koska sädehoito fraktioidaan, täytyy subletaalien vaurioiden korjautuminen säteilytyksien välissä ottaa huomioon. Tämän lisäksi jatkuvasti jakautuva syöpäkasvain tuottaa hoitojen välissä uusia syöpäsoluja, jotka vaativat jälleen säteilytystä. Tästä syystä hitaasti jakautuvien syöpäkasvaimien hoitaminen voidaan suorittaa pitemmällä aikavälillä ja vastaavasti nopeasti jakaantuvien hoitaminen lyhyemmällä [3]. Suunnitellessa sädehoitoa on tärkeää löytää kyseiselle syöpätyypille paras kokonaisannos, kerta-annos (fraktiokoko), kokonaishoitoaika ja fraktioiden välinen aika. Fysikaalisessa annossuunnittelussa hoitotekniikan avulla varmistetaan, että annettu säteilyhoito toteuttaa biologisen annossuunnittelun. Hoitotekniikan valinta riippuu pitkälti sairaalan resursseista ja hoidon vaativasta tarkkuudesta. Sädehoitoa voidaan antaa esimerkiksi röntgenhoitolaitteilla, kobolttikeilahoitolaitteella, syklotroneilla, tai lineaarikiihdyttimillä. Nykyaikaisten lineaarikiihdyttimien kyky tuottaa tarkkoja sädehoitokenttiä ja tasaisia sädehoitoannoksia on johtanut niiden yleistymiseen [5]. Kuvassa 1 on esitetty moderni lineaarikiihdytin. Laitteiston lisäksi säteilytyyppi ja sen energia tulee ottaa huomioon annossuunnittelussa. Lineaarikiihdyttimellä annettu elektronisäteily tuottaa suuren annoksen säteilytettävän kohteen pinnalle, mutta säteily ei pääse läpäisemään pitkää matkaa potilaan sisällä. Fotonien tapauksessa pinta-annos jää pieneksi ja maksimiannos sijoittuu hieman pinnan alle. Tämän lisäksi fotonien läpäisevyyden ansiosta ne pystyvät aiheuttamaan säteilyannosta myös syvälle potilaan sisään. Todellisuudessa fotonit aiheuttavat epäsuoraa 5

12 ionisaatiota, josta puhutaan tarkemmin kappaleessa 3. Elektronien ja fotonien energian kasvattaminen aiheuttaa molemmissa säteilyannoksen siirtymisen syvemmälle potilaan sisään. Tämä johtuu siitä, että energian noustessa hiukkasten läpäisykyky kasvaa [3, 4]. Koska energia muuttaa säteilyannoksen maksimin sijaintia, se tulee ottaa huomioon fysikaalisessa annossuunnittelussa. Teknologian kehittyminen niin kuvantamismenetelmissä kuin sädehoitoteknologiassa on johtanut uusien hoitotekniikoiden kehittymiseen. Perinteisen konformaalisen sädehoidon lisäksi stereotaktinen, intensiteettimuokattu (engl. ntensity-modulated Radiation Therapy, MRT) ja kuvantaohjattu sädehoito (engl. mage-guided Radiation Therapy, GRT) ovat mahdollistaneet entistä tarkemman sädehoidon antamisen. Konformaalisessa sädehoidossa lineaarikiihdyttimen moniliuskarajaimet säädetään kohdealueen muotoiseksi ja kriittiset elimet rajataan pois. Hoito voidaan toteuttaa vakioetäisyydellä, jolloin potilaan ihon ja hoitokoneen välinen etäisyys pidetään vakiona. Nykyisin hoito annetaan isosentrisesti, jolloin hoitokoneen kohtion ja isosentripisteen etäisyys pysyy vakiona, vaikka laitteisto pyörisi potilaan ympärillä. sosentripiste on hoitosuunnitelmassa määritetty piste, jonka kautta jokaisen annetun säteilykentän keskiakseli kulkee [3]. Stereotaktisessa sädehoidossa lokaalille kohdealueelle annetaan tarkka, mutta suuri kerta-annos. Koska annokset ovat suuria, stereotaktisessa sädehoidossa vaaditaan erityisen tarkkoja sädehoitokenttiä. Monesti perinteiset moniliuskarajaimet (leveys 5 mm) eivät pysty tuottamaan haluttua tarkkuutta, joten lineaarikiihdyttimiin vaaditaan mikroliuskarajaimet (leveys 3 mm) [3]. ntensiteettimuokatussa sädehoidossa moniliuskarajaimet ovat dynaamiset ja liikkuvat sädehoidon aikana. Dynaamisten liuskojen avulla saadaan säteilykenttiä, joissa säteilyn intensiteetti ei ole vakio. Tämä mahdollistaa sen, että hoitokohteen eri osiin pystytään tuottamaan jyrkkiä annosgradientteja [3]. Näin ollen kriittisten elinten saamia säteilyannoksia pystytään kontrolloimaan tarkemmin. MRT:n annoslaskenta on käänteisongelma, missä hoitosuunnitelman tekijä asettaa ehdot eri alueiden säteilyannoksille. Käänteisongelman ratkaisuna saadaan sädehoitokentät, joiden avulla haluttu annosjakauma saadaan tuotettua. Lisää aiheesta löytyy lähteistä [21, 46]. GRT mahdollistaa sädehoidon osuvuuden parantamisen entisestään ottamalla huomioon kohdealueen paikka ja liike fraktioiden välillä [3]. Tarkemman tiedon avulla virhemarginaalit, jotka vaikuttavat PTV:n kokoon, saadaan minimoitua ja siten sädeannos voidaan antaa pienempään alueeseen ilman hoitotuloksen riskeeraamista. Ottamalla huomioon niin biologisen kuin fysikaalisen annossuunnittelun lääketieteellisen fysiikan ammattilainen pystyy varmistamaan, että sädehoidosta saadaan potilaalle paras hyöty. 2.2 Sädehoidon toteuttaminen Parhaan tuloksen saavuttaminen sädehoidolla vaatii, että koko sädehoidon toteuttaminen on suoritettu tarkasti. Jotta sädehoito saataisiin toteutettua mahdollisimman tarkasti, potilaan hoitoasennon pitää mahdollistaa sellaiset säteilytyssuunnat, jotka tuottavat hoidon kannalta parhaat tulokset. Asennon valinnassa täytyy myös ottaa huomioon potilaan mukavuus, sillä asennon pitää pysyä samana jokaisella hoitokerralla. Jotta hoitoasento pysyisi mahdollisimman identtisenä hoitojen välissä, potilaalle voidaan asettaa termoplastisesta muovista valmistettuja fiksaatiovälineitä. Näiden välineiden avulla voidaan muodostaa esimerkiksi tukimaski, joka estää potilaan pään liikkumisen. Fiksaatiovälineisiin ja potilaan iholle voidaan vielä merkitä ulkoisia referenssipisteitä, joiden avulla potilaan asento voidaan varmistaa ennen jokaista sädehoitoa. Kuvassa 2 on esitetty potilaan asettelussa hyödynnetyt laservalot, joiden avulla referenssipiste saadaan asetettua kohdalleen. 6

13 Kuva 2: Potilaan asettelussa hyödynnetään laservaloja ja ulkoisia referenssipisteitä, jotta hoitoasento pysyisi identtisenä jokaisella sädehoitokerralla. Kuvassa fantomin kehoon osuva vihreä neliö on lineaarikiihdyttimestä annettava säteilykenttä. Hoitoasennon valitsemisen jälkeen potilaasta otetaan tietokonetomografiakuvat (TTkuvat), joiden avulla saadaan potilaan tiheysinformaatio selville. Kyseinen informaatio tarvitaan, jotta potilaan annossuunnitelmassa vaadittavat annoslaskelmat voitaisiin toteuttaa [4]. Tämän lisäksi TT-kuvat antavat lääkärille informaatiota kasvaimen anatomiasta, jonka avulla kohdealue voidaan rajata. Varsinainen annossuunnittelu suoritetaan annossuunnittelujärjestelmän (engl. Treatment Planning System, TPS) avulla. Potilaan geometrian muutos sädehoitoprosessin aikana laihtumisen tai lihomisen vuoksi aiheuttaa virhettä säteilyannoksissa, sillä annoslaskenta on suoritettu TT-kuvista, jossa potilaan geometria on ollut erilainen. Sädehoidon toteuttamisessa lineaarikiihdyttimen toiminta on oleellisessa roolissa. Suomen ensimmäinen lineaarikiihdytin hankittiin Helsingin yliopistolliseen sairaalaan vuonna 1974 ja tämän jälkeen lineaarikiihdyttimet nopeasti syrjäyttivät vanhentuneet kobolttikeilahoitolaitteet [5]. Lineaarikiihdyttimissä säteily tuotetaan kiihdyttämällä elektronitykillä muodostetut elektronit mikroaaltogeneraattorin avulla kiihdytysputkessa ja ohjaamalla kääntömagneettien avulla kiihdytetyt elektronit laitteiston päässä olevaan kohtioon tai potilaan pinnalle. Elektronit törmäytetään raskasmetallikohtioon, jos lineaarikiihdyttimen halutaan antavan ulkoista fotonisäteilyä [3, 5]. Fotonit muodostuvat raskasmetallikohtiossa jarrutussäteilynä ja karakteristisena säteilynä. Tarkemmin fotonien vuorovaikutuksesta kerrotaan kappaleessa 3. Kiihdyttimen päässä voi olla myös tasoituskappale, monitorikammio, moniliuskarajain, keilarajaimia ja lisäsuodattimia. Säteilykentän kokoon vaikuttavat moniliuskarajain ja keilarajaimet. Monitorikammion avulla voidaan tarkastella potilaalle annettua säteilyannosta ja katkaista säteilyn antaminen, kun haluttu säteilyannos on saavutettu [3]. 7

14 2.3 Laadunvalvonta Yksi tärkeimmistä sairaalafyysikon tehtävistä on sädehoitoprosessiin kuuluva laadunvalvonta, joka kattaa teknisen laadunvarmistuksen, sädehoidon suunnittelun ja toteuttamisen valvontaa, sekä sädehoitoprosessin oikean dokumentoinnin. Vaikka sädehoito on yksi turvallisimmista syövän hoitomuodoista, sädehoitoprosessissa voi silti tapahtua poikkeavia tilanteita. Näihin kuuluvat laiteviat, geometrian muutokset ja inhimilliset virheet, jotka aiheuttavat vaaratilanteen potilaalle tai hoitohenkilökunnalle. Yleisesti poikkeustilanteet ovat vaarattomia ja ne huomataan nopeasti, mutta joskus myös vakavampia onnettomuuksia voi tapahtua luvun alussa Puolan Bialystokissa 5 potilasta sai huomattavasti hoitosuunnitelmaa suurempia säteilyannoksia, kun sähkökatkoksen jälkeen NEPTUN 10P lineaarikiihdytin antoi liian kauan säteilyä. Ongelma johtui annoksen tarkasteluun suunnitellun elektronisen yksikön vioittumisesta [8]. Myös Panamassa 2000-luvun alussa 28 potilasta sai liian suuria säteilyannoksia, kun annossuunnittelujärjestelmä tunnisti useamman säteilykeilalta suojaavan kappaleen vain yhdeksi kappaleeksi. Tämä aiheutti tarvittavaa hoitosuunnitelmaa pitemmän hoitoajan ja siten liiallisen altistumisen säteilylle [9]. Nykyään moderneissa sädehoitoyksiköissä poikkeustilanteet ovat kuitenkin harvinaisempia. Alankomaissa suoritetussa tutkimuksessa 4337 potilaan sädehoidossa havaittiin 17 vakavampaa poikkeustapausta, joista 7 johtui potilaan anatomiasta, 4 sädehoitosuunnitelman siirrosta, 2 huonosti asetetuista TPS parametreista, 2 virheellisestä hoitosuunnitelman muokkauksesta, 1 viallisesta sädehoidon tuottamisesta ja 1 hoitosuunnitelmasta, joka suoritettiin ilman vaadittua dosimetriaa [10]. Sädehoidossa hoitosuunnitelmasta poikkeavat tapaukset tulee dokumentoida ja tutkia perusteellisesti [3]. Säteilyn laadun tarkastelussa voidaan hyödyntää esimerkiksi vesitankkia, jonka avulla laitteiston aiheuttamat syväannoskäyrät ja annosprofiilit voidaan mitata. Kuvassa 3 on esitetty Kuopion yliopistollisessa sairaalassa oleva moderni lineaarikiihdytin ja mittauksissa käytetty vesitankki. Kiihdyttimen tuottama fotonisäteily kohdistetaan vesitankkiin ja säteilyn aiheuttama ionisaatio mitataan ionisaatiokammion avulla. Säteilyannoksen ratkaiseminen ionisaatiosta on esitetty tarkemmin kappaleessa 3. Syväannoskäyrä mitataan pitkin säteilykeilan keskiakselia ja maksimiannos normalisoidaan vastaamaan 100 %. Kyseisen käyrän avulla voidaan varmistaa, että lineaarikiihdyttimen luoma säteily vastaa haluttua energiaa. Annosprofiilin mittaus suoritetaan samalla tekniikalla kuin syväannoskäyrän, mutta ionisaatiokammio kuljetetaan halutulla syvyydellä pitkin suoraa, joka on kohtisuorassa säteilykeilan keskiakselin suhteen. Annosprofiilin avulla sairaalafyysikko pystyy selvittämään säteilykeilan tasaisuuden ja puolivarjon (engl. penumbra). Puolivarjo kasvaa, kun mittaus suoritetaan syvemmältä vesitankkia. Tämä johtuu tankissa tapahtuvasta siroamisesta. Molempien mittauksien tekeminen tulee suorittaa tietyin aikavälein, jotta lineaarikiihdyttimen tuottaman säteilyn laatu voidaan varmistaa. Sädehoitoon liittyvän teknologian kehittyessä tarkan dosimetrian tarve on kasvanut. Ennen sädehoidon antamista hoitoasetelma on historiallisesti varmennettu kuvantamisfilmien avulla. Kuvantamisfilmillä oleva informaatio saadaan selville, kun sen annetaan kehittyä. Tämä tarkoittaa, että filmien käyttö on työlästä ja hidasta. Nämä ovat kaksi ominaisuutta, jotka halutaan välttää kliinisessä laadunvalvonnassa. Alustavasti hoitoasetelman varmistamiseen kehitetty elektroninen portal-kuvausjärjestelmä (engl. Electronic Portal maging Device, EPD) on pitkälti korvannut perinteisten kuvantamisfilmien käyttämisen [12]. 8

15 Kuva 3: Lineaarikiihdyttimen alle asetettu vesitankki, jota käytetään säteilyn aiheuttaman syväannoskäyrän ja annosprofiilin mittaamisessa. Lähteessä [13] on esitetty portal-kuvauslaitteiston historia ja siihen liittyvää teknologiaa. Portal-kuvauslaitteistoon liittyy monia teknologisia ratkaisuja ja laitteistoa on kehitetty vuosikymmeniä. Tässä tutkielmassa EPD:llä tarkoitetaan amorfista puolijohdeilmaisinta. Amorfisesta piistä valmistetun EPD:n puolijohteeseen saapuva säteily luo aukko-elektronipareja. Nämä aukko-elektroniparit tuottavat virran, josta muodostuu digitaalinen kuva. Parien määrä ja siten virta kasvaa mitä suurempi säteilymäärä puolijohteeseen osuu [3]. Kuvassa 4 on esitetty portal-kuvauslaitteistoon osuva avoin ja moniliuskarajaimella rajoitettu kenttä. EPD:n käyttö on osoittanut, että sitä voidaan hyödyntää niin hoitoasetelman varmennuksessa kuin dosimetriassa [10, 12]. Kuvantamisfilmeihin verrattuna kyseisen laitteiston käyttäminen on vähemmän työlästä ja kuvien saanti nopeampaa. Siksi se on yleistynyt kliinisessä ympäristössä. Amorfisella piillä kehitetyt portal-kuvauslaitteistot ovat pitkälti syrjäyttäneet nesteionisaatiokammiolla toimivat laitteet korkean tarkkuutensa ansiosta (0,1 mm) [3]. Laitteisto koostuu useasta kerroksesta ja kerrosten sisältö saattaa poiketa eri valmistajien välillä. Lähteessä [12] on tutkittu kerrosten vaikutusta laitteiston toimintaan. Varianin as500/as1000 EPD:ssä on seuraavat kerrokset: kasvukerros (engl. build-up), fosforilevy, amorfisesta piistä valmistettu valodiodimatriisi (engl. photodiode detector array), kuvakotelo (engl. cassette housing) ja takaisinsirontakerros (engl. backscatter). Kasvukerros on 1 mm paksu kuparilevy, joka estää sironneen säteilyn saapumista laitteiston sisälle. 9

16 Kuva 4: Kuopion yliopistollisen sairaalan portal-kuvauslaitteisto. Vasemmassa kuvassa on säteilykenttä, joka on rajattu moniliuskarajaimien avulla. Oikealla puolella on portalkuvauslaitteistoon osuva avoin neliökenttä. Fosforilevy on asetettu laitteistoon, jotta korkeaenergiset fotonit saadaan muutettua optisiksi fotoneiksi, jotka valodiodi havaitsee. Tämä parantaa EPD:n kvanttitehokkuutta, mutta muuttaa annosvasteen huomattavasti monimutkaisemmaksi. Kuvakotelo ja takaisinsirontakerroksilla pyritään parantamaan kuvanlaatua vähentämällä fotonien siroamista takaisin valodiodiin. Fosforilevyn ollessa paikallaan, laitteiston sanotaan olevan epäsuorassa havaitsemistilassa. Tämä tila on optimoitu erityisesti kuvanlaadun parantamiseksi. Kun fosforilevy poistetaan, laitteiston sanotaan olevan suorassa havaitsemistilassa. Suorassa havaitsemistilassa olevan laitteiston on osoitettu toimivan paremmin dosimetriatarkoituksessa kuin epäsuorassa havaitsemistilassa [12]. Laitteiston ikä tulee ottaa myös huomioon dosimetriassa, sillä elektroniikan vanheneminen voi aiheuttaa muutoksia signaalin tarkkuudessa. EPD:hen muodostuvan signaalin kontrastin, signaali-kohinasuhteen ja kvanttitehokkuuden tarkastelu sivuutetaan, sillä simuloiduissa portal-kuvissa laitteiston oletetaan mittaavan siihen saapuvaa fotonivuota. Tarkemmat tiedot kuvan ja signaalin muodostumiseen löytyy lähteestä [11]. Koska portal-kuvauslaitteistot ovat yleistyneet kliinisessä ympäristössä, kiinnostus niiden avulla suoritettuun laadunvalvontaan on kasvanut. Erityisesti säteilyannoksien ja säteilylähteen rekonstruointi portal-kuvista sädehoidon yhteydessä voisi parantaa huomattavasti laadunvalvontaa moderneissa hoitotekniikoissa. Lähteissä [14] ja [15] on esitetty ensimmäisiä algoritmeja, joiden avulla portal-kuvista voidaan rekonstruoida potilaaseen aiheutunut säteilyannos. Kyseisissä lähteissä suoritettua lähestymistapaa kutsutaan takaisinprojisoinniksi (engl. backprojection). Vaikka lähteissä esitetyt mallit ovat yksinkertaistettuja, niiden toiminta on osoittautunut suhteellisen tarkaksi. Tässä työssä suoritettu säteilyannoksen ja säteilylähteen rekonstruointi simuloiduista portal-kuvista suoritetaan inversiolaskennan avulla. Lisää inversiolaskennasta voi lukea kappaleesta 5. 10

17 3 Säteilyn ja aineen välinen vuorovaikutus Säteilyfysiikan osaaminen luo pohjan sädehoidon toteuttamiselle ja laadukkaalle hoitotulokselle. Jotta potilaan saama hyöty olisi mahdollisimman suuri, annossuunnittelun täytyy selvittää potilaan sisälle aiheutunut säteilyannos ennen sädehoidon antamista. Koska detektoreita ei voida käytännössä asettaa potilaan sisälle, täytyy säteilyn kulkua simuloida jollakin mallilla. Säteilyä, joka pystyy irrottamaan tai virittämään väliaineessa olevien atomien elektroneja, kutsutaan ionisoivaksi säteilyksi. Korkeaenerginen sähkömagneettinen säteily ei itsessään pysty aiheuttamaan ionisaatiota, mutta sen kokemien satunnaisten vuorovaikutusten synnyttämät sähköisesti varautuneet sekundaariset partikkelit kykenevät [7]. Toisin sanoen korkeaenergiset fotonit aiheuttavat epäsuoraa ionisaatiota. Tässä kappaleessa tarkastellaan kuinka fotonit ja elektronit vuorovaikuttavat väliaineessa. Säteilyyn liittyvä teoria seuraa lähteitä [19, 21, 29]. 3.1 Differentiaalinen vaikutusala ja kokonaisvaikutusala Hiukkasten kulun tarkastelussa käytetään usein keskimääräistä vapaata matkaa (engl. mean free path). Tällä tarkoitetaan keskimääräistä matkaa, jonka hiukkanen kulkee kahden vuorovaikutuksen välissä. Varsinaisessa vuorovaikutuksessa saapuneen hiukkasen energia E ja suunta Ω voivat muuttua. Toisaalta tietyissä vuorovaikutuksissa saapuva hiukkanen voi myös muuttua kokonaan toiseksi hiukkaseksi (esimerkiksi parinmuodostus). Vuorovaikutuksissa tapahtuvia muutoksia voidaan tarkastella differentiaalisten vaikutusalojen avulla. Differentiaalinen vaikutusala on todennäköisyysjakauma, jonka avulla voidaan tarkastella vuorovaikutuksessa tapahtuvaa hiukkasen energian ja suunnan muutosta. Jakauma esitetään kulman ja energian differentiaalin avulla seuraavasti d 2 σ dedω (x, E, E, Ω Ω)dEdΩ, missä x = (x 1, x 2, x 3 ) on hiukkasen paikkakoordinaatti, E on saapuvan hiukkasen energia, Ω on saapuvan hiukkasen suunta, E on sironneen hiukkasen energia ja Ω on sironneen hiukkasen suunta [19, 21]. Differentiaalisen vaikutusalan avulla voidaan siten tarkastella saapuvan hiukkasen todennäköisyyttä sirota yksikköpituudessa tietylle energiavälille de ja suunnalle dω. Differentiaalisen vaikutusalan yksikkö on cm 1 MeV 1 sr 1. Kokonaisvaikutusalalla voidaan tarkastella energialla E kulkevan hiukkasen todennäköisyyttä sirota tai absorboitua paikkakoordinaatissa x per yksikköpituus. Aikaisemmin mainittu keskimääräinen vapaa matka onkin kokonaisvaikutusalan käänteisluku [21]. Absorptiovaikutusala saadaan integroimalla sen differentiaalia absorboituneiden hiukkasten energioiden ja suuntien yli σ a (x, E ) = S d 2 σ a dedω (x, E, E, Ω Ω)dEdΩ, missä S R 3 on hiukkasten suunta-avaruus ja on hiukkasten energia-avaruus. Vastaavasti sirontavaikutusala saadaan integroimalla sironneiden hiukkasten energioiden ja 11

18 suuntien yli σ s (x, E ) = S d 2 σ s dedω (x, E, E, Ω Ω)dEdΩ. Kokonaisvaikutusala on näiden kahden summa σ t (x, E ) = σ a (x, E ) + σ s (x, E ) ja sen yksikkö on cm 1 [19, 21]. Monesti säteilyn kokonaisvaikutusala halutaan esittää yksikössä cm 2 /g, joka saadaan jakamalla kokonaisvaikutusalaa väliaineen tiheydellä. Edellä mainitun yksikön avulla esitettyä kokonaisvaikutusalaa kutsutaan makroskooppiseksi kokonaisvaikutusalaksi σ ma. Jos kokonaisvaikutusalaa tarkastellaan tiheyden sijasta atomien tai molekyylien avulla, saadaan mikroskooppinen vaikutusala σ mi. Mikroskooppinen vaikutusala on esitetty yksiköillä cm 2 /molekyyli tai cm 2 /atomi. Näiden kahden esitystavan välillä pätee σ ma = N A M σ mi, missä N A = mol 1 on Avogradron luku ja M on molekyylin moolimassa tai alkuaineen atomimassa. Toisaalta, jos tarkasteltavassa molekyylissä mikroskooppiset vaikutusalat eri alkuaineilla i ovat samoja (σ mi,i = σ mi i), voidaan kokonaisvaikutusala ja differentiaalinen vaikutusala esittää kemialliselle yhdisteelle seuraavasti σ va = N AZ M σ d 2 σ va dedω = N AZ d 2 σ M dedω, missä σ va on väliaineen makroskooppinen vaikutusala ja Z on väliaineen elektronien lukumäärä yhdessä molekyylissä [19, 21]. 3.2 Sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutukset Sähkömagneettinen säteily kattaa laajan spektrin gammasäteilystä radioaaltoihin. Aaltojen taajuuden kasvaessa niiden energisyys muuttuu korkeammaksi ja tietyn rajan ylitettyä ne pystyvät aiheuttamaan epäsuoraa ionisaatiota. Ulkoisen sädehoidon kannalta röntgenja gammasäteily ovat tärkeimmät sähkömagneettisen säteilyn muodot. Näistä molemmat ovat tarpeeksi korkeaenergisiä aiheuttamaan epäsuoraa ionisaatiota biologisessa materiassa. Gamma- ja röntgensäteilyn erona voidaan pitää fotonin syntymispaikkaa: gammasäteilyssä korkeaenerginen fotoni syntyy atomissa esim. radioaktiivisen hajoamisen kautta, kun taas röntgensäteilyssä korkeaenerginen fotoni syntyy kiihdytettyjen elektronien äkillisessä hidastumisessa (jarrutussäteily). Käytännössä saman energinen röntgen- ja gammafotoni ovat identtiset. Tässä työssä sähkömagneettisella säteilyllä tarkoitetaan gammaja röntgensäteilyä. Koska sähkömagneettinen säteily koostuu massattomista ja varauksettomista fotoneista, niiden käyttäytyminen on erilaista kuin varattujen massallisten hiukkasten. Fotoneilla ei ole äärellistä kantamaa ja niiden intensiteetti pienenee eksponentiaalisesti. Tämän takia ulkoisen sädehoidon antaminen täytyy suorittaa hyvin suojatussa huoneessa, jotta hoitohenkilökunnan kumulatiivinen säteilyannos saataisiin minimoitua. Ulkoisessa sädehoidossa sähkömagneettisen säteilyn yleisimmät vuorovaikutukset ovat klassinen sironta, valosähköinen ilmiö, Comptonin sironta ja parinmuodostus [3]. Säteilysuojelun kannalta on tärkeätä huomioida myös fotoydinreaktio, jossa muodostuu varauksettomia neutroneita. 12

19 σ (cm 2 /g) Rayleigh Kokonais Compton Valosähköinen Parinmuodostus Tripletti Fotonin energia E (MeV) Kuva 5: Fotonin vuorovaikutusten vaikutusalat vedessä eri energiolla logaritmisessa asteikossa. Kuvassa esitetty informaatio on saatu NST:n verkkosivuilta [16]. Jos oletetaan veden tiheydeksi ρ v 1 g/cm 3, kyseinen kuvaaja toimii myös yksiköille MeV vs. cm 1. Ulkoisessa sädehoidossa sähkömagneettisen säteilyn energia on noin 1-15 megaelektronivolttia (MeV). Vastaavasti diagnostisessa röntgenkuvantamisessa energiat ovat noin kiloelektronivolttia (KeV). Koska kokonaisvaikutusala ja differentiaalinen vaikutusala ovat molemmat riippuvaisia energiasta, röntgenkuvantamisessa ja ulkoisessa sädehoidossa fotonien käyttäytyminen on erilaista. Kuvassa 5 on esitetty kuinka sähkömagneettisen säteilyn kokonaisvaikutusalat eri vuorovaikutuksissa riippuvat energiasta. Fotonien eri vuorovaikutukset ja niiden vaikutusalat energian funktioina eri väliaineissa on esitetty esimerkiksi National nstitute of Standards and Technology (NST) verkkosivuilla [16]. Yksi korkeaenerginen fotoni voi kulkea väliaineen läpi ilman vuorovaikutusta tai se voi aiheuttaa ketjureaktion. Vuorovaikutusten kautta väliaineeseen voi muodostua useita varattuja hiukkasia ja niiden kautta mahdollisesti uusia fotoneita. Jokainen ketjureaktion vuorovaikutus pitää hiukkasten energian samana tai pienentää sitä. Kuvassa 6 on esitetty korkeaenergisen fotonin tyypilliset vuorovaikutusmekanismit. Tässä alakappaleessa keskitytään ulkoisen säteilyn kannalta tärkeimpiin sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutuksiin ja erityisesti Comptonin sirontaan. 13

20 Kuva 6: Korkeaenergisen fotonin vuorovaikutusmekanismit ja niiden seuraukset väliaineessa. Vuorovaikutuksessa muodostuneet varaukselliset hiukkaset aiheuttavat säteilyannoksen kohteeseen [3, 21] Elastinen sironta Kun fotoni on vuorovaikutuksessa atomin kanssa ilman energian muutosta, vuorovaikutusta kutsutaan elastiseksi sironnaksi. Kyseisellä ilmiöllä on myös muita nimiä: klassinen sironta, koherentti sironta tai Rayleigh n sironta. Elastisessa sironnassa fotoni muuttaa suuntaansa pienellä kulmalla, mutta ei aiheuta säteilyannosta. Lineaarikiihdyttimien avulla annetun ulkoisen sädehoidon kannalta elastinen sironta voidaan olettaa merkityksettömäksi [7, 19]. Elastinen sironta on merkittävämpi laitteilla, jotka operoivat pienemmillä energioilla kuten natiiviröntgenkuvantaminen. Lisäksi raskaammissa väliaineissa elastisen sironnan siroamiskulmat kasvavat ja voivat siten olla sovelluksesta riippuen merkityksellisemmässä asemassa Valosähköinen ilmiö Valosähköisessä ilmiössä fotoni törmää materiassa olevan elektronin kanssa menettäen kaiken energiansa. Kyseinen vuorovaikutus vaatii, että saapuvan fotonin energia E on suurempi kuin elektronin sidosenergia E b. Pienillä fotonien energioilla ja atomiluvultaan suurilla materioilla valosähköisen ilmiön vaikutusalan osuus kokonaisvaikutusalasta on suuri. Valosähköinen ilmiö on merkittävin vuorovaikutus, kun fotonien energia on pieni. Kyseinen ilmiö aiheuttaa esimerkiksi natiiviröntgenkuvantamisessa kuvan kontrastin sekä kuvattavan kohteen säteilyannoksen. Kuten kuvasta 5 nähdään, vedessä valosähköisen ilmiön vaikutusala pienenee huomattavasti fotonin energian kasvaessa. Koska biologinen materia on lähes ekvivalenttia veden kanssa, sama vaikutusalan pieneneminen on myös havaittavissa. 14

21 Saapuvan fotonin energia jakautuu valosähköisessä ilmiössä seuraavasti E = E e E b E a E e E b, missä E a on atomiin aiheutunut rekyylienergia ja E e on sironneen elektronin kineettinen energia. Ulkoisessa sädehoidossa atomin rekyylienergia on häviävän pieni, kun sitä verrataan saapuvan fotonin tai sironneen elektronin energioihin. Tämän takia se voidaan approksimoida nollaksi. Elektronin saama kineettinen energia on riippumaton siroamiskulmasta, sillä kaikki fotonin energiasta siirtyy elektronille joka tapauksessa. Jos elektronin siroamiskulmaa halutaan tarkastella, täytyy ottaa huomioon atomiin aiheutunut liikemäärä [19]. Atomi pyrkii täyttämään valosähköisen ilmiön aiheuttaman aukon elektronipilvessä. Elektronikuorella olevan aukon täyttyminen ylemmiltä elektronikuorilta aiheuttaa karakteristista röntgensäteilyä. Atomin palautuessa normaalitilaansa myös Augerin elektroni voi muodostua [3]. Vaikka valosähköinen ilmiö vaikuttaa annettuun säteilyannokseen, sen vaikutusala on huomattavasti Comptonin sirontaa pienempi ulkoisen sädehoidon energioissa. Tästä syystä valosähköisen ilmiön vaikutusaloja ei tarkastella tarkemmin. Lisää kyseisestä ilmiöstä löytyy lähteistä [3, 19, 37] Parinmuodostus Parinmuodostuksella tarkoitetaan ilmiötä, jossa neutraalista bosonista muodostuu alkeishiukkanen ja sen antihiukkanen. Tässä työssä parinmuodostuksella tarkoitetaan fotonin muuttumista elektroniksi ja positroniksi. lmiö voi tapahtua ytimen voimakentässä, kun fotonin energia on suurempi kuin elektronin ja positronin lepomassojen summa ( 1,022 MeV). Syntyneillä hiukkasilla voi olla eri kineettinen energia, mutta niiden keskiarvo voidaan laskea seuraavasti K E = E p MeV, (3.1) 2 missä E p on ilmiön aiheuttavan fotonin energia [19]. Jos parinmuodostus tapahtuu sen sijaan sähkökentässä, energia jakautuu muodostuneiden hiukkasten ja valmiiksi kentässä olevan elektronin kanssa. Tätä ilmiötä kutsutaan tripletiksi. lmiön tapahtuminen sähkökentässä vaatii fotonin energiaksi vähintään 2,044 MeV [3, 19]. Lisää parinmuodostuksen ja tripletin erosta löytyy lähteestä [23]. Parinmuodostusta ja triplettiä seuraa nopeasti annihilaatio, jossa positroni ja jokin materian elektroni kohtaavat muodostaen kaksi fotonia. Parinmuodostuksen ja sen kautta annihilaation vaikutus säteilyannokseen on merkittävä, kun sähkömagneettisen säteilyn energia on yli 30 MeV. Pienemmillä energioilla kyseisten ilmiöiden vaikutus säteilyannokseen on vähäinen Fotoydinreaktio Fotoydinreaktiossa korkeaenerginen fotoni voi absorboitua atomin ytimeen ja aiheuttaa nukleonin irtoamisen. Tämä vuorovaikutus riippuu paljon ytimen sidosenergioista ja kynnysenergia protonin irtoamiselle on huomattavasti suurempi kuin neutronin irtoamiselle [7]. Ulkoisessa sädehoidossa kyseisen ilmiön vaikutusalat ovat huomattavasti muita vuorovaikutuksia pienempiä. Neutroneita voi muodostua esimerkiksi lineaarikiihdyttimen päässä olevissa tasoituskappaleissa tai kollimaattoreissa. Alle 10 MeV energioilla neutroneiden aiheuttama annos 15

22 on kuitenkin vain murto-osa fotoneihin verrattuna [18]. Tästä syystä fotoydinreaktion vaikutus sädehoidossa annettuun säteilyannokseen on merkityksetön. Korkeammilla energioilla ilmiön vaikutusala kasvaa, joten tämä tulee huomioida esimerkiksi säteilysuojelussa. Koska neutronit ovat varauksettomia, niillä ei ole äärellistä kantamaa ja siten ne voivat vaikuttaa henkilökunnan kumulatiiviseen säteilyannokseen Comptonin sironta Ulkoisen sädehoidon kannalta Comptonin sironta on tärkein fotonin vuorovaikutuksista. Tarkastelemalla kuvaa 5 havaitaan, että Comptonin sironnan osuus kokonaisvaikutusalasta vähenee huomattavasti, kun fotonin energia on alle 0,1 MeV tai yli 30 MeV. Comptonin sirontaa voidaan tarkastella kinematiikan ja vaikutusalojen avulla [19]. Sironnassa tapahtuneen törmäyksen seurauksena osa fotonin energiasta siirtyy elektronin liike-energiaksi ja samalla fotonin suunta muuttuu. Mitä enemmän fotoni menettää energiaa törmäyksessä, sitä suurempi kulma on saapuneen ja sironneen fotonin välillä. Todellisuudessa elektronit ovat liikkeessä ja sidottuina tietyillä energioilla, mutta ulkoisen sädehoidon energiavälillä niiden voidaan olettaa olevan vapaita ja levossa [19, 21]. Hiukkasten energia on E ja suunta Ω S, missä on hiukkasten energia-avaruus ja S R 3 suunta-avaruus (yksikköpallo). Saapuvan fotonin energia on E p ja suunta Ω p. Törmäyksen jälkeisen fotonin energia on E p ja suunta Ω p, sekä sironneen elektronin energia E e ja suunta Ω e. Koska S on yksikköpallo, suuntavektorien pituus on 1. Kun elektronien oletetaan olevan levossa, sironneen elektronin energia on E e = E p E p. Koska energia ja siroamiskulma ovat kinemaattisesti liitoksissa, sironneelle energialle saadaan E p = E p 1 + E p E 0 (1 Ω p Ω p ), (3.2) missä E 0 on elektronin lepomassa, joka vastaa noin 0,511 MeV energiaa [19]. Kun sirontakulma on 0, saadaan sironneen fotonin maksimienergiaksi E p,max = E p 1 + E p E 0 (1 1) = E p. Vastaavasti sironneen fotonin minimienergia saadaan, kun sirontakulma on 180 E p,min = E p 1 + 2E p E 0 = E pe 0. 2E p + E 0 E p E 0 Täten sironneen fotonin energia E p [ E 0, E +2E p]. Teorian seuratessa lähdettä [21] fotonin energia esitetään elektronin lepomassan avulla redusoidulla energiavälillä E p p E p [ E 0, E p +2E p E 0 ]. Energian minimirajasta havaitaan, että fotoni ei menetä koskaan kaikkea energiaansa elektronin liike-energiaksi. Kuvassa 7 on esitetty saapuvan ja sironneen fotonin energian riippuvuus eri siroamiskulmilla. Yhtälön (3.2) avulla saadaan esitettyä suunnan pistetulo seuraavasti cos(ω p,p) = Ω p Ω p Ω p Ω p = Ω p Ω p = 1 + E 0 E 0, (3.3) E p E p 16

23 10 2 Sironneen fotonin energia Ep (MeV) ω p,p = 15 ω p,p = 45 ω p,p = 90 ω p,p = Saapuvan fotonin energia E p (MeV) Kuva 7: Saapuvan ja sironneen fotonien energioiden riippuvuus eri siroamiskulmilla ω p,p logaritmisessa asteikossa. missä ω p,p on fotonin siroamiskulma. Hyödyntämällä trigonometrian peruskaavaa saadaan sin 2 (ω p,p) = 1 cos 2 (ω p,p) = E 0 E p E 2 0. (3.4) E p Kulmalla ω p,p siroavan fotonin differentiaalinen vaikutusala kulman differentiaalin suhteen saadaan Klein-Nishina yhtälöstä [19]. Hyödyntämällä yhtälöä (3.4) saadaan dσ C (x, E dω p, E p, Ω p Ω p ) = N AZρr0 2 E p 2 E p + E p sin 2 (ω p 2M E p E p E p p,p) = N AZρr 2 0 2M E p E p 2 E p + E p 1 + E p E p 1 + E 0 E p E 0 2, E p (3.5) missä N A on Avogadron luku, Z on materiaalin elektroni määrä per molekyyli, ρ on materiaalin tiheys, r 0 on klassinen elektronin säde, σ C on Comptonin sironnan vaikutusala ja M on materiaalin moolimassa. Differentiaalinen vaikutusala kulman differentiaalina eri siroamiskulmille ja eri saapuvan fotonien energioille on esitetty kaavojen (3.2) ja (3.5) avulla kuvassa 8. Saapuvan fotonin energian kasvaessa sirontakulma pienenee. 17

24 ,1 MeV 0,5 MeV dσ C (cm 1 sr 1 ) dωp ,0 MeV 5,0 MeV 10,0 MeV ,0 MeV Siroamiskulma ω (rad) Kuva 8: Differentiaalinen vaikutusala vedessä kulman differentiaalin suhteen esitettynä eri siroamiskulmilla ω p,p ja eri saapuvilla fotonin energioilla E p. Mitä suurempi saapuvan fotonin energia on, sitä todennäköisemmin se siroaa pienellä kulmalla ω p,p. Differentioimalla kaavaa (3.3) saadaan seuraava yhteys dω p de = 2πE 0, (3.6) p Ep 2 missä dω p = 2π sin(ω p,p)dω p,p. Hyödyntämällä kaavoja (3.5) ja (3.6) voidaan sironneelle fotonille esittää differentiaalinen vaikutusala energian differentiaalin suhteen seuraavasti dσ C (x, E de p, E p, Ω p Ω p ) = dσc (x, E p dω p, E p, Ω dω p Ω p ) p p de p = N AZρr 2 0 2M = N AZρπr 2 0E 0 M(E p) 2 E p 2 E p + E p sin 2 (ω E p E p E p p,p) 2πE 0 Ep 2 E p + E p 1 + E p E p 1 + E 0 E p E 0 2. E p (3.7) 18

25 Energian ja suunnan kinemaattisen relaation vuoksi differentiaalinen vaikutusala energian ja suunnan differentiaalin suhteen voidaan esittää seuraavasti d 2 σ C dedω p (x, E, E, Ω Ω) = dσc de p (x, E, E, Ω Ω)δ(Ω Ω Ω p Ω p ), (3.8) missä δ(x) on deltafunktio ja E, E, Ω sekä Ω ovat yleisiä energian ja suunnan muuttujia [19, 21]. Paul Diracin määrittelemällä deltafunktiolla on seuraavat ehdot, jos x = 0 δ(x) = 0, muulloin ja δ(x)dx = 1. (3.9) Deltafunktiota ei täten siis voida määritellä reaaliseksi funktioksi [28], mutta sille on kehitetty useita eri numeerisia approksimaatioita [27]. Näistä yksi on δ a (x) = 1 a /a2 e x2, (3.10) π missä a on vakio, joka määrää funktion terävyyden. Sirontatapahtumassa on mukana myös elektroni, joka oletetaan alustavasti olevan vapaa ja levossa. Kuten aikaisemmin mainittiin, elektronin energia voidaan esittää saapuvan ja sironneen fotonin energioiden erotuksena seuraavasti E e = E p E p = E p E p 1 + E p E 0 (1 Ω p Ω p ). (3.11) Sironnut elektroni saa suurimman energian, kun saapuva fotoni siroaa 180 kulmassa E e,max = E p E pe 0 = 2E 2 p. 2E p + E 0 2E p + E 0 Vastaavasti minimienergia, kun sirontakulma on 0 E e,min = E p E p = 0. 2E p Sironneen elektronin energialle pätee siis E e [0, 2 2E p+e 0 ] tai redusoidun energian avulla 2E p E e [0, 2 E0 2+2E pe 0 ]. Saapuvan fotonin ja sironneen elektronin kulman kosinille saadaan Ω p Ω e = cos(ω p,e) = E 0 + E p E p 2E E e 1 2, (3.12) missä ω p,e on saapuvan fotonin ja sironneen elektronin välinen kulma [21]. Comptonin sironnassa elektronin siroamiskulma on suurimmillaan 90 ja pienimmillään 0. Differentioimalla yhtälöä (3.12) saadaan lähteen [21] mukaan dω e de = E 0 + E p e E p 2πE 0 E 2 e 2E E e 3 2. (3.13) 19

26 Sironneen elektronin differentiaalisen vaikutusalan suunnan differentiaalin suhteen esittämisessä voidaan hyödyntää tietoa sironneesta fotonista lähteiden [19, 21] mukaan seuraavasti dσ C dω e (x, E p, E e, Ω p Ω e ) = dσc (x, E dω p, E p, Ω p Ω p ) (1 + E p E 0 ) 2 (1 Ω p Ω p ) 2 p (Ω p Ω e ) 3 = N AZρr0 2 E p 2 E p + E p sin 2 (ω 2M E p E p E p p,p) (1 + E p E 0 ) 2 (1 Ω p Ω p ) 2 (Ω p Ω e ) 3 = N AZρr0 2 E p 2 E p + E p E 0 E 2 0 (1 + E p E 0 ) 2 (1 Ω p Ω p ) 2. 2M E p E p E p E p E p (Ω p Ω e ) 3 (3.14) Differentiaalinen vaikutusala sironneen elektronin energian differentiaalina saadaan yhtälöiden (3.3), (3.12), (3.13) ja (3.14) avulla dσ C (x, E de p, E e, Ω p Ω e ) e = dσc (x, E dω p, E e, Ω dω p Ω e ) e e de e = dσc (x, E dω p, E p, Ω p Ω p ) (1 + E p E 0 ) 2 (1 Ω p Ω p ) 2 dω e p (Ω p Ω e ) 3 de e = dσc (x, E dω p, E p, Ω p Ω p ) 2πE ( 0 E ) 2 ( p E0 E ) 2 0 p Ee 2 E 0 E p E p = N AZρπr0E 2 0 E p 2 E p + E p sin 2 (ω MEe 2 E p E p E p p,p) E p 2 E 0 E 2 0 E 0 E p E p = N AZρπr 2 0E 0 ME 2 e 1 E p E p 2 E p + E p 1 + E p E p 1 + E 0 E p E 0 2. E p (3.15) Yhtälö (3.15) mahdollistaa sironnassa luotujen elektronien energiaspektrin tarkastelun eri saapuvan fotonin energioilla. Kyseiset spektrit ovat voimassa vain siroamishetkellä [19]. Deltafunktion avulla voidaan esittää myös differentiaalinen vaikutusala sironneen elektronin energian ja suunnan differentiaalin suhteen seuraavasti d 2 σ C dedω e (x, E, E, Ω Ω) = dσc dω e (x, E, E, Ω Ω)δ(Ω Ω Ω p Ω e ). (3.16) Comptonin sironnassa energioita voidaan tarkastella myös elektronin lepomassan avulla redusoiduilla energioilla. Tämä tarkoittaa, että fotonien energioiksi saadaan E p E p [ E 0, E p 2E p +2E p E 0 ] ja vastaavasti sironneen elektronin energioiksi E e [0, 2 ]. Siroamisvaikutusala saadaan integroimalla yhtälöä (3.7) kaikkien mahdollisten sironneiden E0 2+2E p E 0 fotonien 20

27 Kuva 9: Comptonin sironnan kokonaisvaikutusalan kaavan ja NST mittauspisteiden vertaaminen logaritmisessa asteikossa. NST mittauspisteet löytyvät lähteestä [16]. redusoitujen energioiden ylitse. Siroamisvaikutusalaksi saadaan lähteen [21] mukaan σ C s (x, E ) = 2πN AZρr 2 0 M 2 ϵ ϵ 2 (1 + 2ϵ) + ϵ2 2ϵ 2 ln(1 + 2ϵ), (3.17) 2 2ϵ 3 missä ϵ = E p E 0. Koska elektronit aiheuttavat materiaan säteilyannoksen, Comptonin sironnan absorboitumisvaikutusala saadaan integroimalla yhtälöä (3.15) kaikkien sironneiden elektronien redusoitujen energioiden ylitse. Toisaalta Comptonin sironnassa differentiaaliset vaikutusalat voidaan esittää toistensa avulla ja täten absorptiovaikutusalaksi tulee sama kuin sirontavaikutusalaksi [21]. Näin ollen Comptonin sironnan kokonaisvaikutusalaksi saadaan σ C (x, E ) = 2σ C s (x, E ). (3.18) Kuvassa 9 on verrattu yhtälöiden (3.17) ja (3.18) avulla muodostetun Comptonin kokonaisvaikutusalaa ja NST:n tuloksia Comptonin sironnalle. Ulkoisen sädehoidon energioissa kyseinen yhtälö toimii hyvin Comptonin sironnan kokonaisvaikutusalana, mutta fotonin energian pienentyessä virhe kasvaa. Tämä aiheutuu oletuksista, jotka elektronille tehtiin. Fotonin energian pienentyessä elektronin alustavan liike-energian ja sidosenergian vaikutus kasvaa eikä niitä voida olettaa enää merkityksettömiksi. Lukijan tulee olla erityisen tarkkana eri lähteissä esitettyjen energiavälien kanssa. Lähteessä [19] käytetään fotonin energioita, kun taas lähteessä [21] käytetään fotonien 21

28 redusoituja energioita. Tämä tarkoittaa, että lähteen [21] mukaan johdetussa yhtälössä (3.17) energia E on redusoitu elektronin lepomassalla E Elektronien vuorovaikutukset Fotonit pystyvät kulkemaan biologisen materian läpi vuorovaikuttamalla vain muutamien väliaineen elektronien kanssa. Elektronien kulku poikkeaa fotoneista huomattavasti, koska ne ovat massallisia ja varattuja hiukkasia. Periaatteessa elektronit ovat vuorovaikutuksessa aina kaikkien ympäröivien elektronien kanssa Coulombisen vuorovaikutuksen välityksellä. Täten ne ovat vuorovaikutuksessa käytännössä kaikkien kohtaamiensa atomiytimien ja rataelektronien kanssa törmäysten, sironnan tai jarrutuksen välityksellä kunnes kaikki liike-energia on menetetty [19]. Tästä syystä elektronien kantama on äärellinen [3]. Elektronien kokema energian menetys aiheuttaa paikallisesti atomien virittymistä tai ionisaatiota ja siten säteilyannoksen. Ulkoisen sädehoidon tapauksessa elektronien kulussa tulee ottaa huomioon myös relativistiset vaikutukset, sillä energialtaan megaelektronivolttien luokkaa olevat elektronit kulkevat lähellä valonnopeutta. Koska varatuilla hiukkasilla vuorovaikutuksia tapahtuu lähes koko ajan, niiden kulkua tarkastellaan monesti kantaman (engl. range) ja jarrutuskyvyn (engl. stopping power) avulla. Elektronit kulkevat mutkittelevaa rataa pitkin ja kantamalla tarkoitetaan matkaa, missä elektroni menettää kaiken liike-energiansa. Jarrutuskyky on yleiskäsite, jolla kuvataan elektronin liike-energian siirtymistä väliaineeseen. Boltzmannin siirtoyhtälöissä tarvitaan elektronien tapauksessa myös differentiaalista vaikutusalaa ja kokonaisvaikutusalaa. Näiden esittämisessä hyödynnetään lähteitä [21, 29]. Ulkoisen sädehoidon kannalta Rutherfordin sironta, Møllerin sironta, jarrutussäteily ja annihilaatio ovat tärkeimmät elektronien vuorovaikutukset. Kyseisten vuorovaikutusten muoto riippuu kuinka etäältä rataelektronia tai atomin ydintä saapuva elektroni kulkee. Tästä syystä vuorovaikutukset monesti jaetaan pehmeisiin ja koviin törmäyksiin. Pehmeissä törmäyksissä elektronin etäisyys on suuri verrattuna atomin säteeseen ja kovissa törmäyksissä elektroni kulkee lähes atomin säteen etäisyydeltä. Pehmeissä törmäyksissä elektronin energiaa siirtyy väliaineeseen vain vähän, mutta ne ovat hyvin yleisiä. Kovat törmäykset ovat sen sijaan harvinaisia, mutta niissä elektroni menettää huomattavan määrän energiastaan väliaineeseen. Kovissa törmäyksissä atomin ionisoituminen on todennäköisempää kuin pehmeissä törmäyksissä [3]. Kuvassa 10 on esitetty kaaviona saapuvan elektronin tyypilliset vuorovaikutusmekanismit ja niiden seuraukset väliaineessa. Tässä alakappaleessa tarkastellaan elektronien tyypillisiä vuorovaikutuksia ulkoisen sädehoidon näkökulmasta ja erityisesti Møllerin sirontaa. 22

29 Kuva 10: Saapuvan elektronin tyypilliset vuorovaikutusmekanismit ja niiden seuraukset väliaineessa. Sähköisesti varautuneet hiukkaset pystyvät ionisoimaan väliaineen atomeita ja siten aiheuttamaan säteilyannoksen [19, 37] Rutherfordin sironta Rutherfordin sironnalla tarkoitetaan elektronin sirontaa, jossa saapuvan elektronin suunta muuttuu, mutta energia ei. Kyseistä vuorovaikutusta kutsutaan useasti myös elastiseksi sironnaksi. Rutherfordin sironta ei vaikuta säteilyannokseen, mutta sen aiheuttama elektronien suunnanmuutos vaikuttaa säteilyannoksen leviämiseen väliaineessa. Differentiaalinen vaikutusala elektronin elastiselle sironnalle on esitetty hieman eri muodossa lähteissä [29] ja [21]. Seuraamalla lähteen [21] esittämää teoriaa Rutherfordin differentiaaliseksi vaikutusalaksi elektronin sirontakulman kosinin suhteen saadaan dσ R (x, E, Ω Ω) = 2πN AρZ 2 r0 2 E0(E 2 + E 0 ) 2 1 dµ e M E 2 (E + 2E 0 ) 2 (1 Ω Ω + 2η(E )), (3.19) 2 missä µ e on elektronin sirontakulman kosini ja η on seulontafunktio (engl. screening function). Lähteissä [21] ja [29] on molemmissa käytetty Molieren kehittämää seulontafunktiota [38] η(e ) = Z 2/3 ( ( E 0 Z c 4(c 1 c 2 ) 2 E (E 3 + c 4 + 2E 0 ) c 2 β ) 2 ), (3.20) 1 (1 + ϵ) 2 on termi, joka ottaa missä c 1 = 0,885, c 2 = 137, c 3 = 1,13, c 4 = 3,76 ja β = suhteellisuusteorian huomioon. Differentiaalinen vaikutusala energian ja kulman kosinin differentiaalin suhteen saadaan seuraavasti d 2 σ R dedµ e (x, E, E, Ω Ω) = dσr dµ e (x, E, Ω Ω)δ(E E). (3.21) 23

30 Kokonaisvaikutusala saadaan integroimalla yhtälöä (3.19) sirontakulman kosinien yli µ e [ 1, 1]. Tällöin lähteen [21] mukaan saadaan Rutherfordin kokonaisvaikutusalaksi σ R (x, E ) = πn AρZ 2/3 r 2 0 M E0(E 2 + E 0 ) 2 1 E 2 (E + 2E 0 ) 2 η(e )(1 + η(e )). (3.22) Edellä johdettu kokonaisvaikutusala Rutherfordin sironnalle toimii hyvin biologisessa materiassa, kun elektronien energia on yli 100 KeV [21] Jarrutussäteily Jarrutussäteily eli Bremsstrahlung tarkoittaa vuorovaikutusta, jossa elektroni kokee väliaineen ytimen sähkökentän. Jarrutussäteilyn tapauksessa elektroni hidastuu atomin sähkökentässä ja menetetty energia ilmenee fotonisäteilynä. Kuten kuvan 10 kaavio näyttää, jarrutussäteilyn avulla elektronit voivat muodostaa väliaineeseen uusia fotoneita, jotka jälleen voivat vaikuttaa kuvassa 6 esitetyn kaavion tavoin. Emittoituneen fotonin energia voi olla suurimmillaan yhtä suuri kuin saapuvan elektronin liike-energia. Luovutetun energian määrä riippuu kuinka läheltä atomia elektroni kulkee [3]. Tätä vuorovaikutusta hyödynnetään röntgensäteilyn tuotossa. Pehmytkudoksessa tai vedessä jarrutussäteilyn vaikutusala on pieni alle 10 MeV energioilla [21]. Kuitenkin vuorovaikutuksessa muodostuneet mahdollisesti korkeaenergiset fotonit voivat kuljettaa energiaa huomattavasti pitempiä matkoja kuin elektronit. Näin ollen osa saapuvan elektronin energiasta saattaa poistua tarkasteltavasta alueesta jarrutussäteilyn avulla. Jarrutussäteilyn differentiaalinen vaikutusala emittoituneen fotonin energian suhteen jätetään esittämättä, mutta lukija voi löytää sen lähteistä [29, 36]. Differentiaalinen vaikutusala siroamiskulman ja emittoituneen fotonin energian differentiaalina on esitetty lähteissä [21, 29] seuraavasti d 2 σ Br (x, E, E p, Ω e Ω p ) = dσbr (x, E, E p ) 1 1 β 2 de p dω p de p 2π 4π(1 β(ω e Ω p )). (3.23) 2 Jarrutussäteilyssä voidaan myös olettaa, että atomin sähkökentän aiheuttama hidastuminen muuttaa saapuvan elektronin suuntaa erittäin vähän [21, 29]. Tämä oletus voi johtua siitä, että ulkoisessa sädehoidossa elektronit kulkevat relativistisilla nopeuksilla ja atomien säteet väliaineessa ovat erittäin pieniä. Tämän oletuksen nojalla yhtälö (3.23) voidaan esittää seuraavasti d 2 σ Br de p dω p (x, E, E p, Ω e Ω p ) = dσbr de p (x, E, E p )δ(ω e Ω e 1). (3.24) Jarrutussäteilyn kokonaisvaikutusala saadaan integroimalla yhtälöä (3.24) kaikkien emittoituneiden fotonien energioiden ylitse Annihilaatio Annihilaatiossa hiukkanen ja sen antihiukkanen muuttuvat kahdeksi fotoniksi joiden välinen kulma on 180 [3]. Sädehoidossa annihilaatiolla tarkoitetaan elektronin ja positronin välistä annihiloitumista fotoneiksi. Koska biologisessa materiassa ei ole valmiiksi positroneja, annihilaatio ilmenee ainoastaan parinmuodostuksen jälkeen. Tässä tutkielmassa annihilaation tarkempi tarkastelu sivuutetaan, mutta kyseisestä vuorovaikutuksesta voi lukea lähteistä [19, 23]. 24

31 3.3.4 Møllerin sironta Elektronin epäelastisessa törmäyksessä voidaan olettaa saapuvan elektronin energialla E e ja suunnalla Ω e törmäävän levossa olevaan vapaaseen elektroniin. Todellisuudessa materiaalissa olevat elektronit ovat liikkeessä ja sidottuina eri energiatasoilla [29]. Sädehoidossa saapuvan elektronin energia on kuitenkin niin suuri, että törmäys voidaan olettaa tapahtuvan levossa olevan elektronin kanssa. Sironnan jälkeen kahdesta elektronista on mahdotonta päätellä kumpi oli alkuperäinen saapuva elektroni, joten korkeampi energistä elektronia kutsutaan primaariseksi elektroniksi suunnalla Ω pr ja energialla E pr, sekä pienempi energistä sekundaarisena elektronina energialla E s ja suunnalla Ω s. Sironneiden elektronien energiat ovat jakautuneet kinematiikan avulla saapuvasta elektronista joten E e = E pr + E s. (3.25) Elektronien epäelastista törmäystä voidaan tarkastella Møllerin sironnan avulla [21]. Sädehoidossa muodostuneet korkeaenergiset elektronit ovat huomattavasti energisempiä kuin levossa olevat elektronit ja täten siroaminen on eteenpäin suunnattua. Makroskooppiseksi vaikutusalaksi elektroni - sekundaariselle elektronille saadaan dσ e (x, E, E s ) = C de s β 2 Es 2 (E E s ) + ϵ 2 2 (ϵ + 1) 2 E 2ϵ + 1, (3.26) 2 (ϵ + 1) 2 E s (E E s ) missä C = N A Zρ2πr0E 2 0 M 1, ϵ = E E 0 ja β 2 = 1 (1 + ϵ) 2 [21, 29]. Koska energia ja suunta ovat kinemaattisesti liitoksissa, elektronien sirontakulmien kosinit voidaan esittää energioiden avulla [29]. Sekundaarisen elektronin kulman kosinille ja primaarisen elektronin kulman kosinille Ω e Ω s = E s(e e + 2E 0 ) E e(e s + 2E 0 ) (3.27) Ω e Ω pr = (E e E s )(E e + 2E 0 ) E e(e e E s + 2E 0 ). (3.28) Primaariselle elektronille voidaan laskea suurin siroamiskulma, kun tiedetään että sekundaarisen elektronin energia voi maksimissaan lähestyä puolta saapuvan elektronin energiasta. Kuvassa 11 on esitetty primaarisen elektronin suurin positiivinen siroamiskulma eri saapuvan elektronin energioilla. Differentiaalinen vaikutusala energian ja kulman differentiaalin suhteen voidaan esittää primaarisille elektroneille d 2 σ e de pr dω pr (x, E, E, Ω Ω) = dσe de s (x, E, E pr ) 1 2π δ(ω Ω Ω e Ω pr ) (3.29) ja vastaavasti sekundaarisille elektroneille d 2 σ e de s dω s (x, E, E, Ω Ω) = dσe de s (x, E, E s ) 1 2π δ(ω Ω Ω e Ω s ). (3.30) 25

32 Suurin primaari elektronin siroamiskulma ω (Rad) Saapuvan elektronin energia E e (MeV) Kuva 11: Primaarisen elektronin suurin positiivinen siroamiskulma eri saapuvan elektronin energioilla. Elektronin vuorovaikutuksessa tulee huomioida, että vaikutusalat menevät äärettömään, jos sirontatapahtumassa energian muutos on vähäistä. Tästä syystä epäelastinen sironta jaetaan pehmeisiin ja koviin vuorovaikutuksiin. Sama tilanne tulisi huomioida myös muissa elektronin vuorovaikutuksissa, mutta tämä sivuutetaan. Lisää muiden vuorovaikutusten jakamisesta voi lukea lähteistä [21, 29]. Kovissa törmäyksissä saapuvan elektronin etäisyys atomin ytimestä on lähellä rataelektroneiden etäisyyttä ytimestä. Tällöin saapuvan elektronin liike-energiaa siirtyy rataelektronille huomattava määrä ja atomi voi ionisoitua tai virittyä [3]. Kovien törmäyksien todennäköisyys on paljon pienempi kuin pehmeiden, mutta niissä tapahtuvan suuren energian muutoksen takia niiden osuus annetusta annoksesta on noin puolet [19]. Elektronien välisessä vuorovaikutuksessa on huomioitava, että törmäyksellä ei tarkoiteta varsinaista fyysistä elektronien kosketusta vaan sähköisen voiman aiheuttamaa sirontaa. Kovat törmäykset voidaan mallintaa Møller sironnan avulla, kun energian muutokselle annetaan jokin alaraja E cut. Pehmeissä törmäyksissä saapuva elektroni kulkee atomin rataelektronien ohitse suhteellisen kaukaa (rataelektronin etäisyys ytimeen on huomattavasti lyhyempi kuin saapuvan elektronin) [3]. Tässä törmäyksessä saapuva elektroni menettää energiaa vähemmän kuin E cut ja siten siroaa pienellä kulmalla. Vaikka pehmeiden törmäysten energian muutos on pieni, niiden yleisyyden takia ne ovat verrattavissa kovien törmäysten aiheuttamaan annokseen [19]. Pehmeiden törmäyksien mallintamisessa hyödynnetään jatkuvan hidastumisen approksimaatiota (engl. Continuous Slowing Down Approximation, CSDA), missä elektronin oletetaan menettävän tasaisesti energiaansa edetessään materian lävitse. Tämä 26

33 oletus vaatii elektronien jarrutuskyvyn käyttöä, joka esitellään myöhemmin. Erottelemalla epäelastinen vuorovaikutus pehmeisiin ja koviin törmäyksiin saadaan primaarisen elektronin energioille E pr [E max /2, E max ], missä E max on primaarisen elektronin suurin energia ja sekundaarisen elektronin energioille E s [E cut, E max /2[. Kyseinen luokittelu vaatii oletuksen, että energian muutosten ollessa alle E cut, elektroni ei muuta suuntaansa vaan menettää vain energiaansa tasaisen hidastumisen kautta. Energian muutoksen alaraja vaikuttaa huomattavasti esimerkiksi epäelastisen vuorovaikutuksen kokonaisvaikutusalaan. Rajoitettu kokonaisvaikutusala epäelastiselle vuorovaikutukselle saadaan integroimalla yhtälöä (3.30) kaikkien mahdollisten sekundaaristen elektronien energioiden ylitse [21]. Tästä saadaan lähteen [21] mukaan σ r,e (x, E ) = C ϵ C 2 β C 2 (ϵ + 1) + C 2ϵ , (3.31) (ϵ + 1) 2 missä C 1 = 1 E cut 1 E max E cut, C 2 = Emax 2Ecut 2E 2 max 3.4 Jarrutuskyky ja säteilyannos ja C 3 = 1 E max ln E cut E max E cut. Edetessään materian lävitse varatut hiukkaset kokevat useita vuorovaikutuksia lyhyellä matkalla. Tämän seurauksena hiukkanen menettää energiaansa materiassa oleville atomeille ionisoiden tai virittäen niitä [3]. Varatun hiukkasen menettämää energiaa tietyllä välimatkalla voidaan tarkastella jarrutuskyvyn τ avulla. Tarkastellessa elektronien vuorovaikutuksia jarrutuskyky voidaan jakaa törmäys- ja säteilyjarrutuskykyihin. Tällöin kokonaisjarrutuskyky on näiden kahden summa. Elektronien massatörmäysjarrutuskyvylle Bethe [19, 20] on johtanut seuraavan yhtälön τ e ρ = 1 ρ coll de e dx coll =2πr0N 2 E 0 e ln E2 e (E e + 2E 0 ) + β 2 2E 0 av E2 e (2E e + E 0 )E 0 ln(2) + 1 β 2 (E e + E 0 ) δ(e), 2 (3.32) missä τ e on törmäysjarrutuskyky, ρ on materiaalin tiheys, r 0 on elektronin klassinen säde, N e on elektronitiheys, av on materiaalin viritysenergian keskiarvo ja δ(e) on tiheyskorjausfunktio. Jarrutuskyvyt voidaan laskea myös elektronien epäelastisen siroamisen tai jarrutussäteilyn differentiaalisen vaikutusalan energian differentiaalin avulla seuraavasti τ(x, E ) = 0 (E E) dσ de (E, E)dE, (3.33) missä dσ on jarrutussäteilyn tai epäelastisen törmäyksen differentiaalinen vaikutusala de energian differentiaalin suhteen. Kokonaisjarrutuskyky saadaan näiden kahden summasta [19]. Alle 10 MeV energioilla säteilyjarrutuskyvyn osuus kokonaisjarrutuskyvystä on vain murto-osa ja törmäysjarrutuskykyä voidaan approksimoida kokonaisjarrutuskyvyksi. 27

34 Jarrutuskyky τ (MeV/cm) Energia E (MeV) Törmäysjarrutuskyky Säteilyjarrutuskyky Kokonaisjarrutuskyky Kuva 12: Elektronien jarrutuskyky vedessä logaritmisella asteikolla NST:n verkkosivujen mittauspisteiden mukaan [17]. Kuvassa 12 on esitettynä logaritmisessa asteikossa törmäys-, säteily- ja kokonaisjarrutuskyvyt vedessä logaritmisessa asteikossa eri elektronin energioilla hyödyntämällä NST:n mittauspisteitä. Kuten aikaisemmassa alakappaleessa mainittiin, elektronien vuorovaikutuksiin liittyvät vaikutusalat menevät äärettömiksi pienillä energian muutoksilla. Tästä syystä niiden tarkastelua joudutaan rajoittamaan jollakin alarajalla E cut. Rajoitettu törmäys- ja säteilyjarrutuskyky voidaan muodostaa muuttamalla yhtälössä (3.33) energiarajat rajoitettuihin energiarajoihin ja hyödyntämällä niihin liittyviä differentiaalisia vaikutusaloja. Lukija voi löytää lisää tietoa rajoitetusta jarrutuskyvystä lähteistä [19,21,29]. Säteilyannoksen selvittäminen on erityisen tärkeää ulkoisessa sädehoidossa, sillä annos syöpäkudoksessa halutaan maksimoida ja terveessä kudoksessa minimoida. Säteilyn aiheuttama absorboitunut annos D on määritelty seuraavasti D = dγ dm, (3.34) missä dγ on keskimääräinen ainealkioon siirtynyt energia (J) ja dm kyseisen ainealkion massa (kg) [3]. Absorboituneen annoksen yksikkö on siis J/kg ja sille on sovittu nimeksi gray, Gy. Toisaalta säteilyannos voidaan laskea myös väliaineeseen muodostuneiden varattujen hiukkasten ja törmäysjarrutuskyvyn avulla seuraavasti D(x) = 3 j=2 τj e (x, E) S ψ j (x, E, Ω)dΩdE, (3.35) missä indeksit kuvaavat elektroneja, positroneja ja ψ j (x, E, Ω) on kyseisten hiukkasten hiukkasvuo [21, 39]. 28

35 4 Ulkoisen sädehoidon mallintaminen Ulkoisessa sädehoidossa lineaarikiihdytin tuottaa korkeaenergisiä elektroneita, jotka liikkuvat lähes valonnopeudella. Kun nämä elektronit törmäytetään lineaarikiihdyttimen päässä olevan volframikappaleen kanssa, pystytään luomaan fotonisäteilyä, jonka energiaspektri riippuu kiihdytettyjen elektronien energiasta. Tuotettujen fotonien voidaan olettaa kulkevan seitsemän dimensioisessa faasiavaruudessa (x, E, Ω, t) V S [0, t 0 ], missä x := (x 1, x 2, x 3 ) on paikkakoordinaatti, E on hiukkasen energia, Ω on suunta ja t on aika [21]. Alue V R 3 on konveksi, avoin ja rajoitettu paloittain sileällä reunalla V. S R 3 on yksikköpallo, jolla voidaan esittää hiukkasen suunta Ω, ja on hiukkasen energia-avaruus. Ludvig Boltzmannin vuonna 1872 johtamat Boltzmannin siirtoyhtälöt (engl. Boltzmann Transport Equations, BTE) oli alustavasti kehitetty kaasujen kineettisen teorian tarkasteluun, mutta myöhemmin niitä on sovellettu useaan eri ilmiöön [24]. Lineaarista BTE:tä käytetään monesti fotonien ja neutronien kulun mallintamisessa ja epälineaarista esimerkiksi molekyylien kulun mallintamisessa [30]. BTE:hen voidaan lisätä myös magneettikentän vaikutus, jos sädehoito pyritään yhdistämään magneettikuvauksen kanssa. Yhtälöryhmä, johon on lisätty ulkoisen magneettikentän vaikutus, on esitetty lähteissä [25, 26]. Sädehoidossa BTE on johdettu yhtälöryhmälle, joka kuvaa fotonien, elektronien ja positronien säilymistä. Kyseessä on tasapainoyhtälö, jossa hiukkasten oletetaan vuorovaikuttavan vain väliaineen hiukkasten kanssa. Kyseisen yhtälöryhmän johto sädehoidolle on esitettynä lähteessä [21]. Kun hiukkasvuo on ajasta riippuvainen, BTE yhtälöryhmä on 1 ψ 1 v 1 t + Ω ψ 1 + K 1 Ψ = Q 1 1 ψ 2 v 2 t + Ω ψ 2 + K 2 Ψ = Q 2 1 ψ 3 v 3 t + Ω ψ 3 + K 3 Ψ = Q 3, (4.1) missä indeksit kuvaavat fotoneja, elektroneja ja positroneja. Hiukkasen nopeusvektori on v i, luokan i hiukkasvuo on ψ i (x, E, Ω, t) (cm 2 MeV 1 sr 1 s 1 ), Q i (x, E, Ω, t) on lähdetermi, K i on siroamisoperaattori ja Ψ := (ψ 1, ψ 2, ψ 3 ). Luokan i siroamisoperaattorille pätee K i Ψ(x, E, Ω, t) = σ i (x, E)ψ i (x, E, Ω, t) S 3 σ i i(x, E, E, Ω Ω)ψ i (x, E, Ω, t)de dω, i =1 missä σ i on hiukkaslajin i makroskooppinen kokonaisvaikutusala ja σ i i differentiaalinen vaikutusala. Siroamisoperaattorin avulla voidaan tarkastella säteilyn vaimenemista sekä hiukkaslajin, energian ja suunnan muutosta. Koska korkeaenergiset hiukkaset liikkuvat lähes valonnopeudella, hiukkasten kulun mallintamisessa hyödynnetään monesti ajasta riippumatonta lineaarista BTE:tä. Tässä tutkielmassa BTE:llä tarkoitetaan jatkossa ajasta riippumatonta lineaarista BTE:tä ja 29

36 merkinnöistä jätetään aikariippuvuus pois. Tällöin ψ := ψ(x, E, Ω) ja Q := Q(x, E, Ω). Ajasta riippumaton lineaarinen BTE yhtälöryhmä on Ω ψ 1 + K 1 Ψ = Q 1 Ω ψ 2 + K 2 Ψ = Q 2 Ω ψ 3 + K 3 Ψ = Q 3. (4.2) BTE on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka sisältää integraalitermin (engl. integro-partial differential equation). Sen analyyttinen ratkaiseminen onnistuu vain niin yksinkertaistetussa geometriassa, että ratkaisusta ei ole varsinaista hyötyä [21]. Tästä syystä yhtälöryhmän ratkaisemisessa käytetään numeerisia menetelmiä, jotka ovat tilastollisia tai deterministisiä. Kyseiset menetelmät vaativat ratkaisun yksikäsitteisyyden ja olemassaolon tarkastelua, jotka BTE:lle on esitetty lähteessä [21]. Sädehoidossa tilastollista Monte Carlo -menetelmää (MC) pidetään annoslaskennan standardina. Kyseisessä menetelmässä ratkaisun tarkkuus riippuu seurattujen hiukkasten lukumäärästä ja useamman hiukkasen seuraaminen vaatii pitempiä laskenta-aikoja [21, 26, 32]. Toisaalta entistä tehokkaampien näytönohjaimien ja niiden avulla suoritetun rinnakkaislaskennan avulla yhä useampia hiukkasratoja voidaan simuloida entistä pienemmässä ajassa. Deterministiset menetelmät ratkaisevat BTE:n esimerkiksi diskretisoimalla tarkasteltavat alueet elementtien avulla. Koska MC:n avulla laskettuja tuloksia pidetään standardina, determinististen menetelmien tuloksia verrataan monesti MC:n tuloksiin [21]. Äärellisten elementtien menetelmä (engl. Finite Element Method, FEM) on deterministinen menetelmä, jolla voidaan ratkaista BTE. FEM:ssä ratkaisuun voi aiheutua kuitenkin epätarkkuutta esimerkiksi diskretisointivirheistä. Tässä kappaleessa esitetään säteilyn mallintaminen reunalähteen avulla. BTE ratkaistaan deterministisellä menetelmällä, jossa tarkasteltava spatiaaliavaruus diskretisoidaan epäjatkuvalla Galerkinin (engl. Discontinuous Galerkin, DG) menetelmällä. Hiukkasen kulma- ja energia-avaruus diskretisoidaan jatkuvalla Galerkinin menetelmällä. Fotonien ja elektronien matriisiyhtälöt johdetaan tässä kappaleessa hyödyntämällä tilanteeseen liittyviä oletuksia, reuna- ja alkuehtoja. Tarkasteltavassa alueessa oletetaan ettei positroneja muodostu. Kappaleessa esitetään myös fotoneihin liittyvä superpositioperiaate, sekä säteenseuranta simuloidulle EPD:lle. 4.1 Fotoneihin liittyvä siirtoyhtälö Sädehoidossa käytetyt lineaarikiihdyttimet pystyvät tuottamaan niin elektroni- kuin fotonisäteilyä. Tässä alakappaleessa keskitytään ulkoisen fotonisäteilyn siirtoyhtälöön ja siihen liittyviin reunaehtoihin. Boltzmannin siirtoyhtälöistä (4.2) ensimmäinen liittyy fotonien mallintamiseen missä siroamisoperaattori K 1 Ψ = σ 1 (x, E)ψ 1 (x, E, Ω) Ω ψ 1 + K 1 Ψ = Q 1, (4.3) S 3 σ i 1(x, E, E, Ω Ω)ψ i (x, E, Ω )de dω i =1 ja reunaehto Ψ 0, jos (x, E, Ω) Γ x S x ja Ω ˆn(x) < 0 ψ 1 (x, E, Ω) = 0, jos (x, E, Ω) / Γ x S x ja Ω ˆn(x) < 0, 30 (4.4)

37 V Ψ 0 Γ V Kuva 13: Havainnollistava kuva ulkoisen säteilyn Ψ 0 saapumisesta tarkasteltavan alueen V tietylle reunan osiolle Γ. missä Ψ 0 on lineaarikiihdyttimen aiheuttama ulkoinen fotonisäteily, joka osuu spatiaalisen alueen reunan osaan Γ, ja ˆn on reunan V ulospäin suunnattu yksikkönormaali. Reunaehto mahdollistaa hiukkasten poistumisen alueesta V, mutta ne eivät pääse alueeseen muualta kuin reunalta Γ. Ulkoisen säteilyn saapumista alueeseen V havainnollistaa kuva 13. Ulkoisen sädehoidon energioissa (noin 1-15 MeV) fotoneille Comptonin sironta ja elektroneille epäelastinen sironta ovat merkittävimmät vuorovaikutukset. Tästä syystä yleinen oletus on, että sekundaarisista hiukkasista ei muodostu enää uusia fotoneita ja fotonit kokevat vain Comptonin sirontaa [21, 32]. Toisin sanoen jarrutussäteilyä ja annihilaatiota ei tapahdu. Tällöin fotonien siroamisoperaattori on K 1 Ψ = σ 1 (x, E)ψ 1 (x, E, Ω) σ1 1(x, C E, E, Ω Ω)ψ 1 (x, E, Ω )de dω, S missä σ C 1 1 on Comptonin sironnan differentiaalinen vaikutusala (3.8). Ulkoisen sädehoidon energioissa voidaan myös approksimoida, että Comptonin sironnan vaikutusala (3.18) on sama kuin fotonien kokonaisvaikutusala σ 1 (x, E) σ C 1 (x, E). Kun fotonien kulkua tarkastellaan reunalähteen avulla, voidaan olettaa että alueella V ei ole sisäisiä lähteitä. Tällöin fotonisäteilyn lähdetermi Q 1 = Elektroneihin liittyvä siirtoyhtälö Tarkastellessa elektronien kulkua väliaineessa yhtälöryhmän (4.2) toista yhtälöä voidaan hyödyntää Ω ψ 2 + K 2 Ψ = Q 2, (4.5) jonka reunaehto on ψ 2 (x, E, Ω) = 0, jos (x, E, Ω) V x S x ja Ω ˆn(x) < 0. (4.6) 31

38 Reunaehto kertoo ettei yksikään elektroni voi saapua alueeseen V sen ulkopuolelta. Elektronien siroamisoperaattori on K 2 Ψ(x, E, Ω) =σ 2 (x, E)ψ 2 (x, E, Ω) S 3 σ i 2(x, E, E, Ω Ω)ψ i (x, E, Ω )de dω. i =1 Ulkoisessa sädehoidossa elektronien yleisin vuorovaikutus on Møllerin sironta, jolloin sirontaoperaattorissa kokonais- ja differentiaalista vaikutusalaa voidaan mallintaa sen avulla. Koska elektronit ovat massallisia ja varattuja hiukkasia, niiden vuorovaikutuksien yleisyys aiheuttaa numeerisia ongelmia integraalien laskemisessa. Tästä syystä elektroneille hyödynnetään tasaisen hidastumisen approksimaatiota (engl. Continuous Slowing Down Approximation, CSDA). CSDA:n kanssa siroamisoperaattorille saadaan lähteiden [21, 29] mukaisesti K2Ψ(x, r E, Ω) =σ2(x, r E)ψ 2 (x, E, Ω) σ 1 2 (x, E, E, Ω Ω)ψ 1 (x, E, Ω )de dω S S σ r 2 2(x, E, E, Ω Ω)ψ 2 (x, E, Ω )de dω (τ 2 r (x, E)ψ 2 (x, E, Ω)) E σ 3 2 (x, E, E, Ω Ω)ψ 3 (x, E, Ω )de dω, S (4.7) missä yläindeksi r kertoo, että kyseessä on rajoitettu kokonais- ja differentiaalinen vaikutusala. Nyt siroamisoperaattorissa olevaa kokonaisvaikutusalaa σ r 2 voidaan mallintaa yhtälöllä (3.31) ja differentiaalista vaikutusalaa σ r 2 2 yhtälöillä (3.29) ja (3.30). Koska siroamisoperaattorissa esiintyy osittaisderivaatta energian suhteen, elektronivuolle asetetaan alkuehdoksi ψ 2 (x, E, Ω) = 0, jos (x, E max, Ω) V x S, (4.8) missä E max on ulkoisen säteilylähteen suurin energia. Elektroneille asetettu alkuehto, joka vaatii suurimman energian olevan nolla, voidaan perustella Comptonin sironnalla. Kyseisessä vuorovaikutuksessa fotoni ei voi menettää kaikkea energiaansa törmäyksessä mukana olevalle elektronille [19]. Siten elektroneita, joilla olisi yhtä suuri energia kuin kaikista energisimmillä fotoneilla, ei voi muodostua. Jos kyseessä on ulkoinen fotonisäteily, voidaan hiukkasvuo ψ 1 (x, E, Ω) ratkaista edellisten oletuksien avulla ensin. Tällöin elektronien sirontaoperaattorin sisällä oleva fotonivuo voidaan olettaa kiinteäksi lähteeksi ja siirtää yhtälön (4.5) oikealle puolelle. Merkitään nyt Q 1 2 (x, E, Ω) := σ1 2(x, C E, E, Ω Ω)ψ 1 (x, E, Ω )de dω. S Korkeaenergisiä elektroneja ei voi muodostua väliaineen sisällä itsestään, joten lähdetermi Q 2 = 0. Nyt siis elektroneille saadaan Ω ψ 2 + K r 2Ψ = Q 1 2, (4.9) 32

39 missä K r 2 on elektronien rajoitettu siroamisoperaattori, josta on poistettu fotonivuon aiheuttama sironta K 2Ψ(x, r E, Ω) =σ2(x, r E)ψ 2 (x, E, Ω) σ2 2(x, r E, E, Ω Ω)ψ 2 (x, E, Ω )de dω S (τ 2 r (x, E)ψ 2 (x, E, Ω)) E σ 3 2 (x, E, E, Ω Ω)ψ 3 (x, E, Ω )de dω. S (4.10) Sirontaoperaattorissa oleva osittaisderivaatta energian suhteen voidaan hajottaa tulon derivoimissäännöllä kahteen eri termiin. Toisaalta lähteessä [21] esitettyjen ehtojen varmistamiseksi rajoitettu jarrutuskyky oletetaan energian suhteen vakioksi. Tällöin osittaiderivaataksi saadaan (τ r 2 (x, E)ψ 2 (x, E, Ω)) E = τ 2 r (x, E) ψ 2 (x, E, Ω) + τ2 r (x, E) ψ 2(x, E, Ω) E E = τ2 r (x, E) ψ 2(x, E, Ω) E (4.11) Jos elektroneja haluttaisiin käyttää ulkoisen säteilyn lähteenä, täytyisi edellisiä yhtälöitä muokata. Elektronien reunaehtona olisi sama kuin fotonien reunaehto (4.4), mutta Ψ 0 vastaisikin nyt elektronien ulkoista hiukkasvuota. CSDA:n vaatima alkuehto saataisiin lisäämällä energia-avaruuteen energioita, joita lineaarikiihdytin ei pysty tuottamaan. Positroneihin liittyvä siirtoyhtälö, reuna- ja alkuehdot ovat samanlaiset kuin elektronien tapauksessa. Koska tässä tutkielmassa oletetaan, ettei positroneja voida käyttää ulkoisena lähteenä ja ettei niitä muodostu alueen V sisällä, niiden tarkastelu sivuutetaan. 4.3 Epäjatkuva Galerkinin numeriikka Tässä alakappaleessa muodostetaan epäjatkuvalla Galerkinin (DG) menetelmällä matriisiyhtälöt niin fotonien kuin elektronien ratkaisemiseksi 2D:ssä. DG:n esittelivät ensimmäisen kerran vuonna 1973 Reed ja Hill [31]. Alustavasti kyseinen menetelmä kehitettiin neutronien siirtoyhtälöiden ratkaisemiseksi. Esimerkiksi lähteessä [41] neutronien siirtoyhtälöiden ratkaisemisessa tarkasteltava spatiaalialue diskretisoidaan DG:n avulla. Nykyään DG:tä on hyödynnetty myös moniin muihin ongelmiin. Elementtien välistä epäjatkuvuutta on hyödynnetty sädehoidossa esimerkiksi lähteissä [25, 26, 32]. Lähteessä [42] on esitetty kuinka DG:n avulla voidaan hyödyntää eri kertaluvun kantafunktiota eri elementeissä ratkaistaessa ajasta riippuvaa aaltoyhtälöä. Lisää epäjatkuvasta Galerkinin menetelmästä voi lukea katsausartikkelista [40]. DG:ssä alue V diskretisoidaan elementtien avulla ja jokaisessa elementissä ratkaistaan oma aliongelma. Tässä tutkielmassa alue V jaetaan kolmioelementteihin siten, että N V = V k, k=1 missä N on spatiaalielementtien lukumäärä. Sädehoidossa potilaasta otetaan TT-kuva, jonka avulla alueen V tiheysinformaatio saadaan selville. lman kyseistä informaatiota yh- 33

40 Kuva 14: Elementtien V k ja V n välinen jatkuvuusehto. Elementtien yhteisellä reunalla Γ k,n elementtiin V k saapuvalle hiukkasvuolle pätee ψ i,k (x, E, Ω ) = ψ i,n (x, E, Ω ). Kuvassa elementtien yhteinen reuna on esitetty punaisella. tälöissä esiintyvät kokonaisvaikutusalat ja differentiaaliset vaikutusalat olisivat myös tuntemattomia ja ongelma muuttuisi erittäin monimutkaiseksi. Tässä tutkielmassa spatiaalielementit oletetaan yhdistyvän seuraavan jatkuvuusehdon avulla ψ i,k (x, E, Ω ) = ψ i,n (x, E, Ω ), kun x Γ k,n ja Ω ˆn k < 0, (4.12) missä ψ i,k on luokan i hiukkasvuo elementissä k ja vastaavasti indeksille n. Nyt reuna Γ k,n = V k V n, mikä tarkoittaa elementtien k ja n yhteistä reunaa. Normaali ˆn k on elementin k ulospäin suunnattu yksikkönormaali. Jatkuvuusehtoa havainnollistaa kuva 14. DG-numeriikassa ongelmasta muodostetaan variationaalimuoto, jonka ratkaisuna saadaan ns. heikko ratkaisu. Tässä alakappaleessa fotonien ja elektronien matriisiyhtälöt muodostetaan siten, että spatiaalialue V diskretisoidaan DG:n avulla ja energia- ja suunta-avaruus S diskretisoidaan jatkuvalla Galerkinin menetelmällä. Fotonien matriisiyhtälö johdetaan yksityiskohtaisesti ja elektronien matriisiyhtälön johtaminen seuraa pitkälti fotonien johtoa pieniä poikkeuksia lukuun ottamatta Fotonien matriisiyhtälö Oletetaan yhtälössä (4.3) esitetty sisäinen lähdetermi Q 1 nollaksi. Kerrotaan jäljelle jäänyttä yhtälöä puolittain testifunktiolla v(x, Ω, E). Jatkossa hiukkasvuo ja testifunktio esitetään ilman niihin liittyviä muuttujia tilan säästämiseksi. Koska alue V on diskretisoitu elementteihin, voidaan yhtälöä nyt tarkastella elementissä k. ntegroidaan kyseinen elementtiin k liittyvä yhtälö elementin k tilavuuden ylitse, energioiden ylitse ja suuntien ylitse. Tällöin saadaan V k S (Ω ψ 1,k + K 1 ψ 1,k )vdedωdx = 0. Koska integrointi on lineaarinen operaattori, edellinen yhtälö voidaan esittää seuraavasti (Ω ψ 1,k )vdedωdx + K 1 ψ 1,k vdedωdx = 0. (4.13) V k S V k S 34

41 Yhtälön (4.13) ensimmäistä termiä voidaan muokata hyödyntämällä Greenin ensimmäistä lausetta (Ω ψ 1,k )vdedωdx = Ω vψ 1,k dedωdx V k S + V k S V k S (Ω ˆn k )ψ 1,k vdedωda, (4.14) missä da on elementin k reunaintegraali. Pistetulo suunnan ja elementin normaalin V k kanssa voidaan jakaa kahteen osioon, jolloin elementistä lähtevä ja tuleva hiukkasvuo voidaan tarkastella erikseen (Ω ψ 1,k )vdedωdx = Ω vψ 1,k dedωdx V k S + V k S V k S [(Ω ˆn k ) + (Ω ˆn k ) ] ψ 1,k vdedωda, missä (Ω ˆn k ) vastaa elementtiin k tulevasta hiukkasvuosta ja (Ω ˆn k ) + lähtevästä. Nyt yhtälö (4.13) on siis Ω vψ 1,k dedωdx + V k S V k S V k (Ω ˆn k ) + ψ 1,k vdedωda V k S (Ω ˆn k ) ψ 1,k vdedωda + K 1 ψ 1,k vdedωdx = 0. S (4.15) Elementin sisään tuleva vuo voidaan vielä erotella hyödyntämällä reunaehtoa (4.4) ja jatkuvuusehtoa (4.12). Alueen V reunasta V vain osa saa ulkoista säteilyä Ψ 0 ja tätä reunan osiota merkataan Γ:lla. Tällöin Ψ 0 0 on voimassa niiden elementtien reunoilla, joilla toteutuu V k Γ. Merkitään näitä elementtien reunoja seuraavasti V k,ul. Tämän lisäksi elementtiin k voi saapua hiukkasvuo sen viereisistä elementeistä, kuten kuvassa 14 on havainnollistettu. Nyt elementin sisään tulevalle vuolle pätee V k S (Ω ˆn k ) ψ 1,k vdedωda = V k,ul + S N n=1 n k (Ω ˆn k ) Ψ 0 vdedωda Γ k,n S (Ω ˆn k ) ψ 1,n vdedωda. Sijoittamalla sisään tuleva vuo yhtälöön (4.15) saadaan Ω vψ 1,k dedωdx + (Ω ˆn k ) + ψ 1,k vdedωda + V k S V k,ul S V k S V k S (Ω ˆn k ) Ψ 0 vdedωda K 1 ψ 1,k vdedωdx = 0. N n=1 n k Γ k,n S (Ω ˆn k ) ψ 1,n vdedωda (4.16) (4.17) 35

42 Pitää huomioida, että yhtälö (4.17) ottaa huomioon vain elementin k, joten kyseinen yhtälö tulee summata kaikkien spatiaalielementtien yli. Tällöin N [ k=1 + V k V k,ul S V k S S Ω vψ 1,k dedωdx + (Ω ˆn k ) Ψ 0 vdedωda ] K 1 ψ 1,k vdedωdx = 0. V k S N n=1 n k (Ω ˆn k ) + ψ 1,k vdedωda V k,n S (Ω ˆn k ) ψ 1,n vdedωda (4.18) Hiukkasvuolle ψ 1,k yritetään löytää approksimatiivinen ratkaisu separoituvien kantafunktioiden avulla N s,k N a N E ψ 1,k αi,l,rφ k i (x)φ l (Ω)φ r (E), i=1 l=1 r=1 missä N s,k on elementin k spatiaalisten solmupisteiden määrä, N a on suunnan solmupisteiden määrä ja N E on energian solmupisteiden määrä. α i,l,r ovat tuntemattomia vakioita, φ i spatiaalisia, φ l suunnan ja φ r energian kantafunktioita. Valitaan lisäksi, että testifunktiolle pätee v = φ j (x)φ m (Ω)φ s (E). Nyt testifunktiosta otettu gradientti on siis 2D:ssä [ ] v v T v = x 1 x 2 [ φj (x) =φ m (Ω)φ s (E) x 1 ] φ j (x) T, x 2 missä T on transpoosi. Koska tilannetta tarkastellaan 2D:ssä, [ suunnalla Ω on ] riippuvuutta vain kulman θ suhteen yksikköympyrässä S. Tällöin Ω = cos(θ) sin(θ), kun positiivinen kulmankierto on vastapäivään. Kulma-avaruuden integraaliksi saadaan muuttujan vaihdolla π π f(ω )dω = (f h)(θ) h (θ) dθ = (f h)(θ)dθ, S π missä h(θ) := [cos(θ), sin(θ)]. Nyt yhtälössä (4.18) oleva pistetulo suunnan ja testifunktion gradientin kanssa on siis Ω v = = [ cos(θ) ( cos(θ) φ j(x) x 1 π ] [ φj (x) sin(θ) φ m (θ)φ s (E) x 1 + sin(θ) φ ) j(x) φ m (θ)φ s (E) x 2 ja toisaalta pistetulo suunnan ja elementin normaalin kanssa on ] φ j (x) T x 2 Ω ˆn k = [ cos(θ) ] T sin(θ) ][n x1 n x2 = (cos(θ)n x1 + sin(θ)n x2 ). 36

43 Fotonien siroamista mallintaa N a N E N s,k K 1 ψ 1,k v = σ 1 αi,l,rφ k i (x)φ j (x)φ l (θ)φ m (θ)φ r (E)φ s (E) i=1 l=1 r=1 π N s,k σ1 1 C N a N E αi,l,rφ k i (x)φ l (θ )φ r (E )φ j (x)φ m (θ)φ s (E)dθ de. π i=1 l=1 r=1 Näin ollen matriisiyhtälöön tarvittavat termit on esitetty diskretisoidussa muodossa. Kun edellä mainitut merkinnät yhdistetään yhtälön (4.18) kanssa, fotonien ratkaistavaksi yhtälöksi saadaan N π k=1 V k,ul π N N s,k N a N E α k i,l,r π k=1 i=1 l=1 r=1 V k π φ r (E)φ s (E)dE + φ r (E)φ s (E)dE φ m (θ)dθ π π V k π π (cos(θ)n k,x1 + sin(θ)n k,x2 ) Ψ 0 φ j (x)φ m (θ)φ s (E)dEdθdA = V k N n=1 n k ( cos(θ) φ j(x) x 1 φ i (x)φ j (x)da V k,n φ r (E)φ s (E)dE + π π φ i (x)φ j (x)da π V k π + sin(θ) φ ) j(x) φ i (x)φ m (θ)φ l (θ)dθdx x 2 (cos(θ)n x1 + sin(θ)n x2 ) + φ l (θ)φ m (θ)dθ π π (cos(θ)n x1 + sin(θ)n x2 ) φ l (θ) σ 1 φ i (x)φ j (x)φ l (θ)φ m (θ)φ r (E)φ s (E)dEdθdx σ1 1φ C i (x)φ j (x)φ l (θ )φ m (θ)φ r (E )φ s (E)dE dθ dedθdx. Tällöin fotonien kulkua voidaan mallintaa seuraavalla matriisiesityksellä A 1 C 1,2... C 1,N. C 2, C N, A N α 1 α 2. α Ntot b 1 = b 2. b N Aᾱ = b, (4.19) missä N tot = NN s,k N a N E. Koska tuntemattomien määrä on spatiaalielementtien, elementin spatiaalisolmujen, kulmasolmujen ja energiasolmujen tulo, hilan tihentäminen kasvattaa lineaarisen yhtälöryhmän kokoa huomattavasti. Hilan tihentäminen voi nopeasti aiheuttaa keskusmuistin loppumisen tietokoneesta. Matriisiesityksen komponentit ovat A k = A 1,k + A 2,k + A 3,k + A 4,k, 37

44 sekä A 1,k (h, a) = A 2,k (h, a) = A 3,k (h, a) = π V k π V k π V k π π A 4,k (h, a) = C k,n (h, d) = b k (h) = ( cos(θ) φ j(x) x 1 φ i (x)φ j (x)da π π + sin(θ) φ ) j(x) φ i (x)φ m (θ)φ l (θ)dθdx x 2 (cos(θ)n x1 + sin(θ)n x2 ) + φ l (θ)φ m (θ)dθ σ 1 φ i (x)φ j (x)φ l (θ)φ m (θ)φ r (E)φ s (E)dEdθdx π V k π π Γ k,n π V k,ul π φ i (x)φ j (x)da φ r (E)φ s (E)dE φ r (E)φ s (E)dE σ C 1 1φ i (x)φ j (x)φ l (θ )φ m (θ)φ r (E )φ s (E)dE dθ dedθdx π (cos(θ)n x1 + sin(θ)n x2 ) φ l (θ)φ m (θ)dθ π (cos(θ)n k,x1 + sin(θ)n k,x2 ) Ψ 0 φ j (x)φ m (θ)φ s (E)dEdθdA, φ r (E)φ s (E)dE missä (h, a) = 1, 2,..., N s,k N a N E ja d = 1, 2,..., N s,n N a N E. Tässä tutkielmassa indeksien järjestys tarkasteltavassa elementissä on a = r + (l 1)N E + (i 1)N a N E. Vastaavalla tavalla d:lle. Testifunktion indeksien kanssa h = s + (m 1)N E + (j 1)N a N E Elektronien matriisiyhtälö Elektronien lineaarisen mallin johtaminen on lähes identtinen fotonien mallin johtoon. Ainoa ero näiden mallien välillä johtuu erilaisesta sirontatermistä K. Yhtälö, jota tarkastellaan, on (4.9). Elektronien mallissa oletetaan, että fotonivuo ψ 1 on ratkaistu ensin. Kun samat vaiheet toistetaan kuin fotonien matriisiyhtälön johtamisessa, voidaan elektroneille muodostaa seuraava matriisiesitys A e 1 C1,2 e... C e 1,N α e C2,1 e b e... α e = b e 2. Ae ᾱ e = b e, CN,1 e A e α e N N tot b e N missä osa matriisiesityksen komponenteista on samoja kuin fotonien tapauksessa (katso yllä). Matriisiesityksen komponentit ovat sekä A e k = A e 1,k + A e 2,k + A e 3,k + A e 4,k, A e 1,k(h, a) =A 1,k (h, a) A e 2,k(h, a) =A 2,k (h, a) A e 3,k(h, a) = π V k π σ r 2φ i (x)φ j (x)φ l (θ)φ m (θ)φ r (E)φ s (E)dEdθdx 38

45 A e 4,k(h, a) = π π V k π π π V k π C e k,n(h, d) = C k,n (h, d) b e k(h) = π π V k π π σ r 2 2φ i (x)φ j (x)φ l (θ )φ m (θ)φ r (E )φ s (E)dE dθ dedθdx τ2 r (x, E)φ l (θ)φ m (θ)φ i (x)φ j (x) φ r(e) E φ s(e)dedθdx σ C 1 2φ i (x)φ j (x)φ l (θ )φ m (θ)φ r (E )φ s (E)dE dθ dedθdx ψ 1 (x, E, θ), missä (h, a) =1, 2,..., N s,k N a N E ja d = 1, 2,..., N s,n N a N E. ndeksien järjestys on sama kuin fotonien tapauksessa. Elektronien tapauksessa alkuehdon huomiointi voidaan suorittaa matriisin kokoamisen jälkeen. Tämä suoritetaan lähteen [21] tavoin siten, että lineaarisesta yhtälöryhmästä poistetaan suurinta energiaa vastaavat rivit ja sarakkeet. Kun pienempi yhtälöryhmä on ratkaistu, alkuehdon mukainen arvo voidaan asettaa takaisin ratkaisun suurimpien energioiden kohdalle. Kyseistä matriisiesitystä voidaan hyödyntää myös ulkoiselle elektronisäteilylle vaihtamalla lähdetermi b e reunalähdetermiksi. Kyseinen reunalähdetermi on samanlainen kuin b, mutta fotonien reunavuon Ψ 0 sijasta käytetään elektronien reunavuota Ψ e Superpositioperiaatteen hyödyntäminen siirtoyhtälössä Aikaisemmissa alakappaleissa esitettiin säteilyn mallintaminen reunalähteen avulla. Reunalähteen tapauksessa myös lähdevektori b on suurimmaksi osaksi nollaa, sillä vain pieni osa spatiaalielementtien reunoista saa ulkoista säteilyä Ψ 0. Vaihtoehtoisesti ulkoista säteilyä voidaan tarkastella sisäisellä lähteellä hyödyntämällä superpositionperiaatetta ja säteenseurantaa. Kyseistä menetelmää hyödyntää Varianin kehittämä Acuros [32] Fotonien mallinnus Varianin Acuros on Boltzmannin siirtoyhtälöiden diskreettinen ratkaisija. Se hyödyntää superpositioperiaattetta, jonka avulla fotonivuo voidaan jakaa kahteen osaan [32]. Säteilyn voidaan ajatella koostuvan fotonivuosta ψ 1,unc, joka vaimenee eksponentiaalisesti, mutta ei ole varsinaisesti vuorovaikutuksessa väliaineen kanssa. Vastaavasti vuorovaikutuksessa oleva vuo on ψ 1,col. Varsinainen fotonisäteily koostuu siten näiden summasta ψ 1 = ψ 1,unc + ψ 1,col. Myös tässä tapauksessa oletetaan etteivät elektronit tai positronit enää muodosta uusia fotoneita. Lisäksi ainoaksi fotonien vuorovaikutukseksi oletetaan Comptonin sironta. Tällöin fotonien kulkua kuvaa yhtälöryhmä Ω ψ 1,unc + σ 1 ψ unc = q u δ(x x u ) Ω ψ 1,col + K 1 ψ 1,col = σ 1 ψ 1,unc K 1 ψ 1,unc, (4.20) missä q u (E, Ω) on ulkoinen pistelähde, jonka paikkakoordinaatti on x u. Ensimmäinen fotonivuo ψ 1,unc voidaan ratkaista joko numeerisesti tai analyyttisesti. Numeerisesti kyseinen vuo saadaan laskettua hyödyntämällä reunalähteen avulla tehtyä matriisia asettamalla differentiaalinen sirontaoperaattori nollaksi. Analyyttinen ratkaisu 3D:ssä on esitetty lähteessä [32].Vuorovaikutuksessa olleen fotonivuon ψ 1,col ratkaisemisessa voidaan hyödyntää reunalähteen tapauksessa johdettua matriisia A, mutta vektori b kuitenkin joudutaan 39

46 muuttamaan, jotta se vastaisi yhtälössä (4.20) esitettyä tilannetta. Kyseinen vektori on ennen diskretisointia bcol = σ 1 ψ 1,unc K 1 ψ 1,unc = σ1 1(x, C E, E, Ω Ω)ψ 1,unc (x, E, Ω )de dω. S (4.21) Ratkaisemalla ensin ψ 1,unc vektori b col toimii sisäisenä lähdevektorina fotonivuolle ψ 1,col Elektronien mallinnus Elektronien muodostumiseen vaikuttaa nyt sekä törmänneet että ei törmänneet fotonit. Ratkaisemalla ensin fotonivuo ψ unc ja sitten fotonivuo ψ col saadaan elektronivuolle kaksi lähdetermiä ja elektronien kulkua voidaan kuvata yhtälöllä Ω ψ 2 + K 2Ψ r = S σ C 1 2(x, E, E, Ω Ω)ψ 1,unc (x, E, Ω )de dω S + σ1 2(x, C E, E, Ω Ω)ψ 1,col (x, E, Ω )de dω. (4.22) Myös tässä tapauksessa voidaan hyödyntää matriisia A e yhtälöryhmän ratkaisemisessa, kun lähdevektori vaihdetaan vastaamaan edellä mainittua tilannetta. 4.5 Lähteen mallintaminen Ulkoisen säteilylähteen mallintamisessa ollaan kiinnostuneita reunavuon Ψ 0 (x, E, Ω) energia-, kulma- ja spatiaalijakaumasta. Lineaarikiihdyttimen luoman fotonivuon energiaspektri ei ole monokromaattinen vaan se vaikuttaa enemmän log-normaalijakaumalta, missä energiaspektrin terävyys riippuu pitkälti lineaarikiihdyttimen laitteistosta. Esimerkiksi tasoituskappale vähentää pienempienergisten fotonien intensiteettiä ja siten muuttaa potilaan pinnalle saapuvaa energiaspektriä [33]. Tämän lisäksi tasoituskappale on atomiluvultaan korkea ja siten aiheuttaa sirontaa lineaarikiihdyttimen päässä [34]. Säteilylähteen energiaa voidaan mallintaa erilaisilla analyyttisillä funktioilla ja lähteessä [35] on esitetty esimerkiksi funktio f(e) = E n e E/m, (4.23) missä n ja m vaikuttavat funktion terävyyteen. Toisaalta energiaspektriä voidaan mallintaa log-normaalijakaumalla tai yhtälöllä f(e) = 2λe λe 2λe 2λE, (4.24) missä λ määrää funktion terävyyden. Edellä mainitut analyyttiset funktiot energiaspektrille eivät ota huomioon kiihdyttimen päässä muodostuneita karakteristisia piikkejä. Tämän lisäksi analyyttiset funktiot olettavat, että energiaspektri on samanlainen koko annetussa säteilykentässä. Lineaarikiihdyttimen päässä aiheutuneen sironnan ja epätäydellisen pistelähteen takia ulkoisen säteilyn Ψ 0 kulmaspektri ei myöskään ole vakio. Suurin osa fotoneista kulkee suoraan ja tällöin kulmaspektriä voi mallintaa normaalijakaumalla, jossa on pieni hajonta f(ω) N (η Ω, C Ω ), (4.25) 40

47 missä η Ω on suunnan odotusarvo ja C Ω suunnan kovarianssimatriisi. Ulkoisen säteilyn energia- ja kulmaspektri ovat pitkälti riippuvaisia tekniikasta, jolla säteilyä tuotetaan. Tästä syystä eri hoitokerroilla suoritetut säteilytykset voidaan olettaa säilyttävän energia- ja kulmaspektrinsä. Hoidon aikana kuitenkin ulkoisen säteilyn spatiaaliosa voi muuttua huomattavan paljon, jotta haluttu säteilyannos saataisiin annettua. Moniliuskarajain mahdollistaa säteilykentän dynaamisen muuttumisen, mikä tarkoittaa ulkoisen säteilyn saavan reunan osuuden Γ riippuvan ajasta. Jos tilannetta tarkastellaan kahdessa ulottuvuudessa tasoitetulla spatiaalikentällä, voidaan ulkoisen säteilyn spatiaaliosa esittää esimerkiksi seuraavalla laatikkofunktiolla a, jos x Γ f(x) = 0, jos x / Γ, (4.26) missä a on jokin vakio, joka määrää spatiaaliosan suuruuden. Toisaalta tasoitettu säteilykeila ei todellisuudessa vastaa täysin laatikkofunktiota, kuten lähteessä [44] on esitetty. Tästä syystä laatikkofunktion sijasta säteilykenttää kuvastaa paremmin seuraava yhtälö f(x) = 1 a ( ) arctan(px d(t)) arctan(px g(t)), (4.27) missä a määrää spatiaaliosan suuruuden, p vaikuttaa reunojen terävyyteen, d(t) vaikuttaa säteilykentän vasemman reunan paikkaan ja g(t) vastaavasti oikeaan. Jos tilanne ei ole dynaaminen, voidaan d(t) ja g(t) olettaa vakioiksi. Esimerkiksi 4 cm leveälle säteilykentälle voitaisiin käyttää yhtälöä (4.27) seuraavilla vakiolla: a = 4π, p = 50, d = 100 ja g = 100. Kyseisellä yhtälöllä muodostettu säteilykenttä on lähempänä lähteessä [44] esitettyä kuin laatikkofunktiolla tehty. 4.6 Säteilyn havaitseminen detektorilla Kohteen V läpäissyt fotonisäteily ei pysähdy reunalle V, vaan se poistuu kohteesta ja jatkaa etenemistä. Kun fotonisäteily kulkee ilmassa, hiukkasten voidaan olettaa kulkevan ilman siroamista. Kyseisen oletuksen avulla säteilyn kulkua ilmassa voidaan mallintaa säteenseurannan avulla. Säteenseurannalla tarkoitetaan monesti kuvan luomista seuraamalla valonsäteitä esimerkiksi tietokonegrafiikassa. Toisaalta säteenseurantaa voidaan hyödyntää myös monissa muissa sovelluksissa, ja sädehoidossa sitä on hyödynnetty lähteessä [32]. Tässä tutkielmassa säteenseuranta suoritetaan ratkaistulle fotonivuolle ψ 1 (x, E, θ), joka on keskiarvoistettu spatiaalisolmuihin. Seuranta suoritetaan kohteen V reunalta simuloituun detektorisolmuun. Kyseisten solmujen avulla pyritään mallintamaan yksinkertainen simuloitu portal-kuvauslaitteisto, jonka pinnalle muodostuu signaali säteenseurannan avulla. Todellisuudessa laitteisto koostuu useasta eri Z materiaalista ja signaalin muodostumiseen vaikuttaa myös fotonivuon siroaminen laitteiston sisällä [12]. Ratkaistusta fotonivuosta vain osa elementtien reunoista pystyy vaikuttamaan detektorisolmuihin. Hiukkasvuolle asetetaan ehto, että säteilyn suoralla kulkureitillä se ei saa läpäistä muita elementtejä. Tämä tarkoittaa, että alueen V ollessa konveksi, ainoastaan osa reunalla V olevien elementtien reunoista hyväksytään. Koska säteenseuranta suoritetaan detektorisolmuun, vain pieni osa hiukkasvuosta osuu siihen. Kyseinen kulmaspektri tarkastellaan delta-funktion avulla. 41

48 Nyt simuloidun portal-kuvauslaitteiston detektorisolmuun j muodostuva signaali s j voidaan laskea yhtälöllä N g s j = ψ 1,i (x, E, θ)e µr δ(θ κ ij )dadedθ, (4.28) i S V i missä N g on alueen V reunojen määrä, i on tarkasteltavan reunan indeksi, µ on ilman vaimennuskerroin (1/cm), r etäisyys detektorisolmuun (cm) ja κ ij on solmun ja reunan välinen kulma (rad). Lopulta suoran ongelman malli voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti s = J a J e SMA 1 b, (4.29) missä matriisi J a integroi kulma-avaruuden ja spatiaalielementin reunan yli, J e energiaavaruuden yli, S matriisi hyväksyy ainoastaan detektorisolmuihin vaikuttavat elementtien reunat, M suorittaa ratkaistun fotonivuon keskiarvoistamisen spatiaalisolmuihin. Detektorisolmuja on yhteensä N d ja spatiaalisolmuja N s. Matriisien dimensiot on esitetty taulukossa 1. Taulukko 1: Simulointiin liittyvien matriisien ja vektorien dimensiot. Matriisin/vektorin koko Matriisi/ Rivi- Sarakevektori dimensio dimensio b NNs,k N a N E 1 A NN s,k N a N E NN s,k N a N E M N s N a N E NN s,k N a N E S N s N a N E N s N a N E J e N s N a N s N a N E J a N d N s N a 42

49 5 Reunalähteen estimointi inversiolaskennalla Sädehoidossa potilaan geometrian muuttuminen tai moniliuskarajaimien jumittuminen voi aiheuttaa annetun säteilyannoksen poikkeavuutta hoitosuunnitelmasta. Pahimmassa tapauksessa annettu säteilyannos voi aiheuttaa enemmän haittaa kuin hyötyä potilaalle. Reunalähteen estimointi inversiolaskennan avulla portal-kuvauslaitteiston signaalista voi mahdollisesti havaita niin geometrian muutoksen kuin väärän säteilykentän koon. Kyseessä on käänteisongelma. Tässä kappaleessa esitetään reunalähteen diskretisointi ja estimoinnissa käytettävä havaintomalli. Lisäksi kappaleessa johdetaan estimoinnissa käytettävä MAP-estimaatti (engl. Maximum A Posteriori, MAP). 5.1 Lähteen estimointi Tässä tutkielmassa reunalähteen estimoinnilla tarkoitetaan reunalähteen Ψ 0 (x, E, Ω) spatiaaliosan estimointia. Oletetaan, että Ψ 0 (x, E, Ω) = Ψ 0 (x)ψ 0 (E)Ψ 0 (Ω), jolloin yhtä elementtiä k vastaten Ψ 0,k (x) N s,k i=1 c k i φ i (x), missä k on tarkasteltava spatiaalielementti ja kolmioelementeillä c = ([c 1 1, c 1 2, c 1 3], [c 2 1, c 2 2, c 2 3],..., [c N 1, c N 2, c N 3 ]). Vektoria c voidaan kuitenkin lyhentää huomattavasti ennen estimointia, sillä säteilylähde on reunalla. Jotta reunalähde b voitaisiin ratkaista c:n avulla, tarvitaan matriisi B, joka kuvaa ulkoisen säteilyn spatiaaliosan reunalähteeksi Bc = b. (5.1) Matriisi B voidaan johtaa DG-numeriikassa samalla tavalla kuin b, mutta tuntematon spatiaaliosa vaatii φ i (x):n lisäämisen B(u, o) = π V k,ul π (cos(θ)n k,x1 + sin(θ)n k,x2 ) Ψ 0 (E, θ)φ j (x)φ i (x)φ m (θ)φ s (E)dEdθdA, missä u = 1, 2,..., NN s,k N a N E ja o = 1, 2,..., NN s,k. ndeksien järjestys on elementissä k nyt u = s + (m 1)N E + (j 1)N a N E + (k 1)N a N E N s,k ja o = i + (k 1)N s,k. Kun kappaleessa 4 johdettua yhtälöä (4.29) hyödynnetään, voidaan portal-kuvauslaitteiston signaalin ja reunalähteen spatiaaliosan välille muodostaa lineaarinen havaintomalli s = J a J e SMA 1 b = J a J e SMA 1 Bc = Hc, missä H = J a J e SMA 1 B. Todellisuudessa mittaukset sisältävät aina kohinaa, joten edellä esitetty havaintomalli ei vastaa oikeita mittauksia. Kun kohina oletetaan Gaussiseksi ja additiiviseksi, saadaan havaintomalliksi s = Hc + e ja e N (η e, C e ), (5.2) missä η e on kohinatermin odotusarvo ja C e kovarianssimatriisi. 43

50 5.2 MAP-estimointi Yksi yleisimmistä estimointimenetelmistä on pienimmän neliösumman menetelmä (PNS). Kyseisessä menetelmässä pyritään minimoimaan jäännöstermien neliösumma, eli min c s Hc 2. PNS-menetelmän avulla ei kuitenkaan voida hyödyntää etukäteistietoa estimoitavasta parametristä c tai tietoa kohinasta. Muita estimointimenetelmiä ovat esimerkiksi maximum likelihood -estimointi ja Gauss-Markov -estimointi. Lisää tietoa käänteisongelmista ja eri estimointitavoista löytyy lähteestä [43]. MAP-estimointi on Bayesilainen estimointimenetelmä, jossa pyritään maksimoimaan posteriorijakauma f(c s). Posteriori voidaan esittää seuraavasti f(c s) = f(s c)f c(c) f s (s) f(s c)f c (c), (5.3) missä f(s c) on mittauksien uskottavuusjakauma (engl. likelihood) ja f c (c) on estimoitavien parametrien c prioritiheys, joka sisältää etukäteisoletuksia parametrista c. Tässä yhteydessä estimoitava parametri c oletetaan satunnaismuuttujaksi c N (η c, C c ), missä η c on estimoitavien parametrien odotusarvo ja C c kovarianssimatriisi. Lineaarisessa havaintomallissa (5.2) oletetaan, että kohina on additiivista ja kohinatermi e on riippumaton estimoitavan parametrin c kanssa. Oletetaan lisäksi että kohinatermin odotusarvo η e = 0. Näiden oletuksien nojalla uskottavuusfunktio voidaan esittää myös seuraavasti f(s c) = f e (s h(c)) = f e (s Hc). Gaussisten oletuksien nojalla posteriorijakaumalle saadaan f(c s) f e (s Hc)f c (c) { = exp 1 ( (s Hc) T Ce 1 (s Hc) + (c η c ) T Ce 1 (c η c ) )}. 2 Tällöin MAP-estimaatti saadaan seuraavasti ĉ MAP = max c f(c s) 1( = min (s Hc) T C c e 1 2 ( ) T ( 1 = min s Hc C 1 c 2 c η c (s Hc) + (c η c ) T C 1 e (c η c ) ) e 0 0 C 1 c ) ( ) s Hc. c η c Tehdään seuraavat merkinnät ( ) ( ) C L T 1 e 0 H L = 0 Cc 1, H = i ja s = ( s η c ), missä i on identiteettimatriisi. Näiden merkintöjen avulla MAP-estimaatti voidaan esittää seuraavasti 44

51 ( ) 1 ĉ MAP = min s Hc c 2 L 2 c η c ( ) ( ) 1 = min s Hc c 2 L L η c c 1 = min c L( s Hc) Edellä mainittu minimointiongelma voidaan ratkaista esimerkiksi ottamalla osittaisderivaatta c:n suhteen kyseisestä funktionaalista ja asettamalla se nollaksi. Ääriarvokohta voidaan varmistaa minimiksi osittaisderivoimalla funktionaalia kahdesti c:n suhteen ja tarkastelemalla onko tulos positiivinen ääriarvokohdassa. Minimoinnin jälkeen MAPestimaatiksi saadaan ĉ MAP = ((L H) T L H) 1 HT L T L s = ( H T L T L H) 1 HT L T L s ( ) T ( ) ( ) 1 ( = H C 1 e 0 H i 0 Cc 1 H i i ) T ( C 1 e 0 0 C 1 c ) ( s η c ). Lopulta aukaisemalla matriisitulot estimaatiksi saadaan ĉ MAP = (H T C 1 e H + C 1 c ) 1 (H T Ce 1 s + Cc 1 η c ). (5.4) Kohinan kovarianssimatriisi voidaan selvittää esimerkiksi kokeellisesti toistamalla mittauksia useita kertoja. Kun mittauksien määrä on suhteellisen suuri, voidaan saaduista tuloksista laskea arvio kohinan kovarianssille. Toinen lähestymistapa vaatii arvauksen kohinan varianssille ja tämän arvauksen pohjalta muodostetaan diagonaalinen kovarianssimatriisi. Arvauksen pohjalta muodostettu kovarianssimatriisi ei ole yhtä tarkka kuin tilastollisesti määritetty matriisi. Sopivan priorin valinta riippuu estimoitavasta parametrista c ja sen muodosta. Erilaisia prioreita ovat esimerkiksi valkoinen kohina priori (engl. white noise prior), differenssi priori (engl. difference prior), kokonaisvariaatio priori (engl. total variation prior) ja Gaussinen sileyspriori (engl. Gaussian smoothness prior) [43]. Gaussisen sileyspriorin kovarianssimatriisi voidaan laskea esimerkiksi seuraavasti { C c (i, j) = a exp x i x j 2 } 2, (5.5) 2d 2 missä i ja j ovat spatiaalikoordinaattien x indeksit, a on vakio, joka vaikuttaa priorin vahvuuteen ja d on vakio, joka vaikuttaa priorin sileyteen. MAP-estimaatin c MAP ja matriisin B avulla estimoidulle reunalähteelle b est saadaan b est = Bc MAP. (5.6) Käyttämällä kappaleessa 4 johdettuja matriiseja A ja A e, fotoni- ja elektronivuot voidaan ratkaista uudelleen. Yhtälön (3.35) avulla voidaan ratkaista myös annosjakauma D(x) uudelleen. 45

52 6 Tulokset Tässä kappaleessa esitetään suoraan ja käänteisongelmaan liittyvät tulokset. Simuloitu kohde on kaksiulotteinen, homogeeninen ja sen oletetaan koostuvan vedestä. Kohteen syvyys ja leveys on 30 cm. Homogeenisen kohteen tapauksessa kokonaisvaikutusalat σ C 1, σ r 2 riippuvat energiasta ja differentiaaliset vaikutusalat σ C 1 1,σ C 1 2, σ r 2 2 riippuvat energiasta ja suunnasta. Simuloidun EPD:n oletetaan olevan 60 cm etäisyydellä kohteen keskustasta ja se on simuloitu käyttämällä 100 detektorisolmua. Simuloidun laitteiston leveys on 30 cm. Suorassa ongelmassa EPD:hen simuloidut mittaukset suoritetaan tiheässä hilassa. Tiheä hila on esitetty kuvassa 15 ja siinä on 2401 spatiaalisolmua, 28 kulmasolmua ja 15 energiasolmua. nversiohilaa hyödynnetään käänteisongelman tarkastelussa ja se on esitetty kuvassa 16. nversiohilassa solmuja on poistettu simuloinnin kannalta merkittävimmistä paikoista ja hilassa on 2025 spatiaalisolmua, 26 kulmasolmua ja 14 energiasolmua. Spatiaalisolmuja on poistettu reunalähteen vierestä, kulmasolmuja on poistettu 0 kohdalta ja energiasolmuja 0,5 MeV kohdalta. nversiohilaa käytetään käänteisongelmassa, jotta liian optimaalinen tilanne ( inversiorikos ) voitaisiin välttää. Suoran ja käänteisongelman tapauksessa tarkastellaan kolmea eri tilannetta: normaalitilanne, vikatila ja geometrian muutos. Vikatilassa lineaarikiihdyttimen moniliuskarajaimen oletetaan jääneen jumiin, jolloin annettu säteilykenttä poikkeaa hoitosuunnitelmasta. Geometrian muutoksella simuloidaan kohteen lihomista ja laihtumista. Geometrian muutosta havainnollistaa kuva 17. Suoran ongelman normaalitilanteessa kohteeseen muodostunutta syväannoskäyrää verrataan inversiohilan, tiheän hilan ja Kuopion yliopistollisen sairaalan (KYS) mittausten kanssa. Säteilyn oletetaan vastaavan lineaarikiihdyttimen tuottamaa 6 MV fotonisäteilyä ja säteilykentän koko on 4 cm. Säteilykeilan profiilin vertailu suoritetaan tiheän hilan annoksen ja KYS-mittausten välillä. Simuloituja EPD-mittauksia verrataan tiheän ja inversiohilan välillä. Suoran ongelman vikatilassa ja geometrian muutoksessa tuloksia verrataan vain simuloitujen tulosten kanssa. Vikatilassa annetun säteilykentän koko on 6 cm. Geometrian muutoksessa tarkastellaan, kun kohteen syvyys on kasvanut 3 cm ja pienentynyt 2 cm. Normaalitilanteessa säteilykentän koko on 4 cm ja kohteen geometria pysyy muuttumattomana. Normaalitilanteen käänteisongelmassa tarkastellaan estimointia inversiorikoksella sekä ilman inversiorikosta. Matriisien toimivuus tarkastetaan inversiorikoksen avulla siten, että EPD-signaali simuloidaan inversiohilassa ja reunalähde estimoidaan ilman kohinaa samassa hilassa. Tämän lisäksi normaalitilanteessa simuloidaan EPDsignaali tiheässä hilassa ja siihen lisätään Gaussista kohinaa. Reunalähde estimoidaan kohinaisesta signaalista inversiohilassa MAP-estimaatin avulla. Muissa tapauksissa estimointi suoritetaan inversiohilassa hyödyntämällä tiheässä hilassa simuloitua kohinaista signaalia. Reunalähteen estimoinnin jälkeen fotoni-, elektronivuo ja siten säteilyannos lasketaan uudestaan. Tätä verrataan hoitosuunnitelmaan, joka on simuloitu inversiohilassa. Sama toistetaan niin vikatilalle kuin geometrian muutokselle. 46

53 Kuva 15: Suorassa ongelmassa käytetty simulointihila, jossa on 2401 spatiaalisolmua, 28 kulmasolmua ja 15 energiasolmua. Tällöin matriisin A koko on x Kuvassa reunasolmut ovat esitetty vaalen sinisellä, 4 cm säteilykentän sisällä olevat reunasolmut tumman sinisellä ja lähteen keskikohta punaisella Kuva 16: Rekonstruktioissa käytetty inversiohila, jossa on 2025 spatiaalisolmua, 26 kulmasolmua ja 14 energiasolmua. Tällöin matriisin A koko on x Kuvassa reunasolmut ovat esitetty vaalen sinisellä, 4 cm säteilykentän sisällä olevat reunasolmut tumman sinisellä ja lähteen keskikohta punaisella. 47

54 Kuva 17: Geometrian muutosta havainnollistava kuva. Alkuperäinen kohde on esitetty mustalla, kasvanut kohde sinisellä ja pienentynyt kohde punaisella. Yksinkertainen EPD on esitetty purppuralla. 6.1 Suoran ongelman ratkaiseminen Ulkoisen fotonisäteilyn mallinnuksessa fotonien oletettiin kokevan vain Comptonin sirontaa. Täten differentiaalinen vaikutusala σ 1 1 = σ1 1 C ja σ 1 2 = σ1 2. C Differentiaalisten vaikutusalojen laskemisessa käytetään yhtälöitä (3.8) ja (3.16). Lisäksi tällä oletuksella positroneja ei voi muodostua väliaineessa, joten ψ 3 (x, E, Ω) = 0. Fotonien kokonaisvaikutusalalle oletetaan myös σ 1 = σ1 C. Kokonaisvaikutusalan laskemisessa hyödynnetään yhtälöä (3.18). Väliaineessa ei myöskään ollut sisäisiä lähteitä, joten Q 1 ja Q 2 = 0. Muodostuneiden elektronien simuloinnissa ainoaksi vuorovaikutukseksi oletettiin elektronien rajoitettu epäelastinen sironta, missä E cut = 0,1 MeV. Tasaisen hidastumisen approksimaatiossa käytettiin rajoitetulle jarrutuskyvylle vakiota 1,65 MeV/cm. Kokonaisvaikutusaloina ja differentiaalisina vaikutusaloina käytettiin kappaleessa 3 esitettyjä yhtälöitä (3.31), (3.29) ja (3.30). Koska simulointi suoritetaan 2D:ssä, kokonaisvaikutusaloja kalibroidaan π:llä ja differentiaalisia vaikutusaloja 1/π:llä [21, 22]. Kohteeseen muodostunut annos laskettiin yhtälön (3.35) avulla ja törmäysjarrutuskykynä käytettiin Bethen johtamaa yhtälöä (3.32). Törmäysjarrutuskyvylle käytettiin veden viritysenergian keskiarvona av = 74/1e6 MeV ja tiheyskorjausfunktiona käytettiin toisen asteen yhtälöä δ(e) = -0,0322E 2 + 0,6243E - 0,3274. Kyseinen tiheyskorjausfunktio saatiin sovittamalla toisen asteen yhtälö NST:n tiheyskorjausarvoihin. Säteilylähteen energiaspektrin mallinnuksessa hyödynnettiin lähteissä [33 35] esitettyjä 6 MV fotonisäteilyn energiaspektrejä ja yhtälöä (4.24) arvolla λ = 1,1. Koska energiaspektrin mallinnuksessa käytettiin analyyttistä funktiota, simuloinnissa käytetty energiaspektri ei ottanut huomioon laitteistossa muodostunutta karakteristista säteilyä. Annoksen kasvuilmiö (engl. build-up) kalibroitiin mittauksien kanssa sopivammaksi kertomalla elektronien kokonaisvaikutusalaa sopivalla vakiolla. Annosmaksimin jälkeinen säteilyan- 48

55 noksen heikkeneminen kalibroitiin mittauksien kanssa sopivaksi kertomalla fotonien kokonaisvaikutusalaa sopivalla vakiolla. Kulmalähteenä käytettiin normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on nolla ja hajonta σ Ω = π/96. Ulkoisen säteilyn spatiaalisena osana käytettiin yhtälöä (4.27), missä p = 50, d = 100, g = 100 ja a = 4π. Tämä vastasi 4 cm säteilykenttää. Vikatilanteen simuloimisessa säteilykentässä vakioita muutettiin siten että d = 150 ja g = 150. Tämä vastasi 6 cm säteilykenttää. Normaalitilannetta vastaavan ulkoisen säteilyn energia- ja kulmaspektri on esitetty kuvassa 18. Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa käytettiin iteratiivista bikonjugaatti-gradientti-menetelmää hyödyntämällä esikäsittelymatriiseja (engl. precondition matrices), jotka laskettiin epätäydellisellä LU -hajotelmalla. Tiheässä hilassa energiaintegraalien laskenta kesti 133 min ja kulmaintegraalien laskenta 2,63 s. Suoran ongelman matriisien kokoamisessa kesti 143 min. Fotonivuon ratkaisemisessa kesti 156 min. Ratkaisu vaati 139 iteraatiota ja sen residuaali oli 2,76e-8. Elektronivuohon liittyvästä lineaarisesta yhtälöryhmästä poistettiin suurinta energiaa vastaavat sarakkeet ja rivit, jonka jälkeen elektronivuo ratkaistiin samalla menetelmällä kuin fotonivuo. Elektronivuon ratkaisussa kesti 24 min. Ratkaisu vaati 24 iteraatiota ja sen residuaali oli 3,00e-8. Vastaavasti inversiohilassa energiaintegraalien laskenta kesti 128 min ja kulmaintegraalien laskenta 2,16 s. Suoran ongelman matriisien kokoamisessa kesti 141 min. Fotonivuon ratkaisemisessa kesti 82 min. Ratkaisu vaati 121 iteraatiota ja sen residuaali oli 4,49e-8. Elektronivuon ratkaisussa kesti 17 min. Ratkaisu vaati 21 iteraatiota ja sen residuaali oli 6,75e-8. Kuvassa 19 on esitetty tiheässä hilassa simuloidut fotoni- ja elektronivuot, jotka on keskiarvoistettu ja niistä on integroitu kulma- ja energiariippuvuus pois. Kuvassa 20 on esitetty syväannoskäyrä niin simuloituna kuin mitattuna. Mittaus on suoritettu Kuopion yliopistollisessa sairaalassa. Kuvassa 21 on esitetty Kuopion yliopistollisessa sairaalassa mitatun säteilykeilan profiili eri syvyyksillä, sekä simuloidun säteilykeilan profiili eri syvyyksillä. Simuloidut EPD-mittaukset on esitetty kuvassa 22 jokaiselle eri tilanteelle. 49

56 Energiaspektri Kulmaspektri Energia E (MeV) Leveys (cm) Kulma (rad) Leveys (cm) 5 Kuva 18: Vasemman puoleisessa kuvassa on esitetty säteilyreunalähteen energiaspektri vesitankin reunassa ja oikean puoleisessa säteilyreunalähteen kulmaspektri, kun ulkoisen säteilyn spatiaaliosan leveys on 4 cm. Kuva 19: Simuloidut fotoni- ja elektronivuot, josta on integroitu energiat ja kulmat pois. Hiukkasvuot on keskiarvoistettu spatiaalisolmuihin. Vasemman puoleinen kuva on fotonivuo ja oikean puoleinen on elektronivuo. 50

57 Kuva 20: Vesitankissa simuloidut ja mitatut säteilyannokset leveydellä 0 cm. Mustalla on esitetty Kuopion yliopistollisessa sairaalassa mitattu lineaarikiihdyttimen aiheuttama syväannoskäyrä. Sinisellä on esitetty tiheässä hilassa ja punaisella inversiohilassa ratkaistu syväannoskäyrä. 51

58 Kuva 21: Säteilykeilan profiilit vesitankissa eri syvyyksillä. Syvyydet ovat esitetty eri väreillä. Vasemman puoleinen kuva esittää Kuopion yliopistollisessa sairaalassa mitattua säteilykeilan profiilia eri syvyyksillä ja oikean puoleinen simuloitua Kuva 22: Vasemmassa kuvassa on EPD-signaalit, jotka on simuloitu tiheässä hilassa ja inversiohilassa. Vikatilan ja geometrian muutoksen signaalit on simuloitu tiheässä hilassa. Oikeassa kuvassa tiheässä hilassa simuloituihin signaaleihin on lisätty Gaussista kohinaa. 52

59 6.2 Käänteisongelman ratkaiseminen Ulkoisen säteilyn spatiaaliosan estimoinnissa tarkasteltiin viittä eri tilannetta. Ensimmäisessä estimaatti laskettiin inversiorikoksella hyödyntämällä kohinatonta signaalia, joka oli luotu myös inversiohilassa. Muissa tapauksissa signaali simuloitiin tiheässä hilassa ja estimointi suoritettiin inversiohilassa kohinaisesta signaalista. Eri tilanteissa simuloidut kohinattomat ja kohinaiset signaalit on esitetty kuvassa 22. Kohina on oletettu Gaussiseksi siten, että sen varianssi on 4e-6 ja odotusarvo 0. Kohinan suuruus on oletettu samaksi jokaisessa tilanteessa. nversiohilan säteilytettävässä reunassa oli yhteensä 45 spatiaalisolmua, jotka valittiin estimoitavaksi. Havaintomallia H koottaessa matriisista B valittiin vain ne sarakkeet, jotka vastaavat estimoitavia solmuja. Kokoamisessa esiintyvä matriisitulo A 1 B laskettiin iteratiivisesti bikonjugaatti-gradientti-menetelmällä yksi B:n sarake kerrallaan. H matriisin kokoamisessa kesti 62 tuntia. nversiorikoksen tapauksessa käytettiin PNS-estimaattia ja muissa tapauksissa spatiaaliosa laskettiin MAP-estimaatin (5.4) avulla hyödyntämällä Gaussista sileysprioria. Priorin odotusarvoksi valittiin nollavektori η c = 0 ja priorin kovarianssimatriisi laskettiin yhtälön (5.5) avulla. Kohinan kovarianssimatriisiksi valittiin diagonaalinen matriisi, jonka alkiot ovat 8e-6. Spatiaaliosan estimonnissa kului jokaisessa tilanteessa alle sekunnin sadasosa ja estimaatit on esitetty kuvassa 23. Ulkoisen säteilyn spatiaaliosasta tiedetään ettei se voi olla negatiivinen. Tästä syystä ennen reunalähteen b est muodostamista estimaattien negatiiviset osat pakotettiin nolliksi. Yhtälön (5.6) avulla muodostettua reunalähdettä käytettiin uudestaan fotonivuon ratkaisemiseksi. Tästä voitiin jälleen ratkaista elektronivuo ja siten vesitankkiin muodostunut annos. Vesitankkiin muodostuneen annoksen rekonstruoimiseen pystyttiin hyödyntämään aikaisemmin laskettuja suoran ongelman matriiseja. Rekonstruoinnit suoritettiin inversiohilassa. Fotonivuon ja elektronivuon ratkaisemiseen tarvittava laskenta-aika, iteraatioiden lukumäärä ja residuaali on esitetty taulukoissa 2 ja 3. nversiorikokseen liittyvät annokset ovat esitetty kuvassa 24. Geometrian pienentymiseen liittyvät annokset ovat esitetty kuvassa 26 ja kasvuun kuvassa 27. Vikatilaan liittyvät annokset ovat esitetty kuvassa 28. Taulukko 2: Fotonivuon ratkaisemiseen käytetty laskenta-aika, iteraatioiden lukumäärä ja residuaali eri simulaatiotilanteille. Laskenta on suoritettu inversiohilassa. Tapaus Laskenta- teraatioiden Residuaali aika (min) lukumäärä (kpl) Normaalitila ,75e-8 Lihominen ,85e-8 Laihtuminen ,73e-8 Vikatila ,95e-8 53

60 Taulukko 3: Elektronivuon ratkaisemiseen käytetty laskenta-aika, iteraatioiden lukumäärä ja residuaali eri simulaatiotilanteille. Laskenta on suoritettu inversiohilassa. Tapaus Laskenta- teraatioiden Residuaali aika (min) lukumäärä (kpl) Normaalitila ,60e-8 Lihominen ,83e-8 Laihtuminen ,04e-8 Vikatila ,25e Kuva 23: Ulkoisen säteilyn spatiaaliosan estimointi eri tilanteissa. Hoitosuunnitelman mukainen 4 cm kokoinen säteilykenttä on esitetty vihreällä jokaisessa kuvassa. Vasemmassa ylänurkassa on esitetty inversiorikoksella ratkaistu estimaatti punaisella. Oikeassa ylänurkassa on punaisella esitetty estimaatti tiheässä hilassa simuloidusta kohinaisesta signaalista. Vasemmassa alanurkassa on esitetty estimaatti tilanteessa, jossa geometria on muuttunut. Kun geometria on pienentynyt, estimaatti on esitetty punaisella. Geometrian kasvuun liittyvä estimaatti on esitetty sinisellä. Oikeassa alanurkassa on esitetty vikatila, jossa annettu 6 cm säteilykenttä on esitetty sinisellä ja estimaatti punaisella. 54

61 Kuva 24: Vasemassa ylänurkassa ja oikeassa ylänurkassa on esitetty annettu annosjakauma ja hoitosuunnitelma. nversiorikoksessa molemmat annosjakaumat on simuloitu inversiohilan avulla. Vasemmassa alanurkassa on esitetty rekonstruoitu annosjakauma inversiorikoksen tapauksessa. Oikeassa alanurkassa on esitetty hoitosuunnitelman ja rekonstruktion erotuksen itseisarvo. Kuva 25: Vasemmassa ylänurkassa on esitetty tiheässä hilassa simuloitu annosjakauma. Oikeassa ylänurkassa on esitetty inversiohilassa simuloitu hoitosuunnitelma. Vasemmassa alanurkassa on inversiohilassa rekonstruoitu annosjakauma tiheässä hilassa simuloidusta kohinaisesta signaalista. Oikeassa alanurkassa on esitetty hoitosuunnitelman ja rekonstruktion erotuksen itseisarvo. 55