kertaustehtävien ratkaisut
b) Vastuksen resistanssi on U 4,5 V R = = = 5,57Ω I 0,084 A Vastuksen läpi kulkevan sähkövirran suuruus uudessa tapauksessa on U V I = = 0 ma R 5,57Ω b) Rinnankytkettyjen vastusten kokonaisresistanssi saadaan yhtälöstä = + = + R R R 0Ω 0Ω Kokonaisresistanssi on R = Ω Jännitelähteen läpi kulkeva sähkövirta saadaan Ohmin laista ja sen suuruus on U 6, V I = = = 0,04697A R Ω Sähkövirta jakautuu rinnankytketyille vastuksille resistanssien suhteessa Jännite vastusten päiden välillä on sama U = U, joten RI = RI ja edelleen I R 0Ω = = = I R 0Ω Vastuksen läpi kulkevalle sähkövirralle saadaan lausekkeet I = I ja I = I I Nämä yhdistämällä saadaan yhtälö I I = I Ratkaistaan tästä yhtälöstä sähkövirran suuruus, joka on I = I = 0,04697 A 8 ma 5 5 a) Yhtälöstä U = E R s I saadaan sisäiseksi resistanssiksi E U 4,5 V,8 V Rs = = Ω - I 0 A
U 4 b) Lampun teho on P = UI = RI = R U (0 V) Tästä saadaan lampun resistanssiksi R = =,6kΩ P 0 W 5 c) Coulombin laista Varaus on k F = ε r r saadaan Fε r = k r Fεrr 4, mn,0006 (0,090 m) = = 6 nc 9 k 8,988 0 Nm /C 6 Sähkökentän voimakkuus on E = F q ja yksikkö [ ] [ ] = F E [ q] = N Nm J J W AV V = = = = = = C Cm Cm Asm Am Am m Oikea vaihtoehto on 4 7 b) Lämpöä muodostuu eu =,60 0 9 C 0 kv =,9 0 4 J 8 a) Koska C = 0,50 μf +,5 μf =,0 μf, yhtälöstä = + C, 0μF,0μF saadaan C 670 nf 9 a) Kapasitanssi on 5 mc C = =, μf V 4,5 kv 0 c) Kondensaattorin varaus on = CU = 00μF,0kV= 0,C Kokonaiskapasitanssi on C kok = 00μF+ 50μF= 50μF Jännite on 0,C U = = = 0,8kV C 50μF kok
Huomautus: Seuraavissa tehtävissä mittarien ja jännitelähteiden sisäisiä resistansseja ei otata huomioon, ellei niitä ole tehtävässä mainittu a) Koska kytkin on auki, volttimittarin lukema on 0 V Virtapiirissä on paristo, vastus ja ampeerimittari samanlaisessa kytkennässä kuin alkuperäinen kytkentä Ampeerimittarin lukema on 00 ma b) Kytkimen avoimen aseman vuoksi virta ei kulje vasemmanpuoleisen vastuksen läpi Virtapiiri on sama kuin alkuperäinen, joten volttimittarin lukema on,5 V ja ampeerimittarin 00 ma c) Kahden samanlaisen rinnankytketyn vastuksen kokonaisresistanssi on puolet alkuperäisestä, joten ampeerimittarin läpi kulkeva virta on 00 ma (Vastusten läpi kulkevat virrat ovat molemmat 00 ma virran haarautumisen vuoksi) Volttimittarin lukema on,5 V d) Paristojen rinnankytkentä ei (juurikaan) muuta napajännitettä, joten volttimittarin lukema on,5 V Vastuksen ja ampeerimittarin läpi kulkeva virta on 00 ma e) Sarjaan kytkettyjen paristojen napajännite on kaksinkertainen, joten volttimittarin lukema on,0 V Ampeerimittarin läpi kulkeva virtakin on kaksinkertainen eli 00 ma a) Resistanssi on U, 0 V R = =, 077k Ω I 0, 0 A Sähkövirta on U V I = = 0,5 ma R, 077kΩ b) Sijoitetaan havaintoarvot (I,U)-koordinaatistoon Muodostetaan pistejoukosta suora Suoran fysikaalinen kulmakerroin on johtimen resistanssi: ΔU, 0 V R = = = Ω ΔI, 0 A V 0,0 U 0,0 0,0 0 0,0,0,0 4,0 A c) Sähkövirralla on kemiallisia, magneettisia sekä lämpö- ja säteilyvaikutus Ks sivu
a) Kuvaajasta voidaan määrittää polttimon läpi kulkeva sähkövirta kullakin jännitteellä Kun jännite on U =, 5 V, virta on I =, 0 A Polttimon resistanssi on U,5 V R = = =,5 Ω I,0 A b) Kun jännite on U =,5 V, on sähkövirta I, 7 A Polttimon resistanssi on U,5 V R = =, Ω I,7 A c) Polttimon resistanssi suurenee lämpenemisen vuoksi d) Koska kuvaaja ei ole lineaarinen, Ohmin laki ei ole voimassa polttimolle yleisesti Resistanssi voidaan määrittää käyrän jokaisesta pisteestä suhteen R = U avulla I 4 a) Langan resistanssi on l 8 0 m R = ρ =,655 0 Ωm 0,4 Ω -4 A 0,45 0 m b) Koska resistanssit ovat yhtä suuret, yhtälöstä R = R saadaan ehto l l ρfe = ρal AFe A Al Rautalangan poikkipinta-ala on 6 8 AAlρFe 5,0 0 m 9,7 0 Ωm A Fe = = 8 8mm ρal,655 0 Ωm c) Resistanssin lämpötilariippuvuuden yhtälöstä R = R ( 0 + αδt ) saadaan resistanssi huoneenlämmössä: R 0 R 75Ω = = 57 Ω + αδt + 6,8 0 (65 0)K K Fe Al 4
5 a) Yhtälöstä U = R I + R I + R I = I( R + R + R ) piirissä kulkevaksi sähkövirraksi saadaan U V I = = 0,A R + R + R 90Ω b) Kussakin vastuksessa tapahtuvat jännitehäviöt ovat U= RI = 5, 0 Ω 0,A,0 V U = RI = 0, 0 Ω 0, A 4,0 V U = R I = 45,0 Ω 0, A 6,0 V c) Jännitehäviöiden summa on U = U+ U+ U =,0 V+4,0 V+ 6,0 V= V 6 a) Lyijyakussa on kaksi lyijylevyä rikkihappoliuoksessa Jännitelähteeseen kytkettäessä akku latautuu siinä tapahtuvien kemiallisten reaktioiden vuoksi Reaktioyhtälö on latautuminen PbSO4 + HO HSO4 + Pb + PbO Ks s 0 purkautuminen b) Voltan pari syntyy, kun sinkki- ja kuparilevy upotetaan happoliuokseen Levyjen välille syntyy jännite Ks sivut 9 ja c) Paristo on sähköparien yhdistelmä Pariston kemialliset reaktiot määräävät sen lähdejännitteen 7 a) Säätövastus ja 00 Ω vastus on kytketty rinnan, joten niiden yhteisresistanssi saadaan yhtälöstä = + = + = R R R 00Ω 00Ω 00Ω Resistanssi on 00Ω R = = 00Ω Tämä systeemi on kytketty sarjaan toisen 00 Ω vastuksen kanssa Kokonaisresistanssi on Rkok = R + R = R + 00Ω = 00Ω+ 00Ω = 00Ω 5
b) Kun systeemin resistanssin tulee olla 80 Ω, säätövastuksen resistanssi voidaan laskea yhtälöstä + + 00Ω = 80Ω 00Ω R Ratkaistaan tästä resistanssi R + = 80Ω 00Ω R + = 00Ω R 80Ω = R 80Ω 00Ω Säätövastuksen resistanssin tulee olla R 800Ω 8 a) Sähkölaitteita, joiden toiminnassa hyödynnetään sähkövirran lämpövaikutusta, ovat mm sähkökiuas, vedenkeitin, uuni ja leivänpaahdin b) Sähköenergiaa muuntuu lämmöksi teholla P = RI = 50 Ω (, 0A), kw c) Vastuksen sähköteho P = RI ja lämmitysenergia E = Pt = RI t Veden vastaanottama energia on = cm Δϑ Koska energiahäviöt ovat pienet, yhtälöstä RI t = cm Δϑ saadaan veden massaksi RI t 50 Ω (,5A) 7,5 60s m = =,9 kg cδϑ J 4,9 0 50 C kg C 9 a) Aurinkokennon pinta-alan tulisi olla 000 MW 6 A = = 6,67 0 m 6,7km 50W/m b) Aurinkokennon luovuttama lämpö on E= ηptja veden vastaanottama = cm Δϑ Yhtälöstä ηpt = cm Δϑ saadaan kuumennusajaksi Eanto cmδϑ t = = ηp ηp 4,9 0,0kg 5 C kg C = 0,90 50 W J = 7 s 6 min 6
0 Vastuskierukan luovuttama lämpöenergia on E Pt RI t = = = 0, 0 Ω (,0 A) 00s = kj Oletetaan lämpövuodot vähäisiksi, jolloin tämä energia sulattaa jäätä Olkoon jään vastaanottaman lämpöenergian määrä Sulavan jään massa saadaan yhtälöstä = E= sm Sulavan jään massa on kj m = = = 6,06 g s kj kg Tilavuus pieneni,6 cm, joten sulaneelle osalle voidaan kirjoittaa m m V = jää Vvesi, 6cm =ΔV ja edelleen ρ ρ Ratkaistaan tästä jään tiheys m ρ ρ jää jää m = Δ V + ρ vesi jää vesi = ΔV m 6,06 g = = 0,9 g/cm m 6,06 g Δ V +,6 cm + ρ g vesi 0,99984 cm a) Pariston kuormituskäyrällä tarkoitetaan (I,U)-kuvaajaa Tässä I on pariston läpi kulkeva sähkövirta ja U pariston napajännite Pariston napajännite muuttuu, kun sitä kuormitetaan eri tavoin (piirin kokonaisresistanssi muuttuu) b) Paristoon kytketään säätövastus (tai muu kuorma, jonka resistanssia voidaan muuttaa) Lisäksi tarvitaan jännite- ja virtamittarit Jännitemittari kytketään pariston napoihin Virtamittari kytketään vastuksen kanssa sarjaan, jolloin se mittaa piirissä kulkevaa sähkövirtaa Tämä sähkövirta on myös pariston läpi kulkeva sähkövirta 7
c) Kuormituskäyrältä voidaan lukea pariston lähdejännite ekstrapoloimalla kuvaajaa kohtaan I = 0 A Lisäksi piirretyn suoran ja vaaka-akselin (I-akselin) leikkauskohdasta voidaan lukea oikosulkuvirran I max suuruus d) Yhtälöstä E = RI s + RIsaadaan sähkövirraksi E 4,5 V I = = 0 ma R + R 50 Ω+0,Ω s a) Kolmen rinnankytketyn vastuksen yhteisresistanssi saadaan yhtälöstä = + + = R 5, 0Ω 5, 0Ω 5, 0Ω 5, 0Ω Resistanssi on 5, 0Ω R =, 67Ω Tämä yhdistelmä on sarjassa kahden muun vastuksen kanssa Kokonaisresistanssi on R = R + 5, 0Ω+ 5, 0Ω =,67Ω+ 0, 0Ω Ω b) Kolmen rinnankytketyn pariston jännite on yhtä suuri kuin yhden pariston jännite Siksi voidaan ajatella systeemiä kolmen sarjakytketyn pariston yhdistelmänä Yhdistelmän jännite on U = 5, 0 V + 5, 0 V + 5, 0 V = 5 V 8
a) Piirissä on kaksi paristoa sarjassa Kytkennän suunta on sellainen, että paristojen jännitteiden summa on 9,0 V,5 V = 7,5 V Kolmessa piirissä olevassa lampussa tapahtuu yhteensä 7,5 V jännitehäviö, joten 7,5 V yhdessä lampussa tapahtuvan jännitehäviön suuruus on =,5 V b) Pisteiden B ja C potentiaalit nähdään potentiaalikäyrältä ja ne ovat VB =, 5 V ja V C = 4,0 V Pisteiden välinen jännite on U = V V =,5V 4,0V=,5V BC B C c) Maadoituksella sovitaan potentiaalin nollakohta Jos maadoitusta ei tehdä, potentiaalikäyrä on samanmuotoinen, mutta siinä ei voida ilmoittaa todellisia potentiaalilukemia (vaan ainoastaan potentiaalieroja) 4 a) Joulen laki: Sähköjohdin tai laite, jonka resistanssi on R, kuluttaa virtapiirissä tehon U P = RI =, R jossa U on jännitehäviö ja I sähkövirta Ks s 50 b) Kirchhoffin laki: Virtapiirissä haarautumispisteeseen tulevien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien sähkövirtojen summa Ks s 5 c) Kirchhoffin laki: Suljetun virtapiirin jokaisessa umpinaisessa silmukassa lähdejännitteiden E summa on yhtä suuri kuin piirissä tapahtuvien jännitehäviöiden U summa Ks s 55 9
5 Kirchhoffin lakien perusteella saadaan yhtälöt I= I+ I 4,5 V+4,5 V 45 Ω I,5 V = 0 4,5 V+4,5 V 00 Ω I = 0 Alimmasta yhtälöstä saadaan sähkövirta I = 90 ma, keskimmäisestä I 70 ma ja ylimmästä I = 60 ma Ylimmässä vastuksessa tapahtuva jännitehäviö on U = RI = 45 Ω 0,67 A 7,5 V,5 V 4,5 V 4,5 V 6 Kirchhoffin I lain mukaan on I = I + I, josta edelleen I = I I =,0 ma 6,8 ma = 4, ma Ohmin lain mukaan U=RI, joten vastuksen resistanssi on U,5V R = = 440Ω I 0,0068 A Vastukset ja ovat sarjassa, joten niiden yhteisresistanssi on R = R + R Näiden vastusten läpi kulkee sama sähkövirta I Ratkaistaan ensin resistanssi U,0 V R = = = 74,Ω I 0,004 A Vastuksen resistanssi on R = R R = 74,Ω 50Ω 660Ω Vastuksen tehonkulutus on P = = Ω RI 664, (0,004 A) mw 0
7 a) Kylpyhuoneessa suihkusta tuleva kosteus voi aiheuttaa sähkölaitteissa oikosulkuja, ja käyttäjälleen sähköiskun, jonka seuraukset voivat olla vakavat b) Sähkötapaturmassa ihmisestä tulee tavalla tai toisella sähkövirtapiirin osa, jolloin sähkövirta pääsee kulkemaan ihmisen kehon kautta Jo hyvin pienikin sähkövirta voi aiheuttaa ongelmia ihmisen aivosähkötoiminnoissa 8 a) Elektroskooppi muodostuu kahdesta metallisesta liuskasta, jotka on eristetty muusta rasiasta (ks sivu 79) Kun elektroskoopin nuppia kosketetaan varatulla kappaleella, varausta siirtyy metalliliuskoihin ja ne varautuvat samanmerkkisesti Liuskat erkanevat toisistaan sähköisen hylkimisvoiman vuoksi Erkaneminen on sitä voimakkaampaa mitä suuremmasta varauksesta on kyse Elektroskooppi ei kerro varauksen merkkiä Varausta purkautuu vähitellen ympäristöön ja liuskat palaavat lopuksi alkuperäiseen asentoon b) Oletetaan, että nupin lähelle tuodaan positiivisesti varattu kappale, jolla ei kuitenkaan kosketeta nuppia Silloin elektroskooppi ei varaudu sähköisesti, mutta siinä tapahtuu influenssi-ilmiö Elektroskoopin liuskojen metallimateriaalin vapaat elektronit asettuvat lähelle nuppia ja liuskat saavat hetkellisesti positiivisen varauksen ja erkanevat toisistaan Kun ulkopuolinen varaus poistetaan, liuskat palaavat välittömästi alkuperäiseen asentoonsa Vastaava ilmiö tapahtuu myös tuomalla nupin lähelle negatiivisesti varattu kappale c) Jos varatulla kappaleella kosketetaan elektroskoopin nuppia, varausta siirtyy elektroskoopin liuskoihin kunnes kappaleen ja elektroskoopin potentiaali on sama Elektroskooppi jää varautuneeksi 9 a) Koska molemmat varaukset ovat positiivisia, hiukkaset hylkivät toisiaan ja niihin kohdistuvat voimat ovat vastakkaissuuntaisia Voimat ovat suuruudeltaan yhtä suuret voiman ja vastavoiman lain mukaan Oikea vaihtoehto on kuva a) b) Coulombin lain riippuvuussuhteet voidaan tutkia kahden mittauksen avulla Mittaus : Varataan kiertyvän akselin päässä oleva pallo ja kosketetaan sillä testipalloa, jolloin molemmat pallot saavat saman varauksen Tutkitaan ensin varauksen ja kiertokulman välistä riippuvuutta Pidetään tässä mittauksessa kiinteän ja kiertyvän pallon välimatka koko mittauksen ajan vakiona Testipallon varaus voidaan helposti puolittaa koskettamalla sitä toisella samanlaisella pallolla
Taulukossa on eräät mittaustulokset Varaus Kiertokulma α 4 / 79 /4 /8 8 Merkitään mittaustulokset (, α)-koordinaatistoon kiertokulma asteina 60 40 0 00 80 60 40 0 8 4 varaus Mittaustuloksista havaitaan, että varauksen pienentyessä kiertokulma pienenee, joten myös pallojen välinen sähköinen hylkimisvoima pienenee Kiertokulman suuruus on verrannollinen varauksen suuruuteen, joten myös sähköstaattisen voiman suuruus on suoraan verrannollinen kiertokulman suuruuteen Mittaus : Tehdään toinen kiertymiskulmien mittaus Kun nyt pallojen varaukset pidetään vakioina ja muutetaan pallojen välistä etäisyyttä, kiertokulman havaitaan kasvavan, kun etäisyys pienenee Siis myös voima kasvaa, kun etäisyys pienenee Kiertymä esitetään etäisyyden neliön käänteisluvun funktiona, saadaan oheinen kuvaaja Huomataan, että pisteet asettuvat likimain suoralle, joten suureiden välillä on riippuvuus α ~ /r Mittauksen mukaan pallojen välinen voima on suoraan verrannollinen kiertymään, joten voima on suoraan verrannollinen myös etäisyyden neliön käänteislukuun: F ~ /r 00 kiertokulma asteina 00 00 0 0 00 00 00 /r 400 /m
0 a) Ytimen koossapysyminen aiheutuu vahvasta vuorovaikutuksesta Ks Fysiikka, sivu 7 b) Oletetaan protonin halkaisijaksi fm Keskimäärin protonien etäisyys on 0,5 fm, jolloin protonien keskipisteiden etäisyys on likimain,5 fm Coulombin voima on F = k r 9 9 9,60 0 C,60 0 C = 8,99 0 Nm /C 5 (,5 0 m) 00 N Massa olisi noin G 0,6N m = = 0 kg g 9,8m/s Kun pallo on tasapainossa, on voimassa tasapainoehto F = 0 Kun valitaan suunnat oikealle ja ylös positiivisiksi, saadaan ehdot F = 0eliF Tsinα = 0ja x s F = 0eliT cosα mg = 0 y α Kun yhtälöt Tsin = Fs jaetaan puolittain, saadaan T cosα = mg Fs tanα =, josta Fs = mg tan α mg Koska levyjen välinen jännite on 0 V ja etäisyys 0,050 m, sähkökentän voimakkuus on E =,6 kv/m Fs Homogeenisen sähkökentän voimakkuus on E =, joten varaus on Fs mg tan α = = E E 0,007 kg 9,8m/s tan,4 =,6 0 V/m 7 4, 0 C = 0,4μC
Piirretään kuvio, josta käy ilmi palloihin vaikuttavat voimat (painovoima, langan jännitysvoima ja sähköinen hylkimisvoima) Pallot ovat sähköisessä vuorovaikutuksessa keskenään, joten Newtonin III lain mukaan kaikissa kolmessa tapauksessa sähköiset voimat ovat suuruudeltaan keskenään yhtä suuret eli F = F Varausten suuruus vaikuttaa ainoastaan ripustuslangan asentoon (kulmaan Θ) Koska tapauksissa ) ja ) pallojen massat ovat yhtä suuret, muodostuu silloin kumpaankin lankaan yhtä suuri jännitysvoima ja pallot asettuvat piirretyn kuvan mukaisesti Tapauksessa ) pallojen massat eivät ole yhtä suuret keskenään ja siksi lankojen jännitysvoimat ovat nyt erisuuret Pallon eivät asetu kuvan mukaisesti, vaan Θ Θ(tarkemmin Θ < Θ ) a) E E Tehtävän ratkaisussa on huomioitava seuraavat asiat: Sähkökentän kenttäviivat - suunnattuja viivoja, kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset kentän kanssa - viivojen tiheys on verrannollinen kenttävoimakkuuteen - viivat alkavat positiivisesta varauksesta ja päättyvät negatiiviseen varaukseen Tasapotentiaalipinnat - pinta, jonka kaikkien pisteiden potentiaali on sama - tasapotentiaalipinta on aina kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan 4
60 V 80 V 00 V 0 V 40 V Fysiikka 6 b) Sähkökentän voimakkuus E on kohtisuorassa tasapotentiaalipintoja vastaan ja suuntautuu alenevan potentiaalin suuntaan Pisteen P lähellä U 0 V E = = = kv/m Δs 0,00 m E P 4 Varausten + ja pisteeseen P synnyttämät sähkökentän voimakkuudet ovat E ja E Kummankin varauksen kenttävoimakkuudet ovat yhtä suuret eli E = E = 4πε 0 r Kenttävoimakkuus pisteessä P on Ep = E+ E E d Kuviosta saadaan yhdenmuotoisten kolmioiden avulla verranto P = E r, josta sähkökentän voimakkuus dipolin keskinormaalin pisteessä P on d d EP = E= r 4πε0 r Varauksen q siirtämisessä tehty työ on nolla, koska varaukseen vaikuttava sähköinen voima F = E on koko ajan kohtisuorassa siirtymävektoria PA vastaan Siis W PA = 0 + d A E P E - E p 5
5 Pisteessä P varauksen aiheuttaman sähkökentän suunta on kuvassa vasemmalle ja varauksen aiheuttaman kentän suunta oikealle Kentän voimakkuus on nolla, mikäli E = E k = k r ( r + a) ( r + a) = r ( ) r + ar + a = 0 Sijoitetaan tähän tehtävän lukuarvot, jolloin saadaan yhtälö 8 8 8 8 r + r + (,0 0 C 8, 0 0 C), 0 0 C 0,50 m,0 0 C (0,50 m) = 0 Ratkaistaan yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, jolloin saadaan etäisyydeksi r 0,50m (tai r 0,7m, joka hylätään, koska tässä r tarkoitti etäisyyttä, r 0 ) Piste P sijaitsee siis 50 cm varauksesta vasemmalle Varausten välissä sähkökentän voimakkuus ei voi olla nolla, koska molempien varausten aiheuttamien kenttien suunta on kuvassa oikealle Pisteessä P varauksen aiheuttaman sähkökentän suunta on oikealle ja varauksen aiheuttaman sähkökentän suunta vasemmalle Varaus on kuitenkin itseisarvoltaan suurempi ja piste P on lähempänä varausta Siksi ei ole olemassa sellaista pistettä P, jossa sähkökentän voimakkuus olisi nolla (Asian voi halutessaan tarkistaa laskemalla, mutta tämä ei ole välttämätöntä Pisteessä P sähkökentän voimakkuus on nolla, mikäli E = E k = k ( a+ s) s s = ( a+ s ) ( ) s + as+ a = 0 6
Sijoitetaan tähän tehtävän lukuarvot, jolloin saadaan yhtälö 8 8 8 8 s + s+ (8,0 0 C,0 0 C) 8,0 0 C 0,50m 8,0 0 C (0,50m) = 0 Yhtälön ratkaisut s 0,m ja s =, 0 m ovat molemmat negatiivisia, joten ne hylätään (koska s tarkoitti etäisyyttä)) 6 a) Pallojen varausten suhteen kolmiolla on kaksi oleellisesti erilaista tilannetta: kaikissa kärjissä samanmerkkinen varaus tai yksi pallo erimerkkisesti varautunut kuin kaksi muuta Piirretään kummastakin tapauksesta voimakuviot Samanmerkkisten varausten tapauksessa on samantekevää ovatko varaukset negatiiviset vai positiiviset Erimerkkisten varaustenkin tapauksessa kuvio on aina symmetrinen ja samankaltainen Kuvien perusteella voidaan päätellä, että vaihtoehto B on fysikaalisesti mahdollinen b) Kolmion keskipisteessä sähkökentän voimakkuus on N/C yhden pallon varauksen aiheuttamana Kaikki pallot ovat yhtä kaukana kolmion keskipisteestä Toisaalta jokaisen pallon varaus on yhtä suuri Siksi jokaisen pallon kolmion keskipisteeseen aiheuttaman sähkökentän voimakkuusvektorit ovat yhtä pitkiä Vektorit muodostavat tasasivuisen kolmion, joten niiden vektorisumma on nolla Sähkökentän voimakkuus kolmion keskipisteessä on siis nolla 7 a) Tasojen välinen jännite on U = 65 V 95 V = 70 V Kenttävoimakkuus on U 70V E = =,kv/m, Δs 0,00 m suunta kohti alempaa potentiaalia b) Siirtotyö on W = qu = qδ V = 45nC 0 V = 5, 4μJ 7
8 a) Koska levyt ovat laajat ja yhdensuuntaiset, niiden välissä olevan homogeenisen sähkökentän voimakkuus on UAB VA VB 0V 9,0V E = = = = 50 V/m x x 0,060 m Koska homogeenisessä sähkökentässä jännite on UAB = VA VB = Ex, pisteen B potentiaali on VB = VA Ex = 0V Ex = Ex Potentiaali kasvaa lineaarisesti 6 cm matkalla arvosta 0 V arvoon V = Ex = ( 50 V/m) 0,060m = 9,0 V V V V / m E 8 x 6 4 6 c m 4-50 x 0 0 4 6 cm b) Välillä cm johdelevyssä sähkökentän voimakkuus on E = 0 V/m ja potentiaali V = vakio Sähkökentän voimakkuus johdelevyn ulkopuolella eli väleillä 0 cm ja cm 6 cm on UAB VA VB 9,0 V E = = = = 5 V/m x+ x x+ x 0,00 m + 0, 00 m Potentiaali kasvaa lineaarisesti väleillä 0 cm ja cm 6 cm Potentiaali cm kohdalla on V = Ex = ( 5 V/m) 0, 00 m =, 5 V ja 6 cm kohdalla on V = Ex = ( 5 V/m) 0, 040 m = 9,0 V V/m -00-5 E x 6 cm V 0,0 V 8,0 6,0 4,0,0 0 0 4 5 6 x cm 8
9 a) Työ on W = 0 J b) Työ on W = qes =, μc 0,40 kv/m 0,00 m 4 μj c) Työ on W =, μc 0,40 kv/m 0,00 m = 4,8μJ d) Jännite on U AB = 0 V Jännite on UAC = EΔ s = 0, 40 kv/m 0,00 m= V Jännite on U = 0,40 kv/m 0,00 m=4,0 V AD 40 Sähkökentän voimakkuus on vakio sekä välillä 0,0 mm,0 mm että välillä,0 mm,0 mm, joten kyseessä on homogeeninen sähkökenttä Potentiaali muuttuu lineaarisesti kummallakin välillä Levy A on maadoitettu, joten sen potentiaali on nolla Välillä 0,0 mm,0 mm potentiaali kasvaa arvosta nolla arvoon,0 kv Potentiaalin lauseke tällä välillä on kv Vx ( ) =,0 x mm Homogeenisen sähkökentän suunta on oikealta vasemmalle (ylemmästä potentiaalista alempaan) Välillä,0 mm-,0 mm sähkökentän suunta on vastakkainen, vasemmalta oikealle Potentiaali alenee arvosta,0 kv arvoon kv kv, 0 0,5, 0 mm = 0,5 kv mm mm kv Potentiaalin lauseke tällä välillä on Vx ( ) = 0,5 x +,5kV mm Potentiaalin kuvaaja on seuraava: Potentiaalin lausekkeet edustavat tässä kuvaajassa olevien suorien yhtälöitä Sähkökentän kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta Levyjen välissä kenttäviivaesitys on seuraava: 9
4 a) Millikan ruiskutti öljypisaroita kondensaattorilevyjen väliin ja tarkkaili mikroskoopilla varauksellisen pisaran liikettä Tutkimuksen 9 avulla hän pystyi määrittämään alkeisvarauksen e =,60 0 C Ks s09 b) Pisaraan vaikuttavat voimat ovat painovoima G= mg ja sähköinen voima F = qe Koska öljypisara pysyy paikallaan kahden vaakasuoran U johdelevyn välisessä sähkökentässä, oltava qe = mg eli q = mg Jännite d on 4 9 mgd, 0 0 kg 9,8m/s 0, 00 m U = = 9, kv q,600 C 4 a) Elektroni liikkuu kuvassa tasaisesti oikealle alkunopeutensa vuoksi Sähkökenttä kohdistaa elektroniin voiman, jonka suunta on kuvassa ylöspäin Elektronilla on siis kiihtyvyyttä ylöspäin Elektronin rata kaartuu kohti positiivista levyä Kuvassa on elektronin rata pääpiirteissään b) Elektronin pystysuora siirtymä on qe qe = = = s x s at t m m v,60 0 C 5kN/C 0,05m = 9,09 0 kg, 0 m/s 8 mm 9 7 x 0
c) Elektronin nopeuden pystysuora komponentti on v y qet qe s = at = = m m v 9,60 0 C 5kN/C 0,05m - 7 = 9,09 0 kg, 0 m/s 7, 0 m/s Koska elektronin nopeuden vaakasuora komponentti on elektronin nopeudeksi saadaan 7, 0 m/s, v = v + v x y 7 7 = (, 0 m/s) + (, 0 m/s) 6 Mm/s v y Nopeuden suunta: tan α =, josta kulma α 48 vaakatasosta vx ylöspäin 4 Energiaperiaatteen mukaan kentän tekemä työ on yhtä suuri kuin α- hiukkasen liike-energia: U = mv, josta α-hiukkasen nopeus on 9 qu,60 0 C 0 V 5 v = =, 0 m/s = 0,Mm/s 7 m 6,67 0 kg 44 y E e v y v o v x x l b) Kuvan sähkökentässä elektronin nopeus x-suunnassa hidastuu 5 Sähkökentän voimakkuus levyjen välissä on E = 8, 0 V/m, joten 5 - levyjen välinen jännite on U = Ed = 8, 0 V/m,0 0 m = 40 V Elektroni tekee työtä sähköistä voimaa vastaan ja sen liike-energia pienenee (rajatapauksessa nollaan) eli Δ Ek = W = qu ja edelleen
mv x = qu Elektronin x-suuntainen nopeus sen tullessa kuvan sähkökenttään on 9 qu,60 0 C 40 V 7 vx = = =,94 0 m/s m 9,09 0 kg Elektronin alkunopeus sen tullessa vinosti sähkökenttään on v x 7 v 0 = =, 76 0 m/s cos0 Ennen kuvan sähkökenttään tuloa elektronia kiihdytetään siis nopeuteen 7 v 0, 4 0 m/s a) Oletetaan, että kiihdytyksen alussa elektroni on levossa Sähkökenttä tekee työtä ja elektronin liike-energia kasvaa ts W = ΔE k ja edelleen qu = mv 0 Kiihdytysjännite on 7 mv0 9,09 0 kg (,76 0 m/s) U = =,kv 9 q,60 0 C 45 a) Varaus kerääntyy johdekappaleessa kärkiin ja särmiin Sähkökentän voimakkuus niiden lähellä voi tämän vuoksi olla niin suuri, että se ylittää ilman läpilyöntikestävyyden, jolloin tapahtuu varauksen purkautuminen b) Kondensaattorin kapasitanssi on C = =, missä on U Ed kondensaattorin varaus, E levyjen välisen sähkökentän voimakkuus ja d levyjen välimatka Eristekappale pienentää siinä tapahtuvan polarisaatioilmiön vuoksi sähkökentän voimakkuutta, joten kondensaattorin kapasitanssi kasvaa
46 a) Sähkökenttää voidaan havainnollistaa kenttäviivoilla Kenttäviivojen suunta on sovittu positiivisesta varauksesta poispäin ja negatiivista varausta kohti Suuntaa kuvataan nuolilla Kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta Sähkökentän voimakkuuden suunta yksittäisessä pisteessä on sama kuin kenttäviivan tangentin suunta Kuvassa on esitetty kahden erimerkkisen pistevarauksen muodostama sähkökenttä E b) Koska pallot ovat sähköisessä vuorovaikutuksessa keskenään, niihin molempiin kohdistuu Newtonin III lain mukaan yhtä suuri voima Voiman suuruus saadaan Coulombin laista 9 9 9 Nm 0 C 0,05 0 C F = k = 8,99 0 0,nN r C (,5m) Koska molemmat pallot ovat positiivisesti varautuneita, voima on hylkivä c) Kun pieni pallo viedään lähelle isoa palloa, sen positiivisesti varattu pinta vetää puoleensa ison metallipallon vapaita elektroneja Isossa pallossa tapahtuu sähköinen influenssi, minkä johdosta suuren pallon pinta varautuu pienen pallon puolella negatiivisesti Koska erimerkkiset varaukset ovat lähempänä toisiaan kuin samanmerkkiset varaukset, Coulombin lain mukaan pallojen välillä on vetovoima 47 a) Kondensaattori voidaan varata koskettamalla sen levyjä varatulla kappaleella tai kytkemällä kondensaattori paristoon tai jännitelähteeseen Purkautuminen tapahtuu, kun kondensaattorilevyt yhdistetään toisiinsa johtimella Jos piirissä on vastuksia, purkautuminen hidastuu Latausvirtaa voidaan tarkastella tietokonepohjaisen mittausjärjestelmän avulla Katso sivut ja 4 b) Kondensaattoria ladattaessa varausten siirtyminen aluksi on nopeampaa ja kondensaattorin napojen välinen jännite kasvaa nopeammin Ajan myötä jännite vakiintuu Kondensaattoria purettaessa sähkövirta on aluksi suuri, mutta virta heikkenee nopeasti
48 Kondensaattorin varaus saadaan fysikaalisena pinta-alana (noin 8,4 ruutua) Kondensaattorin kapasitanssi on 6 8,4 0 As C = = 0,9μF U 9,0V 49 Kondensaattorien varaukset ovat = CU = 5, 0 nf 0 V=0,55 μc ja = CU = 9,0 nf 65 V=0,585 μc Koska kondensaattorit kytketään rinnan, systeemin varaus säilyy eli = + = 0,55 μc+0,585 μc=,5 μc Systeemin napojen välinen jännite on,5 μc U = = = 8 V C C + C 4 nf Siirtyvän varauksen suuruus on Δ = CΔ U = 5, 0 nf (0 V 8,V) 0,4 μc Varaus 0,4 μc siirtyy 5,0 nf kondensaattorista 50 a) Kondensaattorit ja on kytketty rinnan, joten niiden yhteiskapasitanssi on C = C + C = 4,0μF +,0μF= 6,0μF Kondensaattorit ja ovat sarjassa, joten systeemin kokonaiskapasitanssi saadaan yhtälöstä C = C + C = 8,0μF + 6,0μF Kokonaiskapasitanssi on C, 5μF b) Kondensaattorisysteemin kokonaisvaraus on = CU AB =,549μF 0 V = 90,4μC Sarjaan kytkettyjen kondensaattorien varaus on yhtä suuri, joten = = Jännite rinnankytkettyjen kondensaattorien ja välillä on U 90,4μC = 6,97 V C = C = 6,0μF = Koska kondensaattorit ja on kytketty rinnan, niiden levyjen välinen jännite on yhtä suuri eli U = U = U 6 V Kondensaattorin varaus on = CU = 4,0μF 6,97V= 0,6mC 4
5 a) Kondensaattorit ja on kytketty rinnan, joten niiden muodostaman systeemin kapasitanssi on C = C + C = 60 nf + 80 nf = 40 nf Kondensaattorit, ja 4 ovat sarjassa, joten kokonaiskapasitanssi saadaan yhtälöstä = + + = + + C C C C4 0nF 40nF 40nF Kondensaattorisysteemin kapasitanssi on C 54 nf b) Koska kondensaattorit, ja 4 ovat sarjassa, niiden kaikkien varaukset ovat yhtä suuret Maadoituksen vuoksi kondensaattorin vasen levy saa varauksen (ilman maadoitusta tämä levy olisi varaamaton) Kondensaattorien ja systeemissä varaus jakautuu = + Rinnankytkettyinä näiden kondensaattorien jännite on sama U = = C C Sijoitetaan tähän tieto =, jolloin saadaan yhtälö = C C Ratkaistaan yhtälöstä kondensaattorin varaus: C = C C ( C + C ) = C Kondensaattorin varaus on C 60 nf μc = = C+ C 60nF + 80nF 5,μC Kondensaattorin varaus on = = μc 5,8μC 5,8μC 5
5 a) Kondensaattorit K ja K on kytketty rinnan, joten kapasitanssi on C = C + C = 47 μf + μf = 69 μf Koska kondensaattori K on kytketty edellisen yhdistelmän kanssa sarjaan, saadaan = + = +, C C C 0μF 69μF josta systeemin kapasitanssi on C 44μF b) Koska piste C on maadoitettu, pisteen C potentiaali on nolla Pisteen B potentiaali on sama kuin pisteiden B ja C välinen jännite eli V B = U BC Koska kondensaattorin K läpilyöntijännite on 0 V ( < 6 V (K )), jännite pisteiden B ja C välillä voi olla korkeintaan 0 V Tällöin kondensaattorin K läpilyöntijännite ei saa olla suurempi kuin 8,0 V, joten on tutkittava, rajoittaako kondensaattorin K jännite pisteiden B ja C välistä jännitettä Kapasitanssi on C = / U, joten kondensaattorin varaus on = CU Jos V B = 0 V, rinnankytkettyjen kondensaattorien varaus on 6-4 = 69 0 F 0 V 6,9 0 C Tämä on myös ensimmäisen kondensaattorin varaus Kondensaattorin K jännitteeksi saadaan U 4 6,9 0 C 6 C 0 0 F = = = 5,75 V< 8,0 V Koska kondensaattorin K jännite on alle sen läpilyöntijännitteen, pisteen B potentiaali voi olla korkeintaan 0 V c) Pisteiden A ja C väliseksi suurimmaksi jännitteeksi saadaan UAC,max = U + U BC,max = 5,75 V + 0 V 6 V 6