Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa yksikäsitteinen yksikköympyrän piste P x, y) niin, että matkapitkinympyrän kehää pisteestä A vastapäivään on t Sovitaan, että x cost ja y sint Jos x 0, sovitaan, että y x tant ja jos y 0, niin sovitaan, että x cott Jost<0, määritellään y samat asiat niin, että matkaa:sta P :hen kuljetaan myötäpäivään Valtaosa trigonometristen funktioiden perusominaisuuksista saadaan tarkastelemalla yksikköympyrää Etenkin funktioiden positiivisuus, kasvavuus ja jaksollisuus nähdään yksikköympyrästä Erityisesti esimerkiksi sentapaiset relaatiot kuin π ) sin 0 sin π 0, cos 0 1, cosπ) 1, sin cos01, π ) sin t cost, sin t + π ) cost, cos t + π ) sin t, sin t) sin t, cos t) cost, sinπ t) sint, cosπ t) cos t, cos t +sin t 1, sint + n π)) sin t, cost + n π)) cos t, n Z) jnenäkyvät välittömästi Kun otetaan huomioon kulman suuruuden määrittely radiaaneina ja kolmioiden yhdenmuotoisuus, saadaan suorakulmaisen kolmion kulmien trigonometrisille funktioille vakiintuneet määritelmät Joskus muistikulmiksi kutsuttujen kulmien trigonometristen funktioiden arvot, sellaiset kuin esimerkiksi sin 45 cos 45 1,sin30 cos 60 1 tai cos 30 sin60 1 3, nähdään välittömästi Pythagoraan lauseen avulla tasakylkisestä suorakulmaisesta kolmiosta ja tasasivuisesta kolmiosta Ne on tosiaan hyvä muistaa! Ellei muuta sanota, tarkasteltava kolmio on ABC ja BC a, CA b, AB c; ABC β, BCA γ, CAB α, R ympäri piirretyn ympyrän säde, r sisään piirretyn ympyrän säde Kolmion ala on T 1 ab sin γ ja kolmion piiri on p a + b + c Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on O ja sisään piirretyn ympyrän keskipiste on I a 1 Osoita, että sin α b sin β c R sinilause) sin γ Ratkaisu Oletetaan, ettäkulmacab on terävä Suora CO leikkaa ABC:n ympäri piirretyn ympyrän myös pisteessä A Kehäkulmalauseen nojalla CA B CAB α Kolmio A BC on suora, koska A C on ympyrän halkaisija Siis sin α a Jos CAB on R tylppä, niin ABA C on jännenelikulmio, CA B 180 α ja sin CA B sinα Koska kolmio A CB on suorakulmainen, sin CA B a R Osoita, että sinα + β) sinα cos β +cosα sin β ja cosα + β) cosα cos β sin α sin β

Ratkaisu Olkoon ensin 0 α< π,0 β < π Olkoon AOG α, BOA β, OA OB 1, CD OG, BF OG, CE BF ja BC OA Silloin BF sinα + β), OF cosα + β), CBF α Nyt BC sinβ, BE BC cos α cosα sin β, OC cosβ, EF CD OC sin α sinα cos β sinα+β) BF EF+BE sinα cos β+cos α sin β; vastaavalla tavalla johdetaan jälkimmäinen kaava laskemalla EC sinα sin β ja OD cosα cos β Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla johtaa relaatioihin sin α cos α π ) ja cos α sin α π ) Näitä toistuvasti käyttäen saadaan yhteenlaskukaavat todistetuiksi kaikille α 0, β 0 3 Osoita, että a b + c bc cos α kosinilause) Ratkaisu A:sta piirretty korkeusjana muodostaa kaksi suorakulmaista kolmiota; niiden suoralla BC olevien kateettien pituudet ovat b cos γ ja c cos β Riippumatta siitä, onko jompikumpi kulmista β, γ tylppä vaiei,ona b cos γ + c cos β Sinilauseen perusteella b sin γ c sin β 0 Siis a a +0 b cos γ + c cos β) +b sin γ c sin β) b + c + bccos β cos γ sin β sin γ) b + c +bc cosβ + γ) Mutta cosβ + γ) cos180 α) cos α, javäite seuraa 4 Osoita, että cos π 5 1+ 5 4 Ratkaisu Olkoon ABCDE säännöllinen viisikulmio ja AB 1 LeikatkootAD ja BE pisteessä F OlkoonEF x Ympyrän viidennestä vastaavinakehäkulmina kulmat EAD, BEA, BAC ja CAD ovat kaikki π Kolmio FEA on siis tasakylkinen Mutta 5 kulmat BAD ja AF B ovat molemmat π toinen kulmien BAC ja CAD summana, 5 toinen kolmion FEA kulman vieruskulmana) Siis kolmio BFA on tasakylkinen, joten BF 1 Yhdenmuotoisista kolmioista ABE ja FEA saadaan nyt x :11:1+x) Tästä ratkaistaan x 1 5 1) Kolmiosta FEA saadaan kosinilauseen perusteella x 1+x x cos π 5 Siis cos π 5 1 1+ 5 5 1 4 5 Osoita, että T pp a)p b)p c) Heronin kaava) Perimätiedon mukaan kaavaa ei saisi käyttää ylioppilaskirjoitusten matematiikan kokeessa, ellei todista sitä oikeaksi) Ratkaisu Koska p a b + c a jne, voidaan käyttää toistuvasti kaavaa x+y)x y)

3 x y ja kosinilausetta Saadaan 16pp a)p b)p c) b + c + a)b + c a)a +b c))a b c)) b + c) a )a b c) )bc +b + c a ))bc b + c a )) 4b c b + c a ) 4b c bc cos α) 4b c sin α 16T, eli väite 6 Osoita: kaikista kolmioista, joilla on sama piiri, tasasivuisella kolmiolla on suurin pintaala Ratkaisu Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön perusteella T /3 p 1/3 p a)p b)b c)) 1/3 p 1/3 1 3 p a)+p b)+p c)) 1 3 p4/3 Epäyhtälössä valitsee yhtäsuuruus, jos ja vain jos p a p b p c eli a b c [Todistetaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö kolmen luvun positiivisen luvun x, y ja z tapauksessa On osoitettava, että x + y + z) 3 7xyz ja että x + y + z) 3 7xyz vain, jos x y z Todistettava epäyhtälö onx 3 + y 3 + z 3 +3x y +3xy +3y z +3yz +3z x +3zx + 6xyz 7xyz Kun otetaan huomioon epäyhtälö 3xy z) + yz x) + zx y) ) 0, missä yhtäsuuruus on voimassa vain, jos x y z, todistettava epäyhtälö jää muotoon x 3 + y 3 + z 3 3xyz 0 Mutta tämän epäyhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muotoon x + y + z)x + y + z xy yz zx) 0 ks esim Algebran alkeita valmennuksen sivuilla) Vasemman puolen toinen sulkulauseke on 1 x y) +y z) +z x) ); se on 0ja0vain,kunx y z] 7 Osoita, että T pr abc p a)p b)p c) ja että r 4R p Ratkaisu Jaetaan kolmio kolmeksi kolmioksi BCI, CAI ja ABI Kunkin korkeus on r ja kannat a, b ja c Siis T 1 ar + 1 br + 1 cr pr Väitetty r:n lauseke saadaan Heronin kaavasta Toisaalta sinilauseen perusteella T 1 ab sin γ 1 ab c R Kolmion sivuympyrä on ympyrä, joka sivuaa yhtä kolmion sivua ja kahden muun sivun jatkeita Merkitään sivuympyröiden säteitä kirjaimin r a, r b ja r c 8 Osoita, että r a pp b)p c), r b p a pp c)p a), r c p b pp a)p b) p c

4 Ratkaisu Katso kuvaa) Koska pisteestä sivuamispisteisiin piirretyt tangenttien osat ovat yhtä pitkät, on a DB + FC b + c AD, joten AD 1 b + c a) p a ja AG AH + AG AC + CK + AB + BK p Siis AG p Yhdenmuotoisista kolmioista AGJ ja ADI saadaan r a p p a r p p a p a)p b)p c) p pp b)p c) p a r b ja r c saadaan kiertovaihtelulla 9 Osoita, että T r a p a) r b p b) r c p c) rr a r b r c Ratkaisu Ensimmäiset yhtälöt seuraavat yhtälöistä T pr ja r a p r vast b ja p a c) Viimeinen alan lauseke saadaan, kun yhtälöt T pr ja tehtävässä annetut kolme ensimmäistä yhtälöä kerrotaan keskenään ja otetaan huomioon Heronin kaava 10 Osoita, että 1 r a + 1 r b + 1 r c 1 r Ratkaisu Numeroiden 9 ja 7 perusteella 1 r a + 1 r b + 1 r c p a)+p b)+p c) T p pr 1 r 11 Osoita, että sinα β) sinα cos β cos α sin β ja cosα β) cosα cos β +sinα sin β Ratkaisu Merkitään yhteenlaskukaavoissa α + β x Silloin sin x sinα cosx α)+cosα sinx α) cos x cosα cosx α) sin α sinx α) Kun eliminoidaan cosx α), saadaan cos α +sin α)sinx α) sinx cos α cos x sin α eli sinx α) sinx cos α cos x sin α Vastaavalla tavalla saadaan kosinin vähennyslaskukaava, kun eliminoidaan sinx α)

5 1 Osoita, että tanα ± β) tan α ± tan β 1 tan α tan β Ratkaisu tanα ± β) sinα ± β) cosα ± β) sin α cos β ± sin β cos α cos α cos β sin α sin β Väite seuraa, kun osoittaja ja nimittäjä jaetaan tulolla cos α cos β On tietenkin otettava huomioon, että eräillä α:n ja β:n arvoilla väitteenä oleva kaava ei ole mielekäs) 13 Osoita, että sinα) sinα cos α, cosα) cos α 1 ja cos3α) 4cos 3 α 3cosα Ratkaisu Ensimmäinen kaava on sinin yhteenlaskukaava, kun β α Vastaavasti kosinin yhteenlaskukaava on tässä tapauksessa cosα) cos α sin α cos α 1 cos α) cos α 1 Edelleen cos3α) cosα + α) cosα)cosα sinα)sinα cos α 1) cos α sin α cos α cos 3 α cos α 1 cos α)cosα 4cos 3 α 3cosα 14 Osoita, että sinx) tanx 1+tan x, cosx) 1 tan x 1+tan x ja tanx) tanx 1 tan x Ratkaisu Koska niin ja 1+tan x cos x +sin x cos x sinx) sinx cos x tanx cos x cosx) cos x 1 tanx) sinx) cosx) 1 cos x, tanx 1+tan x 1+tan x 11 tan x 1+tan x tanx 1 tan x 15 Osoita, että sin x 1+cosx tanx 1 cos x sin x Ratkaisu Seuraa heti edellisestä

6 16 Osoita, että sin x +siny sin x + y cos x y Ratkaisu Olkoon x t + u ja y t u Silloin t x + y ja u x y Toisaalta sin x +siny sint + u)+sint u) sint cos u +cost sin u)+sint cos u cos t sin u) sint cos u sin x + y 17 Osoita, että cos x y sin x + y + z)+sinx y + z)+sinx + y z) sinx + y + z) 4sinx sin y sin z Ratkaisu Ryhmitellään todistettavan yhtälön vasen puoli uudelleen ja käyytetään sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja: sinx + y) z) sinx + y)+z)) + sinz +x y)) + sinz x y)) cosx + y)sinz +sinz cosx y) 4sinx sin y sin z 18 Osoita, että sin a +sinb +sinc 4sina + b)sinb + c)sinc + a)+sina + b + c)) Ratkaisu Merkitään a + b x, b + c y ja c + a z Silloin x + y + z a + b + c) x + y + z c, x y + z a ja x + y z b Todistettava yhtälö muuttuu samaksi kuin edellisen numeron yhtälö 19 Osoita, että kolmiossa on sin α +sinβ +sinγ 4cos 1 α cos 1 β cos 1 γ Ratkaisu Numeron 16 tulos, se että α + β + γ 180 ja kaksinkertaisen kulman sinin kaava antavat sin α + β Lisäksi sin α + β sin α +sinβ +sinγ sin α + β cos α β +sin α + β cos α + β cos α β sin α + β sin α + β cos α cos β sin 90 γ ) cos γ,jatodistusonvalmis +sinα + β) cos α + β +cos α β )

7 0 Osoita, että kolmiossa on r 4R sin α sin β sin γ 1 ratkaisu Pätee T pr ab sin γ eli a + b + c)r ab sin γ Muunnetaan a, b ja c sinilauseen avulla Saadaan Rsin α +sinβ +sinγ)r 4R sin α sin β sin γ eli, kun käytetään kaksinkertaisen kulman sinin kaavaa, r R α sinα sin β sin γ 16 sin sin α +sinβ +sinγ sin β sin γ cos α cos β cos γ sin α +sinβ +sinγ Väite seuraa nyt edellisen numeron tuloksesta ratkaisu Numeron 8 kuvan mukaisesti Siis joten 1 cos α tan α 1+tan α r p a p b)p c) pp a) pp a)+p b)p c) pp a) a + b + c) a + b + c)+a b + c)a + b c) 4pp a) b + c) a + a b c) 4pp a) bc pp a), sin α tanα cos α p b)p c) bc Kun muodostetaan kiertovaihtelulla toiset kaksi puolen kulman siniä jakerrotaanlausekkeet, saadaan sin α sin β sin γ p a)p b)p c) abc p a)p b)p c) 4prR r 4rR r 4R, ja todistus on valmis

1 Osoita, että kolmiossa on tan α tan β tan γ tanα +tanβ +tanγ Ratkaisu Koska sin α sin β sin γ tan α tan β tan γ cos α cos β cos γ ja sin α cos β cos γ +cosα sin β cos γ +cosα cos β sin γ tan α +tanβ +tanγ, cos α cos β cos γ niin todistettavaksi jää yhtälö sinα sin β sin γ sinα cos β cos γ +cosα sin β cos γ + cos α cos β sin γ eli sinα + β)cosγ sinγ cosα + β)) eli sinα + β + γ) 0 Mutta viimeinen yhtälö ontosi,koskaα + β + γ π Osoita, että kolmiossa on cos α +cos β +cos γ 1 cosα cos β cos γ 8 Ratkaisu Koska γ π α + β), niin cos γ cosα + β) Siis cos α +cos β +cos γ cos α +cos β +cos α + β) cos α +cos β +cosα cos β sin α sin β) cos α +cos β +cos α cos β cosα cos β sin α sin β +sin α sin β cos α +cos β +cos α cos β cosα cos β sin α sin β +1 cos α)1 cos β) 1+cos α cos β cosα cos β sin α sin β 1+cosα cos β cosα + β) 1 cosα cos β cos γ 3 Osoita, että sin x sin y 1 cosx y) cosx + y)) ja cos x cos y 1 cosx y) + cosx + y)) Ratkaisu Seuraa suoraan kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoista 4 Määritä lausekkeen sin α +sinβ sin γ cos α suurin arvo α, β ja γ kolmion kulmat) Ratkaisu Oletetaan, että α π ja aluksi kiinteä Koska sin β sin γ 1 cosβ γ) cosβ + γ)) ja β + γ π α on kiinteä, lauseke on suurin, kun β γ Nyt α π β, joten sin α sinβ) jacosα sinβ) Siis sin α +sinβ sin γ cos α sin β) sin β cosβ) sin β4 cos β cos β +1) sin β cos β +1) sin β3 sin β) sin β 3 ) + 9 4 8 Koska β voidaan valita niin, että sin β 3, lausekkeen suurin 4 arvo tässä tapauksessa on 9 8 Jos α>π,cosα on negatiivinen, mutta sin β ja sin γ ovat positiivisia Lausekkeen arvo on siis pienempi kuin sin α ja siis pienempi kuin 1

9 5 Osoita, että kolmiossa on ja jos b c, β + γ a cos b + c cos β γ β + γ a sin b c sin β γ Mollweiden kaavat) Ratkaisu Käytetään hyväksi yksinkertaista algebrallista tosiasiaa, jonka mukaan Kun tätä sovelletaan sinilauseeseen, saadaan x y z t x y x + z y + t a sin α b + c sin β +sinγ eli a b + c sin α sin β +sinγ β + γ sinβ + γ) sin cos β + γ sin β +sinγ sin β + γ cos β γ cos β + γ cos β γ Jälkimmäinen Mollweiden kaava saadaan samoin sinilauseesta seuraavasta relaatiosta a sin α b c sin β sin γ 6 Kaksi reaalilukujonoa on määritelty seuraavasti: x 1 y 1 3 x n+1 x n + 1+x n, y n+1 y n 1+ 1+y n kaikilla n 1 Osoita, että <x n y n < 3, kunn>1 Ratkaisu Merkitään x n tant n ja y n tanu n Silloin t 1 u 1 π 3 ja tan u n+1 y n+1 tan u n 1+ 1 cos u n sin u n cos u n +1 tanu n

10 Siis u n+1 u n ja u n π Toisaalta 3 n 1 tan t n+1 x n+1 tant n + 1 cos t n sin t n +1 cos t n tan 1 π 4 t n π ) cot 4 t ) n tan π ) cos t n +1 π ) sin t n tn + π ) 4 Siis t n+1 t n + π Geometrisen sarjan summan kaavaa hyväksi käyttäen ja sieventäen 4 saadaan π t n 3 + π 1 1 ) π n 1 n 1 π 3 n Mutta nyt x n y n tant n tan u n π cos 3 sin π cos π n 3 n 1 sin π 3 cos π 3 n cos n 3 n 1 π 3 1 n Kun n>1, kosinin argumentti edellä onvälillä0, π 3 6 ); tällöin kosini itse on välillä, 1) Koska z z z 1 on vähenevä, kun z>1, niin x ny n :narvotovatvälillä, 3) Nähdään myös, että lim n x n y n 7 Muunna lauseke a sin x + b cos x muotoon A sinx + α) Ratkaisu Voidaan olettaa, että a + b 0 Valitaan A a + b Silloin a ) b + A A ) 1 ) a Koska siis A, b on yksikköympyrän piste, on olemassa α siten, että a A cos α ja A b A sin α Siis a sin x + b cos x Asin x cos α +cosx sin α) A sinx + α) 8 Määritä funktion f :[0, π] R, fx) 8cosx +15sinx 17 suurin ja pienin arvo Ylioppilastehtävä vuonna 198, vilkasta keskustelua Suomi4-keskustelupalstalla 009) Ratkaisu 8 +15 17 fx) 17sinx + α) 17 Koska 1 sinx + α) 1ja molemmat rajat saadaan jollakin x [0, π], f:n suurin arvo on 0 ja pienin 34

9 Olkoon P 1 x) x ja P j x) P 1 P j 1 x)) kaikilla j>1 Osoita, että kaikilla n yhtälön P n x) x kaikki juuret ovat reaalisia ja eri suuria IMO 1976) Ratkaisu Polynomin P j aste on kaksi kertaa polynomin P j 1 aste Koska P 1 on toista astetta, P j :n aste on j Huomataan, että P cos t) 4cos t cos t 1) cost) Induktiolla saadaan helposti, että P j cos t) cos j t) Yhtälö P n cos t) cost on siis sama kuin cos n t)cost Yhtälön toteuttavat t:n arvot n t t +kπ, n t t +kπ, eli esimerkiksi välin [0, π) luvut t kπ n 1, k 0, 1,, n 1 1, t kπ n +1, k 1,,, n 1 Lukuja on n kappaletta Jos ne ovat kaikki eri suuria, niin kukin tuottaa yhtälölle P n cos t) cost eri juuren, sillä kosinifunktio on monotoninen välillä [0,π) Mutta jos 0 p n 1 1ja1 q n 1 ja p n 1 q n +1, niin n q p) q + p n 1, mikä on mahdotonta Olemme löytäneet yhtälölle P n x) x sen asteluvun osoittaman määrän eri suuria reaalisia juuria, joten olemme löytäneet ne kaikki 30 Ratkaise trigonometriaa käyttäen yhtälö x + px + q 0,kunp > 4q Ratkaisu Olkoon q>0 Yhtälö onyhtäpitäväyhtälön ) x + p x +10 q q q eli yhtälön x q q p ) x 1+ q kanssa Jos valitaan t niin, että sint) p ja x niin, että x q tan t, niin yhtälö toteutuu Jos q<0, niin yhtälöonyhtäpitäväyhtälön x q ) + p q q x q 10 11 eli q p x q ) x 1 q q kanssa Valitaan t niin, että tant ja x niin, että x q tan t Yhtälö toteutuu p

1 31 Ratkaise trigonometriaa käyttäen yhtälö x 3 + ax + bx + c 0 Ratkaisu Merkitään y x + a Yhtälö saa muodon 3 y 3 ay + a 3 y a3 7 + ay a 3 y + a3 9 + by ab 3 + c 0 eli merkintöjä lyhentäen y 3 + py q Olkoon nyt y r cos t Yhtälö tuleemuotoon 8r 3 cos 3 t +pr cos t q eli 4cos 3 t + p r cos t q r 3 Olkoon r p 3 Silloin yhtälö saa muodon 4 cos3 t 3cost cos3t) q Tästä voidaan jos parametrit ovat sopivia) ratkaista t, jonkajälkeen saadaan y ja x [Osoittautuu, r3 että menetelmä toimii silloin, kun kolmannen asten yhtälön kaikki juuret ovat reaalisia Tällöin ns Cardanon kaavoja käytettettäessä on koukattava kompleksilukujen kautta] 3 Ratkaise yhtälö x 3 +x 5x 60 Ratkaisu Muuttujanvaihto x y 3 johtaa yhtälöön y3 19 3 y 56 Tästä saadaan 7 q r 3 8 19 t:lle saadaan olennaisesti kolme eri likiarvoa t 0,408638 ja 19 t 0,408638 ± π ; Vastaavat y:n arvot ovat,666,,333 ja 0,333 3 Siten alkuperäisellä yhtälöllä on kolme juurta x,x 3 jax 1 33 Määritä pinta-alaltaan suurin sellaisista nelikulmioista, joiden sivut ovat a, b, c ja d Ratkaisu Olkoon tarkasteltava nelikulmio ABCD niin, että AB a, BC b, CD c ja DA d Olkoon vielä ABC φ ja CDA ψ sekä nelikulmion ala S Silloin S ab sin φ + cd sin ψ ja AC a + b ab cos φ c + d dc cos ψ Siis ab sin φ + cd sin ψ S ab cos φ cd cos ψ a + b c d Korotetaan yhtälöt puolittain neliöön ja lasketaan yhteen; saadaan a b + c d +abcdsin φ sin ψ cos φ cos ψ) 4S + a + b c d ) 4 Nyt S on suurin mahdollinen, kun sin φ sin ψ cos φ cos ψ cosφ + ψ) on suurin mahdollinen Tämä tapahtuu silloin, kun φ + ψ π Mutta nelikulmio, jonka vastakkaiset kulmat ovat vieruskulmia, on jännenelikulmio eli nelikulmio, jonka ympäri voidaan piirtää ympyrä

34 Jännenelikulmion sivut ovat a, b, c ja d Määritä sen ala Ratkaisu Edellisen numeron mukaan kun siis sin φ sin ψ cos φ cos ψ 1) alalle S saadaan, kun käytetään toistuvasti relaatiota x + y x + y)x y), 16S 4ab + cd) a + b c d ) ab + cd) a b + c + d )ab + cd)+a + b c d ) a b) +c+d) )a+b) c d) ) a+b+c+d)a b+c+d)a+b c+d)a+b+c d) Jos otetaan käyttöön merkintä p a + b + c + d, huomataan, että a + b + c + d p a jne Saadaan Brahmaguptan kaava jännenelikulmion pinta-alalle S p a)p b)p c)p d) 35 Todista, ettäjännenelikulmion lävistäjientuloonsamakuinsenvastakkaistensivu- parien tulojen summa Ptolemaioksen lause) Ratkaisu Käytetään edellisten numerojen merkintöjä Olkoon AC x ja BD y Koska ψ π φ, x a +b ab cos φ ja myöskin x c +d +cd cos φ Eliminoidaan näistä yhtälöistä cosφ Saadaan ab + cd)x a + b )cd +c + d )ab adac + bd)+ bcbd + ca) eli x ad + bc)ac + bd) ab + cd Kun tehdään kiertovaihtelu a b, b c, c d, d a, saadaan 13 y ba + cd)bd + ca) bc + da Mutta kun edelliset kaksi yhtälöä kerrotaan keskenään, saadaan x y ac+bd)bd+ca) ac + bd),eliväite