Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen.

Luku 1 Matematiikka Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. Matematiikan opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävät opiskelijan tekemään havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan niitä. Erityisesti opiskelijaa ohjataan hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin. Opiskelijaa myös kannustetaan kehittämään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Opetuksessa tutkitaan matematiikan ja arkielämän välisiä yhteyksiä sekä tietoisesti käytetään eteen tulevia mahdollisuuksia opiskelijan persoonallisuuden kehittämiseen, mikä tarkoittaa muun muassa hänen kiinnostuksensa ohjaamista, kokeiluihin kannustamista sekä tiedonhankintaprosessien kehittämistä. Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen. Työtapoina käytetään opettajajohtoista, itsenäistä ja ryhmätyöskentelyä. Tieto-

LUKU 1. MATEMATIIKKA 2 tekniikkaa ja laskimia hyödynnetään soveltuvin osin. Kansainvälisiä yhteistyöprojekteja voidaan hyödyntää matematiikan opetuksessa. Yhteistyöstä sovitaan yksityiskohtaisemmin koulukohtaisissa suunnitelmissa vuosittain. Yhteistyöprojektien tavoitteena on myös muiden oppiaineiden integrointi. 1.1 Arviointi Matematiikan opetuksessa arvioinnin tulee kehittää opiskelijan kykyä esittää ratkaisuja, tukea opiskelijaa matemaattisten käsitteiden muodostamisprosessissa ja arvioida kirjallista esitystä sekä opettaa opiskelijalle oman työnsä arvioimista. Osaamisen arvioinnissa kiinnitetään huomio laskutaitoon, menetelmien valintaan ja päätelmien täsmälliseen ja johdonmukaiseen perustelemiseen. Arviointiin vaikuttavat pääsääntöisesti tuntiaktiivisuus, harrastuneisuus ja kurssikoe. Kurssikokeen lisäksi tai asemasta arviointi voi perustua myös muuhun kurssin aikana esitettyyn näyttöön. Kurssin itsenäisestä suorituksesta neuvotellaan erikseen kurssikohtaisesti. 1.2 Oppimäärän vaihtaminen Matematiikan oppimäärää vaihdettaessa pitkästä lyhyeen suositellaan hyväksi lukemisessa seuraavia vastaavuuksia: MAA1 MAB1, MAA3 MAB2, MAA6 MAB5, MAA7 MAB4 ja MAA8 MAB3. Opetussuunnitelmassa voidaan määrätä myös lisänäyttöjä etenkin kurssin arvosanaa uudelleen arvioitaessa.

Luku 2 Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. 2.1 Opetuksen tavoitteet Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii sitä kautta luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin, ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustele-

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4 maan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä, oppii ratkaisujen ja todistusten täsmällisen esitystavan, oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena ja ymmärtämään kokonaisuuksia, kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan, harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä, harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita, osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä, saavuttaa jatko-opinnoissa (erityisesti teknisillä aloilla) tarvittavat valmiudet.

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 5 2.2 Pakolliset kurssit Pakolliset kurssit tulee pääsääntöisesti suorittaa numerojärjestyksessä. 2.2.1 Funktiot ja yhtälöt (MAA1) vahvistaa yhtälön ratkaisemisen ja prosenttilaskennan taitojaan, syventää verrannollisuuden, neliöjuuren ja potenssin käsitteiden ymmärtämistään, tottuu käyttämään neliöjuuren ja potenssin laskusääntöjä, syventää funktiokäsitteen ymmärtämiseen tutkimalla potenssi- ja eksponenttifunktioita, oppii ratkaisemaan potenssiyhtälöitä, oppii laskimen peruskäytön. Potenssifunktio, potenssiyhtälön ratkaiseminen, juuret ja murtopotenssi, eksponenttifunktio Muita mahdollisia sisältöjä Lukujoukot, prosentti, lineaarisen yhtälön ratkaisu, verranto

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 2.2.2 Polynomifunktiot (MAA2) harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita, oppii ratkaisemaan toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkimaan ratkaisujen lukumäärää, oppii ratkaisemaan korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua, oppii ratkaisemaan yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä, oppii soveltamaan käytäntöön polynomiyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. Polynomien tulo ja binomikaavat, polynomifunktio, toisen ja korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, toisen asteen yhtälön juurten lukumäärän tutkiminen, toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin, polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 7 2.2.3 Geometria (MAA3) harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa, harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita, ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa. Kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, sini- ja kosinilause, ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria, kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen Muita mahdollisia sisältöjä Geometrinen todistaminen

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8 2.2.4 Analyyttinen geometria (MAA4) ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille, ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja, syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä f(x) = a tai f(x) = g(x), vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan. Pistejoukon yhtälö, suoran, ympyrän, ja paraabelin yhtälö, itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen, yhtälöpari ja sen sovelluksia, yhtälöryhmän ratkaiseminen, pisteen etäisyys suorasta Muita mahdollisia sisältöjä Kahden muuttujan epäyhtälön ja epäyhtälöryhmän ratkaisu, optimointi

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 9 2.2.5 Vektorit (MAA5) ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin, oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla, tutkii kaksi- ja kolmiulotteisten koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla. Vektorien perusominaisuudet, kantavektorit, vektorien yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla, koordinaatiston vektoreiden, skalaaritulo, vektorien välinen kulma, suorat ja tasot avaruudessa Muita mahdollisia sisältöjä Geometriset ja fysiikan sovelluksia

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 10 2.2.6 Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) oppii havainnollistamaan diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia, arvioimaan tilastoja kriittisesti sekä määrittämään ja tulkitsemaan jakaumien tunnuslukuja, perehtyy kombinatorisiin menetelmiin, harjaantuu käyttämään laskimen tilastollisia ominaisuuksia, ymmärtää tilastojen merkityksen ilmiöiden kuvaamisessa ja sattuman vaikutuksen tapahtumiin, perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon sekä soveltamaan sitä, ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon sekä soveltamaan sitä, perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa. Diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma, jakauman tunnusluvut, klassinen ja tilastollinen todennäköisyys, kombinatoriikka, todennäköisyyksien laskusäännöt, diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma, diskreetin jakauman odotusarvo, normaalijakauma

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 11 2.2.7 Derivaatta (MAA7) osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä, omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta, määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat, osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot, osaa määrittää rationaalifunktion suurimman ja pienimmän arvon sovellusongelmien yhteydessä, oppii soveltamaan derivaattaa käytäntöön. Rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö, funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta, polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen, polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen Muita mahdollisia sisältöjä Rationaalifunktioiden määrittely- ja arvojoukot, suoran kulmakertoimen ja nopeuden yhteys derivaattaan, korkeamman asteen derivaatat

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 12 2.2.8 Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä, tutkii juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla, oppii yhdistetyn funktion derivaatan, tutkii aidosti monotonisen funktion käänteisfunktioita. Juurifunktiot ja -yhtälöt, eksponenttifunktiot ja -yhtälöt, logaritmifunktiot ja - yhtälöt, yhdistetyn funktion derivaatta, käänteisfunktio ja sen derivaatta, juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatta

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 13 2.2.9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) oppii tutkimaan trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla, oppii ratkaisemaan sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sinf(x) = a tai sinf(x) = sing(x), osaa trigonometristen funktioiden yhteydet sin 2 x+cos 2 x = 1 ja tanx = sinx cosx, tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla, ymmärtää lukujonon käsitteen, oppii määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla, osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla. Suunnattu kulma ja radiaani, trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen, trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, trigonometristen funktioiden derivaatat, lukujono, rekursiivinen lukujono, aritmeettinen jono ja summa, geometrinen jono, summa Muita mahdollisia sisältöjä Yksinkertaisia trigonometrisia laskukaavoja, matemaattinen induktio

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 14 2.2.10 Integraalilaskenta (MAA10) ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita, ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan, oppii määrittämään pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla, perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin. Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integraalifunktiot, määrätty integraali, pintaalan ja tilavuuden laskeminen Muita mahdollisia sisältöjä Tiheysfunktio ja kertymäfunktio

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 15 2.3 Valtakunnalliset syventävät kurssit 2.3.1 Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Edellyttää kurssien MAA1 ja MAA2 sisältöjen hallintaa. oppii formalisoimaan väitelauseita ja tutkimaan niiden totuusarvoja totuustaulujen avulla, ymmärtää avoimen lauseen käsitteen ja oppii käyttämään kvanttoreita, oppii todistusperiaatteita ja harjoittelee todistamista, oppii lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin, osaa, tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin avulla osaa määrittää kokonaislukujen suurimman yhteisen tekijän Eukleideen algoritmilla. Lauseen formalisoiminen, lauseen totuusarvot, avoin lause, kvanttorit, suora, käänteinen ja ristiriitatodistus, kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö, Eukleideen algoritmi, alkuluvut, aritmetiikan peruslause, kokonaislukujen kongruenssi

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 16 Muita mahdollisia sisältöjä Lukujärjestelmät

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 17 2.3.2 Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä (MAA12) Edellyttää kurssin MAA7 sisältöjen hallintaa. oppii ymmärtämään absoluuttisen ja suhteellisen virheen käsitteet ja niiden avulla likiarvolaskujen tarkkuutta koskevat säännöt peruslaskutoimitusten tapauksessa, ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan yhtälöitä numeerisesti, oppii tutkimaan polynomien jaollisuutta ja määrittämään polynomin tekijät, oppii algoritmista ajattelua, harjaantuu käyttämään nykyaikaisia matemaattisia välineitä, oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa. Absoluuttinen ja suhteellinen virhe, Newtonin menetelmä ja iterointi, polynomien jakoalgoritmi, polynomien jakoyhtälö, muutosnopeus ja pinta-ala

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18 2.3.3 Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13) Edellyttää kaikkien pakollisten kurssien sisältöjen hallintaa. syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan, täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien todennä-köisyysjakaumien tutkimiseen, tutkii lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia. Funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen, jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia, funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä, epäoleelliset integraalit Muita mahdollisia sisältöjä Murtofunktioiden asymptootit, kuvaajia, yksinkertaisia differentiaaliyhtälöitä

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 19 2.4 Koulukohtaiset syventävät kurssit 2.4.1 Kohti ylioppilaskirjoituksia 1 (MAA14) kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien tarjoamista matemaattisista menetelmistä, saavuttaa menetelmällisen varmuuden erityyppisten ongelmien ratkaisemiseksi. Pakollisten kurssien ydinkohtien kertaus, vanhojen ylioppilastehtävien ratkaiseminen

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 20 2.4.2 Talousmatematiikka (MAA16) Kurssi on sama kuin MAB7. oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttikäsitteen syventäminen

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 21 2.4.3 Kompleksiluvut ja differentiaaliyhtälöt (MAA21) omaksuu kompleksilukujen algebralliset ominaisuudet, oppii käsittelemään kompleksilukulausekkeita, osaa ratkaista erityyppisiä yhtälöitä kompleksitasossa, oppii ratkaisemaan separoituvia ja 1. kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, osaa ratkaista differentiaaliyhtälöihin johtavia käytännön ongelmia, perehtyy vektorituloon ja skalaarikolmituloon, oppii käyttämään vektori- ja skalaarikolmituloa mm. pinta-alojen ja tilavuuksien määrityksissä. Kompleksiluvut tason pisteinä ja vektoreina, kompleksilukujen laskutoimitukset, liittoluku, yhtälöiden ratkaiseminen kompleksitasossa, separoituvat differentiaaliyhtälöt, 1. kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt, vektoritulo, skalaarikolmitulo

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 22 2.4.4 Avaruusgeometria (MAA22) oppii määrittämään avaruuskulmia, tuntee tavanmukaiset kappaleet ja osaa määrittää niiden osien pituuksia, pinta-aloja ja tilavuuksia, perehtyy katkaistuun kartioon, pallosektoriin, pallosegmenttiin, kalottiin, vyöhykkeeseen ja Platonin monitahokkaisiin ja hallitsee niiden osien pituuksien, alojen ja tilavuuksien määrityksen, oppii ratkaisemaan avaruusgeometrisia ääriarvo-ongelmia. Kulma avaruudessa, katkaistu kartio, pallosektori ja -segmentti, kalotti ja vyöhyke, Platonin monitahokkaat, ääriarvotehtäviä avaruudessa

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 23 2.4.5 Lineaarialgebra (MAA23) tuntee matriisin käytön numeerisen aineiston esitysmuotona, oppii matriisien peruslaskutoimitukset, hallitsee käänteismatriisin määrityksen, oppii ratkaisemaan yhtälöryhmiä Gaussin ja Gaussin-Jordanin menetelmillä, perehtyy vektoriavaruuden ja aliavaruuden käsitteisiin. Matriisien peruslaskutoimitukset, käänteismatriisi, Gaussin eliminointimenetelmä, Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä, vektoriavaruus ja aliavaruus

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 24 2.4.6 Topologia (MAA24) Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille. tutustuu reaalilukujen ja tason topologisiin perussuureisiin, omaksuu avoimen ja suljetun joukon sekä ympäristön käsitteet, oppii määrittämään reaaliluku- ja tason joukkojen sisä-, ulko- ja reunapisteitä sekä sulkeumia, sisäistää topologisen avaruuden yleistyksen, oppii topologisten perussuureiden määritelmät yleisissä topologisissa avaruuksissa. Topologinen avaruus, avoimet ja suljetut joukot, ympäristö, sisä-, ulko- ja reunapiste, sulkeuma, reaalilukujen topologiaa, tason topologiaa

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 25 2.4.7 Algebra (MAA25) Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille syventää funktio-käsitteen tuntemustaan algebrallisesta näkökulmasta relaatiokäsitteestä lähtien oppii tunnistamaan erityyppisiä funktioita (surjektio, injektio, bijektio) oppii vertaamaan äärettömien joukkojen kokoja omaksuu ryhmän ja renkaan käsitteet Relaatio, ekvivalenssirelaatio, funktio, surjektio, injektio, bijektio, mahtavuus, ryhmä, rengas

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26 2.5 Soveltavat kurssit 2.5.1 Laskuharjoituskurssi 1 (MAA18) Pituus on puoli kurssia (kymmenen 75 minuutin oppituntia), toteutus kuukauden intensiivikurssina 1. jakson puolivälistä eteenpäin. Arvostellaan suoritusmerkinnällä. Kurssi on tarkoitettu lähinnä niille, joiden peruskoulun matematiikan arvosana on korkeintaan kahdeksan. kertaa keskeisiä peruskoulun matematiikan sisältöjä, saa paremmat valmiudet aloittaa lukion pitkän matematiikan opiskelu. Murtoluvut, potenssilaskenta, polynomit, muistikaavat, 1. asteen yhtälöt, prosenttilaskentaa

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 27 2.5.2 Laskuharjoituskurssi 2 (MAA19) Kurssista annetaan suoritusmerkintä saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan harjaantuu käyttämään ja soveltamaan meneillään olevalla kurssilla esitettyjä matemaattisia menetelmiä Kursseihin Todennäköisyys ja tilastot, Derivaatta, Juuri- ja logaritmifunktiot, Trigonometriset funktiot ja lukujonot ja Integraalilaskenta liittyvien tehtävien ratkaiseminen

LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 28 2.5.3 Laskuharjoituskurssi 3 (MAA20) Kurssista annetaan suoritusmerkintä kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan, perehtyy ylioppilastehtäviin, oppii käyttämään joustavasti erilaisia menetelmiä ongelmien ratkaisussa, kertaa ja saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien sisältämistä menetelmistä. aikaisempien vuosien ylioppilastehtävien ratkaiseminen

Luku 3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa ja jatko-opinnoissa. 3.1 Opetuksen tavoitteet Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan apuvälineenä, saa myönteisiä oppimiskokemuksia matematiikan parissa työskennellessään ja oppii luottamaan omiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, rohkaistuu kokeilevaan, tutkivaan ja keksivään oppimiseen, oppii yhteistyöhön muiden opiskelijoiden kanssa sekä itsenäiseen työskentelyyn, hankkii sellaisia matemaattisia tietoja, taitoja ja valmiuksia, jotka antavat riittävän pohjan jatko-opinnoille,

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 30 oppii laskemisen perusrutiineja, sisäistää matematiikan merkityksen välineenä, jolla ilmiöitä voidaan kuvata, selittää ja mallintaa ja jota voidaan käyttää johtopäätösten tekemisessä, saa käsityksen matemaattisen tiedon luonteesta ja sen loogisesta rakenteesta, harjaantuu vastaanottamaan ja analysoimaan viestimien matemaattisessa muodossa tarjoamaa informaatioita ja arvioimaan sen luotettavuutta, oppii laskimen peruskäytön, tutustuu matematiikan merkitykseen kulttuurin kehityksessä, osaa hahmottaa tehtävän annosta ratkaisun kannalta olennaiset seikat, oppii käyttämään kuvioita, kaavioita ja malleja ajattelun apuna, sekä esittämään tehtävän ratkaisun.

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 31 3.2 Pakolliset kurssit 3.2.1 Lausekkeet ja yhtälöt (MAB1) harjaantuu käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkaisemisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, ymmärtää lineaarisen riippuvuuden, verrannollisuuden ja toisen asteen polynomifunktion käsitteet, vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen taitojaan ja oppii ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Suureiden välinen lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuus, ongelmien muotoileminen yhtälöiksi, yhtälöiden graafinen ja algebrallinen ratkaiseminen, ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen, toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttilaskentaa, polynomien peruslaskutoimitukset, murtoluvut, potenssit

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 32 3.2.2 Geometria (MAB2) harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista ominaisuuksista, vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan, osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen. Kuvioiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, suorakulmaisen kolmion trigonometria, Pythagoraan lause, kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen, menetelmien käyttö geometrian koordinaatistossa Muita mahdollisia sisältöjä Yksikkömuunnoksia, taitojen soveltaminen käytännön ongelmissa

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 33 3.2.3 Matemaattisia malleja I (MAB3) näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa niitä matemaattisilla malleilla, tottuu arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta. Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen sekä mallien kuvaajat, potenssiyhtälön ratkaiseminen, eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla Muita mahdollisia sisältöjä Suoran kulmakerroin ja yhtälö, epäyhtälö, yhtälöpari

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 34 3.2.4 Matemaattinen analyysi (MAB4) tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin, ymmärtää derivaatan käsitteen muutosnopeuden mittana, osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla, oppii sovellusten yhteydessä määrittämään polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon. Polynomifunktion derivaatta, polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen, paraabeli, polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen, graafisia ja numeerisia menetelmiä Muita mahdollisia sisältöjä Tangentin kulmakerroin, kuvaajien tulkintaa, soveltavia tehtäviä

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 35 3.2.5 Tilastot ja todennäköisyys (MAB5) harjaantuu käsittelemään ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja, tutustuu laskinten ja tietokoneiden käyttöön tilastotehtävissä, perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Jatkuvien ja diskreettien tilastollisten jakaumien tunnuslukujen määrittäminen, diagrammit, normaalijakauma ja jakauman normittaminen, kombinatoriikkaa, todennäköisyyden käsite, todennäköisyyden laskulakien ja niitä havainnollistavien mallien käyttöä Muita mahdollisia sisältöjä Tilastollisen aineiston kokoaminen, käsitteleminen ja tulkitseminen, binomitodennäköisyys, laskimen käyttö

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 36 3.2.6 Matemaattisia malleja II (MAB6) varmentaa ja täydentää yhtälöiden ratkaisutaitojaan, osaa ratkaista käytännön tilanteisiin liittyviä lineaarisia optimointitehtäviä, ymmärtää lukujonon käsitteen, ratkaisee käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja summan avulla. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt, lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen, kahden muuttujan epäyhtälön graafinen ratkaiseminen, lineaarinen optimointi, lukujono, aritmeettinen ja geometrinen jono ja summa Muita mahdollisia sisältöjä Yhtälöryhmät, soveltavat tehtävät

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 37 3.3 Valtakunnalliset syventävät kurssit 3.3.1 Talousmatematiikka (MAB7) oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttikäsitteen syventäminen

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 38 3.3.2 Matemaattisia malleja III (MAB8) laajentaa käsitystään teknologisoituvassa yhteiskunnassa tarvittavasta matematiikasta, saa apuneuvoja jaksollisten ilmiöiden matemaattiseen käsittelyyn. Trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla, radiaani, tyyppiä sinf(x) = a olevien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, muotoa f(x) = Asin(bx) olevien funktioiden kuvaajat jaksollisten ilmiöiden mallintajina, vektorin käsite ja vektoreiden peruslaskutoimitusten periaatteet, koordinaatiston vektoreiden komponenttiesitys ja skalaaritulo, kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteiden ja kulmien tutkiminen vektoreiden avulla Muita mahdollisia sisältöjä Sini- ja kosinilause

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 39 3.4 Koulukohtaiset syventävät kurssit 3.4.1 Kertauskurssi (MAB9) kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, saa kokonaiskuvan kusseista ja matemaattisista menetelmistä, harjaantuu yo-kirjoituksiin. Prosenttilaskenta, yhtälöt ja epäyhtälöt, taso- ja avaruusgeometria, lineaarinen ja eksponentiaalinen malli, derivaatta ja sen sovellukset, lukujonot ja niiden sovellukset, tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan menetelmät

LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 40 3.4.2 Laskuharjoituskurssi (MAB10) Kurssista annetaan suoritusmerkintä saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitojaan. Kurssien ydinkohdat