Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit

Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20 m/s. a) Mikä on nettovoiman impulssi törmäyksen aikana? b) Jos pallo on törmäyksessä kosketuksissa seinään 0.010 s ajan, niin mikä on keskimääräinen horisontaalinen voima, jonka seinä kohdistaa palloon?

a) Valitulla x-akselilla pallon liikemäärän x-komponentit alussa ja lopussa ovat p 1x = mv 1x = 0.40 kg ( 30 m/s) = 12 kg m/s p 2x = mv 2x = 0.40 kg 20 m/s = 8.0 kg m/s. Impulssin x-komponentti puolestaan on sama kuin liikemäärän x-komponentin muutos: J x = p 2x p 1x = 8.0 kg m/s ( 12 kg m/s) = 20 kg m/s = 20 Ns. b) Keskimääräinen x-suuntainen voima: (F av ) x = J x t = 20 Ns 0.010 s = 2000 N. Huom: koska nopeuden muutos tapahtuu varsin lyhyen ajan kuluessa, keskimääräinen voima on suuri. Esimerkiksi palloon kohdistuva gravitaatiovoima on suuruudeltaan ainoastaan w = mg = 0.40 kg 9.80 m/s 2 = 3.9 N!

Esimerkki 8.2 Ampuja pitää kivääriä, jonka massa on 3.00 kg löysästi kädessään ja ampuu luodin, jonka massa on 5.00 g nopeudella 300 m/s. a) Mikä on kiväärin rekyylinopeus? b) Mikä on luodin ja kiväärin liikemäärä ja kineettinen energia? Kyseessä 1) vaakasuuntainen liike ja 2) ulkoiset voimat Σ Fext = 0 systeemin kokonaisliikemäärä säilyy.

a) Alkutilanne: kivääri ja luoti ovat levossa, m k = 3.00 kg, m l = 5.00 10 3 kg v k1 = v l 1 = 0, v k2 =?, v l 2 = 300 m/s. P 1 = m k v k1 + m l v l 1 = 0. Lopputilanne: P 2 = m k v k2 + m l v l 2 Liikemäärä säilyy: P 1 = P 2 0 = m k v k2 + m l v l 2 v k2 = m l v l 2 = m k 5.00 kg 3.00 kg 300 m/s v k2 = 0.500 m/s, eli kivääri potkaisee taaksepäin. Jos kivääri olisi kiinni ampujan olkapäässä, olisi mukana laskussa myös ampujan massa, jolloin em. nopeus olisi paljon pienempi.

b) P l = m l v l 2 = 5.00 10 3 kg 300 m/s = 1.50 kg m/s P k = m l v k2 = 3.00 kg ( 0.500 m/s) = 1.50 kg m/s Siis samansuuruiset, mutta vastakkaiset! K l = 1 2 m l v 2 l 2 = 1 2 5.00 10 3 kg (300 m/s) 2 = 225 J K k = 1 2 m kv 2 k2 = 1 2 3.00 kg ( 0.500 m/s)2 = 0.375 J Luoti saa suurimman osan kineettisestä energiasta!

Esimerkki 8.3 Suosikkilelullamme horisontaalisella kitkattomalla ilmaradalla on nyt kaksi kelkkaa, m A = 0.50 kg, m B = 0.30 kg. Alkunopeudet ovat vastakkaisiin suuntiina v A1x = 2.0 m/s, v B21x = 2.0 m/s. Oletetaan aluksi, että kelkkojen välinen törmäys on täysin kimmoton, ja ne takertuvat toisiinsa ja jatkavat yhteisellä nopeudella v 2x. Mikä on tämä nopeus ja miten käy kineettisen energian?

Koska liikemäärä säilyy, saamme m a v A1x + m B v B1x = (m A + m B )v 2x = = 0.50 m/s. v 2x = m av A1x + m B v B1x m A + m B 0.50 kg 2.0 m/s + 0.30 kg ( 2.0 m/s) 0.50 kg + 0.30 kg

Koska v 2x on positiivinen, tapahtuu liike oikealle, positiivisen x-akselin suuntaan. Lasketaan nyt kineettiset energiat: K A1 = 1 2 m Av 2 A1x = 1 2 0.50 kg (2.0 m/s)2 = 1.0 J K B1 = 1 2 m Bv 2 B1x = 1 2 0.30 kg ( 2.0 m/s)2 = 0.60 J K A+B = 1 2 (m A + m B )v 2 2x = 1 2 (0.50 kg + 0.30 kg) (0.50 m/s)2 = 0.10 J Toisin sanoen suurin osa systeemin kineettisestä energiasta hävisi törmäyksessä!

Esimerkki 8.4 Palaamme kitkattomalla ilmaradalle, kuten esimerkissä 8.3, m A = 0.50 kg, m B = 0.30 kg. Alkunopeudet ovat vastakkaisiin suuntiin v A1x = 2.0 m/s, v B21x = 2.0 m/s. Oletetaan nyt, että kelkkojen välinen törmäys on täysin kimmoisa. Mitkä ovat kelkkojen nopeudet ja miten käy kineettisen energian?

Liikemäärän säilymislaista m a v A1x + m B v B1x = m A v A2x + m B v B2x 0.50 kg 2.0 m/s + 0.30 kg ( 2.0 m/s) = 0.50 kgv A2x + 0.30 kgv B2x 0.50v A2x + 0.30v B2x = 0.40 m/s, missä aiemman yhtälön molemmat puolet on jaettu kiloilla. Koska kyseessä on yksiulotteinen kimmoisa törmäys, me tiedämme että v B2x v A2x = (v B1x v A1x ) = ( 2.0 m/s 2.0 m/s) = 4.0 m/s. Törmäyksen jälkeisille nopeuksille saadaan siis yhtälöpari, jolle saadaan ratkaisuksi v A2x = 1.0 m/s, v B2x = 3.0 m/s.

Aiemmin kimmottoman törmäyksen tapauksessa laskettiin törmäystä edeltäville kineettisille energioille K A1 = 1.0 J ja K B1 = 0.60 J K A1 + K B1 = 1.6 J. Lasketaan nyt törmäyksen jälkeinen kineettinen energia tässä tapauksessa: K A2 +K B2 = 1 2 0.50 kg ( 1.0 m/s)2 + 1 2 0.30kg (3.0 m/s)2 = 1.6 J. Toisin sanoen kun kelkat törmäävät täysin kimmoisasti, systeemin kineettinen energia säilyy.

Esimerkki 8.5 Uraanin isotooppi U 235 :n ssioreaktio voi tapahtua kun ytimeen törmää hitaasti etenevä neutroni. Fissio itsessään taas tuottaa hyvin suurella nopeudella eteneviä neutroneita. Ennen kuin tällaiset neutronit voivat aiheuttaa lisää ssioreaktioita, täytyy ne hidastaa ns. moderaattorilla. Ensimmäisessä ydinreaktorissa moderaattorina toimi hiili (graitti). Oletetaan, että neutronin (massa 1u = 1.66 10 27 kg) nopeus on 2.6 10 7 m/s ja se törmää suoraan levossa olevaan hiiliytimeen (massa 12u). Mitkä ovat neutronin ja hiiliytimen nopeudet törmäyksen jälkeen?

Kyseessä on elastinen törmäys, joten neutronin ja hiiliytimen yhteinen kineettinen energia säilyvät. Valitsemalla positiivinen x-akseli suoraan törmäävän neutronin nopeuden suuntaisesti ja laskemalla tutuista kaavoista saisimme nopeuksiksi v n2x = 2.2 10 7 m/s ja v C2x = 0.4 10 7 m/s. Neutronin kineettinen energia törmäyksen jälkeen on n. 72% alkuperäisestä. Toisen suoran törmäyksen jälkeen neutronin kineettinen energia olisi (0.72) 2 -kertainen alkuperäiseen ja niin edelleen. Käytännössä tarvitaan useita kymmeniä törmäyksia, joista osa on suoria.

Esimerkki 8.6 Kitkattomalla jäällä olevat kaksi kiekkoa A ja B, m A = 0.500 kg, m B = 0.300 kg, törmäävät täysin kimmoisasti toisiinsa siten, että A:n alkunopeus v A1 = 4.00 m/s positiivisen x-akselin suuntaan ja B on aluksi paikallaan. Törmäyksen jälkeen kiekko A liikkuu nopeudella v A2 = 2.00 m/s tuntemattomaan suuntaan. Määritä kiekon B nopeus sekä kulmat α ja β suhteessa x-akseliin.

Nyt siis alkunopeudet v A1 = 4.00 m/s, v B1 = 0, loppunopeudet v A1 = 2.00 m/s, v B1 =?. Koska kyseessä on täysin kimmoinen törmäys, kineettinen energia säilyy: 1 2 m Av 2 A1 = 1 2 m Av 2 A2 + 1 2 m Bv 2 B2 v 2 B2 = m Av 2 A1 m Av 2 A2 m B = 0.500 kg 4.00 m/s2 0.500 kg 2.00 m/s 2 v B2 = 4.47 m/s. 0.300 kg

Systeemin liikemäärä säilyy niin x-akselin: m A v A1x = m A v A2x + m B v B2x = m A v A1 = m A v A2 cos α + m B v B2 cos β (1) kuin myös y-akselin suunnassa: 0 = m A v A2y + m B v B2y = m A v A2 sin α + m B v B2 sin β (2) Ratkaistaan yhtälöstä (1) cos β ja yhtälöstä (2) sin β:

cos β = m Av A1 m B v B2 m Av A2 m B v B2 cos α = a b cos α (missä a ja b ovat lyhennysmerkintöjä) ja Toisaalta cos 2 β + sin 2 β = 1 sin β = m Av A2 m B v B2 sin α = b sin α. (a b cos α) 2 + b 2 sin 2 α = 1 a 2 2ab cos α + b 2 (cos 2 α + sin 2 α) = 1 a 2 2ab cos α + b 2 = 1 cos α = a2 + b 2 1 2ab α = 36.9, β = 26.6.

Esimerkki 8.7 Kaukana avaruudessa leijuvan, levosta lähtevän raketin palokaasujen nopeus raketin suhteen on v ex = 2400 m/s ja lennon kuluessa polttoainetta käytetään siten, että raketin massa lennon lopussa on neljännes alkumassasta m 0. Mikä on raketin nopeus lennon lopussa? Raketin kiihtyvyyden lauseke: a = dv dt = v ex dm m dt Toisin sanoen dv = v ex dm m

Tehdään nyt muuttujien vaihto v :uun ja m :uun, ja käytetään v :tä ja m:ää loppunopeutena ja -massana: v v 0 dv = v ex m m 0 dm m Nyt v 0 = 0 ja m 0 /m = 4: v v 0 = v ex ln m m 0 = v ex ln m 0 m v = 0 + 2400 m/s ln 4 = 3327 m/s. Toisin sanoen raketin loppunopeus inertiaalikoordinaatistossa on suurempi kuin palokaasujen nopeus raketin suhteen!