Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina iedoseu, eä henkilö, jolla on kyky ennakoida ulevia apahumia edes vähän paremmin kuin muu on huomaavassa eulyöniasiassa. Vaikka ämä aio anaakin huomaavan edun, ei liene kukaan haluaisi omaavansa sellaisa kykyä, eä pysyisi äysin ennakoimaan ulevaisuuden. Elämä kävisi ällaisessa ilaneessa kaikei mahdoomaksi. Niinpä voidaankin myöneisessä hengessä odea, eä unemaon ulevaisuus ei suinkaan ole kirous vaan miä suurimmassa määrin elineho. Olkoonkin näin, mua ihminen on pyrkiny arvioimaan kiihkeäsi unemaona ulevaisuua keinolla millä hyvänsä. Tiedonläheiksi ova kelvannee eläinen sisäelime, kahvinporo, ähde, sammako ja lukemaoma muu eliö. Kirjallisena ennuseläheenä yksi unneuimpia lienee Raamau, jonka peruseella on ehy varsin arkkojakin arvioia niin menneisyydesä kuin ulevaisuudesa. Muun muassa arkkipiispa Usher 600-luvulla pääyi Raamaun peruseella arvioon, eä maapallo on synyny 4004 vuoa ennen ajanlaskumme alkua sunnunaina 23. lokakuua aamulla klo 9.00. Jos ämä arvio on ennäyksellisen arkka, niin se lienee nykyieämyksen peruseella ennusevirheelään myös ennäyksellisen suuri. Seuraavassa kuienkin arkasellaan ieeellisä lähesymisapaa ennuseiden uoamiseksi ja arkkuuden arvioimiseksi. Ennusamisa apahuu monessa yheydessä. Esimerkiksi voidaan yriää ennusaa auon jarruusmakan piuua nopeuden ja muiden ekijöiden peruseella. Taloudessa kuienkin ennusaminen kykeään yleensä aikaan, jolloin arkaselavana on aikasarja, joka koosuu muuujan arvoisa peräkkäisinä ajanhekinä. 2. Taloudessa käyeyjä yksinkeraisia ennusemalleja Ennuseiden lähökohana on ennuseen ekohekellä käyeävissä oleva ieo. Niinpä voidaankin yksinkeraisesi määriellä, eä ennuse on ämänhekiseen ieoon perusuva odous ulevaisuuden apahumasa (esimerkiksi yriyksen liikevaihdosa ai koko alouden uoannosa). Merkisemällä käyeävissä olevaa informaaioa hekellä kirjaimella I ja arkaselavaa muuujan arvoa hekellä kirjaimella y, voidaan ennuse seuraavalle ajanjaksolle + kirjoiaa maemaaisesi muooon () E y I ), y = + ( + jossa hau y:n päällä arkoiaa, eä kysymyksessä on muuujan ennuseu arvo ja E arkoiaa ässä apauksessa odousarvoa, ehdolla, eä käyeävissä on informaaio I. Ennen kuin mallia () voidaan sovelaa käyännössä on määrieävä odousarvolle operaionaalinen muoo. Se onkin ennusemallin rakenamisen vaaivimpia ehäviä.
Puhdas saunnaisprosessi Ennen kuin siirryään arkaselemaan joiakin käyeyimpiä rakaisuja, johdaellaan kaavan () peruseella ärkeä käsie ennusamaomuus. Oleaen, eä unneaan muuujan odousarvo m = E( y ), niin ennusamaomuudella arkoieaan yksinkeraisesi siä, eä ennuseaessa y:n arvoa ei käyeävissä olevasa informaaiosa ole miään hyöyä. Toisin sanoen se ei muua odousa y:n ulevisa arvoisa. Tällöin y:n ehdollinen odousarvo E ( y + I ) on sama kuin sen ei-ehdollinen odousarvo E ( y + ), eli yˆ + = E( y+ I ) = E( y+ ) = m. Tällä käsieellä on keskeinen sija ennusemallia rakenneaessa ja mallin käyökelpoisuua arvioiaessa. Nimiäin, koska () on opimaalinen ennuse käyeävissä olevan informaaion suheen, niin ennusevirheen, eli ennuseen ja oeuuneen arvon erouksen ulisi olla ennusamaona. Käyännössä ää ei-ennuseavuua ukiaan arkaselemalla peräkkäisen havainojen riippuvuua oisisaan. Miana käyeään korrelaaiokerroina. Oheisessa Kuviossa on esimerkki ällaisesa ei-ennuseavasa aikasarjasa, joa kirjallisuudessa kusuaan puhaaksi saunnaisprosessiksi, valkoiseksi kohinaksi (nimi ulee opiikasa) ai virheprosessiksi. Merkiään siä kirjaimella e. Luoneenomaisa ällaiselle sarjalle on erävä suunnanmuuokse, joissa ei ole järjeselmällisä oisuvuua. 3 Valkoinen kohina w - 4 7 0 3 6 9 22 25 28 3 34 37 40 43 46 49-3 Kuvio. Valkoinen kohina Moving Average Jos palaaan malliin (), niin havaiavalle aikasarjalle voidaan kirjoiaa ny esiys (2) y = E ( y I ) + e. Täen, jos y ei ole ennuseavissa, niin y = m + e, eli havaiava sarja vaihelee saunnaisesi keskiarvonsa ympärillä. Käyännössä kuienkin havaiava aikasarja ova yleensä huomaavasi asaisemmin käyäyyviä. Eräs käyökelpoinen malli on (3) y = m + ae + e
joa sanoaan liukuvan keskiarvon malliksi eli MA (Moving Average) malliksi. Tässä siis aikasarjalla on yhden askeleen muisi sien, eä osa eilen apahuneesa muuoksesa vaikuaa seuraavaan päivään. Tämä asoiaa sarjaa sien, eä keroimen ollessa posiiivinen edellisen ajanheken muuos vaimenaa uua muuosa, jos ne ova erimerkkisiä ja vahvisaa, jos ne ova samanmerkkisiä. Kuvieellisena esimerkkinä voisi olla osakkeen hinnan muuos, jossa edellisenä päivänä apahunu muuos saa osaja ja myyjä liikkeelle, mua kaupankäynnin hiauden vuoksi kaikkia kauppoja ei ehdiä oeuaa samana päivänä vaan osa jää seuraavalle päivälle. Kerroin a ilmaisee kuinka suurella voimakkuudella edellisen päivän muuos heijasuu seuraavaan päivään. Mallissa () ny E ( y I = m + ae, eli + ) paras ennuse seuraavalle päivälle on m + ae ja näin käyökelpoisen informaaion muodosaa edellisen ajankohdan havaiu saunnaispoikkeama, joka ieyllä keroimella vaikuaa seuraavaan havainoon. 3 y =0.6 e - + e 2 0 - -2-3 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 Kuvio 2. MA()-prosessi Malli (3) on helposi yleiseävissä lisäämällä aiempia ermejä jakoksi oikealle puolelle. Auoregressiivinen malli Toinen paljon käyey malli on niin sanou auoregressiivinen (AR) malli, joka yksinkeraisimmillaan on muooa (4) y = c + by + e, jossa c on yheydessä sarjan keskiarvoon kaavan m = c /( b) kaua ( < b < ). Ennuse saa ny muodon E ( y+ I ) = c + by, eli informaaion muodosaa edellisen ajankohdan havaino, joka ieyllä keroimella vaikuaa seuraavaan. Tämä malli voidaan myös helposi yleisää lisäämällä hisoriaermejä oikealle puolelle. Tarkaselaessa edelleen kuvieellisena esimerkkinä pörssikursseja. Ajaellaan ilanne, jossa kurssien nousessa markkinoille ilmaanuu lisää myyjiä, jolloin arjonnan
lisäänyessä kurssi alkava laskea. Tällöin kerroin b olisi negaiivinen. Jos aas ajaellaan, eä nouseva kurssi heräävä osoinnosusa markkinoilla olisi kerroin posiiivinen. Kuviossa 3 on esimerkki AR-mallisa. Tyypillisä ällaiselle sarjalle on posiiivisen keroimen apauksessa, eä suuria arvoja seuraa suure arvo ja pieniä piene. Jos kerroin on negaiivinen käyäyyy sarja sahaavasi, eli suuria arvoja seuraa piene arvo ja päinvasoin. 5 4 3 2 0 - -2-3 y =0.8 y r - +e 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 Kuvio 3. Auoregressiivinen prosessi Mallien (3) ja (4) yhdiselmänä saadaan niin sanou auoregressiivinen liukuvan keskiarvon malli ARMA (Auo Regressive Moving Average). (5) y = d + by + ae + e, joka on käyännössä osoiauunu usein hyvinkin käyökelpoiseksi. Rinnasamalla edellisiin pörssiesimerkkeihin yhdisyy ässä kahdenlainen käyäyyminen. Ennusamisessa käyökelpoinen informaaio koosuu edellisesä virheermisä ja edellisesä sarjan arvosa, joka vaikuava seuraavaan havainoon. Saunnaiskulu Eräs ärkeä erikoisapaus Auoregressiivisesä mallisa (4) saadaan, kun b=, jolloin malli ulee muooon y d y + e = + Tällaisa mallia sanoaan saunnaiskuluksi (Random Walk). Auoregressiivisessä mallissa aikaisempien havainojen vaikuus pikkuhiljaa häviää. Saunaiskulussa sen sijaan jokainen aikaisemman havainnon vaikuus ei häviä koskaan. Tällä yksinkeraisella mallilla on keskeinen sija esimerkiksi pörssikurssien mallinamisen eoriassa. Kuvioissa 4 on esimerkki saunnaiskulusa ja kuviossa 5 HEX yleisindeksin kuvaaja. Kuvio ova luoneelaan oisensa kalaisia.
Saunnaiskulku 70 60 50 Y 40 30 20 Aika Kuvio 4. Saunnaiskulku HEX yleisindeksi 4000 3000 Indeksi 2000 000 0 90 9 92 93 94 95 96 Aika Kuvio 5. HEX yleisindeksi Tyypillisä ällaiselle sarjalle on, eä paras ennuse seuraavalle päivälle on viimeksi havaiu arvo. Yksinkerainen kasvumalli Useissa apauksissa riiävä arvio ulevaisuudesa saadaan kun unneaan kasvuvauhi. Esimerkiksi alouden, jonkin oimialan ai yriyksen kehiyksen luonnehdinnassa usein riiää kun unneaan sen vuouinen kasvuvauhi. Tällöin, jos vaikkapa yriyksen liikevaihdon vuouisa kasvua (vuouinen suheellinen muuos) kuvaaan paramerilla
g, niin jakuva-aikaisa mallia käyeäessä ja hyödynämällä jälleen suheellisen yksinkeraisa maemaiikkaa saadaan kasvumalliksi ajan suheen (6) g Y = Y0e, jossa Y 0 on yriyksen liikevaiho arkaseluajanjakson alussa (=0) ja e on koulumaemaiikasa uu Neperin luku (2.78 ). Kasvumallin peruseella on helppoa arvioida esimerkiksi kuinka monessa vuodessa liikevaiho kaksinkeraisuu. Mallisa (6) saaavaa vasausa sanoaan joskus 70 säännöksi, sillä yksinkeraisella laskuoimiuksella saadaan, eä kaksinkeraisumisaika on 0.693/g, eli likimain 0.70/g. Kasvumalli ja Suomen alouden kasvun ennusaminen Tarkasellaan esimerkkinä Suomen reaalisa bruokansanuoea vuoden 990 hinnoin ajanjaksola 972 997. Merkiään Y:llä bk:a, muueaan yhälö (6) logarimiseen muooon ja lisäään virheermi, jolloin saadaan ilasollinen malli (7) y = y 0 + g + v, jossa y = ln(y) ja v on virheermi. Tällainen malli saadaan helposi esimoiua havainoaineisosa. Tarkasellaan kuienkin paramerien y0 ja g esimaaien sijaan ensin kuinka virheermi v käyäyyy. Senhän piäisi olla valkoisa kohinaa, eli kuvion () kalaisa. Kuienkin kuviosa 6 nähdään väliömäsi, eä näin ei asia varmasikaan ole. Enemmän se muisuaa kuvion 3 ilannea. 0.2 Virheermin aikasarja Virheermi 0. 0.0 970 975 980 985 990 995 2000-0. -0.2 Aika Kuvio 6. Talouden kasvumallin virheermin aikasarja. Niinpä osoiauuu, eä mallia voidaan oleellisesi paranaa, kun mallinneaan virheermi seuraavan auoregressiivisen prosessin mukaisesi (8) v a v + a2v + e = 2
Esimoiniulokse on esiey aulukossa 2. Taulukko 2. Kasvumallin (7) paramerien esimaai. Parameri Esimaai Keskivirhe -arvo p-arvo y 0 2.6 0.030 424. 0.000 g 0.025 0.002 2.0 0.000 a -.42 0.52-9.3 0.000 a 2 0.707 0.5 4.7 0.000 Keroimen g esimaain arvo 0.025 arkoiaa, eä Suomen aloudellinen kasvu on arkaseluajanjakson peruseella arvioiuna pikällä aikavälillä 2.5 prosenia. Koska ilasoaineisoon perusuvaan arvioiniin liiyy aina saunnaisvirheä, on syyä liiää arvioon myös virhemarginaali, jolla äsmällisemmin ilmaisuna arkoieaan luoamusvälejä. Apuna käyeään keskivirheä. Kasvuesimaain virhearvio ässä apauksessa on 0.4 proseniyksikköä. Taulukon - ja p-arvo ilmaiseva keroimien niin sanou ilasollise merkisevyyde, joihin ässä ei sen enempää kuienkaan puuua. Esimoidun mallin peruseella voidaan ny myös laaia ennuseia. Keskimääräinen kasvuennuse on 2.5 prosenia, mua ennuseeseen vaikuaa myös kahden edellisen vuoden virheermi. Hyödynämällä jäännösermin AR-rakenne saadaan vuoden 998 kasvuennuseeksi niinkin korkea kuin 5.5 prosenia. Viime vuoden syksyllä (997) ennuselaiokse povasiva älle vuodelle (998) melko yksimielisesi 3.5 prosenin ieämissä olevaa kasvua. Tänä keväänä ennuseia on kuienkin korjau selväsi ylös; ETLA:n ennuse on 4 ja PTT:n 4.5 prosenia, joen hajona on huomaavasi suurempaa miä se oli vielä viime syksynä. Jos kasvumallilla (7) ehdään ennuse älle vuodelle ilman viime vuoden bk:n ennakkoieoa anaa se ennuseeksi 4.2 prosenia. Ennuseiden vaihelevuus keroo ilaneen epävarmuudesa. Viime vuosi näyää jälleen jäävän hisoriaan suuren ennusevirheiden vuoena alouden kasvun suheen. Vuoden 996 syksyllä esimerkiksi PTT ennusi vuoden 997 kasvuksi 2.5 prosenia ja muu ärkeimmä laiokse lähes ykskanaan 3.5 prosenia. Tuoreimman ennakkoiedon mukaan oeuunu kasvu oli kuienkin 5.9 prosenia! Opimisisimmakin ennusee jäivä äen melkein 2.5 proseniyksikköä alle oeuuneen. Romahdusvuoena 99 pessimisisimmäkin ennusee yliampuiva seisemällä proseniyksiköllä! Kysymyksessähän ieysi oli eriäin poikkeava vuosi. Virhemarginaali ennuseille Kuen yllä olemme havainnee ennusamisilanne on poikkeuksea vaikea. Luoneenomaisa ennuseille ieysi on, eä niiden vaihelun ulee olla pienempää kuin odellisuuden. Näin siksi, eä oeuuvassa apahumassa osaekijänä olevaa saunnaisuua ei kannaa ennusaa. Täen on myös luonnollisa, eä ennusee poikkeava odellisisa arvoisa. Kuienkin, joa ennuseiden käyäjä saisiva jonkinlaisen kuvan ilaneeseen liiyväsä epävarmuudesa, olisi ennuseisiin liieävä laauserifikaai. Tällaisina oimisiva virhemarginaali, joia liieään jo gallup-
arvioineihin. Voiaisiin käyää esimerkiksi vaikkapa niinkin kapeia kuin 50 prosenin luoamusvälejä, joka siis ilmoiava raja joiden sisäpuolelle oeuuvan arvon voidaan odoaa sauvan 50 prosenin odennäköisyydellä. Esimerkiksi edellä arkasellun kasvumallin 50 prosenin virhemarginaali on 2.7 proseniyksikköä. Toisin sanoen kun mallin anama kasvuennuse älle vuodelle on 5.5 prosenia, niin 50 prosenin varmuudella sen ulisi olla 2.8:n ja 8.2:n prosenin välillä. Tässä on siis 25 prosenin odennäköisyys, eä kasvu jää alle 2.8 prosenia, samoin 25 prosenin oennäköisyys, eä se yliää huikea 8.2 prosenia. Huomaakoon, eä alarajakin yliää mallin anaman pikän aikavälin 2.5 prosenin kasvun. Tämä on ulkiavissa sien, eä korkeasuhdanne näyää jakuvan ainakin vielä ämän vuoden. Koska ukimuslaiokse eivä oisaiseksi julkaise luoamusvälejä vaan desimaalin arkkuudella olevia yksiäisiä ennuseia, jää epävarmuuden arvioini ainoasaan käyäjän oman aidon varaan. Jonkinlaisa käsiysä epävarmuudesa saa kun verailee kuinka ennusee poikkeava oisisaan. Tämäkään ei osin anna aina kovin hyvää kuvaa ilaneesa, kuen yllä jo odeiin. Niinpä virhemarginaalien liiäminen ennuseisiin olisi eriäin arpeellisa.