TKT-2540 Paikannuksen menetelmät Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola 2010
Esipuhe Tämä moniste on jatkoa kurssin MAT-45800 Paikannuksen matematiikka (http://math.tut. fi/courses/mat-45800/) luentomonisteelle. Nämä kurssit liittyvät läheisesti toisiinsa, ja aiempina vuosina niillä onkin käytetty samaa luentomonistetta. Tänä vuonna kuitenkin näiden kahden kurssin asiat on erotettu omiin monisteisiinsa. Paikannuksen matematiikka on tälle kurssille erittäin suositeltava, muttei kuitenkaan pakollinen esitieto. Tarkoituksena on, että paikannuksen matematiikan kurssilla esitetään paikannusmenetelmien taustalla olevia matemaattisia periaatteita, etenkin tilastomatematiikkaa ja optimointia, joita sitten tällä kurssilla sovelletaan käytännön paikannusongelmiin. Jos ja kun monisteesta löytyy virheitä, ilmoitetaan niistä kurssin kotisivulla http://www.tkt. cs.tut.fi/kurssit/2540/. Kiitokset Simo Ali-Löytylle, Niilo Sirolalle ja Henri Pesoselle varsinkin tässä monisteessa käytetyn LATEX-pohjan jalostamisesta. Lisäksi erityiskiitos Hanna Sairolle monisteen edellisissä versioissa julkaistuista osuuksista, joiden pohjalta luvun 2 alku on kirjoitettu. Tampereella, 19. helmikuuta 2010 tekijät 2
Sisältö 1 Anturiavusteinen paikannus 4 1.1 Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit........................ 4 1.2 Matkamittarit................................... 7 1.3 Korkeusmittaus.................................. 7 1.4 Antureiden mittausvirheet............................ 9 2 Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus 15 2.1 Doppler-ilmiö................................... 15 2.2 Differentiaalinen paikannus............................ 18 2.3 Real-Time Kinematics.............................. 21 3 Luotettavuus ja eheys 27 3.1 Paikannuksen suorituskyvyn mittareita...................... 27 3.2 Tilastollinen päättely ja hypoteesien testaus................... 31 3.3 Residuaalit.................................... 35 3.4 Receiver Autonomous Integrity Monitoring................... 37 3.5 Luotettavuustestaus globaalin ja lokaalin testin avulla.............. 40 Hakemisto 46 Viitteet 48 3
Luku 1 Anturiavusteinen paikannus JUSSI COLLIN Koska satelliittisignaalien lähetysteho on kovin pieni, kohtaa käyttäjä usein tilanteita, joissa paikannusratkaisua ei ole saatavilla. Maanalaiset parkkipaikat ja ostoskeskukset ovat tiloja, joissa tarkasta paikkaratkaisusta voisi olla paljonkin hyötyä, mutta GPS-laite ei tällaista voi tarjota. Tällaisissa tiloissa esim. WLAN-verkko tarjoaa mahdollisuuden radiosignaaleihin perustuvaan paikkaratkaisuun, mutta varustamalla laite sopivilla antureilla voidaan saada tietoa liikkeestä ilman ulkoista apua. Tässä osiossa esitellään paikannukseen sopivia antureita, katsotaan, miten mittauksista saadaan paikkaratkaisu, ja käydään lyhyesti yksinkertaisia anturivirhemalleja läpi. Paikannuksen matematiikan kurssilla [2, Luku 1] käytiin läpi koordinaatistojen vaihtoja, ja periaatteessa anturipaikannusalgoritmit perustuvatkin näihin operaatioihin: mitataan paikan muutos laitteeseen sidotussa koordinaatistossa, muunnetaan se karttakoordinaatistoon ja integroidaan. Tuloksena on reitti kartalla, kunhan alkupaikka saadaan tietoon käyttäen jotakin muuta paikannusjärjestelmää. Käytännössä apua tarvitaan useamminkin kuin kerran, koska integroinnin luonteeseen kuuluu vakiovirheiden kertaantuminen. 1.1 Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Termi inertia viittaa kappaleen pyrkimykseen jatkaa kulkuansa, jos siihen ei kohdistu ulkoisia voimia. Kiihtyvyysanturit perustuvatkin tähän periaatteeseen, kuten myös osa gyroista. Kiihtyvyysanturin rakentamiseen tarvitaan massa, jousi, kotelo ja jonkinlainen indikaattori massan paikasta kotelon suhteen (kuva 1.1). Voiman ja kiihtyvyyden suhde on tietysti tunnettu, ja jousen puristuma tai venymä kertoo voiman suuruuden. Lisänä voi olla vielä takaisinkytkentä, joka pyrkii pitämään massan paikallaan koteloon nähden. 4
Kuva 1.1: Kiihtyvyysanturin toimintaperiaate. Lähde: [27] Mittauksen ongelmana on g:n puuttuminen: anturitriadin mittaus on vektori a B g B. Kuvassa 1.1 näkyvän jousen puristuman voi nimittäin aiheuttaa joko normaalivoiman ja gravitaation yhteisvaikutus (anturin ollessa paikallaan) tai kiihtyvyys inertiakehyksessä (ilman gravitaatiota). Anturi ei tiedä, kumpi tilanne on kyseessä. Newtonin liikelakien käyttö vaatii kuitenkin myös gravitaatiovoimien mittaamisen, mutta sepä ei kiihtyvyysantureilta suoraan onnistukaan! Siksi inertialaskuissa gravitaatio lisätäänkin mittauksiin gravitaatiomallin avulla. Toisaalta, jos newtonilainen kiihtyvyys tiedetään anturin koordinaatiostossa, saadaan gravitaatiovektori laskettua mittausyhtälöstä. Jos anturitriadin tiedetään olevan paikallaan (a B = 0), se mittaa ylöspäin suuntaava vektoria, josta saadaan kallistusmittaus. Lisäksi kiihtyvyysantureilla voidaan mitata syklisiä tärähdyksiä, esimerkiksi askelia, jolloin saadaan epäsuorasti estimoitua kuljettua matkaa. Tästä lisää luentojen jalankulkija-osiossa. Kulmanopeuden mittaamiseen on useita eri vaihtoehtoja. Mekaaniset gyrot perustuvat myös inertiaan, tällä kertaa liikkuvan anturielementin pyrkimyksiin vastustaa kiertoja. Yksi tapa mitata kulmanopeutta on asentaa pyörivä massa M laakeroituun koteloon B, w B BM =[0 0 ω M] T. Ripustetaan massa siten, että pyörivä massa laakereineen pääsee pyörimään suunnassa u B out =[0 ± 1 0]T, mutta ei suunnassa u in =[±1 0 0] T. Tällöin liike w B IB =[ω in 0 0] T aiheuttaa ripustuksen kiertymisen suunnassa w B BM wb IB, joka onkin u out:n suuntainen akseli. Kun mitataan kiertymistä tämän akselin suhteen, saadaan tieto kulmanopeudesta u in -akselin suhteen. Pyörivä massa ei välttämättä ole käytännöllinen, jos anturin suunnittelijalle on annettu rajoituksia koon tai virrankulutuksen suhteen. Toinen mekaaninen gyrotyyppi on värähtelevä gyro, jossa liike on edestakaista. Kuva 1.2 esittää äänirautagyron (tuning fork gyro) toimintaperiaatteen. Ylempi haarukka laitetaan resonoimaan sähkövirran avulla. Jos anturi pyörii sisäänmenoakselin ympäri, coriolis-voima aiheuttaa edestakaisen liikkeen, joka on kohtisuorassa pakotetun resonoinnin suuntaan ja sisäänmenoakselin suuntaan nähden (nuolet alemmassa haarukassa). Tätä liikettä mitataan (yleensä kapasitiivisesti), ja tuloksena on kulmanopeudella moduloitu signaali, josta saadaan kulmanopeus selville. Mikroelektromekaaniset (MEMS) gyrot toimivat tällä periaatteella. Pyörimisen mittaamiseen ei välttämättä tarvita liikkuvia osia, sillä mekaanisille pyörimiseen 5
Kuva 1.2: Esimerkki coriolis-voimaan perustuvasta gyrosta. Lähde: [27] liittyville ilmiöille löytyy sähkömagneettimen vastine, Sagnac-ilmiö. Ilmiön selittämiseen tarvitaan suhteellisuusteoriaa, mutta tämän kurssin puitteissa voidaan oikaista hieman: Lähetetään lasersäde matkaan, ja peilien avulla ohjataan säde takaisin lähtöpaikkaansa kulkusuunta myötäpäivään. Lisätään toinen lasersäde, joka kulkee vastapäivään. Syntyy kaksi seisovaa aaltoa, joiden taajuuseroa mitataan. Kun kotelo pyörii I-koordinaatiston suhteen (laserin reitin määräämän tason normaalin ympäri), tämä taajuusero muuttuu. Tällä periatteella toimivaa gyroa kutsutaan rengaslasergyroksi (Ring Laser Gyro, RLG). Optisella mittaustavalla on useita etuja: Kuva 1.3: Lasergyro. Lähde: [27] Pyörimissuuntaan kulkeva säde kulkee pidemmän matkan I-koordinaatistosta katsottuna... 6
Erinomainen tarkkuus Rajaton sisäänmenokaista Ei liikkuvia osia, joten tärinä ei haittaa ja luotettavuus on mekaanisia gyroja parempi. Lineaarinen kiihtyvyys ei vaikuta mittaukseen. Toisaalta hinta, koko ja virrankulutus estävät käytön henkilökohtaisissa sovelluksissa ainakin toistaiseksi. 1.2 Matkamittarit Kiihtyvyyteen perustuvassa siirtymän mittauksessa perustava ongelma on kaksoisintegrointi: pienikin vakiovirhe mittauksessa kasautuu ajan myötä suureksi. Tästä syystä ajoneuvon pyörän kierroslaskurit ym. matkaa mittaavat anturit tuottavat lähes poikkeuksetta tarkemman tuloksen. Isoin virhekomponentti matkamittareilla on skaalausvirhe: esimerkiksi renkaan säde ei ole tarkkaan tiedoissa. Paikkavirhe on tällöin verrannollinen kuljettuun matkaan eikä aikaan. Toisin kuin puhtaat inertiamittaukset, nämä menetelmät ovat jonkin verran ulkoisista tekijöistä riippuvaisia: jos tienpinta on liukas, rengas saattaa pyöriä tyhjää. Doppler-tutkaa voi myös käyttää kuljetun matkan laskemiseen, erityisesti työkoneissa, joissa anturin asentaminen renkaaseen tai sellaisen ylläpito on joko hankalaa. Doppler radar speed Measured speed (km/h) 3 0.5 0 True speed (km/h) -3-3 -0.5 0.5 3 Kuva 1.4: Erään Doppler-tutkan ulostulo nopeuden funktiona. Mittaus on etumerkitön, ja pienillä nopeuksilla ulostulo on nolla 1.3 Korkeusmittaus Kun siirrytään ilmakehässä korkeammalle, on yläpuolellamme vähemmän ilmaa ja siten ilmanpaine pienenee. Ilmanpainetta mittaamalla saadaan siis korkeustietoa. Ilmanpaine kuitenkin 7
muuttuu sään myötä (ja sisätiloissa ilmastoinnin), joten ilmanpaineeseen perustuva korkeusmittari on kalibroitava usein. Paikannussovelluksissa muutamalla metrilläkin voi olla merkitystä (esim. oikean kerroksen tunnistaminen rakennuksessa), ja tällöin on tarpeen asettaa toinen ilmanpainemittari läheiseen paikkaan tunnettuun korkeuteen. Tällöin ilmanpaineiden erotuksesta saadaan korkeusero tarkasti määritettyä. altitude (m) 178 176 174 172 170 168 166 164 3rd floor 4th floor stairs stairs Elevator 5th floor 2nd floor 1st floor 3rd floor stairs 162 Stairs to outside 160 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 time (s) Kuva 1.5: MEMS-ilmanpainemittarin korkeusratkaisu sisätiloissa. Ratkaisu saadaan tarkasti metreinä merenpinnasta, kun tukiasema on samassa rakennuksessa tunnetulla korkeudella. 1.3.1 Inertiapaikannusyhtälöt * (Asiaa ei käsitellä tällä kurssilla. Inertiapaikannus on siirtynyt kurssin TKT-2556 vastuulle, mutta näistä yhtälöistä voi olla hyötyä muissakin sovelluksissa.) Tämän kappaleen kaavojen muoto on melko suoraan viittestä [22]. Paikkavektorin origona käytetään E-koordinaatiston origoa, ja g L lasketaan erikseen paikan funktiona (esim. gravitaatiomalli). B-koordinaatiston ja L-koordinaatiston aikaderivaatta on Ċ L B = C B L(w B IB ) (w L IL )C L B. (1.1) Alkuehto C L B saadaan erilliseltä alustusalgoritmilta (Harjoitus 1.8). Kulmanopeustermi wb IB saadaan gyrotriadilta, ja termi w L IL on maan pyörimisen ja maanopeudesta johtuvan lokaalin koordinaatiston pyörimisen summa: w L IL = w L IE+ w L EL (1.2) Lokaali koordinaatisto L pitää z-akselin kohtisuorassa pallon (ellipsoidin) pintaan nähden, joten kohteen liikkuessa maan pinnalla tämä koordinaatisto pyörii kulmanopeudella w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL. (1.3) 3 3-matriisin F c koostumus riippuu siitä, käytetäänkö ellipsoidi- vai pallomallia. Lisäksi termillä ρ ZL säädetään L:n pohjoisakselin liikettä (harjoitus 1.1). u L ZL on yksikkövektori joka kertoo suunnan ylös L-koordinaatistossa, eli meidän sopimuksillamme u L ZL =[0 0 1]T. 8
Mitatun kiihtyvyysvektorin (merk. a B SF = ab g B ) muunnos L-koordinaatistoon: a L SF = C L Ba B SF. (1.4) Lopuksi tarvitaan painovoima (g P =gravitaatio plus maapallon pyörimisen vaikutus) nopeusvektorin (suhteessa maapalloon, E-kehys) muutos ja horisontaalinen paikan muutosnopeus sekä korkeuden muutosnopeus g L P = g L (w L IE )(w L IE )R L, (1.5) v L = a L SF+ g L P (w L EL+ 2w L IE) v L, (1.6) Ċ E L = C E L(w L EL ) (1.7) ḣ=u L ZL v L. (1.8) Siinä kaikki. Paikka ja nopeus voidaan sopivasta alkuehdosta lähtien ratkaista differentiaaliyhtälöistä (1.6) (1.8). Ryhmitellään tärkeimpitä termejä hieman, jotta kokonaiskuva selkiytyy: Tietoa antureilta: a B SF ja wb IB Maapallon ominaisuuksiin liittyvät termit: w IE, g, F c Ja näitä alunperin haluttiin laskea: R E (paikkavektori ECEF:ssä; C E L ja korkeus h ajavat saman asian, ks. harjoitus 1.2), v L (nopeus maapallon suhteen), C L B (INS-laitteen asento L-koordinaatistoon nähden). 1.4 Antureiden mittausvirheet Otetaan ensimmäiseksi esimerkiksi gyrotriadin mittaus, joka olkoon y. Paikannuksen matematiikka -kurssin [2, Luku 1] mukaan ideaalinen mittaus on w B IB, ja eräs virhemalli voisi olla yhtälön y=mw B IB+ b+n (1.9) mukainen. Tässä matriisi M sisältää skaalaus- ja kohdistusvirheet (scale factor, misalignment). Kohinatermit on jaettu biastyyppiseen (b) ja autokorreloimattomaan kohinaan (n). Huomaa, että virhetermi on nyt v=(m I)w B IB+ b+n, eli skaalaus- ja kohdistusvirheet aiheuttavat sen, että virhe on mitattavan suureen funktio. Tämä aiheuttaa ongelmia mittavirheiden tilastollisessa analysoinnissa. 9
Peruskokoonpanossa on kolme anturia, joiden mittausakselit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Tällöin 3 3-matriisin M diagonaalialkiot ovat vastaavien antureiden skaalausvirheet. Kohdistusvirhe johtuu siitä, että todellisuudessa antureita ei saada tarkalleen kohtisuoraan toisiinsa nähden. Tällöin tietyn akselin data näkyy myös toiselle anturille. Huippuluokan INSlaitteissa kohdistusvirhe on asteen tuhannesosan luokkaa, ja skaalauskerroinvirhe muutama miljoonasosa signaalin suurudesta (ppm, parts per million). Huomaa, että antureita ei välttämättä tarvitse sijoittaa kohtisuoraan toisiinsa nähden, kunhan akseleiden väliset kulmat tiedetään. Antureita voi myös olla vikatilanteiden varalta enemmänkin kuin vaadittavat kolme. Tässä tapauksessa kohtisuora asennus ei ole tietenkään edes mahdollista. Virhetermi b on ehkä mielenkiintoisin ja käytännössä myös haastavin. Sillä viitataan virheisiin jotka pysyvät samana tai lähes samana pitkään. Jako b:n ja n:n välillä ei ole mitenkään itsestäänselvä. Ääritilannetta, jossa b olisi aina vakio ja n olisi täysin korreloimaton näytteiden välillä, ei reaalimaailmasta löydy (tällöin bias-termi saataisiin ratkaistua ja korjattua täysin jo tehdaskalibroinnissa). Käytännössä b:n korrelaatioaika on laitteen käynnistysten välisen ajan luokkaa (tunteja kuukausia), ja n:n korrelaatioaika on selvästi lyhyempi. Virhetermin n käsittelystä onkin edellisissä kappaleissa paljon tietoa. Kannattaa jälleen kerran huomata, että antureiden käyttö paikannuksessa edellyttää melkein aina mittausten integrointia, joten virheen korrelaatiolla ajan suhteen on merkittävä vaikutus paikannustarkkuuteen. Vaikka lyhyt näyte datasta näyttäisi kohinaiselta, ei kannata vetää liian jyrkkiä johtopäätöksiä: on vakava virhe vertailla gyrojen laatua muutaman minuutin näytteistä otetuilla keskihajontaestimaateilla. Malli (1.9) käy sellaisenaan myös kiihtyvyysantureille, kunhan termi w IB korvataan termillä a B SF. Taulukossa 1.1 kerrotaan, mitä antureilta vaaditaan, jos INS-ratkaisun virheen halutaan pysyvän muutamassa kilometrissä tunnin navigoinnin jälkeen. Vaatimukset ovat kovat, erityisesti gyroille. Lisäksi käyttökohteesta riippuen saattaa olla dynamiikkavaatimuksia: voi esim. olla, että 500 astetta sekunnissa tapahtuva pyörähdys on pystyttävä mittaamaan. Tämän tason INS-laitteiden hinta liikkuu 100 000 200 000 dollarin tienoilla, mutta hinnat tulevat toki alas koko ajan. Hinnan lisäksi ongelmia aiheuttavat vientirajoitukset, sillä tarkat INS-laitteet luokitellaan useissa maissa aseteknologiaksi. MEMS-anturit eivät vielä täytä lähellekään näitä vaatimuksia, mutta ovat helposti saatavilla ja luonnollisesti edullisempia; vaikka INS sellaisenaan ei onnistuisikaan mittausvirheiden vuoksi, inertiamittauksilla saadaan arvokasta lisätietoa paikannusalgoritmeille [5]. 1.4.1 Virheprosesseista Yksinkertainen virheprosessi saadaan riippumattomista satunnaismuuttujista n t, joiden odotusarvo on nolla ja varianssi σ 2 n <. Tätä kutsutaan valkoseksi kohinaksi (white noise). Oletetaan vielä, että satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita. Kuvassa 1.6 esitetään valkoisen kohinan (σ 2 n = 1) realisaatio ja sen kumulatiiven summa x t = t t=1 n t. (1.10) 10
Taulukko 1.1: Antureiden tarkkuusvaatimuksia, kun paikannusvirhe saa kasvaa enintään 0.1 tai 1 merimailia (1.852 km) tunnissa [23]. Virhelähde Vaadittava tarkkuus 0.1 nmph 1 nmph Kiihtyvyysanturi bias 5 µg 40 µg skaalausvirhe 40 ppm 200 ppm kohdistusvirhe 1/3600 7/3600 Gyro bias 0.0007 /h 0.007 /h skaalausvirhe 1 ppm 5 ppm kohdistusvirhe 0.7/3600 3/3600 Seuraavaksi lisätään prosessiin autokorrelaatiota, ensin AR(1)-prosessi x t = ρx t 1 + n t. (1.11) σ 2 n Jotta saadaan stationäärinen prosessi, vaaditaan, että ρ < 1. Prosessin realisaatiota generoitaessa pitää ottaa x 0 jakaumasta N(0, ), jotta stationäärisyys pätee äärelliselle sarjalle (ks. 1 ρ 2 esim. [24]). Valitaan ρ=0.9 ja σ 2 n = 1 ρ2, jolloin prosessilla on sama varianssi kuin edellisellä prosessilla. Integroituna sarja saa hyvin isoja arvoja verrattuna edelliseen: Integroidun sarjan viimeisen satunnaismuuttujan keskihajonta 96.5, ja korreloimattoman kohinan tapauksessa se on 500 22.4. Nämä lukemat tarkistetaan harjoituksissa. 10 5 r=randn(500,1) cumsum(r) 0 5 10 15 20 25 30 0 100 200 300 400 500 Kuva 1.6: Valkoista kohinaa ja siitä integroitu satunnaiskävely (random walk). 11
4 2 0 2 4 0 100 200 300 400 500 150 100 50 0 50 0 100 200 300 400 500 Kuva 1.7: AR(1)-realisaatio ja sen kumulatiivinen summa. Nämä kohinamallit ovat melko yksinkertaisia, ja valitettavasti todellisuudessa kohdataankin usein monimutkaisempia prosesseja. Yhtenä esimerkkinä olkoon 1/ f -kohina (tai diskreettiaikaisena ARFIMA(0,0.5,0), ks. esim. [4, 29] mielenkiintoisine esimerkkeineen), josta saadaan realisaatio puoli-integroimalla valkoista kohinaa. Koska alakolmiomatriisi 1 0 0 0 1 1 0 0 A= (1.12)..... 1 1 1 1 integroi kerran aikasarjavektorin x kertolaskussa Ax, niin haetaan matriisi B, joka toteuttaa BB=A. Lasketaan matriisin neliöjuuri [2, Luku 1] tutulla sqrtm-komennolla, jolloin 1 0 0 0 0.5 1 0 0 B= 0.375 0.5 1 0 0.3125 0.375 0.5.. (1.13)....... 1 Nyt käytetään B:tä kerroinmatriisina valkoiselle kohinalle (σ 2 n = 1), tulos kuvassa 1.8. Tälle kohinatyypille ominaista on bias-heilahtelu : suuri osa tehosta on hyvin pienillä taajuksilla. Tässä esiteltyjen kohinaprosessien identifiointiin käytetään usein Allan-varianssia (Allan variance, two-sample variance) [3, 19] σ 2 x(τ)= 1 2 E( x 2 x 1 ) 2, (1.14) 12
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 100 200 300 400 500 Kuva 1.8: Diskreettiaikaisen 1/ f -kohinan realisaatio jossa keskiarvot otetaan peräkkäisistä τ:n pituisista lohkoista x 1 = 1 τ x 2 = 1 τ Estimaatti Allan-varianssista saadaan kokoamalla otos m lohkoon, ˆσ 2 x(τ,m)= m 1 1 2(m 1) τ 1 x t (1.15) t=0 2τ 1 x t. (1.16) t=τ k=1 Tietyillä ehdoilla prosessille x t tämä tuottaa harhattoman estimaatin [20]. ( x k+1 x k ) 2. (1.17) 13
Harjoitustehtäviä 1.1. Käydään kaava w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL läpi. Millainen matriisi F c on, jos käytetään pallomallia, pallon säde R? Mitä termi ρ ZL tekee? Vihje: ajattele lentokonetta joka lentää hyvin lähellä pohjoisnapaa. Jos L-kehyksen y-akseli pidetään aina osoittamaan pohjoista, mitä tapahtuu vektorille w L EL? 1.2. Onko C E L yhdessä h:n kanssa riittävä tieto yksiselitteiseen paikkaratkaisuun? 1.3. INS-sovelluksissa kolme gyroa on riittävä määrä, mutta vikatilanteiden varalta niitä voi laittaa useammankin. Oletetaan että kolme gyroa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja lisätään yksi gyro siten, että tämän mittausakseli ei ole yhdensuuntainen muiden gyrojen kanssa. Voidaanko nyt havaita, jos joku antureista antaa täysin virheellisiä mittauksia? Jos kyllä, voidaanko ko. anturi tunnistaa ja siten väärät mittaukset eristää? Entä jos meillä onkin 5 anturia siten, että mitkään kolme akselia eivät ole samassa tasossa? 1.4. Näytä, että virhe g:n laskemisessa (gravitaatiomallin virhe) aiheuttaa positiivisen takaisinkytkennän INS:n korkeusvirheelle. 1.5. Oletetaan että joskus MEMS-gyro analogisella ulostulolla saavuttaa 1 nmph INSvaatimukset, ks. taulukko 1.1 sivulla 11. Jotta signaali saadaan digitaaliseksi, tarvitaan A/D-muunnin. Arvioi vaadittavaa resoluutiota, ts. montako bittiä kvantisointiin tarvitaan. 1.6. Monenko integraattorin läpi termi w B IB (eli gyrodata) menee INS-yhtälöissä? Mitä tapahtuu (lähes) korreloimattomalle kohinalle näin monen integroinnin jälkeen? Entä bias-tyyppiselle kohinalle? 1.7. Tietokonetehtävä: Takaisinkytkennät INS-mekanisoinnissa. 1.8. Tietokonetehtävä: C L B :n alustus maan pyörimisvektorin ja normaalivoiman avulla. 14
Luku 2 Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus MARTTI KIRKKO-JAAKKOLA Seuratessaan satelliittisignaalia GNSS-vastaanotin mittaa sekä signaaliin moduloidun koodin vaihetta että itse signaalin sinimuotoisen kantoaallon vaihetta. Näistä kahdesta perusmittauksesta voidaan laskea pseudoetäisyys ja ns. integroitu Doppler, joita usein (virheellisesti) pidetäänkin vastaanottimen perusmittauksina. Tässä luvussa tutustutaan kantoaaltomittausten hyödyntämiseen paikannuksessa. Itse asiassa alun perin kantoaaltomittauksia ei suunniteltu edes käytettäväksi paikannuksessa mihinkään, mutta 1970-luvun lopulla Counselman et al. [7] osoittivat, että niissä on potentiaalia erittäin tarkkaan paikannukseen. Koodimittaukset ovat kantoaaltomittauksia selvästi kohinaisempia (koodimittauksissa on tyypillisesti vähintään desimetriluokan kohina, kun taas edullisetkin vastaanottimet mittaavat kantoaallon vaihetta noin senttimetrin tarkkuudella), kuten kuvassa 2.1 on näytetty. Kantoaaltomittausten käyttämistä hankaloittaa kuitenkin oleellisesti se, että kyseinen mittaus sellaisenaan kertoo vain aallon vaiheen modulo 2π pelkkää vaihetta mittaamalla ei saada tietoon täysien kantoaaltojaksojen määrää, joka on kullekin satelliitille erisuuruinen kokonaisluku. Tästä syystä kantoaaltomittauksia käytetään henkilökohtaisessa paikannuksessa vain etäisyyden muutoksen arviointiin, jolloin koodimittausten kohinaa voidaan tasoittaa (carrier smoothing, ks. esim. [21]). Kantoaaltopaikannuksen toteuttamista kuluttajalaitteilla henkilökohtaisessa paikannuksessa tutkitaan kuitenkin aktiivisesti [1]. 2.1 Doppler-ilmiö Paikannussatelliitit liikkuvat käyttäjiinsä nähden koko ajan monta kilometriä sekunnissa, esimerkiksi GPS-satelliittien ratanopeus on noin 4 km/s; lisäksi toki käyttäjät itsekin voivat Tavallisesti tosin kantoaaltomittaukset ilmoitetaan skaalattuna jaksoiksi, ei radiaaneina tai metreinä 15
Koodi Kantoaalto 424 424 vaihe ero [m] 426 426 428 428 Kuva 2.1: Koodi- ja kantoaaltomittausten kohinatasot. Tässä kuvassa näytetään vain peräkkäisten mittausten (molemmat metreissä) erotukset eikä itse absoluuttisia mittauksia, jolloin biastyyppiset termit (ml. kokonaislukutuntematon) kumoutuvat. liikkua. Tämä suhteellinen liike vaikuttaa siihen taajuuteen, jolla vastaanotin signaalin havaitsee: jos vastaanotin liikkuu kohti aaltolähdettä, kohtaa se aaltorintamia useammin kuin paikalla ollessaan, ja toisaalta taas liikkuessaan lähettimestä poispäin kohtaa niitä harvemmin. Molemmissa tapauksissa vastaanotin havaitsee signaalin eri taajuudella kuin mikä todellinen lähetystaajuus on. Tätä lähettimen ja vastaanottimen välisen suhteellisen liikkeen vaikutusta vastaanotettuun taajuuteen kutsutaan Doppler-ilmiöksi. Valon nopeudella eteneville aalloille Doppler-ilmiö mallinnetaan kaavalla ( f R = f T 1 v r u ), (2.1) c jossa f R on vastaanotettu taajuus, f T on lähetetty taajuus, v r on satelliitin ja vastaanottajan välinen suhteellinen nopeus, u on yksikkövektori vastaanottajan sijainnista satelliittia kohti ja c on valon nopeus. Doppler-ilmiön aiheuttamaa taajuusmuutosta sanotaan Doppler-siirtymäksi f D : f D = f R f T = v r u c. (2.2) Vastaanottimen on signaalia seuratessaan luonnollisesti oltava selvillä sen taajuudesta, johon Doppler-ilmiö vaikuttaa. Siten vastaanotin mittaa samalla kunkin satelliittisignaalin Dopplersiirtymää. Seuraavissa kappaleissa nähdään, mitä hyötyä tästä on paikannuksen kannalta. Esimerkiksi ääniaalloille (tuttuna mallitapauksena toimii vaikkapa ohi ajavan ambulanssin sireeni) Dopplersiirtymä lasketaan hieman eri tavalla, koska silloin ei voida approksimoida v+v s v, missä v on aaltojen etenemisnopeus ja v s aaltolähteen nopeus.. 16
2.1.1 Doppler-siirtymän ja etäisyysmittauksen muutoksen välinen yhteys Paikannuksen matematiikan monisteessa [2, Esimerkki 15, s. 24] on esitelty mittausmalli pseudoetäisyysmittaukselle. Lasketaan nyt satelliitille i tehdyn mittauksen aikaderivaatta (deltaetäisyys): ρ i = d dt ( s i x +b)=(v i v u ) s x + ḃ, (2.3) s x missä v i on satelliitin i nopeusvektori, v u on vastaanottajan nopeusvektori ja ḃ vastaanottimen kellon käyntivirhe [s/s] (clock drift). Välivaiheiden laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi. Verrattaessa yhtälöitä (2.2) ja (2.3) huomataan, että u= s x s x ja v r = v i v u. Nyt siis deltaetäisyys saadaan affiinilla muunnoksella Doppler-siirtymästä: ρ i = c f D + ḃ. (2.4) Deltaetäisyyksiä käytetään esim. vastaanottimen nopeuden määrittämiseen. Myös paikannus niiden perusteella on mahdollista, tosin mittausmallista johtuen huomattavasti virheherkempää kuin pseudoetäisyyspaikannus [18]. 2.1.2 Doppler-siirtymän ja vaihemittauksen välinen yhteys Kantoaaltomittausta sanotaan myös integroiduksi Doppleriksi. Uusi kantoaaltomittaus φ i (t) saadaan vähentämällä vanhasta mittauksesta φ i (t T) Doppler-siirtymän integraali mittausajan (pituus T ) yli. Kyseessä on nimenomaan vähennys eikä lisäys, koska Doppler-taajuushan kasvaa, kun vastaanotin lähestyy satelliittia eli näiden välinen etäisyys pienenee. Vaihemittauksen halutaan luonnollisesti käyttäytyvän päinvastoin. Huomaamalla, että yhtälössä (2.1) pistetulo suhteellisen nopeuden v r ja suuntayksikkövektorin u välillä on suhteellisen nopeuden projektio kohtisuoralle etäisyydelle eli toisin sanoen etäisyyden r aikaderivaatta, voidaan Doppler-siirtymä (2.2) kirjoittaa vielä uuteen muotoon f D = ṙ λ, (2.5) missä λ = c/ f on signaalin aallonpituus. Tästä integroimalla saadaan kantoaaltomittaus t φ i (t)= φ i (t T) f D (τ)dτ=λ 1 (r i (t) r i (t T)). (2.6) t T Merkitään nyt φ i (0) = r i (0)+b(0)+N i, missä r i (0) on todellinen etäisyys vastaanottimen ja satelliitin i välillä hetkellä t = 0, b(0) vastaanottimen kellovirhe samana hetkenä ja N on tuntematon määrä kantoaaltojaksoja (tämän arvoa ei siis tiedetä pelkkää vaihetta mittaamalla). Lisäämällä vielä satelliitin kellovirhe b i (t) sekä mittausvirhetermi ε i (t) (sisältäen esim. satelliitin rataparametrien (ephemeris) virheet ja monitie-etenemisen) saadaan kantoaaltomittausmalliksi φ i (t)= r i(t) λ + b(t) b i(t)+n i + ε i (t). (2.7) 17
Yksikkönä on kantoaaltojakso. Todellisuudessa tähän malliin tulisi vielä lisätä pseudoetäisyysmittauksista tuttuja virhelähteitä kuten ilmakehä, mutta ne on jätetty yksinkertaisuuden vuoksi pois. Erityisesti tulee huomata, että kokonaislukutuntematon N i ei riipu ajasta t, vaan N i määräytyy signaalin hakuvaiheessa ja pysyy vakiona niin kauan kuin satelliittia i seurataan katkoksitta. Käytännössä joskus (varsinkin edullisilla vastaanottimilla) kokonaislukutuntematon N i voi kuitenkin muuttua lyhyen signaalikatkoksen takia. Tällaista tilannetta sanotaan jaksohypyksi (cycle slip), ja niiden havaitseminen (ja mahdollisesti korjaus) on erittäin tärkeää tarkassa paikannuksessa, sillä jokaisesta jaksohypystä aiheutuu vähintään desimetriluokan etäisyysvirhe. Jaksohyppyjä voidaan tunnistaa esim. peräkkäisten kantoaaltomittausten erotuksista RAIMmenetelmällä (s. 37), ks. esim. [14]. 2.2 Differentiaalinen paikannus Kuten todettu, mittausmalli (2.7) ei ole totuudenmukainen, vaan siitä puuttuu merkittäviä virhelähteitä. Mikäli paikannusta tehdään jälkiprosessointina ja tulokset voidaan ilmoittaa vaikka parin viikon viiveellä, voidaan käyttää esim. IGS:n (International GPS Service) [9] toimittamia tarkkoja satelliitti- ja ilmakehädatoja näiden virheiden korjaamiseen. Reaaliaikasovelluksissa tämä kuitenkaan ole mahdollista. Toinen mahdollinen tapa päästä eroon mittausmallin virheistä on hyödyntää tietoa siitä, että osa virheistä korreloi ajan ja paikan mukaan: esimerkiksi ilmakehän aiheuttamat virheet ovat käytännössä yhtä suuret lähellä toisiaan sijaitseville vastaanottimille. Tähän perustuu differentiaalinen paikannus, jossa ideana on käyttää itse paikannettavaa laitetta riittävän lähellä sijaitsevaa referenssivastaanotinta. Yksinkertaisimmillaan differentiaalipaikannus toimii niin, että jokin tunnetussa paikassa sijaitseva vastaanotin arvioi, paljonko sen mittauksissa on virheitä, jotka siirtävät paikkaestimaatin pois todellisesta sijainnista, ja lähettää tämän kokonaisvirhe-estimaatin, differentiaalikorjauksen, paikannettaville vastaanottimille esim. radiolinkin yli. Selective Availabilityn (SA) poissaollessa nämä virheet eivät muutu nopeasti ajan myötä, joten lähetetty korjaus on käyttökelpoinen pidemmänkin aikaa, eikä uusia korjauksia tarvitse laskea ja lähettää joka mittaushetkellä. Kokonaisvirhearvio sisältää myös vastaanottimen kellovirheen, mistä ei ole kuitenkaan haittaa, mikäli korjausdataa käyttävät vastaanottimet eivät käytä satelliitteja, joihin korjausdataa ei ole: Tällöin vain käyttäjien vastaanotinten on ratkaistava oman kellovirheensä ja referenssivastaanottimen kellovirheen summa, mikä onnistuu aivan samalla tavalla kuin pelkän oman kellovirheen ratkaiseminen ilman korjausdataa. Jos käytössä on useampia referenssivastaanottimia, ei kokonaisarvioiduista korjauksista ole niin suurta hyötyä, vaan olisi parempi, jos eri virhelähteet, kuten esim. ilmakehä ja satelliitin kello, saataisiin arvioitua erikseen. Näin toimivat monet GPS:n laajennokset, kuten USA:n kattava On täysin tilanneriippuvaista, kuinka paljon on riittävän lähellä : Yksitaajuusvastaanottimella huonolla kelillä se voi olla muutama kilometri, kun taas kaksitaajuusvastaanottimella pilvettömällä säällä satakin kilometriä voi riittää [21]. 18
Wide Area Augmentation System (WAAS). Myös eurooppalaisille on vastaavanlainen järjestelmä nimeltään European Geostationary Navigation Overlay System (EGNOS), joka tuli virallisesti käyttöön lokakuussa 2009. Kuten nimistä voi päätellä, nämä järjestelmät hyödyntävät geostationäärisiä satelliitteja korjausdatan välittämisessä suuremmalle alueelle. Valitettavasti geosatelliitit näkyvät Suomen leveyspiireille melko huonosti, koska niiden kiertorata kulkee päiväntasaajan kohdalla. 2.2.1 Suhteellinen paikannus Mikäli riittää ratkaista vain kahden vastaanottimen välistä etäisyysvektori, ns. perusviiva (baseline), voidaan eri vastaanotinten tekemiä mittauksia vähentää toisistaan sellaisenaan erillisiä virhearvioita konstruoimatta. Tällöin kuitenkin menetetään absoluuttinen paikkainformaatio. Jos vastaanottimista toisen sanottakoon sitä referenssivastaanottimeksi paikka tunnetaan, voidaan jäljelle jäävän, jota kutsuttakoon käyttäjäksi (englanninkielisessä kirjallisuudessa yleensä rover receiver), absoluuttinenkin paikka määrittää referenssivastaanottimen paikan tai perusviivaestimaatin tarkkuudella riippuen siitä, kumpi on epätarkempi. Suhteellinen paikannus hyötyy huomattavasti kantoaaltomittausten käytöstä. Koska systemaattisia mittausvirheitä saadaan differentiaalimenelmällä vähennettyä, alkaa mittauskohina olla merkittävä virhelähde differentiaalipaikkaestimaatteihin käytettäessä koodimittauksia. Kuten tiedetään, kantoaaltomittaukset ovat muutamaa kertaluokkaa tarkempia kuin koodin vaiheeseen perustuvat pseudoetäisyydet. Ongelmaksi tulevat kuitenkin kokonaisten kantoaaltojaksojen lukumäärät eli kokonaislukutuntemattomat N i. Mikäli ne saadaan ratkaistua, voidaan perusviivaa estimoida parhaimmillaan jopa millimetrien tarkkuudella. 2.2.2 Yksittäisdifferenssi vastaanotinten välillä Jos käytettävissä on mallin (2.7) mukaiset mittaukset myös käyttäjää riittävän lähellä olevalla referenssivastaanottimella r, kuten kuvassa 2.2, voidaan muodostaa näiden vastaanotinten satelliittiin i tekemien mittausten erotus eli yksittäisdifferenssi r φ i (t)= r r i(t) λ + r b(t)+ r N i + r ε i, (2.8) missä operaattori r merkitsee yksittäisdifferentiointia vastaanottimen r kanssa. Satelliitin kellovirhe b i (t) on yhtä suuri molemmille vastaanottimelle, joten mallista (2.8) se on kumoutunut kokonaan pois. Lisäksi ilmakehävirheet ovat läheisyysoletuksen nojalla lähes samat molemmille vastaanottimille, joten niidenkin vaikutus pienee merkittävästi ja ne jätetään pois tästä mallista. Sen sijaan vastaanottimen kellovirhe, kokonaislukutuntemattomat ja kohina sekä monitieeteneminen eivät korreloi vastaanotinten välillä, joten ne eivät kumoudu vaan määrittyvät uudelleen. Differentioituinakin näiden käsittely on laskennallisesti kuitenkin vastaavanlaista kuin 19
alkuperäisissäkin malleissa, ja kokonaislukutuntemattomat säilyttävät kokonaislukuluonteensa. Satunnainen mittauskohina jopa voimistuu: sen keskihajonta kasvaa 2-kertaiseksi, ts. var r ε i = 2varε i, (2.9) kun molempien vastaanottimien kohinat oletetaan identtisesti jakautuneiksi ja toisistaan riippumattomiksi. s i Referenssi Perusviiva Käyttäjä Kuva 2.2: Yksittäisdifferenssi satelliittiin i. Merkitsemällä perusviivaa r x = x x r, missä x on käyttäjän ja x r referenssivastaanottimen paikka, ja kehittämällä (2.8) ensimmäisen asteen Taylor-polynomiksi saadaan r φ i (t) λ 1 x r(t) s i x r (t) s i (t) r x(t)+ r N i + r b(t)+ r ε i (t), (2.10) kun satelliitin i paikkaa merkitään vektorilla s i. Tämän tuloksen johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi. 2.2.3 Kaksoisdifferenssi Kahdesta eri satelliitteihin liittyvästä yksittäisdifferenssistä saadaan muodostettua kaksoisdifferenssi (kuva 2.3): r φ i j (t)= r φ i (t) r φ j (t) ( λ 1 xr (t) s i (t) x r (t) s i (t) x ) r(t) s j (t) r x(t)+ r N i j + r ε i j (t). x r (t) s j (t) (2.11) Differentioimalla mittaukset satelliittien välillä päästään eroon vastaanottimesta riippuvista virheistä, joista oleellisin on kellovirhe r b(t). Tämän operaation hintana on yhden (yksittäisdifferentioidun) mittauksen menettäminen ja kohinan vahvistuminen edelleen (tehtävä 2.2). Kokonaislukutuntematon N i j on edelleen kokonaisluku, muttei enää (välttämättä) sama kuin yksittäisdifferentioitu kokonaislukutuntematon. Joskus kirjallisuudessa satelliittien välistä differentiointia merkitään operaattorilla, jolloin kaksoisdifferenssejä merkitään operaattoriparilla. 20